直线平面简单几何体综合训练

高二数学（直线、平面、简单几何体）单元测试07年4月班级学号姓名一． 选择题(6′×7)1．,a b 是平面α外的两条直线，若//,a α 则“//a b ”是“//b α” 的（A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要 2．下面四个命题中，真命题的个数是①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③侧棱垂直于底面的两条边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体。

（A ）1（B ）2（C ）3 （D ）43．已知ABC ∆是正三角形，PA ⊥平面ABC ，且12PA AC =，则二面角P BC A --为 （A ）60°（B ）30° （C ）45° （D ）120°4．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的16，经过这3个点的小圆的周长为6π，则这个球的半径为（A ） （B ）4 （C （D ）5．棱长均为1的平行六面体1111ABCD A BC D -中，1BAD BAA ∠=∠=13DAAπ∠=，若点,M N 分别为棱111,A D BB 的中点，则MN 的长度为（A ）1（B （C ）2 （D ）6．在正方体1111ABCD A BC D -过顶点A 1在空间作直线l ，使l 与直线AC 、BC 1所成的角都等于60°，这样的直线的条数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 47．(理)正三棱锥V-ABC 的底面边长为2a ，E ，F ，G ，H 分别是VA ，VB ，BC ，AC 的中点，则四边形EFGH 面积的取值范围是(A)(0,)+∞ (B)2,)+∞ (C) 2,)+∞ (D) 21(,)2a +∞（文）若直线l 与平面α所成角为3π，直线a 在平面α内，且与直线l 异面，则直线l 与直线a 所成角的取值范围是 (A)0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦(B)20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (C) 2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (D) ,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦二． 填空题(6′×5)8．长方体的三条棱长a b c 、、22，则该长方体的体积为________。

第十章排列、组合和二项式定理课时作业53两个计数原理时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知如图1的每个开关都有闭合、不闭合两种可能，因此5个开关共有25种可能，在这25种可能中，电路从P到Q接通的情况有()图1A．30种B．10种C．16种D．24种解析：5个开关闭合有1种接通方式；4个开关闭合有5种接通方式；3个开关闭合有8种接通方式；2个开关闭合有2种接通方式．故共有1＋5＋8＋2＝16(种)．答案：C2．从正方体的8个顶点中任取3个为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为() A．56 B．52C．48 D．40解析：正方体的每1个顶点引出3条棱，3条面对角线，每2条棱构成一个直角三角形两边，每1条面对角线与1条棱构成一直角三角形两边．所以以每1个顶点为直角顶点有6个直角三角形，所以共有6×8＝48个直角三角形．答案：C3．(2009·湖南高考)从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为() A．85 B．56C．49 D．28解析：分两类计算，C22C17＋C12C27＝49，故选C.答案：C4．将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为a i(i＝1,2，…，6)．若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1<a3<a5，则不同的排列方法种数为() A．18 B．30C．36 D．48解析：∵a1≠1且a1<a3<a5，∴(1)当a1＝2时，a3为4或5，a5为6，此时有12种；(2)当a1＝3时，a3仍为4或5，a5为6，此时有12种；(3)当a1＝4时，a3为5，a5为6，此时有6种．∴共30种．答案：B5．(2009·广东高考)2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有() A．48种B．12种C．18种D．36种解析：若小张和小赵恰有1人入选，则共有C12C12A33＝24种方案，若小张和小赵两人都入选，则共有A23A22＝12种方案，故总共有24＋12＝36种方案．故选D.答案：D6．(2009·唐山质检)已知I＝{1,2,3}，A、B是集合I的两个非空子集，且A中所有数的和大于B中所有数的和，则集合A、B共有() A．12对B．15对C．18对D．20对解析：依题意，当A、B均有一个元素时，有3对；当B有一个元素，A有两个元素时，有8对；当B有一个元素，A有三个元素时，有3对；当B有两个元素，A有三个元素时，有3对；当A、B均有两个元素时，有3对；共20对，选择D.答案：D二、填空题(每小题5分，共20分)7．用5种不同颜色给图中A、B、C、D4个区域涂色，规定每个区域只涂1种色，相邻区域涂不同颜色，则不同的涂色方法共有__________种．图2解析：A、B、C区域分别有5、4、3种涂法，因D可与A同色，则D区域有3种涂法，故共有5×4×3×3＝180种．答案：1808．有一个机器猫(看作一点)在坐标平面内从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动机器猫落在点(3,0)(允许重复过此点)处，则机器猫不同的运动方法共有________种(用数字作答)．解析：由已知条件可得，机器猫共向正方向跳动4次，向负方向跳动1次，所以该问题转化为机器猫向负方向跳动1次的所有情况．机器猫向负方向跳动1次的所有情况为：第k次跳动为向负方向跳动，k＝1、2、3、4、5，共有5种情况．答案：59．(2009·浙江高考)甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答)．解析：3个人各站一级台阶有A37＝210种站法；3个人中有2个人站在一级，另一人站在另一级，有C23A27＝126种站法，共有210＋126＝336种站法．故填336.答案：33610．(2009·陕西高考)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．图3解析：由题意知，同时参加三个小组的人数为0，令同时参加数学、化学人数为x人.20－x＋6＋5＋4＋9－x＋x＝36，x＝8.答案：8三、解答题(共50分)11．(15分)某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O 型血的共有28人，A 型血的共有7人，B 型血的共有9人，AB 型血的有3人．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？解：从O 型血的人中选1人有28种不同的选法，从A 型血的人中选1人有7种不同的选法，从B 型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB 型血的人中选1人有3种不同的选法．(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情已完成，所以由分类计数原理，共有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步计数原理，共有28×7×9×3＝5292种不同的选法．12．(15分)若a 、b ∈N ，且a ＋b ≤6，则以(a ，b )为坐标的不同的点共有多少个？ 解：按a 的取值进行分类：当a ＝1时，b 的可取值有5个，对应着5个不同的点；当a ＝2时，b 的可取值有4个，对应着4个不同的点；当a ＝3时，b 的可取值有3个，对应着3个不同的点；当a ＝4时，b 的可取值有2个，对应着2个不同的点；当a ＝5时，b 的可取值有1个，对应着1个点．由分类计数原理，共有5＋4＋3＋2＋1＝15个不同的点．13．(20分)设M ＝{1,2,3，…，100}，从M 中选出3个不同的数，使它们成等差数列，最多可以组成多少个这样的等差数列？解：当公差d 取1时，可得1,2,3；2,3,4；…；98,99,100共98个等差数列．同理，当公差分别取2,3，…，49时，可依次有96,94，…，2个等差数列，并且每一个等差数列的倒序数列依然是等差数列，所以可得49(98＋2)2×2＝4900. 最多可组成4900个这样的等差数列．。

三、解答题（共76，其中附加题10分）17、（12分）已知四棱锥S —ABCD 中，底面为正方形，SA ⊥底面ABCD ，且AB ＝SA ＝2，M 、N 分别是AB 、SC 的中点。

⑴求证：AB ⊥MN ；⑵求异面直线AB 与SC 的距离。

18、（12分）在平行四边形ABCD 中，AB=3，AD=5，DB=4，以BD 为棱折成120°的二面角。

⑴求的长；⑵求点A 到平面BCD 的距离。

19、（14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，1==CB CA ，︒=∠90BCA ，棱21=AA ，M 、N 分别是11B A 、A A 1的中点。

⑴求证：M C B A 11⊥；⑵求直线B 1C 和BN 所成的角的余弦值。

20、（14分）在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧面PAB 是正三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD 。

⑴求证：BC ⊥侧面PAB ；⑵求证：侧面PAD ⊥侧面PAB ；⑶求侧面PBC 与侧面PAD 所成的角的大小。

N MSADCB PDADCAC 1äB 1äNCMA 1äBA最新整理21、（14分）如图，在长方体AC ′中，E 为棱BB ′上一点，AB ＝1，BCAA ′＝3，AC ′⊥EC 。

⑴求BE 的长；⑵求平面AC ′E 和底面ABCD 所成二面角（锐角）的余弦值； ⑶求点A ′到平面AC ′E 的距离。

22、（附加题，满分10分，计入总分）在任意DEF ∆中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 2222.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面 面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.D′C′B′A′DCBAE M PNB′A′C′C AB最新整理参考答案：一题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B C B C A D B C A D A二、填空题（每小题6分，共24分）13、30° 14、32 15、①④ 16、2三、解答题（共76，其中附加题10分）17、⑴以AD 为x 轴、AB 为y 轴、AS 为z 轴建立坐标系，则AB u u u v＝（0，2，0），MN u u u u v ＝（1，0，1），∵AB u u u v ﹒MN u u u u v ＝0，∴AB u u u v ⊥MN u u u u v ，即AB ⊥MN ；（6分） ⑵SC u u u v ＝（2，2，-2），MN u u u u v ＝（1，0，1），SC u u u v ﹒MN u u u u v ＝0，∴SC u u u v ⊥MN u u u u v 。

其中正确的命题 （
Ａ． 和② ①
） ．
Ｂ ① 和④ ．
Ｄ 是 ＡＡ 的 中 点 ， 么 截 面 ＤＢ 与 底 面 那 Ｃ
ＡＢ Ｃ所 成 二 面角 的大小 是 （
Ａ． ０ ３。 Ｂ４。 ． ５
Ｃ ③和 ④ ．
Ｄ． 只有 ④ ） ．
２ 已知 直 线 ， 和 平 面 ａ 那 么 ／ 的一 个 ． ， ／
９在 正三 棱锥 Ｐ—ＡＢＣ 中 ， 、 分 别是 ＰＢ、 ． Ｍ Ｎ ＰＣ的中点 ， 若截 面 Ａ ＭＮ上 侧 面 ＰＢ 则 此 Ｃ， 棱 锥侧 面与 底 面所 成 的二 面角是 （ ） ．
Ａ 寺
Ｃ．ａ ｃ ｏｓ ｒｃ
ｏ
Ｂ ．
Ｄ． ｒ ｃ ｓ ａｃｏ
Ｕ
②直线 ａ／ ，上平面 ａ６ ／ｂ口 ，上平面 口 ； ③口６ 、是异面直线， ， ａ ｐ６ ； 口 ， 且 ／， ｃ ／ ∥口 ④平 面 ａ内距 离 为 ｄ 的 两 条直 线 在 平 面 口
Ｄ ａ与 ｂ不可 能垂 直 ， 不 可能平 行 ． 也 ４ 已知 四个命 题 ： ． ①各 侧 面都 是 正方 形 的棱 柱
一
Ｃ
定是 正棱 柱 ； 对 角 面 是 全 等 矩 形 的 直 四 ②
Ａ． Ｂ．
棱 柱一 定是 长 方 体 ； 有 一 条 侧 棱 与 底 面 垂 ③ 直 的棱 柱是 直 棱 柱 ； 有 两 条 侧 棱 都垂 直 于 ④ 底 面一 边 的平 行 六 面 体 是直 平 行 六 面体 ． 则
Ｄ
Ｄ４ ａ ． ２
①若 ａ／ ，Ｃａ 则 ａ／ ； ／ｂｂ ， ／ａ ②若 ａ／ ，Ｃａ 则 ａ／ ； ／ａｂ ， ／６
③若 ａｌ ，∥ａ贝 ／６ ｌａ６ ，０ ／ ； ａ

平面几何练习题及解答一、直线与角度1. 给定一条直线L1和两条直线L2和L3，若L1与L2垂直，L2与L3平行，则L1与L3之间的夹角为多少度？解答：由于L1与L2垂直，可得出L2的斜率为无穷大，即L2为竖直线。

而L2与L3平行，说明它们具有相同的斜率。

因此，L3的斜率也为无穷大，即L3也是竖直线。

由此可知，L1与L3之间的夹角为90度。

2. 给定一条直线L和两点A、B，若L与AB的垂线相交于点M，且角AMB为40度，则角LMA的度数是多少？解答：由垂线的性质可得出，角LMA与角AMB互补，它们的度数和为90度。

已知角AMB为40度，因此角LMA的度数为90度减去40度，即50度。

二、三角形3. 已知三角形ABC，其中∠B = 90度，AB = 3 cm，BC = 4 cm，求AC的长度。

解答：根据勾股定理可得：AC² = AB² + BC²AC² = 3² + 4²AC² = 9 + 16AC² = 25AC = √25AC = 5 cm4. 已知三角形ABC，其中AB = 6 cm，BC = 8 cm，AC = 10 cm，求∠B的度数。

解答：根据余弦定理可得：BC² = AB² + AC² - 2 * AB * AC * cosB8² = 6² + 10² - 2 * 6 * 10 * cosB64 = 36 + 100 - 120 * cosB64 = 136 - 120 * cosB120 * cosB = 136 - 64120 * cosB = 72cosB = 72 / 120cosB = 0.6根据反余弦函数可得：∠B = arccos(0.6)∠B ≈ 53.13度三、圆的性质5. 在平面直角坐标系中，给定圆心为O(2, 3)，半径为5的圆C，点P(6, 7)是否在圆C上？解答：利用距离公式可计算OP的距离：OP = √((6-2)² + (7-3)²)OP = √((4)² + (4)²)OP = √(16 + 16)OP = √32OP ≈ 5.66由于OP的长度不等于圆C的半径，即5.66不等于5，因此点P不在圆C上。

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等 边 i 角 形 A B C 与 正 方 形A B D E 有
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平 面 简单 几 何 体 检 测 卷
文建华
一
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选 择 题 (本 大 题 共 12 小 题 每 小 题 5 分 共 6 0
，
，
7
，
．
如图 在
，
一
个倒 置 的正 三 棱锥 容器 中 放人
，
一
个
一
分
。
在 每 小 题 给 出的 四 个 选 项 中 只 有
，
给 出证 明过 程
一
。
个 正 方 体 的 各 顶 点均 在 同
一
20
．
如图
-
，
严 _ AB c D 是 正
四
，
该 球 的体 积 为4 、 j ／ 厂
15
．
盯
，
则 该 正 方 体 的表 面
-
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B A B CD A ， I C lD ， 正 方 体 是
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如 图 正 方 体A B C D
，
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( 如 图2 )
，
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填 空 题 (本 大 题 共4 小 题 每 小 题 4 分 共 1 6 分
把 答 案 添 在 题 中的横 线 上 )

Ｃ ＩＩ 知 ＂ Ｏ ＿ — 了 ｉ Ｓ ＝ …＝ ． Ａ ＝ Ｄ — Ｔ
： ：
・
Ｉ ＧＩ Ｃ．
（） ２ 作 日上 Ｇ于 Ｈ， 由三垂 线定 理知 Ｇ Ｉ Ｈ， Ｈ＿Ａ ＿
。
为二 面角 Ａ—Ｃ Ｇ— ｌ Ａ 的平 面角．
设Ｈ ０ ， ， 硇 ＝ ０ｂ ）Ｃ ： ａ １ 一 ， ． （，０ 则 ６） （，０ ， Ｈ ， 一 １ 一， １ ） ｂ ｏ 由Ａ Ａ ，， ｊ ＿ Ｇ卿 Ｈ Ｃ
线Ａ ， ｃ ｃ的距离 肋 和 ｐ Ｅ都等于 ３ ／－ 求 ： ｉ． ６
（ ） 明 ： １ 平 面 Ａ １ ． １证 Ｃ ＤＪ ＿ １ 鲋 Ａ
（） 面 Ａ 。。 ２求 Ｃ Ｂ 与面 Ａ Ａ 。 。Ｂ 所成 的二面角 的大 小．
： （） ３求点 Ａ到平面 Ａ Ｃ的距离． 。 Ｄ。
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９ 图 三柱 ｃＡ１中 Ａ 丢ＡＬ Ｃ ０ 为 。中． ． ， 棱 —Ｂ。，： ＝Ａ，Ａ： 棱 的点 如直 Ｉ Ａ Ｃ 。Ｂ Ｄ Ｃ
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： ． 图 ， 三棱柱 Ａ Ｃ— 中 ， １如 直 Ｂ ＡＢ１ Ｇ ｃ＝Ｂ Ｃ＝Ａ １ ， Ｃ Ａ ＝２ ／Ａ Ｂ＝９ 。Ｅ为 Ｂ 的 中点 ， Ｄ 在 Ａ ０ Ｂ。 点
上 ， ＿ Ｅ＝ ． Ｊ Ｄ ￣
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（） １ 求证 ：Ｄ＿面 ＡＡ Ｂ ． Ｃ Ｉ ＿ Ｉ Ｂ （） ２ 求二面角 Ｃ— Ｅ— ， Ｄ的大小・

高三数学单元《直线、平面及简单几何》一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．已知平面α与平面β相交，直线α⊥m ，则（ ）A ．β内必存在直线与m 平行，且存在直线与m 垂直B ．β内不一定存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直C ．β内不一定存在直线与m 平行，但必存在直线与m 垂直D ．β内必存在直线与m 平行，却不一定存在直线与m 垂直 2．已知直线α平面⊥l ，直线β平面⊂m ，给出下列命题①α∥m l ⊥=β； ②l ⇒⊥βα∥m ③l ∥βα⊥⇒m ④α⇒⊥m l ∥β 其中正确命题的序号是 （ ）A ．①②③B ．②③④C ．②④D ．①③3．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1DD 的中点，O 为底面ABCD 的中心，P 为棱11A B 上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角是 （ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 4．等边三角形ABC 和等边三角形ABD 在两个相互垂直的平面内，则cos ∠CAD=（ ） A ．21-B ．41 C ．167-D ．05．已知l m ,是异面直线，给出下列四个命题：① 必存在平面α，过m 且与l 平行；② 必存在平面β，过m 且与l 垂直；③ 必存在平面γ，与l m ,都垂直；④ 必存在平面ω，与l m ,的距离相等.其中正确的结论是 （ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④ 6．如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a =（1，0，1），b =（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°7．正多面体的每个面都是正n 边形，顶点数是V ，棱数是E ，面数是F ，每个顶点连的棱数是m ，则它们之间不正确．．．的关系是 （ ） A ．mF=2E B ．mV=2E C ．nF=2E D ．V+F=E+28．在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 是对角线 A 1C 上的点，若PQ=2a，则三棱锥P-BDQ 的体积为 （ ）A ．3633aB ．3183aC ．2433aD ．不确定9．如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点 P 到直线A 1B 1与直线BC 的距离相等，则动点P 所在曲线的形 状为 （ ）10．四面体的棱长中，有两条为32及，其余全为1时，它的体积（ ）A ．122 B ．123 C ．121 D ．以上全不正确11．已知铜的单晶体的外形是简单几何体，单晶铜有三角形和八边形两种晶面，如果铜的单晶体有24个顶点，每个顶点处有3条棱，那么单晶铜的三角形晶面和八边形晶面的数目分别是 （ ）A ．6，8B ．8，6C ．8，10D ．10，812．如图一，在△ABC 中，AB ⊥AC 、AD ⊥BC ，D 是垂足，则BC BD AB ⋅=2（射影定理）。

卜人入州八九几市潮王学校直线平面简单几何体1、空间两直线m l 、在平面βα、上射影分别为1a 、1b 和2a 、2b ，假设1a ∥1b ，2a 与2b 交于一点，那么l 和m 的位置关系为〔A 〕一定异面〔B 〕一定平行〔C 〕异面或者相交〔D 〕平行或者异面2、在直二面角βα--MN 中，等腰直角三角形ABC 的斜边α⊂BC ，一直角边β⊂AC ，BC 与β所成角的正弦值为46，那么AB 与β所成的角是 〔A 〕6π〔B 〕3π〔C 〕4π〔D 〕2π 〔第2题图〕3、二面角βα--l 是直二面角，βα∈∈B A ，，设直线AB 与βα、所成的角分别为∠1和∠2，那么〔A 〕∠1+∠2=900〔B 〕∠1+∠2≥900〔C 〕∠1+∠2≤900〔D 〕∠1+∠2＜9004、边长为a 的菱形ABCD ，∠A =3π，将菱形ABCD 沿对角线折成二面角θ，θ∈[3π，32π]，那么两对角线间隔的最大值是〔A 〕a 23〔B 〕a 43〔C 〕a 23〔D 〕a 43 5、〔A 方案〕二面角α―AB ―β的平面角是锐角，C 是面α内的一点〔它不在棱AB 上〕，点D 是点C 在面β上的射影，点E 是棱AB 上满足∠CEB 为锐角的任意一点，那么 〔A 〕∠CEB =∠DEB 〔B 〕∠CEB ＞∠DEB〔C 〕∠CEB ＜∠DEB 〔D 〕∠CEB 与∠DEB 的大小关系不能确定〔B 方案〕假设点A 〔42+λ，4－μ，1+2γ〕关于y 轴的对称点是B 〔－4λ，9，7－γ〕，那么λ，μ，γ的值依次为〔A〕1，－4，9〔B〕2，－5，－8〔C〕－3，－5，8〔D〕2，5，86、用一个平面去截正方体，所得的截面不可能．．．是〔A〕六边形〔B〕菱形〔C〕梯形〔D〕直角三角形7、正方形ABCD，沿对角线AC将△ADC折起，设AD与平面ABC所成的角为β，当β取最大值时，二面角B―AC―D等于〔A〕1200〔B〕900〔C〕600〔D〕4508、以下各图是正方体或者正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点中不一共面．．．．的一个图是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕9、有三个平面α，β，γ〔A〕假设α，β，γ两两相交，那么有三条交线〔B〕假设α⊥β，α⊥γ，那么β∥γ〔C〕假设α⊥γ，β∩α=a，β∩γ=b，那么a⊥b〔D〕假设α∥β，β∩γ=∅，那么α∩γ=∅10、正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为BC中点，N为D1C1的中点，那么NB1与A1M所成的角等于〔A〕300〔B〕450〔C〕600〔D〕90011、一个简单多面体的各个顶点处都有三条棱，那么顶点数V与面数F满足的关系式是〔A〕2F+V=4〔B〕2F－V=4〔C〕2F+V=2〔D〕2F－V=212、如图，面ABC⊥面BCD，AB⊥BC，BC⊥CD，且AB=BC=CD，设AD与面AB C所成角为α，AB与面ACD所成角为β，那么α与β的大小关系为〔A〕α＜β〔B〕α=β〔C〕α＞β〔D〕无法确定13、〔A方案〕如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上，AP=C1Q，那么四棱锥B －APQC 的体积为 〔A 〕2V 〔B 〕3V 〔C 〕4V 〔D 〕5V 〔13题方案A 图〕〔13题方案B 图〕〔B 方案〕侧棱长为2的正三棱锥，假设其底面周长为9，那么该正三棱锥的体积是 〔A 〕239〔B 〕433〔C 〕233〔D 〕439 14、〔A 方案〕如下列图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到直线AB 与直线B 1C 1的间隔相等，那么动点P 所在曲线的形状为 〔A 〕〔B 〕〔C 〕〔D 〕〔B 方案〕如下列图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面A 1C 1，B 1C ，CD 1的中心分别为O 1，O 2，O 3，那么直线AO 1与直线O 2O 3所成的角为〔A 〕900〔B 〕600〔C 〕450〔D 〕300〔14题B 方案图〕〔15题A 方案图〕〔15题B 方案图〕15、〔A 方案〕在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中与AD 1成600角的面对角线的条数是 〔A 〕4条〔B 〕6条〔C 〕8条〔D 〕10条〔B 方案〕正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AB ，BB 1的中点，A 1E 与C 1F 所成的角是θ，那么〔A 〕θ=600〔B 〕θ=450〔C 〕52cos =θ〔D 〕52sin =θ 16、如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，平面B 1D 1E 与平面BB 1C 1C 所成角的正切值为 〔A 〕52〔B 〕25〔C 〕32〔D 〕23〔第16题图〕〔第17题B 方案图〕17、〔A 方案〕三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB=AC=3，BC =2，那么以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小是 〔A 〕4π〔B 〕3π〔C 〕2π〔D 〕32π〔B 方案〕如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是DD 1的中点，O 是底面正方形ABCD 的中心，P 为棱A 1B 1上任意一点，那么直线OP 与直线AM 所成的角为 〔A 〕4π〔B 〕3π〔C 〕2π〔D 〕与P 点的位置有关 18、〔A 方案〕斜棱柱底面和侧面中矩形的个数最多可有 〔A 〕2个〔B 〕3个〔C 〕4个〔D 〕6个〔B 方案〕设空间两个不同的单位向量a =〔x 1，y 1，0〕，b =〔x 2，y 2，0〕与向量c =〔1，1，1〕的夹角都等于4π，那么2211y x y x ++等于 〔A 〕21-〔B 〕－1〔C 〕21〔D 〕1 19、〔A 方案〕如下列图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF =23，EF 与面AC 的间隔为2，那么该多面体的体积为 〔A 〕29〔B 〕5〔C 〕6〔D 〕215 〔第19题A 方案图〕〔第19题B 方案图〕〔B 方案〕如下列图，四面体ABCD 中，AB ，BC ，CD 两两互相垂直，且AB=BC =2，E 是AC 的中点，异面直线AD 与BE 所成的角的大小是1010arccos，那么四面体ABCD 的体积是 〔A 〕8〔B 〕6〔C 〕2〔D 〕38 20、〔A 方案〕长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，那么这个球的面积为 〔A 〕π27〔B 〕π56〔C 〕π14〔D 〕π64 〔B 方案〕设A ，B ，C ，D 是空间不一共面的四点，且满足0=⋅AC AB ，0=⋅AD AC ，0=⋅AD AB ，那么△BCD 是〔A 〕钝角三角形〔B 〕直角三角形〔C 〕锐角三角形〔D 〕不确定21、球面的三个大圆所在平面两两垂直，那么以三个大圆的交点为顶点的八面体的体积与球体积之比是 〔A 〕2∶π〔B 〕1∶2π〔C 〕1∶π〔D 〕4∶3π22、如图，在斜三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，∠BAC =900，BC 1⊥AC ，那么C 1在底面ABC 上的射影H 必在 〔A 〕直线AB 上〔B 〕直线BC 上〔C 〕直线AC 上〔D 〕△ABC 内部 〔第22题图〕〔第23题图〕23、在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 是对角线A 1C 上的点，且PQ =2a，那么三棱锥P －BDQ 的体积为〔A 〕3363a 〔B 〕3183a 〔C 〕3243a 〔D 〕无法确定 24、球的内接三棱锥的三条侧棱两两垂直，长度分别为3cm ，2cm 和3cm ，那么此球的体积为〔A 〕33312cm π〔B 〕33316cm π〔C 〕3316cm π〔D 〕3332cm π25、如图，在一根长11cm ，外圆周长6cm 的圆柱形柱体外外表，用一根细铁丝缠绕，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，那么铁丝长度的最小值为 〔A 〕61cm 〔B 〕157cm 〔C 〕1021cm 〔D 〕1037cm26、棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为〔A 〕33a 〔B 〕43a 〔C 〕63a 〔D 〕123a27、在空间四边形ABCD 各边上分别取E 、F 、G 、H 四点，假设EF 和GH 能相交于点P ，那么 〔A 〕点P 必在直线AC 上〔B 〕点P 必在直线BD 上 〔C 〕点P 必在平面ABC 内〔D 〕点P 必在平面上ABC 外28、设长方体的三条棱长分别为a ，b ，c ，假设长方体所有棱的长度之和为24，一条对角线长度为5，体积为2，那么=++cb a 111 〔A 〕411〔B 〕114〔C 〕211〔D 〕112 29、四棱锥P －ABCD 的底面为平行四边形，设x =2PA 2+2PC 2－AC 2，y =2PB 2+2PD 2－BD 2，那么x ，y 之间的关系为〔A 〕x ＞y 〔B 〕x ＝y 〔C 〕x ＜y 〔D 〕不能确定30、〔A 方案〕如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面A 1B ⊥BC ，且A 1C 与底面成600角，AB=BC =2，那么该棱柱体积的最小值为〔A 〕34〔B 〕33〔C 〕4〔D 〕3〔第30题A 方案图〕〔第30题B 方案图〕〔B 方案〕如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，假设=11B A a ，=11D A b ，=A A 1c ，那么以下向量中与M B 1相等的是 〔A 〕21-a +21b +c 〔B 〕21a +21b +c 〔C 〕21a 21-b +c 〔D 〕21-a 21-b +c31、〔A 方案〕a 、b 为异面直线，α⊂a ，β⊂b ，又A ∈α，B ∈β，AB =12cm ，AB 与β成600角，那么a 、b 间间隔为．〔B 方案〕向量a 、b 满足|a |=31，|b |=6，a 与b 的夹角为3π，那么3|a |－2〔a ·b 〕+4|b |=．32、假设一个正多面体各个面的内角总和为36000，那么它的棱数、面数、顶点数依次为． 33、正方体的两个面上的两条对角线所成的角为．34、在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，P ，Q 分别为AA 1，BB 1上的点，且A 1P=BQ ，那么〔V C －ABQ +V C －ABP 〕∶=-111C B A ABC V ． 35、如图，在四棱锥P －ABCD 中，E 为CD 上的动点，四边形ABCD 为时，体积V P －AEB 恒为定值〔写上你认为正确的一个答案即可〕．〔第35题图〕〔第36题图〕36、如图，在四棱锥E －ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD ，2AB =3DC ，M 为AE 的中点，设E －ABCD 的体积为V ，那么三棱锥M －EBC 的体积为．37、如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出三个结论：〔1〕四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1为直四棱柱；〔2〕底面ABCD 为菱形；〔3〕AC 1⊥B 1D 1． ．38、〔A 方案〕一块长方体木料，按图中所示的余弦线截去一块，那么剩余局部的体积是． 〔第38题A 方案图〕〔B 方案〕在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1①2112111113）（）（B A B A D A A A =++；②01111=-⋅）（A AB AC A ； ③B A 1与1AD 的夹角为600；④此正方体的体积为：|AD AA AB ⋅⋅1|．39、〔A 方案〕一个四面体的所有棱长都是2，四个顶点在同一个球面上，那么此球的外表积为．〔B 方案〕点A 、B 、C 的坐标分别为〔0，1，0〕，〔－1，0，1〕，〔2，1，1〕，点P 的坐标为〔x ，0，z 〕，假设AB PA ⊥，AC PA ⊥，那么点P 的坐标为．40、〔A 方案〕以下五个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出l ⊥面MNP 的图形的序号是．〔写出所有符合要求的图形序号〕 ①②③④⑤〔B 方案〕在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，各面都是全等的菱形，菱形的锐角为600，且边长为1，那么点B 到平面AB 1C 的间隔BH =．[参考答案]31、〔A 方案〕36cm ；〔B 方案〕23 32、30，20，12 33、00或者600或者90034、1∶335、可有多种答案，如正方形 36、V 10337、138、〔A 方案〕a(b+c)πm 3；〔B 方案〕③，④ 39、〔A 方案〕3π；〔B 方案〕〔31，0，32 〕40、〔A 方案〕①，④，⑤；〔B 方案〕1122或者36。

训练19 直线、平面、简单几何体（三）一、选择题（方法：直接选择法、特殊化法、估算选择法、特征选择法、数形结合法、结论选择法）1．（2010湖北文）4．用a 、b 、c 表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题：（ ） ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ； ③若a ∥y ，b ∥y ，则a ∥b ；④若a ⊥y ，b ⊥y ，则a ∥b ．A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 2．（2010重庆文）（9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（ ） A ．只有1个 B ．恰有3个 C ．恰有4个 D ．有无穷多个 3．（2010届昆明一中三次月考理）如图,矩形ABCD 中,AB=3,BC=4,沿对角线BD 将△ABD 折起,使A 点在平面BCD 内的射影落在BC 边上,若二面角C —AB —D 的平面角大小为θ,则sin θ的值为（ ）A ．34BCD ．454．（2010全国卷2理）（11）与正方体1111ABCD A BC D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点（ ）A ．有且只有1个B ．有且只有2个C ．有且只有3个D ．有无数个5．（2010届玉溪一中期中） 在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为BB 1的中点，则点D 到直线A 1M 的距离为（ ）ABCD6．如图，动点P 在正方体1111ABCD A BC D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设B P x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）7．平面六面体ABCD - 1A 1B 1C 1D中，既与AB 共面也与1CC 共面的棱的条数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．68．（2010全国卷2理）（9）已知正四棱锥S ABCD -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）A ．1 B．2 D ．39．在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，ABC DMNP A 1B 1C 1D 1则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是（ ）A ．30B ．45C ．60D ．9010．如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ACB=900,∠ACC 1=600,∠BCC 1=450,侧棱CC 1的长为1，则该三棱柱的高等于（ ）A ．21B ．22C ．23D ．3311．在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，顶点1B 到对角线1BD 和到平面11A BCD 的距离分别为h 和d ，则下列命题中正确的是（ ）A ．若侧棱的长小于底面的边长，则hd的取值范围为（0，1） B ．若侧棱的长小于底面的边长，则h d的取值范围为 C ．若侧棱的长大于底面的边长，则h d的取值范围为(3 D ．若侧棱的长大于底面的边长，则h d的取值范围为()3+∞12．（2010四川理）（11）半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α，垂足为B ，BCD是平面α内边长为R 的正三角形，线段AC 、AD 分别与球面交于点那么M 、N 两点间的球面距离是（ ）A ．17arccos25R B ．18arccos 25R C ．1R π D ．4R π二、填空题（策略：快--运算要快；稳--变形要稳；全--答案要全；细--审题要细。

2009届一轮复习直线与平面及简单几何体检测及答案一.选择题(1) 已知α、β是不同的两个平面，直线βα⊂⊂b a 直线,，命题b a p 与:无公共点；命题βα//:q . 则q p 是的 ( )A 充分而不必要的条件B 必要而不充分的条件C 充要条件D 既不充分也不必要的条件(2)下列命题中正确的个数是 ( )①四边相等的四边形是菱形; ②若四边形有两个对角都是直角, 则这个四边形是圆内接四边形; ③“平面不经过直线”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”; ④若两平面有一条公共直线, 则这两平面的所有公共点都在这条公共直线上.A 1个B 2个C 3个D 4个(3) 已知m 、n 是不重合的直线,α、β是不重合的平面,有下列命题,其中正确的命题个数是( )① 若m ⊂α, , n ∥α,则m ∥n ②若m ∥α,m ∥β,n,, 则α∥β ③若α∩β= n ,m ∥n, 则, m ∥α,且 m ∥β ④m ⊥α, m ⊥β, 则α∥βA 0B 1C 2D 3(4) 一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是( )A 33π100cmB 33π208cmC 33π500cmD 33π3416cm(5) 在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是 ( )A 若l ⊂β且α⊥β,则l ⊥α.B 若l ⊥β且α∥β,则l ⊥α.C 若l ⊥β且α⊥β,则l ∥α.D 若α∩β=m 且l ∥m,则l ∥α.(6) 若直线l 、m 与平面α、β、γ满足: l =β∩γ, l ∥α, m ⊂α和m ⊥γ, 则必有( )A α⊥γ且l ⊥mB α⊥γ且m ∥βC m ∥β且l ⊥mD α∥β且α⊥γ(7) 如图, 四边形ABCD 中, AD ∥BC, AD=AB, ∠BCD=45°, ∠BAD=90°. 将△ADB 沿BD 折起, 使ABD ⊥平面BCD, 构成三棱锥A-BCD. 则在三棱锥A-BCD 中, 下列命题正确的是 ( )A 平面ABD ⊥平面ABCB 平面ADC ⊥平面BDC C 平面ABC ⊥平面BDCD 平面ADC ⊥平面ABC(8) 如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，AB=6，AD=4，31=AA .分别过BC 、11D A 的两个平行截面将长方体分成 三部分，其体积分别记为111DFD AEA V V -=,11112D FCF A EBE V V -= A B C D A B C D CD C 1 B 1D 1A 1E 1F 1 FC F C B E B V V 11113-=.若1:4:1::321=V V V ,则截面11EFD A的面积为 ( )A. 104B. 38C. 134D. 16(9)如图四面体D-ABC 中, P ∈面DBA, 则在平面DAB 内过点P 与直线BC 成60°角的直线共有 ( ) A 0条 B 1条 C 2条 D 3条(10) 已知正四面体ABCD 的表面积为Ｓ，其四个面的中心分别为Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ．设四面体EFGH的表面积为Ｔ，则ST 等于( )Ａ91 Ｂ 94 Ｃ 41 Ｄ 31 二.填空题(11)已知球O 的半径为1,A 、B 、C 三点都在球面上,且每两点间的球面距离均为2π,则球心O 到平面ABC 的距离为 .(12)已知直线m 、n 和平面α、β满足: α∥β, m ⊥α, m ⊥n, 则n 与β之间的位置关系是 (13) 已知平面α和平面交于直线l ，P 是空间一点，PA ⊥α，垂足为A ，PB ⊥β，垂足为B ，且PA=1，PB=2，若点A 在β内的射影与点B 在α内的射影重合，则点P 到l 的距离为 .(14) α、β是两个不同的平面, m 、n 是α、β之外的两条不同直线, 给出四个论断: ①m ⊥n; ②α⊥β; ③n ⊥β; ④m ⊥α. 以其中三个论断作为条件, 余下一个论断作为结论, 写出你认为正确的一个命题 .三.解答题(15) 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F. （Ⅰ）证明PA//平面EDB ；（Ⅱ）证明PB ⊥平面EFD ；（Ⅲ）求二面角C —PB —D 的大小.ABCDP E F A BCD P ·(16) 在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在棱CC 1上，且CC 1=4CP.(Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； (Ⅱ)设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ；(Ⅲ)求点P 到平面ABD 1的距离.(17) 如图, 四棱锥P-ABCD 的底面是AB=2, BC=2的矩形, 侧面PAB 是等边三角形, 且侧面 PAB ⊥底面ABCD.AP · B 1P A CD A 1C 1D 1B O H ·(Ⅰ)证明:BC ⊥侧面PAB;(Ⅱ)证明: 侧面PAD ⊥侧面PAB;(Ⅲ)求侧棱PC 与底面ABCD 所成角的大小;(Ⅳ)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的正弦值.(18)在斜三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中, 底面是等腰三角形 , AB=AC, 侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC.(Ⅰ)若D 是BC 的中点, 求证:AD ⊥CC 1;(Ⅱ)过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M, 若AM=MA 1, 求证:截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C; (Ⅲ) AM=MA 1是截面MBC 1⊥平面BB 1C 1C 的充要 条件吗? 请你叙述判断理由.答案一选择题: 1.B 2.B 3.B 4.C 5.B 6.A 7.D 8.C 9.D 10.A 二填空题: 11. 33, 12. n ⊂β或 n ∥β, 13.5, 14.②③④⇒①或①③④⇒②A BCD A 1 B 1 C 1 M P EF三解答题(15)证: 方法一（Ⅰ）证明：连结AC ，AC 交BD 于O ， 连结EO.∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点.在 PAC ∆中，EO 是中位线，∴PA // EO 而⊂EO 平面EDB 且 ⊄PA 平面EDB ，所以，PA // 平面EDB（Ⅱ）证明：∵PD ⊥底面ABCD 且⊂DC 底面ABCD ， ∴DC PD ⊥∵PD=DC ，可知PDC ∆是等腰直角三角形， 而DE 是斜边PC 的中线，∴PC DE ⊥. ①同样由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC.∵底面ABCD 是正方形，有DC ⊥BC ，∴BC ⊥平面PDC.而⊂DE 平面PDC ，∴DE BC ⊥. ② 由①和②推得⊥DE 平面PBC.而⊂PB 平面PBC ，∴PB DE ⊥.又PB EF ⊥且E EF DE = ，所以PB ⊥平面EFD.（Ⅲ）解：由（2）知，DF PB ⊥，故EFD ∠是二面角C —PB —D 的平面角.由（Ⅱ）知，DB PD EF DE ⊥⊥,.设正方形ABCD 的边长为a ，则a BD a DC PD 2,===a BD PD PB 322=+=， a DC PD PC 222=+=a PC DE 2221==. 在PDB Rt ∆中，a aa a PB BD PD DF 3632=⋅=⋅=.在EFD Rt ∆中， 233622sin ===a aDF DE EFD ，∴3π=∠EFD .所以，二面角C —PB —D 的大小为3π.方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D 为坐标原点，设a DC =.（Ⅰ）证明：连结 AC ，AC 交BD 于G ，连结EG .依题意得)2,2,0(),,0,0(),0,0,(a a E a P a A . ∵底面ABCD 是正方形，∴G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为)0,2,2(aa 且 )2,0,2(),,0,(aa a a -=-=.∴2=，这表明PA//EG.而⊂EG平面EDB 且⊄PA 平面EDB ，∴PA//平面EDB.（Ⅱ）证明；依题意得)0,,(a a B ，),,(a a a -=.又)2,2,0(aa =，故022022=-+=⋅a a DE PB .∴DE PB ⊥.由已知PB EF ⊥，且E DE EF = ，所以⊥PB 平面EFD.（Ⅲ）解：设点F 的坐标为),,(000z y x ,λ=,则),,(),,(000a a a a z y x -=-λ 从而a z a y a x )1(,,000λλλ-===.所以))21(,)21(,()2,2,(000a a a z a y a x ---=---=λλλ.由条件PB EF ⊥知，0=⋅，即0)21()21(222=---+-a a a λλλ，解得31=λ.∴点F 的坐标为)32,3,3(a a a ，且)6,6,3(a a a --=，)32,3,3(a a a ---= ∴03233222=+--=⋅a a a .即FD PB ⊥，故EFD ∠是二面角C —PB —D 的平面角.∵691892222a a a a FD FE =+-=⋅，且a a a a FE 6636369||222=++=，a a a a FD 369499||222=++=，∴2136666||||cos 2=⋅==a a a FD FE EFD . ∴3π=∠EFD . 所以，二面角C —PB —D 的大小为3π.(文)……………………… 方法一：（Ⅰ）证明：连结AC 、AC 交BD 于O.连结EO,∵ 底面ABCD 是正方形 ∴ 点O 是AC 的中点. 在PAC ∆中，EO 是中位线 ∴ EO PA //.而⊂EO 平面EDB 且/⊂PA 平面EDB ，所以， //PA 平面EDB.（Ⅱ）解：作DC EF ⊥交CD 于F. 连结BF ， 设正方形ABCD 的边长为a .∵ ⊥PD 底面ABCD ∴ DC PD ⊥. ∴ PD EF // F 为DC 的中点.∴ ⊥EF 底面ABCD ，BF 为BE 在底面ABCD 内的射影，故EBF ∠为直线EB 与底面ABCD 所成的角.在BCF Rt ∆中，a a a CF BC BF 25)2(2222=+=+=∵ 221a PD EF == ∴ 在EFB Rt ∆中55252tan ===a aBF EF EBF , 所以EB 与底面ABCD 所成的角的正切值为55. 方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D 为 坐标原点.设a DC =（Ⅰ）证明：连结AC ，AC 交BD 于G.连结EG.依题意得)0,0,(a A ，),0,0(a P ，)2,2,0(aa E ∵ 底面ABCD 是正方形∴ G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为)0,2,2(a a .∴ ),0,(α-=a PA )2,0,2(a a -=∴ 2= 这表明EG PA //.而⊂EG 平面EDB 且/⊂PA 平面EDB ∴ //PA 平面EDB.A B C D P EOF（Ⅱ）解：依题意得)0,,(a a B ，)0,,0(a C .取DC 的中点)0,2,0(aF 连结EF ，BF ∵ )2,0,0(a =，)0,2,(aa =，)0,,0(a =∴ 0=⋅，0=⋅ ∴ FB FE ⊥，DC FE ⊥. ∴ ⊥EF 底面ABCD ，BF 为BE 在底面ABCD 内的射影，故EBF ∠为直线EB 与底面ABCD 所成的角。

第十四单元 直线与平面及简单几何体
一.选择题.
(1) 有如下三个命题：
①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线；
②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线；
③过平面 的一条斜线有一个平面与平面 垂直．
其中正确命题的个数为
(
A．0
B．1
C．2
D．3
(2)下列命题中正确的个数是 (
)
① 四边相等的四边形是菱形;
(
)
A．若 l // m ， m // n ，则 l // n . C．若 l m ， m // n ，则 l n .
B．若 l ， n // ，则 l n . D．若 l // ， n // ，则 l // n .
(4) 木星的体积约是地球体积的 240 30 倍，则它的表面积约是地球表面积的
② 若四边形有两个对角都是直角, 则这个四边形是圆内接四边形;
③“平面不经过直线”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”;
④ 若两平面有一条公共直线, 则这两平面的所有公共点都在这条公共直线上.
A． 1 个
B． 2 个
C． 3 个
D．
) 4个
(3) 已知直线 l、m、n 及平面 ，下列命题中的假命题是
面 ABD⊥平面 BCD, 构成三棱锥 A-BCD. 则在三棱锥 A-BCD 中, 下列命题正确的是 (
)
A
D
A
B
C B
D C
A． 平面 ABD⊥平面 ABC C． 平面 ABC⊥平面 BDC
B． 平面 ADC⊥平面 BDC D．平面 ADC⊥平面 ABC
(8) 如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，E 是 A1B1 的中点，则 E 到平面 AB C1D1 的距离为 (

2007届高三一轮专项练习（直线、平面、简单几何体）素质能力检测一、选择题（每小题5分，共60分）1.（2003年）已知α、β是平面，m 、n 是直线，下列命题中不．正确的是 m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α m ∥α，α∩β=n ，则m ∥n m ⊥α，m ⊥β，则α∥βm ⊥α，m ⊂β，则α⊥β解析：如图，设平面γ∥α且m ⊂γ，αβγmn∴m ∥α，但m ∥n 不成立（异面）. 答案：BABCD 沿对角线BD 折成一个120°的二面角，点C 到达点C 1，这时异面直线AD 与BC 1所成角的余弦值是A.22B.21C.43D.43 解析：由题意易知∠ABC 1是AD 与BC 1所成的角，解△ABC 1，得余弦为43.选D. 答案：D2、3、6，这个长方体对角线的长为3 B.32 C.6 D.6解析：设长宽高为a 、b 、c ，则⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===312632222c b a ac bc ab l =6，选D.答案：Dl 、m 、n 是直线，α、β是平面，下列命题中是真命题的是m ∥α，n ∥α，则m ∥nα—l —β是直二面角，若m ⊥l ，则m ⊥βm 、n 在α内的射影依次是一个点和一条直线，且m ⊥n ，则n ⊂α或n ∥αm 、n 是异面直线，若m ∥α，则n 与α相交解析：当m ∥α，n ∥α时，m 、n 可相交、平行、异面，α—l —β是直二面角，m ⊥l ，m 可在βm 、n 异面，m ∥α，则n α或n ∥α或n 与α相交.答案：C5.（2003年春季）如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别为各边的中点，G 、H 、I 、J 分别为AF 、AD 、BE 、DE △ABC 沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为A BCDEFG HIJ°°°°解析：平面图形折叠后为正三棱锥.如图，取EF 的中点M ，连结IM 、MJ ，则MJ 21FD ，GH 21FD ，∴MJ ∥GH ，∠IJM 为异面直线GH 与JI 所成的角.MH IJEG F由已知条件易证△MJI 为正三角形.∴∠IJM =60°.答案：B6.如图，点P 在正方形ABCD 所在的平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD =AD ，则PA 与BD 所成角的度数为PABD°°°° 答案：CA′B′C′D′—ABCD的棱长为a，EF在AB上滑动，且|EF|=b（b＜a），Q点在D′C′上滑动，则四面体A′—EFQ的体积为E、FQ位置有关E、F、QE、F、Q位置均无关，是定值解析：V A′－EFQ=V Q－A′EF.AC Q'答案：D8.（理）高为5，底面边长为43的正三棱柱形容器（下有底），可放置最大球的半径是A.23C.223D.2解析：过球心作平行于底的截面，R=23tan30°=2.R23答案：B（文）（2004年全国）三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O，点P到三个平面的距离比为1∶2∶3，PO=214，则P到这三个平面的距离分别是A.1，2，3B.2，4，6C.1，4，6D.3，6，9答案：Bα—l—β的平面角为120°，A、B∈l，AC⊂α，BD⊂β，AC⊥l，BD⊥l，若AB=AC=BD=1，则CD的长为A.2B.3C.2D.5答案：B△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，PA ⊥平面ABC ，PA =8，则P 到BC 的距离为A.5B.2555解析：取BC 的中点E ，连结AE 、PE ，由AE ⊥BC 知PE ⊥BC ，即PE 为点P 到BC 的距离. 答案：D11.条件甲：四棱锥的所有侧面都是全等三角形，条件乙：这个四棱锥是正四棱锥，则条件甲是条件乙的解析：乙⇒甲，但甲乙，例如四棱锥S —ABCD 的底面ABCD 为菱形，但它不是正四棱锥.DS答案：BP ，P 在底面上的射影为O ，PO =a ，现用平行于底面的平面去截这个棱锥，截面交PO 于点M ，并使截得的两部分侧面积相等，设OM =b ，则a 与b 的关系是A.b =（2－1）aB.b =（2+1）aC.b =222a - D.b =222a+ 解析：由平行锥体底面的截面性质，知PO PM =22，∴PO OM =222-.∴ab =222-.∴b =222-a .故选C.答案：C二、填空题（每小题4分，共16分）13.（2004年某某，15）由图（1）有面积关系：PAB B A P S S ∆''∆=PBPA B P A P ⋅'⋅'，则由图（2）有体积关系：ABCP C B A P V V -'''-=_____________.B BP''A(1) (2)答案：PCPB PA C P B P A P ⋅⋅'⋅'⋅'14.P 、Q 是半径为R 的球面上两点，它们的球面距离是2πR ，则过P 、Q 的平面中，与球心最大的距离是__________.解析：以PQ 为直径的圆所在的平面到球心的距离为所求. 答案：22R 15.（2005年春季，12）如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a .将该正方体沿对角面BB 1D 1D 切成两块，再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积为__________.1答案：（4+22）a 2a 、b 的公垂线段AB 的长为10 cm ，点A 、M 在直线a 上，且AM =5 cm ，若直线a 、b 所成的角为60°，则点M 到直线b 的距离是__________.解析：如图，过B 作BN ∥a ，且BN 与b 确定的平面为α，过M 作MN ⊥α于N ，过N 作NC ⊥b 于C ，连结MC ，由三垂线定理知，MC ⊥b ，故MC △B 中，NC =BN sin60°=253，∴MC =22MC MN +=2195.答案：2195三、解答题（本大题共6小题，共74分）17.（12分）（2003年某某）已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥平面ABCD ，AB =4，ADB 1D ⊥BC ，直线B 1D 与平面ABCD 所成的角等于30°，求平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积.A AC CD DB B1111解：连结BD ，A AC CD DB B1111∵B 1B ⊥平面ABCD ，B 1D ⊥BC ，∴BC ⊥BD . 在△BCD 中，BC =2，CD =4，∴BD =23.又∵直线B 1D 与平面ABCD 所成的角等于30°，∴∠B 1DB =30°.于是BB 1=31BD =2.故平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积为S ABCD·BB 1=83.18.（12分）（2004年某某，18）如下图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB =4，AD =3，AA 1=2，E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB =FB =1.A ABB CC D EF11（1）求二面角C —DE —C 1的正切值； （2）求直线EC 1与FD 1所成角的余弦值.解：（1）以A 为原点，AB 、AD 、1AA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有D（0，3，0）、D 1（0，3，2）、E （3，0，0）、F （4，1，0）、C 1（4，3，2）.于是，DE =（3，－3，0），1EC =（1，3，2），1FD =（－4，2，2）. 设向量n =（x ，y ，z ）与平面C 1DE 垂直，则有 n3x －3y =0n y +2z =0⇒x =y =－21z .∴n =（－2z ，－2z ，z ）=2z（－1，－1，2），其中z >0. 取n 0=（－1，－1，2），则n 0是一个与平面C 1DE 垂直的向量. ∵向量1AA =（0，0，2）与平面CDE 垂直，∴n 0与1AA 所成的角θ为二面角C —DE —C 1的平面角. ∴cos θ||||1010AA n n ⋅=400411220101++⨯++⨯+⨯-⨯-=36. ∴tan θ=22. （2）设EC 1与FD 1所成的角为β，则cos β||||1111FD EC 22222222)4(2312223)4(1++-⨯++⨯+⨯+-⨯=1421. 19.（12分）（2005年春季某某，19）已知正三棱锥P —ABC 的体积为723，侧面与底面所成的二面角的大小为60°.A（1）证明：PA ⊥BC ；（2）求底面中心O 到侧面的距离.（1）证明：取BC 边的中点D ，连结AD 、PD ，则AD ⊥BC ，PD ⊥BC ，故BC ⊥平面APD .∴PA ⊥BC .（2）解：如下图，由（1）可知平面PBC ⊥平面APD ，则∠PDA 是侧面与底面所成二面角的平面角.⇒A过点O 作OE ⊥PD ，E 为垂足，则OE 设OE 为h ，由题意可知点O 在AD 上，∴∠PDO =60°，OP =2h ，OD =32h .∴BC =4h .∴S ABC ∆=43（4h ）2=43h 2. ∵723=31·43h 2·2h =338h 3，∴h =3，即底面中心O 到侧面的距离为3. 20.（12分）（理）如图，已知矩形ABCD ，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，设AB =a ，BC =b ，PA =c . （1）建立适当的空间直角坐标系，写出A 、B 、M 、N 点的坐标，并证明MN ⊥AB ；（2）平面PDC 和平面ABCD 所成的二面角为θ，当θ为何值时（与a 、b 、c 无关），MN 是直线AB 和PC 的公垂线段.B（1）证明：以A 为原点，分别以AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.则A （0，0，0），B （a ，0，0），M （2a ，0，0），N （2a ，2b ，2c ）. AB =（a ，0，0），MN =（0，2b ，2c）.AB ·MN =0⇒AB ⊥MN .（2）解：P （0，0，c ），C （a ，b ，0），PC =（a ，b ，－c ），若MN 是PC 、AB 的公垂线段，则PC ·MN =0，即－22b +22c =0⇒b =c .又∵AP ⊥面ABCDCD ⊥DA∴∠PDA 是二面角P —CD —A 的平面角.∴∠PDA =45°，⇒CD ⊥PD ，即二面角P —CD —A 是45°.（文）正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别为棱AB 、BC 、DD 1的中点. （1）求证：PB ⊥平面MNB 1；（2）设二面角M —B 1N —B 为α，求cos α的值.（1）证明：如图，以D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，取正方体棱长为2，则P （0，0，1）、M （2，1，0）、B （2，2，0）、B 1（2，2，2）.A Ax yC 11∵PB ·1MB =（2，2，－1）·（0，1，2）=0， ∴MB 1⊥PB ，同理，知NB 1⊥PB . ∵MB 1∩NB 1=B 1，∴PB ⊥平面MNB 1.（2）∵PB ⊥平面MNB 1，BA ⊥平面B 1BN ，∴PB =（2，2，－1）与BA =（0，2，0）所夹的角即为α，cos α||||BA PB BA PB =32. 21.（12分）已知四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，底面ABCD 为菱形，∠BAD =60°，AB =2，PA =4，E 为PC 的中点.（1）求证：平面BDE ⊥平面ABCD ； （2）求二面角B —DE —C 的大小. （1）证明：设AC ∩BD =O ，连结OE .∵E 为PC 的中点，O 为AC 的中点.∴EO ∥PA . ∵PA ⊥面ABCD ，∴EO ⊥面ABCD . ∵EO ⊂平面BDE ，∴面BDE ⊥面ABCD . （2）解法一：过O 作OF ⊥DE 于F ，连结CF .y 由（1）可知OC ⊥面BDE ，∴∵OE =21PA =2，OD =1，∴OF =52. 又∵OC =3，∴tan ∠OFC =523=215. ∴二面角B —DE —C 的大小为arctan215. 解法二：以O 为原点建立如上图所示的坐标系，则OC 为平面EBD 的法向量，OC =（0，3，0）.设平面CDE 的法向量n =（x ，y ，z ）.∵E （0，0，2），C （0，3，0），D （－1，0，0）， ∴DC =（1，3，0），CE =（0，－3，2）. ∵n ·DC =0，n ·CE =0，x +3y =0，x =－3y ，－3y +2z =0. z =23y .取y =3，则n =（－3，3，23）.∴cos 〈n ，OC 〉=493933++⋅=192.∴二面角B —DE —C 的大小为arccos192.22.（14分）如图，ABCD 是边长为1的正方形，M 、N 分别是DA 、BC 上的点，且MN ∥AB ，现沿MN 折成直二面角AB —MN —CD .∴∴word11 / 11 A BCD M N（1）求证：平面ADC ⊥平面AMD ； （2）设AM =x （0<x <1），MN 到平面ADC 的距离为y ，试用x 表示y ；（3）点M 在什么位置时，y 有最大值，最大值为多少?（1）证明：∵ABCD 是正方形，且MN ∥AB ∥CD ，∴MN ⊥AM ，MN ⊥DM ，即CD ⊥AM ，CD ⊥DM ，∴CD ⊥平面AMD .∵CD ⊂平面ADC ，∴平面ADC ⊥平面AMD .（2）解：∵MN ∥CD ，∴MN ∥平面ADC .故MN 到平面ADC 的距离即为M 到平面ADCM 作MH ⊥AD 于H ，∵平面ADC ⊥平面AMD ，∴MH ⊥平面ADC ，即MH 为所求距离.在Rt △AMD 中，求得y =AD DM AM ⋅=22)1()1(x x x x -+-（0<x <1）. （3）解：y ≤)1(2)1(x x x x -⋅-=22)1(x x -≤42，当且仅当x =1－x ，即x =21时，y max =42，此时M 为AD 的中点.。

第一套：直线、平面、简单几何体（一）第一套：直线、平面、简单几何体（二）第三套：立体几何基础详细讲解及例题第四套：立体几何中的向量方法第五套：解析几何椭圆及其标准方程1 第六套：解析几何椭圆及其标准方程2 第七套：解析几何椭圆及其标准方程3直线、平面、简单几何体（一）班级__________ 姓名__________ 学号__________ 评分__________一、选择题（本小题共12小题，每小题5分，共60分） 1．下面推理错误的是（ ） A ．A a ∈，A β∈，B a ∈，B a ββ∈⇒⊂ B ．M α∈，M β∈，N α∈，N βαβ∈⇒=I 直线MNC ．α⊄l ，A A α∈⇒∉lD ．A 、B 、C α∈，A 、B 、C β∈且A 、B 、C 不共线α⇒、β重合2．在空间四边形ABCD 中，AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果GH 、EF 交于一点P ，则（ ）A ．P 一定在直线BD 上B ．P 一定在直线AC 上 C ．P 在直线AC 或BD 上 D ．P 既不在直线BD 上，也不在AC 上3．如图S 为正三角形所在平面ABC 外一点，且SA ＝SB ＝BC ＝AB ，E 、F 分别为SC 、AB 中点，则异面直线EF 与SA 所成角为（ ）A ．90ºB ．60ºC ．45ºD ．30º4．下列说法正确的是（ ）A ．若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则αl ∥B ．若直线a 在平面α外，则a α∥C ．若直线a b ∥，b α⊂，则a α∥D ．若直线a b ∥，b α⊂，则直线a 就平行于平面内的无数条直线 5．在下列条件中，可判断平面α与平面β平行的是（ ） A ．α、β都垂直于平面γB ．α内存在不共线的三点到平面β的距离相等C ．l 、m 是α内两条直线，且βl ∥，m β∥D ．l 、m 是两条异面直线，且αl ∥，m α∥，βl ∥，m β∥6．已知α、β是平面，m 、n 是直线，下列命题中不正确的是（ ） A ．若m n ∥，m α⊥，则n α⊥B ．若m α∥，n αβ=I ，则m n ∥C ．若m α⊥，m β⊥，则αβ∥D ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥7．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当点D 到平面ABC 的距离最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为（ ） A ．90ºB ．60ºC ．45ºD ．30º8．PA 、PB 、PC 是从点P 引出的三条射线，每两条射线的夹角均为60º，则直线PC 与平面APB 所成角的余弦值是（ ）A ．12B C D9．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、AB 的中点，则EF 与对角面A 1C 1CA 所成角的度数是（ ）A ．30ºB ．45ºC ．60ºD ．150º10．二面角P —a —Q 为60º，如果平面P 内一点A 到平面Q 的距3，则A 在平面Q 上的射影A 1到平面P 的距离为（ ）A ．1B 3C 3D ．211．如图，正四面体ABCD 中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上，使得(0)AE CFEB FDλλ==>,记()f λλλαβ=+，其中λα表示EF 与AC 所成的角，λβ表示EF 与BD 所成角，则（ ）A ．()f λ在(0,)+∞单调递增B ．()f λ在(0,)+∞单调递减C ．()f λ在(0,1)单调递增，而在(1,)+∞单调递减D ．()f λ在(0,)+∞为常数12．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，EF 是异面直线AC 、A 1D 的公垂线，则EF 与BD 1的关系为（ ）A ．相交不垂直B ．相交垂直C ．异面直线D ．平行直线 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．设MN αβ--是直二面角，A MN∈，AB α⊂，AC β⊂，45BAN CAN ∠=∠=o ，则BAC ∠= 。

京改版七年级数学上册第三章简单的几何图形综合训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下面图形中，以直线l 为轴旋转一周，可以得到圆柱体的是( )A ．B ．C ．D ．2、若110AOC ∠=︒，OB 在AOC ∠内部，OM 、ON 分别平分AOC ∠和AOB ∠，若23MON ∠=︒，则AOB ∠度数为（ ）．A ．43.5︒B ．46︒C ．64︒D ．87︒3、下列四个生产生活现象，可以用公理“两点之间，线段最短”来解释的是（ ）A ．用两个钉子可以把木条钉在墙上B ．植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行树坑在一条直线上C ．打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一直线上D ．为了缩短航程把弯曲的河道改直4、点C 是线段AB 的中点，点D 是线段AC 的三等分点．若线段12AB cm =，则线段BD 的长为（ ）A ．10cmB ．8cmC ．8cm 或10cmD ．2cm 或4cm5、将如图所示的图形剪去两个小正方形，使余下的部分图形恰好能折成一个正方体，应剪去的两个小正方形可以是（ ）A ．②③B ．①⑥C ．①⑦D ．②⑥6、已知α∠与β∠都小于平角，在平面内把这两个角的一条边重合，若α∠的另一条边恰好落在β∠的内部，则（）．A ．αβ∠<∠B ．αβ∠=∠C ．αβ∠>∠D ．不能比较α∠与β∠的大小7、下图中，不可能围成正方体的是（ ）A ．B ．C ．D ．8、①~④是由相同的小正方体粘在一起的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小正方体构成的长方体，则应选择（ ）A ．①③B ．②③C ．③④D ．①④9、下列各组图形中都是平面图形的是（ ）A ．三角形、圆、球、圆锥B ．点、线段、棱锥、棱柱C ．角、三角形、正方形、圆D ．点、角、线段、长方体10、下列度分秒运算中，正确的是（ ）A ．48°39′+67°31′＝115°10′B．90°﹣70°39′＝20°21′C．21°17′×5＝185°5′D．180°÷7＝25°43′（精确到分）第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，已知AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，BC=8，AC=6，CD=4.8，BD=6.4，AD=3.6．则：（1）点A到直线CD的距离为_________；（2）点A到直线BC的距离为_________；（3）点B到直线CD的距离为_________；（4）点B到直线AC的距离为_________；（5）点C到直线AB的距离为_________．2、如图，将甲、乙、丙、丁四个小正方形中的一个剪掉，使余下的部分不能围成一个正方体，则剪掉的这个小正方形是________3、“枪打一条线，棍打一大片”从字面上理解这句话所描述的现象，用数学知识可解释为：____________．4、如图，点B到直线AC的距离是线段 _____的长度．5、一个几何体由一些大小相同的小正方体搭成，从正面和左面看到的这个几何体的形状如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是___________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知∠AOB和∠COD均为锐角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，将∠COD绕着点O 逆时针旋转，使∠BOC=α（0≤α＜180°）（1）若∠AOB=60°，∠COD=40°，①当α=0°时，如图1，则∠POQ= ；②当α=80°时，如图2，求∠POQ的度数；③当α=130°时，如图3，请先补全图形，然后求出∠POQ的度数；（2）若∠AOB=m°，∠COD=n°，m＞n，则∠POQ= ，（请用含m、n的代数式表示）．2、如图，已知点D、B为线段AC上的点，线段AB和CD的公共部分1134BD AB CD==，线段AB、CD的中点分别为点E、F．（1）若线段AB=15，求EF的长．（2）若AC之间距离是30，求BD的长．3、【感受新知】如图1，射线OC在∠AOB在内部，图中共有3个角：∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中一个角的度数是另一个角度数的三倍，则称射线OC是∠AOB的“和谐线”．[注：本题研究的角都是小于平角的角．]（1）一个角的角平分线_______这个角的“和谐线”．（填是或不是）（2）如图1，∠AOB=60°，射线OC是∠AOB的“和谐线”，求∠AOC的度数．【运用新知】（3）如图2，若∠AOB＝90°，射线OM从射线OA的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒15°的速度旋转，同时射线ON从射线OB的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒7.5°的速度旋转，当一条射线回到出发位置的时候，整个运动随之停止，旋转的时间为t（s），问：当射线OM、ON旋转到一条直线上时，求t的值．【解决问题】（4）在（3）的条件下，请直接写出当射线ON是∠BOM的“和谐线”时t的值．4、如图为一个机器零件的三视图（俯视图是一个正三角形）．（1）画出这个机器零件的几何体并说出几何体的名称；（2）根据图中标注的数据算出这个几何体的表面积．5、已知：如图，AB＝18cm，点M是线段AB的中点，点C把线段MB分成MC：CB＝2：1的两部分，求线段AC的长．请补充完成下列解答：解：∵M是线段AB的中点，AB＝18cm，∴AM＝MB＝AB＝cm．∵MC：CB＝2：1，∴MC＝MB＝cm．∴AC＝AM＋＝＋＝cm．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】直接根据旋转变换的性质即可解答．【详解】解：因为圆柱从正面看到的是一个长方形，所以以直线为轴旋转一周，可以形成圆柱的是长方形，故选：C ．【考点】此题主要考查图形的旋转变换，发挥空间想象是解题关键．2、C【解析】【分析】首先根据AOC ∠的度数和OM 平分AOC ∠求出AOM ∠的度数，然后可求出AON ∠的度数，最后根据ON 平分AOB ∠即可求出AOB ∠的度数．【详解】如图所示，∵110AOC ∠=︒，OM 平分AOC ∠， ∴1552AOM AOC ∠=∠=︒，∴=552332AON AOM MON ∠∠-∠=︒-︒=︒，∵ON 平分AOB ∠，∴264AOB AON ∠=∠=︒．故选：C ．【考点】此题考查了角平分线的概念和求角度问题，解题的关键是根据角平分线的概念求出AOM ∠的度数．3、D【解析】【分析】根据直线的性质和线段的性质对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A、用两个钉子可以把木条钉在墙上是利用了两点确定一条直线，故本选项不符合题意；B、植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行树坑在一条直线上是利用了两点确定一条直线，故本选项不符合题意；C、打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一直线上是利用了两点确定一条直线，故本选项不符合题意；D、为了缩短航程把弯曲的河道改直是利用了两点之间，线段最短，故本选项符合题意．故选：D．【考点】本题考查了直线和线段的性质，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．4、C【解析】【分析】根据题意作图，由线段之间的关系即可求解．【详解】如图，∵点C是线段AB的中点，∴AC=BC=12AB=6cm当AD=23AC=4cm时，CD=AC-AD=2cm∴BD=BC+CD=6+2=8cm；当AD=13AC=2cm时，CD=AC-AD=4cm∴BD=BC+CD=6+4=10cm；故选C．【考点】此题主要考查线段之间的关系，解题的关键是熟知线段的和差关系．5、A【解析】【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．【详解】A. 剪去②③后，恰好能折成一个正方体，符合题意；B. 剪去①⑥后，不能折成一个正方体，不符合题意；C. 剪去①⑦后，不能折成一个正方体，不符合题意；D. 剪去②⑥后，不能折成一个正方体，不符合题意.故选:A【考点】本题考查了正方体的展开图及学生的空间想象能力，正方体展开图规律：十一种类看仔细，中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐；一条线上不过四，田七和凹要放弃.6、A【解析】【分析】如图所示，AOC β∠=∠，=BOC α∠∠，∠AOC ＞∠BOC ，αβ∠<∠．【详解】解：如图所示，AOC β∠=∠，=BOC α∠∠，∵∠AOC ＞∠BOC ，∴αβ∠<∠，故选A ．【考点】本题主要考查了角的大小比较，解题的关键在于能够画出图形进行求解．7、D【解析】【分析】根据题意利用折叠的方法，逐一判断四个选项是否能折成正方体即可．【详解】根据题意，利用折叠的方法，A 可以折成正方体，B也可以折成正方体，C也可以折成正方体，D有重合的面，不能直接折成正方体．故选D．【考点】本题考查了正方体表面展开图的应用问题，是基础题．8、D【解析】【分析】观察图形可知，①~④的小正方体的个数分别为4，3，3，2，其中②③组合不能构成长方体，①④组合符合题意【详解】解：观察图形可知，①~④的小正方体的个数分别为4，3，3，2，其中②③组合不能构成长方体，①④组合符合题意故选D【考点】本题考查了立体图形，应用空间想象能力是解题的关键．9、C【解析】【详解】分析：根据平面图形的定义逐一判断即可.详解：A.圆锥和球不是平面图形，故错误；B. 棱锥、棱柱不是平面图形，故错误；C.角，三角形，正方形，圆都是平面图形，故正确；D.长方体不是平面图形，故错误.故选C.点睛：本题考查了平面图形的定义，一个图形的各部分都在同一个平面内的图形叫做平面图形据此可解.10、D【解析】【分析】逐项计算即可判定．【详解】解： 4839+6731=11570=11610''''︒︒︒︒，故A 选项错误； 907039=1921''︒-︒︒，故B 选项错误；211751058510625'''︒⨯=︒=︒，故C 选项错误； 18072543'︒÷=︒，故D 选项正确．故选：D ．【考点】本题主要考查度分秒的换算，掌握1=60,1=60''''︒是解题的关键．二、填空题1、 AD AC BD BC CD【解析】【分析】点到直线的距离是指垂线段的长度，两点间的距离是连接两点的线段的长度．【详解】（1）点A到直线CD的垂线段是AD；（2）点A到直线BC的垂线段是AC；（3）点B到直线CD的垂线段是BD；（4）点B到直线AC的垂线段是BC；（5）点C到直线AB的垂线段是CD．故答案为: (1). AD (2). AC (3). BD (4).BC (5). CD【考点】此题考查点到直线的距离的定义，两点间的距离的定义，解题关键在于掌握其定义.2、丁【解析】【分析】能围成正方体的“一四一”，“二三一”，“三三”，“二二二”的基本形态要记牢．解题时，据此即可判断答案．【详解】解：将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分不能围成一个正方体，编号为甲乙丙丁的小正方形中剪去的是丁，故答案为：丁.【考点】本题考查了展开图折叠成正方体的知识，解题关键是根据正方体的特征，或者熟记正方体的11种展开图，只要有“田”，“凹”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．3、点动成线，线动成面【解析】【分析】子弹可看作一个点，棍可看作一条线，由此可得出这个现象的本质．【详解】解：“枪打一条线，棍打一大片”，用数学知识可解释为：点动成线，线动成面故答案为：点动成线，线动成面．【考点】本题考查了点、线、面的关系，难度不大，注意将生活中的实物抽象为数学上的模型．4、AB##BA【解析】【分析】根据点到直线的距离定义作答即可．【详解】，解：∵BA AC∴点B到直线AC的距离是线段AB的长度．故答案为：AB．【考点】本题考查了点到直线的距离．解题的关键在于掌握点到直线的距离是垂线段的长度．5、4【解析】【分析】由主视图和左视图确定俯视图的形状，再判断最少的正方体的个数．【详解】解：由题中所给出的主视图知物体共3列，且都是最高两层；由左视图知共3行，所以小正方体的个数最少的几何体为：第一列第一行1个小正方体，第二列第二行2个小正方体，第三列第三行1个小正方体，其余位置没有小正方体．即组成这个几何体的小正方体的个数最少为：1+2+1=4个．故答案为：4．【考点】本题考查了学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．三、解答题1、（1）①50°；②50°；③130°；（2）12m°+12n°或180°-12m°-12n°【解析】【分析】（1）根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论；（2）根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论．【详解】解：（1）①∵∠AOB=60°，∠COD=40°，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，∴∠BOP=12∠AOB=30°，∠BOQ=12∠COD=20°，∴∠POQ=50°，故答案为：50°；②解：∵∠AOB=60°，∠BOC=α=80°，∴∠AOC=140°，∵OP平分∠AOC，∴∠POC=1∠AOC=70°，2∵∠COD=40°，∠BOC=α=80°，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ=60°，∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=20°，∴∠POQ=∠POC-∠COQ=70°-20°=50°；③解：补全图形如图3所示，∵∠AOB=60°，∠BOC=α=130°，∴∠AOC=360°-60°-130°=170°，∵OP平分∠AOC，∠AOC=85°，∴∠POC=12∵∠COD=40°，∠BOC=α=130°，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ=85°，∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=85°-40°=45°，∴∠POQ=∠POC+∠COQ=85°+45°=130°；（2）当∠AOB=m°，∠COD=n°时，如图2，∴∠AOC= m°+ α°，∵OP平分∠AOC，∴∠POC=12(m°+ α°)，同理可求∠DOQ=12(n°+ α°)，∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=12(n°+ α°)- n°=12(-n°+ α°)，∴∠POQ=∠POC-∠COQ=12(m°+ α°)-12(-n°+ α°)=1 2m°+12n°，当∠AOB=m°，∠COD=n°时，如图3，∵∠AOB=m°，∠BOC=α，∴∠AOC=360°-m°-α°，∵OP平分∠AOC，∴∠POC=12∠AOC=180°12-(m°+ α°)，∵∠COD=n°，∠BOC=α，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ=12(n°+ α°)，∴∠COQ =∠DOQ -∠DOC =12(n °+ α°)-n °=12(-n °+ α°)，∴∠POQ =∠POC +∠COQ =180°12-(m °+ α°)+ 12(-n °+ α°)=180°-12m °-12n °，综上所述，若∠AOB =m °，∠COD =n °，则∠POQ =12m °+12n °或180°-12m °-12n °． 故答案为：12m °+12n °或180°-12m °-12n °．【考点】本题考查了角的计算，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．2、（1）EF =12.5；（2）BD =5．【解析】【分析】（1）根据AB 求得BD 、CD 的长，再求得线段BE 、DF 的长，即可求得EF 的长；（2）设BD x =，则3AB x =、4CD x =，根据AC AB CD BD =+-列方程求解即可．【详解】解：（1）∵1134BD AB CD ==，15AB =∴5,20BD CD ==∵点E 、F 为线段AB 、CD 的中点 ∴17.52BE AB ==，1102DF CD == ∴12.5EF BE DF BD =+-=（2）设BD x =，则3AB x =、4CD x =有图像可得：AC AB CD BD =+-，即3430x x x +-=解得5x =，即5BD =【考点】此题主要考查了两点间的距离、线段中点的性质，理解题意找到线段之间的等量关系是解题的关键．3、（1）不是；（2）15°，45°，20°，40°；（3）4，12，20；（4）7.2，6，10.8，727【解析】【分析】（1）结合“和谐线”和角平分线的定义，即可得到答案；（2）分四种情况讨论，由“和谐线”的定义，列出方程可求∠AOC 的度数；（3）根据题意，分三种情况讨论，列出方程可求t 的值；（4）根据题意，分四种情况进行讨论，列出方程，分别解方程，即可求出t 的值．【详解】解：∵一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的2倍，∴一个角的角平分线不是这个角的“和谐线”；故答案为：不是；（2）根据题意，∵∠AOB=60°，射线OC 是∠AOB 的“和谐线”，可分为四种情况进行分析：①当∠AOB=3∠AOC=60°时，∴∠AOC=20°；②当∠AOB=3∠BOC=60°时，∴∠BOC=20°，∴∠AOC=40°；③当∠AOC=3∠BOC 时，∵∠AOC+∠BOC=∠AOB=60°，∴∠AOC=45°；④当∠BOC=3∠AOC 时，∵∠AOC+∠BOC=∠AOB=60°，∴∠AOC=15°；（3）由题意得，∵3601524︒÷︒=（秒）， ∴运动时间范围为：0＜t≤24，则有 ①当OM 与ON 第一次成一个平角时， 90+15t+7.5t=180，解得：t=4（秒）；②当OM 与ON 成一个周角时，90+15t+7.5t=360，解得：t=12（秒）；③当OM 与ON 第二次成一个平角时， 90+15t+7.5t=180+360，解得：t=20（秒）综上，t 的值为4或12或20秒；（4）当OM 与OB 在同一条直线上时，有 (18090)156t =︒-︒÷︒=（秒），当OM 与ON 成一个周角时，有12t =， ∴612t ≤≤；根据“和谐线”的定义，可分为四种情况进行分析：①当∠MON=3∠BON 时，如图：∵36090157.5MON t t ∠=︒-︒--，7.5BON t ∠=，∴36090157.537.5t t t ︒-︒--=⨯，解得：6t =；②当∠BOM=3∠BON 时，如图：∵3609015BOM t ∠=︒-︒-，7.5BON t ∠=，∴360901537.5t t ︒-︒-=⨯，解得：7.2t =；③当∠BOM=3∠MON 时，如图：∵3609015BOM t ∠=︒-︒-，(36090)(157.5)27022.5MON t t t ∠=︒-︒-+=︒-，∴36090153(27022.5)t t ︒-︒-=⨯-， 解得：727t =； ④当∠BON=3∠MON 时，如图：∵7.5BON t ∠=，27022.5MON t ∠=︒-，∴7.53(27022.5)t t =⨯-，解得：10.8t =；【考点】本题考查一元一次方程的应用，和谐线的性质，角之间的和差关系，找等量关系列出方程是解决问题的关键，属于中考常考题型4、（1）图见解析，直三棱柱；（2）【解析】【分析】（1）有2个视图的轮廓是长方形，那么这个几何体为棱柱，另一个视图是三角形，那么该几何体为三棱柱；（2）根据正三角形一边上的高可得正三角形的边长，表面积=侧面积+2个底面积=底面周长×高+2个底面积．【详解】解：（1）符合这个零件的几何体是直三棱柱；（2）∵△ABC 是正三角形，又∵CD ⊥AB ，CD =6，∴AC =sin 60CD =︒∴S表面积12cm 2）．【考点】本题考查了由三视图判断几何体及几何体表面积的计算；得到几何体的形状是解题的突破点；得到底面的边长是解决本题的易错点．5、12，9，23，6，MC，9，6，15【解析】【分析】根据中点的定义和线段和差填空即可．【详解】解：∵M是线段AB的中点，且AB＝18cm，∴AM＝MB＝12AB＝9cm．∵MC：CB＝2：1，∴MC＝23MB＝6cm．∵AC＝AM+MC＝9+6＝15cm，故答案为：12，9，23，6，MC，9，6，15．【考点】本题考查了线段的中点和线段的和差，解题关键是准确识图，弄清线段之间的数量关系．。

直线平面与简单几何体1、已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列四个命题：①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒ l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β.其中正确的两个命题是 （ ）A 、①与②B 、①与③C 、②与④D 、③与④1、B2、在正三棱锥中，相邻两侧面所成二面角的取值范围是（ ）A 、3ππ（，） B 、23ππ（，） C 、（0，2π） D 、23ππ（，）3 2、A3、如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在A 上，且AM=31AB ，点P 在平面ABCD 上，且动点P 到直线A 1D 1的 距离的平方与P 到点M 的距离的平方差为 1，在平面直角坐标系xAy 中，动点P 的轨 迹方程是 .3、91322-=x y4．命题①空间直线a ，b ，c ，若a∥b，b∥c 则a∥c②非零向量、，若∥，∥则∥ ③平面α、β、γ若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ ④空间直线a 、b 、c 若有a⊥b，b⊥c，则a∥c ⑤直线a 、b 与平面β，若a⊥β，c⊥β，则a∥c 其中所有真命题的序号是（ ）A ．①②③ B．①③⑤ C．①②⑤ D．②③⑤ 5、（文）棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1被以A 为球心，AB 为半径的球相截，则被截形体的表面积为（ ） A ．45π B ．87π C ．π D ．47π选A6．某刺猬有2006根刺，当它蜷缩成球时滚到平面上，任意相邻的三根刺都可支撑住身体，且任意四根刺的刺尖不共面，问该刺猬蜷缩成球时，共有（ ）种不同的支撑身体的方式。

A ．2006 B ．4008 C ．4012 D ．2008 7．命题①空间直线a ，b ，c ，若a∥b，b∥c 则a∥c②非零向量c 、b 、a ，若a ∥b ，b ∥c 则a ∥c ③平面α、β、γ若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ ④空间直线a 、b 、c 若有a⊥b，b⊥c，则a∥c ⑤直线a 、b 与平面β，若a⊥β，c⊥β，则a∥c 其中所有真命题的序号是（ ）A ．①②③ B．①③⑤ C．①②⑤ D．②③⑤ 8、（文）棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1被以A 为球心，AB 为半径的球相截，则被截形体的表面积为（ ）A ．45π B ．87π C ．π D ．47π 9、四边形ABCD 是︒=∠120A 的菱形，绕AC 将该菱形折成二面角D AC B --，记异面直线AC 、BD 所成角为α，AD 与平面ABC 所成角为β，当β+α最大时，二面角D AC B --等于( )A.3π B.2π C.2arctan D.22arctanBA xM10、将边长为3的正四面体以各顶点为顶点各截去(使截面平行于底面)边长为1的小正四面体，所得几何体的表面积为_____________ . .11．（理）在正三棱锥ABC S -中，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点，且AM MN ⊥，若侧棱32=SA ，则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是（ ） A ．π12B ．π32C ．π36D ．π4812、（文）已知ABCD 是同一球面上的四点，且每两点间距离相等，都等于2，则球心到平面BCD 的距离是（ ） A ．36B ．66 C ．126 D ．186 13、正方体1111D C B A ABCD -，F E ,分别是1AA ，1CC 的中点，P 是1CC 上的动点（包括端点）过E 、D 、P 作正方体的截面，若截面为四边形，则P 的轨迹是 （ ）A 、线段F C 1B 、线段CFC 、线段CF 和点1CD 、线段F C 1和一点C14、P 为ABC ∆所在平面外一点，PA 、PB 、PC 与平面ABC 所的角均相等，又PA 与BC 垂直，那么ABC ∆的形状可以是 。

知识点典型例题直线、平面、简单的几何体1引言立体几何的学习，主要把握对图形的识别及变换（分割，补形，旋转等），因此，既要熟记基本图形中元素的位置关系和度量关系，也要能在复杂背景图形中“剥出”基本图形.平面及空间直线1.平面的基本性质:(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．公理2：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条直线.公理3：经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面（不共线的三点确定一平面）．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3；经过两条平行直线有且只有一个平面．注：⑴水平放置的平面图形的直观图的画法——用斜二测．．．．画．法．．其规则是：①在已知图形取水平平面，取互相垂直的轴,Ox Oy，再取0z轴，使90xOz∠= ，且90yOz∠= ；②画直观图时，把它们画成对应的轴,,O x O y O z''''''，使45x O y'''∠= (或135 )，90x O z'''∠= ,x Oy''所确定的平面表示水平平面；③已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段；④已知图形中平行于x轴和z轴的线段,在直观图中保持长度不变;平行于y轴的线段,长度为原来的一半．⑵运用平面的三个公理及推论，能证明共点、共线、共面一类问题。

2.空间两条直线位置关系有：相交、平行、异面.⑴相交直线───共面有且只有一个公共点；⑵平行直线───共面没有公共点；①公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行;②等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等．⑶异面直线───不同在任．一平面内.(Ⅰ)两条异面直线所成的角(或夹角)：对于两条异面直线,a b，经过空间任一点O作直线a'∥a,b'∥b，则a'与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．若两条平面及空间直线异面直线所成的角是直角，则称这两条异面直线互相垂直.异面直线所成的角的范围是(0,90⎤⎦． (Ⅱ)两条异面直线的距离：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线. 两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离．注：①如图:设异面直线a，b所成角为θ, 则EF2=m2+n2+d2±2mnc osθ 或AB EFdAB⋅=②证明两条直线是异面直线一般用反证法。