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5.4.1 二维柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)

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5.4柯西不等式与排序不等式 课件(人教A版选修4-5)

5.4柯西不等式与排序不等式 课件(人教A版选修4-5)
m n || m | | n | |
2 2 2
ac bd a b c d
2
定理2: （柯西不等式的向量形式）
| || | | |
设α,β是两个向量,则 当且仅当β是零向量,或存在实数k, 使α=kβ时,等号成立.
观 察
反序和≤乱序和≤顺序和
例1 ：有10人各拿一只水桶去接水，设水 龙头注满第i(i=1,2,…,10)个人的水桶需 要ti分，假定这些ti各不相同。 问：只有一个水龙头时，应该如何安排10 人的顺序，使他们等候的总时间最少？ 这个最少的总时间等于多少？
解：总时间(分）是 10t1+9t2+…+2t9+t10 根据排序不等式，当t1<t2<…<t9<t10时， 总时间取最小值。 即：按水桶的大小由小到大依次接水， 则10人等候的总时间最少。 最少的总时间是: 10t1+9t2+…+2t9+t10
即可
三 排序不等式
定理（排序不等式，又称排序定理） 设a1 a2 ... an，b1 b2 ... bn为两组 实数c1 , c2 是b1 , b2 ...bn的任一排列， 那么： a1bn a2bn 1 ... anb1 a1c1 a2 c2 ... an cn a1b1 a2b2 ... anb.n 当且仅当a1 a2 ... an或b1 b2 ... bn时, 反序和等于顺序和。
y
P1(x1,y1)
y P1(x1,y1) 0
0
P2(x2,y2) x
x P2(x2,y2)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系:
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )

5.4.1 二维柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)

5.4.1 二维柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)
2
2
ห้องสมุดไป่ตู้
思考:一般地, 如图所示,结论是什么?
定 理 3( 二 维 形 式 的 三 角 形 不 等 式 ) ( x 1 x 3 ) ( y1 y 3 )
2 2
( x 2 x3 ) ( y2 y3 )
2
2
( x 1 x 2 ) ( y1 y 2 ) 例 4 设 , , 为 平 面 上 的 向 量 ,则 等 号 当 且 仅 当 - 与 - 同 向 时 成 立 .
y zy z
2 2
4 3
x 4,
2 2
4 3
z 4.
x z
2 2
3. 求 证 : x y
3 xz
例 3 设 a , b, c, d R , 证 明 : a b
2 2
c d
2
2

(a c ) (b d )
2
2
观 察
y
P1(a,b)
y P1(a,b) 0
0
P2(-c,-d) x
x P2(c,d)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系有:
a b
2 2
c d
2
2

(a c ) (b d )
ac bd
向量形式： 设 ( a , b ), ( c , d ) 2 2 则 | | a b , | | ac bd
c d
2
2
柯 西 不 等 式 可 化 为 : | | | | | |
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2 当且仅当ad =bc时,等号成立. 二维形式的柯西不等式的变式:

5.4柯西不等式与排序不等式 课件(人教A版选修4-5)

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二维形式的柯西不等式）: (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
三维形式的柯西不等式）:
(a a a ) (b b b )
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3
( a1b1 a2b2 a3b3 )
2
n维形式的柯西不等式）: 2 2 2 2 2 2 (a1 a2 ... an ) (b1 b2 ... bn )
即可
三 排序不等式
定理（排序不等式，又称排序定理） 设a1 a2 ... an，b1 b2 ... bn为两组 实数c1 , c2 是b1 , b2 ...bn的任一排列， 那么： a1bn a2bn 1 ... anb1 a1c1 a2 c2 ... an cn a1b1 a2b2 ... anb.n 当且仅当a1 a2 ... an或b1 b2 ... bn时, 反序和等于顺序和。
(a1b1 a2b2 ... anbn )
2
定理 设 a1, a2 , a3 ,...,an , b1, b2 , b3 ,...,bn 是实数，则
2 2 2 2 (a12 a2 ... an ) (b12 b2 ... bn )
(a1b1 a2b2 ... anbn ) 2
第三讲
柯西不等式与 排序不等式
一 二维形式的 柯西不等式
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
当且仅当ad=bc时,等号成立.
你能证明吗？
推论
a 2 b2 c 2 d 2 ac bd a 2 b2 c 2 d 2 ac | | bd

5.4二维形式的柯西不等式2课件(人教A版选修4-5)

5.4二维形式的柯西不等式2课件(人教A版选修4-5)

y x P2(x2,y2)
0
P2(x2,y2) x
0
根据两点间距离公式以及三角形 的边长关系:
x y x y ( x1 x 2 ) ( y 1 y 2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2
2
定理３（二维形式的三角不等式） 设 x , y , x , y R ，那么
1 1 2 2
一、二维形式的柯西不等式 （第二课时）
一. 课前复习
（一）定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 当且仅当ad=bc时,等号成立.
二维形式的柯西不等式经过变 形后可得到两个比较重要的不 等式：
a b
2 2
c d
2
2
ac bd ac | | bd
练习巩固：
练习一：
设a，b为正数，求
(a 1 b )(2 b 1 2a )
的最小值
练习二：
P37 第6题
小结：
• 本节课实际上是柯西不等式的一些简单 应用，柯西不等式是一个经典不等式， 是一个重要的数学结论，在以后的证明 某些不等式和求最值时有重要作用，要 学会灵活运用。
作业：
P37 第8题
a b
2 2
c d
2
2
这在以后证明不等式时会用到
定理2: （柯西不等式的向量形式）
设 , 是两个向量,则

当且仅当 是零向量,或存在实数 k ,
使
k
时,等号成立.
一. 学习新课
（一）定理3
（二）例题
（三）练习

5.4柯西不等式与排序不等式 课件(人教A版选修4-5)

5.4柯西不等式与排序不等式 课件(人教A版选修4-5)

x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2
2
例题
例1.已知a,b为实数,证明：
(a4+b4) (a2+b2)≥ (a3+b3)2
例2.求函数y 5 x 1 10 2 x的最大值.
例3.设a,b∈R+,a+b=1,求证
又因
1 1 1 1 ... 2 2 2 3 n2
由排序不等式，得：
an bn a2 a3 b2 b3 a1 2 2 ... 2 b1 2 2 ... 2 2 3 n 2 3 n 1 1 1 1 1 1 11 2 2 3 2 ... n 2 1 ... 2 3 n 2 3 n
即可
三 排序不等式
定理（排序不等式，又称排序定理） 设a1 a2 ... an，b1 b2 ... bn为两组 实数c1 , c2 是b1 , b2 ...bn的任一排列， 那么： a1bn a2bn 1 ... anb1 a1c1 a2 c2 ... an cn a1b1 a2b2 ... anb.n 当且仅当a1 a2 ... an或b1 b2 ... bn时, 反序和等于顺序和。
m n || m | | n | |
2 2 2
ac bd a b c d
2
定理2: （柯西不等式的向量形式）
| || | | |
设α,β是两个向量,则 当且仅当β是零向量,或存在实数k, 使α=kβ时,等号成立.
观 察
当且 仅当 (i=1, 2,…, n) 或存 在一

二维形式的柯西不等式课件(人教A版选修4-5)

二维形式的柯西不等式课件(人教A版选修4-5)

一. 学习新课
（一）定理3
（二）例题
（三）练习
观察
y P1(x1,y1) P1(x1,y1)
y x P2(x2,y2)
0
P2(x2,y2) x
0
根据两点间距离公式以及三角形 的边长关系:
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2
a b c d ac bd
2 2 2 2 2 2 2 2
a b c d ac | | bd
这在以后证明不等式时会用到
定理2: （柯西不等式的向量形式）
设 , 是两个向量,则

当且仅当 是零向量,或存在实数 k ,
使 k 时,等号成立.
作业：
P37 第8题
1 1 4 a b
注意应用公式： 1 1 ( a b )( ) 4 a b
练习巩固：
练习一：
设a，b为正数，求 1 1 (a )(2b ) b 2a
的最小值
练习二：
P37 第6题
小结：

本节课实际上是柯西不等式的一些简单应 用，柯西不等式是一个经典不等式，是有重要作用，要学会灵活 运用。
柯西不等式的向量形式?设是两个向量则当且仅当是零向量或存在实数使时等号成立
一、二维形式的柯西不等式 （第二课时）
一. 课前复习
（一）定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 当且仅当ad=bc时,等号成立.
二维形式的柯西不等式经过变 形后可得到两个比较重要的不 等式：

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(a b) (c d ) ( ac bd ) 2 (a, b, c, d为非负实数）。
向量形式： m (a, b), n (c, d ) m n | m | | n | cos m n ac bd 2 2 | m | a b 2 2 | n | c d | m n || m | | n | | cos || m | | n |
2 1 2 2 2 n 1 2 n
y
P1(x1,y1)
y P1(x1,y1) 0
0
P2(x2,y2) x
x P2(x2,y2)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系:
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2
2
定理３（二维形式的三角不等式） 设 x , y , x , y R ，那么 1 2 1 2
即可
三 排序不等式
定理（排序不等式，又称排序定理） 设a1 a2 ... an，b1 b2 ... bn为两组 实数c1 , c2 是b1 , b2 ...bn的任一排列， 那么： a1bn a2bn 1 ... anb1 a1c1 a2 c2 ... an cn a1b1 a2b2 ... anb.n 当且仅当a1 a2 ... an或b1 b2 ... bn时, 反序和等于顺序和。
练习
1.设a1 , a2 ,..., an为实数，证明： a1c1 a2c2 ... an cn a a ... a ,
2 1 2 2 2 n
其中c1 , c2 ,..., cn是a1 , a2 ,..., an的任一排列。

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(a1b1 a2b2 ... anbn )
2
定理 设 a1, a2 , a3 ,...,an , b1, b2 , b3 ,...,bn 是实数，则
2 2 2 2 (a12 a2 ... an ) (b12 b2 ... bn )
(a1b1 a2b2 ... anbn ) 2
m n || m | | n | |
2 2 2
ac bd a b c d
2
定理2: （柯西不等式的向量形式）
| || | | |
设α,β是两个向量,则 当且仅当β是零向量,或存在实数k, 使α=kβ时,等号成立.
观 察
当且 仅当 (i=1, 2,…, n) 或存 在一
ai kbi
bi 0
一般形式的三角不等式
x y z
2 1 2 1 2 1
x y z
2 2 2 2 2
2 2 2

( x1 x2 ) ( y1 y2 ) ( z1 z 2 )
2 2 2 x12 x2 ... xn 2 2 y12 y2 ... yn
二维形式的柯西不等式）: (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
三维形式的柯西不等式）:
(a a a ) (b b b )
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3
( a1b1 a2b2 a3b3 )
2
n维形式的柯西不等式）: 2 2 2 2 2 2 (a1 a2 ... an ) (b1 b2 ... bn )
y
P1(x1,y1)
y P1(x1,y1) 0

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1 1 4 ∴ a b bc a c
例6：若 a, b, c R
a b c 3 求证： bc ca ab 2
分析：左端变形
a b c 1 1 1 bc ca ab
1 1 1 (a b c)( ) bc ca ab
9 ∴只需证此式 2
3 3 3 2 2 2
练习
3.设a1 , a2 ,..., an为正数，求证 a1a2 a2 a3 a3 a1 a1 a2 a3 . a3 a1 a2
练习
4.设a1 , a2 ,..., an为正数，试分别用柯西 不等式与排序不等式证明 a a a a ... a1 a2 ... an . a2 a3 an a1

( x1 y1 ) 2 ( x2 y2 ) 2 ... ( xn yn ) 2
( xi , yi R, i 1,2,..., n).
例1 已知 a1 , a2 , a3 ,..., an 都是实数，求证：
1 2 2 2 2 (a1 a2 ... an ) a1 a2 ... an . n
1 1 4 a b
注意应用公式： 1 1 ( a b )( ) 4 a b
练习：
1.已知2x 3 y 6,
2 2
求证x 2 y 11 2.已知a b 1,
2 2
求证|a cos b sin | 1
作业
第37页,第1,5,6题
二 一般形式的 柯西不等式
二维形式的柯西不等式）: (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
三维形式的柯西不等式）:
(a a a ) (b b b )

5.4.1 二维柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)


等号当且仅当 - 与 - 同向时成立.
小结:
(1)二维形式的柯西不等式 (a b )(c d ) (ac bd ) (a , b, c, d R)
2 2 2 2 2
当且仅当ad bc时,等号成立.
( 2) a 2 b2 c 2 d 2 ac bd
2 2 2 2
向量形式：
设 (a, b), (c, d ) 2 2 2 2 则 | | a b , | | c d ac bd 柯西不等式可化为: | | | || |
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2 当且仅当ad =bc时,等号成立. 二维形式的柯西不等式的变式: 你能证 明吗？
(1) a b c d ac bd
2 2 2 2
( 2) a b c d ac bd
(3) 已知a, b都是正实数,且a +b =1,求证:
1 1 4 a b
例2 (1) 已知2 x y 1, 求x y 的最小值;
2 2
( 2) 已知x y 4, 求3 x 4 y的最大值,最小值.
2 2
(3) 求函数 y 5 x 1 10 2 x 的最大值.
证 | | | | |cos | | | | cos | | | | || | | |, 即 | | | || |
(x1 x2 ) ( y1 y2 )
2
2
作业 补充
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(3) 已知a, b都是正实数,且a +b =1 (1) 已知2 x y 1, 求x y 的最小值;
2 2
( 2) 已知x y 4, 求3 x 4 y的最大值,最小值.
2 2
(3) 求函数 y 5 x 1 10 2 x 的最大值.
2 2 2 2
( x1 x3 ) ( y1 y3 ) ( x2 x3 ) ( y2 y3 )
2 2 2
2
(x1 x2 ) ( y1 y2 )
2
2
作业 补充:
1.求函数y 2 1 x 2 x 1的最大值.
2.已知x , y , z R, 且x y z 8, x y z 24, 求证 : 4 4 4 x 4, y 4, z 4. 3 3 3
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2 当且仅当ad =bc时,等号成立. 二维形式的柯西不等式的变式: 你能证 明吗？
(1) a b c d ac bd
2 2 2 2
( 2) a b c d ac bd
2 2 2
3. 求证: x y y zy z x z 3 xz
2 2 2 2 2 2
证 | | | | |cos | | | | cos | | | | || | | |, 即 | | | || |
例3 设a , b, c , d R, 证明 : a b c d (a c ) (b d )
2 2 2 2 2 2
观 察
y
P1(a,b)
y P1(a,b) 0
0
P2(-c,-d) x
x P2(c,d)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系有:
a b c d (a c ) (b d )
定理2: （柯西不等式的向量形式）
设 , 为平面上的两个向量, 则 | || || | 其中等号当且仅当两个向量共线时成立.
例1 (1) 已知a2 +b2 =1, x2 +y2 =1,求证:|ax+by|≤1
(2) 已知a,b为实数,求证： (a4 +b4) (a2 +b2)≥ (a3 +b3)2
2 2
小结:
(1)二维形式的柯西不等式 (a b )(c d ) (ac bd ) (a, b, c, d R)
2 2 2 2 2
当且仅当ad bc时,等号成立.
( 2) a 2 b 2 c 2 d 2 ac bd
( 3) a b c d ac bd (4)柯西不等式的向量形式 . (5)二维形式的三角形不等式
2 2 2 2
向量形式：
设 (a, b), (c, d ) 2 2 2 2 则 | | a b , | | c d ac bd 柯西不等式可化为: | | | || |
2 2 2 2 2
2
思考:一般地, 如图所示,结论是什么?
定理3(二维形式的三角形不等式) ( x1 x3 ) ( y1 y3 ) ( x2 x3 ) ( y2 y3 )
2 2 2 2
( x1 x2 ) ( y1 y2 ) 例4 设 , , 为平面上的向量, 则 等号当且仅当 - 与 - 同向时成立.