辽宁省沈阳市东北育才学校2020届高三数学第八次模拟试题理(含解析)

东北育才学校高中部2014——2015学年度高三第八次模拟考试理科数学试题使用时间：2015.5.18 命题人：高三数学备课组第Ⅰ卷(选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合{}40 <<∈=x N x A 的真子集．．．个数为 A.3B.4C.7D.82.已知是复数的共轭复数，，则复数在复平面内对应的点的轨迹是 A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线3.已知向量，，则向量在上的正射影的数量为 A.B.C.D.4．等差数列中，，则A.10B.20C.40D. 5．已知，，则使成立的一个充分不必要条件是 A. B. C. D.6．459(1)(1)(1)x x x ++++⋯++展开式中，项的系数为 A.120 B.119 C.210 D.2097.已知双曲线)0, 0( 12222>>=-b a by a x 的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为 A.B.C. D.8.“五一”期间，三个家庭（每家均为一对夫妇和一个孩子）去“抚顺三块石国家森林公园”游玩，在某一景区前合影留念，要求前排站三个小孩，后排为三对夫妇，则每对夫妇均相邻，且小孩恰与自家父母排列的顺序一致的概率A. B ． C ． D ．9.下列对于函数()3cos 2,(0,3)f x x x π=+∈ 的判断正确的是 A.函数 的周期为 B.对于 函数 都不可能为偶函数 C. ,使 D.函数 在区间 内单调递增10.若实数满足不等式组330101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，，，则的取值范围是A. B. C. D.11.直角梯形，满足,,222AB AD CD AD AB AD CD ⊥⊥===,现将其沿折叠成三棱锥，当三棱锥体积取最大值时其外接球的体积为 A. B. C. D.12.设过曲线（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则实数a的取值范围为A. B. C. D.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上13.一个四棱柱的三视图如图所示，则其表面积为_________14.已知过定点的直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取到最大值时，直线的倾斜角为15．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，，，12，13.7，18.3，21，且总体的中位数为10，若要使该总体的方差最小，则16.若数列满足，，且，，则= .三．解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）在中，内角的对边分别为，已知，且成等比数列.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若求的值.18．（本小题满分12分）如图，在中，已知在上，且又平面1,//,2 ABC DA PO DA AO PO==.（Ⅰ）求证：⊥平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．19．(本题满分12分)浑南“万达广场”五一期间举办“万达杯”投掷飞镖比赛．每3人组成一队，每人投掷一次．假设飞镖每次都能投中靶面，且靶面上每点被投中的可能性相同.某人投中靶面内阴影区域记为“成功”（靶面正方形如图所示,其中阴影区域的边界曲线近似为函数的图像）．每队有3人“成功”获一等奖，2人“成功” 获二等奖，1 人“成功” 获三等奖，其他情况为鼓励奖（即四等奖） （其中任何两位队员“成功”与否互不影响）．（）求某队员投掷一次“成功”的概率； （）设为某队获奖等次，求随机变量的分布列 及其期望．20．(本题满分12分)已知曲线：，曲线：2221(01)44x y λλλ+=<<. 曲线的左顶点恰为曲线的左焦点.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)设为曲线上一点，过点作直线交曲线于两点. 直线交曲线于两点. 若为中点， ① 求证：直线的方程为 ；② 求四边形的面积.21. (本题满分12分)已知函数2()ln ,f x x ax x a R =++∈. (Ⅰ)讨论函数的单调区间；(Ⅱ)，若(12),AB AN λλ=≤≤求证请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，AC 为⊙O 的直径，D 为弧BC 的中点，E 为BC 的中点． (Ⅰ)求证：DE ∥AB ； (Ⅱ)求证：ACBC= 2ADCD ．23．(本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，圆的极坐标方程为 （Ⅰ）将圆的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）过点作斜率为1直线与圆交于两点，试求的值.24、（本大题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数（Ⅰ）若的解集为，求实数的值； （Ⅱ）当且时，解关于的不等式东北育才学校高中部2014——2015学年度高三第八次模拟考试理科数学答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.C2.A3.D4.B5.A6.D7.C8.B9.C 10.D 11.B 12.A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上 13. 14. 15. 100 16.2三．解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.解：（1）依题意， ，由正弦定理及 ，得225sin sin sin 169A CB ==. ………3分11cos cos sin()sin 13tan tan sin sin sin sin sin sin 5A C A CB AC A C A C A C ++=+=== ………6分 (2)由知， ，又， ………8分 从而 ………10分 又余弦定理，得22()22cos b a c ac ac B =+-- ，代入，解得 . ………12分 18．解：（Ⅰ）设1,2,1OA PO OB DA ====则， 由平面，知⊥平面.从而在中为直角三角形，故 ………3分 又2,45OC OB ABC ==∠=︒，又平面,,PO OC PO AB ∴⊥⊂平面，平面故∵∴平面…………6分（Ⅱ）以所在射线分别为轴，建立直角坐标系如图 则由（Ⅰ）知，(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,1,1)C B P D -,(0,1,1),(2,2,0),(0,3,1)PD BC BD ∴=--=-=-由（Ⅰ）知平面是平面的一个法向量，设平面的法向量为0220(,,),,300n BC x y n x y z y z n BD ⎧⋅=-=⎧⎪=∴∴⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩，令，则1,3,(1,1,3)x z n ==∴=，……10分cos ,11||||2PD n PD n PD n ⋅∴<>===- 由图可知，二面角的余弦值为……12分19．解：（）由题意知：，20sin 520==⎰πxdx S 阴影………………………….2分记某队员投掷一次 “成功”事件为A ， 则5110020)(===矩形阴影S S A P ……………………………………….4分 （）因为为某队获奖等次，则取值为1、2、3、4.1251)511(51)1(0333=-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ， 12512)511(51)2(223=-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ， 12548)511(51)3(2113=-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ，12564)511(51)4(3003=-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P …….9分……10分所以，的期望51712564412548312512212511=⨯+⨯+⨯+⨯=EX ………12分 20．解：（Ⅰ）…….2分（Ⅱ）① 可得0000),(,)B D由0000:()()2x AC y y k x x x x y -=-=-- 即，符合 …….2分② 解法一：联立方程000221224x y x y y x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩220022200022(1)402x x x x y y y +-+-= 即220024480x x x y -+-=A C AC x =-==到距离12d d ==121()2S AC d d =⋅+=4当时面积也为4…….12分② 解法二：联立方程000221224x y x y y x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩220022200022(1)402x x x x y y y +-+-= 即220024480x x x y -+-=A C AC x =-== ， 到距离4ABCD AOC S ∆==当时面积也为4…….2分②解法三：000000(,),),(,)P x y B D ，，到的距离为d =又22220101001122,22,24x x y y x y x y +=+=+=， 2222222222220011011001012220101010101018(2)(2)224(2)2()42()x y x y x x y x y x y y x x y y x y y x x y y x =++=+++=++-=+-则. 又为中点，则1242S d BD =⋅⋅⋅==. …….2分21．解; 的定义域为2121'()21ax x f x ax x x++=++=当时，在上恒成立，在定义域内单调递增；当时，令解得，（舍负） 则时，，单调递增；1()4x a-∈+∞时，，单调递减；综上，时，的单调递增区间为；时，的单调递增区间为，的单调递增区间为 …….5分（2）证明：22212221112121ln ln y y x ax x x ax x k x x x x -++---==--211221ln ln ()1x x a x x x x -=+++-1222(,0),(,),(,),(12)N u A x y B x y AB AN λλ=≤≤21211(1)(),x x x x u x u λλλ+-∴-=-∴=，又，2121(1)'()21(1)x x f u a x x λλλλ+-∴=+++-21212121ln ln '()(2)()(1)x x a f u k x x x x x x λλλλ-∴-=-+--+--21210,,12,(2)()0aa x x x x λλλ<>≤≤∴--<要证：，只需证212121ln ln 0(1)x x x x x x λλ--<+--即证：212121()(ln ln )0(1)x x x x x x λλ---<+-，设令则2222(22)(1)'(),(1)t t g t t tλλλλ-+-+--=+-令222()(22)(1),1,12h t t t t λλλλ=-+-+-->≤≤对称轴. ，故在内单调递减，则故.…….12分 22．解：（Ⅰ）连接，因为为弧BC 的中点， 所以．因为为的中点，所以． 因为为圆的直径，所以， 所以．…5分（Ⅱ）因为为弧BC 的中点，所以， 又,则．又因为，，所以∽． 所以，,2AD CD AC BC ∴⋅=⋅. …10分24.（1）因为所以3,251==∴⎩⎨⎧=+-=-m a m a m a -------------5分 （2）时等价于当20,2,2<≤≥+-≥t x t x x 所以舍去 当,220,2,20+≤≤∴≥+-<≤t x x t x x 成立 当成立所以，原不等式解集是-----------10分。

东北育才高中部2021届高三第八次模拟数学试题〔理科〕第一卷〔选择题一共60分〕一、选择题一共12小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题列出的四个选项里面，选出符合题目要求的一项。

{|(1)(2)0},{|0}=--≤=>M x x x N x x ，那么〔 〕A. N M ⊆B. M N ⊆C. M N ⋂=∅D.M N R =【答案】B 【解析】 【分析】求解出集合M ，根据子集的断定可得结果.【详解】由题意知：()(){}{}12012M x x x x x =--≤=≤≤，那么M N ⊆ 此题正确选项：B【点睛】此题考察集合间的关系，属于根底题.z 的虚部为Im()z ，z 满足12iz i =+，那么Im()z 为〔 〕A. 1-B. i -C. 2D. 2i【答案】A 【解析】根据复数除法运算求得z ，从而可得虚部.【详解】由12iz i =+得：()212122i ii z i i i++===- ()Im 1z ∴=- 此题正确选项：A【点睛】此题考察复数虚部的求解问题，关键是通过复数除法运算得到z a bi =+的形式.1的等比数列{}n a 满足15514620a a a a +=，假设210m a =，那么m =〔 〕A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可求得21010a =，从而求得结果.【详解】由等比数列性质得：222155146*********a a a a a a a +=+==21010a ∴= 10m ∴=此题正确选项：B【点睛】此题考察等比数列性质的应用，属于根底题.2=表示的曲线方程为〔 〕 A. 221(1)-=≤-x y x B. 221(1)-=≥-x y x C. 221(1)-=≤-y x y D. 221(1)y x y -=≥【答案】C 【解析】根据方程的几何意义可知方程表示的轨迹为双曲线的下半支，从而可根据双曲线的定义求得曲线方程.(),x y 到点(的间隔(),x y 到点(0,的间隔2=表示动点(),x y 到(和(0,的间隔 之差为2符合双曲线的定义，且双曲线焦点在y 轴上又动点到(的间隔 大于到(0,的间隔 ，所以动点(),x y 轨迹为双曲线的下半支那么：c =1a = 2221b c a ∴=-=∴曲线方程为：()2211y x y -=≤-此题正确选项：C【点睛】此题考察利用双曲线的定义求解HY 方程的问题，关键是可以明确方程的几何意义.()2,1m x =，(),2n x =，命题1:2p x =，命题:q 0,λ∃>使得m n λ=成立，那么命题p 是命题q 的〔 〕 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据12x =可知12m n =；假设()0m n λλ=>，可知0x =或者12x =；综合可得结果.【详解】假设12x =，那么1,14m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,22n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 12m n ∴=那么命题p 是命题q 的充分条件假设()0m n λλ=>，那么22x x =，解得：0x =或者12x = 那么命题p 是命题q 的不必要条件综上所述：命题p 是命题q 的充分不必要条件 此题正确选项：A【点睛】此题考察充分条件、必要条件的断定问题，涉及到向量一共线定理的应用.6.某三棱锥的三视图如下图，那么该三棱锥最长的棱的棱长为( )A. 3B. 12x x5 D. 2【答案】A 【解析】由三视图可得几何体的直观图如下图：有：PB ⊥面ABC ，PB 2=，△ABC 中，AB ?AC BC 2==，，BC 边上的高为2， 所以AB AC 5,PA 3,PC 2====，该三棱锥最长的棱的棱长为PA 3=. 应选A.点睛; 考虑三视图复原空间几何体首先应深入理解三视图之间的关系，遵循“长对正，齐，宽相等〞的根本原那么，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和考虑方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进展调整.7.4月30日，庆贺东北育才建校70周年活动中，分别由东北育才校长、老师代表、学生代表、清华大长和大长各1人做主题演讲，其中演讲顺序要求两位大长不相邻，那么不同的安排方法为( ) A. 24种 B. 48种C. 72种D. 96种【答案】C 【解析】 【分析】采用插空法即可求得结果.【详解】采用插空法可得安排方法有：323461272A A =⨯=种此题正确选项：C【点睛】此题考察排列问题中的相离问题的求解，常用方法为插空法，属于根底题.8.257017(232)(1)+--=++x x x a a x a x ，那么0246a a a a +++=( )A. 24B. 48C. 72D. 96【答案】B 【解析】 【分析】分别取1x =和1x =-，得到系数间的关系，通过作和可求得结果. 【详解】令1x =，那么012345670a a a a a a a a +++++++= 令1x =-，那么()5012345673296a a a a a a a a -+-+-+-=-⨯-= 两式作和得：()0246296a a a a +++= 024648a a a a ∴+++= 此题正确选项：B【点睛】此题考察二项式的系数的性质和应用，关键是可以通过赋值法求解出系数之间的关系.3log 6a =，5log 10b =，61log 2=+c ，那么〔 〕A. a b c <<B. b a c <<C. c a b <<D.c b a <<【答案】D 【解析】【分析】根据对数运算将,a b 变形为31log 2+和51log 2+，根据真数一样的对数的大小关系可比拟出三个数之间的大小.【详解】()333log 6log 321log 2a ==⨯=+；()555log 10log 521log 2b ==⨯=+ 又356log 2log 2log 2>> c b a ∴<< 此题正确选项：D【点睛】此题考察利用对数函数的图象比拟大小的问题，关键是能利用对数运算将三个数转化为统一的形式.()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦a π上有最小值1-，那么a 的最大值〔 〕A. 2π-B. 3π-C.4D. 6π-【答案】B 【解析】 【分析】 根据x 在,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦a π上，求内层函数范围，结合余弦函数的性质可得答案. 【详解】函数()cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， ∵,2x a π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴222,333⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦x a πππ ()f x 在,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦a π上有最小值﹣1，根据余弦函数的性质，可得23-≤-a ππ可得3≤-a π，应选：B ．【点睛】此题主要考察了余弦定理的图象性质的应用，属于根底题．11.甲、乙、丙三名同学同时HY 地解答一道导数试题，每人均有23的概率解答正确，且三个人解答正确与否互相HY ，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率〔 〕 A.1320B.920C.15D.120【答案】C 【解析】 【分析】记“三人中至少有两人解答正确〞为事件A ；“甲解答不正确〞为事件B ，利用二项分布的知识计算出()P A ，再计算出()P AB ，结合条件概率公式求得结果.【详解】记“三人中至少有两人解答正确〞为事件A ；“甲解答不正确〞为事件B那么()2323332122033327P A C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；()122433327P AB =⨯⨯= ()()()15P AB P B A P A ∴== 此题正确选项：C【点睛】此题考察条件概率的求解问题，涉及到利用二项分布公式求解概率的问题.()222210x y a b a b+=>>直线l 过左焦点且倾斜角为3π，以椭圆的长轴为直径的圆截l 所得的弦长等于椭圆的焦距，那么椭圆的离心率为〔 〕【答案】D 【解析】【分析】假设直线方程，求得圆心到直线的间隔d，利用弦长等于,a c的齐次方程，从而求得离心率.【详解】由题意知，椭圆左焦点为(),0c-，长轴长为2a，焦距为2c设直线l方程为：)y x c=+y-+=那么以椭圆长轴为直径的圆的圆心为()0,0，半径为a∴圆心到直线l的间隔d==2c∴==，整理得：2247c a=∴椭圆的离心率为7ca==此题正确选项：D【点睛】此题考察椭圆离心率的求解，关键是可以利用直线被圆截得的弦长构造出关于,a c 的齐次方程.第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题一共4小题，每一小题5分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕13.我国古代名著?九章算术?用“更相减损术〞求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这个伟大创举与古希腊的算法—“辗转相除法〞本质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法〞，当输入288,123==a b 时，输出的a =_____.【答案】3 【解析】 【分析】解法一：按照程序框图运行程序，直到r 0=时，输出结果即可；解法二：根据程序框图的功能可直接求解288与123的最大公约数.【详解】解法一：按照程序框图运行程序，输入：288a =，123b = 那么42r =，123a =，42b =，不满足r 0=，循环； 那么39r =，42a =，b 39=，不满足r 0=，循环； 那么3r =，39a =，3b =，不满足r 0=，循环； 那么r 0=，3a =，0b =，满足r 0=，输出3a =解法二：程序框图的功能为“辗转相除法〞求解两个正整数的最大公约数 因为288与123的最大公约数为3 3a =∴ 此题正确结果：3【点睛】此题考察根据程序框图的循环构造计算输出结果、程序框图的功能问题，属于根底题.P ABC -中，侧棱3PA PB PC ===,当侧面积最大时，三棱锥P ABC -的外接球体积为____ 【答案】323π 【解析】 【分析】当三棱锥侧面积最大时，PA ，PB ，PC 两两互相垂直，可知以PA ，PB ，PC 为长、宽、高的长方体的外接球即为三棱锥P ABC -的外接球，长方体外接球半径为体对角线的一半，从而求得半径，代入球的体积公式得到结果.【详解】三棱锥P ABC -的侧面积为：222APB APC BPC ∠+∠+∠ APB ∠，APC ∠，BPC ∠互相之间没有影响∴当上述三个角均为直角时，三棱锥P ABC -的侧面积最大此时PA ，PB ，PC 两两互相垂直∴以PA ，PB ，PC 为长、宽、高的长方体的外接球即为三棱锥P ABC -的外接球∴外接球半径2R == ∴三棱锥P ABC -的外接球的体积：343233V R ππ==此题正确结果：323π 【点睛】此题考察多面体的外接球体积的求解问题，关键是可以通过侧面积最大判断出三条棱之间的关系.ln ,0()(1),0xx x f x x e x ⎧>=⎨+≤⎩，假设函数()()g x f x b =-有三个零点，那么实数b 的取值范围是____.【答案】(0,1] 【解析】 【分析】将问题转化为()y f x =与y b =有三个不同的交点；在同一坐标系中画出()y f x =与y b =的图象，根据图象有三个交点可确定所求取值范围.【详解】函数()()g x f x b =-有三个零点等价于()y f x =与y b =有三个不同的交点 当0x ≤时，()()1xf x x e =+，那么()()()12x x xf x e x e x e '=++=+()f x ∴在(),2-∞-上单调递减，在(]2,0-上单调递增且()212f e-=-，()01f =，()lim 0x f x →-∞= 从而可得()f x 图象如下列图所示：通过图象可知，假设()y f x =与y b =有三个不同的交点，那么(]0,1b ∈ 此题正确结果：(]0,1【点睛】此题考察根据函数零点个数求解参数取值范围的问题，关键是将问题转化为曲线和直线的交点个数问题，通过数形结合的方式求得结果.{}n a 中，11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且对任意的*,r t N ∈，都有2r t S r S t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么n a =_____ 【答案】21n -【分析】令r n =，1t n =+，*n N ∈，可知()2211n n S n S n +=+；假设2n S n k =，()211n S n k +=+，利用11a S =可求得k ，得到n S 和1n S +；根据11n n n a S S ++=-可求得1n a +，进而得到n a .【详解】假设r n =，1t n =+，*n N ∈，那么()2211nn S n S n +=+ 令2n S n k =，()211n S n k +=+那么111a S k === 2n S n =∴，()211n S n +=+()()2211121211n n n a S S n n n n ++∴=-=+-=+=+- 21n a n ∴=-经历证，1n =时，满足21n a n =- 综上所述：21n a n =- 此题正确结果：21n -【点睛】此题考察利用数列前n 项和求解数列通项的问题，关键是可以通过赋值的方式得到n S .三、解答题 〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕ABC中，a =120A ∠=︒，ABCb c <．〔Ⅰ〕求b 的值； 〔Ⅱ〕求cos2B 的值． 【答案】〔Ⅰ〕1；〔Ⅱ〕1314. 【解析】〔I 〕利用三角形的面积公式和余弦定理列方程组，解方程组求得,b c 的值.〔II 〕利用正弦定理求得 sin B 的的值，利用二倍角公式求得cos2B 的值.【详解】解：〔Ⅰ〕由得2221=2=2120.S bcsinA b c bccos ⎧⎪⎨⎪+-︒⎩整理得22=4,=17.bc b c ⎧⎨+⎩解得=1,=4b c ⎧⎨⎩，或者=4,=1.b c ⎧⎨⎩因为b c <，所以1b =． 〔Ⅱ〕由正弦定理sin sin a bA B=，即sin B =．所以2213cos2=12sin 121414B B ⎛-=-= ⎝⎭【点睛】本小题主要考察三角形的面积公式，考察余弦定理解三角形，考察正弦定理解三角形，考察二倍角公式，属于中档题.18.某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店提供了两种日工资方案：方案(1)规定每日底薪50元，快递业务每完成一单提成3元；方案(2)规定每日底薪100元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开场，每完成一单提成5元．该快餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量．现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[25，35〕，[35，45)，[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]七组，整理得到如下图的频率分布直方图。

东北育才学校高中部2018届高三第八次模拟数学试题（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求解一元二次不等式，化简集合A，之后求其补集得到结果.【详解】集合，，故选B.【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，集合的补集的求解，属于简单题目.2. 已知复数在复平面上对应的点为，则A. B. C. D. 是纯虚数【答案】D【解析】【分析】首先根据复数在复平面内对应的点的坐标为，从而根据题的条件，得到，再根据复数模的公式，求得结果.【详解】根据复数在复平面上对应的点为，则，所以A错；，所以B错；，所以C错；，所以D正确；故选D.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数在复平面内对应的点的坐标问题，复数的模的公式，属于简单题目.3. 已知抛物线的焦点在轴负半轴，若，则其标准方程为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先根据题中所给的条件，确定出抛物线的焦点所在轴以及开口方向，从而根据p的大小求得其标准方程.【详解】因为抛物线的焦点在轴负半轴，所以抛物线开口向左，所以抛物线的标准方程是，又，所以抛物线方程为，故选C.【点睛】该题考查的是有关抛物线的标准方程的问题，注意根据题中的条件，首先确定出抛物线的焦点所在轴和开口方向，结合p的值求得抛物线的标准方程.4. 如图，半径为1的圆内有一阴影区域，在圆内随机撒入一大把豆子，共颗，其中，落在阴影区域内的豆子共颗，则阴影区域的面积约为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据几何概型的意义进行模拟试验，列出豆子落在阴影部分的概率与阴影面积及圆面积之间的方程求解即可. 详解：设阴影区域的面积为，由几何概型概率公式可得：，故选C.点睛：本题主要考查几何概型概率公式以及模拟实验的基本应用，属于简单题，求不规则图形的面积的主要方法就是利用模拟实验，列出未知面积与已知面积之间的方程求解.5. 执行如图所示的算法，则输出的结果是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据题中所给的框图，其功能是在求若干个对数值的和，当其为有理数时输出S的值，认真分析，求得结果. 【详解】根据题意，，利用对数运算法则，求得，所以当时，满足，故选A.【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，在解题的过程中，需要先分析框图的功能，以及其满足的条件，利用对数的运算性质，结合条件，求得结果.6. 已知向量，，若向量在方向上的正射影的数量为，则实数A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据一个向量在另一个向量方向上的正投影的定义可以求得结果.【详解】根据一个向量在另一个向量方向上的正投影的定义，可得，解得，故选A.【点睛】该题考查的是有关向量在另一个向量方向上的投影问题，在解题的过程中，需要明确投影公式，结合题中所给的向量的坐标，代入求得结果.7. 若公差为的等差数列的前项和为，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出结果.【详解】因为，解得，所以，所以，故选B.【点睛】该题考查的是有关等差数列的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有等差数列的通项公式和等差数列的求和公式，注意对公式的熟练应用是解题的关键.8. 设的三个内角所对的边分别为，如果，且，那么外接圆的半径为A. 1B.C. 2D. 4【答案】A【解析】【分析】首先根据题中所给的三角形的边所满足的条件，结合余弦定理，求得，结合三角形内角的取值范围，求得，再结合正弦定理，从而求得结果.【详解】因为，所以，化为，所以，又因为，所以，由正弦定理可得，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关解三角形问题，涉及到的知识点有余弦定理，正弦定理，在解题的过程中，需要对题的条件进行认真分析，求得结果.9. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是A. 与是异面直线B. 平面C. ，为异面直线且D. 平面【答案】C【解析】【分析】由题意，此几何体是一个直三棱柱，且其底面是正三角形，E是BC中点，由这些条件对四个选项逐一判断得出正确选项.【详解】对于A项，与在同一个侧面中，故不是异面直线，所以A错；对于B项，由题意知，上底面是一个正三角形，故平面不可能，所以B错；对于C项，因为，为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，所以C正确；对于D项，因为所在的平面与平面相交，且与交线有公共点，故平面不正确，所以D项不正确；故选C.【点睛】该题考查的是有关立体几何中空间关系的问题，在解题的过程中，需要对其相关的判定定理和性质定理的条件和结论要熟练掌握，注意理清其关系.10. 已知定义在上的偶函数在上单调递增，则函数的解析式不可能是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根据函数在区间上是偶函数，求得，从而确定出其研究区间是，再根据函数在相应区间上是单调递增的，结合指数函数、对数函数和幂函数的性质，求得结果.【详解】根据函数在区间上是偶函数，则有，解得，所以函数的定义域是，研究的区间是，从而能够得到A，C，D项对应的函数都满足在区间上是增函数，只有B项在上是减函数，故选B.【点睛】该题考查的是有关函数的性质的问题，涉及到的知识点有函数的奇偶性、函数的单调性，在解题的过程中，需要明确函数具备奇偶性的条件，定义域关于原点对称，再者就是对指对幂函数的单调性非常明确.11. 已知双曲线的两个焦点为、，是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为A. 3B.C.D. 1【答案】D【解析】，，，又，其渐近线方程为焦点到它的一条渐近线的距离为，故选D.12. 如图，已知直线与曲线相切于两点，函数，则函数A. 有极小值，没有极大值B. 有极大值，没有极小值C. 至少有两个极小值和一个极大值D. 至少有一个极小值和两个极大值【答案】C【解析】【分析】首先分析函数的图像，从图中读出相应的信息，根据条件，判断与k的关系，进行判断，从而求得结果.【详解】因为直线直线与曲线相切于两点，所以有两个根，且，因为，所以，从图中可以发现，函数有两个极大值点，一个极小值点，结合函数的图像，可以得到至少有两个极小值和一个极大值，故选C.【点睛】该题考查的是有关利用函数图像解题的问题，在解题的过程中，需要认真分析，读出图中所给的相关信息，对函数求导，分析与k的关系，从而判断出函数的极值点的个数，得到结果.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为_________【答案】1【解析】【分析】首先根据题中所给的三视图，还原几何体，可知其为有一条侧棱垂直于底面的一个四棱锥，该四棱锥的底面就是其俯视图中的直角梯形，根据图中所给的数据，结合椎体的体积公式，求得结果.【详解】根据题中所给的三视图，还原几何体，可知其为有一条侧棱垂直于底面的一个四棱锥，该四棱锥的底面就是其俯视图中的直角梯形，根据图中所给的数据，结合椎体的体积公式，可得其体积，故答案是1.【点睛】该题所考查的是有关三视图的问题，涉及到的知识点有根据三视图还原几何体，椎体的体积公式，在解题的过程中，利用三视图正确还原几何体是解题的关键.14. 已知满足不等式组,则的最小值是____________【答案】【解析】【分析】首先根据题中所给的约束条件，画出可行域，其为三角形区域，将目标函数移项，化为，画出直线，并上下移动，结合z的几何意义，可知其过点C时取得最小值，联立方程组，求得对应点的坐标，代入求得目标函数的最小值.【详解】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域如图所示：将化为，画出直线并上下移动，结合z的几何意义，可知当直线过点C时取得最小值，解方程组，解得，即，将其代入，求得，故答案是-5.【点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，首先需要根据约束条件，画出可行域，根据目标函数的形式，确定其最优解的位置，求得结果，此类问题中，目标函数的形式共有三种，线性关系为截距型，分式形式为斜率型，平方和为距离型.15. 已知数列的前项和为，，，,则______________【答案】【解析】由题意，，所以，，所以。

东北育才学校高中部 2018 届高三第八次模拟数学试题（理科）考试时间： 120 分钟试卷满分： 150 分 命题：高三数学备课组第Ⅰ卷（选择题共 60 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知UR ， A { x | x 2 2x 3 0} ，则 e U AA. { x | 3 x 1}B. { x | 3 x 1}C. { x | 1 x 3}D. { x | 1 x 3}2. 已知复数 z 在复平面上对应的点为 Z (2， 1) ，则A. z1 2iB. | z | 5C. z2 iD. z 2 是纯虚数3. 如图，半径为 1 的圆内有一阴影区域，在圆内随机撒入一大把豆子，共n 颗，其中，落在阴影区域内的豆子共 m 颗，则阴影区域的面积约为开始m n mn s=0,n=2A.B.C.D.nmnm4. 执行如图所示的算法，则输出的结果是 n=n+1A. 1B ．5C．4D ． 2n+143M=5.已知向量 a 1, 2 ， b t,2 2 ，若向量 b 在 a 方向上的n正射影的数量为3 ，则实数 ts=s+log 2M否C. 3A. 1B. 1D. 5s Q?6. 若公差为 2 的等差数列 { a n } 的前 9 项和为 S 9 81，则 a 2018A. 4033B.4035C.4037D.403927.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A . 6B .19 20 22 1 1 C.3D.33正视图8. 设 ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、b 、c ，如果 (a b c)(b c a) 3bc ，且 a 3 ，那么 ABC 外接圆的半径为 结束 输出 s是1侧视图A ． 1B ．2C. 2 D． 49. 已知定义在 [1 a,2 a 5] 上的偶函数 f ( x) 在 [0,2 a 5] 上单调递增， 则函数 f (x) 的解析式不可能 是A ． f (x)x 2 aB． f ( x)a |x|C.f ( x) x a D ． f (x) log a (| x | 2)10. (x 2 y z) 5展开式中x 2y 2z 项的系数为A ．30B ．40 C. 60 D ．12011. 已知双曲线的两个焦点为 F 1 10，0 、 F 2 10，0 ， M 是此双曲线上的一点，且满足MF 1 MF 2 0 ， MF 1 MF 22 ，则该双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为A ．3B ．1C ．1D ．13212. 如图，已知直线 ykx 与曲线 yf (x) 相切于两点，函数 g(x)kx m ，则函数 F ( x) g( x)f ( x)A. 有极小值，没有极大值B. 有极大值，没有极小值C. 至少有两个极小值和一个极大值D. 至少有一个极小值和两个极大值第Ⅰ卷（非选择题共90 分）二、填空题（每题5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）y 2 x 213.已知 x, y 满足不等式组 x1 ,则 zy 4x 的最小值是．y 114.已知数列{ a n } 的前 n 项和为 S n ， a 1 1， S n 2a n 1 ， ,则S n．15. 甲、乙、丙三人玩摸卡片游戏，现有标号为 1 到 12 的卡片共 12 张，每人摸 4 张．甲说：我摸到卡片的标号是10 和 12； 乙说：我摸到卡片的标号是6和 11；丙说：我们三人各自摸到卡片的标号之和相等．据此可判断丙摸到的编号中必有的两个是．的余弦值为6则该四面体外接球的表面积为．3 ，三、解答题（本大题共 6 小题，共70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17.( 本小题满分12 分)将函数 y f x 的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的122 倍，可以得到函数y cos2x 的图象.( Ⅰ) 求 f的值；( Ⅱ) 求f ( x)的单调递增区间.18.( 本小题满分12 分)如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD是长方形，2AD CD PD 2，PA 5 ，PDC =120 ,点E为线段PC的中点，点 F 在线段 AB上，且AF 1．2（Ⅰ）平面 PCD 平面 ABCD ；（Ⅱ）求二面角 D EF C 的余弦值.19.( 本小题满分12 分)某钢管生产车间生产一批钢管(大量），质检员从中抽出若干根对其直径（单位：mm）进行测量，得出这批钢管的直径X 服从正态分布N 65,4.84 ．当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为73mm，他立即要求停止生产，检查设备，（Ⅰ）请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；（Ⅱ）如果从该批钢管中随机抽取100 根，设其直径满足在60.6mm65mm 的根数为随机变量，（ i）求随机变量的数学期望；（ ii ）求使P( k) 取最大值时的整数k 的值．附：若随机变量Z 服从正态分布 Z ~ N( , 2)，则P( Z ) 0.6826 ，P(2Z 2 ) 0.9544 ， P( 3 Z 3 ) 0.9774 ．20.( 本小题满分12 分)已知函数 f x ln x axa R . x 1（Ⅰ）讨论函数 f x 的单调性；（Ⅱ）若 f x 有两个极值点 x1 , x2，证明:x1 x2 f x1 f x2.f 2 221.( 本小题满分12 分)x2 y 2A1， A2.已知椭圆 C：1的左右顶点分别为4 2（Ⅰ）求椭圆 C 的长轴长与离心率；（Ⅱ）若过定点 ( 1,0) 且不垂直于y轴的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，直线 A1P 与 A2Q交于点M . 求证：当直线l转动时，点M在定直线上 .请考生在22~23 中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.( 本小题满分12 分) 【选修 4－ 4：坐标系与参数方程】x 1 3t, 在平面直角坐标系 xOy中，直线l的参数方程为1 (t 为参数 ) ．在以原点O为极点，xy t轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为2cos ．（Ⅰ）求直线 l 的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程；23.( 本小题满分12 分) 【选修 4-5: 不等式选讲】已知定义在R 上的函数 f x 2x k 2 x . k N .存在实数 x0 使 f x0 2成立.（Ⅰ）求实数k 的值;（Ⅱ）若 m 1 1f m f n 109 1 16 ， n 且求证，求证n.2 2 m 3东北育才学校高中部2018 届高三第八次模拟数学答案（理科）一、选择题1.B2.D3.C4.A5.A6.B7.D8.A9.B 10.D 11.D 12.C二、填空题13. 5 14.(3)n 115.8和9 16.48 2三、解答题17.( Ⅰ ) 将函数y cos 2x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1，得到函数 y cos 4x 的图象，再将2所得图象向右平移个单位长度，得到函数 y cos4 x cos 4 x 的图象，12 12 3f x cos 4 x . 4 分3f cos 4 cos6 分3 3( Ⅱ) 令2k 4x32k解得1 k x 1 k 12 6 2 12所求单调递增区间为[ 1k ,1k 1 ],kZ12 分2 6 2 1218. 165 2.2358.43 71.6733 ，P X 71.61 P 58.4X 71.6 1 0.99740.001322465 2.22 60.6 2iP(2 X ) P(2X2 )0.9544 0.477222B(100,0.4772) E 100 0.4772 47.728ii P(k ) C k 0.4772k 0.5228100 k100P(X k) P(Xk 1)0.5228 0.4772P( Xk )100 k k1P(Xk) P(Xk 1)0.4772 0.5228k 101 k47.1972 k48.1972kN * P( Xk)k 481219.AP 2PD 2AD 2 ADPDAD DCAD PCD -----3AD ABCDPCDABCD 6D PCDCDPCGAD PCDDGPCDADDGDA ,DC ,DG DA DC DGx y z61 13(1, 11 3D (0,0,0), C (0,2,0), F (1, ,0), E(0, ,), DF ,0), DE(0, ,)22 22 2 2DEF n 1 ( x 1, y 1 , z 1)1n DF 0 x1 2 y1 0y1 3x1 1, z1 23n DE 0 1 3 32y1 2 z1 0n1 (1, 2, 2 3) . 8 3CF (1, 3,0), CE (0,3,3) 2 2 2CEF n (x , y , z )2 2 2 2n CF 0 x23y2 02 y2 2x2 3, z2 2 3n CE 0 3 32y2 2 z2 0n2 (3,2,2 3) 10cos n1, n2 n1 n2 3 4 4 3 5711| n1 | | n2 | 19 5 953D FECD FEC 3 5795 1220.f '(x) 1 a( x 1) ax x2 (2 a) x 1( x 0) ( a 2)2 4 a(a 4)x ( x 1)2 x( x 1)2 a 4f '( x) 0 f ( x) (0, )a 4f ( x) (0,a2 a(a 4) )(a2 a(a 4) ,a2 a( a 4) )2 2 2a 2 a( a 4), ) 6(24f ( x 1 ) f ( x 2 ) ln x 1 x 2 ax 1 ( x 2 1) ax 2 ( x 11)a( x 1 1)(x 2 1)x 1 x 2a 2 a 2 aa2a 2)2(a 2)f (2 f ()ln2a2ln22211f (x 1x2)f ( x 1 ) f ( x 2 ) ln a2 a2 h(a)222 2h '(a) (2 1 4 a 0h(a) (4,)h(4) 0a 1)2( a 2)2 2h(a)0f (x 1x 2 ) f ( x 1 )f ( x 2 ).122 221.Cx 2 y 2 1,42所以 a 2, b2,c2 .所以长轴长为 2a 4 ，离心率 ec2. 4a21PQ : xky1x ky 1x 2 y 2(k 22) y 22ky 3 0联立21，得4P( x 1 , y 1), Q(x 2, y 2 )y 1y 22k, y 1 y 23 1k 22 k 22A 1P : yy 1( x 2), A 2Q : yy 2 ( x 2)x 1x 222x M 2 x 2 y 1 x 1 y 2 2( y 2 y 1)2( ky 2 1) y 1 (ky 1 1) y 2 2( y 2 y 1 )x 1y 2 x 2 y 1 2( y 1 y 2 )( ky 1 1)y 2 (ky 2 1) y 1 2( y 1 y 2 )22ky 1y23y 1 y 2（ 2）3y 1y 2由（ 1）得 2ky 1 y 226k 3( y 1 y 2 ) （ 3）2k将（ 3）代入（ 2）得 x M22ky 1y23y 1 y 223( y 1y 2)3 y 1 y 23y 1y 23y 1y 22 6 y 1 2y 243y 1 y 2所以点 M 在定直线 x 4上方法 2：22.解法一：（ 1）由 x 13t ,得 l 的普通方程为 x3y 13 ，1 分y 1 t,x cos ,cos3 sin13 ． ................... 3 分又因为ysin，所以 l 的极坐标方程为,由2cos 得22 cos ，即 x 2y 2 2x ，...............................................................4 分 所以 C 的直角坐标方程为x 2 y 2 2x0 ． ...........................................................................5 分（ 2）设 P,Q 的极坐标分别为 1,1, 2,2 ，则POQ12 .................................6 分 由cos3sin13,消去 得 2coscos3 sin13 ， ............. 7 分2cos,化为 cos23sin 23 ，即 sin 2π3， .......................................................8 分62因为π ，即 2 π π 7π，所以 2 π π π 2π 9 分 0，+ 6 ， 6，或 26， ................2 6 6 331即2π ,12 或π,41 2π,π4所以 POQ 12= 10 分π ． ........................................................6, 12解法 2：（ 1）同解法一..................................................................................................................5 分（ 2）曲线C的方程可化为x2y2 1，表示圆心为C 1,0 1 的圆．........ 6 分1 且半径为x 13t ,将 l 的参数方程化为标准形式2( 其中t为参数 ) ，代入C的直角坐标方程为1 ty 123 t 21 t23 tx2 y 2 2x 0 得， 1 1 2 1 0 ，2 2 2整理得， t 2 t 0 ，解得 t 0 或 t 1 ．........................................................................... 8 分设 P,Q 对应的参数分别为 t1 ,t 2 ，则PQ t1 t2 1．所以PCQ 60 ，................ 9 分又因为 O 是圆 C 上的点，所以POQ PCQ30 10 分2 .......................................................解法 3：（ 1）同解法一..................................................................................................................5 分（ 2）曲线C的方程可化为x2y2 1，表示圆心为C 1,0 1 的圆．........ 6 分1 且半径为又由①得 l 的普通方程为 x 3 y 1 3 0 ，.................................................................. 7 分则点 C 到直线 l 的距离为d 3， ............................................................................................ 8 分2所以 PQ 2 1 d 2 1，所以△PCQ是等边三角形，所以PCQ 60 ， .................. 9 分又因为 O 是圆 C 上的点，所以POQ PCQ30 10分223.解：存在实数 x0 使 f x0 2 成立， f xmin 22x k 2 x 2 x k 2 x 2x k 2x k ，则 f xmin k 2解得 2 k 2 ，k N ，k 1 5分(II) 证明：由（ 1）知，f x 2x 1 2 x ，m 1n1 ，，2 2f m 2m 1 2 m 2m 1 2m 4m 1 ，同理，f n 4n 1f m f n 104m 4 n 2 10m n 39 1 1 9 1 m n 1 10 9n m 1 10 2 9n m 16m n 3 m n 3 m n 3 m n 39n mm n 3m 9 n 3 . 10m n 4 4“”——·11·。

东北育才学校高中部2020届高三第八次模拟考试数学试题（理科）考试时间：120分钟 试卷满分：150分第Ⅰ卷（选择题共60分）一、 选择题（共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题列出的四个选项中，选出符 合题目要求的一项.） 1.已知集合2{|2}A x y x ==-，集合2{|2}B y y x ==-，则有A.A B =B.A B =∅IC.A B A =UD.A B A =I2.若复数满足(2)5i z +=，则在复平面内与复数对应的点Z 位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.某地区甲、乙、丙、丁四所高中分别有120、150、180、150名高三学生参加某次数学调研考试. 为了解学生能力水平，现制定以下两种卷面分析方案，方案①：从这600名学生的试卷中抽取一个容量为200的样本进行分析；方案②：丙校参加调研考试的学生中有30名数学培优生，从这些培优生的试卷中抽取10份试卷进行分析．完成这两种方案宜采用的抽样方法依次是 A.分层抽样法、系统抽样法B.分层抽样法、简单随机抽样法C.系统抽样法、分层抽样法D.简单随机抽样法、分层抽样法 4.“θ为第一或第四象限角”是“cos 0θ>”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，()4123S a a =+，则公比q 的值为 A.2 B.3 C.5 D.26.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，若34AF xAB AD =+u u u r u u u r u u u r，则x =A.34 B.23 C.12 D.147.人们通常以分贝（符号是dB ）为单位来表示声音强度的等级，其中0dB 是人能听到的等级最低的声音. 一般地，如果强度为x 的声音对应的等级为()f x dB ，则有12()10lg 110xf x -=⨯，则90dB 的声音与60dB 的声音强度之比A.100B.1000C.1100 D.110008．如图，在以下四个正方体中，使得直线AB 与平面CDE 垂直的个数是① ② ③ ④ A.1 B.2 C.3 D.4 9.已知圆2216xy +=与抛物线22(0)y px p =>的准线l 交于A ，B 两点，且||215AB =P 为该抛物线上一点，PQ l ⊥，垂足为点Q ，点F 为该抛物线的焦点.若PQF ∆是等边三角形，则PQF ∆的面积为A.43 B.4 C.23 D.210.生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”. 为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排的概率为 A.710B.760C.2760D.476011.已知P 为双曲线22:13x C y -=上位于右支上的动点，过P 作两渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，则||AB 的最小值为 A.8116 B.278 C.94 D.3212.已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）满足ππ()()44f x f x -=-+， π()()2f x f x --=，且在区间π(0,)8上是单调函数，则ω的值可能是 A.3 B.4 C.5D.6第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（共4小题，每题5分，共20分，将答案填在答题纸上.）13.等差数列{}n a 中，10a =，公差0d ≠，n S 是其前n 项和，若10ka S =，则k = .14.已知实数x ，y 满足约束条件404x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩的最小值为 .15.圆锥SD （其中S 为顶点，D 为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2:1，若圆锥的底面半径为3，则圆锥SD 的内切球的表面积为 .16.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数[],y x x R =∈称为高斯函数，其中[]x 表示不超过x 的最大整数. 设{}[]x x x =-，则函数(){}21f x x x x =--的所有零点之和为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在 ①22cos cos 20B B +=，②cos 1b A acosB +=，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决相应问题．已知在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC ∆的面积为S ，若2224S b c a =+-，b ，求ABC ∆的面积S 的大小．18.（本小题满分12分）某省在高考改革试点方案中规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外三门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A 、B +、B 、C +、C 、D +、D 、E 共8个等级． 参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]、[81,90]、[71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布2(60,13)N ．（Ⅰ）求物理原始成绩在区间(47,86)的人数；（Ⅱ）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X 表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X 的分布列和数学期望．附：若随机变量()2~,Nξμσ，则()0.682P μσξμσ-<<+=，(22)0.954P μσξμσ-<<+=，(33)0.997P μσξμσ-<<+=.19.（本小题满分12分）如图，在四边形ABCD 中，,,BC CD BC CD AD BD =⊥⊥，以BD 为折痕把ABD △折起，使点A 到达点P 的位置，且PC BC ⊥. （Ⅰ）证明：PD ⊥平面BCD ；（Ⅱ）若M 为PB 的中点，二面角P BC D --等于60°，求直线PC 与平面MCD 所成角的正弦值.20.(本小题满分12分)已知函数()()ln f x x ax a R =+∈，()2e x g x x x =+-.（Ⅰ）求 函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点. 如果函数()()()F x f x g x =-存在两个不同的不动点，求实数a 的取值范围. 21.（本小题满分12分）已知长度为4的线段的两个端点,A B 分别在x 轴和y 轴上运动，动点P 满足3BP PA =uu u v uu u v，记动点P 的轨迹为曲线C .（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设曲线C 与y 轴的正半轴交于点D ，过点D 作互相垂直的两条直线，分别交曲线C 于点M ，N 两点，连接MN ，求DMN ∆的面积的最大值．请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为32cos ,22sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数）. 以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线L 的极坐标方程为()704πθρ=≥. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程与射线L 的直角坐标方程；（Ⅱ）若射线L 与曲线C 交于A ，B 两点，求22OA OB OB OA ⋅+⋅.23.（本小题满分10分）【选修4-5: 不等式选讲】 已知0a ≠，函数()1f x ax =-，()2g x ax =+. （Ⅰ）若()()f x g x <，求x 的取值范围；（Ⅱ）若()()2107af xg x +≥⨯-对x R ∈恒成立，求a 的最大值与最小值之和.东北育才学校高中部2020届高三第八次模拟数学试题（理科）答案一、选择题共12小题，每小题5分，共60分。

东北育才学校高中部2014—2015学年度第八次模拟考试文科数学第Ⅰ卷(选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合{}40 <<∈=x N x A 的真子集．．．个数为 A.3B.4C.7D.82.已知z 是复数z 的共轭复数，0z z z z ++⋅=，则复数z 在复平面内对应的点的轨迹是 A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线3.已知向量a ()32, 0-=，b ()3, 1=，则向量a 在b 上的正射影的数量为 A ．3B ．3C ．3-D ．3-4．等差数列{}n a 中，564a a +=，则10122log (222)a aa ⋅=A ．10B ．20C ．40D ．22log 5+ 5．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将 他们随机编号为1,2,,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的 方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[]1,450的人 做问卷A ,编号落入区间[]451,750的人做问卷B ,其余的人做 问卷C .则抽到的人中,做问卷B 的人数为A ．7B ．9C ．10D ．156．图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法． 若输入 209m =，121n =，则输出的m 的值为 A.0 B.11C.22D.887．已知1a >，22()+=x xf x a ，则使()1f x <成立的一个充分不必要条件是A.10x -<<B.21x -<<C.20x -<<D.01x <<8. 已知双曲线)0, 0( 12222>>=-b a by a x 的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为 A ．02=±y xB ．02=±y xC ．034=±y xD ．043=±y x9. 若实数y x ,满足不等式组330101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，，，则2z x y =+的取值范围是A.[3,11]-B.[3,13]-C.[5,13]-D.[5,11]- 10．下列对于函数()3cos 2,(0,3)f x x x π=+∈ 的判断正确的是A.函数()f x 的周期为πB.对于,a R ∀∈ 函数()f x a + 都不可能为偶函数C.0(0,3)x π∃∈ ,使0()4f x =D.函数()f x 在区间5[,]24ππ内单调递增11．函数()lg(1)sin2f x x x =+-的零点个数为Ａ．9 Ｂ．10 Ｃ．11 Ｄ．1212.直角梯形ABCD ，满足,,222AB AD CD AD AB AD CD ⊥⊥===现将其沿AC 折叠成三棱锥D ABC -，当三棱锥D ABC -体积取最大值时其外接球的体积为 A.32πB. 43πC.3πD.4π第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上13. 一个四棱柱的三视图如图所示，则其体积为_______．14．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，则总体的平均值为______．15．已知直线21ax by +=（其中,a b 为非零实数）与圆221x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且AOB ∆为直角三角形，则2212a b +的最小值为 . 16．已知{}n a 满足1(3)(3)9n n a a +-+=，且13a =，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S = ．三．解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 在ABC ∆ 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知5sin 13B = ，且,,a b c 成 等比数列.（Ⅰ）求11tan tan A C+ 的值； （II ）若cos 12,ac B = 求a c + 的值.18．（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，已知,45︒=∠ABC O 在AB 上，且,32AB OC OB ==又 PO ⊥平面1,//,2ABC DA PO DA AO PO ==． （Ⅰ）求证：//PB 平面COD ； （Ⅱ）求证：PD ⊥平面COD ．PDOBxy AC19．(本题满分12分)浑南“万达广场”五一期间举办“万达杯”游戏大赛．每5人组成一队，编号为1，2，3，4，5．在其中的投掷飞镖比赛中，要求随机抽取3名队员参加，每人投掷一次．假设飞镖每次都能投中靶面，且靶面上每点被投中的可能性相同.某人投中靶面内阴影区域记为“成功”（靶面为圆形，ABCD 为正方形）．每队至少有2人“成功”则可获得奖品（其中任何两位队员“成功”与否互不影响）． （I ）某队中有3男2女，求事件A ：“参加投掷飞镖比赛的3人中有男有女”的概率； （II ）求某队可获得奖品的概率．20．(本题满分12分)已知曲线1C ：22144x y λ+=，曲线2C ：2221(01)44x y λλλ+=<<. 曲线2C 的左顶点恰为曲线1C 的左焦点．(Ⅰ)求λ的值；(Ⅱ)设00(,)P x y 为曲线2C 上一点，过点P 作直线交曲线1C 于,A C 两点. 直线OP 交曲线1C 于,B D 两点. 若P 为AC 中点，① 求证：直线AC 的方程为 0022x x y y +=；② 求四边形ABCD 的面积.21. (本题满分12分)已知函数0,)(≠=a eaxx f x ． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当1=a 时，已知21x x <，且)()(21x f x f =，求证：)2()(21x f x f ->．B C D M N P Q O请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，AC 为⊙O 的直径，D 为弧BC 的中点，E 为BC 的中点．（I ）求证：//DE AB ；（Ⅱ）求证：2AC BC AD CD ⋅=⋅．23．(本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，圆C 的极坐标方程为42cos()4πρθ=+．（Ⅰ）将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）过点P (2,0)作斜率为1直线l 与圆C 交于,A B 两点，试求11PA PB+的值. 24．（本大题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()a x x f -=（Ⅰ）若()m x f ≤的解集为[]5,1-，求实数m a ,的值；（Ⅱ）当2=a 且20<≤t 时，解关于x 的不等式()()2+≥+x f t x f东北育才学校高中部2014—2015学年度第八次模拟考试文科数学答案1、C2、A3、D4、B5、C6、B7、A8、C9、D 10、C 11、D 13、B13、8 14、10 15、4 16、26n n+17．解：（1）依题意，2b ac = ，由正弦定理及5sin 13B =，得225sin sin sin 169A CB ==. 11cos cos sin()sin 13tan tan sin sin sin sin sin sin 5A C A C B A C A C A C A C ++=+=== (2)由cos 12ac B =知，cos 0B > ，又5sin 13B =，12cos 13B ∴=从而21213cos b ac B=== 又余弦定理，得22()22cos b a c ac ac B =+-- ，代入，解得37a c += . 18．解：（Ⅰ）设1,2,1OA PO OB DA ====则， 由//,DA PO PO ⊥平面ABC ，知DA ⊥平面,A B C D A A O ∴⊥.PO OB ⊥ ∴45DOA PBO ∠=∠=︒，∴//PB DO 又PB ⊄平面COD ，DO ⊂平面COD ，∴//PB 平面COD ……………………………………6分 （Ⅱ）在直角梯形AOPD 中，1,2OA DO PO ===从而2,2DO PD ==PDO ∆∴为直角三角形，故DO PD ⊥又2,45OC OB ABC ==∠=︒，AB CO ⊥∴又PO ⊥平面,ABC,,PO OC PO AB ∴⊥⊂平面,PAB PO AB O =，⊥∴CO 平面PAB ． 故.PD CO ⊥∵CO DO O =∴PD ⊥平面.COD …………12分19．解：（I ）假设某队中1,2,3号为男性，4,5号为女性，在从5人中 抽取3人的所有可能情况有（1,2,3）（1,2,4）（1,2,5）（1,3,4）（1,3,5）（1,4,5）（2,3,4）（2,3,5）（2,4,5）（3,4,5）共10个基本事件 其中事件A 包括（1,2,3）一种情况， ∴19()1()11010P A P A ===-= 答：“参加投掷飞镖比赛的3人中有男有女”的概率为910…………6分 A B CDMNP QO（II ）由图可知2OD OM =，设事件i A 表示第i 个人成功，则221()12()()4i OM P A OD ππ==，(1,2,3)i = 设事件B 表示某队可获得奖品，即至少有2人“成功”则123123123123()()()()()P B P A A A P A A A P A A A P A A A =+++111311131113444444444444=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯532=答：某队可获得奖品的概率为532.20．（Ⅰ）444λλ=- 12λ= 2分（Ⅱ）① 可得0000(2,2),(2,2)B x y D x y -- 3分由2212OP AC b k k a ⋅=-=-00000:()()2xAC y y k x x x x y -=-=-- 即0022x x y y +=5分000,2y x ==±，:2AC l x =±符合0022x x y y += 6分② 解法一：联立方程000221224x y x y y x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩220022200022(1)402x x x x y y y +-+-= 即220024480x x x y -+-=202014A C x AC x x y =+-=22200020148164x x y y +-+22002184x y y =+8分 ,B D 到AC 距离1222220222222,44d d x yx y-+==++ 10分121()2S AC d d =⋅+=4 11分 当00y =时ABCD 面积也为412分② 解法二：000000(,),(2,2),(2,2)P x y B x y D x y --220022BD x y =+，11(,)A x y ，00:0BD l y x x y -=A 到BD 的距离为0101220y x x y d x y-=+， 8分又22220101001122,22,24x x y y x y x y +=+=+=，2222222222220011011001012220101010101018(2)(2)224(2)2()42()x y x y x x y x y x y y x x y y x y y x x y y x =++=+++=++-=+-则01012y x x y -=. 10分又P 为AC 中点，则010122002200122242y x x y S d BD x y x y -=⋅⋅⋅=⋅+=+. 12分21.22．解：（Ⅰ）连接BD ，因为D 为弧BC 的中点， 所以BD DC =．因为E 为BC 的中点，所以DE BC ⊥． 因为AC 为圆的直径，所以90ABC ∠=︒， 所以//AB DE ． …5分 （Ⅱ）因为D 为弧BC 的中点，所以BAD DAC ∠=∠，又BAD DCB ∠=∠,则BCD DAC ∠=∠．又因为AD DC ⊥，DE CE ⊥，所以DAC ∆∽ECD ∆． 所以AC ADCD CE=，AD CD AC CE ⋅=⋅,2AD CD AC BC ∴⋅=⋅. …10分24.（1）因为m a x ≤-所以m a x m a +≤≤-3,251==∴⎩⎨⎧=+-=-m a m a m a -------------5分 （2）2=a 时等价于x t x ≥+-2 当20,2,2<≤≥+-≥t x t x x 所以舍去 当,220,2,20+≤≤∴≥+-<≤t x x t x x 成立 当x t x x -≥+-<2,0成立 所以，原不等式解集是⎥⎦⎤⎝⎛+∞-22,t -----------10分ABCD EO。

东北育才学校高中部2020届高三第八次模拟考试数学试题（文科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、 选择题（共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题列出的四个选项中，选出符 合题目要求的一项.）1.已知集合2{|2}A x y x ==-，集合2{|2}B y y x ==-，则有A.A B =B.A B =∅IC.A B A =UD.A B A =I 2.若复数满足(2)5i z +=，则在复平面内与复数z 对应的点Z 位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.“θ为第一或第四象限角”是“cos 0θ>”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度. 某地区在2015年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%，2015年开始全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占2019年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：A.75B.4835C.4735D.37285.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，()4123S a a =+，则公比q 的值为A.26.在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，若34AF xAB AD =+u u u r u u u r u u u r ，则x = A.34 B.23 C.12 D.147.人们通常以分贝（符号是dB ）为单位来表示声音强度的等级，其中0dB 是人能听到的等级最低的声音. 一般地，若强度为x 的声音对应的等级为()f x dB ，则有12()10lg110x f x -=⨯，则90dB 的声音与60dB 的声音强度之比 A.100 B.1000 C.1100 D.110008.如图，在以下四个正方体中，使得直线与平面垂直的个数是① ② ③ ④A.1B.2C.3D.49.已知圆2216x y +=与抛物线22(0)y px p =>的准线l 交于A ，B两点，且||AB =P 为该抛物线上一点，PQ l ⊥，垂足为点Q ，点F 为该抛物线的焦点.若PQF ∆是等边三角形，则PQF ∆的面积为A. B.4C. D.210.已知函数1,0()ln ,0ax x f x x x +<⎧=⎨>⎩，若函数()f x 的图象上存在关于坐标原点对称的点，则实数a 的取值范围是A.(,0]-∞B.(,1]-∞C.1[,0]2- D.1(,1]2ABCDE。