人教版高中数学全套教案直线、平面、简单几何体

高二数学第九章 直线、平面、简单几何体复习教案一、平面1．平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性 2．平面的画法及其表示方法：①常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面AC 等3．空间图形是由点、线、面组成的点、线、面的基本位置关系如下表所示：b A = a αØα=∅ A α=l β= aα=∅或4平面的基本性质公理 1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⎬∈⎭Ø． 如图示： 应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面．公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线推理模式：A l A ααββ∈⎫⇒=⎬∈⎭且A l ∈且l 唯一如图示：应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 推理模式：,, A B C 不共线⇒存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈应用：①确定平面；②证明两个平面重合“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面推理模式：A a ∉⇒存在唯一的平面α，使得A α∈，l αØ推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面推理模式：P b a = ⇒存在唯一的平面α，使得,a b αØ推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面推理模式：//a b ⇒存在唯一的平面α，使得,a b αØ5平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形 二、空间直线1空间两直线的位置关系（1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点； （3）异面——不在任何．．一个平面内，没有公共点； 2公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：//,////a b b c a c ⇒．3等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 4等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等5空间两条异面直线的画法ab1AA6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式：,,,A B l B lααα∉∈⊂∉⇒AB与l是异面直线7．异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b，经过空间任一点O作直线//,//a ab b''，,a b''所成的角的大小与点O的选择无关，把,a b''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b所成的角（或夹角）．为了简便，点O通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：]2,0(π8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b垂直，记作a b⊥．9．求异面直线所成的角的方法：几何法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求向量法：用向量的夹角公式10两条异面直线的公垂线、距离和两条异面直线都垂直相交．．．．的直线，我们称之为异面直线的公垂线理解：因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义．两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离．两条异面直线的公垂线有且只有一条计算方法：①几何法；②向量法三、直线与平面平行和平面与平面平行1．直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；符号表示为:aαØ，（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；符号表示为: a Aα=，（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类．符号表示为: //aα．2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：,,////l m l m lααα⊄⇒Ø．3线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．推理模式：//,,//l l m l mαβαβ=⇒Ø．4．平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行．5．图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的．6．平行平面的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．推理模式：：a β⊂，b β⊂，ab P =，//a α，//b α//βα⇒．7平行平面的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行．推理模式：,,,,,,//,////a b P a b a b P a b a a b b ααββαβ'''''''==⇒刎刎．8．平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 推理模式：//,,//a b a b αβγαγβ==⇒．9面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．推理模式：//,//a a αβαβ⊂⇒．四、直线与平面垂直和平面与平面垂直 1线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足 直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a ⊥α 2直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 3直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行 4三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；（2）推理模式：,,PO O PA A a PA a a OA αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭5．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直推理模式： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭．注意：⑴三垂线指PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用6两个平面垂直的定义：两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面 7．两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 推理模式：a αØ，a β⊥⇒αβ⊥．8．两平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 推理模式：,,,l a a l αβαβα⊥=⊥Ø a β⇒⊥9向量法证明直线与平面、平面与平面垂直的方法：①证明直线与平面垂直的方法：直线的方向向量与平面的法向量平行； ②证明平面与平面垂直的方法：两平面的法向量垂直 五、空间向量及其运算1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算空间向量的加法、减法与数乘向量运算：OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3 平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa4共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．5． 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式OP OA t =+a ．其中向量a叫做直线l 的方向向量6空间直线的向量参数表示式：OP OA t =+a或()OP OA t OB OA =+-(1)t OA tOB =-+，中点公式．1()2OP OA OB =+ 7．向量与平面平行：已知平面α和向量a ，作O A a =，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的 8．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA y MB=+ ① 或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++② 或,(1)OP xOA yOB zOM x y z =++++= ③ 上面①式叫做平面MAB 的向量表达式9空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++10空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==，则AO B ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>；且规定0,a b π≤<>≤，显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>=，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥11．向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a12．向量的数量积：已知向量,a b ，则||||c o s ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>．已知向量AB a =和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B ''叫做向量AB 在轴l 上或在e 上的正射影 A B ''的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅．13．空间向量数量积的性质：（1）||cos ,a e a a e ⋅=<>．（2）0a b a b ⊥⇔⋅=．（3）2||a a a =⋅． 14．空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．（2）a b b a ⋅=⋅（交换律）． （3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律） 六、空间向量的坐标运算 1空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i jk 表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面； 2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标． 3．空间向量的直角坐标运算律： （1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233a b a b a b a b ⋅=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则21||a a a a =⋅=+2||b b b b =⋅=+．5．夹角公式：2cos ||||a ba b a b a ⋅⋅==⋅+6．两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2||(AB AB ==， 或,A B d =七、空间角1．异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上 异面直线所成的角的范围：]2,0(π2．求异面直线所成的角的方法：（1）几何法；（2）向量法 3．直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角直线和平面所成角范围： [0，2π] （2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角4．公式：平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角，且a 与α相交成ϕ1角，a 在α上的射影c 与b 相交成ϕ2角，则有θϕϕcos cos cos 21=5二面角：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--； 6．二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AO B ∠叫做二面角l αβ--的平面角（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角 说明：①二面角的平面角范围是[0,180]；②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直7．二面角的求法：⑴几何法；⑵向量法8求二面角的射影公式：SS '=θcos ， 其中各个符号的含义是：S 是二面角的一个面内图形F 的面积，S '是图形F 在二面角的另一个面内的射影，θ是二面角的大小 9．三种空间角的向量法计算公式：⑴异面直线,a b 所成的角θ：cos cos ,a b θ=<>；⑵直线a 与平面α(法向量n )所成的角θ：sin cos ,a n θ=<>； ⑶锐二面角θ：cos cos ,m n θ=<>，其中,m n 为两个面的法向量八、空间距离1点到平面的距离：已知点P 是平面α外的任意一点，过点P 作PA α⊥，垂足为A ，则PA 唯一，则PA 是点P 到平面α的距离即 一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离 结论：连结平面α外一点P 与α内一点所得的线段中，垂线段PA 最短2 异面直线的公垂线：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线． 3．公垂线唯一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线4．两条异面直线的公垂线段：两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做两条异面直线的公垂线段；5．公垂线段最短：两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条；6．两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度说明：两条异面直线的距离AB 即为直线a 到平面α的距离即两条异面直线的距离等于其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离7直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离)8．两个平行平面的公垂线、公垂线段：（1）两个平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线 （2）两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的的部分，叫做两个平面的公垂线段 （3）两个平行平面的公垂线段都相等（4）公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长9．两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离10．七种距离：点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离，点到平面的距离有时用“体积法”来求 10用向量法求距离的公式：⑴异面直线,a b 之间的距离：||AB n d n ⋅=，其中,,,n a n b A a B b ⊥⊥∈∈⑵直线a 与平面α之间的距离：||AB n d n ⋅=，其中,A a B ∈∈是平面α的法向量⑶两平行平面,αβ之间的距离：||AB n d n ⋅=，其中,A B αβ∈∈n 是平面α的法向量⑷点A 到平面α的距离：||AB n d n ⋅=，其中B α∈，n 是平面α的法向量另法：点000(,,),A x y z 平面0Ax By CzD +++=则 d =⑸点A 到直线a的距离：|d a =⎪⎭，其中B a ∈，a 是直线a 的方向向量 ⑹两平行直线,ab之间的距离：|d a =⎪⎭，其中,A a B b ∈∈，a 是a 的方向向量九、棱柱1多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线2．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体3．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等4．棱柱的概念：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱两个互相平行的面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高（公垂线段长也简称高）5．棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱底面的是正多边形的直棱柱叫正棱柱棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 6．棱柱的性质（1）棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形；直棱柱侧面都是矩形；正棱柱侧面都是全等的矩形；（2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形； （3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形7平行六面体、长方体、正方体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体长方体，棱长都相等的长方体叫正方体．8．平行六面体、长方体的性质(1)平行六面体的对角线交于一点且互相平分．(2)长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和特别地，正方体的一条对角线长等于棱长的3倍。

第九章 直线、平面、简单几何体（二）本讲重点9.4直线与平面垂直的判定和性质 9.5两个平面平行的判定和性质 9.6两个平面垂直的判定和性质 学习指导1．直线和平面垂直的判定（1）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

（2）两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

（3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则这条直线也垂直于另外一个平面。

（4）若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于这两个平面交线的直线垂直于另外一个平面。

2．直线与平面垂直的性质（1）如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线。

3．两个平面平行的判定（1）如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

（2）同垂直于一条直线的两个平面平行。

（3）同平行于一个平面的两个平面平行。

4．两个平面平行的性质（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面 （2）如果两个平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

5．面面垂直的判定（1）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

（2）利用二面角的大小为90℃加以判定。

6．三垂直定理及其逆定理（1）三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这个斜线垂直。

（2）三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么这也和这条斜线的射影垂直。

7．射影定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中： （1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长； （2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长； （3）垂线段比任何一条斜线段都短。

8．最小角定理：斜线和平面所成的角，中最小的角。

9．掌握直线与平面所成角的定义及其范围]2,0[π，如图所示：面α，有BOC AOB AOC ∠⋅∠=∠cos cos cos 可以加快解题速度。

高中数学完整教案人教版
教学内容：解析几何
教学目标：掌握直线和平面的相关概念和性质，培养学生的逻辑思维能力和几何推理能力。

教学重点：直线和平面的交点、相交与平行关系，平行线的性质。

教学难点：直线和平面的相交情况的判断。

教学准备：教案、教材、黑板、彩色粉笔、学生练习册。

教学过程：
第一步：引入
1. 引入直线和平面的概念，让学生了解直线和平面的基本性质和特点。

2. 展示图例，让学生观察图像中直线和平面的关系。

第二步：讲解
1. 讲解直线和平面的交点、相交与平行关系的概念和判断方法。

2. 介绍平行线的性质与判定方法，让学生掌握平行线的几何性质。

第三步：示范
1. 在黑板上示范如何判断直线和平面的相交情况。

2. 示范如何判断两条直线是否平行。

第四步：练习
1. 让学生在练习册上完成相关练习题，巩固所学知识。

2. 分组讨论解题过程中遇到的问题，并相互交流解题思路。

第五步：总结
1. 引导学生总结本节课所学内容，强化对直线和平面的理解。

2. 鼓励学生提出问题，激发学生对数学的兴趣和探索欲望。

教学反馈：对学生课堂表现进行评价，及时纠正学生错误的地方，并鼓励学生在学习数学
的道路上不断前进。

教学延伸：鼓励学生利用课余时间进行拓展阅读，加深对解析几何知识的理解和掌握。

教学结束语：通过本节课的学习，相信学生们对直线和平面有了更深入的了解，期待在接下来的学习中取得更好的成绩。

两条异面直线所成的角练习课教学目标1 •记忆并理解余弦定理；2 •应用余弦定理来求异面直线所成的角.教学重点和难点这节课的重点是以异面直线所成的角的概念为指导作出相应的角， 然后用余 弦定理解这个角所在的三角形求出这个角的余弦. 这节课的难点是使学生初步理 解当 cos B> 0 时，0°vBv 90°，当 cos 0 =0 时，0 =90°,当 cos 0 v 0 时, 90°v 0 v 180°.教学设计过程一、余弦定理师：余弦定理有哪两种表述的形式？它们各有什么用途？生：余弦定理有两种表述的形式，即：a 2=b 2+c 2-2bccos Ab 2=c 2+a 2-2cacos Bc 2=a 2+ b 2-2abcos C第一种形式是已知两边夹角用来求第三边，第二种形式是已知三边用来求 角. 师：在立体几何中我们主要用余弦定理的第二种形式， 即已知三角形的三边 来求角.在余弦定理的第二个形式中，我们知道 b 2+ c 2可以等于a 2；也可以小于a 2；也可以大于a 2.那么，我们想当b 2+c 2=a 2时，/ A 等于多少度？为什么？2abb W - a 1~2bc~cos C =生：当b 2 + c 2=a 2时，由勾股定理的逆定理可知/ A=90°.师：当b 2 + c 2>a 2时，/ A 应该是什么样的角呢？生：因为cosA >0,所以/ A 应该是锐角.师：当b 2 + c 2v a 2时，/ A 应该是什么样的角呢？生：因为这时cosA v 0,所以/ A 应该是钝角.师：对，关于这个问题，我们只要求同学们有初步的理解即可.初步理解后 应该记住、会用.现在明确提出当 cos 0 =0时，0 =90°，B 是直角；当cos 0 >0 时，0°<0<90°， 0 是锐角当 cos 0 v 0 时，90o v0v 180°, 0 是钝 角.下面请同学们回答下列问题：co S e=^ e 等于多少度？= 璋于多少度？生：0等于60°，-等于120°.师：这时0和-是什么关系？生：0和，是互为补角.师：再回答下列问题：生：0 i 等于 45°, ； i 等于 135°, 0 i + -1=180°; 0 2等于 30°,「2=150 0 2+「2=180°. 师：一般说来，当cos 0 =-cos -时，角0与角：是什么关系?cos 0】等于多少度?,12COS ©1 = 池等于多少度? cos 9COS 衍=，9 ：等于多少度? 血等于多少生：角B 与角-是互补的两个角•即一个为锐角，一个为钝角，且B+ ‘ =180°.（关于钝角的三角函数还没有定义，所以这里采用从特殊到一般的方法使学 生有所理解即可）二、余弦定理的应用例1 在长方体 ABC D ABCD 中，AB=BC=3 AA=4.求异面直线 AB 和AD 所成的角的余弦.（如图1）师：首先我们要以概念为指导作出这个角，A iB 和AD 所成的角是哪一个角?生：因为CD// A iB ，所以/ ADC 即为AB 与AD 所成的角.师：■ / ADC 在厶ADC 中，求出△ ADC 的三边，然后再用余弦定理求出/ ADC 的余弦. 生 SAAD L C 中，AD 产 CD 产 5, AC=3^师：我们要再一次明确求异面直线所成的角的三个步骤： 第一是以概念为指 导作出所成的角；第二是找出这个角所在的三角形；第三是解这个三角形.现在 我们再来看例2.例 2 在长方体 ABCD- ABCD 中，/ CBC=45，/ BAB=60 .求 AB 与 BC 所成角的余弦.（如图2）所以 cosZAD^ = AD^ +CDJ-AC 2 2码・CD] _ 25+25-18_16 一-~ 25 B图1师：在这例中，我们除了首先要以概念为指导作出异面直线所成的角以外，还要注意把所给的特殊角的条件转化为长方体各棱之间的关系， 以便于我们用余 弦定理.生：因为BG // AD ,所以AB 与BG 所成的角即为/ DAB .根据所给的特殊角条件可设AB 二弘则AB 1 = 2a,所以在△ "AB 冲，AB] = B L D]二為 AD^ 76a. AB ；+AD ； _D]B ； _4宀6宀缶2* 2a* 76a 师：现在我们来看例3.例3 已知正方体的棱长为a , M 为AB 的中点，N 为BB 的中点.求AM 与 GN 所成的角的余弦.（如图3）（ 1992年高考题）师：我们要求AM 与GN 所成的角，关键还是以概念为指导作出这个角，当一次平移不行时，可用两次平移的方法.在直观图中，根据条件我们如何把 A iM 用两次平移的方法作出与 GN 所成的角？ 所以cos/DjABj -Di團2M B图3生：取AB 的中点E ,连BE 由平面几何可知 BE// AM ，再取EB 的中点F , 连FN 由平面几何可知FN// BE 所以NF// AM 所以/ CNF 即为AM 与CN 所成的 角.在ACiFN 中，由勾般定理可求出C L N = BE = ya, FN=|B E =5 2 5 2 17 2 -a 2 + —a 2-—a 2 ? 4 1616 _ £2 * —a • —a2 A 师：还可以用什么方法作出AM 与GN 所成的角？ 生：当BE// AM 后，可取GC 中点G,连BG 贝U BG// GN,这吋ZEBG 即为与C]N 所成的乱在Z\EBG 莅BE=BG = ya,而EG —EC ： + C I G2二討，所血G 二务由余弦定理，得师：这两种解法都要用两次平移来作出异面直线所成的角，现在我们来看例 4. 例 4 在长方体 ABCD- ABCD 中，AA=c , AB=a AD=b 且 a >b .求 AC 与 BD 所成的角的余弦.（如图4）cosZC 1NF =2 • C 】N * FN 由余眩定理，得师：根据异面直线所成的角的概念，再根据长方体的基本性质，如何作出 AG 与BD 所成的角。

两条异面直线所成的角一、素质教育目标（一）知识教学点1．两异面直线所成角的定义及两异面直线互相垂直的概念．2．两异面直线的公垂线和距离的概念及两异面直线所成角及距离的求法．（二）能力训练点1．利用转化的思想，化归的方法掌握两异面直线所成角的定义及取值范围，并体现了定义的合理性．2．利用类比的方法掌握两异面直线的公垂线和距离等概念，应用在证题中体现了严格的逻辑思维，并会求两条异面直线所成角与距离．（三）德育渗透点进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：两异面直线所成角的定义；两异面直线的公垂线及距离的概念；两异面直线所成角和距离的求法．2．教学难点：两异面直线所成角及距离的求法．3．教学疑点：因为两条异面直线既不相交，但又有所成的角，这对于初学立体几何的学生来说是难以理解的．讲解时，应首先使学生明了学习异面直线所成角的概念的必要性．三、课时安排1课时．四、教与学的过程设计（一）复习提问引入课题师：上新课前，我们先来回忆：平面内两条相交直线一般通过什么来反映它们之间的相互位置关系？生：通过它们的夹角．如图1－46，a、b的位置关系与a′、b′的位置关系是不一样的，a、b的夹角比a′、b′的夹角来的小．师：那么两条异面直线是否也能用它们所成的角来表示它们之间相互位置的不同状况．例如要表示大桥上火车行驶方向与桥下轮船航行方向间的关系，就要用到两条异面直线所成角的概念．（二）异面直线所成的角师：怎么定义两条异面直线所成的角呢？能否转化为用共面直线所成的角来表示呢？生：可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示．如图1－47，异面直线a、b，在空间中任取一点O，过点O分别引a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角．师：针对这个定义，我们来思考两个问题．问题1：这样定义两条异而直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点O 有无限制条件？答：在这个定义中，空间中的一点是任意取的．若在空间中，再取一点O′，过点O′作a″∥a，b″∥b，根据等角定理，a″与b″所成的锐角（或直角）和a′与b′所成的锐角（或直角）相等．即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性．注意：有时，为了方便，可将点O取在a或b上．问题2：这个定义与平面内两相交直线所成角是否有矛盾？答：没有矛盾．当a、b相交时，此定义仍适用，表明此定义与平面内两相交直线所成角的概念没有矛盾，是相交直线所成角概念的推广．师：在定义中，两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直（出示模型：正方体）．例如，正方体上的任一条棱和不平行于它的八条棱都是相互垂直的，其中有的和这条棱相交，有的和这条棱异面．（三）两条异面直线的距离师：（出示模型）观察模型，思考问题：a与b，a′与b所成角相等，但是否就表示它们之间的相互位置也一样呢？生：不是．它们之间的远近距离不一样，从而得到两条异面直线的相互位置除了用它们所成的角表示，还要用它们之间的距离表示．师：那么如何表示两条异面直线之间的距离呢？我们来回忆在平面几何中，两条平行线间的位置关系是用什么来表示的？生：用两平行线间的距离来表示．师：对．如图1－50，要知道它们的距离，先要定义它们的公垂线，如图1－50：a∥b，a′∥b′，c⊥a，c′⊥a′，则a、b与a′、b′的公垂线分别为c、c′，且线段AB、A′B′的长度分别是a、b与a′、b′之间的距离．对两条异面直线的距离，我们可以应用类似的方法先定义它们的公垂线．定义：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线．师：根据定义，思考问题．问题1：和两条异面直线都垂直的直线有多少条？答：无数条．因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义．问题2：两条异面直线的公垂线有几条？答：有且只有一条（出示正方体骨架模型），能和AA′、 B′C′都垂直相交的只有A′B′一条；能和AB与面A′C′内过点A′的直线都垂直相交的直线只有一条AA′．师：有了两条异面直线公垂线的概念，我们就可以定义两条异面生成的距离．定义：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离．如图1－52中的线段AB的长度就是异面直线a、b间的距离．下面，我们来完成练习和例题．（四）练习（1）图中哪些棱所在的直线与直线BA′例设图1－53中的正方体的棱长为a，成异面直线？（2）求直线BA′和CC′所成的角的大小．（3）求异面直线BC和AA′的距离．解：（l）∵A′平面BC′，而点B，直线CC′都在平面BC′∴直线BA′与CC′是异面直线．同理，直线C′D′、D′D、DC、AD、B′C′都和直线BA′成异面直线．（2）∵CC′∥BB′，∴BA′和BB′所成的锐角就是BA′和CC′所成的角．∵=∠A′BB′=45°，∴BA′和CC′所成的角是45°．（3）∵AB⊥AA′，AB∩AA′=A，又∵AB⊥BC，AB∩BC=B，∴AB是BC和AA′的公垂线段．∵AB=a，∴BC和AA′的距离是a．说明：本题是判定异面直线，求异面直线所成角与距离的综合题，解题时要注意书写规范．【练习】（P．16练习1、3．）1．（1）两条直线互相垂直，它们一定相交吗？答：不一定，还可能异面．（2）垂直于同一直线的两条直线，有几种位置关系？答：三种：相交，平行，异面．3．画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线．解：（五）总结本节课我们学习了两条异面直线所成的角，以及两条异面直线间的距离和有关概念．并学会如何求两条异面直线所成角及距离，懂得将其转化为平面几何问题来解决．五、作业P．17-18中9、10．。

§2.2.1 直线与平面平行的判定一、教学目标： 1、知能目标（1）理解并掌握直线与平面平行的判定定理；（2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力； 2、情感目标（1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性； （2）让学生了解空间与平面互相转换的数学思想。

二、教学重点、难点重点、难点：直线与平面平行的判定定理及应用。

三、学法与教学用具1、学法：学生借助实例，通过观察、思考、交流、讨论等，理解判定定理。

2、教学用具：多媒体 四、教学思想 （一）课题导入引导学生观察身边的实物，如教材第55页观察题：封面所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？如何去确定这种关系呢？这就是我们本节课所要学习的内容。

（二）研探新知 1、投影问题直线a 与平面α平行吗？若α内有直线b 与a 平行， 那么α与a 的位置关系如何？ 是否可以保证直线a 与平面α平行？学生思考后，师生共同探讨，得出以下结论 直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：a αb β => a ∥α a ∥b2、例1 引导学生思考后，师生共同完成该例是判定定理的应用，让学生掌握将空间问题转化为平面问题的化归思想。

αaα a b（三）自主学习、发展思维练习：教材第61页 1、2题让学生独立完成，教师检查、指导、讲评。

（四）归纳整理1、同学们在运用该判定定理时应注意什么？2、在解决空间几何问题时，常将之转换为平面几何问题。

（五）作业1、教材第67页习题2.2 A组第3题；2、预习：如何判定两个平面平行？§2.2.2 平面与平面平行的判定一、教学目标：1、知能目标理解并掌握两平面平行的判定定理。

2、情感目标进一步培养学生空间问题平面化的思想。

二、教学重点、难点重点：两个平面平行的判定。

难点：判定定理、例题的证明。

三、学法与教学用具1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考、探讨，教师予以启发，得出两平面平行的判定。

人教版高中数学《直线平面简单几何体》第一章教案教学目标：1. 理解直线的概念及其性质；2. 掌握直线的表示方法；3. 学会直线的方程求解方法。

教学重点：直线的概念及其性质，直线的表示方法。

教学难点：直线的方程求解方法。

教学准备：教材、黑板、粉笔、投影仪。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾初中阶段学过的直线知识，如直线的定义、性质等；2. 提问：你们认为直线有什么特点？直线如何在平面内表示？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解直线的概念及其性质，如直线的长度、直线上的点等；2. 介绍直线的表示方法，如用字母表示直线、用方程表示直线等；3. 讲解直线的方程求解方法，如点斜式、截距式等。

三、例题解析（10分钟）1. 给出例题，让学生尝试解答；2. 讲解解答过程，引导学生理解并掌握直线的方程求解方法；3. 让学生进行练习，及时纠正错误并解答疑问。

四、课堂小结（5分钟）2. 强调直线的方程求解方法的重要性。

五、课后作业（课后自主完成）1. 复习本节课所学内容，整理笔记；2. 完成课后练习题，巩固所学知识。

教学反思：本节课通过讲解直线的概念、性质和表示方法，让学生掌握了直线的方程求解方法。

在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时解答疑问，提高学生的学习兴趣和积极性。

人教版高中数学《直线平面简单几何体》第六章教案教学目标：1. 理解平面的概念及其性质；2. 掌握平面的表示方法；3. 学会平面的方程求解方法。

教学重点：平面的概念及其性质，平面的表示方法。

教学难点：平面的方程求解方法。

教学准备：教材、黑板、粉笔、投影仪。

教学过程：六、导入（5分钟）1. 引导学生回顾初中阶段学过的平面知识，如平面的定义、性质等；2. 提问：你们认为平面有什么特点？平面如何在空间内表示？七、新课讲解（15分钟）1. 讲解平面的概念及其性质，如平面的长度、平面上的点等；2. 介绍平面的表示方法，如用字母表示平面、用方程表示平面等；3. 讲解平面的方程求解方法，如点法式、叉积式等。

第九章直线平面简单几何体教材分析一、教学内容与课时安排本章11小节，教学时间约需36课时，具体分配如下（仅供参考）：9．1平面的基本性质约3课时9．2空间直线约5课时9．3直线与平面平行的判定与性质约3课时9．4直线和平面垂直的判定与性质约4课时9．5两个平面平行的判定与性质约3课时9．6两个平面垂直的判定与性质约3课时9．7棱柱约4课时9．8棱锥约2课时研究性课题：多面体欧拉定理的发现约2课时9．9球约4课时小结与复习约3课时二、教学内容考试内容：平面及其基本性质.平面图形直观图的画法.平行直线.对应边分别平行的角.异面直线所成的角.异面直线的公垂线.异面直线的距离.直线和平面平行的判定与性质.直线和平面垂直的判定与性质.点到平面的距离.斜线在平面上的射影.直线和平面所成的角.三垂线定理及其逆定理.平行平面的判定与性质.平行平面间的距离.二面角及其平面角.两个平面垂直的判定与性质.多面体.正多面体.棱柱.棱锥.球.三、考试要求：(1)掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图.能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形.能够根据图形想像它们的位置关系.(2)掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理.掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.(3)掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理.掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握三垂线定理及其逆定理.(4)掌握两个平面平行的判定定理和性质定理.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念.掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理.(5)会用反证法证明简单的问题.(6)了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念.(7)了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图.(8)了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图.(9)了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式.四、立体几何内容和结构的特征一、增添了富有创新意义的新内容教材吸取了以往课程、教材内容改革中一贯采用的“精简、增加、渗透”等成功经验，本着“基础性、全面性、文化性、发掘性、主体性、开放性和实践性”等基本思想，融入了体现现代教学意识的新的教学观和学习观，更新了教材的许多内容。

第九章直线平面简单几何体(B)教材分析本章共分四大节11小节，教学时间约需36课时，具体分配如下（仅供参考）：空间的直线和平面9．1平面的基本性质约3课时9．2空间的平行直线与异面直线约2课时9．3直线与平面平行、平面与平面平行约2课时9．4直线和平面垂直约4课时空间向量9．5空间向量及其运算约5课时9．6空间向量的直角坐标及其运算约3课时夹角和距离9．7直线与平面所成的角和二面角约3课时9．8距离约2课时简单多面体和球9．9棱柱和棱锥约4课时9．10研究性课题：多面体欧拉定理的发现约2课时9．11球约3课时小结与复习约3课时一、内容与要求9.1节，平面的基本性质共4个知识点：平面的表示法、平面的基本性质、公理的推论、空间图形在平面上的表示方法这一小节是整章的基础通过平面基本性质及其推论的学习使学生对平面的直观认识上升到理性认识教师应该认识到培养学生的空间想象力主要是通过对图形性质的学习，使学生对图形的直观认识上升到理性认识，建立空间图形性质的正确概念，这样才能学好立体几何为了形成学生的空间观念，这一小节通过观察太阳(平行)光线照射物体形成影子的性质来学习直观图的画法先直观地了解平行射影的性质，这样就可正确地指导学生画空间图形这小节教学要求是，掌握平面的基本性质，直观了解空间图形在平面上的表示方法，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图和长方体、正方体的直观图9.2节共有两个知识点，平行直线、异面直线以平行公理和平面基本性质为基础进一步学习平行直线的性质，把平行公理和平行线的传递性推广到空间并引出平移概念，了解了平移的初步性质在这一节还由直线平行的性质学习异面直线及其夹角的概念要求学生正确掌握空间平行直线性质和异面直线及其夹角的概念，这样就为学生学习向量和空间图形的性质打下了基础9．3节有两个知识点，直线与平面和平面与平面平行，直线与平面、平面与平面平行特征性质这也可看作平行公理和平行线传递性质的推广直线与平面、平面与平面平行判定的依据是线、线平行这些平行关系有着本质上的联系平行平面的传递性在练习中出现，学生做完练习，教师可加以总结让学生掌握这一性质通过教学要求学生掌握线、面和面、面平行的判定与性质这两个平行关系是下一大节学习共面向量的基础前面3节主要讨论空间的平行关系，其中平行线的传递性和平行平面的性质是这三小节的重点9．4节包括两个知识点：直线和平面垂直及正射影和三垂线定理空间除平移和平行射影的性质外，第二个重要性质就是空间的镜面对称直线与平面的垂直的特征性质是研究空间对称性的基础细心分析直线和平面判定定理的证明过程就可以看到，证明的过程就是由平面的轴对称转换为空间的镜面对称的过程这一小节要特别重视判定定理的教学，要向学生指出定理证明过程的本质三垂线定理是由直线和平面垂直判定定理得出的一个最重要的空间图形的性质，在传统几可学教育中这个定理占有极重要的地位，在这里，我们只重视概念的教学，减弱围绕三垂线定理的解题训练这是因为我们有更有效的向量工具处理空间的垂直问题这一小节的教学要求是，掌握直线和平面垂直的概念，掌握直线和平面垂直的判定定理，掌握三垂线定理及逆定理这里的“掌握”与9(A)的要求不同主要是理解定理的本质和直接应用不要进行大量的解题训练的教学这样就可减少课时，以加强空间向量的教学第二大节空间向量，主要是学习空间向量及其在立体几何中的初步应用本大节共分2小节9．5节，空间向量及其运算共有4个知识点：空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量的分解定理、两个向量的数量积这一节是全章的重点，有了第一大节空间平行概念的基础，我们就很容易把平面向量及其运算推广到空间向量由于本教材学习空间向量的主要目的是，解决一些立体几何问题，所以例习题的编排也主要是立体几何问题本小节首先把平面向量及其线性运算推广到空间向量学生已有了空间的线、面平行和面、面平行概念，这种推广对学生学习已无困难但仍要一步步地进行，学生要时刻牢记，现在研究的范围已由平面扩大到空间一个向量已是空间的一个平移，两个不平行向量确定的平面已不是一个平面，而是互相平行的平行平面集，要让学生在空间上一步步地验证运算法则和运算律这样做，一方面复习了平面向量、学习了空间向量，另一方面可加深学生的空间观念当我们把平面向量推广到空间向量后，很自然地要认识空间向量的两个最基本的子空间：共线向量和共面向量把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间然后由这两个定理推出空间直线和平面的向量表达式有了这两个表达式，我们就可以很方便地使用向量工具解决空间的共线和共面问题在学习共线和共面向量定理后，我们学习空间最重要的基础定理：空间向量基本定理，这个定理是空间几何研究数量化的基础有了这个定理空间结构变得简单明了，整个空间被3个不共面的基向量所确定空间—个点或一个向量和实数组(x，y，z)建立起一一对应关系本节的最后一个知识点是，两个向量的数量积由平面两个向量的数量积推广到空间最重要的是让学生建立向量在轴上的投影概念为了减轻教学难度，内积的几个运算性质教材中没有证明学生基础好的学校可在教师的指导下，由学生自己证明9．6节有两个知识点：向量和点的直角坐标及向量的坐标运算、夹角和距离公式这一小节，我们在直角坐标系下，使向量运算完全坐标化去掉基底，使空间一个向量对应一个三维数组，这样使向量运算更加方便在上一小节已学习向量运算的基础上，把向量运算完全坐标化，对学生已不会感到抽象和困难在第2个知识点中，我们给出空间解析几何两个最基本的公式：夹角和距离公式在这个知识点中，作为向量坐标计算的例题，还顺便证明了直线与平面垂直的“性质定理”通过解一些立体几何的应用题，就可为学生今后进一步学习空间解析几何、高维向量和矩阵打下基础要求学生理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算，掌握两点的距离公式掌握直线垂直于平面的性质定理本章第三大节，夹角和距离共有2小节9．7节有三个知识点：直线与平面所成的角、二面角、两平面垂直的性质9．8节主要学习点到平面的距离，直线到平面的距离，平面到平面的距离，异面直线的距离和计算这一大节要求学生掌握直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念并能灵活运用勾股定理、正余弦定理和向量代数方法计算有关的角和距离了解异面直线距离的概念和计算在学生已初步掌握向量工具的基础上，可用向量工具解决立体几何中的一些较难的问题，一方面可进一步显示向量工具的威力，另外也为解决空间的度量问题找到了通法，减少学生学习度量问题的困难过去学生解这类问题，主要方法是构造三角形，应用勾股定理、余弦定理和正弦定理求解这种解法需要对图形进行平移、投影等转化技能，而且不同的问题需要不同的技巧实践证明，没有向量工具，学生求解这类问题比较困难有了向量运算工具，很多较难的空间计算问题，就有了统一的方法求解、但如果全用向量处理夹角相距离问题，虽有通法，但有时在解决一些较难问题时，运算量较大并需要一定的技巧，学生掌握这些技能同样会有困难所以在教材具体编写时，不是都用向量计算方法，有些直接使用勾股定理和三角能解决的问题，就不再使用向量方法了本章第四大节是简单多面体和球，共分4小节简单几何体，是指最基本、最常见的几何体按照大纲的规定，本章中有关简单几何体只讨论棱柱、棱锥、多面体和正多面体、球这些内容分别构成本大节的4个小节由于初中几何已学过圆柱和圆锥的有关内容，台体(圆台、棱台)又可以通过从大锥体上截去小锥体而得出，为节约课时以便实现高中数学教学内容的更新，本章中的简单几何体比原《立体几何》(必修本)在内容上精简幅度较大，删去了圆柱、圆锥、圆台、棱台等，只保留了最基本的多面体(棱柱和棱锥)、正多面体的有关概念、球等9．9节，有四个知识点：棱柱、棱锥、棱柱和棱锥的直观图以及正多面体的有关概念关于棱柱和棱锥的教学内容都包括有关概念、性质等内容，直观图的画法仅学习直棱柱和正棱锥的直观图9．10节，这一版修定为研究性课题通过研究欧拉定理的发现过程，让学生了解欧拉公式及其简单应用，扩大学生的知识面，培养学生学习数学的兴趣9．11节，有两个知识点：球的有关概念、性质和球的体积、表面积本章通过“分割，求近似和，化为准确和”的方法，即运用“化整为零，又积零为整”的极限思想，对于球的体积和表面积公式进行了推导，这种处理方法与原《立体几何》(必修本)有较大变化教学中对这两公式的推导，只要求了解其基本思想方法即可，重点在于掌握公式本身；而不必要求学生一定要掌握公式推导的细节这一大节的内容，既是对简单几何体基础知识的重点讨论，又是对前面三大节，空间图形的基本性质和向量代数等相关知识的综合运用二、教学目标（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图；能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系（2）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理；了解三重线定理及其逆定理（3）理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘（4）了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算（5）掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式（6）理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念（7）掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念（对于异面直线的距离，只要求会利用给出的公垂线计算距离）；掌握直线和平面垂直的性质定理；掌握两个平面平行的判定定理和性质定理；掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理（8）了解多面体的概念，了解凸多面体的概念（9）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图（10）了解棱锥的慨念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图（11）了解正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式（12）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式（13）通过空间图形的各种位置关系间的教学，培养空间想象能力，发展逻辑思维能力，并培养辩证唯物主义观点三、本章的特点（一）加强三种数学语言功能的发挥，使教材更有利于培养学生的空间想象能力数学语言是在数学思维中产生和发展的，是数学思维不可缺少的重要工具通常按数学语言所使用的主要词汇，将数学语言分为三种：文字语言、符号语言和图象语言几种语言各有特点，发挥着不同的功能，又互相依存，互相制约1．从图象语言入手，有序地建立三种数学语言的联系当代著名数学家、数学教育家G．波利亚将一般数学问题的解决分为四个水平，即图象水平，联系水平，数学水平和探索水平从数学语言的角度说，这里的第一种水平，使用的主要是图象词汇；第二种水平，是将所考察的对象及表示它的图象词汇用文字或符号表示出来，建立几种词汇间的联系；第三种水平，是将各种数学词汇发展成以数学理论为“句法”的数学语句；第四种水平，是由数学语句发展成数学文章，即给出问题的数学解答并由此做出进一步探索在本章中，上述四种水平的循序发展尤为典型．立体图形是立体几何研究的对象，对它的一般描述表示是按“三维对象（几何模型）--图形--文字--符号”这种程序进行的其中，图形是将考察对象第一次抽象后的产物，是首先使用的数学词汇，也是形象、直观的语言完成了由对象到图形的飞跃，才有可能达到后面的水平因此，加强图形的运用十分重要本章编写中首先强调图象语言，适当增加插图的数量，提高插图的质量，在图形的典型性、简明性、直观性、概括性及趣味性等方面下功夫，力求充分发挥其作用文字语言是对图形的描述、解释与讨论，符号语言则是对文字语言的简化和再次抽象显然，首先建立的是图象语言，其次是文字语言，再次是符号语言，最后形成的应是对于对象的三种数学语言的综合描述，即整体认识有了这种整体认识，三种语言达到融汇贯通的程度，能根据需要由一种描述转化为其他描述，就能基本把握对象了对于对象的文字和符号描述，必须紧密联系图形，使抽象与直观结合起来，在图形的基础上发展其他数学语言．本章在阐述定义、定理、公式等重要内容时，先给出图形再以文字和符号描述，注意综合运用几种数学语言，使其优势互补，以期能收到更好的效果 2．做好由模型到图形的过渡立体几何的一个主要难点，是要由画在二维平面上的图形想象出三维空间中的几何关系对此,即使学习了较长时间立体几何，遇到复杂些的图形也有一定难度对于初学立体几何的高中生，把平面上的图形在头脑中立体化困难就更大克服这些困难的一个有效办法，就是做好由模型到图形的过渡要增加一些由模型画图形的训练，例如画简单几何体的练习可以提前些通过观察实物或模型并用几何图形表示它们，熟悉空间各种线面关系的表示方法，对于看图是非常重要的这应作为学习立体几何的图象语言的起始内容为此，本章在练习和习题中安排了一些“观察图形后填空”或“用符号表示语句并画出图形”类型的题目，希望教学中能重视发挥它们的作用3．注意两个方向的转化培养空间想象力，有两个不同方向的转化问题首先是“图形---文字--- 符号”的转化，即由图形出发，弄清画在平面（书页、黑板等）上的立体图形所表示的空间几何关系，以及未明确表示的隐蔽关系，然后将它们用文字语言加以描述，再以数学符号概括表示，将“有形”的信息变为“无形”的形式其次是“符号---文字---图形”的转化，即理解符号或文字所表达的空间几何关系，并将它们用图形直观地表示出来，化“无形”为“有形”本章注意了由不同方向对图形与文字、符号间转化的设计安排，特别在前面部分的练习题和习题中增加了插图的数量，并且加强这种转化的训练这样做既有利于第一种转化,同时也为实现第二种转化做了必要准备4.文字语言要准确简明本章的语言叙述力求准确简明（1）关于平面的公理2的叙述：“如果两个平面*有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条直线”（教科书中加页边注：* 在本章中，没有特别说明的“两个平面”，均指不重合的两个平面）由于教材在第1章专门安排了“集合”的内容，在第9章的序言中又强调了“空间图形是空间中点的集合”，能够结合学生已学的集合概念，简单准确清楚地说明问题（2）关于两点间球面距离的叙述如下：“在球面上，两点之间的最短连线，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧我们把这段弧的弧长叫做两点的球面距离”5．符号语言要合理、简洁、易用、相对规范使用符号的目的在于带来方便，符号要合理例如，表示“平面α和β的交线为a”和“点p 在直线a上，a在平面α内”，要根据点是基本元素，直线、平面是点的集合的道理，分别使用∩、∈、，这些符号不能随意使用，教学中有必要向学生反复交代符号要简洁，在不会引起混乱的前提下可适当简化．符号要易用，如果一下子出现过多符号会给使用带来不便，则不必强求符号化．符号的使用要有通用性，因而应相对规范．（二）用“分割，求和，逼近”法对球的两个公式进行推导，突出相应的数学思想教材在处理球面积、球体积公式推导时，（1）先讲球体积公式，后讲球的表面积公式，讲后者时利用前者，而且推导它们的基本思想方法同出一辙（2）以求几何度量公式时具有一般性的数学思想为指导，用“分割，求近似和，化为精确和”的方法推导公式同时注意适合高中生的水平，既要使学生理解公式推导的基本思想方法，又要有别于正规地使用极限、微积分等有关概念及公式法则的严格推导具体处理方法是：求球体积公式时，将半球切片，用多个圆柱体的和逼近球；求球表面积公式时，将球分为多个以球心为顶点的小锥体，用它们的和逼近球，通过比较体积得出表面积公式本章推导这两公式时，力图进行在渗透近代数学思想方法上下功夫，在教学要求上应重在掌握公式本身和理解公式推导的基本思路，而不要过于强调掌握具体推导过程四、教学中应注意的几个问题（一）抓住重点，克服难点，打好基础，注重培养学生的空间想象能力本章教材的重点，是平面的基本性质、空间直线的位置关系、直线与平面之间及两平面之间的平行和垂直关系，即第一大节的主要内容这是研究立体几何问题的重要基础掌握好上述内容，就抓住了立体几何中最根本的内容，其他部分就容易学习了因此，对于本章前面部分的教学，应注意讲求实效，让学生切实学好这些最基础的内容，并能在头脑中建立相应的知识体系，使知识条理化使学生建立正确的空间观念，对图形的认识上实现由平面到立体的过渡，是本章教学中的难点为克服这一难点，可注意以下几点：1．联系实际提出问题和引入概念，合理运用教具，加强由模型到图形，再由图形返回模型的基本训练由对照模型画直观图入手，逐步培养由图形想象出它所对应的模型的形状及其中各元素的空间几何位置关系的能力2．体会本章“从图形入手，有序地建立图形、文字、符号这三种数学语言的联系”的编写意图，通过适当的练习训练提高学生使用这些语言的能力长期的教学实践证明，由直观的图形到抽象的文字、符号，对于学习几何是极其重要的第一认识过程只有完成好这一过程的认识，才能升华到由抽象的文字、符号返回直观图形的第二认识过程教学中应研究学生的认识规律，按照“先由具体图形到抽象文字和符号，再由抽象文字和符号返回具体图形”的顺序，让学生掌握三种数学语言的综合运用能力 3．联系平面图形的知识，利用对比、引申、联想等方法，找出平面图形和立体图形的异同以及两者的内在联系，逐步培养学生把已有的对平面图形认识上升为对立体图形的认识，以及把立体图形分解为平面图形、利用平面几何基础解决立体几何问题的能力（二）结合观察分析图形能力的训练，提高学生的逻辑思维能力本章研究的是立体图形，所涉及的问题包括画图、计算、证明等，其中证明问题占较重要的地位进一步发展学生的逻辑思维能力，是教学目的之一由于本章讨论的对象是空间的几何元素，所以有关推理证明必须建立在观察分析立体图形的基础上完成这样的问题既需要空间想象能力，又需要逻辑思维能力，应该说是两种能力的综合运用本章所用的证明方法，主要是通常的直接证法，此外还用到反证法以及同一法的思想，这些证明方法都是根据具体命题的需要而选择采用的，证法简明是选择的主要标准教学中应要求学生会用反证法证明简单的问题，至于同一法思想的应用，只限于课本的程度，主要是解决有关唯一性的问题，不要求出现同一法的名词，也不过多地训练学生用同一法证题本章对球的两个公式的推导，具体处理方法包含较深刻的变化思想，涉及“直与曲”、“近似与准确”、“有限与无限”等的转化，学生学习这些内容时认识上要有一个新的飞越，所以有一定难度．我认为：适当地引导学生认识公式的来龙去脉，有利于他们理解公式及其产生过程，提高对数学思想方法的认识，符合他们的认识水平和求知欲望．只要在教学中处理得当，注意深入浅出，从特殊归纳一般，对于高中学生来说克服这些障碍是完全可能的（三）注意知识体系的整理总结本章第一大节以空间的“线线、线面、面面”之间的位置关系为主要线索展开，其中“平行”和“垂直”是两种重要的位置关系，这样安排可以被认为是按几何元素纵向深入研究．学习完该大节后，还可以变换一个角度，以“平行”和“垂直”为线索，对所学内容进行横向整理总结这种横纵结合的学习方法有利于对知识的认识更系统、更深入，运用起来更灵活。

2019-2020年高考数学复习 第72课时第九章 直线、平面、简单几何体-空间直线名师精品教案 新人教A 版 课题：空间直线一．复习目标：1．了解空间两条直线的位置关系．2．掌握两条直线所成的角和距离的概念，会计算给出的异面直线的公垂线段的长．二．课前预习：1．下列四个命题：（1）分别在两个平面内的两条直线是异面直线（2）和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条（3）和两条异面直线都相交的两条直线必异面（4）若与是异面直线，与是异面直线，则与也异面其中真命题个数为 （ D ）3 2 1 02．在正方体中，、分别是棱和的中点，为上底面的中心，则直线与所成的角为（ A ）300 450 6003．在棱长为的正四面体中，相对两条棱间的距离为__ _．（答案：）4．两条异面直线、间的距离是1cm ，它们所成的角为600，、上各有一点A 、B ，距公垂线的垂足都是10cm ，则A 、B 两点间的距离为_______．答案：三．例题分析：例1．已知不共面的三条直线、、相交于点，，，，，求证：与是异面直线． 证一：（反证法）假设AD 和BC 共面，所确定的平面为α，那么点P 、A 、B 、C 、D 都在平面α内，∴直线a 、b 、c 都在平面α内，与已知条件a 、b 、c 不共面矛盾，假设不成立，∴AD 和BC 是异面直线。

证二：（直接证法）∵a ∩c=P ，∴它们确定一个平面，设为α，由已知C 平面α，B ∈平面α，AD 平面α，BAD ，∴AD 和BC 是异面直线。

例2． 一条长为的线段夹在互相垂直的两个平面、之间，AB与所成角为，与所成角为，且，，，、是垂足，求（1）的长；（2）与所成的角 解：（1）连BC 、AD ，可证AC ⊥β，BD ⊥α，∴ABC=300，∠BAD=450 ，Rt △ACB 中，BC=AB ·cos300= ， 在Rt △ADB 中，BD=AB ·sin450=在Rt △BCD 中，可求出CD=1cm （也可由AB 2=AC 2+BD 2+CD 2-2AC ·BD ·cos900求得）（2）作BE//l ，CE//BD ，BE ∩CE ，则∠ABE 就是AB 与CD 所成的角，连AE ，由三垂线定理可证BE ⊥AE ，先求出AE=，再在Rt △ABE 中，求得∠ABE=600。

高中人教a版数学全部教案
教材：人教版高中数学A
课程目标：本章学习了解直线，平面，曲线，曲面的基本概念及其相互关系。

第一课时：直线的基本概念
1. 导入：通过实际生活中的例子引入直线的概念，让学生了解直线的特征。

2. 学习：讲解直线的定义，性质和方程，引导学生观察直线的性质。

3. 练习：完成练习题，巩固直线的基本概念和性质。

第二课时：平面的基本概念
1. 导入：通过三维空间的例子引入平面的概念，让学生了解平面的特征。

2. 学习：讲解平面的定义，性质和方程，引导学生观察平面的性质。

3. 练习：完成练习题，巩固平面的基本概念和性质。

第三课时：曲线的基本概念
1. 导入：通过各种曲线的图像引入曲线的概念，让学生了解曲线的特征。

2. 学习：讲解曲线的定义，性质和方程，引导学生观察曲线的性质。

3. 练习：完成练习题，巩固曲线的基本概念和性质。

第四课时：曲面的基本概念
1. 导入：通过球，圆柱，圆锥等实体的例子引入曲面的概念，让学生了解曲面的特征。

2. 学习：讲解曲面的定义，性质和方程，引导学生观察曲面的性质。

3. 练习：完成练习题，巩固曲面的基本概念和性质。

总结：通过本章的学习，让学生了解直线，平面，曲线，曲面的基本概念和性质，培养学生的数学思维和观察能力。

OPMDBADOCBAP课题：小结与复习(二)教学目的：1．在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用．2．在解决有关空间角的问题的过程中，进一步巩固关于直线和平面的平行垂直的性质与判定的应用，掌握作平行线(面)和垂直线(面)的技能；通过有关空间角的问题的解决，进一步提高学生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力．3．通过教学使学生掌握基本的立体几何解题方法和常用解题技巧，发掘不同问题之间的内在联系，提高解题能力．4．在学生解答问题的过程中，注意培养他们的语言表述能力和“说话要有根据”的逻辑思维的习惯、提高思维品质．使学生掌握化归思想，特别是将立体几何问题转化为平面几何问题的思想意识和方法，并提高空间想象能力、推理能力和计算能力．5．使学生更好地理解多面体与旋转体的体积及其计算方法，能够熟练地使用分割与补形求体积，提高空间想象能力、推理能力和计算能力授课类型：练习课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、讲解范例：例1已知正三棱锥P ABC-的底面边长为a，过BC作截面DBC垂直侧棱PA于D，且此截面与底面成30o的二面角，求此三棱锥的侧面积．解：作PO⊥底面ABC，垂足为O，则O是ABC∆中心，连结AO并延长交BC与M，连结,PM DM，则AM BC⊥，PM BC⊥，∴BC⊥面AMP，BC DM⊥，∴AMD∠是二面角D BC A--的平面角，30AMD∠=o∵PA⊥面DBC，PA DM⊥，60DAM∠=o，tan603PO AO a a=⋅==o，在Rt POM∆中，6PM a==，2132S a=⨯=侧．例2．已知正三棱锥的高为3cm，一个侧面三角形的面积为2，求这个正三棱锥的侧面和底面所成的二面角解：设正三棱锥P ABC-，高3PO cm=，2PABS∆=，y作OD AB ⊥于D ，连接PD ， 由三垂线定理知PD AB ⊥，PDO ∠为所求的侧面和底面所成的二面角的平面角， 设,OD x PD y ==，则229y x -=，又6OD AB =， ∴AB =．12AB PD ⋅==6xy =． 由2296y x xy ⎧-=⎨=⎩，得12x y =，1cos 2OD x PDO PD y ∠===，∴所求二面角为60o ． 例3．如图，正四棱锥S ABCD -中，所有棱长都是2，P 为SA 的中点，（1）求二面角B SC D --的大小； （2）如果点Q 在棱SC 上，那么直线BQ 与请说明理由解：（1）取SC 的中点E ，连结,BE DE ，SCB SCD ∆∆Q 与是正三角形，∴ ,BE SC DE SC ⊥⊥，∴BED ∠是二面角B SC D --的平面角，在BED ∆中，2223381cos 263BE DE BD BED BE DE +-+-∠===-⋅， ∴1arccos3BED π∠=-， 故二面角B SC D --的大小为1arccos3π-． （2）设AC BD O =I ，以射线,,OA OB OS 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设CQ x =，则(0,B D，)PQ x x ，(()2222DP BQ x x ==-u u u r u u u r ，30DP BQ x ⋅=-≠u u u r u u u r ([0,2])x ∈Q ，∴BQ 与PD 不可能垂直说明：证明线线垂直可以建系证明或用三垂线定理证明例4．已知三棱锥A BCD -中，90BCD ∠=o，1BC CD ==，AB ⊥平面BCD ，60ADB ∠=o ，,E F 分别是,AC AD 上的动点，且(01)AE AFAC ADλλ==<<， （Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； （Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？ 证（Ⅰ）∵AB ⊥平面BCD ，∴AB CD ⊥，∵CD BC ⊥，且AB BC B =I ，∴CD ⊥平面ABC ，又∵AE AFAC ADλ==（01λ<<）， ∴不论λ为何值，恒有//EF CD ，∴EF ⊥平面ABC ，EF ⊂平面BEF ，∴不论λ为何值恒有平面BEF ⊥平面ABC ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE EF ⊥，又要平面BEF ⊥平面ACD ， ∴BE ⊥平面ACD ，∴BE AC ⊥，∵1BC CD ==，90BCD ∠=o，60ADB ∠=o， ∴2,2tan 606BD AB ===o ，∴227AC AB BC =+=，由2AB AE AC =⋅得7AE =， ∴67AE AC λ==， 故当76=λ时，平面BEF ⊥平面ACD ．例5．如图，在棱锥P ABCD -中，侧面PDC 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是菱形，且60ADC ∠=o ，M 为PB 的中点，（Ⅰ）求证：PA CD ⊥；（Ⅱ）求二面角P AB D --的大小； （Ⅲ）求证：平面CDM ⊥平面PAB ．分析：(Ⅲ)中平面CDM 与平面PAB 的公共棱不明显，因而可证明其中一个平面内的某一直线垂直于另一个平面．证明：（Ⅰ）取CD 中点G ，连结,PG AG ， ∵侧面PDC 是边长为2的正三角形，∴PG CD ⊥， ∵侧面PDC ⊥底面ABCD ，∴PG ⊥底面ABCD ，在DGA ∆中，60ADC ∠=o，112DG DA ==， ∴GA CD ⊥，由三垂线定理知PA CD ⊥．（Ⅱ）∵PA CD ⊥，GA CD ⊥，PA GA A =I ，∴CD ⊥平面PAG ，∵//A CD ，∴AB ⊥平面PAG ，∴PAG ∠是二面角P AB D --的平面角，∵PD AD =，∴Rt PGD Rt AGD ∆≅∆，PG AG =，45GAP ∠=o， ∴二面角P AB D --为45o．（Ⅲ）取PA 中点N ，连结MN ，则//MN AB ，又//A CD ，∴//MN CD ， 又∵N ∈平面CDM ，DN ⊂平面CDM ，PD AD =，∴PA DN ⊥， 又∵PA CD ⊥，且CD DN D =I ，PA ⊥平面CDM ，PA ⊂平面PAB ， ∴平面CDM ⊥平面PAB ．二、小结 ：棱锥平行于底面的截面性质结论可适当推广：平行于棱锥底面的截面截得的棱锥与原棱锥的对应面积（底面，侧面）之比，等于对应线段（高、侧棱等）的平方比时，必须计算对应边上的高，因此要寻找斜高，底面三角形的高，截面三角形的高的相互关系，这种关系应通过棱锥的性质来体现 三、课后作业： 四、板书设计（略）五、课后记：。

平面的基本性质（二）平面的基本性质是立体几何中演绎推理的逻辑依据．以平面的基本性质证明诸点共线、诸线共点、诸点共面是立体几何中最基础的问题，既加深了对平面基本性质的理解，又是今后解决较复杂立体几何问题的基础．一、素质教育目标（一）知识教学点掌握利用平面的基本性质证明诸点共面、诸线共面、三点共线、三线共点问题的一般方法．1．证明若干点或直线共面通常有两种思路（1）先由部分元素确定若干平面，再证明这些平面重合，如例1之①；（2）先由部分元素确定一个平面，再证明其余元素在这平面内，如例1之②．2．证明三点共线，通常先确定经过两点的直线是某两个平面的交线，再证明第三点是这两个平面的公共点，即该点分别在这两个平面内，如例2．3．证明三线共点通常先证其中的两条直线相交于一点，然后再证第三条直线经过这一点，如练习．（二）能力训练点通过严格的推理论证，培养逻辑思维能力，发展空间想象能力．（三）德育渗透点通过对解题方法和规律的概括，了解个性与共性．特殊与一般间的关系，培养辩证唯物主义观点，又从有理有据的论证过程中培养严谨的学风．二、教学重点、难点、疑问及解决办法1．教学重点（1）证明点或线共面，三点共线或三线共点问题．（2）证明过程的书写格式与规则．2．教学难点（1）画出符合题意的图形．（2）选择恰当的公理或推论作为论据．3．解决办法（1）教师完整板书有代表性的题目的证明过程，规范学生的证明格式．（2）利用实物，摆放成符合题意的位置．三、学生活动设计动手画图并证明．四、教学步骤（一）明确目标1．学会审题，根据题意画出图形，并写“已知、求证”．2．论据正确，论证严谨，书写规范．3．掌握基本方法：反证法和同一法，学习分类讨论．（二）整体感知立体几何教学中，对学生进行推理论证训练是发展学生逻辑思维能力的有效手段．首先应指导学生学会审题，包括根据题意画出图形，并写出已知、求证．其次，推理的依据是平面的基本性质，要引导学生确定平面．由于学生对立体几何中的推理颇不熟练，因此宜采用以启发为主，边讲边练的教学方式．教师在讲解时，应充分展开思维过程，培养学生分析空间问题的能力，在板书时，应复诵公理或推论的内容，加深对平面基本性质的理解．（三）重点、难点的学习与目标完成过程A．复习与讲评师：我们已学习了平面的基本性质，那么具备哪些条件时，直线在平面内？（生回答公理1，教师板画图1－20示意．）师：具备哪些条件可以确定一个平面？（生4人回答，教师板画图1－21示意．）师：上一节课后布置思考证明推论3，现在请同学们共同讨论这个证明过程．已知：直线a∥b．求证：经过a、b有且只有一个平面．证明：“存在性”．∵a∥b，∴a、b在同一平面α内（平行线的定义）．“唯一性”——在直线a上作一点A．假设过a和b还有一个平面β，则A∈β．那么过b和b外一点A有两个平面α和β．这与推论1矛盾．注：证唯一性，用了“反证法”．B．例题与练习师：先看怎样证几条线共面．例1求证：两两相交而不过同一点的四条直线必在同一平面内．分析：四条直线两两相交且不共点，可能有两种：一是有三条直线共点；二是没有三条直线共点，故而证明要分两种情况．（1）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q．d∩c＝R，a、b、c相交于点O．求证：a、b、c、d共面．证明：∵d∩a＝P，∴过d、a确定一个平面α（推论2）．同理过d、b和d、c各确定一个平面β、γ．∵O∈a，O∈b，O∈c，∴O∈α，O∈β，O∈γ．∴平面α、β、γ都经过直线d和d外一点O．∴α、β、γ重合．∴a、b、c、d共面．注：本题的方法是“同一法”．（2）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q，d∩c＝R，a ∩b＝M，b∩c＝N，a∩c＝S，且无三线共点．求证：a、b、c、d共面证明：∵d∩a＝P，∴d和a确定一个平面α（推论2）．∵a∩b＝M，d∩b＝Q，∴M∈α，Q∈α．∴a、b、c、d四线共面．注：①让学生从实物摆放中得到四条直线的两种位置关系．②分类讨论时，强调要注意既不要重复，又不要遗漏．③结合本例，说明证诸线共面的常用方法．例2如图1－25，已知空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、AD、BC、CD上的点，且EF交GH于P．求证：P在直线BD上．分析：易证BD是两平面交线，要证P在两平面交线上，必须先证P是两平面公共点．已知：EF∩GH＝P， E∈AB、 F∈AD， G∈BC， H∈CD，求证：B、D、P三点共线．证明：∵AB∩BD＝B，∴AB和BD确定平面ABD（推论2）．∵A∈AB，D∈BD，∵E∈AB，F∈AD，∴EF∩GH＝P，∴P∈平面ABD．同理，P∈平面BCD．∴平面ABD∩平面BCD＝BD．∴P∈BD即B、D、P三点共线．注：结合本例，说明证三点共线的常规思路．练习：两个平面两两相交，有三条交线，若其中两条相交于一点，证明第三条交线也过这一点．分析：虽说是证三线共点问题，但与例2有异曲同工之处，都是要证点P是两平面的公共点．已知：如图1-26，α∩β=a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，b∩c＝p．求证：p∈a．证明：∵b∩c＝p，∴p∈b．∵β∩γ＝b，∴p∈β．同理，p∈α．又∵α∩β=a，∴p∈a．师：以上例、习题分别证明了四线共面．三点共线和三线共点问题，这只是证明这类问题中的个例，根据不同的条件有不同的分析问题和解决问题的过程，但也具有一般的思路和方法．除了例1、例2两类问题的常用方法外，本练习是证三线共点问题，也有常用证法（将知识教学点中所列三条用幻灯显示）．（四）总结、扩展本课以练习为主，学习了线共面、点共线，线共点的一般证明方法和分类讨论的思想．证明依据是平面的基本性质，数学方法有反证法和同一法，这也是这一单元的主要证明方法．在证明的书写中，要求推论有据，书写规范．五、布置作业1．课本习题（略）．2．求证：两两相交的三条直线必在同一个平面内．3．已知：△ABC在平面α外，三角形三边AB、AC、BC所在直线分别交α于M、N、R，求证：M、N、R三点共线．4．如图1－27，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别是接AA1、CC1的中点，求证：点D1、E1、F1、B共面．（提示：证明空间若干个点共面，通常先由其中三点确定一个平面，再证明其它的点也在这个平面内．本题先连结D1E并延长交DA延长线于G，连结D1F并延长交DC延长线于H，可证GH是D1、E、F三点确定的平面和平面AC的交线，然后再用平面几何知识证点B在GH上．）六、板书设计。

二面角练习课教学目标1．使学生进一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念；2．使学生掌握求二面角平面角的基本方法，不断提高分析问题和解决问题的能力．教学重点和难点重点：使学生能够作出二面角的平面角；难点：根据题目的条件，作出二面角的平面角．教学设计过程重温二面角的平面角的定义．（本节课设计的出发点：空间图形的位置关系是立体几何的重要内容．解决立体几何问题的关键在于做好：定性分析，定位作图，定量计算，其中定性是定位、定量的基础，而定量则是定位，定性的深化．在面面关系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量归结为平面上角的度量，一般说来，对其平面角的定位是问题解决的关键一步．可是学生往往把握不住其定位的基本思路而导致思维混乱，甚至错误地定位，使问题的解决徒劳无益．这正是本节课要解决的问题．）教师：二面角是怎样定义的？学生：从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角．教师：二面角的平面角是怎样定义的？学生：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．教师：请同学们看下图．如图1：α，β是由l出发的两个半平面，O是l上任意一点，OC α，且OC⊥l；OD β，且OD⊥l．这就是二面角的平面角的环境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角．从中我们可以得到下列特征：（1）过棱上任意一点，其平面角是唯一的；（2）其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；另外，如果在OC上任取一点A，作AB⊥OD，垂足为B，那么由特征（2）可知AB⊥β．突出l，OC，OD，AB，这便是另一特征．（3）体现出一完整的三垂线定理（或逆定理）的环境背影．教师：请同学们对以上特征进行剖析．学生：由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成，所以二面角的定位可化归为“定点”或“定线”的问题．教师：特征（1）表明，其平面角的定位可先在棱上取一“点”．耐人寻味的是这一点可以随便取，但又总是不随便取定的，它必须与问题背影互相沟通，给计算提供方便．（上面的引入力争符合练习课教学的特点．练习是形成技能的重要途径，练习课主要是训练学生良好的数学技能，同时伴随着巩固知识，发展智能和培育情感．特别要注意做到第一，知识的激活．激活知识有两个目的，一是突出了知识中的重要因素；二是强化知识中的基本要素．第二，思维的调理．练习课成功的关键在于对学生思维激发的程度．学生跃跃欲试正是思维准备较好的体现．因此，准备阶段安排一些调理思维的习题，确保学生思维的启动和运作．请看下面两道例题．）例1 已知：如图2，四面体V-ABC中，VA=VB=VC=a，AB=BC=CA=b，VH⊥面ABC，垂足为H，求侧面与底面所成的角的大小．分析：由已知条件可知，顶点V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以连结CH交AB于O，且OC⊥AB，由三垂线定理可知，VO⊥AB，则∠VOC为侧面与底面所成二面角的平面角．（图2）正因为此四面体的特性，解决此问题，可以取AB的中点O为其平面角的顶点，而且使得题设背影突出在面VOC上，给进一步定量创造了得天独厚的条件．特征（2）指出，如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ，那么l必垂直γ与α，β的交线，而交线所成的角就是α-l-β的平面角．（如图3）由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”．例2 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在于搞清折叠前后的“变”与“不变”．如果在平面图形中过A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，则折叠后OA，OE 与BD的垂直关系不变．但OA与OE此时变成相交两线并确定一平面，此平面必与棱垂直．由特征（2）可知，面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角，即为所求二面角的平面角．另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在BC上，所以E点就是A′，这样的定位给下面的定量提供了可能．在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，通过对例2的定性分析、定位作图和定量计算，特征（2）从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，我们可以把构成二面角的两个半平面“摆平”，然后，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角．“平面图形”与“立体图形”相映生辉，不仅便于定性、定位，更利于定量．特征（3）显示，如果二面角α-l-β的两个半平面之一，存在垂线段AB，那么过垂足B作l的垂线交l于O，连结AO，由三垂线定理可知OA⊥l；或者由A作l的垂线交l于O，连结OB，由三垂线定理的逆定理可知OB⊥l．此时，∠AOB就是二面角α-l-β的平面角．（如图6）由此可见，二面角的平面角的定位可以找“垂线段”．课堂练习1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E为BC的中点，求面B1D1E与面BB1C1C 所成的二面角的大小的正切值．练习1的环境背景表明，面B1D1E与面BB1C1C构成两个二面角，由特征（2）可知，这两个二面角的大小必定互补．为创造一完整的三垂线定理的环境背景，线段C1D1会让我们眼睛一亮，我们只须由C1（或D1）作B1E的垂线交B1E于O，然后连结OD1（或OC1）即得面D1B1E 与面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1，2．将棱长为a的正四面体的一个面与棱长为a的正四棱锥的一个侧面吻合，则吻合后的几何体呈现几个面？分析：这道题，考生答“7个面”的占99.9％，少数应服从多数吗？从例题中三个特征提供的思路在解决问题时各具特色，它们的目标分别是找“点”、“垂面”、“垂线段”．事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而来．掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象能力非常重要．本题如果能融合三个特征对思维的监控，可有效地克服、抑制思维的消极作用，培养思维的广阔性和批判性．如图9，过两个几何体的高线VP，VQ的垂足P，Q分别作BC的垂线，则垂足重合于O，且O为BC的中点．OP延长过A，OQ延长交ED于R，考虑到三垂线定理的环境背影，∠AOR为二面角A-BC-R的平面角，结合特征（1），（2），可得VAOR为平行四边形，VA ∥BE，所以V，A，B，E共面．同理V，A，C，D共面．所以这道题的正确答案应该是5个面．（这一阶段的教学主要是通过教师精心设计的一组例题与练习题，或边练边评，或由学生一鼓作气练完后再逐题讲评，达到练习的目的．其间要以学生“练”为主，教师“评”为辅）为了提高“导练”质量，教师要力求解决好三个问题：1．设计好练习．设计好练习是成功练习的前提．如何设计好练习是一门很深的学问，要注意：围绕重点，精选习题；由易到难，呈现题组；形式灵活，题型多变．2．组织好练习．组织练习是“导练”的实质，“导练”就是有指导、有组织的练习过程．要通过一题多用、一题多变、一题多解等使学生举一反三，从而提高练习的效果．有组织的练习还包括习题的临时增删、节奏的随时控制、要求的适时调整等．3．讲评好练习．讲评一般安排在练习后进行，也可以在练习前或练习时．练习前的讲评，目的是唤起学生的注意，提醒学生避免出错起到前馈控制的作用；练习时的讲评，属于即时反馈，即学生练习，教师巡视，从中发现共性问题及时指出来，以引起学生的注意；更多的是练习后的讲评，如果采用题组练习，那么最常用的办法是一组练习完毕后教师讲评，再进行下一组练习，以此类推．教师：由例1、例2和课堂练习，我们已经看到二面角的平面角有三个特征，这三个特征互相联系，客观存在，但在许多问题中却表现得含糊而冷漠，三个特征均藏而不露，在这种形势下，需认真探索．学生：应探索体现出一完整的三垂线定理的环境背景，有了“垂线段”，便可以定位．教师：请大家研究下面的例题．例3 如图10，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F在AA1上，且A1F∶FA=1∶2，求平面B1EF与底面A1C1所成的二面角大小的正切值．分析：在给定的平面B1EF与底面A1C1所成的二面角中，没有出现二面角的棱，我们可以设法在二面角的两个面内找出两个面的共点，则这两个公共点的连线即为二面角的棱，最后借助这条棱作出二面角的平面角．略解：如图10．在面BB1CC1内，作EH⊥B1C1于H，连结HA1，显然直线EF在底面A1C1的射影为HA1．延长EF，HA1交于G，过G，B1的直线为所求二面角的棱．在平面A1B1C1D1内，作HK⊥GB1于K，连EK，则∠HKE为所求二面角的平面角．在平面A1B1C1D1内，作B1L⊥GH于L，利用Rt△GLB1∽Rt△GKH，可求得KH．又在Rt△EKH中，设EH=a，容易得到：所求二面角大小的正切值教师：有时我们也可以不直接作出二面角的平面角，而通过等价变换或具体的计算得出其平面角的大小．例如我们可以使用平移法．由两平面平行的性质可知，若两平行平面同时与第三个平面相交，那么这两个平行平面与第三个平面所成的二面角相等或互补．因而例3中的二面角不易直接作出其平面角时，可利用此结论平移二面角的某一个面到合适的位置，以便等价地作出该二面角的平面角．略解：过F作A′B′的平行线交BB′于G，过G作B′C′的平行线交B′E 于H，连FH．显见平面FGH∥平面A′B′C′D′．则二面角B′-FH-G的平面角度数等于所求二面角的度数．过G作GM⊥HF，垂足为M，连B′M，由三垂线定理知B′M⊥HF．所以∠B′MG为二面角B′-FH-G的平面角，其大小等于所求二面角平面角的大小．（练习课的一个重要特征是概括．解题重要的不是统计做了多少题目，而是是否掌握了一类题的实质，即有无形成基本的解题模式，只有真正掌握了一类问题的解题思路，才算掌握了解答这类题目的基本规律．当学生练习到一定程度就应不失时机地引导他们总结和概括出练习的基本经验和教训，获得有意义的练习成果）例4 已知：如图12，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=a，AB=a．求：平面APB与平面CPD相交所成较大的二面角的余弦值．分析：为了找到二面角及其平面角，必须依据题目的条件，找出两个平面的交线．解：因为 AB∥CD，CD 平面CPD，AB 平面CPD．所以 AB∥平面CPD．又 P∈平面APB，且P∈平面CPD，因此平面APB∩平面CPD=l，且P∈l．所以二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一个二面角．因为 AB∥平面CPD，AB 平面APB，平面CPD∩平面APB=l，所以 AB∥l．过P作PE⊥AB，PE⊥CD．因为 l∥AB∥CD，因此 PE⊥l，PF⊥l，所以∠EPF是二面角B-l-C的平面角．因为 PE是正三角形APB的一条高线，且AB=a，因为 E，F分别是AB，CD的中点，所以 EF=BC=a．在△EFP中，小结：二面角及其平面角的正确而合理的定位，要在正确理解其定义的基础上，掌握其基本特征，并灵活运用它们考察问题的背景．我们已经看到，定位是为了定量，求角的大小往往要化归到一个三角形中去解，因此寻找“垂线段”，把问题化归是十分重要的．作业1．120°二面角α-l-β内有一点P，若P到两个面α，β的距离分别为3和1，求P到l的距离．2．正方体ABCD-A1B1C1D1中，求以BD1为棱，B1BD1与C1BD1为面的二面角的度数．。