高三第一轮——专题56 圆锥曲线的综合问题(原卷版)

圆锥曲线中的定点、定值问题1、定值问题解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：（1）变量----选择适当的量为变量．（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数．（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值．2、求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．常用消参方法：①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系(,)0F k m =，用一个参数表示另外一个参数()k f m =，即可带用其他式子，消去参数k ．②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值．③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉．④参数无关消参：当与参数相关的因式为0时，此时与参数的取值没什么关系，比如：2()0y kg x -+=，只要因式()0g x =，就和参数k 没什么关系了，或者说参数k 不起作用．3、求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明．一般解题步骤：①斜截式设直线方程：y kx m =+，此时引入了两个参数，需要消掉一个．②找关系：找到k 和m 的关系：m =()f k ，等式带入消参，消掉m ．③参数无关找定点：找到和k 没有关系的点．题型一：面积定值【典例1-1】如图所示，已知椭圆22:14x C y +=，A ，B 是四条直线2x =±，1y =±所围成的矩形的两个顶点．若M ，N 是椭圆C 上的两个动点，且直线OM ，ON 的斜率之积等于直线OA ，OB 的斜率之积，试探求OM N V 的面积是否为定值，并说明理由．【典例1-2】（2024·湖北荆州·三模）从抛物线28y x =上各点向x 轴作垂线段，垂线段中点的轨迹为Γ.(1)求Γ的轨迹方程；(2),,A B C 是Γ上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点,,D E F ，①若//AC DF ，求BDBF的值；②证明：三角形ABC 与三角形DEF 的面积之比为定值.【变式1-1】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F ，M 在椭圆E 上，且12MF F △(1)求椭圆E 的方程；(2)直线:l y kx m =+与椭圆E 相交于P ，Q 两点，且22434k m +=，求证：OPQ △（O 为坐标原点）的面积为定值.【变式1-2】（2024·重庆·三模）已知()2,0F ，曲线C 上任意一点到点F 的距离是到直线12x =的距离的两倍.(1)求曲线C 的方程；(2)已知曲线C 的左顶点为A ，直线l 过点F 且与曲线C 在第一、四象限分别交于M ，N 两点，直线AM 、AN 分别与直线12x =交于P ，H 两点，Q 为PH 的中点.（i ）证明：QF MN ^；（ii ）记PMQ V ，HNQ V ，MNQ V 的面积分别为1S ，2S ，3S ，则123S S S +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【变式1-3】（2024·广东广州·模拟预测）已知()1,0A -，()10B ,，平面上有动点P ，且直线AP 的斜率与直线BP 的斜率之积为1.(1)求动点P 的轨迹Ω的方程.(2)过点A 的直线与Ω交于点M （M 在第一象限），过点B 的直线与Ω交于点N （N 在第三象限），记直线AM ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，且124k k =.试判断AMN V 与BMN V 的面积之比是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由.题型二：向量数量积定值【典例2-1】（2024·高三·江苏盐城·开学考试）已知椭圆C ：22142x y +=，()0,1A ，过点A 的动直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点.(1)求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；(2)是否存在常数，使得AP AQ OP OQ l ×+×uuu r uuu r uuu r uuu r为定值？若存在，求出l 的值；若不存在，说明理由.【典例2-2】（2024·上海闵行·二模）已知点12F F 、分别为椭圆22:12x y G +=的左､右焦点，直线:l y kx t =+与椭圆G 有且仅有一个公共点，直线12,F M l F N l ^^，垂足分别为点M N 、.(1)求证：2221t k =+；(2)求证：12F M F N ×uuuu r uuuu r为定值，并求出该定值；【变式2-1】（2024·陕西宝鸡·一模）椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点P æççè，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形.(1)求椭圆C 的方程；(2)设5,04M æöç÷èø，过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交C 于A 、B 两点，试问：MA MB ×uuu r uuu r 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【变式2-2】（2024·高三·河南南阳·期末）P 为平面直角坐标系内一点，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，交直线b y x a =-（0a b >>）于Q ，过P 作y 轴的垂线，垂足为N ，交直线by x a=-于R ，若△OMQ ，V ONR 的面积之和为2ab．(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)若2a =，1b =，()4,0A -，(),0G n ，过点G 的直线l 交C 于D ，E 两点，是否存在常数n ，对任意直线l ，使AD AE ×uuu r uuu r为定值？若存在，求出n 的值及该定值，若不存在，请说明理由．【变式2-3】（2024·高三·天津河北·期末）设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，短轴的两个端点为,A B ，且四边形12F AF B 是边长为2的正方形.,C D 分别是椭圆的左右顶点，动点M 满足MD CD ^，连接CM ，交椭圆E 于点P .(1)求椭圆E 的方程；(2)求证：OM OP ×uuuu r uuu r为定值.【变式2-4】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为,A B ，右焦点为F ，且3AF =uuu r ，以F为圆心，OF 为半径的圆F 经过点B .(1)求C 的方程；(2)过点A 且斜率为()0k k ¹的直线l 交椭圆C 于P ，（ⅰ）设点P 在第一象限，且直线l 与y x =-交于HHAO Ð，求k 的值；（ⅱ）连接PF 交圆F 于点T ，射线AP 上存在一点Q ，且QT BT ×为定值，已知点Q 在定直线上，求Q 所在定直线方程.题型三：斜率和定值【典例3-1】已知椭圆()222:11x M y a a +=>与双曲线222:1y N x a-=的离心率的平方和为234.(1)求a 的值；(2)过点1,02Q æöç÷èø的直线l 与椭圆M 和双曲线N 分别交于点A ，B ，C ，D ，在x 轴上是否存在一点T ，直线TA ，TB ，TC ，TD 的斜率分别为TA k ，TB k ，TC k ，TD k ，使得1111TA TB TC TDk k k k +++为定值？若存在，请求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.【典例3-2】（2024·河南·二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2，两个焦点与短轴一个顶点构成等边三角形.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设()3,P t ，过点P 的两条直线1l 和2l 分别交椭圆C 于点,D E 和点,M N （1l 和2l .不重合），直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k .若PM PN PD PE =，判断12k k +是否为定值，若是，求出该值；若否，说明理由.【变式3-1】椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左焦点为()，且椭圆C 经过点()0,1P ，直线21y kx k =+-（0k ¹）与C 交于A ，B 两点（异于点P ）.(1)求椭圆C 的方程；(2)证明：直线PA 与直线PB 的斜率之和为定值，并求出这个定值.【变式3-2】（2024·宁夏银川·一模）已知1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的左、右焦点，左顶点为A ，则上顶点为1B ，且1AB 20y -+=.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若P 是直线3x =上一点，过点P 的两条不同直线分别交C 于点D ，E 和点M ，N ，且PD PMPN PE=，求证：直线DE 的斜率与直线MN 的斜率之和为定值.题型四：斜率积定值【典例4-1】（2024·高三·陕西·开学考试）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，左顶点为E ，虚轴的上端点为P ，且3PF =，PE =(1)求双曲线C 的标准方程；(2)设M N 、是双曲线C 上不同的两点，Q 是线段MN 的中点，O 是原点，直线MN OQ 、的斜率分别为12k k 、，证明：12k k ×为定值．【典例4-2】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，过点，A ，B 分别是E 的左顶点和下顶点，F 是E右焦点，π3AFB Ð=.(1)求E 的方程；(2)过点F 的直线与椭圆E 交于点P ，Q ，直线AP ，AQ 分别与直线4x =交于不同的两点M ，N .设直线FM ，FN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值.【变式4-1】已知椭圆22122:1(0)22x y C a b a b +=>>左右焦点12,F F 分别为椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右顶点，过点1F 且斜率不为零的直线与椭圆1C 相交于,A B 两点，交椭圆2C 于点M ，且2ABF △与12BF F △的周长之差为4-(1)求椭圆1C 与椭圆2C 的方程；(2)若直线2MF 与椭圆1C 相交于,D E 两点，记直线1MF 的斜率为1k ，直线2MF 的斜率为2k ，求证：12k k 为定值.【变式4-2】（2024·湖南长沙·二模）如图，双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点1F ，2F 分别为双曲线22222:144x y C a b -=的左､右顶点，过点1F 的直线分别交双曲线1C 的左､右两支于,A B 两点，交双曲线2C 的右支于点M （与点2F 不重合），且12BF F △与2ABF △的周长之差为2.(1)求双曲线1C 的方程；(2)若直线2MF 交双曲线1C 的右支于,D E 两点.①记直线AB 的斜率为1k ，直线DE 的斜率为2k ，求12k k 的值；②试探究：DE AB -是否为定值？并说明理由.【变式4-3】已知双曲线C:x 2a 2―y 2b 2=1(a >0,b >0)过点((1)求双曲线C 的标准方程；(2)设过点()2,0P 且斜率不为0的直线l 与双曲线C 的左右两支交于A ，B 两点.问：在x 轴上是否存在定点Q ，使直线QA 的斜率1k 与QB 的斜率2k 的积为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由.题型五：斜率比定值【典例5-1】设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0M p ，过点F 且斜率存在的直线交C 于不同的,A B 两点，当直线AM 垂直于x 轴时，3AF =.(1)求C 的方程；(2)设直线,AM BM 与C 的另一个交点分别为,D E ，设直线,AB DE 的斜率分别为12,k k ，证明：（ⅰ）12k k 为定值；（ⅱ）直线DE 恒过定点.【典例5-2】如图所示，已知点()1,0K ，F 是椭圆22195x y+=的左焦点，过F 的直线与椭圆交于,A B 两点，直线,AK BK 分别与椭圆交于,P Q 两点．(1)证明：直线PQ 过定点．(2)证明：直线PQ 和直线AB的斜率之比为定值．【变式5-1】（2024·重庆·模拟预测）如图，DM x ^轴，垂足为D ，点P 在线段DM 上，且||1||2DP DM =．(1)点M 在圆224x y +=上运动时，求点P 的轨迹方程；(2)记（1）中所求点P 的轨迹为,(0,1)A G ，过点10,2æöç÷èø作一条直线与G 相交于,B C 两点，与直线2y =交于点Q ．记,,AB AC AQ 的斜率分别为123,,k k k ，证明：123k k k +是定值．【变式5-2】（2024·云南·二模）已知椭圆EO ，焦点在x 轴上，右焦点为F ，A 、B 分别是E 的上、下顶点.E 的短半轴长是圆O 的半径，点M 是圆O 上的动点，且点M 不在y 轴上，延长BM 与E 交于点,N AM AN ×uuuu r uuu r的取值范围为(0,4).(1)求椭圆E 、圆O 的方程;(2)当直线BM 经过点F 时，求AFN V 的面积;(3)记直线AM 、AN 的斜率分别为12k k 、，证明:21k k 为定值.【变式5-3】（2024·河南·三模）已知点())A B ,，动点V 满足直线VA 与直线VB 的斜率之积为13，动点V 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程：(2)直线PQ 与曲线C 交于,P Q 两点，且BP BQ BM PQ ^^,交PQ 于点M ，求定点N 的坐标，使MN 为定值；(3)过（2）中的点N 作直线交曲线C 于,G H 两点，且两点均在y 轴的右侧，直线,AG BH 的斜率分别为12,k k ，求12k k 的值．题型六：斜率差定值【典例6-1】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为()()122,0,2,0F F -，D 为椭圆C 的右顶点，且124DF DF ×=uuu u r uuuu r.(1)求椭圆C 的方程；(2)设()4,2M -，过点()4,0Q -的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A 点在B 点左侧），直线AM 与直线2x =-交于点N ，设直线NA ，NB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：21k k -为定值.【典例6-2】已知双曲线2222;1(0,0)x y C a b a b -=>>经过点æççè，右焦点为(),0F c ，且222,,c a b 成等差数列.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的右支交于,P Q 两点（P 在Q 的上方），PQ 的中点为,M M 在直线:2l x =上的射影为,N O 为坐标原点，设POQ △的面积为S ，直线,PN QN 的斜率分别为12,k k ，试问12k k S-是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，说明理由.【变式6-1】已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的离心率为12，A ，B ，C 分别为椭圆的左顶点，上顶点和右顶点，1F 为左焦点，且1ABF V P 是椭圆M 上不与顶点重合的动点，直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点N ．(1)求椭圆M 的标准方程；(2)求证：2QN QC k k -为定值，并求出此定值（其中QN k 、QC k 分别为直线QN 和直线QC 的斜率）．【变式6-2】（2024·高三·上海闵行·期中）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，点()3,1-在双曲线C 上．过C 的左焦点F 作直线l 交C 的左支于A 、B 两点．(1)求双曲线C 的方程；(2)若()2,0M -，试问：是否存在直线l ，使得点M 在以AB 为直径的圆上?请说明理由．(3)点()4,2P -，直线AP 交直线2x =-于点Q ．设直线QA 、QB 的斜率分别1k 、2k ，求证：12k k -为定值．题型七：线段定值【典例7-1】（2024·高三·山西·期末）已知椭圆E ：()2221024x y b b +=<<.(1)若椭圆E 22y x =-与椭圆E 交于M ，N 两点，求证：OM ON ^；(2)P 为直线l ：4x =上的一个动点，A ，B 为椭圆E 的左、右顶点，PA ，PB 分别与椭圆E 交于C ，D 两点，证明CA PD PC BD××为定值，并求出此定值.【典例7-2】如图，已知圆22:210T x y ++-=，圆心是点T ，点G 是圆T 上的动点，点H 的坐标为)，线段CH 的垂直平分线交线段TC 于点R ，记动点R 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)过点H 作一条直线与曲线E 相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，若CA AH l =uuu r uuur ，CB BH m =uuur uuur ，试探究l m +是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；(3)过点()2,1M 作两条直线MP ，MQ ，分别交曲线E 于P ，Q 两点，使得1MP MQ k k ×=.且MD PQ ^，点D 为垂足，证明：存在定点F ，使得DF 为定值.【变式7-1】已知点N 在曲线22:11612x y C +=上，O 为坐标原点，若点M 满足2ON OM =uuu r uuuu r ，记动点M 的轨迹为G ．(1)求G 的方程；(2)设,C D 是上G 的两个动点，且以CD 为直径的圆经过点O ，证明：2211OCOD+为定值．【变式7-2】（2024·湖北·模拟预测）平面直角坐标系xOy 中，动点(,)P x y 满足=，点P 的轨迹为C ，过点(2,0)F 作直线l ，与轨迹C 相交于A ，B 两点．(1)求轨迹C 的方程；(2)求OAB △面积的取值范围；(3)若直线l 与直线1x =交于点M ，过点M 作y 轴的垂线，垂足为N ，直线NA ，NB 分别与x 轴交于点S ，T ，证明：||||SF FT 为定值．【变式7-3】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知12(2,0),(2,0),(1,0),(1,0)A B F F --，动点P 满足34PA PB k k ×=-，动点P 的轨迹为曲线1,PF t 交t 于另外一点2,Q PF 交t 于另外一点R .(1)求曲线t 的标准方程;(2)已知1212PF PF QF RF +是定值，求该定值;题型八：坐标定值【典例8-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A ，122AF AF AF -=uuur uuuu r uuuu r ，12AF F △(1)求C 的方程；(2)B 是C 上位于第一象限的一点，其横坐标为1，直线l 过点2F 且与C 交于M ，N 两点（均异于点B ），点P 在l 上，设直线BM ，BP ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，若2312k k k -=，问点P 的横坐标是否为定值？若为定值，求出点P 的横坐标；若不为定值，请说明理由.【典例8-2】（2024·全国·模拟预测）一般地，抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形，对应的三个切点形成的三角形称为抛物线的切点三角形．如图，012P PP V ，ABC V 分别为抛物线y 2=2px(p >0)的切线三角形和切点三角形，F 为该抛物线的焦点．当直线AB 的斜率为1-时，AB 中点的纵坐标为2-．(1)求p ．(2)若直线AC 过点F ，直线,AB BC 分别与该抛物线的准线交于点,D E ，记点,D E 的纵坐标分别为,D E y y ，证明：D E y y 为定值．(3)若,,A B C 均不与坐标原点重合，证明：012FA FB FC FP FP FP ××=××【变式8-1】（2024·四川凉山·三模）已知平面内动点P 与两定点()11,0A -，()21,0A 连线的斜率之积为3．(1)求动点P 的轨迹E 的方程：(2)过点()2,0的直线与轨迹E 交于A ，B 两点，点A ，B 均在y 轴右侧，且点A 在第一象限，直线2AA 与1BA 交于点M ，证明：点M 横坐标为定值．题型九：角度定值【典例9-1】抛物线C ：()20x py p =>的焦点为()0,1F ，直线l 的倾斜角为a 且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于两点A ，B .（1）若16AB =，求角a ；（2）分别过A ，B 作抛物线C 的切线1l ，2l ，记直线1l ，2l 的交点为E ，直线EF 的倾斜角为b .试探究a b -是否为定值，并说明理由.【典例9-2】（2024·高三·广东广州·期中）已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b的离心率为12，焦距为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的左顶点为A ，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于B ，D （异于点A ）两点，直线AB ，AD 分别与直线4x =交于M ，N 两点，试问MFN Ð是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【变式9-1】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，利用公式x ax byy cx dy¢=+ìí¢=+î①（其中a ，b ，c ，d 为常数），将点(,)P x y 变换为点(),P x y ¢¢¢的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由a ，b ，c ，d 组成的正方形数表a b c d æöç÷èø唯一确定，我们将a b c d æöç÷èø称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母A ，B ，…表示.(1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，将点(,)P x y 绕原点O 按逆时针旋转a 角得到点(),P x y ¢¢¢（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵A ；(2)在平面直角坐标系xOy 中，求双曲线1xy =绕原点O 按逆时针旋转π4（到原点距离不变）得到的双曲线方程C ；(3)已知由（2）得到的双曲线C ，上顶点为D ，直线l 与双曲线C 的两支分别交于A ，B 两点（B 在第一象限），与x 轴交于点T ö÷÷ø.设直线DA ，DB 的倾斜角分别为a ，b ，求证：a b +为定值.【变式9-2】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点，点A ，B 分别是椭圆C 的左、右顶点.(1)求圆O 和椭圆C 的方程；(2)已知P ，Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点（P ，Q 位于y 轴两侧），且直线PQ 与x 轴平行，直线AP ，BP 分别与y 轴交于点M ，N .求证：MQN Ð为定值.题型十：直线过定点【典例10-1】（2024·陕西·模拟预测）已知动圆M 经过定点1(F ，且与圆222:(16F x y +=内切.(1)求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；(2)设轨迹C 与x 轴从左到右的交点为点A ，B ，点P 为轨迹C 上异于A ，B 的动点，设直线PB 交直线4x =于点T ，连接AT 交轨迹C 于点Q ；直线AP ，AQ 的斜率分别为AP k ，AQ k .（i ）求证：AP AQ k k ×为定值；（ii ）设直线:PQ x ty n =+，证明：直线PQ 过定点.【典例10-2】（2024·广西·模拟预测）已知圆E 恒过定点()1,0，且与直线=1x -相切，记圆心E 的轨迹为G ，直线11:10l x m y --=与G 相交于A ，B 两点，直线22:10l x m y --=与G 相交于C ，D 两点，且121m m =-，M ，N 分别为弦,AB CD 的中点，其中A ，C 均在第一象限，直线AC 与直线BD 的交点为G ．(1)求圆心E 的轨迹G 的方程；(2)直线MN 是否恒过定点？若是，求出定点坐标？若不是，请说明理由．【变式10-1】（2024·江西·二模）已知()12,0F -，()22,0F ，M 是圆O ：221x y +=上任意一点，1F 关于点M 的对称点为N ，线段1F N 的垂直平分线与直线2F N 相交于点T ，记点T 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)设(),0E t （0t >）为曲线C 上一点，不与x 轴垂直的直线l 与曲线C 交于G ，H 两点（异于E 点）.若直线GE ，HE 的斜率之积为2，求证：直线l 过定点.【变式10-2】在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，F 是椭圆的右焦点且椭圆C与圆M ：()22616x y -+=外切，又与圆N ：(223x y +-=外切．(1)求椭圆C 的方程．(2)已知A ，B 是椭圆C 上关于原点对称的两点，A 在x 轴的上方，连接AF ，BF 并分别延长交椭圆C 于D ，E 两点，证明：直线DE 过定点．题型十一：动点在定直线上【典例11-1】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，A ，B 分别为C 的上、下顶点，O 为坐标原点，直线4y kx =+与C 交于不同的两点M ，N ．(1)设点P 为线段MN 的中点，证明：直线OP 与直线MN 的斜率之积为定值；(2)若AB 4=，证明：直线BM 与直线AN 的交点G 在定直线上．【典例11-2】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点31,2H æö-ç÷èø，离心率12e =.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过点()4,3P 且倾斜角为135o 的直线l 与x 轴，y 轴分别交于点,M N ，点R 为椭圆C 上任意一点，求RMN V 面积的最小值.(3)如图，过点()4,3P 作两条直线,AB CD 分别与椭圆C 相交于点,,,A B C D ，设直线AD 和BC 相交于点Q .证明点Q 在定直线上.【变式11-1】已知A ，B 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右顶点，P 是C 上异于A ，B 的一点，直线PA ，PB 的斜率分别为12,k k ，且12||4k k AB ==.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知过点(4,0)的直线:4l x my =+，交C 的左，右两支于D ，E 两点（异于A ，B ）.（i ）求m 的取值范围；（ii ）设直线AD 与直线BE 交于点Q ，求证：点Q 在定直线上.【变式11-2】已知椭圆G ：()222210+=>>x y a b a b 的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线交椭圆G 于点3(1,)2P ．过点P 作椭圆G 的切线，交x 轴于点Q ．(1)求点Q 的坐标；(2)过点Q 的直线（非x 轴）交椭圆G 于A 、B 两点，过点A 作x 轴的垂线与直线BP 交于点D ，求证：线段AD 的中点在定直线上．【变式11-3】（2024·河北·三模）已知椭圆C 的中心在原点O 、对称轴为坐标轴，A æççè、12B ö÷÷ø是椭圆上两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)椭圆C 的左、右顶点分别为1A 和2A ，M ，N 为椭圆上异于1A 、2A 的两点，直线MN 不过原点且不与坐标轴垂直．点M 关于原点的对称点为S ，若直线1A S 与直线2A N 相交于点T ．（i ）设直线1MA 的斜率为1k ，直线2MA 的斜率为2k ，求12k k -的最小值；（ii ）证明：直线OT 与直线MN 的交点在定直线上．题型十二：圆过定点【典例12-1】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>A 、B 分点是椭圆C 的左、右顶点，P 是椭圆C 上不同于A 、B 的一点，ABP V 面积的最大值是2．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)记直线AP 、BP 的斜率分别为1k 、2k ，且直线AP 、BP 与直线6x =分别交于D 、E 两点．①求D 、E 的纵坐标之积；②试判断以DE 为直径的圆是否过定点．若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.【典例12-2】（2024·西藏拉萨·二模）已知抛物线2:2(0)C x py p =>上的两点,A B 的横坐标分别为4,8,AB -=.(1)求抛物线C 的方程；(2)若过点()0,8Q 的直线l 与抛物线C 交于点,M N ，问：以MN 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由.【变式12-1】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，离心率为12，点P 是椭圆上异于顶点的任意一点，过点P 作椭圆的切线l ，交y 轴于点A ，直线l ¢过点P 且垂直于l ，交y 轴于点B ．(1)求椭圆的方程；(2)试判断以AB 为直径的圆能否过定点？若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由．【变式12-2】（2024·山东泰安·模拟预测）已知抛物线2:2(0)E x py p =>，焦点为F ，点(2,1)C 在E 上，直线1l ∶1y kx =+(0)k ¹与E 相交于,A B 两点，过,A B 分别向E 的准线l 作垂线，垂足分别为11,A B .(1)设1111,,FA B FAA FBB V V V 的面积分别为123,,S S S ，求证：21234S S S =×；(2)若直线AC ，BC 分别与l 相交于,M N ，试证明以MN 为直径的圆过定点P ，并求出点P 的坐标.1．（2024·全国·模拟预测）已知复平面上的点Z 对应的复数z 满足2297z z --=，设点Z 的运动轨迹为W ．点O 对应的数是0．(1)证明W 是一个双曲线并求其离心率e ；(2)设W 的右焦点为1F ，其长半轴长为L ，点Z 到直线Lx e=的距离为d （点Z 在W 的右支上），证明：1ZF ed =；(3)设W 的两条渐近线分别为12l l ，，过Z 分别作12l l ，的平行线34l l ，分别交21l l ，于点P Q ，，则平行四边形OPZQ 的面积是否是定值？若是，求该定值；若不是，说明理由．2．（2024·湖南常德·三模）已知O 为坐标原点，椭圆C ：2221(1)x y a a +=>的上、下顶点为A 、B ，椭圆上的点P 位于第二象限，直线PA 、PB 、PO 的斜率分别为123,,k k k ，且312114k k k =-+.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过原点O 分别作直线PA 、PB 的平行线与椭圆相交，得到四个交点，将这四个交点依次连接构成一个四边形，则此四边形的面积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请求出其取值范围.3．已知一张纸上画有半径为4的圆E ，在圆E 内有一个定点F ，且EF =，折叠纸片，使圆上某一点F ¢刚好与F 点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当F ¢取遍圆上所有点时，所有折痕与EF ¢的交点形成的曲线为C ．(1)若曲线C 的焦点在x 轴上，求其标准方程；(2)在（1）的条件下，是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与曲线C 恒有两个交点,A B ，且OA OB ^，（O 为坐标原点），若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由；(3)在（1）的条件下，P 是曲线C 上异于上顶点1A 、下顶点2A 的任一点，直线12,PA PA 分别交x 轴于点,N M ，若直线OT 与过点,M N 的圆G 相切，切点为T ，证明：线段OT 的长为定值，并求出定值．4．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，短轴长为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的一个动点，12PFF V 面积的最大值为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)求12PF PF ×uuu r uuu u r的取值范围；(3)过椭圆的左顶点A 作直线l x ^轴，M 为直线l 上的动点，B 为椭圆右顶点，直线BM 交椭圆C 于点Q ．试判断数量积AQ OM ×uuu v uuuu v ，OQ OM ×uuu v uuuu v是否为定值，如果为定值，求出定值；如果不是定值，说明理由．5．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图， 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0y x a b a b -=>>的上下焦点分别为()10,F c ，()20,F c -. 已知点(e 和(都在双曲线上， 其中e 为双曲线的离心率.(1)求双曲线的方程;(2)设,A B 是双曲线上位于y 轴右方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P .(i) 若122AF BF -=，求直线1AF 的斜率；(ii) 求证：12PF PF +是定值.6．已知椭圆22142x y +=，设动点P 满足OP OM ON =+uuu r uuuu r uuu r ，其中M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为12-．问：是否存在两个点1F ，2F ，使得21PF PF +为定值？若存在，求1F ，2F 的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的实轴长为2，设F 为C 的右焦点，T 为C 的左顶点，过F 的直线交C 于A ，B 两点，当直线AB 斜率不存在时，TAB △的面积为9．(1)求C 的方程；(2)当直线AB 斜率存在且不为0时，连接TA ，TB 分别交直线12x =于P ，Q 两点，设M 为线段PQ 的中点，记直线AB ，FM 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值．8．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，(,2)M m 是抛物线C 上一点，且||2MF =．(1)求抛物线C 的方程．(2)若()()004,0P y y >是抛物线C 上一点，过点(1,4)Q -的直线与拋物线C 交于,A B 两点（均与点P 不重合），设直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，试问12k k 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．9．（2024·河南新乡·三模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别是12,A A ，椭圆C 的焦距是2，P （异于12,A A ）是椭圆C 上的动点，直线1A P 与2A P 的斜率之积为34-．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)12,F F 分别是椭圆C 的左、右焦点，Q 是12PFF V 内切圆的圆心，试问平面上是否存在定点,M N ，使得QM QN +为定值?若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由.10．（2024·江苏盐城·一模）已知抛物线O ：2x y =，圆C ：()2221x y +-=，O 为坐标原点.(1)若直线l ：()0y kx m k =+¹分别与抛物线O 相交于点A ，B （A 在B 的左侧）、与圆C 相交于点S ，T （S 在T 的左侧），且OAT !与OBS V 的面积相等，求出m 的取值范围；(2)已知1A ，2A ，3A 是抛物线O 上的三个点，且任意两点连线斜率都存在.其中12A A ，13A A 均与圆C 相切，请判断此时圆心C 到直线23A A 的距离是否为定值，如果是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由.11．设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，1F ，2F 分别是C 的左、右焦点，C 上的点到1F 的最小距离为1，P是C 上一点，且12PFF V 的周长为6．(1)求C 的方程；(2)过点2F 且斜率为k 的直线l 与C 交于M ，N 两点，过原点且与l 平行的直线与C 交于A ，B 两点，求证：2ABMN为定值．12．（2024·内蒙古赤峰·三模）已知点P 为圆()22:24C x y -+=上任意一点，()2,0A -，线段PA 的垂直平分线交直线PC 于点M ，设点M 的轨迹为曲线H .(1)求曲线H 的方程；(2)若过点M 的直线l 与曲线H 的两条渐近线交于S ，T 两点，且M 为线段ST 的中点.（i ）证明：直线l 与曲线H 有且仅有一个交点；（ii ） 求证：OS OT ×是定值.13．（2024·湖北·模拟预测）已知F 为抛物线G ：()20y mx m =>的焦点，A ，B ，C 是G 上三个不同的点，直线AB ，BC ，AC 分别与x 轴交于F ，D ，E ，其中AB 的最小值为4.(1)求G 的标准方程；(2)ABC V 的重心G 位于x 轴上，且D ，G ，E 的横坐标分别为d ，g ，e ，32g d e --是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.14．（2024·湖南岳阳·三模）已知动圆P 过定点(0,1)F 且与直线3y =相切，记圆心P 的轨迹为曲线E ．(1)已知A 、B 两点的坐标分别为(2,1)-、(2,1)，直线AP 、BP 的斜率分别为1k 、2k ，证明：121k k -=；(2)若点()11,M x y 、()22,N x y 是轨迹E 上的两个动点且124x x =-，设线段MN 的中点为Q ，圆P 与动点Q 的轨迹G 交于不同于F 的三点C 、D 、G ，求证：CDG V 的重心的横坐标为定值．。

高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析1.如图，已知椭圆，双曲线(a＞0，b＞0)，若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A，B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（）A．5B．C．D．【答案】C【解析】由已知，|OA|＝a＝设OA所在渐近线的方程为y＝kx(k＞0)，于是A点坐标可表示为A(x0，kx)(x＞0)于是，即A()，进而AB的一个三分点坐标为()该点在椭圆C1上，有，即，得k＝2即＝2，于是，所以离心率，选C【考点】圆的方程，椭圆的性质，双曲线的性质，双曲线的渐近线，直线与圆锥曲线的位置关系，双曲线的离心率.2.已知抛物线C：的焦点为F，准线为，P是上一点，Q是直线PF与C得一个焦点，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所示，因为，故，过点作，垂足为M，则轴，所以，所以，由抛物线定义知，，选B．【考点】1、抛物线的定义；2、抛物线的标准方程；3、向量共线．3.已知椭圆C：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；（ii）当最小时，求点T的坐标.【答案】(1) ；（2）【解析】（1）因为焦距为4，所以，又，由此可求出的值，从而求得椭圆的方程.（2）椭圆方程化为.设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.（ⅰ）设PQ的中点为，求出，只要，即证得OT 平分线段PQ.（ⅱ）可用表示出PQ，TF可得：.再根据取等号的条件，可得T的坐标.试题解答：（1），又.（2）椭圆方程化为.（ⅰ）设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.设PQ的中点为，则又TF的方程为，则得，所以，即OT过PQ的中点，即OT平分线段PQ.（ⅱ），又，所以.当时取等号，此时T的坐标为.【考点】1、椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线；3、最值问题.4.已知的三个顶点在抛物线：上，为抛物线的焦点，点为的中点，；（1）若，求点的坐标；（2）求面积的最大值.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）根据抛物线方程为，写出焦点为，准线方程为，设，由抛物线的定义知，，把代入求得点的坐标，再由求得点的坐标；（2）设直线的方程为，，，，联立方程组，整理得，先求出的中点的坐标，再由，得出，用弦长公式表示，构造函数，用导数法求的面积的最大值.（1）由题意知，焦点为，准线方程为，设，由抛物线的定义知，，得到，代入求得或，所以或，由得或，（2）设直线的方程为，，，，由得，于是，所以，，所以的中点的坐标，由，所以，所以，因为，所以，由，，所以，又因为，点到直线的距离为，所以，记，，令解得，，所以在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，又，所以当时，取得最大值，此时，所以的面积的最大值为.【考点】抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，三角形的面积公式，平面向量的坐标运算.5.如图为椭圆C：的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率，的面积为.若点在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭圆”，直线与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭圆”分别为P，Q.（1）求椭圆C的标准方程；（2）问是否存在过左焦点的直线，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）直线方程为或.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线的标准方程、圆的标准方程、韦达定理、向量垂直的充要条件等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，利用椭圆的离心率和三角形面积公式列出表达式，解方程组，得到基本量a和b的值，从而得到椭圆的方程；第二问，直线l过左焦点，所以讨论直线的斜率是否存在，当斜率不存在时，可以直接写出直线方程，令直线与椭圆联立，得到交点坐标，验证以PQ为直径的圆不过坐标原点，当斜率存在时，直线与椭圆联立，消参，利用韦达定理，证明，解出k的值.（1）由题意，，即，，即 2分又得：∴椭圆的标准方程：． 5分(2)①当直线的斜率不存在时，直线的方程为联立，解得或，不妨令，，所以对应的“椭点”坐标，．而所以此时以为直径的圆不过坐标原点． 7分②当直线的斜率存在时，设直线的方程为消去得，设，则这两点的“椭点”坐标分别为由根与系数关系得： 9分若使得以为直径的圆过坐标原点，则而，∴即，即代入，解得：所以直线方程为或． 12分【考点】椭圆的标准方程、直线的标准方程、圆的标准方程、韦达定理、向量垂直的充要条件.6.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设A，B是椭圆C上的两点，△AOB的面积为.若A、B两点关于x轴对称，E为线段AB 的中点，射线OE交椭圆C于点P.如果＝t，求实数t的值．【答案】（1）＋y2＝1（2）t＝2或t＝【解析】(1)设椭圆C的方程为：(a＞b＞0)，则，解得a＝，b＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由于A、B两点关于x轴对称，可设直线AB的方程为x＝m(－＜x＜，且m≠0)．将x＝m代入椭圆方程得|y|＝，所以S△AOB＝|m| ＝.解得m2＝或m2＝.①又＝t＝t(＋)＝t(2m,0)＝(mt,0)，又点P在椭圆上，所以＝1.②由①②得t2＝4或t2＝.又因为t＞0，所以t＝2或t＝.7.双曲线的左右焦点分别为,且恰为抛物线的焦点,设双曲线与该抛物线的一个交点为,若是以为底边的等腰三角形,则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴焦点为，即，∵，∴，即，∴，则，即，∴．【考点】抛物线的标准方程及几何性质．8.已知双曲线＝1的左支上一点M到右焦点F2的距离为18，N是线段MF2的中点，O是坐标原点，则|ON|等于()A．4B．2C．1D．【答案】A【解析】设双曲线左焦点为F1，由双曲线的定义知，|MF2|－|MF1|＝2a，即18－|MF1|＝10，所以|MF1|＝8．又ON为△MF1F2的中位线，所以|ON|＝|MF1|＝4，所以选A．9.已知F1、F2为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，且满足||＝3||，则此双曲线的渐近线方程为________．【答案】y＝±x【解析】由双曲线的性质可推得||＝b，则||＝3b，在△MF1O中，||＝a，||＝c，cos∠F1OM＝－，由余弦定理可知＝－，又c2＝a2＋b2，可得a2＝2b2，即＝，因此渐近线方程为y＝±x．10.如图，已知，，，分别是椭圆的四个顶点，△是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆．（1）求椭圆及圆的方程；（2）若点是圆劣弧上一动点（点异于端点，），直线分别交线段，椭圆于点，，直线与交于点．（ⅰ）求的最大值；（ⅱ）试问：，两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【答案】（1），，（2）（ⅰ），（ⅱ）.【解析】（1）求椭圆标准方程，只需两个独立条件. 由题意知，，，所以，，所以椭圆的方程为，求圆的方程，有两个选择，一是求圆的标准方程，确定圆心与半径，二是求圆的一般方程，只需代入圆上三个点的坐标.本题两个方法皆简单，如易得圆心，，所以圆的方程为（2）（ⅰ）本题关键分析出比值暗示的解题方向，由于点在轴上，所以，因此解题方向为利用斜率分别表示出点与点的横坐标. 设直线的方程为，与直线的方程联立，解得点，联立，消去并整理得，，解得点,因此当且仅当时，取“=”，所以的最大值为．（ⅱ）求出点的横坐标，分析与点的横坐标的和是否为常数. 直线的方程为，与直线的方程联立，解得点，所以、两点的横坐标之和为．试题解析：（1）由题意知，，，所以，，所以椭圆的方程为， 2分易得圆心，，所以圆的方程为．4分（2）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，解得点， 6分联立，消去并整理得，，解得点，9分（ⅰ），当且仅当时，取“=”，所以的最大值为． 12分（ⅱ）直线的方程为，与直线的方程联立，解得点， 14分所以、两点的横坐标之和为．故、两点的横坐标之和为定值，该定值为． 16分【考点】椭圆与圆标准方程，直线与椭圆位置关系11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆＝1的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F.设过点T(t ，m)的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，其中m>0，y 1>0，y 2<0.(1)设动点P 满足PF 2－PB 2＝4，求点P 的轨迹； (2)设x 1＝2，x 2＝，求点T 的坐标；(3)设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)． 【答案】（1）x ＝（2）（3）见解析【解析】(1)解：设点P(x ，y)，则F(2，0)、B(3，0)、A(－3，0)．由PF 2－PB 2＝4，得(x －2)2＋y 2－[(x －3)2＋y 2]＝4，化简得x ＝，故所求点P 的轨迹为直线x ＝. (2)解：将x 1＝2，x 2＝分别代入椭圆方程，以及y 1>0，y 2<0得M 、N.直线MTA的方程为，即y ＝x ＋1.直线NTB 的方程为，即y ＝x －.联立方程组，解得所以点T 的坐标为.(3)证明：点T 的坐标为(9，m)，直线MTA 的方程为，即y ＝(x ＋3)．直线NTB 的方程为，即y ＝(x －3)．分别与椭圆＝1联立方程组，同时考虑到x 1≠－3，x 2≠3，解得 M、N(证法1)当x 1≠x 2时，直线MN 的方程为，令y ＝0，解得x＝1，此时必过点D(1，0)；当x 1＝x 2时，直线MN 的方程为x ＝1，与x 轴交点为D(1，0)，所以直线MN 必过x 轴上的一定点D(1，0)． (证法2)若x 1＝x 2，则由及m>0，得m ＝2，此时直线MN 的方程为x ＝1，过点D(1，0)．若x 1≠x 2，则m≠2.直线MD 的斜率k MD ＝，直线ND 的斜率k ND ＝，得k MD ＝k ND ，所以直线MN 过D 点．因此，直线MN 必过x 轴上的点D(1，0)．12.已知F是椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点,点P在椭圆C上,线段PF与圆（x-）2+y2=相切于点Q,且=2,则椭圆C的离心率等于()A．B．C．D．【答案】A【解析】记椭圆的左焦点为F′,圆(x-)2+y2=的圆心为E,连接PF′、QE.∵|EF|=|OF|-|OE|=c-=,=2,∴==,∴PF′∥QE,∴=,且PF′⊥PF.又∵|QE|=(圆的半径长),∴|PF′|=b.据椭圆的定义知:|PF′|+|PF|=2a,∴|PF|=2a-b.∵PF′⊥PF,∴|PF′|2+|PF|2=|F′F|2,∴b2+(2a-b)2=(2c)2,∴2(a2-c2)+b2=2ab,∴3b2=2ab,∴b=,c==a,=,∴椭圆的离心率为.13.设抛物线的焦点为，点，线段的中点在抛物线上.设动直线与抛物线相切于点，且与抛物线的准线相交于点，以为直径的圆记为圆．（1）求的值；（2）试判断圆与轴的位置关系；（3）在坐标平面上是否存在定点，使得圆恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）见解析（3）存在【解析】（1）判断抛物线的焦点位置，得到焦点坐标，利用中点坐标公式得到FA的中点坐标带入抛物线即可求的P的值.（2）直线与抛物线相切，联立直线与抛物线，判别式为0即可得到k,m之间的关系，可以用k 来替代m，得到P点的坐标，抛物线准线与直线的方程可得到Q点的坐标，利用中点坐标公式可得到PQ中点坐标，通过讨论k的取值范围得到中点到x轴距离与圆半径(PQ为直径)的大小比较即可判断圆与x轴的位置关系.（3）由(2)可以得到PQ的坐标(用k表示)，根据抛物线对称性知点在轴上，设点坐标为，则M点需满足，即向量内积为0，即可得到M点的坐标，M点的坐标如果为常数(不含k)，即存在这样的定点，如若不然，则不存在.试题解析：解：（1）利用抛物线的定义得，故线段的中点的坐标为，代入方程得，解得。

高考理科数学一轮复习大题篇----圆锥曲线综合【归类解析】题型一 范围问题【解题指导】 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．【例】设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1|OF |＋1|OA |＝3e |F A |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围．【解】 (1)设F (c,0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e |F A |， 即1c ＋1a ＝3c a a －c，可得a 2－c 2＝3c 2. 又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4.所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)．设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1，y ＝k x －2消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0.解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3. 由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k 4k 2＋3. 由(1)知，F (1,0)，设H (0，y H )，有FH →＝(－1，y H )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k 24k 2＋3，12k 4k 2＋3. 由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k . 因此直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k 212k . 设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，y ＝－1k x ＋9－4k 212k ， 消去y ，解得x M ＝20k 2＋912k 2＋1. 在△MAO 中，由∠MOA ≤∠MAO ，得|MA |≤|MO |，即(x M －2)2＋y 2M ≤x 2M ＋y 2M ， 化简，得x M ≥1，即20k 2＋912k 2＋1≥1， 解得k ≤－64或k ≥64. 所以直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－64∪⎣⎡⎭⎫64，＋∞. 【训练】如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上．(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋y 24＝1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围． (1)证明 设P (x 0，y 0)，A ⎝⎛⎭⎫14y 21，y 1，B ⎝⎛⎭⎫14y 22，y 2.因为P A ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程⎝⎛⎭⎫y ＋y 022＝4·14y 2＋x 02，即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根．所以y 1＋y 2＝2y 0，所以PM 垂直于y 轴．(2)解 由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 20， 所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 20－3x 0， |y 1－y 2|＝22y 20－4x 0. 所以△P AB 的面积S △P AB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝)3220044y x -.因为x 20＋y 204＝1(－1≤x 0<0)， 所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4,5]，所以△P AB 面积的取值范围是⎣⎡⎦⎤62，15104. 题型二 最值问题【解题指导】 处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．【例】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为33b . (1)求椭圆C 的离心率；(2)若点M ⎝⎛⎭⎫3，32在椭圆C 上，不过原点O 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，与直线OM 相交于点N ，且N 是线段AB 的中点，求△OAB 面积的最大值． 【解】 (1)由题意，得a －c ＝33b ，则(a －c )2＝13b 2， 结合b 2＝a 2－c 2，得(a －c )2＝13(a 2－c 2)， 即2c 2－3ac ＋a 2＝0，亦即2e 2－3e ＋1＝0，结合0<e <1，解得e ＝12. 所以椭圆C 的离心率为12. (2)由(1)得a ＝2c ，则b 2＝3c 2.将M ⎝⎛⎭⎫3，32代入椭圆方程x 24c 2＋y 23c 2＝1，解得c ＝1. 所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1. 易得直线OM 的方程为y ＝12x . 当直线l 的斜率不存在时，线段AB 的中点不在直线y ＝12x 上，故直线l 的斜率存在． 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，与x 24＋y 23＝1联立消y 得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， 由题意得Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝48(3＋4k 2－m 2)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2. 因为y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6m 3＋4k 2， 所以线段AB 的中点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2， 因为点N 在直线y ＝12x 上， 所以－4km 3＋4k 2＝2×3m 3＋4k 2， 解得k ＝－32. 所以Δ＝48(12－m 2)>0，解得－23<m <23，且m ≠0，|AB |＝1＋⎝⎛⎭⎫－322|x 2－x 1| ＝132·x 1＋x 22－4x 1x 2 ＝132·m 2－4m 2－123＝39612－m 2. 又原点O 到直线l 的距离d ＝2|m |13， 所以S △OAB ＝12×39612－m 2×2|m |13 ＝3612－m 2m 2≤36·12－m 2＋m 22＝ 3. 当且仅当12－m 2＝m 2，即m ＝±6时等号成立，符合－23<m <23，且m ≠0.所以△OAB 面积的最大值为 3.【训练】已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．【解】 (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1m x ＋b .由⎩⎨⎧ x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2b mx ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2>0，① 将AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2，② 由①②得m <－63或m >63. (2)令t ＝1m ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎫0，62，则t 2∈⎝⎛⎭⎫0，32. 则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12， 且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1. 设△AOB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AB |·d ＝12 －2⎝⎛⎭⎫t 2－122＋2≤22， 当且仅当t 2＝12时，等号成立，此时满足t 2∈⎝⎛⎭⎫0，32. 故△AOB 面积的最大值为22. 题型三 定点问题【解题指导】 圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．【例】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3⎝⎛⎭⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．(1)解 由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点． 又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b2知，椭圆C 不经过点P 1， 所以点P 2在椭圆C 上．因此⎩⎨⎧ 1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22，则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设． 从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1， 得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1. 而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋m －1x 1＋x 2x 1x 2.由题设知k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0.即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km 4k 2＋1＝0， 解得k ＝－m ＋12. 当且仅当m >－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ， 即y ＋1＝－m ＋12(x －2)， 所以l 过定点(2，－1)．【训练】 已知焦距为22的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，直线y ＝43与椭圆C 交于P ，Q 两点(P 在Q 的左边)，Q 在x 轴上的射影为B ，且四边形ABPQ 是平行四边形．(1)求椭圆C 的方程；(2)斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点M ，N .①若直线l 过原点且与坐标轴不重合，E 是直线3x ＋3y －2＝0上一点，且△EMN 是以E 为直角顶点的等腰直角三角形，求k 的值；②若M 是椭圆的左顶点，D 是直线MN 上一点，且DA ⊥AM ，点G 是x 轴上异于点M 的点，且以DN 为直径的圆恒过直线AN 和DG 的交点，求证：点G 是定点．(1)解 由题意可得2c ＝22，即c ＝2，设Q ⎝⎛⎭⎫n ，43，因为四边形ABPQ 为平行四边形， |PQ |＝2n ，|AB |＝a －n ，所以2n ＝a －n ，n ＝a 3， 则⎝⎛⎭⎫a 32a 2＋169b 2＝1，解得b 2＝2，a 2＝b 2＋c 2＝4， 可得椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)①解 直线y ＝kx (k ≠0)代入椭圆方程，可得(1＋2k 2)x 2＝4，解得x ＝±21＋2k 2， 可设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋2k 2，2k 1＋2k 2， 由E 是3x ＋3y －2＝0上一点，可设E ⎝⎛⎭⎫m ，23－m ⎝⎛⎭⎫m ≠0，且m ≠23， E 到直线kx －y ＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪km ＋m －231＋k 2，因为△EMN 是以E 为直角顶点的等腰直角三角形，所以OE ⊥MN ，|OM |＝d ，即有23－m m ＝－1k，(*) 4＋4k 21＋2k 2＝⎪⎪⎪⎪km ＋m －231＋k 2，(**)由(*)得m ＝2k 3k －1(k ≠1)，代入(**)式， 化简整理可得7k 2－18k ＋8＝0，解得k ＝2或47. ②证明 由M (－2,0)，可得直线MN 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ≠0)，代入椭圆方程可得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，可得－2＋x N ＝－8k 21＋2k 2，解得x N ＝2－4k 21＋2k 2， y N ＝k (x N ＋2)＝4k 1＋2k 2，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 21＋2k 2，4k 1＋2k 2， 设G (t,0)(t ≠－2)，由题意可得D (2,4k )，A (2,0)，以DN 为直径的圆恒过直线AN 和DG 的交点，可得AN ⊥DG ，即有AN →·DG →＝0，即为⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 21＋2k 2，4k 1＋2k 2·(t －2，－4k )＝0，解得t ＝0. 故点G 是定点，即为原点(0,0)．题型四 定值问题【解题指导】 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．【例】已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1,2)，过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .(1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值． (1)解 因为抛物线y 2＝2px 过点(1,2)，所以2p ＝4，即p ＝2.故抛物线C 的方程为y 2＝4x .由题意知，直线l 的斜率存在且不为0.设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. 依题意知Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0，解得k <0或0<k <1.又P A ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2)．从而k ≠－3.所以直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1)．(2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k 2. 直线P A 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1)， 令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2. 同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2. 由QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，得λ＝1－y M ，μ＝1－y N .所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N＝x 1－1k －1x 1＋x 2－1k －1x 2 ＝1k －1·2x 1x 2－x 1＋x2x 1x 2 ＝1k －1·2k 2＋2k －4k 21k 2＝2.所以1λ＋1μ为定值． 【训练】已知点M 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且|F 1F 2|＝4，∠F 1MF 2＝60°，△F 1MF 2的面积为433. (1)求椭圆C 的方程；(2)设N (0,2)，过点P (－1，－2)作直线l ，交椭圆C 于异于N 的A ，B 两点，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1＋k 2为定值．(1)解 在△F 1MF 2中，由12|MF 1||MF 2|sin 60°＝433，得|MF 1||MF 2|＝163. 由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|·cos 60°＝(|MF 1|＋|MF 2|)2－2|MF 1||MF 2|(1＋cos 60°)，解得|MF 1|＋|MF 2|＝4 2.从而2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝42，即a ＝2 2.由|F 1F 2|＝4得c ＝2，从而b ＝2， 故椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)证明 当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，显然k ≠0，则其方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＋2＝k x ＋1，得(1＋2k 2)x 2＋4k (k －2)x ＋2k 2－8k ＝0.Δ＝56k 2＋32k >0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k k －21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－8k 1＋2k 2. 从而k 1＋k 2＝y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝2kx 1x 2＋k －4x 1＋x 2x 1x 2 ＝2k －(k －4)·4k k －22k 2－8k＝4. 当直线l 的斜率不存在时，可得A ⎝⎛⎭⎫－1，142，B ⎝⎛⎭⎫－1，－142，得k 1＋k 2＝4. 综上，k 1＋k 2为定值．题型五 证明问题【解题指导】 圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法．【例】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .(1)解 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)．由NP →＝ 2 NM →得x 0＝x ，y 0＝22y . 因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1. 因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明 由题意知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ，OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )．由OP →·PQ →＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1.又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0.所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【训练】已知椭圆T ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点A (0,1)，离心率e ＝63，圆C ：x 2＋y 2＝4，从圆C 上任意一点P 向椭圆T 引两条切线PM ，PN .(1)求椭圆T 的方程；(2)求证：PM ⊥PN .(1)解 由题意可知b ＝1，c a ＝63，即2a 2＝3c 2， 又a 2＝b 2＋c 2，联立解得a 2＝3，b 2＝1.∴椭圆方程为x 23＋y 2＝1. (2)证明 方法一 ①当P 点横坐标为±3时，纵坐标为±1，PM 斜率不存在，PN 斜率为0，PM ⊥PN .②当P 点横坐标不为±3时，设P (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝4，设k PM ＝k ，PM 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k x －x 0，x 23＋y 2＝1， 消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6k (y 0－kx 0)x ＋3k 2x 20－6kx 0y 0＋3y 20－3＝0，依题意Δ＝36k 2(y 0－kx 0)2－4(1＋3k 2)(3k 2x 20－6kx 0y 0＋3y 20－3)＝0，化简得(3－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0， 又k PM ，k PN 为方程的两根，所以k PM ·k PN ＝1－y 203－x 20＝1－4－x 203－x 20＝x 20－33－x 20＝－1. 所以PM ⊥PN .综上知PM ⊥PN .方法二 ①当P 点横坐标为±3时，纵坐标为±1，PM 斜率不存在，PN 斜率为0，PM ⊥PN . ②当P 点横坐标不为±3时，设P (2cos θ，2sin θ)，切线方程为y －2sin θ＝k (x －2cos θ)，⎩⎪⎨⎪⎧ y －2sin θ＝k x －2cos θ，x 23＋y 2＝1， 联立得(1＋3k 2)x 2＋12k (sin θ－k cos θ)x ＋12(sin θ－k cos θ)2－3＝0，令Δ＝0，即Δ＝144k 2(sin θ－k cos θ)2－4(1＋3k 2)[12(sin θ－k cos θ)2－3]＝0，化简得(3－4cos 2θ)k 2＋4sin 2θ·k ＋1－4sin 2θ＝0，k PM ·k PN ＝1－4sin 2θ3－4cos 2θ＝4－4sin 2θ－33－4cos 2θ＝－1. 所以PM ⊥PN .综上知PM ⊥PN .题型六 探索性问题【解题指导】 解决探索性问题的注意事项探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法．【例】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点， (1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由．【解】 (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )，或M (－2a ，a )，N (2a ，a )．又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ， C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a (x －2a )， 即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ， C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )， 即ax ＋y ＋a ＝0. 故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2.将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0.故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a .从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－b x 2＝2kx 1x 2＋a －b x 1＋x 2x 1x 2＝k a ＋b a . 当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意．【训练】已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点Q ⎝⎛⎭⎫1，－22，且离心率e ＝22，直线l 与E 相交于M ，N 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于C ，D 两点，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的方程；(2)判断是否存在直线l ，满足2OC →＝OM →＋OD →，2OD →＝ON →＋OC →？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【解】 (1)由题意得⎩⎨⎧c a ＝22，1a 2＋12b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1. 所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)存在直线l ，满足2OC →＝OM →＋OD →，2OD →＝ON →＋OC →.理由如下：方法一 由题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (km ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则C ⎝⎛⎭⎫－m k ，0，D (0，m )． 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1， 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，所以Δ＝16k 2－8m 2＋8>0.(*)由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2. 因为2OC →＝OM →＋OD →，2OD →＝ON →＋OC →，所以MC →＝CD →＝DN →，所以C ，D 是线段MN 的两个三等分点，得线段MN 的中点与线段CD 的中点重合．所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k2＝0－m k ，解得k ＝±22. 由C ，D 是线段MN 的两个三等分点，得|MN |＝3|CD |.所以1＋k 2|x 1－x 2|＝3⎝⎛⎭⎫m k 2＋m 2， 即|x 1－x 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋2k 22－4×2m 2－21＋2k 2＝3⎪⎪⎪⎪m k ， 解得m ＝±55.验证知(*)成立．所以存在直线l ，满足2OC →＝OM →＋OD →，2OD →＝ON →＋OC →，此时直线l 的方程为y ＝22x ±55或y ＝－22x ±55. 方法二 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，C (m,0)，D (0，n )，由2OC →＝OM →＋OD →，2OD →＝ON →＋OC →，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ，0＝x 1，y 1＋0，n ，20，n ＝x 2，y 2＋m ，0，解得M (2m ，－n )，N (－m,2n )．又M ，N 两点在椭圆上，所以⎩⎨⎧4m 22＋n 2＝1，m 22＋4n 2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2＋n 2＝1，m 2＋8n 2＝2， 解得⎩⎨⎧m ＝±105，n ＝±55， 故所求直线l 的方程为52x －10y ＋25＝0或52x －10y －25＝0或52x ＋10y ＋25＝0或52x ＋10y －25＝0.专题突破训练1． 已知P ⎝⎛⎭⎫23，263是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点F .(1)求椭圆C 及抛物线E 的方程；(2)设过F 且互相垂直的两动直线l 1，l 2，l 1与椭圆C 交于A ，B 两点，l 2与抛物线E 交于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值． 解 (1)∵P ⎝⎛⎭⎫23，263是抛物线E ：y 2＝2px (p >0)上一点， ∴p ＝2，即抛物线E 的方程为y 2＝4x ，F (1,0)，∴a 2－b 2＝1.又∵P ⎝⎛⎭⎫23，263在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1上， ∴49a 2＋83b 2＝1，结合a 2－b 2＝1知b 2＝3(舍负)，a 2＝4， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1， 抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)由题意可知直线l 1斜率存在，设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．①当k ＝0时，|AB |＝4，直线l 2的方程为x ＝1，|CD |＝4，故S 四边形ACBD ＝12·|AB |·|CD |＝8. ②当k ≠0时，直线l 2的方程为y ＝－1k(x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y 23＝1 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.∴x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2. 由弦长公式知|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝12k 2＋14k 2＋3. 同理可得|CD |＝4(k 2＋1)．∴S 四边形ACBD ＝12·|AB |·|CD | ＝12·12k 2＋14k 2＋3·4(k 2＋1) ＝24k 2＋124k 2＋3.令t ＝k 2＋1，t ∈(1，＋∞)，则S 四边形ACBD ＝24t 24t －1＝244t －1t 2＝24－⎝⎛⎭⎫1t －22＋4， 当t ∈(1，＋∞)时，1t∈(0,1)， －⎝⎛⎭⎫1t －22＋4<3，S 四边形ACBD >243＝8. 综上所述，四边形ACBD 面积的最小值为8.2．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上位于第一象限的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D .(1)若当点A 的横坐标为3，且△ADF 为等边三角形，求C 的方程；(2)对于(1)中求出的抛物线C ，若点D (x 0,0)⎝⎛⎭⎫x 0≥12，记点B 关于x 轴的对称点为E ，AE 交x 轴于点P ，且AP ⊥BP ，求证：点P 的坐标为(－x 0,0)，并求点P 到直线AB 的距离d 的取值范围．解 (1)由题意知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，|F A |＝3＋p 2， 则D (3＋p,0)，FD 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32＋3p 4，0，则32＋3p 4＝3，解得p ＝2， 故C 的方程为y 2＝4x .(2)依题意可设直线AB 的方程为x ＝my ＋x 0(m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则E (x 2，－y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋x 0， 消去x ，得y 2－4my －4x 0＝0，x 0≥12.所以Δ＝16m 2＋16x 0>0，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4x 0，设P 的坐标为(x P ,0)，则PE →＝(x 2－x P ，－y 2)，P A →＝(x 1－x P ，y 1)，由题意知PE →∥P A →，所以(x 2－x P )y 1＋y 2(x 1－x P )＝0，即x 2y 1＋y 2x 1＝y 22y 1＋y 21y 24＝y 1y 2y 1＋y 24＝(y 1＋y 2)x P ，显然y 1＋y 2＝4m ≠0，所以x P ＝y 1y 24＝－x 0， 即证P (－x 0,0)，由题意知△EPB 为等腰直角三角形，所以k AP ＝1，即y 1＋y 2x 1－x 2＝1，也即y 1＋y 214y 21－y 22＝1， 所以y 1－y 2＝4，所以(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝16，即16m 2＋16x 0＝16，m 2＝1－x 0，x 0<1，又因为x 0≥12，所以12≤x 0<1， d ＝|－x 0－x 0|1＋m 2＝2x 01＋m 2＝2x 02－x 0， 令2－x 0＝t ∈⎝⎛⎦⎤1，62，x 0＝2－t 2， d ＝22－t 2t ＝4t－2t ， 易知f (t )＝4t －2t 在⎝⎛⎦⎤1，62上是减函数， 所以d ∈⎣⎡⎭⎫63，2. 所以d 的取值范围是⎣⎡⎭⎫63，2. 3．已知椭圆C 1：x 2m ＋4－y 2n＝1与双曲线C 2：x 2m ＋y 2n ＝1有相同的焦点，求椭圆C 1的离心率e 1的取值范围．解 ∵椭圆C 1：x 2m ＋4－y 2n＝1， ∴a 21＝m ＋4，b 21＝－n ，c 21＝m ＋4＋n ，e 21＝m ＋4＋n m ＋4＝1＋n m ＋4. ∵双曲线C 2：x 2m ＋y 2n＝1，∴a 22＝m ，b 22＝－n ，c 22＝m －n ，∴由条件知m ＋4＋n ＝m －n ，则n ＝－2，∴e 21＝1－2m ＋4. 由m >0得m ＋4>4，1m ＋4<14，－2m ＋4>－24， ∴1－2m ＋4>12， 即e 21>12，而0<e 1<1， ∴22<e 1<1. 4.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，左焦点为F ，点P 为椭圆C 上任一点，若直线P A 与PB 的斜率之积为－34，且椭圆C 经过点⎝⎛⎭⎫1，32. (1)求椭圆的方程；(2)若PB ，P A 交直线x ＝－1于M ，N 两点，过左焦点F 作以MN 为直径的圆的切线．问切线长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．解 (1)设P 点坐标为(x 0，y 0)，由题意知A (－a,0)，B (a,0)，且x 20a 2＋y 20b2＝1. 则k P A ·k PB ＝y 0x 0＋a ·y 0x 0－a ＝y 20x 20－a2 ＝⎝⎛⎭⎫－b 2a 2·x 20－a 2x 20－a 2＝－b 2a 2＝－34， 即3a 2＝4b 2.①又因为椭圆经过点⎝⎛⎭⎫1，32， 故1a 2＋94b2＝1.② 由①②可知，b 2＝3，a 2＝4，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)可知A (－2,0)，B (2,0)，设k P A ＝k (k ≠0)．由k ·k PB ＝－34，得k PB ＝－34k. 所以直线PB 的方程为y ＝－34k(x －2)，令x ＝－1，则y ＝94k，故M ⎝⎛⎭⎫－1，94k . 直线P A 的方程为y ＝k (x ＋2)，令x ＝－1，则y ＝k ，故N (－1，k )．如图，因为y M y N ＝94k ·k ＝94>0，故以MN 为直径的圆在x 轴同侧．设FT 为圆的一条切线，切点为T ，连接MT ，NT ，可知△FTN ∽△FMT ，故|FT ||FM |＝|FN ||FT |，则|FT |2＝|FN |·|FM |＝|k |·⎪⎪⎪⎪94k ＝94，故|FT |＝32. 故过左焦点F 作以MN 为直径的圆的切线长为定值32. 5.已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在y 轴上，且抛物线上有一点P (m,5)到焦点的距离为6.(1)求该抛物线C 的方程；(2)已知抛物线上一点M (4，t )，过点M 作抛物线的两条弦MD 和ME ，且MD ⊥ME ，判断直线DE 是否过定点，并说明理由．解 (1)由题意设抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，其准线方程为y ＝－p 2，P (m,5)到焦点的距离等于P 到其准线的距离， 所以5＋p 2＝6，即p ＝2. 所以抛物线方程为x 2＝4y .(2)由(1)可得点M (4,4)，设直线MD 的方程为y ＝k (x －4)＋4(k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －4＋4，x 2＝4y ，得x 2－4kx ＋16k －16＝0，由题意得，Δ>0，设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则x M ·x 1＝16k －16，所以x 1＝16k －164＝4k －4， y 1＝4k －424＝4(k －1)2，同理可得，x 2＝－4k －4，y 2＝4⎝⎛⎭⎫1k ＋12， 所以直线DE 的方程为y －4(k －1)2＝4k －12－4⎝⎛⎭⎫1k ＋124k －4＋4k＋4(x －4k ＋4)＝⎝⎛⎭⎫k ＋1k ⎝⎛⎭⎫k －1k －2k ＋1k(x －4k ＋4)＝⎝⎛⎭⎫k －1k －2(x －4k ＋4)． 化简得y ＝⎝⎛⎭⎫k －1k －2x ＋4k －4k ＝⎝⎛⎭⎫k －1k －2(x ＋4)＋8. 所以直线DE 过定点(－4,8)．6.已知动圆E 经过定点D (1,0)，且与直线x ＝－1相切，设动圆圆心E 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)设过点P (1,2)的直线l 1，l 2分别与曲线C 交于A ，B 两点，直线l 1，l 2的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB 的斜率为定值．(1)解 由已知，动点E 到定点D (1,0)的距离等于E 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义知E 点的轨迹是以D (1,0)为焦点，以x ＝－1为准线的抛物线，故曲线C 的方程为y 2＝4x . (2)证明 由题意直线l 1，l 2的斜率存在，倾斜角互补，得斜率互为相反数，且不等于零． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 1的方程为y ＝k (x －1)＋2，k ≠0. 直线l 2的方程为y ＝－k (x －1)＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1＋2，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2－4k ＋4)x ＋(k －2)2＝0， Δ＝16(k －1)2>0， 已知此方程一个根为1， ∴x 1×1＝k －22k 2＝k 2－4k ＋4k 2，即x 1＝k 2－4k ＋4k 2，同理x 2＝－k2－4－k ＋4－k 2＝k 2＋4k ＋4k 2，∴x 1＋x 2＝2k 2＋8k 2，x 1－x 2＝－8k k 2＝－8k ，∴y 1－y 2＝[k (x 1－1)＋2]－[－k (x 2－1)＋2] ＝k (x 1＋x 2)－2k ＝k ·2k 2＋8k 2－2k ＝8k ，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝8k －8k ＝－1，∴直线AB 的斜率为定值－1.7.已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为22，过左焦点F 且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，且|PQ |＝2 2. (1)求C 的方程；(2)若直线l 是圆x 2＋y 2＝8上的点(2,2)处的切线，点M 是直线l 上任一点，过点M 作椭圆C 的切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，设切线的斜率都存在．求证：直线AB 过定点，并求出该定点的坐标．解 (1)由已知，设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为|PQ |＝22，不妨设点P (－c ，2)， 代入椭圆方程得，c 2a 2＋2b 2＝1，又因为e ＝c a ＝22，所以12＋2b 2＝1，b ＝c ，所以b 2＝4，a 2＝2b 2＝8， 所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)依题设，得直线l 的方程为y －2＝－(x －2)， 即x ＋y －4＝0，设M (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 0≠x 1且x 0≠x 2， 由切线MA 的斜率存在，设其方程为y －y 1＝k (x －x 1)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y －y 1＝k x －x 1，x 28＋y 24＝1得(2k 2＋1)x 2＋4k (y 1－kx 1)x ＋2(y 1－kx 1)2－8＝0，由相切得Δ＝16k 2(y 1－kx 1)2－8(2k 2＋1)[(y 1－kx 1)2－4]＝0，化简得(y 1－kx 1)2＝8k 2＋4，即(x 21－8)k 2－2x 1y 1k ＋y 21－4＝0，因为方程只有一解，所以k ＝x 1y 1x 21－8＝x 1y 1－2y 21＝－x 12y 1， 所以切线MA 的方程为y －y 1＝－x 12y 1(x －x 1)，即x 1x ＋2y 1y ＝8，同理，切线MB 的方程为x 2x ＋2y 2y ＝8， 又因为两切线都经过点M (x 0，y 0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1x 0＋2y 1y 0＝8，x 2x 0＋2y 2y 0＝8，所以直线AB 的方程为x 0x ＋2y 0y ＝8， 又x 0＋y 0＝4，所以直线AB 的方程可化为x 0x ＋2(4－x 0)y ＝8， 即x 0(x －2y )＋8y －8＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝0，8y －8＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以直线AB 恒过定点(2,1)．8.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，左顶点M 到直线x a ＋y b ＝1的距离d ＝455，O为坐标原点． (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值． (1)解 由e ＝32，得c ＝32a ，又b 2＝a 2－c 2， 所以b ＝12a ，即a ＝2b .由左顶点M (－a,0)到直线x a ＋yb ＝1，即到直线bx ＋ay －ab ＝0的距离d ＝455，得|b－a－ab |a 2＋b 2＝455，即2ab a 2＋b 2＝455，把a ＝2b 代入上式，得4b 25b＝455，解得b ＝1.所以a ＝2b ＝2，c ＝ 3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，①当直线AB 的斜率不存在时，由椭圆的对称性， 可知x 1＝x 2，y 1＝－y 2.因为以AB 为直径的圆经过坐标原点，故OA →·OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，也就是x 21－y 21＝0，又点A 在椭圆C 上，所以x 214＋y 21＝1， 解得|x 1|＝|y 1|＝255. 此时点O 到直线AB 的距离d 1＝|x 1|＝255. ②当直线AB 的斜率存在时， 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ， 与椭圆方程联立有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1， 消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.因为以AB 为直径的圆过坐标原点O ，所以OA ⊥OB ， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0， 所以(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0， 所以(1＋k 2)·4m 2－41＋4k 2－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0， 整理得5m 2＝4(k 2＋1)， 所以点O 到直线AB 的距离d 1＝|m |k 2＋1＝255.综上所述，点O 到直线AB 的距离为定值255.9.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过⎝⎛⎭⎫1，32与⎝⎛⎭⎫62，304两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过原点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，椭圆C 上一点M 满足|MA |＝|MB |.求证：1|OA |2＋1|OB |2＋2|OM |2为定值． (1)解 将⎝⎛⎭⎫1，32与⎝⎛⎭⎫62，304两点代入椭圆C 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b 2＝1，32a 2＋3016b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 由|MA |＝|MB |，知M 在线段AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知点A ，B 关于原点对称．①若点A ，B 是椭圆的短轴顶点，则点M 是椭圆的一个长轴顶点，此时 1|OA |2＋1|OB |2＋2|OM |2＝1b 2＋1b 2＋2a2＝2⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＝76. 同理，若点A ，B 是椭圆的长轴顶点，则点M 是椭圆的一个短轴顶点，此时 1|OA |2＋1|OB |2＋2|OM |2＝1a 2＋1a 2＋2b2＝2⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＝76. ②若点A ，B ，M 不是椭圆的顶点，设直线l 的方程为y ＝kx (k ≠0)， 则直线OM 的方程为y ＝－1kx ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 23＝1，解得x 21＝123＋4k 2，y 21＝12k 23＋4k 2， 所以|OA |2＝|OB |2＝x 21＋y 21＝121＋k 23＋4k 2，同理，|OM |2＝121＋k 24＋3k 2.所以1|OA |2＋1|OB |2＋2|OM |2＝2×3＋4k 2121＋k 2＋24＋3k 2121＋k2＝76.综上，1|OA |2＋1|OB |2＋2|OM |2＝76为定值． 10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上一点，△F 1PF 2面积的最大值为 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)过点A (4,0)作关于x 轴对称的两条不同直线l 1，l 2分别交椭圆于M (x 1，y 1)与N (x 2，y 2)，且x 1≠x 2，证明直线MN 过定点，并求△AMN 的面积S 的取值范围． 解 (1)设a 2－b 2＝c 2，则c a ＝32，设P (x ，y )，则12F PF S ＝c |y |，∵|y |≤b ，∴12F PF S≤bc ＝ 3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设MN 方程为x ＝ny ＋m (n ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ny ＋m ，x 2＋4y 2－4＝0， 得(n 2＋4)y 2＋2nmy ＋m 2－4＝0， 由题意知，Δ＝16(n 2－m 2＋4)>0， ∴y 1＋y 2＝－2nm n 2＋4，y 1y 2＝m 2－4n 2＋4，∵关于x 轴对称的两条不同直线l 1，l 2的斜率之和为0， 即y 1x 1－4＋y 2x 2－4＝0， 即y 1ny 1＋m －4＋y 2ny 2＋m －4＝0，得2ny 1y 2＋m (y 1＋y 2)－4(y 1＋y 2)＝0， 即2n m 2－4n 2＋4－2nm 2n 2＋4＋8nm n 2＋4＝0.解得m ＝1.直线MN 方程为x ＝ny ＋1， ∴直线MN 过定点B (1,0)． 又|y 1－y 2|＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2n n 2＋42－4·－3n 2＋4＝4n 2＋3n 2＋42＝41n 2＋4－1n 2＋42，令1n 2＋4＝t ，∴t ∈⎝⎛⎭⎫0，14， ∴|y 1－y 2|＝4－t 2＋t ∈(0，3)， 又S ＝12|AB ||y 1－y 2|＝32|y 1－y 2|∈⎝⎛⎭⎫0，332.11.已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝32，以椭圆C 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4 5. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若经过点P (1,0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，是否存在直线l 0：x ＝x 0(x 0>2)，使得A ，B 到直线l 0的距离d A ，d B 满足d A d B ＝|P A ||PB |恒成立，若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵c a ＝32，∴c ＝32a ， 又∵4a 2＋b 2＝45，∴a 2＋b 2＝5，由b 2＝a 2－c 2＝14a 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3. ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)若直线l 的斜率不存在，则直线l 0为任意直线都满足要求； 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(不妨令x 1>1>x 2)， 则d A ＝x 0－x 1，d B ＝x 0－x 2，|P A |＝1＋k 2(x 1－1)，|PB |＝1＋k 2(1－x 2)， ∵d A d B ＝|P A ||PB |， ∴x 0－x 1x 0－x 2＝1＋k 2x 1－11＋k 21－x 2＝x 1－11－x 2， 解得x 0＝2x 1x 2－x 1＋x 2x 1＋x 2－2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k x －1，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0，由题意知，Δ>0显然成立，x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2，x 0＝8k 2－81＋4k 2－8k 21＋4k 28k 21＋4k 2－2＝4.综上可知存在直线l 0：x ＝4，使得A ，B 到直线l 0的距离d A ，d B 满足d A d B ＝|P A ||PB |恒成立．12.已知顶点是坐标原点的抛物线Γ的焦点F 在y 轴正半轴上，圆心在直线y ＝12x 上的圆E 与x 轴相切，且E ，F 关于点M (－1,0)对称． (1)求E 和Γ的标准方程；(2)过点M 的直线l 与E 交于A ，B ，与Γ交于C ，D ，求证：|CD |>2|AB |. (1)解 设Γ的标准方程为x 2＝2py (p >0)， 则F ⎝⎛⎭⎫0，p 2. 已知E 在直线y ＝12x 上，故可设E (2a ，a )．因为E ，F 关于M (－1,0)对称，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋02＝－1，p2＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，p ＝2.所以Γ的标准方程为x 2＝4y .因为E 与x 轴相切，故半径r ＝|a |＝1， 所以E 的标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1. (2)证明 由题意知，直线l 的斜率存在， 设l 的斜率为k ，那么其方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)， 则E (－2，－1)到l 的距离d ＝|k －1|k 2＋1， 因为l 与E 交于A ，B 两点， 所以d 2<r 2，即k －12k 2＋1<1，解得k >0，所以|AB |＝21－d 2＝22kk 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k x ＋1消去y 并整理得x 2－4kx －4k ＝0.Δ＝16k 2＋16k >0恒成立， 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4k ， 那么|CD |＝k 2＋1|x 1－x 2| ＝k 2＋1·x 1＋x 22－4x 1x 2＝4k 2＋1·k 2＋k .所以|CD |2|AB |2＝16k 2＋1k 2＋k8k k 2＋1＝2k 2＋12k 2＋kk ＝2k k 2＋12k ＋1k>2k k＝2. 所以|CD |2>2|AB |2， 即|CD |>2|AB |.13，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴与短轴之和为6，椭圆上任一点到两焦点F 1，F 2的距离之和为4.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线AB ：y ＝x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，C ，D 在椭圆上，且C ，D 两点关于直线AB 对称，问：是否存在实数m ，使|AB |＝2|CD |，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意，2a ＝4,2a ＋2b ＝6， ∴a ＝2，b ＝1.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)∵C ，D 关于直线AB 对称， 设直线CD 的方程为y ＝－x ＋t ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋t ，x 24＋y 2＝1消去y ，得5x 2－8tx ＋4t 2－4＝0， Δ＝64t 2－4×5×(4t 2－4)>0，解得t 2<5，设C ，D 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8t5，x 1x 2＝4t 2－45，设CD 的中点为M (x 0，y 0)， ∴⎩⎨⎧x 0＝x 1＋x 22＝4t 5，y 0＝－x 0＋t ＝t5，∴M ⎝⎛⎭⎫4t 5，t 5，又点M 也在直线y ＝x ＋m 上， 则t 5＝4t 5＋m ，∴t ＝－5m3， ∵t 2<5，∴m 2<95.则|CD |＝1＋1|x 1－x 2| ＝2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·45－t 25.同理|AB |＝2·45－m 25.∵|AB |＝2|CD |， ∴|AB |2＝2|CD |2， ∴2t 2－m 2＝5， ∴m 2＝4541<95，∴存在实数m ，使|AB |＝2|CD |，此时m 的值为±320541.14.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，过右焦点F 且斜率为1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，N 为弦AB 的中点，O 为坐标原点． (1)求直线ON 的斜率k ON ；(2)求证：对于椭圆C 上的任意一点M ，都存在θ∈[0,2π)，使得OM →＝cos θOA →＋sin θOB →成立． (1)解 设椭圆的焦距为2c ， 因为c a ＝63，所以a 2－b 2a 2＝23，故有a 2＝3b 2.从而椭圆C 的方程可化为x 2＋3y 2＝3b 2.①知右焦点F 的坐标为(2b,0)，据题意有AB 所在的直线方程为y ＝x －2b .②由①②得4x 2－62bx ＋3b 2＝0.③设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 的中点N (x 0，y 0)，由③及根与系数的关系得：x 0＝x 1＋x 22＝32b 4，y 0＝x 0－2b ＝－24b . 所以k ON ＝y 0x 0＝－13，即为所求． (2)证明 显然OA →与OB →可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量OM →，有且只有一对实数λ，μ，使得等式OM →＝λOA →＋μOB →成立．设M (x ，y )，由(1)中各点的坐标有(x ，y )＝λ(x 1，y 1)＋μ(x 2，y 2)，故x ＝λx 1＋μx 2，y ＝λy 1＋μy 2. 又因为点M 在椭圆C 上，所以有(λx 1＋μx 2)2＋3(λy 1＋μy 2)2＝3b 2，整理可得λ2(x 21＋3y 21)＋μ2(x 22＋3y 22)＋2λμ(x 1x 2＋3y 1y 2)＝3b 2.④由③有x 1＋x 2＝32b 2，x 1·x 2＝3b 24. 所以x 1x 2＋3y 1y 2＝x 1x 2＋3(x 1－2b )(x 2－2b )＝4x 1x 2－32b (x 1＋x 2)＋6b 2＝3b 2－9b 2＋6b 2＝0.⑤又点A ，B 在椭圆C 上，故有x 21＋3y 21＝3b 2，x 22＋3y 22＝3b 2.⑥将⑤，⑥代入④可得，λ2＋μ2＝1.所以，对于椭圆上的每一个点M ，总存在一对实数，使等式OM →＝λOA →＋μOB →成立，且λ2＋μ2＝1.所以存在θ∈[0,2π)，使得λ＝cos θ，μ＝sin θ.也就是：对于椭圆C 上任意一点M ，总存在θ∈[0,2π)，使得等式OM →＝cos θOA →＋sin θOB →成立．15.如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是32，点P (0，1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )，又点P 的坐标为(0,1)，且PC →·PD →＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧ 1－b 2＝－1，c a ＝32，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝22，b ＝2，所以椭圆E 的方程为x 28＋y 22＝1. (2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 28＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(4k 2＋1)x 2＋8kx －4＝0， 其判别式Δ＝(8k )2＋16(4k 2＋1)>0，所以x 1＋x 2＝－8k 4k 2＋1，x 1x 2＝－44k 2＋1， 从而，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)]＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝－4λ－8k 2＋－4λ－34k 2＋1＝－3λ＋14k 2＋1－λ－2. 所以当λ＝－13时，－3λ＋14k 2＋1－λ－2＝－53， 此时OA →·OB →＋λP A →·PB →＝－53为定值． 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ，此时，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝OC →·OD →－13PC →·PD → ＝－2＋13＝－53. 故存在常数λ＝－13，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值－53.。

高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析1.已知圆经过椭圆的右焦点和上顶点．（1）求椭圆的方程；（2）过原点的射线与椭圆在第一象限的交点为，与圆的交点为，为的中点，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】本题考查直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数等基础知识，考查直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合、化归与转化及函数与方程等数学思想．第一问，数形结合，令y=0，x=0即可分别求出c和b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，设出直线方程和P、Q点坐标，令直线与椭圆联立得到Q点横坐标，利用向量的数量积，将P、Q点坐标代入，得到关于k的表达式，利用导数求函数的最值；法二，将进行转化，变成，再利用配方法求最值.试题解析：（1）在中，令得，即，令，得，即， 2分由，∴椭圆：. 4分（2）法一：依题意射线的斜率存在，设，设 -5分得：，∴. 6分得：，∴， 7分∴. 9分．设，，令，得．又，∴在单调递增，在单调递减. 11分∴当时，，即的最大值为. 13分法二：依题意射线的斜率存在，设，设 5分得：，∴. 6分= 9分.设，则.当且仅当即.法三：设点，，6分= . 7分又，设与联立得： . 9分令. 11分又点在第一象限，∴当时，取最大值. 13分【考点】直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数.2.（本小题满分12分）已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.（1）求曲线的方程；（2）曲线在点处的切线与轴交于点.直线分别与直线及轴交于点，以为直径作圆，过点作圆的切线，切点为，试探究：当点在曲线上运动（点与原点不重合）时，线段的长度是否发生变化？证明你的结论.【答案】（1）.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明见解析.【解析】（1）思路一：设为曲线上任意一点，依题意可知曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，得到曲线的方程为.思路二：设为曲线上任意一点，由，化简即得.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：由（1）知抛物线的方程为，设，得，应用导数的几何意义，确定切线的斜率，进一步得切线的方程为.由，得.由，得.根据，得圆心，半径，由弦长，半径及圆心到直线的距离之关系，确定.试题解析：解法一：（1）设为曲线上任意一点，依题意，点S到的距离与它到直线的距离相等，所以曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：由（1）知抛物线的方程为，设，则，由，得切线的斜率，所以切线的方程为，即.由，得.由，得.又，所以圆心，半径，.所以点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变.解法二：（1）设为曲线上任意一点，则，依题意，点只能在直线的上方，所以，所以，化简得，曲线的方程为.（2）同解法一.【考点】抛物线的定义，导数的几何意义，直线方程，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系.3.已知抛物线C:的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.(1)求抛物线C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A,B两点，若AB的垂直平分线与C相交于M,N两点，且A,M,B,N四点在同一个圆上，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）x-y-1=0或x+y-1=0.【解析】（1）设Q（x0，4），代入由中得x=，在根据抛物线的性质可得，解出p即可（2）设直线l的方程为，（m≠0）代入中得，直线的方程为，将上式代入中，并整理得.A（x1,y1）,B(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4),根据二次函数根与系数的关系可得y1+y2=4m，y1y2=－4，.然后求出MN的中点为E和AB的中点为D坐标的表达式，计算的表达式,根据求出m即可.试题解析：（1）设Q（x0，4），代入由中得x=，所以，由题设得，解得p=－2（舍去）或p=2.所以C的方程为.（2）依题意知直线l与坐标轴不垂直，故可设直线l的方程为，（m≠0）代入中得，设A（x1,y1）,B(x2,y2),则y1+y2=4m，y1y2=－4，故AB的中点为D（2m2+1,2m），，有直线的斜率为－m，所以直线的方程为，将上式代入中，并整理得.设M(x3,y3),N(x4,y4),则.故MN的中点为E（）.由于MN垂直平分AB，故A,M,B,N四点在同一个圆上等价于,从而,即，化简得m2-1=0，解得m=1或m=－1，所以所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.【考点】1.抛物线的性质和方程；2.直线方程以及直线与曲线的位置关系.4.如图，已知椭圆的右焦点为，点是椭圆上任意一点，圆是以为直径的圆．（1）若圆过原点，求圆的方程；（2）写出一个定圆的方程，使得无论点在椭圆的什么位置，该定圆总与圆相切,请写出你的探究过程．【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）因为是圆的直径，所以当圆过原点时，一定有，由此可确定点的位置并进一步求出圆的标准方程；（2）设圆M的半径为,连结，显然有根据椭圆的标准方程知,所以，从而找到符合条件的定圆.解：（1）解法一：因为圆过原点，所以，所以是椭圆的短轴顶点，的坐标是或，于是点的坐标为或，易求圆的半径为所以圆的方程为或 6分解法二：设，因为圆过原点，所以所以，所以，所以点于是点的坐标为或，易求圆的半径所以圆的方程为或 6分（2）以原点为圆心，5为半径的定圆始终与圆相内切，定圆的方程为 8分探究过程为：设圆的半径为，定圆的半径为，因为，所以当原点为定圆圆心，半径时，定圆始终与圆相内切．（13分）【考点】1、椭圆的定义与标准方程；2、圆的定义与标准方程.5.已知，是双曲线的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点与点关于直线对称，则该双曲线的离心率为A．B．C．D．【答案】【解析】即双曲线的一条渐近线方程.过焦点且垂直渐近线的直线方程为：，与联立，解之可得故对称中心的点坐标为（）；由中点坐标公式可得对称点的坐标为，将其代入双曲线的方程可得结合化简可得，故．故选.【考点】双曲线的几何性质，直线方程，两直线的位置关系.6.已知F1、F2为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，且满足||＝3||，则此双曲线的渐近线方程为________．【答案】y＝±x【解析】由双曲线的性质可推得||＝b，则||＝3b，在△MF1O中，||＝a，||＝c，cos∠F1OM＝－，由余弦定理可知＝－，又c2＝a2＋b2，可得a2＝2b2，即＝，因此渐近线方程为y＝±x．7.抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．3【答案】B【解析】设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，分析可得，当m=时，取得最小值为，故选B．8.已知椭圆和椭圆的离心率相同，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上一点，过点作直线交椭圆于、两点，且恰为弦的中点。

圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程． （2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程． （1）解：1C 的焦点坐标为(0,13).±213e =由1273e e =得113e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程．2、（1）ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33yy x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．（2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系． 解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA ∴BC AC AB 53=- 即6=-AC AB （*）∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为116922=-y x （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，反射光线恰好通过椭圆C ：12222=+by a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率为21，且x 2-x 1=56，求椭圆C 的方程. 解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为1342222=-ky k x . 由题设条件得：114)2(120x x k ----=--+， ①224)2(120x x k ----=--+， ②x 2-x 1=56， ③ 由①、②、③解得：k =1，x 1=511-，x 2=-1，所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ∆中，21tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程．∴所求椭圆方程为1315422=+y x 解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x yc x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y c x 且即)32,325(P ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,43,13412252222b a ba 得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,41522b a （1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程．解：（1）设线段PQ 的中点坐标为M （x ，y ），由Q （4，0）可得点P （2x -4，2y ），代入圆的方程x 2+y 2=4可得（2x -4）2+（2y ）2=4，整理可得所求轨迹为（x -2）2+y 2=1.（2）设点R （x ，y ），P （m ，n ），由已知|OP |=2，|OQ |=4，∴21||||=OQ OP ，由角平分线性质可得||||||||RQ PR OQ OP ==21，又∵点R 在线段PQ 上，∴|PR |=21|RQ |，∴点R 分有向线段PQ 的比为21，由定比分点坐标公式可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=32211021342211421n n y m m x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=23243y n x m ，∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ，代入圆的方程x 2+y 2=4可得42324322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ， 即234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）. ∴点R 的轨迹方程为234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）.6、已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=uu u v uuu v若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =， 即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠， 由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k =->，11k k <->或设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，即 ()11,OP x y =u u u r ，()22,OQ x y =u u u r，于是12120x x y y +=，即()()21212110ky y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=，2224(1)40k k k k k +-+=g ，解得4k =-或0k =（舍去），又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=7、设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（I ）Θe c a =∴=2422， Θc a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±334分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]Θ2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分） （III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[]ΘOP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l .8、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN⊥MQ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩L L L L L L L L ………3分 由（1）－（2）可得1.3MN QN k k •=-…6分又MN⊥MQ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3yy x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. 9、已知：直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。

圆锥曲线的综合问题●知识梳理分析几何是联系初等数学与高等数学的纽带，它自己重视于形象思想、 推理运算和数形联合，综合了代数、三角、几何、向量等知识. 反应在解题上，就是依据曲线的几何特色准确地变换为代数形式，依据方程画出图形，研究几何性质. 学习时应娴熟掌握函数与方程的思想、数形联合的思想、参数的思想、分类与转变的思想等，以达到优化解题的目的.详细来说，有以下三方面：（ 1）确立曲线方程，本质是求某几何量的值；含参数系数的曲线方程或变化运动中的圆锥曲线的主要问题是定值、最值、最值范围问题，这些问题的求解都离不开函数、方程、不等式的解题思想方法 . 有时题设设计的特别隐蔽，这就要求仔细审题，发掘题目的隐含条 件作为解题打破口 .（ 2）分析几何也能够与数学其余知知趣联系，这种综合一般比较直观，在解题时保持思想的灵巧性和多面性，能够顺利进行转变，即从一知识转变为另一知识.（ 3）分析几何与其余学科或本质问题的综合，主要表此刻用分析几何知识去解相关知 识，详细地说就是经过成立坐标系， 成立所研究曲线的方程， 并经过方程求解往返答本质问题. 在这一类问题中“本质量”与“数学量”的转变是易犯错的地方，这是由于在座标系中 的量是“数目” ，不单有大小还有符号 .●点击双基1. （ 2005 年春天北京， 5）设 abc ≠0，“ ac >0”是“曲线 ax 2+by 2=c 为椭圆”的 A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C. 充足必需条件D. 既不充足又不用要条件 2 2分析： ac >0 曲线 ax +by =c 为椭圆 .答案： B2. 到两定点 A （0， 0）， B （ 3， 4）距离之和为 5 的点的轨迹是A. 椭圆所在直线 C. 线段 ABD. 无轨迹分析：数形联合易知动点的轨迹是线段： = 4，此中 0≤ x ≤ 3.AB3答案： C3. 若点（ x ， y ）在椭圆 4x 2+y 2=4 上，则x y 的最小值为2B. － 1C.－23D. 以上都不对3分析：y的几何意义是椭圆上的点与定点（ 2， 0）连线的斜率 . 明显直线与椭圆相x2切时获得最值，设直线 = （ － 2）代入椭圆方程（ 4+k 2）x 2－4 2 +4 2－4=0.y k xk x k令 =0， k =± 23 .3∴ k min =－ 23 .3答案： C4. （ 2005 年春天上海， 7）双曲线 9 2－ 16 y 2=1 的焦距是 ____________.x分析：将双曲线方程化为标准方程得x2y221 21 ，－ 1 =1. ∴ a =9 ， b =16 19 16c 2=a 2+b 2= 1 + 1 =25 .9 16 144∴ c = 5， 2c = 5.126答案：565. （ 2004 年春天北京）若直线+ －3=0 与圆 x 2+ y 2=3 没有公共点，则mx ny系式为 ____________；以（ m ， n ）为点 P 的坐标，过点 P 的一条直线与椭圆公共点有 ____________个 .分析：将直线 mx +ny － 3=0 变形代入圆方程x 2+y 2=3，消去 x ，得（2+2） y 2－ 6 ny +9－3 2=0.m nm22令 <0 得 m +n <3.又 m 、n 不一样时为零，2 2∴ 0<m +n <3.223 ， | m |< 3 ，由 0<m +n <3，可知 | n |<m 、n 知足的关2 2 x y再由椭圆方程 a = 7 ， b = 3 可知公共点有 2 个.2 2答案： 0<m +n <3 2 ●典例分析【例 1】 （2005 年春天北京， 18）如图， O 为坐标原点，直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 a 和 b （ a >0， b ≠ 0），且交抛物线 y 2=2px （p >0）于 M （ x 1， y 1），N （ x 2， y 2）两点 .lyMOa xb N（ 1）写出直线 l 的截距式方程；（ 2）证明： 1+1=1；y 1y 2 b （ 3）当 =2 时，求∠的大小 .a pMON分析：易知直线l 的方程为 x + y =1 ，欲证 1+1=1，即求 y1y 2 的值，为此只要aby 1 y 2by 1 y 22=2px 交点的纵坐标 . 由根与系数的关系易得 121 2的值，从而证得 求直线 l 与抛物线 y y +y 、y y 1+ 1 = 1. 由 OM · ON =0 易得∠ MON =90° . 亦可由 k OM ·k ON =－ 1 求得∠MON =90° . y 1 y 2 b（ 1）解：直线 l 的截距式方程为x + y=1.a b①（ 2）证明：由①及 y 2=2 消去x可得by 2+2－2 =0.pxpaypab②点、 的纵坐标 y 1、 y 2 为②的两个根，故 y 1+ 2=2 pa ， 1 y 2=－2. M Npab2 pa所以 1 + 1y 1 y 2 = b1== .y 1 y 2y 1 y 2 2 pa b （ 3）解：设直线 OM 、 ON 的斜率分别为k 1、 k 2，则 k 1=y 1，k 2=y 2.x 1 x 2当 a =2p 时，由（ 2）知， y 1y 2=－ 2pa =－ 4p 2，2222由 y 1 =2px 1， y 2 =2px 2，相乘得（ y 1y 2）=4p x 1 x 2，x 1x 2= ( y 1 y 2 ) 2 =( 4 p 2 ) 2=4p 2，4 p 2 4 p 2所以 ky 1 y 2 4 p 21k 2===－ 1.x 1 x 24 p 2所以 OM ⊥ ON ，即∠ MON =90° .评论：此题主要考察直线、 抛物线等基本知识， 考察运用分析几何的方法分析问题和解决问题的能力 .【例 2】 （2005 年黄冈高三调研考题）已知椭圆C 的方程为x 2+ y 2=1（ a >b >0），双a 2b 2x 2 y 2121曲线a 2－b 2 =1 的两条渐近线为 l 、l ，过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l，使 l ⊥ l ，又 l 与l 2 交于 P 点，设 l 与椭圆 C 的两个交点由上至下挨次为A 、B . （以下列图）ylPl 2AOFx Bl 1（ 1）当 l 1 与 l 2 夹角为 60°，双曲线的焦距为4 时，求椭圆 C 的方程；（ 2）当 FA =λ AP 时，求 λ的最大值 .分析：（ 1）求椭圆方程即求、 b 的值，由l 1与l2的夹角为 60°易得b=3，由双曲aa3线的距离为 4 易得 a 2+b 2=4，从而可求得 a 、b .（ 2）由 FA =λ AP ，欲求 λ 的最大值，需求A 、P 的坐标，而 P 是 l 与 l 1 的交点，故需求 l 的方程 . 将 l 与 l 2 的方程联立可求得 P 的坐标，从而可求得点A 的坐标 . 将 A 的坐标代入椭圆方程可求得λ的最大值 .解：（ 1）∵双曲线的渐近线为 y =± bx ，两渐近线夹角为60°，a又 b<1，a∴∠ POx =30°，即 b=tan30 ° = 3.a3∴ a = 3 b .又 a 2+b 2=4，∴ a 2=3，b 2=1.故椭圆 C 的方程为x 22+y =1.3（ 2）由已知 l ： y = a（ x －c ），与 y = bx 解得 P （ a 2，ab），ba ccca 2abFA=cc） .由得 （，λ APA11将 A 点坐标代入椭圆方程得（ c 2+λa 2）2+λ2a 4=（ 1+λ） 2a 2c 2. ∴（ e 2+λ） 2+λ2=e 2（ 1+λ） 2.∴ λ2= e4e 2 =－［（ 2－ e 2）+ 2 ］+3≤3－2 2 . e 222 e 2∴ λ的最大值为2 － 1.评论：此题考察了椭圆、双曲线的基础知识，及向量、定比分点公式、重要不等式的应用. 解决此题的难点是经过恒等变形， 利用重要不等式解决问题的思想 . 此题是培育学生分析问题和解决问题能力的一道好题 .【例 3】 设椭圆中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率= 3，已知点（0， 3）2 2到这个椭圆上的点的最远距离是 7 ，求这个椭圆方程， 并求椭圆上到点P 的距离等于 7 的点的坐标 .分析：设椭圆方程为x2+ y2=1，由 e =3知椭圆方程可化为x 2+4y 2=4b 2，而后将距离a 2b 22转变为 y 的二次函数，二次函数中含有一个参数b ，在判断距离有最大值的过程中，要议论y =－ 1能否在 y 的取值范围内，最后求出椭圆方程和P 点坐标 .2解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是x2 y 2=1，此中 a ＞b ＞ 0 待定 .a+2b 2由 e 2c2=a 2b 2=1－（b2可知b1 e2 = 13 1 ，即 a =2b .=a 2 a 2a ） =4 =a222322y 229设椭圆上的点 （ x ，y ）到点 P 的距离为 d ，则 d =x +（y － 2 ） =a （ 1－ b 2）+y － 3y + 4 =4b 2－3y 2－ 3y + 9 =－ 3（y + 1）2 +4b 2+3，此中－ b ≤ y ≤b .42假如b ＜1，则当y =－ b 时2（从而 ）有最大值，由题设得（7）2=（ + 3）2，由2ddb 2此得 b = 7 － 3＞ 1，与 b ＜ 1矛盾 .222所以必有 b ≥1成立，于是当 y =－127 222 2 时 d （从而 d ）有最大值， 由题设得 （） =4b +3，由此可得 b =1， a =2.故所求椭圆的直角坐标方程是x 2 +y 2=1.4由 y =－ 1及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点（－3 ，－ 1），点（3，－ 1）到222点 P 的距离都是7 .解法二：依据题设条件，设椭圆的参数方程是x =a cos θ，y =b sin θ， 此中 a ＞ b ＞ 0 待定，0≤ θ＜ 2π，∵ e = 3，2 ∴ a =2b .设椭圆上的点（ x ， y ）到点 P 的距离为 d ，则d 2=x 2+（ y －3）2=a 2cos 2θ +（ b sin θ－3）2=－ 3b 2·（sin θ+1） 2+4b 2+3.222b假如1＞1，即 b ＜1272，则当 sin θ=－ 1 时， d （从而 d ）有最大值，由题设得（） =2b2（ +3） 2，由此得b =7－3＞1，与 ＜1矛盾 .b22 2b 2所以必有1≤1 成立，于是当 sin θ=－1时， d 2（从而 d ）有最大值，由题设得（7 ）2b2b2=4b 2+3.由此得 b =1， a =2. 所以椭圆参数方程x =2cos θ， y =sin θ.消去参数得 x2+y 2=1，由 sin θ=1 ，cos θ=±3知椭圆上的点 （－ 3，－1），（ 3 ，4222－ 1）到 P 点的距离都是7 .2评论：此题表现认识析几何与函数、三角知识的横向联系，解答中要注意议论.深入拓展依据图形的几何性质，以P 为圆心，以 7 为半径作圆，圆与椭圆相切时，切点与P 的距离为7 ，此时的椭圆和切点即为所求. 读者不如一试 .x 2+（ y － 3） 2=7，提示：由2x 2+4 2=4 2，y b得 3y 2+3y － 9=4b 2－ 7，4由 =0 得 b 2=1，即椭圆方程为 x 2+4y 2=4.所求点为（－3，－ 1）、（ 3，－ 1） .22●闯关训练夯实基础1. （ 2005 年北京东城区目标检测）以正方形的相对极点 、 为焦点的椭圆，恰ABCD A C好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为102 B. 5 1A.3351D. 102C.22分析：成立坐标系，设出椭圆方程，由条件求出椭圆方程，可得e =102.2答案： D2. 已知 F 1（－ 3， 0）、F 2（3， 0）是椭圆x 2 + y 2＝ 1 的两个焦点， P 是椭圆上的点，当m n∠ F 1PF 2＝2π时，△ F 1PF 2 的面积最大，则有3=12， n =3=24 ， n =6 =6， n =3=12 ， n =62分析：由条件求出椭圆方程即得 m =12， n =3.答案： A3. （ 2005 年启东市第二次调研）设P （ 2 ，2 ）、P （－2 ，－ 2 ）， M 是双曲线12y = 1上位于第一象限的点，对于命题①| 2| － |1|=2；②以线段1为直径的圆与圆xMPMP2MPx 2+y 2=2 相切；③存在常数 b ，使得 M 到直线 y =－ x +b 的距离等于2| MP 1|. 此中全部正确命2题的序号是 ____________.分析：由双曲线定义可知①正确，②绘图由题意可知正确，③由距离公式及| MP 1| 可知正确 .答案：①②③4. （ 2004 年全国Ⅱ， 15）设中心在原点的椭圆与双曲线2 2－ 2 2=1 有公共的焦点，且xy它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是_________________.分析：双曲线中， a =1=b ，∴ F （± 1， 0）， e = c= 2 . ∴椭圆的焦点为（± 1， 0），2a离心率为2. ∴长半轴长为2 ，短半轴长为1.2∴方程为x 2+y 2=1.2答案： x 2+y 2=125. （ 1）试议论方程（ 1－k ） x 2+（ 3－k 2） y 2=4（ k ∈ R ）所表示的曲线；（ 2）试给出方程x 2 y2k+=1 表示双曲线的充要条件 .k 26 6k 2k 1解：（ 1） 3－ k 2>1－k >0 k ∈（－ 1， 1），方程所表示的曲线是焦点在x 轴上的椭圆；1－ k >3－ k 2>0 k ∈（－3 ，－ 1），方程所表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆； 1－k =3－k 2>0 k =－ 1，表示的是一个圆； （ 1－ k ）（ 3－ k 2） <0 k ∈（－∞，－ 3 ）∪（ 1， 3 ），表示的是双曲线； k =1， k =－3 ，表示的是两条平行直线； k = 3 ，表示的图形不存在 .（ 2）由（ k 2+k － 6）（ 6k 2－ k －1）<0（k +3）（ k －2）（ 3k +1）（ 2k － 1）<0 k ∈（－ 3，－ 1）∪（ 1，2）.326. （ 2003 年湖北八市模拟试题）已知抛物线y 2 =2px 上有一内接正△ AOB ，O 为坐标原点 .yAOxB（ 1）求证：点 A 、 B 对于 x 轴对称； （ 2）求△ AOB 外接圆的方程 .（ 1）证明：设 A （ x 1， y 1）、 B （ x 2， y 2），∵| |=|| ，∴x 2+ 22211=2+2.OAOByxy又∵ y 12=2px 1， y 22=2px 2， 22∴ x 2 － x 1 +2p （x 2－ x 1） =0， 即（ x 2－x 1）（ x 1+x 2+2p ）=0.又∵ x 1、x 2 与 p 同号，∴ x 1+x 2+2p ≠ 0. ∴ x 2－ x 1=0，即 x 1=x 2. 由抛物线对称性，知点A 、B 对于 x 轴对称 .（ 2）解：由（ 1）知∠ AOx =30°，则y 2=2px ， x =6p ，y =3 x ∴y =2 3 p .3∴ A （ 6p ， 2 3 p ） .方法一：待定系数法， △ AOB 外接圆过原点 O ，且圆心在 x 轴上，可设其方程为 x 2+y 2+dx =0.将点 A （ 6p ， 2 3 p ）代入，得 d =－ 8p . 故△ AOB 外接圆方程为 x 2+y 2－ 8px =0.方法二：直接求圆心、半径，设半径为 r ，则圆心（ r ，0） .培育能力7. （理）（ 2004 年北京， 17）以下列图，过抛物线2=2px （ p ＞ 0）上必定点 P （x ， y ）y（＞ 0），作两条直线分别交抛物线于（1，1）、 （ 2， 2） .yA xyB x y（ 1）求该抛物线上纵坐标为p的点到其焦点 F 的距离；2yPO AxB（ 2）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求是非零常数 .解：（ 1）当 y =p时， = p.2 x 8又抛物线 y 2=2px 的准线方程为x =－ p，2由抛物线定义得所求距离为p－（－ p） =5p.8 2 8（ 2）设直线 PA 的斜率为 k PA ，直线 PB 的斜率为22=2px ，由 y=2px ， y0 11相减得（ y 1－ y 0）（ y 1+y 0） =2p （ x 1－ x 0），故 ky 1y 0 =2 p（x ≠ x ） .PA1x 1 x 0 y 1 y 0y1y2的值，并证明直线AB的斜率y0 k PB.同理可得 k PB =2 p（ x 2 ≠ x 0）.y 2y 0由 PA 、 PB 倾斜角互补知 k PA =－ k PB ，即2 p 2 p，所以 y +y =－ 2y ，=－y 1y 0y 2 y 0 1 2 0故y1y 2=－ 2.y 0设直线 AB 的斜率为 k.AB22由 y 2 =2px 2， y 1 =2px 1， 相减得（ y 2－ y 1）（ y 2+y 1） =2p （ x 2－ x 1）， 所以 k AB = y2y1= 2 p（ x 1≠ x 2） .x 2 x 1 y 1y 2将 y 1+y 2=－2y 0（ y 0＞ 0）代入得k AB =2 p =－ p，所以 k AB 是非零常数 . y 1 y 2 y 0（文）以下列图，抛物线对于x 轴对称，它的极点在座标原点，点（ 1，2）、 （ 1， 1）、PA xyB （ x 2， y 2）均在抛物线上 .y PO AxB（ 1）写出该抛物线的方程及其准线方程；（ 2）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1+y 2 的值及直线 AB 的斜率 .解：（ 1）由已知条件，可设抛物线的方程为 y 2=2px . ∵点 P （ 1， 2）在抛物线上，∴ 22=2p ·1，得 p =2.故所求抛物线的方程是 y 2=4x ，准线方程是 x =－ 1. （ 2）设直线 的斜率为 k PA ，直线 的斜率为 k PB .PAPB则 k PA =y 12（ x 1≠ 1），k PB =y 22（ x 2≠ 1） .x 1 1x 2 1∵ PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴ k PA =－ k PB .由 A （x 1， y 1）、 B （ x 2， y 2）在抛物线上，得2y 1 =4x 1，①2y 2 =4x 2，②∴ y 12=－ y 2 2 .1 y 12 1 1 y 2 2 1 4 4∴ y 1+2=－（ y 2+2） . ∴ y 1+y 2=－ 4. 由①－②得直线 AB 的斜率y 2 y 14=－ 4） .=－ 1（ x ≠ xAB12x 2x 1 y 1 y 2 48.（ 2003 年北京东城区模拟试题）从椭圆 x2+ y 2 =1（ a ＞ b ＞ 0）上一点 M 向 x 轴作垂线，a 2b 2恰巧经过椭圆的左焦点 F 1，且它的长轴右端点A 与短轴上端点B 的连线 AB ∥ OM .（ 1）求椭圆的离心率；（ 2）若 Q 是椭圆上随意一点， F 2 是右焦点，求∠ F 1QF 2 的取值范围；（ 3）过 F 1 作 AB 的平行线交椭圆于 C 、 D 两点，若 | CD |=3 ，求椭圆的方程 .解：（ 1）由已知可设 （－ ， ），Mcy则有( c) 2y2a 2+=1.b2∵ M 在第二象限，∴ M （－ c ，b 2） .a又由 AB ∥ OM ，可知 k AB =k OM .∴－ b 2 =－ b. ∴b =c . ∴ a = 2 b .acac2a2（ 2）设 | F 1Q |= m ，| F 2Q |= n ，22则 m +n =2a ， mn ＞ 0.| F 1F 2|=2 c ，a =2c ，∴ cos ∠ 1 2= m 2 n 2 4c 2F QF2mn( m n) 22mn 4c 2 4a 2 4c2=2mn=2mn － 1= a 2 － 1≥ a 2 － 1= a 2 － 1=0.mn m n 2 a 2()2 当且仅当 m =n =a 时，等号成立 .故∠ F QF ∈［ 0， π ］.122（3）∵ ∥ ， CD =－ b=－ 2 .CD AB ka2设直线 CD 的方程为 y =－2（x +c ），2即 y =－2（ x +b ）.222x+ y =1，a 22b则 消去 y ，整理得y =－2（x +b ）.2（ a 2+2b 2）x 2+2a 2bx － a 2b 2=0.设 C （x 1， y 1）、 D （ x 2， y 2），∵ a 2=2b 2，∴ x 1+x 2=－2a 2b =－ 4b 3=－ b ，a 22b 24b 2x 1· x 2=－a 2b 2 =－ 2b 4 =－ b 2.a 2 2b 24b 22∴ | CD |= 1 k 2| x 1－x 2|=1 k 2· (x 1x 2 )24x 1x 2=1 (2 ) 2 · ( b)22b 2=9b 2 =3.22∴ b 2=2，则 a 2=4.∴椭圆的方程为 x 2+ y 2 =1.4 2 研究创新9. （ 2005 年春天上海， 22）（ 1）求右焦点坐标是（ 2， 0），且经过点（－ 2，－ 2 ）的椭圆的标准方程 .（ 2）已知椭圆 C 的方程是 x 2 + y 2=1（ a >b >0）. 设斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C 于 A 、Ba 2b 2两点，的中点为 . 证明：当直线 l 平行挪动时，动点在一条过原点的定直线上 .AB MM （ 3）利用（ 2）所揭露的椭圆几何性质，用作图方法找出下边给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.（ 1）解：设椭圆的标准方程为x2+y2 =1， a >b >0，a 2b 2 ∴ a 2=b 2+4，即椭圆的方程为x 2 +y2 =1.b 2 4 b 2∵点（－ 2，－2 ）在椭圆上，∴4+2 =1.b24 b 2解得 b2=4或 b2=－2（舍）.由此得 a2=8，即椭圆的标准方程为x2+ y2=1.8 4 （2）证明：设直线l的方程为y=kx +m，与椭圆 C的交点 A（ x， y）、B（ x ， y ），1122y=kx+m，则有x2+ y2=1.a 2b2222222222解得（ b+a k） x +2a kmx+a m－ a b =0.2222∵ >0，∴m<b+a k，即－ b 2 a 2 k 2<m< b 2 a 2 k 2.2a 2 km， y+y=kx +m+kx +m=b 22b 2m，则 x +x =－b2a 2k 2 a 2k 2121212∴ AB中点 M的坐标为（－a 2 km b2 mb2 a 2k 2，b 2a 2 k 2）.∴线段 AB的中点 M在过原点的直线b2x+a2ky=0上.（ 3）解：以下列图，作两条平行直线分别交椭圆于A、 B和 C、 D，并分别取 AB、 CD的中点 M、 N，连接直线MN；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于A、B 和11 C1、D1，并分别取 A1B1、C1D1的中点 M1、N1，连接直线 M1N1，那么直线 MN和 M1N1的交点 O即为椭圆中心 .C AMA1ON C1BM1DB1N 1●思悟小结在知识的交汇点处命题，是高考命题的趋向，而分析几何与函数、三角、数列、向量等知识的亲密联系，正是高考命题的热门，为此在学习时应抓住以下几点：1.客观题求解时应注意绘图，抓住波及到的一些元素的几何意义，用数形联合法去分析解决 .2.四点重视：①重视定义在解题中的作用；②重视平面几何知识在解题中的简化功能；③重视根与系数关系在解题中的作用；④重视曲线的几何特色与方程的代数特色的一致3. 注意用好以下数学思想、方法：.①方程思想；②函数思想；③对称思想；④参数思想；⑤转变思想；⑥分类思想.除上述几种常用数学思想外，整体思想、数形联合思想、主元分析思想、正难则反省想、结构思想等也是分析几何解题中不行缺乏的思想方法. 在复习中一定赐予足够的重视，真实发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用，从而提升简化计算能力.●教师下载中心教课点睛本节是圆锥曲线的综合应用，主假如曲线方程的运用、变量范围的计算、最值确实定等，解决这种问题的重点是依照分析几何自己的特色，找寻一个打破口，那么怎样找到解决问题的打破口呢？（1）联合定义利用图形中几何量之间的大小关系 . （ 2）成立目标函数，转变为求函数的最值问题 . （ 3）利用代数基本不等式 . 代数基本不等式的应用，常常需要创建条件，并进行奇妙的构想 . （ 4）联合参数方程，利用三角函数的有界性. 直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特色是均含有三角式 . 所以，它们的应用价值在于：①经过参数示曲线上点的坐标；②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、题.（5）结构一个二次方程，利用鉴别式≥ 0.拓展题例【例 1】（ 2005 年启东市第二次调研题）抛物线y2=4px（p>0）的准线与x 轴交于 M 点，过点 M作直线 l 交抛物线于 A、 B 两点.（ 1）若线段AB的垂直均分线交x 轴于 N（ x ，0），求证： x>3p；00（ 2）若直线l的斜率挨次为p，p2，p3，，线段AB的垂直均分线与x 轴的交点挨次为 N， N， N，，当0<p<1时，求111的值 .++ +123| N1N2 | | N2N3 || N10 N11 |（1）证明：设直线l方程为y=k（x+p），代入y2=4px.得 k2x2+（2k2p－4p）x+k2p2=0.=4（k2p－ 2p）2－ 4k2·k2p2>0，得 0<k2<1.令 A（x， y）、 B（ x ， y），则 x +x=－2k 2 p 4 p， y +y=k（x+x +2p） =4 p，112212k 21212kAB中点坐标为（ 2 p k 2 p ， 2 p ）.k 2k垂直均分线为y － 2 p=－1（x－ 2 p k 2 p） .AB k k k2令y =0，得x0= k 2 p 2 p= +2 p.k 2p2k由上可知 0<k2<1，∴x0>p+2p=3p.∴x0>3p.（2）解：∵l的斜率挨次为p，p2，p3，时，AB中垂线与x轴交点挨次为N1，N2，N3，（0<p<1） .∴点N的坐标为（2， 0）. +np 2n1| N n N n+1|=| （p+2）－（ p+2） |= 2(1p 2 )，p2n1p2n 1p 2n1θ简洁地表范围等问1p 2n 1| N n N n 1 |=，2(1 p 2 )13421p 3 (1 p 19 )所求的值为 2(1p 2 ) ［ p +p + +p ］ = 2(1 p) 2 (1p) .【例 2】 （ 2003 年南京市模拟试题）已知双曲线： x 2－ y2=1（ ＞0， ＞ 0）， B 是右C2 b 2a极点， F 是右焦点，点 A 在 x 轴正半轴上，且知足 | OA |、| OB | 、| OF | 成等比数列，过 F作双曲线 C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为 P .yDPEAB FxO l（ 1）求证： PA · OP =PA · FP ；（ 2）若 l 与双曲线 C 的左、右两支分别订交于点D 、E ，求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围 .（ 1）证法一：yDPEOABFlxl ： y =－ a（ x －c ） . b y =－ a（ x － c ），bby = x .解得（ a2，ab）. ∵ | OA | 、| OB | 、 | OF | 成等比数列，∴（ a2， 0）.ccc∴ PA =（ 0，－ab）， OP =（ a 2，ab），c cc b2，ab） .FP =（－cc∴ PA · OP =－a 2b 2， PA · FP =－a 2b 2.c 2c 2∴ PA · OP =PA · FP .证法二：同上得 P （ a 2，ab） .cc∴ PA ⊥x 轴，PA · OP － PA · FP =PA · OF =0.∴ PA · OP =PA · FP .y =－ a（x － c ），（ 2）解：bb 2x 2－ a 2y 2=a 2b 2.422a222∴ b x －（ x － c ） =a b ，即（ b 2－ a4） x 2+2 a4cx －（ a 4c 2+a 2b 2） =0.b 2b 2b 2a 4c 2 22)(2 a b∵ x 1· x 2=ba 4＜ 0，b 2b2∴ b 4＞ a 4，即 b 2＞ a 2，c 2－ a 2＞ a 2.∴ e 2＞ 2，即 e ＞ 2 .。

专题56 圆锥曲线的综合问题(理)【考情解读】圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是每年高考必考的一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主．这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题的形式出现． 【高频考点突破】考点一:圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题．【例1】椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，过其右焦点F 与长轴垂直的弦长为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，点P 是直线x ＝1上的动点，直线PA 与椭圆的另一交点为M ，直线PB 与椭圆的另一交点为N.求证：直线MN 经过一定点．探究提高:(1)求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．(2)定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．【变式探究】如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a>0)的右焦点为F ，点A ，B分别在C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA(O 为坐标原点)．(1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点P(x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0x a 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝32相交于点N.考点二:圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题．【例2】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，直线y ＝x 被椭圆C 截得的线段长为4105. (1)求椭圆C 的方程；(2)过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不是椭圆C 的顶点)．点D 在椭圆C 上，且AD ⊥AB ，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点．①设直线BD ，AM 的斜率分别为k 1，k 2，证明存在常数λ使得k 1＝λk 2，并求出λ的值； ②求△OMN 面积的最大值．探究提高:圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值．【变式探究】 设点P(x ，y)到直线x ＝2的距离与它到定点(1，0)的距离之比为2，并记点P 的轨迹为曲线C.(1)求曲线C 的方程；(2)设M(－2，0)，过点M 的直线l 与曲线C 相交于E ，F 两点，当线段EF 的中点落在由四点C 1(－1，0)， C 2(1，0)，B 1(0，－1)，B 2(0，1)构成的四边形内(包括边界)时，求直线l 斜率的取值范围．考点三:圆锥曲线中的探索性问题圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立．涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题． 【例3】如图，设椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22. (1)求该椭圆的标准方程；(2)是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂 直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．探究提高:(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法．【探究】在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q(1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数k ，使得向量OP →＋OQ →与AB →垂直？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．【真题感悟】1.【2015山东】平面直角坐标系xoy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线()22:20C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为 .2.【2015浙江】已知椭圆2212x y +=上两个不同的点A ，B 关于直线12y mx =+对称． （1）求实数m 的取值范围；（2）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．3.【2015山东】平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，左、右焦点分别是12,F F ，以1F 错误！未找到引用源。

高考数学一轮复习《圆锥曲线》练习题（含答案）一、单选题1．双曲线2228x y -=的渐近线方程是（ ） A ．12y x =±B ．2y x =±C ．2y x =±D ．22y x =±2．已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左右焦点分别为()()1200F c F c -，，，，若直线2y x =与双曲线的一个交点P 的横坐标恰好为c ，则双曲线的离心率为（ ） A ．5B ．2C ．21+D ．21-3．如图，在体积为3的三棱锥P-ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，1AP =，若点M 是侧面CBP 内一动点，且满足AM BC ⊥，则点M 的轨迹长度的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．23D ．324．抛物线22y x =的焦点坐标为（ ）．A ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭5．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B ，点A 在第一象限，且|AF |﹣|BF |32=，则AF BF =（ ） A ．32B ．2C ．3D ．46．已知抛物线M ：24y x =的焦点为F ，O 是坐标原点，斜率为()0k k >的直线l 交抛物线M 于A ，B 两点，且点A ，B 分别位于第一、四象限，交抛物线的准线l '于点C ．若2ACFABFSS=，2BF =，则AOBS=（ ）A ．33-B ．33+C ．2D ．231+7．若双曲线的中心为坐标原点，焦点在y 轴上，其离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．3y x =±B ．33y x =±C ．4y x =±D ．14y x =±8．已知双曲线E 的左、右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点.若点P 在E 上，2OP OQ =-，22PF OF =，1132QF OF =，则E 的离心率为A ．2B ．2C ．5D ．31+9．设1F ，2F 是离心率为5的双曲线222124x y a -=的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且1234PF PF =，则12PF F △的面积等于A ．42B ．83C ．24D ．4810．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，直线20l :x y '-+=，动点M 在C 上运动，记点M 到直线l 与l ′的距离分别为d 1，d 2，O 为坐标原点，则当d 1+d 2最小时，cos ∠MFO ＝（ ） A ．22B ．23C ．24D ．2611．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,,M N 分别是棱1,AA BC 上的动点，若2MN =，则线段MN 的中点P 的轨迹是（ ）A ．一条线段B ．一段圆弧C ．一部分球面D ．两条平行线段12．已知拋物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 为椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，且1C与2C 的公共弦经过F ，则椭圆的离心率为（ ）A 1B C D二、填空题13．已知点(3，2)在椭圆221(0,0)x y m n m n+=>>上，则点(-3，3)与椭圆的位置关系是__________.14．过点且渐近线与双曲线22:12x C y -=的渐近线相同的双曲线方程为______.15．焦点在y 轴上的双曲线221y mx -=，则m 的值为___________.16．已知过抛物线C ：y 2＝8x 焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，AB BM =，则A 点的横坐标为___．三、解答题17．求经过点(3,1)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程．18．已知椭圆C ：22143x y +=，过椭圆右焦点的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求MN 的取值范围．19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率12e =，且椭圆C 经过点31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程.(2)不过点P 的直线:2l y kx =+与椭圆C 交于A ，B 两点，记直线P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，试判断12k k +是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:195x y C +=与()222206:136x y b C b =<<+的离心率相等．椭圆1C 的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆1C 交于A ，B 两点，射线OB 与椭圆2C 交于点C ，椭圆2C 的右顶点为D ．（1）求椭圆2C 的标准方程；（2）若ABO 10，求直线AB 的方程； （3）若2AF BF =，求证：四边形AOCD 是平行四边形．21．已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>上的两点.（1）求椭圆G 的离心率；（2）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程.22．已知椭圆C 的离心率2e =()10,1B -，()20,1B . (1)求椭圆C 的方程；(2)设动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线2x =相交于点Q .问在x 轴上是否存在定点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点N ，若存在，求出N 点坐标；若不存在，说明理由.23．已知点P 在圆22:4O x y +=上运动，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，点A 满足12AQ PQ =. （1）求点A 的轨迹E 的方程；（2）过点30,2⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与曲线E 交于,M N 两点，记OMN ∆的面积为S ，求S 的最大值.24．已知抛物线1C ：()220x py p =>的焦点为F ，圆2C ：()()22284x y +++=，过y 轴上点G 且与y 轴不垂直的直线l 与抛物线1C 交于A 、B 两点，B 关于y 轴的对称点为D ，O 为坐标原点，连接2GC 交x 轴于点E ，且点E 、F 分别是2GC 、OG 的中点. （1）求抛物线1C 的方程； （2）证明：直线AD 与圆2C 相交参考答案1．C2．C3．A4．C5．B6．B7．B8．D9．C10．A11．B12．A 13．点在椭圆外 14．22163x y -=15．4 16．417．设所求的等轴双曲线的方程为：()220x y λλ-=≠，将(3,1)A -代入得：()2231λ--=，即=8λ， 所以等轴双曲线的标准方程：22188x y -=18．解：由椭圆C ：22143x y +=知，2a =，b =1c =，所以椭圆C 的右焦点为()1,0F ．当直线l 的斜率不存在时，223b MN a==． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，将其代入椭圆C 的方程得()22223484120kxk x k +-+-=．设()11,M x y ，()22,N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+， 所以=MN ()222121333434+==+++k k k因为20k ≥，所以(]3,4MN ∈． 综上，MN 的取值范围是[]3,4． 19．(1)因为12c e a ==，所以2a c =，所以222234b a c a =-=.因为椭圆C 过31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以221914a b +=，所以24a =，23b =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=. (2)因为直线l 不过31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且直线P A ，PB 的斜率存在，所以72k ≠且12k ≠.设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得()22341640k x kx +++=， 则1221634k x x k +=-+，122434x x k =+. 由()()221616340k k ∆=-+>，得214k >且72k ≠.因为()()12121212121212121273377272222211111kx x k x x y y kx kx k k x x x x x x x x ⎛⎫++++++++ ⎪⎝⎭+=+=+=+++++++， 所以2221222271682712482134343416416713434k k k k k k k k k k k k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-+-++++===-+-+++， 即12k k +为定值，且123k k +=.20．（1）由题意知，椭圆1C 的长轴长126a =，短轴长12b =124c ==， 椭圆2C 的长轴长2212a =，短轴长2b ，焦距22c =．因为椭圆1C 与2C 的离心相等，所以1212c c a a =，即23= 因为06b <<，所以220b =，所以椭圆2C 的标准方程为2213620x y +=．（2）因为椭圆1C 右焦点为()2,0F ，且A ，O ，B 三点不共线， 设直线AB 的方程为2x my =+，联立22195x y +=，消x 得()225920250m y my ++-=．设()11,A x y ，()22,B x y ，()22(20)100590m m ∆=++>，所以1,2y ==， 即1212222025,5959m y y y y m m -+=-=++． 因为121212111||||||222ABOAOFBOFSS SOF y OFy O y y y F y =+=+=-=-==， 化简得4259m=，所以m =， 所以直线AB 的方程为2x y =+，即5100x ±-=． （3）因为2AF BF =，所以2AF FB =．因为()()1122,,,,(2,0)A x y B x y F ，所以()()11222,22,x y x y --=-，所以121262,2.x x y y =-⎧⎨=-⎩ 因为()()1122,,,A x y B x y 在椭圆22195x y +=上， 所以221122221,951,95x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以()222222226241,951,95x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消2y ，得2218x =． 代入2222195x y +=，由对称性不妨设120,0y y ><，所以2y =从而得，113,4x y ==即321,,48A B ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭．所以OC k =，直线OC的方程为y x =， 联立2213620x y +=，得244116x =．由题知0x >，所以21,4x y ==21,4C ⎛ ⎝⎭．又(6,0)D，所以OA CD k k ==又因为,OA CD 不共线，所以//OA CD ，又AD OC k k ==，且,OC AD 不共线，所以//OC AD ． 所以四边形AOCD 是平行四边形． 21．解：（1）由已知2b =， 由点(3,1)B 在椭圆G 上可得29114a +=，解得212,a a ==所以2228,c a b c =-== 所以椭圆G的离心率是c e a ==； （2）当直线l 过点B 且斜率不存在时，可得点(3,1)C -，不满足条件； 设直线BC 的方程为1(3)y k x -=-），点(),C C C x y ，由22131124y kx kx y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222316(13)3(13)120k x k k x k ++-+--=，显然0∆>，此方程两个根是点B 和点C 的横坐标， 所以223(13)12331C k x k --=+，即22(13)431C k x k --=+，所以2236131C k k y k --+=+，因为以BC 为直径的圆经过点A ， 所以AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=，2222963961(3,1),3131k k k k AB AC k k ⎛⎫-----⋅=-⋅ ⎪++⎝⎭2236128031k k k --==+， 即(32)(31)0k k -+=， 123k ，213k =-， 当213k =-时，即直线AB ，与已知点C 不同于点A 矛盾，所以123BC k k ==， 所以直线BC 的方程为213y x =-. 22．（1）由题意可设椭圆为22221x y a b+=由题意可得c e a ==1b =，可得a =所以椭圆的方程为：2212x y +=.（2）联立2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，整理可得：()222124220k x kmx m +++-=， 由题意可得()()222216412220k m k m ∆=-+-=，可得2212m k =+；可得()242212P km k x m k -==-+，1P P y kx m m =+=，即21,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 联立2y kx mx =+⎧⎨=⎩，可得2Q x =，2Q y k m =+，即()2,2Q k m +，设在x 轴上存在()0,0N x .由0PN QN ⋅=，可得()0021,2,20k x x k m m m ⎛⎫+-⋅---= ⎪⎝⎭，可得200242210k k k x x m m m ⎛⎫+--++= ⎪⎝⎭， 即()200022110kx x x m-++-=， 可得20002101x x x ⎧-+=⎨=⎩，可得01x =，即定点()1,0N .23．（1）设(,)A x y ，11(,)P x y ， ∵12AQ PQ =，∴A 为PQ 的中点， ∴11,2,x x y y =⎧⎨=⎩∴22(2)4x y +=，即2214x y +=.∴点A 的轨迹E 的方程2214x y +=.（2）显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为32y kx =+，将直线方程代入椭圆方程中得22(14)1250k x kx +++=， ∴222251444(14)56420016k k k k ∆=-⨯+=->⇒>. 设1122(,),(,)M x y N x y ，∴12133||224OMN POM PON S S S x x ∆∆∆=-=⨯⨯-=令2914()4t k t =+>，则214k t -=，∴3344OMN S S ∆====∵914049t t >⇒<<，∴129t =时，34143OMN S ∆≤⨯=，∴S 的最大值1.24．（1）设点()0,0E x ，()00,G y ，因为圆2C ：()()22284x y +++=，所以圆心()22,8C --，因为点E 是2GC 的中点，所以00202820x y -+=⎧⎨-+=⨯⎩，解得0018x y =-⎧⎨=⎩，则点()0,8G ，因为点F 是OG 的中点， 所以()0,4F ，则42p=，解得8p =， 故抛物线的方程为216x y =.（2）因为B 关于y 轴的对称点为D ， 所以设()11,B x y ，()22,A x y ，()11,D x y -，设直线AB 的方程为8y kx -=，即80kx y -+=，联立28016kx y x y-+=⎧⎨=⎩，消去x 得()22161640y k y -++=，则1264y y =， 设直线AD 的方程为y mx n =+，联立216y mx n x y=+⎧⎨=⎩，消去x 得()2221620y m n y n -++=，则212y y n =， 故264n =，易知0n <，则8n =-，直线AD 的方程为8y mx =-，必过定点()0,8-， 而圆2C ：()()22284x y +++=正好与y 轴交于定点()0,8-， 且过点()0,8-的所有直线中，只有与y 轴重合的直线才能与圆2C ：()()22284x y +++=相切，直线AD 显然不可能是y 轴，因此，直线AD 与圆2C 相交.。

1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.【知识拓展】过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l 与抛物线y 2＝2px 只有一个公共点，则l 与抛物线相切．( × ) (2)直线y ＝kx (k ≠0)与双曲线x 2－y 2＝1一定相交．( × )(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．( √ ) (4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( √ ) (5)过点(2,4)的直线与椭圆x 24＋y 2＝1只有一条切线．( × )(6)满足“直线y ＝ax ＋2与双曲线x 2－y 2＝4只有一个公共点”的a 的值有4个．( √ )1．(一中月考)在同一平面直角坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)表示的曲线大致是( )2．(模拟)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定3．若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，23B.⎝⎛⎭⎫－23，0 C.⎝⎛⎭⎫－23，23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞4．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦|AB |＝________.5．(教材改编)已知与向量v ＝(1,0)平行的直线l 与双曲线x 24－y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________．第1课时 直线与圆锥曲线题型一 直线与圆锥曲线的位置关系例1 (模拟)已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．(全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．题型二弦长问题设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左，右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(1)求E的离心率；(2)设点P(0，－1)满足|P A|＝|PB|，求E的方程．题型三 中点弦问题命题点1 利用中点弦确定直线或曲线方程例3 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 (2)已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________________．命题点2 由中点弦解决对称问题例4 已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．设抛物线过定点A (－1,0)，且以直线x ＝1为准线．(1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－12平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围．1．(泰安模拟)斜率为3的直线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．(1，3) D ．(3，＋∞)2．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( ) A.74 B ．2 C.94 D ．43．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105 D.81054．(2017·天津质检)直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．05．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ) A.54 B ．5 C.52 D. 56．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于A ，B 两点，则||F A |－|FB ||的值为( )A ．4 2B ．8C ．8 2D ．167．(月考)在抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M ，N 的坐标分别为________．8．已知抛物线y 2＝4x 的弦AB 的中点的横坐标为2，则|AB |的最大值为________．9．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________．10．已知双曲线C ：x 2－y 23＝1，直线y ＝－2x ＋m 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点(A 在B的上方)，且与y 轴交于点M ，则|MB ||MA |的取值范围为________．11．(模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆经过圆C ：x 2＋y 2－4x ＋22y ＝0的圆心． (1)求椭圆的方程；(2)设直线l 过椭圆的焦点且与圆C 相切，求直线l 的方程．12．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．13.(联考)已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，延长QP 到点M ，使QP →＝PM →.(1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)过点C (m,0)作圆O 的切线l ，交(1)中曲线E 于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值．1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.【知识拓展】过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l 与抛物线y 2＝2px 只有一个公共点，则l 与抛物线相切．( × ) (2)直线y ＝kx (k ≠0)与双曲线x 2－y 2＝1一定相交．( × )(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．( √ ) (4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( √ ) (5)过点(2,4)的直线与椭圆x 24＋y 2＝1只有一条切线．( × )(6)满足“直线y ＝ax ＋2与双曲线x 2－y 2＝4只有一个公共点”的a 的值有4个．( √ )1．(2016·黑龙江鹤岗一中月考)在同一平面直角坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)表示的曲线大致是( )答案 D解析 将方程a 2x 2＋b 2y 2＝1变形为x 21a 2＋y 21b 2＝1，∵a >b >0，∴1a 2<1b 2，∴椭圆焦点在y 轴上．将方程ax ＋by 2＝0变形为y 2＝－ab x ，∵a >b >0，∴－ab<0，∴抛物线焦点在x 轴负半轴上，开口向左．2．(2016·青岛模拟)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定答案 A解析 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．3．若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，23B.⎝⎛⎭⎫－23，0 C.⎝⎛⎭⎫－23，23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 答案 C解析 双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，若直线与双曲线相交，数形结合，得k ∈⎝⎛⎭⎫－23，23. 4．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦|AB |＝________. 答案 16解析 直线l 的方程为y ＝3x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，得y 2－14y ＋1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝14，所以|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.5．(教材改编)已知与向量v ＝(1,0)平行的直线l 与双曲线x 24－y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________． 答案 4解析 由题意可设直线l 的方程为y ＝m ， 代入x 24－y 2＝1得x 2＝4(1＋m 2)，所以x 1＝4(1＋m 2)＝21＋m 2，x 2＝－21＋m 2，所以|AB |＝|x 1－x 2|＝41＋m 2， 所以|AB |＝41＋m 2≥4，即当m ＝0时，|AB |有最小值4.第1课时 直线与圆锥曲线题型一 直线与圆锥曲线的位置关系例1 (2016·烟台模拟)已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．解 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y 22＝1， ②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③ 方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4) ＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点． (3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．思维升华 (1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．解 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝⎛⎭⎫t 22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝pt x ，代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p，因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点，理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点． 题型二 弦长问题例2 (2016·全国甲卷)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积． (2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3<k <2.(1)解 设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0，由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4. 又A (－2,0)，因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2. 将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1，得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)证明 将直线AM 的方程y ＝k (x ＋2)(k >0)代入 x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0， 由x 1·(－2)＝16k 2－123＋4k 2，得x 1＝2(3－4k 2)3＋4k 2，故|AM |＝|x 1＋2|1＋k 2＝121＋k 23＋4k 2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋2)，故同理可得|AN |＝12k1＋k 23k 2＋4.由2|AM |＝|AN |，得23＋4k 2＝k3k 2＋4，即4k 3－6k 2＋3k －8＝0， 设f (t )＝4t 3－6t 2＋3t －8，则k 是f (t )的零点，f ′(t )＝12t 2－12t ＋3＝3(2t －1)2≥0，所以f (t )在(0，＋∞)单调递增，又f (3)＝153－26<0，f (2)＝6>0，因此f (t )在(0，＋∞)有唯一的零点，且零点k 在(3，2)内，所以3<k <2.思维升华 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中， 应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列． (1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|P A |＝|PB |，求E 的方程． 解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43a ，l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y ，化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]，即43a ＝4ab 2a 2＋b 2，故a 2＝2b 2， 所以E 的离心率e ＝c a＝a 2－b 2a ＝22. (2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知 x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－2c 3，y 0＝x 0＋c ＝c3.由|P A |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1，得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3. 故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.题型三 中点弦问题命题点1 利用中点弦确定直线或曲线方程例3 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 (2)已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________________．答案 (1)D (2)x ＋2y －8＝0解析 (1)因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝⎛⎭⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝⎛⎭⎫a24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a ＝32，选D. (2)设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2). 又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12， 故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)， 即x ＋2y －8＝0.命题点2 由中点弦解决对称问题例4 (2015·浙江)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．解 (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1m x ＋b .由⎩⎨⎧ x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2b mx ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2＞0，① 将AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2，② 由①②得m ＜－63或m ＞63. (2)令t ＝1m ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎫0，62，则 |AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12.且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1. 设△AOB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AB |·d ＝12 －2⎝⎛⎭⎫t 2－122＋2≤22. 当且仅当t 2＝12时，等号成立． 故△AOB 面积的最大值为22. 思维升华 处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解．(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A ，B 关于直线l 对称，则l 垂直直线AB 且A ，B 的中点在直线l 上的应用．设抛物线过定点A (－1,0)，且以直线x ＝1为准线．(1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－12平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围．解 (1)设抛物线顶点为P (x ，y )，则焦点F (2x －1，y )．再根据抛物线的定义得|AF |＝2，即(2x )2＋y 2＝4，所以轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1. (2)设弦MN 的中点为P ⎝⎛⎭⎫－12，y 0，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，则由点M ，N 为椭圆C 上的点， 可知⎩⎪⎨⎪⎧4x 2M ＋y 2M ＝4，4x 2N ＋y 2N ＝4. 两式相减，得4(x M －x N )(x M ＋x N )＋(y M －y N )(y M ＋y N )＝0，将x M ＋x N ＝2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，y M ＋y N ＝2y 0， y M －y N x M －x N＝－1k 代入上式得k ＝－y 02. 又点P ⎝⎛⎭⎫－12，y 0在弦MN 的垂直平分线上， 所以y 0＝－12k ＋m . 所以m ＝y 0＋12k ＝34y 0. 由点P (－12，y 0)在线段BB ′上 (B ′，B 为直线x ＝－12与椭圆的交点，如图所示)， 所以y B ′<y 0<y B ，也即－3<y 0< 3. 所以－334<m <334，且m ≠0.1．(2016·泰安模拟)斜率为3的直线与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，3)D ．(3，＋∞) 答案 B 解析 要使直线与双曲线恒有两个公共点，则渐近线的斜率的绝对值应大于3，所以|b a|>3，所以e ＝ 1＋b 2a2>2， 即e ∈(2，＋∞)，故选B.2．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )A.74 B ．2 C.94D ．4 答案 C解析 易知直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x 的焦点(14，0)，∴|AB |为焦点弦．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点N (x 1＋x 22，y 1＋y 22)， ∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，∴x 1＋x 22＝74. ∴AB 中点到直线x ＋12＝0的距离为74＋12＝94. 3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( ) A ．2 B.455 C.4105 D.8105答案 C解析 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t 消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5. ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·(－85t )2－4×4(t 2－1)5 ＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 4．(2017·天津质检)直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的交点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．0答案 A解析 因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b ax 平行，所以它与双曲线只有1个交点，故选A.5．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )A.54 B ．5 C.52D. 5 答案 D解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝b ax ， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y ＝x 2＋1消去y ，得x 2－b ax ＋1＝0有唯一解， 所以Δ＝(b a )2－4＝0，b a＝2， e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝ 1＋(b a )2＝ 5. 6．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于A ，B 两点，则||F A |－|FB ||的值为( )A ．4 2B ．8C ．8 2D ．16答案 C解析 依题意知F (2,0)，所以直线l 的方程为y ＝x －2，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －2，y 2＝8x ， 消去y 得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝12，则||F A |－|FB ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝144－16＝8 2.7．(2016·安顺月考)在抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M ，N 的坐标分别为________．答案 (－2,4)，(1,1)解析 设直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ，代入y ＝x 2中，整理得x 2＋x －b ＝0，令Δ＝1＋4b >0，所以b >－14. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 22＝－x 1＋x 22＋b ＝12＋b ， 由(－12，12＋b )在直线y ＝x ＋3上， 即12＋b ＝－12＋3，解得b ＝2， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋2，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－2，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝1. 8．已知抛物线y 2＝4x 的弦AB 的中点的横坐标为2，则|AB |的最大值为________． 答案 6解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，那么|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2，又|AF |＋|BF |≥|AB |⇒|AB |≤6，当AB 过焦点F 时取得最大值6.9．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________． 答案 3x ＋4y －13＝0解析 设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由于A ，B 两点均在椭圆上，故x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1， 两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4＝0.又∵P 是A ，B 的中点，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－34. ∴直线AB 的方程为y －1＝－34(x －3)． 即3x ＋4y －13＝0.10．已知双曲线C ：x 2－y 23＝1，直线y ＝－2x ＋m 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点(A 在B 的上方)，且与y 轴交于点M ，则|MB ||MA |的取值范围为________． 答案 (1,7＋43)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x ＋m ，3x 2－y 2－3＝0，可得x 2－4mx ＋m 2＋3＝0， 由题意得方程在[1，＋∞)上有两个不相等的实根，设f (x )＝x 2－4mx ＋m 2＋3，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m >1，f (1)≥0，Δ>0，得m >1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)，得x 1＝2m －3(m 2－1)，x 2＝2m ＋3(m 2－1)， 所以|MB ||MA |＝x 2x 1＝2m ＋3(m 2－1)2m －3(m 2－1)＝－1＋42－ 3(1－1m2)， 由m >1得，|MB ||MA |的取值范围为(1,7＋43)． 11．(2016·郑州模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆经过圆C ：x 2＋y 2－4x ＋22y ＝0的圆心．(1)求椭圆的方程； (2)设直线l 过椭圆的焦点且与圆C 相切，求直线l 的方程．解 (1)圆C 方程化为(x －2)2＋(y ＋2)2＝6，圆心C (2，－2)，半径r ＝ 6.设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 则⎩⎨⎧ 4a 2＋2b 2＝1，1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝⎝⎛⎭⎫222⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4. 所以所求的椭圆方程是x 28＋y 24＝1. (2)由(1)得到椭圆的左，右焦点分别是F 1(－2,0)，F 2(2,0)，|F 2C |＝(2－2)2＋(0＋2)2＝2< 6.所以F 2在C 内，故过F 2没有圆C 的切线，设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.点C (2，－2)到直线l 的距离d ＝|2k ＋2＋2k |1＋k2， 由d ＝6，得|2k ＋2＋2k |1＋k 2＝ 6. 解得k ＝25或k ＝－2， 故l 的方程为2x －5y ＋22＝0或2x ＋y ＋22＝0.12．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. (1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值． 解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1， y 2－y 1x 2－x 1＝－1.由此可得b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3.因此a 2＝6，b 2＝3.所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎨⎧ x ＝433，y ＝－33或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y＝ 3. 因此|AB |＝463.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n (－533<n <3)，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1，得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3,4＝－2n ±2(9－n 2)3.因为直线CD 的斜率为1,所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2.由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝869(9－n 2).当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863. 13.(2016·广州联考)已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，延长QP 到点M ，使QP →＝PM →.(1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)过点C (m,0)作圆O 的切线l ，交(1)中曲线E 于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值．解 (1)设点M (x ，y )，∵QP →＝PM →，∴P 为QM 的中点，又PQ ⊥y 轴，∴P (x 2，y )． ∵点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上的点，∴(x 2)2＋y 2＝1， 即点M 的轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由题意可知直线l 不与y 轴垂直，故可设l ：x ＝ty ＋m ，t ∈R ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切， ∴|m |t 2＋1＝1，即m 2＝t 2＋1.① 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，x ＝ty ＋m ，消去x ， 得(t 2＋4)y 2＋2mty ＋m 2－4＝0.其中Δ＝(2mt )2－4(t 2＋4)(m 2－4)＝16(t 2－m 2)＋64＝48>0.∴y 1＋y 2＝－2mt t 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.② ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝[t (y 1－y 2)]2＋(y 1－y 2)231 ＝t 2＋1(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 将①②代入上式得|AB |＝t 2＋1 4m 2t 2(t 2＋4)2－4(m 2－4)t 2＋4 ＝43|m |m 2＋3，|m |≥1， ∴S △AOB ＝12|AB |·1 ＝12×43|m |m 2＋3 ＝23|m |＋3|m |≤2323＝1， 当且仅当|m |＝3|m |，即m ＝±3时，等号成立．。