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第9章 偏微分方程的差分方法含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。
由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。
偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。
差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。
本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。
9.1椭圆型方程边值问题的差分方法9.1.1 差分方程的建立最典型的椭圆型方程是Poisson （泊松）方程G y x y x f yux u u ∈=∂∂+∂∂-≡∆-),(),,()(2222 （9.1）G 是x ,y 平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。
当f (x ,y )≡0时，方程（9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。
椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件第一边值条件 ),(y x u α=Γ （9.2） 第二边值条件),(y x nuβ=∂∂Γ （9.3） 第三边值条件 ),()(y x ku nuγ=+∂∂Γ （9.4） 这里，n 表示Γ上单位外法向，α(x,y ),β(x,y ),γ(x,y )和k (x,y )都是已知的函数，k (x,y )≥0。
满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u (x ,y )称为椭圆型方程边值问题的解。
用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u (x ,y )在区域G 的一些离散节点（x i ，y i ）上的近似值u i ,j ≈(x i ，y i ）。
差分方法的基本思想是，对求解区域G 做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。
设G ={0<x <a , 0<y <b }为矩形区域，在x ,y 平面上用两组平行直线x =ih 1, i =0,1,…,N 1, h 1=a /N 1 y =jh 2, j =0,1,…,N 2, h 2=b /N 2将G 剖分为网格区域，见图9-1。
第二讲有限差分法基本原理一般的流体控制方程都是非线性的偏微分方程。
在绝大多数情况下，这些偏微分 方程无法得到精确解；而CFD 就是通过采用各种计算方法得到这些偏微分方程的数值 解，或称近似解。
当然这些近似解应该满足一定的精度。
目前，主要采用的CFD 方法是有限差分法和有限体积法。
本讲主要介绍有限差分法，它也是下一讲中的有限体积 法的基础［1］。
有限差分法求解流动控制方程的基本过程是：首先将求解区域划分为差分网格， 用有限个网格点代替连续的求解域，将待求解的流动变量(如密度、速度等)存储在 各网格点上，并将偏微分方程中的微分项用相应的差商代替，从而将偏微分方程转化 为代数形式的差分方程，得到含有离散点上的有限个未知变量的差分方程组。
求出该 差分方程组的解，也就得到了网格点上流动变量的数值解。
2.1差分和逼近误差由于通常数字计算机只能执行算术运算和逻辑运算，因此就需要一种用算术运算来处理函数微分运算的数值方法。
而有限差分法就是用离散网格点上的函数值来近似 导数的一种方法。
设有x 的解析函数y 二f(x)，从微分学知道函数y 对x 的导数为dy 、dx 分别是函数及自变量的微分，dy/dx 是函数对自变量的导数，又称微商。
相应地，上式中的 “、厶y 分别称为自变量及函数的差分，cy/^x 为函数对自变量的差 商。
在导数的定义中是以任意方式逼近于零的，因而.収是可正可负的。
在差分方 法中，“X 总是取某一小的正数。
这样一来，与微分对应的差分可以有三种形式：向前差分 二y = f (x 二x) _ f (x) 向后差分 y = f (x) _ f (x 中心差分11y 二 f (xx) _ f (xx)2 2上面谈的是一阶导数，对应的称为一阶差分。
对一阶差分再作一阶差分，就得到二阶差分，记为2y 。
以前向差分为例，有2A y =也(也y)=.'■： f (x _x ) - f (x) 1dx x —° x f(x：x) - f (x)Z x (2-1)=.f (x - x) - ■ :f(x) (2-2)-f (x 2 = x) 一f (x =x) I - If (x _x) - f (x) 1=f (x 2L X) -2 f (x =x) f (x) 依次类推，任何阶差分都可以由低一阶再作一阶差分得到。
第三章 有限差分法函数()f x ，x 为定义在区间[]a b ,上的连续变 量。
将区间[]a b ,等分成n 份，令()h b a n =-称为 步长，x 在这些离散点处的取值为x a ih i =+ ()i n =01,,,称为节点。
函数()f x 在这些节点处的差值()()()()()()f x h f x f x f x h f x h f x h i i i i i i +---+--⎧⎨⎪⎩⎪(5-1)分别称为一阶向前、向后和中心差分，可以用它 们作为函数()f x 在x i 处的微分近似值。
这些差分 与相应x 区间的比值()()[]()()[]()()[]1112h f x h f x h f x f x h h f x h f x h i i i i i i +---+--⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪ (5-2) 分别称为一阶向前、向后和中心差商，可以用它 们作为函数()f x 在x i 处的导数近似值。
完全类似地可以定义高阶差商，例如常用的二阶中心差商()()()[]122hf x h f x f x h i i i +-+- (5-3)可以作为函数()f x 在x i 处的二阶导数近似值。
§3.1 常微分方程初值问题的差分解法考虑电学中的一个问题：如图5-1。
研究 电容器上的电荷随时间的变化规律。
图5-1 RC 放电回路这个问题对应的微分方程及其定解条件为：d d Q tQ RC QQ t =-=⎧⎨⎪⎩⎪=00(5-4) 这是一阶微分方程的初值问题，它的解析解为 Q Q e t RC =-0 (5-5)一、欧拉(Euler )折线法求解下列普遍形式的一阶微分方程的初值 问题：()[]()'=∈=⎧⎨⎪⎩⎪y f x y x a b y a y ,,0(5-6) 首先，将区间[]a b ,等分n 份，取值a x x xb n =<<<=01 ，步长h x x i i =-+1。
matlab 曲率-回复曲率（Curvature）是解析几何学中的一个重要概念，用于描述曲线或曲面的弯曲程度。
在数学和物理学领域，曲率广泛应用于描述物体形状的变化，找到最优曲线路径以及理解空间的几何特性。
而在Matlab中，我们可以通过简单的代码和函数计算曲线或曲面的曲率，从而深入研究和分析形状变化。
本文将以Matlab中的曲率计算为主题，逐步介绍曲率的定义、曲率的计算方法以及在实际应用中的一些例子。
希望通过本文的阐述能够帮助读者理解曲率概念，并且能够灵活运用Matlab进行相关计算和分析。
首先，我们来介绍曲线曲率的计算方法。
在Matlab中，可以使用多种方法计算曲线的曲率，其中最常见的是使用差分法（Difference Method）。
差分法是通过计算曲线上邻近点之间的切线斜率来估计曲率。
计算公式如下：curvature = abs(diff(atan2(diff(y), diff(x))) ./ diff(s));其中，x和y分别表示曲线的坐标点，s表示曲线上点之间的弧长。
这个计算公式基于微积分中的切线概念，通过求取相邻切线之间的夹角来估计曲线的弯曲程度。
值得注意的是，这个方法只适用于平面曲线。
对于空间曲线或曲面，我们需要进一步考虑曲线或曲面在三维空间中的曲率。
在这种情况下，我们可以使用Matlab中的柯西-费尔马方程（Cauchy-Fuerm equation）进行曲面曲率的计算。
柯西-费尔马方程是描述曲面贴合性的一组方程，可以用来计算切线曲率和主曲率。
对于曲面上的一点P(x,y,z)，曲率向量k可以通过下述方程计算得到：k = cross(dFdu, dFdv) / norm(cross(dFdu, dFdv));其中，dFdu和dFdv分别表示曲面在参数空间中对参数u和v的偏导数，cross表示向量的叉积，norm表示向量的模。
通过计算这个曲率向量，我们可以得到曲面的切线曲率和主曲率，从而进一步分析曲面的几何特性。
差分编程算法
差分编程算法是一种用于解决问题的常见算法思想，它通过计算相邻元素之间的差异来获取有用的信息。
差分算法常被用于处理序列数据，如时间序列、图像处理等领域。
下面我将通过一个具体的例子来说明差分编程算法的应用。
假设有一组表示每天气温的序列数据，我们想要找出连续五天中气温增加最快的那一天。
我们可以使用差分编程算法来解决这个问题。
我们需要计算相邻两天的气温差异。
假设气温序列数据为[20, 18, 22, 25, 28, 26, 30, 32]，我们可以得到差分序列[-2, 4, 3, 3, -2, 4, 2]。
然后，我们可以找出差分序列中的最大值所对应的索引，即找出气温增加最快的那一天。
在这个例子中，差分序列中的最大值为4，对应的索引为5。
因此，第六天的气温增加最快。
通过差分编程算法，我们可以快速找到气温增加最快的那一天。
这个算法的时间复杂度为O(n)，其中n为序列数据的长度。
差分编程算法在处理序列数据的增减趋势分析、峰值检测等问题上具有广泛的应用。
总结一下，差分编程算法是一种用于解决问题的常见算法思想，它通过计算相邻元素之间的差异来获取有用的信息。
在处理序列数据的增减趋势分析、峰值检测等问题上具有广泛的应用。
希望通过这
个例子能够让你对差分编程算法有一个初步的了解。
差分法（点差法）在圆锥曲线中的应用圆锥曲线综合题是每年高考必考的题目，这些题目的解法灵活多变，其中涉及圆锥曲线中点弦的有关问题，用差分法求解，具有构思精巧，简便易行的优点，现举例说明如下： （一）在椭圆中的应用：()()()()()()()()222211 222212121212121212121122 11 1122,,mx ny mx ny mx ny m x x x x n y y y y y y x x y y AB AB x x AB A x y B x y +=+=+=+-++-=-++-⎧⎪⎨⎪⎩⎛⎫⎪⎝⎭设是椭圆上不重合的两点，则，， 两式相减得是直线的斜率，，是线段的中点坐标，所以1式可以解决与椭圆弦的斜率及中点有关的问题，此法称为代点作差法，简称，点差法。
()221 1625400 x y +=例：求以椭圆内一点P 3，1为中点的弦AB 所在的直线方程。
()()()()()()112222221122221212121212121212,, A B 1625400 16254001625400250486 2A x y B x y x y x y x y x x x x y y y y y y x x y y x x +=⎧+=⎪⎨+=⎪⎩+-++-=-+=+=∴=-- 解：设弦AB 的两个端点的坐标分别为，、两点在椭圆上，则，两式相减得 16由题知，，()12AB 12,2548:3, 48251690.25y y l x x y x x -∴=--+-=-即（二）在双曲线中的应用：在处理有关弦的问题时,也可以应用”点差法”。
但特别需要注意的是椭圆是封闭型曲线，而双曲线是开放型曲线，求解后应检查其存在性，否则容易产生增根。
())()()2211222: 1 ,6 13,0 , 5.y x A x y B C x y F AC -=例在双曲线的一支上有不同的三点，，，12与焦点的距离成等差数列证明线段的垂直平分线经过某一点,并求出该点坐标.分析：与椭圆的焦半径相同，双曲线一支上的三点与一个焦点形成的焦半径成等差数列的充要条件是这三个点的横坐标（或纵坐标）成AP 。
★【速算技巧五：差分法】李委明提示：“差分法”是在比较两个分数大小时，用“直除法”或者“化同法”等其他速算方式难以解决时可以采取的一种速算方式。
适用形式：两个分数作比较时，若其中一个分数的分子与分母都比另外一个分数的分子与分母分别仅仅大一点，这时候使用“直除法”、“化同法”经常很难比较出大小关系，而使用“差分法”却可以很好地解决这样的问题。
基础定义：在满足“适用形式”的两个分数中，我们定义分子与分母都比较大的分数叫“大分数”，分子与分母都比较小的分数叫“小分数”，而这两个分数的分子、分母分别做差得到的新的分数我们定义为“差分数”。
例如：324/53.1与313/51.7比较大小，其中324/53.1就是“大分数”，313/51.7就是“小分数”，而324-313/53.1-51.7=11/1.4就是“差分数”。
“差分法”使用基本准则——“差分数．．．：．．．”作比较．．．”与．“小分数．．“大分数．．．”代替1、若差分数比小分数大，则大分数比小分数大；2、若差分数比小分数小，则大分数比小分数小；3、若差分数与小分数相等，则大分数与小分数相等。
比如上文中就是“11/1.4代替324/53.1与313/51.7作比较”，因为11/1.4＞313/51.7（可以通过“直除法”或者“化同法”简单得到），所以324/53.1＞313/51.7。
特别注意：一、“差分法”本身是一种“精算法”而非“估算法”，得出来的大小关系是精确的关系而非粗略的关系；二、“差分法”与“化同法”经常联系在一起使用，“化同法紧接差分法”与“差分法紧接化同法”是资料分析速算当中经常遇到的两种情形。
三、“差分法”得到“差分数”与“小分数”做比较的时候，还经常需要用到“直除法”。
四、如果两个分数相隔非常近，我们甚至需要反复运用两次“差分法”，这种情况相对比较复杂，但如果运用熟练，同样可以大幅度简化计算。
【例1】比较7/4和9/5的大小【解析】运用“差分法”来比较这两个分数的大小关系：大分数小分数9/5 7/49－7/5－1=2/1(差分数)根据：差分数=2/1＞7/4=小分数因此：大分数=9/5＞7/4=小分数李委明提示：使用“差分法”的时候，牢记将“差分数”写在“大分数”的一侧，因为它代替的是“大分数”，然后再跟“小分数”做比较。
差分运算方法差分运算方法是一种常用的数学工具，可用于求解差分方程或对数据序列进行分析和预测。
本文将详细介绍差分运算方法的原理、步骤以及应用范围。
通过学习本文，读者将能够掌握差分运算方法的基本概念和使用技巧。
差分运算方法是通过计算数据序列的差分值来实现的。
一阶差分表示相邻两个数据之间的差值，二阶差分表示一阶差分的差值。
差分运算方法可以将原始数据转化为差分序列，从而揭示数据序列的变化趋势和规律。
1. 收集数据：首先，我们需要收集相关的原始数据。
这些数据可以是时间序列数据、统计数据或其他有规律的数据。
2. 计算一阶差分：将收集到的原始数据按照时间先后顺序排列，然后计算相邻两个数据之间的差值。
具体计算方法为当前数据减去前一个数据。
得到一阶差分序列。
3. 计算二阶差分：将一阶差分序列按照相同的方法计算得到二阶差分序列。
4. 分析差分序列：通过对差分序列的统计分析、图表展示等方法，可以识别出其中的规律、趋势和异常点。
5. 预测或还原原始数据：根据对差分序列的分析结果，可以进行数据的预测或还原。
预测时可以使用差分序列的规律进行推断，还原时则利用差分序列与原始数据之间的关系进行计算。
三、差分运算方法的应用范围差分运算方法广泛应用于各个领域，包括但不限于以下几个方面：1. 经济学：差分运算方法可用于经济数据的趋势分析和预测，如GDP增速、股票价格变化等。
2. 自然科学：差分运算方法可用于分析自然现象，如气象数据的周期性变化、地震活动的趋势等。
3. 信号处理：差分运算方法可用于信号处理领域，如音频、视频的差分编码等。
4. 金融工程：差分运算方法可用于金融数据的建模和预测，如股票收益率的变化趋势、利率曲线的形态等。
5. 数据挖掘：差分运算方法可用于数据挖掘中的特征提取和异常检测，如时间序列数据的周期性分析、离群点识别等。
差分运算方法是一种实用的数学工具，能够帮助我们从数据中找到有用的信息和规律。
通过计算一阶差分和二阶差分，我们可以获得差分序列，进而进行数据的分析和预测。
