9直线平面简单几何体.

数学高考复习名师精品教案第81课时：第九章直线、平面、简单几何体——棱柱、棱锥课题：棱柱、棱锥一．复习目标：了解棱柱和棱锥的概念，周围棱柱、正棱锥的有关性质，能进行有关角和距离的运算。

二．知识要点：1．叫棱柱2．正棱柱的性质有3．叫正棱锥4．正棱锥的性质有P={四棱柱}，Q={平行六面体}，R={长方体}，M={正方体}，N={正四棱柱},S={直平行六面体}，这六个集合之间的关系是三．课前预习：1．给出下列命题：①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；②侧棱都相等的棱锥是正棱锥；③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥；④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥， 其中正确命题的个数是( A )()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 32．如果三棱锥S ABC -的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在ABC ∆内，那么O 是ABC ∆的( D )()A 垂心 ()B 重心 ()C 外心 ()D 内心3．已知三棱锥D ABC -的三个侧面与底面全等，且AB AC ==，2BC =，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小是( C )()A 4π ()B 3π ()C 2π()D 32π4．已知长方体ABCD A B C D ''''-中，棱5AA '=，12AB =，那么直线B C ''和平面A BCD ''的距离是6013.5．三棱柱111ABC A B C -，侧棱1BB 在下底面上的射影平行于AC ，如果侧棱1BB 与底面所成的角为030，160B BC ∠= ，则ACB ∠的余弦为3四．例题分析：例1．正四棱锥S ABCD -中，高SO =γ，tan 2γ=(1)求侧棱与底面所成的角。

(2)求侧棱 长、底面边长和斜高(见图)。

解：（1） 作CF SB ⊥于F ，连结AF ，则CFB ABF ∆≅∆且AF SB ⊥，故AFC ∠是相邻侧面所成二面角的平面角，连结OF ，则AFC γ∠=，G F E D C 1B 1A 1CBA2OFC γ∠=，在R t O F C ∆与Rt OBF ∆中， tan 2γ＝OF OC ＝αsin 1=OF OB (其中SBO ∠为SB 与底面所成的角，设为α) 故sin 60αα== 。

数学高考复习名师精品教案第78课时：第九章 直线、平面、简单几何体——直线与平面、直线与直线所成的角课题；直线与平面、直线与直线所成的角 一．复习目标：1．掌握直线与直线、直线与平面所成的角的概念，能正确求出线与线、线与面所成的角． 二．知识要点：1．异面直线,a b 所成角的定义： ． 2．直线与平面所成角θ：（1）直线与平面平行或直线在平面内，则θ= ． （2）直线与平面垂直，则θ= ．（3）直线是平面的斜线，则θ定义为 ． 3．最小角定理： ．1．正方体1111ABCD A B C D -中，O 为,AC BD 的交点， 则1C O 与1A D 所成的角 （ ）D()A 60 ()B 90 ()C arccos3 ()D arccos 62．,,PA PB PC 是从P 点引出的三条射线，每两条的夹角都是60 ，则直线PC 与平面APB 所成的角的余弦是（ ）()A 12 ()B ()C ()D 3．如图，在底面边长为2的正三棱锥ABC V-中，E 是BC的中点，若VAE ∆的面积是41，则侧棱VA 与底面所成角的大小为 ． （结果用反三角函数值表示）四．例题分析：例1．在060的二面角βα--l 中，βα∈∈B A ,，已知A 、B 到l 的距离分别是2和4，且10=AB ，A 、B 在l 的射影分别为C 、D ，求：（1）CD 的长度；（2）AB和棱l 所成的角．例2．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是正方形1111A B C D 的中心，点P 在棱1CC 上，且14CC CP =．（Ⅰ）求直线AP 与平面11BCC B 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）设O 点在平面1D AP 上的射影是H ，求证：1D H AP ⊥．ABC VE· B 1PA CDA 1C 1D 1BO H·例3．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AE PD ⊥，//,EF DC AM EF =．（1）证明MF 是异面直线AB 与PC 的公垂线；（2）若3PA AB =，求直线AC 与平面EAM 所成角的正弦值．五．课后作业：AMBCDF EP1．在正三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB =，D 在1BB 上，且1BD =，若AD 与平面11AAC C 所成的角为α，则α=（ ）()A 13 ()B 4π ()C ()D 2．一直线和直二面角的两个面所成的角分别是,αβ，则αβ+的范围是（ ）()A [,)2ππ ()B [0,2π ()C (0,2π ()D [0,2π3．已知AB 是两条异面直线,AC BD 的公垂线段，1AB =，10AC BD ==，CD =则,AC BD 所成的角为 ．4．如图，在三棱锥P ABC -中，ABC ∆是正三角形90PCA ∠= ，D 是PA 中点，二面角P AC B --为120，2,PC AB ==，（1）求证：AC BD ⊥； （2）求BD 与平面ABC 所成角．5．如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠= ，侧面1AB 与侧面1AC 所成的ABCPD二面角为60 ，M 为1AA 上的点，1130A MC ∠= ，190CMC ∠= ，AB a =． （1）求BM 与侧面1AC 所成角的正切值；（2）求顶点A 到面1BMC 的距离．6．如图直四棱柱 1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是直角梯形，设090=∠=∠ABC BAD ，2,8BC AD ==,异面直线1AC 与D A 1互相垂直，（1）求证：D A 1⊥平面B AC 1；（2）求侧棱1AA 的长；（3）已知4AB =，求D A 1与平面11B ADC 所成的角．D 1C 1B 1A 1DCB A。

三、解答题（共76，其中附加题10分）17、（12分）已知四棱锥S —ABCD 中，底面为正方形，SA ⊥底面ABCD ，且AB ＝SA ＝2，M 、N 分别是AB 、SC 的中点。

⑴求证：AB ⊥MN ；⑵求异面直线AB 与SC 的距离。

18、（12分）在平行四边形ABCD 中，AB=3，AD=5，DB=4，以BD 为棱折成120°的二面角。

⑴求的长；⑵求点A 到平面BCD 的距离。

19、（14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，1==CB CA ，︒=∠90BCA ，棱21=AA ，M 、N 分别是11B A 、A A 1的中点。

⑴求证：M C B A 11⊥；⑵求直线B 1C 和BN 所成的角的余弦值。

20、（14分）在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧面PAB 是正三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD 。

⑴求证：BC ⊥侧面PAB ；⑵求证：侧面PAD ⊥侧面PAB ；⑶求侧面PBC 与侧面PAD 所成的角的大小。

N MSADCB PDADCAC 1äB 1äNCMA 1äBA最新整理21、（14分）如图，在长方体AC ′中，E 为棱BB ′上一点，AB ＝1，BCAA ′＝3，AC ′⊥EC 。

⑴求BE 的长；⑵求平面AC ′E 和底面ABCD 所成二面角（锐角）的余弦值； ⑶求点A ′到平面AC ′E 的距离。

22、（附加题，满分10分，计入总分）在任意DEF ∆中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 2222.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面 面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.D′C′B′A′DCBAE M PNB′A′C′C AB最新整理参考答案：一题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B C B C A D B C A D A二、填空题（每小题6分，共24分）13、30° 14、32 15、①④ 16、2三、解答题（共76，其中附加题10分）17、⑴以AD 为x 轴、AB 为y 轴、AS 为z 轴建立坐标系，则AB u u u v＝（0，2，0），MN u u u u v ＝（1，0，1），∵AB u u u v ﹒MN u u u u v ＝0，∴AB u u u v ⊥MN u u u u v ，即AB ⊥MN ；（6分） ⑵SC u u u v ＝（2，2，-2），MN u u u u v ＝（1，0，1），SC u u u v ﹒MN u u u u v ＝0，∴SC u u u v ⊥MN u u u u v 。

卜人入州八九几市潮王学校直线平面简单几何体1、空间两直线m l 、在平面βα、上射影分别为1a 、1b 和2a 、2b ，假设1a ∥1b ，2a 与2b 交于一点，那么l 和m 的位置关系为〔A 〕一定异面〔B 〕一定平行〔C 〕异面或者相交〔D 〕平行或者异面2、在直二面角βα--MN 中，等腰直角三角形ABC 的斜边α⊂BC ，一直角边β⊂AC ，BC 与β所成角的正弦值为46，那么AB 与β所成的角是 〔A 〕6π〔B 〕3π〔C 〕4π〔D 〕2π 〔第2题图〕3、二面角βα--l 是直二面角，βα∈∈B A ，，设直线AB 与βα、所成的角分别为∠1和∠2，那么〔A 〕∠1+∠2=900〔B 〕∠1+∠2≥900〔C 〕∠1+∠2≤900〔D 〕∠1+∠2＜9004、边长为a 的菱形ABCD ，∠A =3π，将菱形ABCD 沿对角线折成二面角θ，θ∈[3π，32π]，那么两对角线间隔的最大值是〔A 〕a 23〔B 〕a 43〔C 〕a 23〔D 〕a 43 5、〔A 方案〕二面角α―AB ―β的平面角是锐角，C 是面α内的一点〔它不在棱AB 上〕，点D 是点C 在面β上的射影，点E 是棱AB 上满足∠CEB 为锐角的任意一点，那么 〔A 〕∠CEB =∠DEB 〔B 〕∠CEB ＞∠DEB〔C 〕∠CEB ＜∠DEB 〔D 〕∠CEB 与∠DEB 的大小关系不能确定〔B 方案〕假设点A 〔42+λ，4－μ，1+2γ〕关于y 轴的对称点是B 〔－4λ，9，7－γ〕，那么λ，μ，γ的值依次为〔A〕1，－4，9〔B〕2，－5，－8〔C〕－3，－5，8〔D〕2，5，86、用一个平面去截正方体，所得的截面不可能．．．是〔A〕六边形〔B〕菱形〔C〕梯形〔D〕直角三角形7、正方形ABCD，沿对角线AC将△ADC折起，设AD与平面ABC所成的角为β，当β取最大值时，二面角B―AC―D等于〔A〕1200〔B〕900〔C〕600〔D〕4508、以下各图是正方体或者正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点中不一共面．．．．的一个图是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕9、有三个平面α，β，γ〔A〕假设α，β，γ两两相交，那么有三条交线〔B〕假设α⊥β，α⊥γ，那么β∥γ〔C〕假设α⊥γ，β∩α=a，β∩γ=b，那么a⊥b〔D〕假设α∥β，β∩γ=∅，那么α∩γ=∅10、正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为BC中点，N为D1C1的中点，那么NB1与A1M所成的角等于〔A〕300〔B〕450〔C〕600〔D〕90011、一个简单多面体的各个顶点处都有三条棱，那么顶点数V与面数F满足的关系式是〔A〕2F+V=4〔B〕2F－V=4〔C〕2F+V=2〔D〕2F－V=212、如图，面ABC⊥面BCD，AB⊥BC，BC⊥CD，且AB=BC=CD，设AD与面AB C所成角为α，AB与面ACD所成角为β，那么α与β的大小关系为〔A〕α＜β〔B〕α=β〔C〕α＞β〔D〕无法确定13、〔A方案〕如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上，AP=C1Q，那么四棱锥B －APQC 的体积为 〔A 〕2V 〔B 〕3V 〔C 〕4V 〔D 〕5V 〔13题方案A 图〕〔13题方案B 图〕〔B 方案〕侧棱长为2的正三棱锥，假设其底面周长为9，那么该正三棱锥的体积是 〔A 〕239〔B 〕433〔C 〕233〔D 〕439 14、〔A 方案〕如下列图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到直线AB 与直线B 1C 1的间隔相等，那么动点P 所在曲线的形状为 〔A 〕〔B 〕〔C 〕〔D 〕〔B 方案〕如下列图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面A 1C 1，B 1C ，CD 1的中心分别为O 1，O 2，O 3，那么直线AO 1与直线O 2O 3所成的角为〔A 〕900〔B 〕600〔C 〕450〔D 〕300〔14题B 方案图〕〔15题A 方案图〕〔15题B 方案图〕15、〔A 方案〕在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中与AD 1成600角的面对角线的条数是 〔A 〕4条〔B 〕6条〔C 〕8条〔D 〕10条〔B 方案〕正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AB ，BB 1的中点，A 1E 与C 1F 所成的角是θ，那么〔A 〕θ=600〔B 〕θ=450〔C 〕52cos =θ〔D 〕52sin =θ 16、如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，平面B 1D 1E 与平面BB 1C 1C 所成角的正切值为 〔A 〕52〔B 〕25〔C 〕32〔D 〕23〔第16题图〕〔第17题B 方案图〕17、〔A 方案〕三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB=AC=3，BC =2，那么以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小是 〔A 〕4π〔B 〕3π〔C 〕2π〔D 〕32π〔B 方案〕如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是DD 1的中点，O 是底面正方形ABCD 的中心，P 为棱A 1B 1上任意一点，那么直线OP 与直线AM 所成的角为 〔A 〕4π〔B 〕3π〔C 〕2π〔D 〕与P 点的位置有关 18、〔A 方案〕斜棱柱底面和侧面中矩形的个数最多可有 〔A 〕2个〔B 〕3个〔C 〕4个〔D 〕6个〔B 方案〕设空间两个不同的单位向量a =〔x 1，y 1，0〕，b =〔x 2，y 2，0〕与向量c =〔1，1，1〕的夹角都等于4π，那么2211y x y x ++等于 〔A 〕21-〔B 〕－1〔C 〕21〔D 〕1 19、〔A 方案〕如下列图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF =23，EF 与面AC 的间隔为2，那么该多面体的体积为 〔A 〕29〔B 〕5〔C 〕6〔D 〕215 〔第19题A 方案图〕〔第19题B 方案图〕〔B 方案〕如下列图，四面体ABCD 中，AB ，BC ，CD 两两互相垂直，且AB=BC =2，E 是AC 的中点，异面直线AD 与BE 所成的角的大小是1010arccos，那么四面体ABCD 的体积是 〔A 〕8〔B 〕6〔C 〕2〔D 〕38 20、〔A 方案〕长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，那么这个球的面积为 〔A 〕π27〔B 〕π56〔C 〕π14〔D 〕π64 〔B 方案〕设A ，B ，C ，D 是空间不一共面的四点，且满足0=⋅AC AB ，0=⋅AD AC ，0=⋅AD AB ，那么△BCD 是〔A 〕钝角三角形〔B 〕直角三角形〔C 〕锐角三角形〔D 〕不确定21、球面的三个大圆所在平面两两垂直，那么以三个大圆的交点为顶点的八面体的体积与球体积之比是 〔A 〕2∶π〔B 〕1∶2π〔C 〕1∶π〔D 〕4∶3π22、如图，在斜三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，∠BAC =900，BC 1⊥AC ，那么C 1在底面ABC 上的射影H 必在 〔A 〕直线AB 上〔B 〕直线BC 上〔C 〕直线AC 上〔D 〕△ABC 内部 〔第22题图〕〔第23题图〕23、在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 是对角线A 1C 上的点，且PQ =2a，那么三棱锥P －BDQ 的体积为〔A 〕3363a 〔B 〕3183a 〔C 〕3243a 〔D 〕无法确定 24、球的内接三棱锥的三条侧棱两两垂直，长度分别为3cm ，2cm 和3cm ，那么此球的体积为〔A 〕33312cm π〔B 〕33316cm π〔C 〕3316cm π〔D 〕3332cm π25、如图，在一根长11cm ，外圆周长6cm 的圆柱形柱体外外表，用一根细铁丝缠绕，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，那么铁丝长度的最小值为 〔A 〕61cm 〔B 〕157cm 〔C 〕1021cm 〔D 〕1037cm26、棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为〔A 〕33a 〔B 〕43a 〔C 〕63a 〔D 〕123a27、在空间四边形ABCD 各边上分别取E 、F 、G 、H 四点，假设EF 和GH 能相交于点P ，那么 〔A 〕点P 必在直线AC 上〔B 〕点P 必在直线BD 上 〔C 〕点P 必在平面ABC 内〔D 〕点P 必在平面上ABC 外28、设长方体的三条棱长分别为a ，b ，c ，假设长方体所有棱的长度之和为24，一条对角线长度为5，体积为2，那么=++cb a 111 〔A 〕411〔B 〕114〔C 〕211〔D 〕112 29、四棱锥P －ABCD 的底面为平行四边形，设x =2PA 2+2PC 2－AC 2，y =2PB 2+2PD 2－BD 2，那么x ，y 之间的关系为〔A 〕x ＞y 〔B 〕x ＝y 〔C 〕x ＜y 〔D 〕不能确定30、〔A 方案〕如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面A 1B ⊥BC ，且A 1C 与底面成600角，AB=BC =2，那么该棱柱体积的最小值为〔A 〕34〔B 〕33〔C 〕4〔D 〕3〔第30题A 方案图〕〔第30题B 方案图〕〔B 方案〕如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，假设=11B A a ，=11D A b ，=A A 1c ，那么以下向量中与M B 1相等的是 〔A 〕21-a +21b +c 〔B 〕21a +21b +c 〔C 〕21a 21-b +c 〔D 〕21-a 21-b +c31、〔A 方案〕a 、b 为异面直线，α⊂a ，β⊂b ，又A ∈α，B ∈β，AB =12cm ，AB 与β成600角，那么a 、b 间间隔为．〔B 方案〕向量a 、b 满足|a |=31，|b |=6，a 与b 的夹角为3π，那么3|a |－2〔a ·b 〕+4|b |=．32、假设一个正多面体各个面的内角总和为36000，那么它的棱数、面数、顶点数依次为． 33、正方体的两个面上的两条对角线所成的角为．34、在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，P ，Q 分别为AA 1，BB 1上的点，且A 1P=BQ ，那么〔V C －ABQ +V C －ABP 〕∶=-111C B A ABC V ． 35、如图，在四棱锥P －ABCD 中，E 为CD 上的动点，四边形ABCD 为时，体积V P －AEB 恒为定值〔写上你认为正确的一个答案即可〕．〔第35题图〕〔第36题图〕36、如图，在四棱锥E －ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD ，2AB =3DC ，M 为AE 的中点，设E －ABCD 的体积为V ，那么三棱锥M －EBC 的体积为．37、如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出三个结论：〔1〕四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1为直四棱柱；〔2〕底面ABCD 为菱形；〔3〕AC 1⊥B 1D 1． ．38、〔A 方案〕一块长方体木料，按图中所示的余弦线截去一块，那么剩余局部的体积是． 〔第38题A 方案图〕〔B 方案〕在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1①2112111113）（）（B A B A D A A A =++；②01111=-⋅）（A AB AC A ； ③B A 1与1AD 的夹角为600；④此正方体的体积为：|AD AA AB ⋅⋅1|．39、〔A 方案〕一个四面体的所有棱长都是2，四个顶点在同一个球面上，那么此球的外表积为．〔B 方案〕点A 、B 、C 的坐标分别为〔0，1，0〕，〔－1，0，1〕，〔2，1，1〕，点P 的坐标为〔x ，0，z 〕，假设AB PA ⊥，AC PA ⊥，那么点P 的坐标为．40、〔A 方案〕以下五个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出l ⊥面MNP 的图形的序号是．〔写出所有符合要求的图形序号〕 ①②③④⑤〔B 方案〕在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，各面都是全等的菱形，菱形的锐角为600，且边长为1，那么点B 到平面AB 1C 的间隔BH =．[参考答案]31、〔A 方案〕36cm ；〔B 方案〕23 32、30，20，12 33、00或者600或者90034、1∶335、可有多种答案，如正方形 36、V 10337、138、〔A 方案〕a(b+c)πm 3；〔B 方案〕③，④ 39、〔A 方案〕3π；〔B 方案〕〔31，0，32 〕40、〔A 方案〕①，④，⑤；〔B 方案〕1122或者36。

直线与平面平行(1)教学目的：1.掌握空间直线和平面的位置关系；2.理解直线和平面平行的判定定理和性质定理.教学重点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用教学难点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用教学过程：一、讲解新课：1．直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类．它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a α⊂，a A α= ，//a α．aαaα2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒．证明：假设直线a 不平行与平面α，∵a α⊄，∴a P α= ， 若P b ∈，则和//a b 矛盾，若P b ∉，则a 和b 成异面直线，也和//a b 矛盾，∴//a α．3. 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．推理模式：//,,//a a b a b αβαβ⊂=⇒ ．证明：∵//a α，∴a 和α没有公共点，又∵b α⊂，∴a 和b 没有公共点；即a 和b 都在β内，且没有公共点，∴//a b ．a b βα二、讲解范例：例1 求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面.已知：如图，空间四边形ABCD 中，,E F 分别是,AB AD 的中点.求证：//EF BCD 平面．例2 有一块木料如图，已知棱BC 平行于面A ′C ′．(1)要经过木料表面A ′B ′C ′D ′ 内的一点P 和棱BC 将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线和面AC 有什么关系？(2) 如果AD ∥BC ，BC ∥面A ′C ′，那么，AD 和面BC ′、面BF 、面A ′C ′都有怎样的位置关系．为什么？三、课堂练习1.经过直线外一点有 平面和已知直线平行.2.经过直线外一点 直线与已知直线平行.3.经过两条异面直线中的一条 与另一条直线平行.4.若将直线、平面都看成点的集合，则直线ｌ∥平面α可表示为 ( )A.ｌ∉αB.ｌ⊂αC.ｌ≠αD.ｌ∩α＝∅5.平行于同一个平面的两条直线的位置关系是 ( )A.平行B.相交C.异面D.平行或相交或异面6.下列四个命题中假命题的个数是 ( ) ①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行②两条直线没有公共点，则这两条直线平行③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行，A.4B.3C.2D.1F E D C BA四、作业同步练习09031。

数学高考复习名师精品教案第71课时：第九章 直线、平面、简单几何体——平面的基本性质课题：平面的基本性质一．复习目标：掌握平面的基本性质，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图．二．课前预习：1．A 、B 、C 表示不同的点，a 、l 表示不同的直线，α、β表示不同的平面，下列推理不正确的是 （ C ）()A ααα⊂⇒∈∈∈∈l B l B A l A ,,,()B βα∈∈A A ,，AB B B =⇒∈∈βαβα ,直线 ()C αα∉⇒∈⊄A l A l ,()D α∈C B A ,,，β∈C B A ,,且C B A ,,不共线α⇒与β重合2．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 （ D ）()A 2221+ ()B 221+ ()C 21+ ()D 22+ 3．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，使三条直线共面的充分条件有 （ B ）()A 1个 ()B 2个 ()C 3个 ()D 4个4．空间内五个点中的任意三点都不共线，由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥，则这五个点最多可以确定 7个 个平面 ． 三．例题分析：例1．如图，在四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，直线AB ，BC ，AD ，DC 分别与平面α相交于点E ，G ，H ，F ．求证：E ，F ，G ，H 四点必定共线．解：∵AB ∥CD ，∴AB ，CD 确定一个平面β．又∵AB α＝E ，AB ⊂β，∴E ∈α，E ∈β， 即E 为平面α与β的一个公共点．同理可证F ，G ，H 均为平面α与β的公共点．∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， ∴E ，F ，G ，H 四点必定共线．说明：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．例2．已知：a ，b ，c ，d 是不共点且两两相交的四条直线，求证：a ，b ，c ，d 共面．证明 1o 若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a ，b ，c 相交于一点A ， 但A ∉d ，如图1．∴直线d 和A 确定一个平面α．又设直线d 与a ，b ，c 分别相交于E ，F ，G ，α D C BA EF Hαb a dcG F E A则A ，E ，F ，G ∈α．∵A ，E ∈α，A ，E ∈a ，∴a ⊂α． 同理可证b ⊂α，c ⊂α． ∴a ，b ，c ，d 在同一平面α内． 2o 当四条直线中任何三条都不共点时，如图2．∵这四条直线两两相交，则设相交直线a ，b 确定一个平面α．设直线c 与a ，b 分别交于点H ，K ，则H ，K ∈α． 又 H ，K ∈c ，∴c ⊂α． 同理可证d ⊂α．∴a ，b ，c ，d 四条直线在同一平面α内．说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．例3．如图，点A ，B ，C 确定的平面与点D ，E ，F 确定的平面相交于直线l ，且直线AB 与l 相交于点G ，直线EF 与l 相交于点H ，试作出平面ABD 与平面CEF 的交线．解：如图3，在平面ABC 内，连结AB ，与l 相交于点G ，则G ∈平面DEF ；在平面DEF 内，连结DG ，与EF 相交于点M ，则M ∈平面ABD ，且M ∈平面CEF ．所以，E·BAD ·FC · · ·· a bcd α H K图2M 在平面ABD 与平面CEF 的交线上．同理，可作出点N ，N 在平面ABD 与平面CEF 的交线上．连结MN ，直线MN 即为所求．例4．如图，已知平面α，β，且α β＝l ．设梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AB ⊂α，CD ⊂β，求证：AB ，CD ，l 共点（相交于一点）． 证明 ∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴AB ，CD 是梯形ABCD 的两条腰． ∴ AB ，CD 必定相交于一点， 设AB CD ＝M ．又∵AB ⊂α，CD ⊂β，∴M ∈α，且M ∈β．∴M ∈α β． 又∵α β＝l ，∴M ∈l ， 即AB ，CD ，l 共点．说明：证明多条直线共点时，一般要应用公理2，这与证明多点共线是一样的． 四．课后作业：E· B Al例3 G HD · FC M· ·· α DC BAl 例4 β1．在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取点HGFE,,,，如果EF与HG相交于一点M，那么（A）()A M一定在直线AC上()B M一定在直线BD上()C M可能在直线AC上，也可能在直线BD上()D M既不在直线AC上，也不在直线BD上2．有下列命题：①空间四点中有三点共线，则这四点必共面；②空间四点中，其中任何三点不共线，则这四点不共面；③用斜二测画法可得梯形的直观图仍为梯形；④垂直于同一直线的两直线平行⑤两组对边相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题是．答案：①③3．一个平面把空间分成__2__部分，两个平面把空间最多分成_4___部分，三个平面把空间最多分成__8__部分．4．四边形ABCD中，1=====BDDACDBCAB，则成为空间四面体时，AC的取值范围是．答案：)3,0(．5．如图，P、Q、R分别是四面体ABCD的棱AB，AC，AD上的点，若直线PQ与直线BC的交点为M，直线RQ与直线DC的交点为N，直线PR与直线DB的交点为L，试证明M，N，L共线．证明：易证M，N，L∈平面PQR，且M，N，L∈平面BCD，A1 B1D1C1Q··ABCMNLPQR所以M，N，L∈平面PQR 平面BCD，即M，N，L共线．6．如图，P、Q、R分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，BB1，DD1上的三点，试作出过P，Q，R三点的截面图．作法⑴连接PQ，并延长之交A1B1的延长线于T；⑵连接PR，并延长之交A1D1的延长线于S；⑶连接ST交C1D1、B1C1分别于M，N，则线段MN为平面PQR与面A1B1C1D1的交线．⑷连接RM，QN，则线段RM，QN分别是平面PQR与面DCC1D1，面BCC1B1的交线．得到的五边形PQNMR即为所求的截面图（如图4）．说明求作二平面的交线问题，主要运用公理1．解题关键是直接或间接找出二平面的两个确定的公共点．有时同时还要运用公理2、3及公理的推论等知识．7．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1的中，A1C1 B1D1＝O1，B1D 平面A1BC1＝P．求证：P∈BO1．证明在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，∵B1D 平面A1BC1＝P，∴P∈平面A1BC1，P∈B1D．∵B1D 平面BB1D1D．∴P∈平面A1BC1，且P A1 B1DD1CC1O1PA1A BB1DD1CC1STQP图4NM∈平面BB1D1D．∴P∈平面A1BC1 平面BB1D1D，∵A1C1 B1D1＝O1，A1C1⊂平面A1BC1，B1D1⊂平面BB1D1D，∴O1∈平面A1BC1，且O1∈平面BB1D1D．又B∈平面A1BC1，且B∈平面BB1D1D，∴平面A1BC1 平面BB1D1D＝BO1．∴P∈BO1．说明一般地，要证明一个点在某条直线上，只要证明这个点在过这条直线的两个平面上．。

课 题：9．3直线与平面平行、平面与平面平行 (一)教学目的：1.掌握空间直线和平面的位置关系；2.掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定理实现“线线”“线面”平行的转化 教学重点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 教学难点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：本节有两个知识点，直线与平面和平面与平面平行，直线与平面、平面与平面平行特征性质这也可看作平行公理和平行线传递性质的推广直线与平面、平面与平面平行判定的依据是线、线平行这些平行关系有着本质上的联系通过教学要求学生掌握线、面和面、面平行的判定与性质这两个平行关系是下一大节学习共面向量的基础前面3节主要讨论空间的平行关系，其中平行线的传递性和平行平面的性质是这三小节的重点 教学过程：一、复习引入：1 空间两直线的位置关系 （1）相交；（2）平行；（3）异面2.公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：//,////a b b c a c ．3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等4.等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.5.空间两条异面直线的画法ab1AA6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式：,,,A B l B l ααα∉∈⊂∉⇒AB 与l 是异面直线7．异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上2,0(π8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥．9．求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求10．两条异面直线的公垂线、距离和两条异面直线都垂直相交．．．．的直线，我们称之为异面直线的公垂线 在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离．两条异面直线的公垂线有且只有一条二、讲解新课：1．直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类．a α⊂，a A α= ，//a α．aαaα2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 推理模式：,,////lm l m l ααα⊄⊂⇒． 证明：假设直线l 不平行与平面α，∵l α⊄，∴l P α= ，若P m ∈，则和//l m 矛盾，若P m ∉，则l 和m 成异面直线，也和//l m 矛盾， ∴//l α．3. 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 推理模式：//,,//l l m l m αβαβ⊂=⇒ ． 证明：∵//l α，∴l 和α没有公共点， 又∵m α⊂，∴l 和m 没有公共点；即l 和m 都在β内，且没有公共点，∴//l m ． 三、讲解范例：例1 已知：空间四边形ABCD 中，,E F 分别是,AB AD 的中点，求证：//EF BCD 平面． 证明：连结BD ，在ABD ∆中， ∵,E F 分别是,AB AD 的中点，∴//EF BD ，EF BCD ⊄平面，BD BCD ⊂平面， ∴//EF BCD 平面．例2求证：如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那么这条直线在此平面内．已知：//,,,//l P P m m l αα∈∈，求证：m α⊂． 证明：设l 与P 确定平面为β，且m αβ'= ， ∵//l α，∴//l m '；又∵//l m ，,m m '都经过点P ， ∴,m m '重合，∴m α⊂．例3 已知直线a ∥直线b ，直线a ∥平面α,b ⊄α， 求证：b ∥平面α 证明：过a 作平面β交平面α于直线∵a ∥α∴a ∥c 又∵a ∥b ∴b ∥c ，∴b ∥∵ b ⊄α, c ⊂α，∴b ∥α.FED CBAβαmlβαPmm 'a b．例4．已知直线a∥平面α，直线a∥平面β，平面α 平面β=b，求证//分析：利用公理4，寻求一条直线分别与a，b均平行，从而达到a∥b的目的．可借用已知条件中的a∥α及a∥β来实现．证明：经过a作两个平面γ和δ，与平面α和β分别相交于直线c和d，∵a∥平面α，a∥平面β，Array∴a∥c，a∥d，∴c∥d，又∵d⊂平面β，c∉平面β，∴c∥平面β，又c⊂平面α，平面α∩平面β=b，∴c∥b，又∵a∥c，所以，a∥b．四、课堂练习：1．选择题（1）以下命题（其中a，b表示直线，α表示平面）①若a∥b，b⊂α，则a∥α②若a∥α，b∥α，则a∥b③若a∥b，b∥α，则a∥α④若a∥α，b⊂α，则a∥b其中正确命题的个数是（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个（2）已知a∥α，b∥α，则直线a，b的位置关系①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交.其中可能成立的有（）（A）2个（B）3个（C）4个（D）5个（3）如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是（）（A）平行（B）相交（C）平行或相交（D）AB⊂α（4）已知m，n为异面直线，m∥平面α，n∥平面β，α∩β=l，则l （）（A）与m，n都相交（B）与m，n中至少一条相交（C）与m，n都不相交（D）与m，n中一条相交答案：(1) A (2) D (3) C (4)C2．判断下列命题的真假（1）过直线外一点只能引一条直线与这条直线平行. （）（2）过平面外一点只能引一条直线与这个平面平行. （）（3）若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行. （ ） （4）若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行. （ ） 答案：(1) 真 (2) 假 (3) 假 (4)真 3．选择题（1）直线与平面平行的充要条件是（ ） （A ）直线与平面内的一条直线平行 （B ）直线与平面内的两条直线平行 （C ）直线与平面内的任意一条直线平行 （D ）直线与平面内的无数条直线平行（2）直线a ∥平面α，点A ∈α，则过点A 且平行于直线a 的直线 （ ） （A ）只有一条，但不一定在平面α内 （B ）只有一条，且在平面α内 （C ）有无数条，但都不在平面α内 （D ）有无数条，且都在平面α内（3）若a ⊄α，b ⊄α，a ∥α，条件甲是“a ∥b ”，条件乙是“b ∥α”，则条件甲是条件乙的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件 （4）A 、B 是直线l 外的两点，过A 、B 且和l 平行的平面的个数是 （ ） （A ）0个 （B ）1个 （C ）无数个 （D ）以上都有可能 答案：（1）D （2）B （3）A （4）D4．平面α与⊿ABC 的两边AB 、AC 分别交于D 、E ，且AD ∶DB =AE ∶EC ， 求证：BC ∥平面α略证：AD ∶DB =AE ∶ECααα////BC DE BC DE BC ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄⇒ 5．空间四边形ABCD ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点， 求证：EF ∥平面ACD .略证：E 、F 分别是AB 、BC 的中点α////EF ABC AC ACD EF AC EF ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄⇒ 6．经过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BB 1作一平面交平面AA 1D 1D 于E 1E ，求证：E 1E ∥B 1BC略证：11111111111////B BEE AA B BEE BB B BEE AA BB AA ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄1111111111111////EE AA EE B BEE A ADD A ADD AA B BEE AA ⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂ 11111//////EE BB EE AA BB AA ⇒⎭⎬⎫7．选择题（1）直线a ，b 是异面直线，直线a 和平面α平行，则直线b 和平面α的位置关系是（ ） （A ）b ⊂α （B ）b ∥α （C ）b 与α相交 （D ）以上都有可能（2）如果点M 是两条异面直线外的一点，则过点M 且与a ，b 都平行的平面 （A ）只有一个 （B ）恰有两个 （C ）或没有，或只有一个 （D ）有无数个 答案：（1）D (2)A 8．判断下列命题的真假.（1）若直线l ⊄α，则l 不可能与平面α内无数条直线都相交. （ ） （2）若直线l 与平面α不平行，则l 与α内任何一条直线都不平行 （ ） 答案：（1）假 (2)假9．如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点（1）求证：//MN 平面PAD ；（2）若4MN BC ==，PA = 求异面直线PA 与MN 所成的角的大小略证（1）取PD 的中点H ，连接AH ，DC NH DC NH 21,//=⇒AMNH AM NH AM NH ⇒=⇒,//为平行四边形 PAD AH PAD MN AH MN ⊂⊄⇒,,//PAD MN //⇒解(2): 连接AC 并取其中点为O ，连接OM 、ON ，则OM 平行且等于BC 的一半，ON 平行且等于PA 的一半，所以ONM ∠就是异面直线PA 与MN 所成1A的角，由4MN BC ==，PA =得，OM=2，ON=所以030=∠ONM ，即异面直线PA 与MN 成030的角10．如图,正方形ABCD 与ABEF 不在同一平面内,M 、N 分别在AC 、BF 上，且AM FN =求证：//MN 平面CBE 略证：作AB NH AB MT //,//分别交BC 、BE 于T 、H 点AM FN =NH MT BNH CMT =⇒∆⇒≌从而有MNHT 为平行四边形CBE MN TH MN ////⇒⇒五、小结 ：“线线”与“线面”平行关系：一条直线和已知平面平行，当且仅当这条直线平行于经过这条直线的平面和已知平面的交线． 六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：E。

课 题：9．4直线和平面垂直 (一)教学目的： 1理解直线与平面垂直的定义； 2掌握直线与平面垂直的判定定理内容及论证过程； 3应用直线与平面垂直的判定定理解决问题教学重点：直线与平面垂直的判定定理内容及论证过程教学难点：直线与平面垂直的判定定理内容及论证过程授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节包括两个知识点：直线和平面垂直及正射影和三垂线定理和平行射影的性质外，第二个重要性质就是空间的镜面对称直线与平面的垂直程就可以看到，证明的过程就是由平面的轴对称转换为空间的镜面对称的过程这一小节要特别重视判定定理的教学，要向学生指出定理证明过程的本质线定理是由直线和平面垂直判定定理得出的一个最重要的空间图形的性质，在传统几可学教育中这个定理占有极重要的地位，在这里，我们只重视概念的教学，减弱围绕三垂线定理的解题训练这是因为我们有更有效的向量工具处理空间的垂直问题这一小节的教学要求是，掌握直线和平面垂直的概念，掌握直线和平面垂直的判定定理，掌握三垂线定理及逆定理主要是理解定理的本质和直接应用不要进行大量的解题训练的教学这样就可减少课时，以加强空间向量的教学直线与平面垂直的定义是一个严格但不实用的定义，因而必须给出一个判定“直线与平面垂直”的判定定理而直线与平面是否垂直根据判定定理的要求，必须具备条件“a ⊥b ，a ⊥c ，b ∩c ＝B ，b ⊂α，c ⊂α”才能得到结论“a ⊥α”，至于为什么在上述条件下一定能得到“a ⊥α”这一结论便是本节课的一个主要内容教学过程：一、复习引入： 1观察空间直线和平面可知它们的位置关系有：（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a α⊂，a A α=，//a αaαaα线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行推理模式：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒ 3如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 推理模式：//,,//l l m l αβαβ⊂=⇒二、讲解新课： 1 定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a ⊥α画法：画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直说明：①“任何”表示所有（提问：若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直与平面吗？如不是，直线与平面的位置关系如何？）②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足③ a ⊥α等价于对任意的直线m ⊂α，都有a ⊥m利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质2直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面即 若l ⊥m ，l ⊥n ，m ∩n ＝B ，m ⊂α，n ⊂α，则l ⊥α已知：m 、n 是平面α内的两条相交直线，直线l 与α的交点为B ，且l ⊥m ，l ⊥n求证：l ⊥α分析：在α内平移m ，n ，使它们都通过点B ，这时m ，n 仍保持和l 垂直过点B 作任一条不与m ，n 重合的直线g ，如果我们能根据l ⊥m 且l ⊥n 推出l ⊥g ，那么就证明了直线l 和过点B 的所有直线都垂直，即l 垂直α为此，我们在l 上自点B 起于平面α的两侧分别截取BA=BA ′，于是m ，n βαm l都是线段AA ′的垂直平分线，它们上面的点到A 、A ′的距离相等 如果我们能证明g 上的点到A 、A ′的距离也相等，那么g 也是AA ′的垂直平分线，于是g 就垂直于l 在g 上任取一点E ，过点E 在α内作不通过点B 的直线，分别与m ，n 相交于点C 、D ，容易证明△ACD ≌A ′CD ，进而又可证明△ACE ≌△A ′CE于是EA=EA ′，g ⊥l一般地：证明：如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面已知：,m n ''是平面α内的两条相交直线，直线l 与α的交点为B ，且,l m l n ''⊥⊥，求证：l α⊥证明：过点B 作//,//m m n n ''∵,l m l n ''⊥⊥ ∴,l m l n ⊥⊥，过B 任作直线a ，在l 上于α平面两侧分别截取BA BA '=，∴,m n 都是AA '的垂直平分线，∴,AD A D AC A C ''==，在a 上任取点E ，过E 在平面α内作不通过B 的直线分别与,m n 相交于点,C D ，∴ACD A CD '∆≅∆，∴ACD A CD '∠=∠，又AC A C '=，∴ACE A CE '∆≅∆，∴AE A E '=∴a l ⊥，∴l α⊥．三、讲解范例：例1 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面已知：a ∥b,a ⊥α 求证：b ⊥α证明：设m 是α内的任意一条直线 αααα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥b m m b b a m a m a // 本题的作用：要证b ⊥α，没有办法？而已知a ∥b ，只需证a ⊥α即可，在证题时起转移作用，但具体要证a ⊥α还需其他方法例2 过一点和已知平面垂直的直线只有一条已知：平面α和一点P求证：过点P 与α垂直的直线只有一条mb a α证明：不论P 在平面α内或外，设直线PA α⊥，垂足为A （或P ）若另一直线PB α⊥，设,PA PBa αβ= ∴,PA a PB a ⊥⊥又∵,PA PB 在平面β所以过点P 与α垂直的直线只有一条例 3 有一根旗杆AB 高8m ，它的顶端A 挂一条长10m 的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一直线上）,C D ，如果这两点都和旗杆脚B 的距离是6m ，那么旗杆就和地面垂直，为什么？解：在ABC ∆和ABD ∆中，∵8,6,10AB m BC BD m AC AD m =====∴2222226810AB BC AC +=+== 2222226810AB BD AD +=+==∴90ABC ABD ∠=∠=即,AB BC AB BD ⊥⊥又∵,,B C D 不共线 ∴AB ⊥平面BCD ，即旗杆和地面垂直；例4 已知直线l ⊥平面α，垂足为A ，直线AP ⊥求证：AP 在α内证明：设AP 与l 确定的平面为β如果AP 不在α内，则可设α与β相交于直线AM∵l ⊥α，∴l ⊥AM又AP ⊥l ，于是在平面β内过点A 有两条直线垂直于l ，这是不可能的所以AP 一定在α内例5 求证:经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行已知:P ∉α求证:过点P 有且只有一个平面β∥αEB A 证明:过平面α外一点P 作直线⊥l α,再过点P 作平面β,使⊥l β,则α∥β.因为过点P 且与α平行的平面必与α的垂线l 也垂直,而过点P 与l 垂直的平面是唯一的,所以过点P 且与α平行的平面只有一个.指出:由例2可得α∥β,α∥γ⇒β∥γ.例6 已知：空间四边形ABCD ，AB AC =，DB DC =，求证：BC AD ⊥证明：取BC 中点E ，连结,AE DE ，∵,AB AC DB DC ==，∴,AE BC DE BC ⊥⊥， ∴BC ⊥平面AED ， 又∵AD ⊂平面AED ， ∴BC AD ⊥．四、课堂练习：1．选择题（1）“直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“l ⊥α”的 （ ）（A ）充分条件（B ）必要条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（2）如果一条直线l 与平面α的一条垂线垂直，那么直线l 与平面α的位置关系是（ ）（A ）l ⊂α （B ）l ⊥α （C ）l ∥α （D ）l ⊂α或l ∥α答案：（1）B (2)D2．填空题（1）过直线外一点作直线的垂线有 条；垂面有 个；平行线有 条；平行平面有 个.（2）过平面外一点作该平面的垂线有 条；垂面有 个；平行线有 条；平行平面有 个.答案：（1）无数，一，一，无数；（2）一，无数，无数，一3．能否作一条直线同时垂直于两条相交直线？能否作一条直线同时垂直于两个相交平面？为什么？答案：（能，而且有无数条） （不能） 拿一张矩形的纸对折后略为展开，竖立在桌面上，说明折痕为什么和桌面垂直答案：因为折痕垂直于桌面内的两条相交直线. 一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，这条直线垂直于这个平面吗？为什么？答案：不一定.因为这条直线可能与这个平面斜交或在其内. 6答案：是.假若有两个平面,αβ过点A 都于l 垂直，过这条公共垂线l 作一个不经过两平面,αβ的交线的平面γ，γ与,αβ分别相交于直线,,a b ab l A =且,l a l b ⊥⊥，,,l a b α⊂，从而有a b ，此与a b A =矛盾. 如果三条直线共点，且两两垂直，问其中一条直线是否垂直于另两条直线所确定的平面答案：是 8求证：一条线段的垂直平分面内任一点到这条线段两端点的距离相等 通过一条线段中点并且与这条线段垂直的平面，叫做这条线段的垂直平分面五、小结 ：今天这节课，我们学习了直线和平面垂直的定义，这个定义最初用在判定定理的证明上，但用得较多的则是，如果直线l 垂直于平面α，那么l 就垂直于α内的任何一条直线；对于判定定理，判定线、面垂直，实质是转化成线、线垂直，从中不难发现立体几何问题解决的一般思路六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。

直线平面与简单几何体1、已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列四个命题：①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒ l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β.其中正确的两个命题是 （ ）A 、①与②B 、①与③C 、②与④D 、③与④1、B2、在正三棱锥中，相邻两侧面所成二面角的取值范围是（ ）A 、3ππ（，） B 、23ππ（，） C 、（0，2π） D 、23ππ（，）3 2、A3、如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在A 上，且AM=31AB ，点P 在平面ABCD 上，且动点P 到直线A 1D 1的 距离的平方与P 到点M 的距离的平方差为 1，在平面直角坐标系xAy 中，动点P 的轨 迹方程是 .3、91322-=x y4．命题①空间直线a ，b ，c ，若a∥b，b∥c 则a∥c②非零向量、，若∥，∥则∥ ③平面α、β、γ若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ ④空间直线a 、b 、c 若有a⊥b，b⊥c，则a∥c ⑤直线a 、b 与平面β，若a⊥β，c⊥β，则a∥c 其中所有真命题的序号是（ ）A ．①②③ B．①③⑤ C．①②⑤ D．②③⑤ 5、（文）棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1被以A 为球心，AB 为半径的球相截，则被截形体的表面积为（ ） A ．45π B ．87π C ．π D ．47π选A6．某刺猬有2006根刺，当它蜷缩成球时滚到平面上，任意相邻的三根刺都可支撑住身体，且任意四根刺的刺尖不共面，问该刺猬蜷缩成球时，共有（ ）种不同的支撑身体的方式。

A ．2006 B ．4008 C ．4012 D ．2008 7．命题①空间直线a ，b ，c ，若a∥b，b∥c 则a∥c②非零向量c 、b 、a ，若a ∥b ，b ∥c 则a ∥c ③平面α、β、γ若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ ④空间直线a 、b 、c 若有a⊥b，b⊥c，则a∥c ⑤直线a 、b 与平面β，若a⊥β，c⊥β，则a∥c 其中所有真命题的序号是（ ）A ．①②③ B．①③⑤ C．①②⑤ D．②③⑤ 8、（文）棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1被以A 为球心，AB 为半径的球相截，则被截形体的表面积为（ ）A ．45π B ．87π C ．π D ．47π 9、四边形ABCD 是︒=∠120A 的菱形，绕AC 将该菱形折成二面角D AC B --，记异面直线AC 、BD 所成角为α，AD 与平面ABC 所成角为β，当β+α最大时，二面角D AC B --等于( )A.3π B.2π C.2arctan D.22arctanBA xM10、将边长为3的正四面体以各顶点为顶点各截去(使截面平行于底面)边长为1的小正四面体，所得几何体的表面积为_____________ . .11．（理）在正三棱锥ABC S -中，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点，且AM MN ⊥，若侧棱32=SA ，则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是（ ） A ．π12B ．π32C ．π36D ．π4812、（文）已知ABCD 是同一球面上的四点，且每两点间距离相等，都等于2，则球心到平面BCD 的距离是（ ） A ．36B ．66 C ．126 D ．186 13、正方体1111D C B A ABCD -，F E ,分别是1AA ，1CC 的中点，P 是1CC 上的动点（包括端点）过E 、D 、P 作正方体的截面，若截面为四边形，则P 的轨迹是 （ ）A 、线段F C 1B 、线段CFC 、线段CF 和点1CD 、线段F C 1和一点C14、P 为ABC ∆所在平面外一点，PA 、PB 、PC 与平面ABC 所的角均相等，又PA 与BC 垂直，那么ABC ∆的形状可以是 。

高考数学直线、平面、简单几何体热点分析及预测人教版一、有效落实纲本，积极发挥导向（一）命题基本原则数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识在各自的发展过程中的纵向联系和各部分知识之间的横向联系.要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试题的结构框架.对数学基础知识的考查，要求全面又突出重点，对于支撑学科知识体系的重点知识，考查时要保持较高的比例，构成数学试题的主体.注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面.从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题，使考查达到必要的深度.数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，能够迁移并广泛应用于相关学科和社会生活中.因此，对于数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度.考查时要从学科整体意义和思想价值立意，要有明确的目的，加强针对性，注意通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度.数学是一门思维的科学，是培养理性思维的重要载体，通过空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表达、运算推理、演绎证明和模式构建等诸方面，对客观事物中的数量关系和数学模式进行思考和判断，形成和发展理性思维，构成数学能力的主体.对能力的考查，强调"以能力立意"，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料.对知识的考查侧重于理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同的情境中去的能力，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度，以及进一步学习的潜能.对能力的考查，以思维能力为核心，全面考查各种能力，强调综合性、应用性，切合考生实际.运算能力是思维能力和运算技能的结合，它不仅包括数的运算，还包括式的运算，对考生运算能力的考查主要是算理和逻辑推理的考查，以含字母的式的运算为主.空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，考查时注意与推理相结合.实践能力在考试中表现为解答应用问题，考查的重点是客观事物的数学化，这个过程主要是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决.命题时要坚持"贴近生活，背景公平，控制难度"的原则，要把握好提出问题所涉及的数学知识和方法的深度和广度，要切合我国中学数学教学的实际，让数学应用问题的难度更加符合考生的水平，引导考生自觉地置身于现实社会的大环境中，关心自己身边的数学问题，促使学生在学习和实践中形成和发展数学应用的意识.创新意识和创造能力是理性思维的高层次表现.在数学学习和研究过程中，知识的迁移、组合、融汇的程度越高，展示能力的区域就越宽泛，显现出的创造意识也就越强.命题时要注意试题的多样性，设计考查数学主体内容，体现数学素质的题目，反映数、形运动变化的题目，研究型、探索型或开放型的题目.让考生独立思考，自主探索，发挥主观能动性，研究问题的本质，寻求合适的解题工具，梳理解题程序，为考生展现其创新意识发挥创造能力创设广阔的空间.数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查，注重展现数学的科学价值和人文价值.同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重视试题的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，努力实现全面考查综合数学素养的要求.（二）考纲要求9(A)①直线、平面、简单几何体考试要求：（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图.能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形.能够根据图形想象它们的位置关系（2）握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理.掌握两条直线所成的角和距离的概念(对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离).（3）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理.掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.了解三垂线定理及其逆定理.(4)掌握两个平面平行的判定定理和性质定理.掌握二面角、二面角的平面角、两个平面间的距离的概念.掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理.(5)会用反证法证明简单的问题.(6)了解多面体的概念，了解凸多面体的概念.(7)了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图.(8)了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图.(9)了解正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式.(10)了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式.9(B)直线、平面、简单几何体考试要求：（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图.能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系.（2）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理.掌握直线和平面垂直的判定定理.了解三垂线定理及其逆定理.（3）理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘.（4）了解空间向量的基本定理.理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算.（5）掌握空间向量的数量积的定义及其性质.掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式.掌握空间两点间距离公式.(6)理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念.(7)掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念.对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离.掌握直线和平面垂直的性质定理.掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理.(8)了解多面体的概念，了解凸多面体的概念.(9)了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图.(10)了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图.(11)了解正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式.(12)了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式.【注意】高考中立体几何试题主要考查的是考生的逻辑表达能力、计算能力以及空间想象能力.而在内容上，在论证的基础上求空间的角和距离类型的试题是多年来较为稳定的考查内容.二、2004年、2005年试题回顾与特点分析近几年高考立体几何命题有以下特点：(1)题型和题量较稳定：一般是二选一填一解答，2005年题量稍有上调，在全国各省市18套不同试卷中，大多数是三选一填(或二选)一解答，分值占全卷分值的20％左右，值得关注。

数学高考复习名师精品教案第82课时：第九章直线、平面、简单几何体——球与多面体课题：球与多面体一．复习目标：1.了解多面体、正多面体的概念,了解多面体的欧拉公式,并利用欧拉公式解决有关问题；2.了解球、球面的概念, 掌握球的性质及球的表面积、体积公式, 理解球面上两点间距离的概念, 了解与球的有的内接、外切几何问题的解法．二．主要知识：1．欧拉公式；2．球的表面积；球的体积公式；3．球的截面的性质：．三．课前预习：1．一个凸多面体的顶点数为20，棱数为30，则它的各面多边形的内角和为( )D7200C6480 ()B5400 ()()A2160 ()2．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积是( )D6πC()()A3π()B4π()3．正四面体的中心到底面的距离与这四面体的高的比是 ( ) ()A 21 ()B 31 ()C 41 ()D 614．地球表面上从A 地(北纬45 ，东经120 )到B 地(北纬45 ，东经30 )的最短距离为（球的半径为R ） （ ）()A 4Rπ ()B R π ()C 3Rπ ()D 2Rπ5．设,,,P A B C 是球O 面上的四点,且,,PA PB PC 两两互相垂直,若P A P B P C a===则球心O 到截面ABC 的距离是 . 四．例题分析：例1．已知三棱锥P A B C -内接于球, 三条侧棱两两垂直且长都为1, 求球的表面积与体积.例2．在北纬60 圈上有甲、乙两地，它们的纬度圆上的弧长等于2Rπ(R 为地球半径)，求甲，乙两地间的球面距离。

例3．如图,球心到截面的距离为半径的一半，B C 是截面圆的直径,D 是圆周上一点，C A 是球O 的直径， (1) 求证：平面ABD ⊥平面A D C ； (2) 如果球半径是13，D 分 BC为两部分, 且 :1:2BD DC =，求A C 与BD 所成的角；(3) 如果:2BC D C =，求二面角B A C D --的大小。

第九章直线、平面、简单几何体(B)课时作业45平面与空间直线时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的() A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件答案：A2．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确．．．的是() A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC答案：C3．在图1中，G、H、M、N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有()图1A．0个B．1个C．2个D．3个解析：题图(1)中，直线GH∥MN；图(2)中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图(3)中GM∥HN，因此GH与MN共面；图(4)中，G、M、N三点共面，但H∉面GMN，∴GH与MN异面．所以图(2)、(4)中GH与MN异面．答案：C4．(2009·全国卷Ⅰ)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC 上的射影为B图2C的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为( )A.34 B.54 C.74 D.34解析：设棱长为2，BC 的中点为D ，由题意，得AD ＝ 3. 在Rt △A 1AD 中，A 1D ＝AA 21－AD 2＝22－(3)2＝1. 在Rt △A 1BD 中，A 1B ＝A 1D 2＋BD 2＝ 2. ∵AA 1∥CC 1，∴AB 与AA 1所成的角∠A 1AB 即为AB 与CC 1所成的角． 在△A 1AB 中，由余弦定理，得cos ∠A 1AB ＝AA 21＋AB 2－A 1B22AA 1·AB ＝4＋4－22×2×2＝34.答案：D5．直线l ⊂平面α，经过α外一点A 与l 、α都成30°角的直线有且只有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：所求直线在平面α内的射影必与直线l 平行．这样的直线只有两条，故选B. 答案：B 6．(2008·辽宁高考)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 1、EF 、CD 都相交的直线( )A ．不存在B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有无数条解析：分别在异面直线A 1D 1、CD 上各任取一点M 、N ，则线段MN 的中点的轨迹构成一个平面α，显然直线EF 在平面α内．在EF 上任取一点P ，点P 和直线A 1D 1确定的平面与直线CD 交于点Q ，显然直线QP 与直线A 1D 1必有交点R ，即这样的直线有无穷多条．故选D.答案：D二、填空题(每小题4分，共20分)7．已知空间四边形的对角线相等，顺次连结它的各边中点所成的四边形是________． 解析：根据三角形中位线定理，连结各边中点的四边形的边分别等于对角线的一半，且对边分别平行，则构成平面图形，并且是平行四边形，再由四条边相等，即可判断为菱形．答案：菱形8．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、Q 分别为AB 、BB 1、C 1D 1的中点，过M 、N 、Q 的平面与正方体相交，截得的图形是________．解析：设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 、R 、S 分别为B 1C 1、D 1D 、AD 的中点，则六边形MNPQRS 即为平面MNQ 与正方体相交所得的截面图形，并且它是正六边形．∵面ABB 1A 1∥面CDD 1C 1，设平面MNQ 与平面DCC 1D 1的交线为R ′Q .则MN ∥QR ′. 而QR ∥DC 1∥AB 1∥MN ，据平行公理知过点Q 与MN 平行的直线有且只有一条． ∴QR 与QR ′重合，即R 与R ′重合(R ′为D 1D 的中点)． ∵MN 不平行于A 1B 1，∴MN 与A 1B 1必相交，设交点为K ，可证得B 1K ＝BM .同理QP 与A 1B 1也一定相交，交点为K ′，且B 1K ′＝QC 1＝MB ＝B 1K .∴MN 与QP 相交于点K .于是过点M 、N 、Q 的平面MNQR 与平面MNPQ 重合， 即M 、N 、P 、Q 、R 共面于MNQ . 同理可证S 点也在此平面MNQ 内． 所以平面MNPQRS 是一平面图形． 易证得MN ＝PN ＝QP ＝QR ＝RS ＝SM .由等角定理可知∠MNP ＝∠QRS ， ∠QPN ＝∠MSR ，∠SMN ＝∠RQP .连结MQ ，易证QM ∥PN ，在等腰梯形MNPQ 中， ∠QPN ＝∠MNP ，同理∠PQR ＝∠QPN .∴∠SMN ＝∠MNP ＝∠NPQ ＝∠PQR ＝∠QRS ＝∠RSM . ∴MNPQRS 为正六边形． 答案：正六边形9．(2009·四川高考)如图3，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是______．图3解析：建立如图4所示的坐标系，O 为BC 中点，设三棱柱的棱长为2a ，则点A (3a,0,0)，B (0，a,0)，B 1(0，a,2a )，图4M (0，－a ，a )，则AB 1→·BM →＝0，所以异面直线AB 1与BM 所成的角为90°. 答案：90°10．过正方体任意两个顶点的直线共有28条，其中异面直线有________对． 解析：由于以正方体的某四个顶点可以形成C 48－(6＋6)＝58个三棱锥(注：先从8个顶点中任选4个顶点有C 48种选法，其中四点共面的情形有两类：一类是所选的四个顶点恰好是某一个面的四个顶点时，此类有6种；另一类是所选的四个顶点刚好是该正方体的某一个对角面的四个顶点时，此类也有6种)，而每个三棱锥的四条棱间能够形成3对异面直线，因此满足题意的异面直线对共有58×3＝174对．答案：174三、解答题(共50分)11．(15分)如图5，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为正方形ABCD 的中点，H 为直线B 1D 与平面ACD 1的交点．求证：D 1、H 、O 三点共线．证明：连结BD ，B 1D 1则BD ∩AC ＝O ，如图6， ∵BB 1綊DD 1，∴四边形BB 1D 1D 为平面图形且为平行四边形，又H ∈B 1D ，B 1D ⊂平面BB 1D 1D ，则H ∈平面BB 1D 1D ，∵平面ACD 1∩平面BB 1D 1D ＝OD 1，∴H ∈OD 1. ∴D 1、H 、O 三点共线．图5图612．(15分)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中E 、F 分别为BB 1、CC 1的中点，求AE 、BF 所成角的余弦值．图7解：如图7，取DD 1中点M ，连结AM 、MF 、ME ，由AB 綊CD 綊MF 知四边形ABFM 为平行四边形∴AM ∥BF ，则AM 与AE 所夹锐角或直角为异面直线所成的角，设AB ＝1， 则在△AEM 中AE ＝AM ＝52，ME ＝2，∴cos ∠MAE ＝AM 2＋AE 2－ME 22AM ·AE ＝15，即异面直线AE 、BF 所成角的余弦值为15.13．(20分)(2009·广东高考)如图8，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 是正方形BCC 1B 1的中心，点F ，G 分别是棱C 1D 1，AA 1的中点．设点E 1，G 1分别是点E ，G 在平面DCC 1D 1内的正投影．图8(1)求以E 为顶点，以四边形FGAE 在平面DCC 1D 1内的正投影为底面边界的棱锥的体积；(2)证明：直线FG 1⊥平面FEE 1；(3)求异面直线E 1G 1与EA 所成角的正弦值．解：(1)依题作点E 、G 在平面DCC 1D 1内的正投影E 1、G 1，则E 1、G 1分别为CC 1、DD 1的中点，连结EE 1、EG 1、ED 、DE 1，则所求为四棱锥E —DE 1FG 1的体积，其底面DE 1FG 1的面积为(2)证明：以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别作x 轴，y 轴，z 轴，得E 1(0,2,1)、G 1(0,0,1)，图9又G (2,0,1)，F (0,1,2)，E (1,2,1)， 则FG 1→＝(0，－1，－1)，FE →＝(1,1，－1)，FE 1→＝(0,1，－1)， ∴FG 1→·FE →＝0＋(－1)＋1＝0， FG 1→·FE 1→＝0＋(－1)＋1＝0，即FG 1⊥FE ，FG 1⊥FE 1. 又FE 1∩FE ＝F ，∴FG 1⊥平面FEE 1.(3)E 1G 1→＝(0，－2,0)，EA →＝(1，－2，－1)，则cos 〈E 1G 1→，EA →〉＝E 1G 1→·EA → |E 1G 1→||EA →|＝26.设异面直线E 1G 1与EA 所成角为θ，则sin θ＝1－23＝33.∴异面直线E 1G 1与EA 所成角的正弦值为33.。