(完整版)曲线积分与曲面积分(解题方法归纳)

曲线积分与曲面积分常见题型攻略以心同学整理一、计算第一类曲线积分步骤：（一）平面曲线积分t t g y t x L ,)()(:1.化简（1）代入化简【常用在k t g t f )](),([ （常数）的情形】Lds y x f ),(Lds t g t f )](),([ kskds L其中s 为积分曲线L 的长度。

（2）利用奇偶对称性化简①若积分曲线L 关于坐标轴y 轴对称，则有Lds y x f ),(1),(,),(2),(0L x y x f ds y x f x y x f 的偶函数是的奇函数是，其中1L 为y 轴右边部分。

②若积分曲线段L 关于坐标轴x 轴对称，则有Lds y x f ),(1),(,),(2),(0L y y x f ds y x f y y x f 的偶函数是的奇函数是，其中1L 为x 轴上边部分。

（3）利用轮换对称性化简若积分曲线L 中把x 与y 互换，积分曲线不变，则有Lds y x f ),( Ldsx y f ),(2.确定积分曲线L 的参数式方程t t g y t x L ,)()(:注：积分曲线一般以)(x f y 或)(y g x 的形式出现，此时参数式为：b x a x f y x x L,)(:，dy c y y y g x L,)(:3.套公式（一代二换三定限）化为定积分Lds y x f ),(dtt g t t g t f )()()](),([22注意：上限 大于下限 4.计算定积分例1【2017-2018期末】设L 是直线)40(1243 x y x 的一段，则Lds y x )43(60；解：Lds y x )43( Lds12代入化简6012 s 。

例2【2018-2019期末】计算Lds x y)(2，其中L 为圆周422 y x .解：法一：L 的参数方程为sin 2cos 2y x （ 20 ），d d ds 2)cos 2()sin 2(22 ，于是Lds x y )(22022)cos 2sin 4(d 0sin 8202d822148 .法二：由对称性有Lds y 2 Lds x 2（轮换对称），0 Lxds （奇偶对称）所以Lds x y )(2 Lds y 2L ds y x )(2122 Lds 421（代入化简）8422 Lds .例3【2019-2020期末】计算曲线积分Lds y xy x )(22，其中L 为平面区域}0,1|),{(22 y y x y x D 的边界曲线。

1 / 13第十一章解题方法归纳一、曲线积分与曲面积分的计算方法1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下：(1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分利用性质计算曲线积分和曲面积分. .(2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分 (3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分. (4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分. . (5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分. . (6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分. . 2. 在具体计算时，常用到如下一些结论： （1）若积分曲线L 关于y 轴对称，则轴对称，则10 (,)2(,)L L f x f x y ds f x y dsf x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为奇函数对为偶函数 10 (,)2(,)L L P x P x y dx P x y dy P x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为奇函数对为偶函数10 (,)2(,)LL Q x Q x y dy Q x y dy Q x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为偶函数对为奇函数 其中1L 是L 在右半平面部分.若积分曲线L 关于x 轴对称，则轴对称，则10 (,)2(,)L L f y f x y ds f x y dsf y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为奇函数对为偶函数 10 (,)2(,)L L P y P x y dx P x y dy P y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为偶函数对为奇函数10 (,)2(,)L L Q y Q x y dy Q x y dy Q y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为奇函数对为偶函数其中1L 是L 在上半平面部分.（2）若空间积分曲线L 关于平面=y x 对称，则对称，则 ()()=⎰⎰L L f x ds f y ds .（3）若积分曲面∑关于xOy 面对称，则面对称，则10 (,,)2(,,)f z f x y z dS R x y z dS f z ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为奇函数对为偶函数 10 (,,)2(,,)R z R x y z dxdy R x y z dxdy R z ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在xOy 面上方部分.若积分曲面∑关于yOz 面对称，则面对称，则10 (,,)2(,,)f x f x y z dS R x y z dS f x ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为奇函数对为偶函数 10 (,,)2(,,)P x P x y z dydz P x y z dydz P x ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在yOz 面前方部分.若积分曲面∑关于zOx 面对称，则面对称，则10 (,,)2(,,)f y f x y z dS R x y z dS f y ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为奇函数对为偶函数 10 (,,)2(,,)Q y Q x y z dzdx Q x y z dzdx Q y ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为偶函数对为奇函数其中1∑是∑在zOx 面右方部分.（4）若曲线弧():()()αβ=⎧≤≤⎨=⎩x x t L t y y t ，则，则 []22(,)(),()()()()βααβ''=+<⎰⎰Lf x y ds f x t y t x t y t dt若曲线弧:()()θαθβ=≤≤L r r （极坐标），则，则[]22(,)()cos ,()sin ()()βαθθθθθθθ'=+⎰⎰Lf x y ds f r r r r d若空间曲线弧():()()()αβ=⎧⎪Γ=≤≤⎨⎪=⎩x x t y y t t z z t ，则，则[]222(,,)(),(),()()()()()βααβΓ'''=++<⎰⎰f x y z ds f x t y t z t x t y t z t dt （5）若有向曲线弧():(:)()αβ=⎧→⎨=⎩x x t L t y y t ，则，则[][]{}(,)(,)(),()()(),()()βα''+=+⎰⎰LP x y dx Q x y dy P x t y t x t Q x t y t y t dt若空间有向曲线弧():()(:)()αβ=⎧⎪Γ=→⎨⎪=⎩x x t y y t t z z t ，则，则(,,)(,,)(,,)Γ++⎰P x y z dx Q x y z dy R x y z dz[][][]{}(),(),()()(),(),()()(),(),()()βα'''=++⎰P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dt（6）若曲面:(,)((,))xy z z x y x y D ∑=∈，则，则[]22(,,),,(,)1(,)(,)xyx y D f x y z dS f x y z x y z x y z x y dxdy ∑''=++⎰⎰⎰⎰ 其中xy D 为曲面∑在xOy 面上的投影域.若曲面:(,)((,))yz x x y z y z D ∑=∈，则，则[]22(,,)(,),,1(,)(,)yzy z D f x y z dS f x y z y z x y z x y z dydz ∑''=++⎰⎰⎰⎰其中yz D 为曲面∑在yOz 面上的投影域.若曲面:(,)((,))zx y y x z x z D ∑=∈，则，则[]22(,,),(,),1(,)(,)zxz x D f x y z dS f x y x z z y y z y y z dzdx ∑''=++⎰⎰⎰⎰其中zx D 为曲面∑在zOx 面上的投影域.（7）若有向曲面:(,)z z x y ∑=，则，则(,,)[,,(,)]xyD R x y z dxdy R x y z x y dxdy ∑=±⎰⎰⎰⎰（上“+”下“-”） 其中xy D 为∑在xOy 面上的投影区域.若有向曲面:(,)x x y z ∑=，则，则(,,)[(,),,]yzD P x y z dydz P x y z y z dydz ∑=±⎰⎰⎰⎰（前“+”后“-”） 其中yz D 为∑在yOz 面上的投影区域.若有向曲面:(,)y y x z ∑=，则，则(,,)[,(,),]zxD Q x y z dzdx Q x y x z z dzdx ∑=±⎰⎰⎰⎰（右“+”左“-”） 其中zx D 为∑在zOx 面上的投影区域.（8）d d +⎰⎰L P x Q y 与路径无关d d 0⇔+=⎰⎰Ñc P x Q y （c 为D 内任一闭曲线）内任一闭曲线）(,)⇔=+du x y Pdx Qdy （存在(,)u x y ） ∂∂⇔=∂∂P Q y x其中D 是单连通区域，(,),(,)P x y Q x y 在D 内有一阶连续偏导数.（9）格林公式）格林公式(,)(,)⎛⎫∂∂+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ÑL DQ P P x y dx Q x y dy dxdy x y 其中L 为有界闭区域D 的边界曲线的正向，(,),(,)P x y Q x y 在D 上具有一阶连续偏导数.（10）高斯公式）高斯公式(,,)(,,)(,,)P Q R P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdydv x y z ∑Ω⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰Ò 或 (cos cos cos )P Q R P Q R dS dv x y z αβγ∑Ω⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰Ò 其中∑为空间有界闭区域Ω的边界曲面的外侧，(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数，cos ,cos ,cos αβγ为曲面∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦.（11）斯托克斯公式）斯托克斯公式dydz dzdx dxdyPdx Qdy Rdz x y z P Q RΓ∑∂∂∂++=∂∂∂⎰⎰⎰Ñ 其中Γ为曲面∑的边界曲线，且Γ的方向与∑的侧（法向量的指向）符合右手螺旋法则，,,P Q R 在包含∑在内的空间区域内有一阶连续偏导数.1.计算曲线积分或曲面积分的步骤：（1）计算曲线积分的步骤：）计算曲线积分的步骤： 1）判定所求曲线积分的类型（对弧长的曲线积分或对坐标的曲线积分）； 2）对弧长的曲线积分，一般将其化为定积分直接计算；）对弧长的曲线积分，一般将其化为定积分直接计算；对坐标的曲线积分：对坐标的曲线积分：① 判断积分是否与路径无关，若积分与路径无关，重新选取特殊路径积分； ② 判断是否满足或添加辅助线后满足格林公式的条件，判断是否满足或添加辅助线后满足格林公式的条件，若满足条件，若满足条件，利用格林公式计算（添加的辅助线要减掉）；③ 将其化为定积分直接计算.④ 对空间曲线上的曲线积分，判断是否满足斯托克斯公式的条件，若满足条件，利用斯托克斯公式计算；若不满足，将其化为定积分直接计算.（2）计算曲面积分的步骤：）计算曲面积分的步骤：1）判定所求曲线积分的类型（对面积的曲面积分或对坐标的曲面积分）； 2）对面积的曲面积分，一般将其化为二重积分直接计算；）对面积的曲面积分，一般将其化为二重积分直接计算；对坐标的曲面积分：对坐标的曲面积分：① 判断是否满足或添加辅助面后满足高斯公式的条件，若满足条件，利用高斯公式计算（添加的辅助面要减掉）；② 将其投影到相应的坐标面上，化为二重积分直接计算. 例1 计算曲线积分2+=++⎰Ldx dyI x y x，其中L 为1+=x y 取逆时针方向. 解 2222111++===++++++⎰⎰⎰⎰LL L L dx dy dx dy dx dy I x y x x x x由于积分曲线L 关于x 轴、y 轴均对称，被积函数211==+P Q x对x 、y 均为偶函数，因此函数，因此220,011==++⎰⎰LLdx dy xx故 20+==++⎰L dx dyI x y x 『方法技巧』『方法技巧』 对坐标的曲线积分的对称性与对弧长的曲线积分对称性不对坐标的曲线积分的对称性与对弧长的曲线积分对称性不同，记清楚后再使用同，记清楚后再使用..事实上，本题还可应用格林公式计算事实上，本题还可应用格林公式计算..例 2 计算曲面积分2()∑=+++⎰⎰I ax by cz n dS ，其中∑为球面2222++=x y z R .解 2()∑=+++⎰⎰I ax by cz n dS 2222222(222222)∑=+++++++++⎰⎰a x b y c z n abxy acxz bcyz anx bny cnz dS由积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性知由积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性知0∑∑∑∑∑∑======⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xydS xzdS yzdS xdS ydS zdS又由轮换对称性知又由轮换对称性知222∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰x dS y dS z dS故2222222∑∑∑∑=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰I a x dS by dS cz dS ndS22222()∑∑=+++⎰⎰⎰⎰a b c x dS ndS22222222()43π∑++=+++⎰⎰a b c x y z dS R n 22222222222244[()]33ππ∑++=+=+++⎰⎰a b c R R dS R n R a b c n 『方法技巧』 对面积的曲面积分的对称性与对坐标的曲面积分的对称性不对面积的曲面积分的对称性与对坐标的曲面积分的对称性不同，理解起来更容易些同，理解起来更容易些..若碰到积分曲面是对称曲面，做题时可先考虑一下对称性.例3 计算曲面积分222()∑++⎰⎰Òx y z dS ，其中∑为球面2222++=x y z ax .解 2222()22()2∑∑∑∑++==-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰乙乙x y z dS axdS a x a dS a dS222402248ππ∑=+==⎰⎰g Òa dS a a a 『方法技巧』 积分曲面积分曲面∑是关于0-=x a 对称的，被积函数-x a 是-x a 的奇函数，因此()0∑-=⎰⎰Òx a dS例4 计算曲线积分2222-+⎰ÑLxy dy x ydxx y，其中L 为圆周222(0)+=>x y a a 的逆时针方向 解法1 直接计算. 将积分曲线L 表示为参数方程形式表示为参数方程形式cos :(:02)sin θθπθ=⎧→⎨=⎩x a L y a 代入被积函数中得代入被积函数中得22232222[cos sin cos cos sin (sin )]πθθθθθθθ-=--+⎰⎰ÑLxy dy x ydxad x y2232232202sin cos 2sin (1sin )ππθθθθθθ==-⎰⎰a d ad324332013118(sinsin )8224222πππθθθπ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰g g g ad a a解法2 利用格林公式利用格林公式2222222211()-=-=++⎰⎰⎰⎰蜒L L Dxy dy x ydx xy dy x ydx x y dxdy aa x y 其中222:+≤D x y a ，故，故2222322112πθρρρπ-==+⎰⎰⎰g ÑaLxy dy x ydxd d a ax y『方法技巧』『方法技巧』 本题解法本题解法1用到了定积分的积分公式：用到了定积分的积分公式：213223sin 13312422πθθπ--⎧⎪⎪-=⎨--⎪⎪-⎩⎰g g Lg g g Lg g g n n n n n n d n n n n n 为奇数为偶数 解法2中，一定要先将积分曲线222+=x y a 代入被积函数的分母中，才能应用格林公式，否则不满足,P Q 在D 内有一阶连续偏导数的条件.例5 计算曲线积分22()()+--+⎰Lx y dx x y dyx y ，其中L 为沿cos π=y x 由点由点(,)ππ-A 到点(,)ππ--B 的曲线弧.解 直接计算比较困难. 由于由于 2222,+-+==++x yx y P Q x y x y ，222222()∂--∂==∂+∂P x y xy Q y x y x 因此在不包含原点(0,0)O 的单连通区域内，积分与路径无关.取圆周2222π+=x y 上从(,)ππ-A 到点(,)ππ--B 的弧段'L 代替原弧段L ，其参数方程为：2cos 5:(:)442sin πθππθπθ⎧=⎪'-→⎨=⎪⎩x L y ，代入被积函数中得，代入被积函数中得222()()1()()2π'+--=+--+⎰⎰L L x y dx x y dy x y dx x y dy x y544[(cos sin )(sin )(cos sin )cos ]ππθθθθθθθ-=+---⎰d54432ππθπ-=-=-⎰d『方法技巧』『方法技巧』 本题的关键是选取积分弧段本题的关键是选取积分弧段'L ，既要保证'L 简单，又要保证不经过坐标原点.例6 计算曲面积分∑++⎰⎰xdydz ydzdx zdxdy ，其中∑为1++=x y z 的法向量与各坐标轴正向夹锐角的侧面解 由于曲面∑具有轮换对称性，∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰xdydz ydzdx zdxdy ，∑投影到xOy 面的区域{}(,)1=+≤xy D x y x y ，故，故233(1)∑∑∑++==--⎰⎰⎰⎰⎰⎰xdydz ydzdx zdxdy zdxdy x y dxdy21(1)22003(1)3(1)-=--=--⎰⎰⎰⎰xyx D x y dxdy dx x y dy 1401(1)2=-⎰x dx 04111(1)30=---=⎰t x t t dt『方法技巧』『方法技巧』 由于积分曲面由于积分曲面∑具有轮换对称性，因此可以将,dydz dzdx 直接转换为dxdy ，∑只要投影到xOy 面即可.例7 计算曲面积分222()()()∑-+-+-⎰⎰x y dydz y z dzdx z x dxdy ，其中∑为锥面222=+z x y 在0≤≤z h 部分的上侧.解 利用高斯公式. 添加辅助面2221:()∑=+≤z h x y h ，取下侧，则，取下侧，则222()()()∑-+-+-⎰⎰x y dydz y z dzdx z x dxdy1222()()()∑+∑=-+-+-⎰⎰x ydydz y z dzdx z x dxdy1222()()()∑--+-+-⎰⎰x y dydz y z dzdx z x dxdy 123()Ω∑=---⎰⎰⎰⎰⎰dxdydz h x dxdy 23()Ω=-+-⎰⎰⎰⎰⎰xyD dxdydz h x dxdy其中Ω为∑和1∑围成的空间圆锥区域，xy D 为∑投影到xOy 面的区域，即{}222(,)=+≤xy D x y x y h ，由xy D 的轮换对称性，有的轮换对称性，有2221()2=+⎰⎰⎰⎰xyxyD D x dxdy x y dxdy 故 222()()()∑-+-+-⎰⎰x y dydz y z dzdx z x dxdy222113()32π=-+-+⎰⎰⎰⎰g g xyxyD D h h h dxdy x y dxdy23234001124πππθρρπ=-+-=-⎰⎰g hh h h d d h『方法技巧』『方法技巧』 添加辅助面时，既要满足封闭性，又要满足对侧的要求添加辅助面时，既要满足封闭性，又要满足对侧的要求添加辅助面时，既要满足封闭性，又要满足对侧的要求..本题由于积分锥面取上侧（内侧），因此添加的平面要取下侧，这样才能保证封闭曲面取内侧，使用高斯公式转化为三重积分时，前面要添加负号例8 计算曲线积分()()()-+-+-⎰ÑLz y dx x z dy x y dz ，其中221:2⎧+=⎨-+=⎩x y L x y z 从z 轴的正向往负向看，L 的方向是顺时针方向.解 应用斯托克斯公式计算. 令22:2(1)∑-+=+≤x y z x y 取下侧，∑在xOy 面的投影区域为{}22(,)1=+≤xy D x y x y ，则，则()()()∑∂∂∂-+-+-=∂∂∂---⎰⎰⎰ÑL dydzdzdx dxdy z y dx x z dy x y dz x y z z yx zx y222π∑==-=-⎰⎰⎰⎰xyD dxdy dxdy『方法技巧』 本题用斯托克斯公式计算比直接写出曲线本题用斯托克斯公式计算比直接写出曲线L 的参数方程代入要简单，所有应用斯托克斯公式的题目，曲面∑的选取都是关键，∑既要简单，又要满足斯托克斯的条件，需要大家多加练习.二、曲线积分与曲面积分的物理应用1.曲线积分与曲面积分的物理应用归纳如下： (1) 曲线或曲面形物体的质量曲线或曲面形物体的质量. . (2) 曲线或曲面的质心（形心）曲线或曲面的质心（形心）. . (3) 曲线或曲面的转动惯量. (4) 变力沿曲线所作的功. (5) 矢量场沿有向曲面的通量. (6) 散度和旋度.2. 在具体计算时，常用到如下一些结论：（1）平面曲线形物体）平面曲线形物体 (,)ρ=⎰LM x y ds空间曲线形物体空间曲线形物体 (,,)ρ=⎰LM x y z ds 曲面形构件曲面形构件 (,,)ρ∑=⎰⎰M x y z dS（2） 质心坐标质心坐标平面曲线形物体的质心坐标：平面曲线形物体的质心坐标： (,)(,),(,)(,)ρρρρ==⎰⎰⎰⎰LLLLx x y dsy x y dsx y x y dsx y ds空间曲线形物体的质心坐标：空间曲线形物体的质心坐标：(,,)(,,)(,,),,(,)(,)(,)ρρρρρρ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰LLLLLLx x y z dsy x y z dsz x y z dsx y z x y dsx y dsx y ds曲面形物体的质心坐标：曲面形物体的质心坐标：(,,)(,,)(,,),,(,,)(,,)(,,)ρρρρρρ∑∑∑∑∑∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x y z dSy x y z dSz x y z dSx y z x y z dSx y z dSx y z dS当密度均匀时，质心也称为形心.（3） 转动惯量转动惯量平面曲线形物体的转动惯量：22(,),(,)ρρ==⎰⎰x y L L I y x y ds I x x y ds 空间曲线形物体的转动惯量：空间曲线形物体的转动惯量：2222()(,,),()(,,)ρρ=+=+⎰⎰x y L LI y z x y z ds I z x x y z ds22()(,,)ρ=+⎰z LI x y x y z ds11 / 13曲面形物体的转动惯量：曲面形物体的转动惯量： 2222()(,,),()(,,)ρρ∑∑=+=+⎰⎰⎰⎰x y I y z x y z dS I z x x y z dS22()(,,)ρ∑=+⎰⎰zI x y x y z dS其中(,)ρx y 和(,,)ρx y z 分别为平面物体的密度和空间物体的密度.（4） 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功平面上质点在力F (,)=P x y i +(,)Q x y j 作用下，沿有向曲线弧L 从A 点运动到B 点，F 所做的功所做的功»(,)(,)=+⎰ABW P x y dx Q x y dy 空间质点在力F (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 作用下，沿有向曲线弧L 从A 点运动到B 点，F 所做的功所做的功»(,,)(,,)(,,)=++⎰ABW P x y z dx Q x y z dy R x y z dz （2） 矢量场沿有向曲面的通量矢量场沿有向曲面的通量矢量场A (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 通过有向曲面∑指定侧的通量(,,)(,,)(,,)∑Φ=++⎰⎰P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy（3） 散度和旋度散度和旋度矢量场A (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 的散度的散度div A ∂∂∂=++∂∂∂P Q R x y z 矢量场A (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 的旋度的旋度rot A ()∂∂=-∂∂R Q y z i ()∂∂+-∂∂P R z xj +()∂∂-∂∂Q P x y k xy z P Q R∂∂∂=∂∂∂ 1.曲线积分或曲面积分应用题的计算步骤： i j k12 / 13 （1）根据所求物理量，代入相应的公式中；）根据所求物理量，代入相应的公式中；（2）计算曲线积分或曲面积分）计算曲线积分或曲面积分. .例9 设质点在场力F {}2,=-k y x r 的作用下，沿曲线π:cos 2=L y x 由(0,)2πA 移动到(,0)2πB ，求场力所做的功（其中22,=+r x y k 为常数）为常数） 解 积分曲线积分曲线L 如图11.7所示. 场力所做的功为场力所做的功为»(,)(,)=+⎰ABW P x y dx Q x y dy »22=-⎰AB y xk dx dy r r 令22,==-y x P Q r r ，则22224()(0)∂-∂==+≠∂∂P k x y Q x y y r x 即在不含原点的单连通区域内，积分与路径无关. 另取由A 到B 的路径：的路径：1πππ:cos ,sin (:0)222θθθ==→L x y 1022222π(sin cos )d 2πθθθ=-=-+=⎰⎰L y xW k dx dy kk r r 『方法技巧』 本题的关键是另取路径本题的关键是另取路径1L ，一般而言，最简单的路径为折线路径，比如U AO OB ，但不可以选取此路径，，但不可以选取此路径，因为因为,P Q 在原点处不连续. 换句话说，所取路径不能经过坐标原点，当然路径1L 的取法不是唯一的.例10 设密度为1的流体的流速v 2=xz i sin +x k ，曲面∑是由曲线21(12)0⎧⎪=+≤≤⎨=⎪⎩y z z x 饶z 轴旋转而成的旋转曲面，其法向量与z 轴正向的夹角为锐角，求单位时间内流体流向曲面∑正侧的流量Q .解 旋转曲面为旋转曲面为222:1(12)∑+-=≤≤x y z z ，令1∑为平面1=z 在∑内的部分取上侧，2∑为平面2=z 在∑内的部分取下侧，则12∑+∑+∑为封闭曲面的内侧，故(,,)(,,)(,,)∑=++⎰⎰Q P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy 2sin ∑=+⎰⎰xz dydz xdxdy1L A B o y L x 图11.713 / 13 1212222sin sin sin ∑+∑+∑∑∑=+-+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰xz dydz xdxdy xz dydz xdxdy xz dydz xdxdy122sin sin Ω∑∑=---⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰z dxdydz xdxdy xdxdy2222222221125sin sin +≤++≤+≤=--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x y z x y x y z dz dxdy xdxdy xdxdy2221128(1)0015ππ=-+-+=-⎰z z dz 『方法技巧』 本题的关键是写出旋转曲面本题的关键是写出旋转曲面∑的方程，其次考虑封闭曲面的侧，以便应用高斯公式，最后用截痕法计算三重积分，用对称性计算二重积分侧，以便应用高斯公式，最后用截痕法计算三重积分，用对称性计算二重积分. .。

第十三章 曲线积分与曲面积分定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题．但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分.第一节 对弧长的曲线积分一、 对弧长的曲线积分的概念与性质在设计曲线构件时，常常要计算他们的质量，如果构件的线密度为常量，那么这构件的质量就等于它的线密度与长度的乘积. 由于构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样, 因此, 可以认为这构件的线密度(单位长度的质量)是变量, 这样构件的质量就不能直接按下面它的线密度与长度的乘积来计算. 下面考虑如何计算这构件的质量. 设想构件为一条曲线状的物体在平面上的曲线方程为()x f y =，[]b a x ,∈，其上每一点的密度为()y x ,ρ．如图13-1我们可以将物体分为n 段，分点为n M M M ,...,,21, 每一小弧段的长度分别是12,,...,n s s s ∆∆∆．取其中的一小段弧i i M M 1-来分析．在线密度连续变化的情况下, 只要这一小段足够小，就可以用这一小段上的任意一点(),i i ξη的密度(),i i ρξη来近似整个小段的密度．这样就可以得到这一小段的质量近似于(),i i i s ρξη∆．将所有这样的小段质量加起来，就得到了此物体的质量的近似值．即()∑=∆≈ni i i i s y x M 1,ρ．用λ表示n 个小弧段的最大长度. 为了计算M 的精确值, 取上式右端之和当0λ→时的极限，从而得到1lim (,).ni i i i M s λρξη→∞==∆∑即这个极限就是该物体的质量．这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.上述结果是经过分割、求和、取极限等步骤而得到的一种和数得极限，这意味着我们已经得到了又一种类型的积分. 抛开问题的具体含义，一般的来研究这一类型的极限，便引入如下定义：定义 设L 是xoy 面内的一条光滑曲线，函数()y x f ,在L 上有界，用L 上任意插入一点图13-1列n M M M ,...,,21将曲线分为n 个小段. 设第i 段的长度为i s ∆(1,2,,i n =L )，又()i i ηξ,为第i 个小段上任意取定的一点，作乘积()i i i s f ∆ηξ,，并作和()iiini s f ∆∑=ηξ,1，若当各小段的长度λ的最大值趋于零时，此和式的极限存在，称此极限为函数()y x f ,在曲线L 上对弧长的曲线积分, 也称为第一类曲线积分, 记作()⎰L ds y x f ,, 即1(,)lim (,)n i i i Li f x y ds f s λξη→==∆∑⎰,其中()y x f ,叫做被积函数，L 称为积分弧段．当L 是光滑封闭曲线时，记为()⎰Lds y x f ,．类似地，对于三元函数()z y x f ,,在空间的曲线L 上光滑，也可以定义()z y x f ,,在曲线L 上对弧长的曲线积分()⎰Lds z y x f ,,．这样，本节一开始所要求的构件质量就可表示为(,).LM x y ds ρ=⎰由对弧长的曲线积分的定义可以知道，第一类曲线积分具有下面的性质： 性质1（线性性）若,f g 在曲线L 上第一类曲线积分存在，,αβ是常数, 则(,)(,)f x y g x y αβ+在曲线L 上第一类曲线积分也存在，且()()()()(),,,,LLLf x yg x y ds f x y ds g x y ds αβαβ±=±⎰⎰⎰；性质２（对路径的可加性）设曲线L 分成两段12,L L . 如果函数f 在L 上的第一类曲线积分存在，则函数分别在1L 和2L 上的第一类曲线积分也存在. 反之，如果函数f 在1L 和2L 上的第一类曲线积分存在，则函数f 在L 上的第一类曲线积分也存在. 并且下面等式成立1212L L L L fds fds fds +=+⎰⎰⎰．(12L L +表示L )对于三元函数也有类似的性质，这里不再一一列出． 二、 第一类曲线积分的计算定理 设有光滑曲线():,[,].()x t L t y t ϕαβψ=⎧∈⎨=⎩ 即'()t ϕ,'()t ψ连续. 若函数(,)f x y 在L 上连续，则它在L 上的第一类曲线积分存在，且()()()(,,Lf x y ds f t t βαϕψ=⎰⎰证明 如前面定义一样，对L 依次插入121,,...,n M M M -，并设0((),())M ϕαψα=，((),())n M ϕβψβ=. 注意到01.n t t t αβ=<<<=L 记小弧段1i i M M -的长度为i s ∆，那么,1,2,.ii t i t s i n -∆==⎰L1,(').i i t i i i i t s t t τ--∆=<<⎰所以, 当('')i i x ϕτ=,('')i i y ψτ=时,ii i 11(,)((''),(t ,n niiii i f x y s f ϕτψτ==∆=∑∑这里i 1i i i t ',''t .ττ-≤≤ 设ni i i 1f ((''),(i t σϕτψτ==∆∑则有n niiiii i i 1i 1f (x ,y )s f ((''),(t .ϕτψτσ==∆=+∑∑令12n t max{t ,t ,,t },∆=∆∆∆L 要证明的是t 0lim 0.σ∆→=因为复合函数f ((t),(t))ϕψ关于t 连续，所以在闭区间[,]αβ上有界，即存在M ，对一切t [,]αβ∈有|f ((t),(t))|M.ϕψ≤再由[,]αβ上连续，所以它在[,]αβ上一致连续. 即当任给0ε>，必存在0δ>，当t δ∆<时有|.ε≤从而1||().ni i M t M σεεβα=≤∆=-∑所以lim 0.t σ∆→=再从定积分定义得n22i i i i i 0i 1lim f ((''),(''))'('')'('')t t ϕτψτϕτψτ∆→=+∆∑22((),())'()'().f t t t t dt βαϕψϕψ=+⎰所以当n n22iiiii i i i i 1i 1f (x ,y )s f ((''),(''))'('')'('')t ϕτψτϕτψτσ==∆=+∆+∑∑两边取极限后，即得所要证的结果.特别地，如果平面上的光滑曲线的方程为(),,y y x a x b =≤≤则()()()()()2,,1'b Laf x y ds f x y x y x dx =+⎰⎰．例 计算曲线积分⎰Lds y ，其中L 是抛物线2x y =上的点()0,0A 与点()1,1B 之间的一段弧．（如图）图13-2解：积分曲线由方程[]1,0,2∈=x x y给出，所以()()⎰⎰+=1222'1dx x x ds y L12014x dx =+⎰()1241121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=x =()155121-.例 计算积分()22nLxyds +⎰Ñ，其中L 为圆周:sin ,x a t =cos ,y a t =02t π≤≤.解：由于L 为圆周：π20,cos ,sin ≤≤==t t a y t a x ，所以()()()()222220sin cos nnLxyds a t a t π+=+⎰⎰Ñ⎰==ππ20222nn a dt a ． 对于三元函数的对弧长的曲线积分，可以类似地计算．例如：若曲线L 由参数方程()()()t z z t y y t x x ===,,，βα≤≤t 确定，则有()()()dt t z t y t x ds 222'''++=，从而()()()()()()()()dt t z t y t x t z t y t x f ds z y x f L⎰⎰++=βα222''',,,,．例13.３ 计算曲线积分()⎰Γ++ds z y x222，其中Γ是螺旋线cos ,x a t = sin ,y a t =z kt =上相应于t 从0到π2的一段弧．解：由上面的结论有()()()()()()()dt k t a t a kt t a t a ds z y x⎰⎰++-++=++Γπ20222222222cos sin sin cos()()2222220222224332k a k a dtk a t k aπππ++=++=⎰例 计算2Lx ds ⎰, 其中L 为球面2222x y z a ++=被平面0x y z ++=所截得的圆周.解：由对称性可知222,LLLx ds y ds z ds ==⎰⎰⎰所以22222312().333L L L a x ds x y z ds ds a π=++==⎰⎰⎰习题1. 计算半径为R 、中心角为2α的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量I （设线密度1μ=）.2. 计算曲线积分222()x y z ds Γ++⎰，其中Γ为螺旋线cos x a t =，sin y a t =，z kt=上相应于t 从0到2π的一段弧.3. 计算,x Cye dS -⎰其中C 为曲线2ln(1),23x t y arctgt t =+=-+由0t =到1t =间的一段弧.4. 求L xydS ⎰，其中L 是椭圆周22221x y a b+=位于第一象限中的那部分。

曲线曲面积分计算方法总结一、曲线积分1.1 曲线积分的定义曲线积分是将一条曲线上某种量的变化情况用积分来描述的数学工具。

设有一条曲线C，由参数方程r(t)=⟨x(t),y(t),z(t)⟩给出，其中a≤t≤b。

如果函数f(x,y,z)在C上有定义，那么函数f沿着曲线C的积分定义为：∫Cf(x,y,z)ds=∫bf(x(t),y(t),z(t))‖r’(t)‖dt其中r’(t)=⟨x’(t),y’(t),z’(t)⟩是r(t)的导数，‖r’(t)‖=√(x’(t)2+y’(t)2+z’(t)2)是r(t)的长度元素。

1.2 计算曲线积分的方法计算曲线积分有两种常用的方法：参数法和向量场法。

（1）参数法参数法是曲线积分的一种常用计算方法。

设有参数方程r(t)=⟨x(t),y(t),z(t)⟩，a≤t≤b，函数f(x,y,z)在C上有定义，则曲线积分可以表示为：∫Cf(x,y,z)ds=∫bf(x(t),y(t),z(t))√(x’(t)2+y’(t)2+z’(t)2)dt这里f(x(t),y(t),z(t))是要积分的函数在参数方程r(t)上的对应点处的值。

通过对参数t进行积分，就可以求得曲线积分的值。

（2）向量场法向量场法是另一种计算曲线积分的方法。

如果函数f(x,y,z)可以表示为一个向量场F(x,y,z)=⟨P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)⟩的散度或旋度，即f(x,y,z)=∇·F或f(x,y,z)=∇×F。

那么曲线积分可以表示为：∫Cf(x,y,z)ds=∫b⟨P(x(t),y(t),z(t)),Q(x(t),y(t),z(t)),R(x(t),y(t),z(t))⟩·⟨x’(t),y’(t),z’(t)⟩dt通过向量场的散度或旋度来计算曲线积分，可以简化计算的过程。

1.3 曲线积分的应用曲线积分在物理、工程等领域有着广泛的应用。

在物理学中，曲线积分可以用于描述沿着曲线的力的做功和曲线上的速度；在工程中，曲线积分可以用于计算沿着曲线的电场强度、磁场强度等物理量。

曲线积分曲面积分公式曲线积分和曲面积分是微积分学中重要的概念和计算方法，它们在物理学、工程学、计算机图形学等领域中有广泛的应用。

本文将详细介绍曲线积分和曲面积分的概念、计算方法以及它们的应用。

一、曲线积分1. 概念曲线积分是沿着曲线路径的函数值在该路径上的积分，它可以用来计算曲线上的物理量或计算路径上的某个量的总和。

一条曲线通常可以用参数方程表示，即根据一个或多个参数的变化来描述曲线上的点的坐标。

2. 计算方法曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分两种。

第一类曲线积分是对曲线上的函数施加一个标量面积进行积分，计算公式为：∫f(x,y,z) ds其中，f(x,y,z)是曲线上的函数，s是弧长。

第二类曲线积分是对曲线上的矢量场进行积分，计算公式为：∫F·dr 或∫F ds其中，F是曲线上的矢量场，dr是位移矢量，ds是弧长。

3. 应用曲线积分在物理学中有广泛的应用，例如计算电场沿着路径上的功、磁场沿着闭合路径上的环流等。

它还可以用来计算空间曲线上的质心、质量等。

在工程学中，曲线积分可以用来计算管道的流量、线段上的力等。

二、曲面积分1. 概念曲面积分是对曲面上的函数的某个量在整个曲面上的积分，它可以用来计算曲面上的物理量或计算函数在曲面上的平均值。

一般情况下，曲面可以用参数方程表示，即根据两个参数的变化来描述曲面上的点的坐标。

2. 计算方法曲面积分可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分两种。

第一类曲面积分是对曲面上的函数施加一个标量面积进行积分，计算公式为：∬f(x,y,z) dS其中，f(x,y,z)是曲面上的函数，dS是面积元。

第二类曲面积分是对曲面上的矢量场进行积分，计算公式为：∬F·dS 或∬F dS其中，F是曲面上的矢量场，dS是面积元。

3. 应用曲面积分在物理学中有广泛的应用，例如计算电场通过曲面的电通量、磁场通过闭合曲面的磁通量等。

它还可以用来计算物体的总质量、质心等物理量。

5考研专题解析第十一章 曲线积分与曲面积分1.(98年数一)设L 为椭圆,13422=+y x 其周长为a ,则._______)432(22=++⎰ds y x xy L179解析 L 关于x 轴（y 轴）对称，2xy 关于y （关于x ）为奇函数20Lxyds ⇒=⎰.又在L 上22222213412(34)121243LLx y x y x y ds ds a +=⇒+=⇒+==⎰⎰.因此，原式=222(34)12LLxyds x y ds a ++=⎰⎰.2.（09年数一）已知曲线2:(0L y x x =≤，则_______L xds =⎰180解析 直接代公式化第一类平面曲线积分为定积分得Lxds ==⎰1222014)(14)8x d x =++ 32212113(14)(271)83126x =⋅+=-=.1.(00年数一) 计算曲线积分,422⎰+-=L y x ydxxdy I 其中L 是以点(1,0)为中心,R 为半径的圆周(1>R ),取逆时针方向.181解析 记2222,44y xP Q x y x y-==++,则L I Pdx Qdy =+⎰直接计算较繁琐，想借助格林公式.当220x y +≠时，222224(4)Q P y x x y x y ∂∂-==∂∂+, 记L 围成的圆域为D ,因D 内含原点(0,0),而P Q 、在(0,0)无意义，所以不能直接在D 上用格林公式.现作一小椭圆C ε（取逆时针方向）：2224x y ε+=，0ε>充分小，使C ε位于D 内，记L 与C ε围成区域D ε，在D ε上用格林公式得()0LC D Q PPdx Qdy Pdx Qdy dxdy x yεε∂∂+-+=-=∂∂⎰⎰⎰⎰, 即222222222241122442L C C x y xdy ydx xdy ydx ydx xdy dxdy x y x y εεεεπεπεεε+≤--==-+===++⎰⎰⎰⎰⎰. 2.（04年数一） 设L 为正向圆周222x y +=在一象限中的部分，则曲线积分⎰-Lydx xdy 2的值为_______182解析 已知L的参数方程,x t y t =，t 从0到2π.直接代公式得202)()]Lxdy ydx t t t t dt π-=-⎰⎰,2220322sin 242dt tdt πππππ=+=+⋅=⎰⎰. 3.（08年数一）计算曲线积分2sin 22(1)LI xdx x ydy =+-⎰,其中L 是曲线sin y x =上从点(0,0)到点(,0)π的一段.183解析 将曲线L 的方程代入直接计算2sin 222LLI xdx ydy x ydy =-+⎰⎰(,0)220(0,0)1(cos 2)2sin cos 2x y x x xdx ππ=--+⎰221sin 2cos 22x xdx x d x ππ==-⎰⎰2001cos 2cos 22x x x xdx ππ=-+⎰201sin 222xd x ππ=-+⎰ 220011sin 2sin 22222x x xdx ππππ=-+-=-⎰.1.（97年数一）计算积分⎰-+-+-Cdz y x dy z x dx y z )()()(，其中C 是曲线⎩⎨⎧=+-=+,2,122z y x y x 从z 轴正向往z 轴负向看C 的方向是顺时针的.184 解析 用斯托克斯公式来计算.记S 为平面2x y z -+=上C 所围成有限部分，由L 的定向，按右手法则S 取下侧.()()()2CS dydz dzdx dxdy z y dx x z dy x y dz dxdy x y z z y x z x y∂∂∂-+-+-==∂∂∂---⎰⎰⎰, S 在xoy 平面上的投影区域22{(,)1}xy D x y x y =+≤.将第二类曲面积分化为二重积分得22Sdxdy π==-⎰⎰原积分.这里S 取下侧，故公式取负号. 2.（01年数一）计算222222()(2)(3)LI y z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰，其中L 为平面2x y z ++=与柱面1=+y x 的交线，从z 轴正向看去，L 为逆时针方向.185解析 用斯托克斯公式来计算，记S 为平面2xy z ++=上L 所围部分.由L 的定向，按右手法则S==S 的单位法向量(cos ,cos ,cos )n a r β==，于是由斯托克斯公式得222222cos cos cos 23Sa r I ds x y z y z z x x y β∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰([(24(2622Sy z z x x y ds =----+--⎰⎰(423)2(6)S Sx y z dS x y z x y dS =++++=+-⎰⎰. 将第一类曲面积分化为二重积分得(62(6)S SI x y x y dxdy =+-=-+-⎰⎰， 其中D 为S 在xoy 平面上的投影区域1x y +≤.由D 关于,x y 轴的对称性及被积函数的奇偶性得()0Dx y dxdy -=⎰⎰,所以21224DI dxdy =-=-=-⎰⎰.专题二、求曲面积分与高斯公式∑体222x y x +≤内的部分.179解析 将曲面积分I 化为二重积分(,)xyD I f x y dxdy =⎰⎰首先确定被积函数(,)f x y==， 对锥面z =而言，==, 其次确定积分区域即∑在xOy 平面的投影区域22{(,)(1)1}xy D x y x y =-+≤xyD I =⎰⎰作极坐标变换cos ,sin x r y r θθ==，则{(,)02cos ,}22r D r r θππθθθ=≤≤-≤≤. 2cos 2cos 322000213I d r rdr r d θππθπθθ-=⋅==⎰2.（07年数一）设曲面:1x y z ∑++=，则()______x y dS ∑+=⎰⎰187 解析 ∑关于yoz 平面对称，x 对x 为奇函数⇒0xdS ∑=⎰⎰,由变量的轮换对称性⇒x dS y dS z dS ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰,⇒()111()1333I x y dS y dS x y z dS dS ∑∑∑∑=+==++==⋅∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰曲面的面积 记∑在第一卦限部分的面积为111cos ,2r σσ==即,因此118833I σ=⋅==1.（05年数一） 设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的外侧，则______xdydz ydzdx zdxdy ∑++=⎰⎰192解析 在Ω上用高斯公式得(111)31I dV dV ΩΩ=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰作球坐标变换：sin cos ,sin sin ,cos x y z ρϕθρϕθρϕ===，{(,,)0,0,02}4RπρϕθρϕθπΩ=≤≤≤≤≤≤,所以22240003sin (2RI d d d R ππθϕρϕρπ==⎰⎰⎰.2.（06年数一） 设∑是锥面1)z z =≤≤的下侧，则23(1)_____x d y d z y d z d x z d x d y ∑++-=⎰⎰192解析 添加辅助面221:1(1)z x y ∑=+≤，法向量朝上，123(1)0000xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=++=⎰⎰,∑与1∑围成区域Ω，用高斯公式得123(1)(123)623xdydz ydzdx z dxdy dV ππ∑∑Ω++-=++=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰,原式202ππ=-=. 3.（08年数一）设曲面∑是z =的上侧，则2_________xydydz xdzdx x dxdy ∑++=⎰⎰193解析 直接代入公式将第二类曲面积分化为二重积分，曲面∑的方程是,)z x y D =∈,其中22{(,)4}D x y x y =+≤，z z x y ∂∂==∂∂所以22()()00D D z zxy x x dxdy x dxdy x y ⎡⎤∂∂-+-+=++⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰⎰⎰221()42Dx y dxdy π=+=⎰⎰.1.（01年数一）设222z y x r ++=则(1,2,2)()______div gradr -=195解析 先求(,,)x y zgradr r r r =，再求()()()()x y zdiv gradr x r x r x r∂∂∂=++∂∂∂.2223331112()()()x y z r r r r r r r=-+-+-=.所以(1,2,2)2()3div gradr -=.When you are old and grey and full of sleep, And nodding by the fire, take down this book, And slowly read, and dream of the soft look Your eyes had once, and of their shadows deep; How many loved your moments of glad grace, And loved your beauty with love false or true, But one man loved the pilgrim soul in you, And loved the sorrows of your changing face; And bending down beside the glowing bars, Murmur, a little sadly, how love fled And paced upon the mountains overhead And hid his face amid a crowd of stars.The furthest distance in the world Is not between life and death But when I stand in front of you Yet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from both Yet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart. The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using one's indifferent heartTo dig an uncrossable riverFor the one who loves you.。

曲线积分与曲面积分曲线积分和曲面积分是微积分中两个重要的概念。

曲线积分是对曲线上的函数进行积分运算，而曲面积分是对曲面上的函数进行积分运算。

本文将详细介绍曲线积分和曲面积分的概念、计算方法以及应用。

一、曲线积分曲线积分是对曲线上的函数进行积分运算。

通常将曲线积分分为第一类曲线积分和第二类曲线积分。

1. 第一类曲线积分第一类曲线积分用于计算曲线上的标量场函数。

对于参数化曲线C：r(t)=(x(t), y(t), z(t))，其中a≤t≤b，函数f(x,y,z)在C上可微分，则第一类曲线积分的计算公式为：∫_[C]f(x,y,z)ds=∫_a^bf(x(t),y(t),z(t))∥r'(t)∥dt其中，ds表示曲线上的微元弧长，∥r'(t)∥表示曲线C的切向量的长度。

2. 第二类曲线积分第二类曲线积分用于计算曲线上的矢量场函数。

对于参数化曲线C：r(t)=(x(t), y(t), z(t))，其中a≤t≤b，函数F(x,y,z)在C上连续，则第二类曲线积分的计算公式为：∫_[C]F(x,y,z)·dr=∫_a^bF(x(t),y(t),z(t))·r'(t)dt其中，·表示矢量的点乘运算，dr表示曲线上的微元矢量。

二、曲面积分曲面积分是对曲面上的函数进行积分运算。

同样，曲面积分也分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。

1. 第一类曲面积分第一类曲面积分用于计算曲面上的标量场函数。

对于参数化曲面S：r(u,v)=(x(u,v), y(u,v), z(u,v))，其中(u,v)属于区域D，函数f(x,y,z)在S上可微分，则第一类曲面积分的计算公式为：∬_[S]f(x,y,z)dS=∬_Df(x(u,v),y(u,v),z(u,v))∥r_u×r_v∥dudv其中，dS表示曲面上的微元面积，r_u和r_v表示曲面S的参数方程关于u和v的偏导数，r_u×r_v表示两个偏导数的叉乘，∥r_u×r_v∥表示其长度。

计算曲面积分和曲线积分的方法在数学中，曲面积分和曲线积分是非常重要的概念，用于解决各种数学问题，尤其在物理、工程和计算机等领域中应用广泛。

本文将详细介绍计算曲面积分和曲线积分的方法。

一、曲线积分曲线积分是一种在曲线上进行的积分运算，用于求解曲线上的某些特征，如长度、质心等。

曲线积分的计算可以通过使用参数方程、曲线的长度元、向量空间的知识等方式来完成。

1. 参数方程法使用参数方程法计算曲线积分可以将曲线上的所有点表示为参数的函数，从而利用变量替换、积分公式等进行运算。

例如，给定一条曲线L，其参数方程为r(t)=(x(t),y(t),z(t))，要计算该曲线上的某个函数f(x,y,z)的积分，可以使用以下公式：∫f(x,y,z)·|r'(t)|dt其中，|r'(t)|为曲线的长度元。

2. 曲线的长度元曲线的长度元是曲线长度的微小变化，用于计算曲线长度。

曲线的长度元表示为：ds=√(dx²+dy²+dz²)可以使用下面的公式计算曲线长度：L=∫ds=∫√(dx²+dy²+dz²)3. 向量空间法向量空间法是使用向量和矩阵等数学工具计算曲线积分的一种方法。

该方法可以将曲线上的点表示为一个向量，并利用曲线计算该向量的长度、方向等特征。

例如，给定一条曲线L，其参数方程为r(t)=(x(t),y(t),z(t))，要计算该曲线上的某个函数f(x,y,z)的积分，可以使用以下公式：∫f(x,y,z)·(r'(t)/|r'(t)|)dt其中，r'(t)/|r'(t)|为曲线的单位切向量。

二、曲面积分曲面积分是一种在曲面上进行的积分运算，用于求解曲面上的某些特征，如面积、质心等。

曲面积分的计算可以通过使用参数方程、曲面元、向量场的知识等方式来完成。

1. 参数方程法使用参数方程法计算曲面积分可以将曲面上的所有点表示为参数的函数，从而利用变量替换、积分公式等进行运算。

曲线积分曲面积分公式曲线积分和曲面积分是数学中重要的概念，在物理学和工程学等领域也有广泛的应用。

本文将以生动、全面和有指导意义的方式介绍曲线积分和曲面积分的公式及其应用。

首先，我们来介绍曲线积分。

曲线积分是沿一个曲线对矢量场进行积分运算的方法。

它可以用于求解电流的环流、质点的环量以及力场中的功等问题。

曲线积分的公式是：∮C F·dr = ∫ab F(r(t))⋅r'(t) dt其中，∮C表示沿曲线C的积分，F是一个矢量场，r(t)是曲线C上的参数化表示，ab是曲线C上的取点区间。

r'(t)是r关于t的导数，表示曲线C的切向量。

这个公式用于计算矢量场F沿曲线C的积分。

曲线积分的计算方法是首先确定曲线C的参数化表示r(t)，然后计算矢量场F在曲线C上的取点区间ab的取值并代入公式中进行积分运算。

最后得到曲线C上的积分值。

举个例子来说明曲线积分的应用。

假设有一个力场F(x, y) = (y, x)，现在我们需要计算力场F沿曲线C的积分。

曲线C是一个由点A(0, 0)到点B(1, 1)的直线段。

我们可以将这条曲线表示为r(t) = (t, t)，其中t的取值范围是0到1。

根据曲线积分的公式，把r(t)代入公式中得到：∫0^1 (t, t)⋅(1, 1) dt = ∫0^1 2t dt = [t^2]0^1 = 1因此，力场F沿曲线C的积分结果为1。

接下来，我们来介绍曲面积分。

曲面积分是对标量场或矢量场在曲面上的积分运算。

它可以用于求解电场的通量、热传导的通量以及流体力学中的流量等问题。

曲面积分的公式有两种情况。

对于标量场的曲面积分，公式如下：∬S f dS = ∫∫S f(r(u, v)) |ru × rv| dudv其中，∬S表示对曲面S的积分，f是一个标量场，r(u, v)是曲面S上的参数化表示，ru和rv是r关于u和v的偏导数，ru × rv 表示曲面S的法向量，|ru × rv|是它的模。

曲线积分与曲面积分曲线积分和曲面积分是微积分中的重要概念，它们在物理、工程等领域中有着广泛的应用。

本文将详细介绍曲线积分和曲面积分的定义、计算方法以及应用。

一、曲线积分曲线积分是沿曲线上的各点对一个矢量场进行积分的操作。

它可以帮助我们计算曲线周围矢量场的某种性质，如流量、环量等。

曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分。

1. 第一类曲线积分第一类曲线积分又称为曲线上的标量场积分，它的计算只涉及到被积函数。

设曲线C的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)，其中a≤t≤b。

对于曲线上每一点P(x,y,z)，记r(t)=x i + y j + z k为P的位置矢量，则第一类曲线积分的定义为：∫[f(x,y,z)]•ds=∫[f(x(t),y(t),z(t))•r'(t)]dt其中[f(x,y,z)]为被积函数，ds为曲线C上各点的弧长元素，r'(t)为曲线C在P点处的切向量。

2. 第二类曲线积分第二类曲线积分又称为曲线上的矢量场积分，计算是将矢量场与切向量进行点积。

设曲线C的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)，其中a≤t≤b。

对于曲线上每一点P(x,y,z)，记r(t)=x i + y j + z k为P的位置矢量，则第二类曲线积分的定义为：∫[F(x,y,z)]•dr=∫[F(x(t),y(t),z(t))•r'(t)]dt其中[F(x,y,z)]为矢量场，dr为曲线C上各点的位置矢量元素，即dr=r'(t)dt。

二、曲面积分曲面积分是在曲面上对一个矢量场或标量场进行积分的操作。

它可以帮助我们计算曲面上矢量场的通量、曲面的面积等。

曲面积分同样可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。

1. 第一类曲面积分第一类曲面积分又称为曲面上的标量场积分，它的计算只涉及到被积函数。

设曲面S的参数方程为x=g(u,v)，y=h(u,v)，z=k(u,v)，其中D 为曲面S在(u,v)平面上的投影区域。

如何解决数学中的曲线与曲面积分问题曲线与曲面积分是数学中的重要概念，广泛应用于物理学、工程学等领域。

本文将探讨如何解决数学中的曲线与曲面积分问题，为读者提供理解和应用这一概念的方法和技巧。

在数学中，曲线积分是用来计算沿给定曲线上的函数值的总和。

曲面积分则是用于计算曲面上的函数值的总和。

曲线积分和曲面积分的计算方法和技巧各有不同，我们将分别对这两种积分进行详细讨论。

一、曲线积分曲线积分的计算可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分两种情况。

首先我们来看第一类曲线积分，也称为标量场的曲线积分。

1. 标量场的曲线积分对于标量场的曲线积分，我们需要计算曲线上每一点的函数值与曲线元素的乘积然后累加得到总和。

具体计算公式如下：∮ f(x, y, z)·ds其中，f(x, y, z)代表函数值，ds代表曲线元素。

解决标量场的曲线积分问题的关键是确定曲线的参数方程，并计算曲线元素ds。

在实际应用中，常常根据具体问题确定曲线的类型和方程，然后代入计算即可。

2. 矢量场的曲线积分第二类曲线积分是用于计算矢量场沿曲线方向的积分，也称为矢量场的线积分。

计算方法如下：∮ F(x, y, z)·dr其中，F(x, y, z)为矢量场，dr为曲线元素。

矢量场的曲线积分需要注意方向性，因为曲线的方向不同，结果可能会有所不同。

在具体计算时，需要确定曲线的方向，并将计算结果与方向对应。

二、曲面积分曲面积分的计算同样可分为第一类曲面积分和第二类曲面积分两种情况。

我们先来看第一类曲面积分，即标量场的曲面积分。

1. 标量场的曲面积分标量场的曲面积分用于计算曲面上每一点的函数值与曲面元素的乘积的总和。

计算公式如下：∬ f(x, y, z)·dS其中，f(x, y, z)为函数值，dS为曲面元素。

解决标量场的曲面积分问题的关键是确定曲面的参数方程，并计算曲面元素dS。

根据具体问题的要求，选择合适的坐标系并进行计算。

曲线积分与曲面积分的解题技巧1．对弧长的曲线积分的解题技巧一般采用直接计算法，即写出曲线的参数方程，借助弧微分计算公式，直接代入被积被积表达式转换为定积分的方法计算，注意定积分下限小于上限。

也可以考虑借助于其实际意义，借助元素法转换为其他类型的积分来完成计算。

2．对坐标的曲线积分的解题技巧(1) 直接计算方法，参数方程表达式直接代入，转换为定积分计算的方法。

注意定积分下限为起点对应的参数，上限为终点对应的参数。

(2) 两类曲线积分之间的关系。

注意方向余弦构成的切向量的方向应与曲线方向一直。

(3) 格林公式，当积分曲线为空间曲线时，则使用格林公式。

(注意三个条件：封闭性，方向性与偏导的连续性)(4) 积分与路径无关(格林公式)。

3．对面积的曲面积分的解题技巧一般采用直接计算法，要求积分曲面为简单类型，不为简单类型的积分曲面借助于积分对积分区域的可加性，将其分割为简单类型，借助面积微元的积分变量微元的描述形式转换为二重积分计算。

也可以考虑借助于其实际意义，借助元素法转换为其他类型的积分来完成计算。

对面积的曲面积分只需要考虑曲面为一种简单类型。

4．对坐标的曲面积分的解题技巧(1) 直接计算方法，将对不同坐标的曲面积分分开单独计算，考虑曲面为单独的三种不同简单类型，采取直接代入函数表达式转换为二重积分的方法计算，唯一要注意的是，法向量与相应坐标轴的方向关系决定直接将曲面积分转换为二重积分的正负。

(2) 两类曲面积分之间的关系。

注意方向余弦构成的法向量的方向应与曲面的法向量方向一直。

(3) 利用两类曲面积分之间的关系，将三个对坐标的曲面积分转换为一种类型的对坐标的曲面积分，这样就只要考虑曲面为一种类型的简单类型即可。

(4) 高斯公式，当积分曲线为空间曲线时，则使用格林公式。

(注意三个条件：封闭性，方向性与偏导的连续性)。

曲线与曲面积分计算曲线积分与曲面积分的基本技巧曲线与曲面积分：计算曲线积分与曲面积分的基本技巧曲线积分和曲面积分是微积分中重要的概念，应用广泛。

在本文中，我们将探讨曲线积分和曲面积分的基本技巧和计算方法。

在开始之前，我们先对曲线积分和曲面积分进行简要介绍。

1. 曲线积分曲线积分是对曲线上的某个向量场的积分，其计算方法有两种：第一类曲线积分和第二类曲线积分。

第一类曲线积分是对标量函数的积分，而第二类曲线积分是对向量函数的积分。

1.1 第一类曲线积分第一类曲线积分也称为沿曲线的线积分，其计算公式为：∫f(x, y, z) • dr = ∫f(x(t), y(t), z(t)) • r'(t) dt，其中f(x, y, z)为曲线上的函数，r(t)为曲线上的向量函数，r'(t)为r(t)的导数。

1.2 第二类曲线积分第二类曲线积分也称为曲线上的向量场的线积分，其计算公式为：∫F • dr = ∫F(x(t), y(t), z(t)) • r'(t) dt，其中F为曲线上的向量函数，r(t)为曲线上的向量函数，r'(t)为r(t)的导数。

2. 曲面积分曲面积分是对曲面上的某个标量函数或向量函数的积分，其计算方法也有两种：第一类曲面积分和第二类曲面积分。

第一类曲面积分是对标量函数的积分，而第二类曲面积分是对向量函数的积分。

2.1 第一类曲面积分第一类曲面积分也称为曲面上的标量场的曲面积分，其计算公式为：∬f(x, y, z) dS，其中f(x, y, z)为曲面上的函数，dS为曲面元素面积。

2.2 第二类曲面积分第二类曲面积分也称为曲面上的向量场的曲面积分，其计算公式为：∬F • dS = ∬F(x, y, z) • n dS，其中F为曲面上的向量函数，dS为曲面元素面积，n为曲面上某一点的法向量。

3. 计算曲线积分的基本技巧在计算曲线积分时，我们需要掌握以下基本技巧：3.1 参数化对于曲线上的向量函数，我们需要找到一个参数来表示该曲线，通常使用参数t来表示曲线上的点。

求曲线、曲面积分的方法与技巧一.曲线积分的计算方法与技巧计算曲线积分一般采用的方法有:利用变量参数化将曲线积分转化为求定积分、利用格林公式将曲线积分转化为二重积分、利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分、利用积分与路径无关的条件通过改变积分路径进行计算、利用全微分公式通过求原函数进行计算等方法.例一．计算曲线积分⎰+Lxdy ydx ,其中L 是圆)0(222>=+y x y x 上从原点)0,0(O 到)0,2(A 的一段弧。

本题以下采用多种方法进行计算。

解1:A O 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-==,2,2x x y x x L 由,A O →x 由,20→.212dx x x x dy --= ⎰+Lxdy ydx dx x x x x x x ⎰--+-=2022]2)1(2[ dx xx x x dx xx x x x x x ⎰⎰--+----=2220222)1(2)1(220.00442=--=分析：解1是利用变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进行计算的，选用的参变量为.x 因所求的积分为第二类曲线积分，曲线是有方向的，在这种解法中应注意参变量积分限的选定，应选用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。

解2:在弧A O上取)1,1(B 点，B O 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧--==,11,2y x y y L 由,B O →y 由,10→.12dy y y dx -= A B 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-+==,11,2y x y y L 由,A B →y 由,01→.12dy y y dx --= ⎰+Lxdy ydx dy y y y dy y y y ⎰⎰-++--+--+-=012221222)111()111(dy yy ⎰-=102212dy y ⎰--1212dy yy ⎰-=1221210212yy --dyyy ⎰--+102212.0)011(2=---=分析:解2是选用参变量为,y 利用变量参数化直接计算所求曲线积分的,在方法类型上与解1相同。

曲线积分与曲面积分总结文字曲线积分和曲面积分是微积分中的两个重要概念，它们在物理、工程、数学等领域中都有广泛的应用。

本文将对曲线积分和曲面积分进行总结和介绍。

一、曲线积分曲线积分是对曲线上的函数进行积分的一种方法。

曲线积分可以用来计算曲线上的弧长、质量、电荷等物理量。

曲线积分的计算方法有两种：第一种是参数化曲线积分，第二种是非参数化曲线积分。

1. 参数化曲线积分参数化曲线积分是将曲线表示为参数方程的形式，然后对参数方程中的函数进行积分。

例如，对于曲线C：y=x^2，0≤x≤1，可以将其表示为参数方程C：r(t)=(t,t^2)，0≤t≤1。

然后对函数f(x,y)在曲线C上进行积分，可以表示为：∫Cf(x,y)ds=∫1 0f(r(t))|r'(t)|dt其中，|r'(t)|表示曲线C在t时刻的切线长度，也就是曲线的弧长。

参数化曲线积分的计算方法比较简单，但是需要先将曲线表示为参数方程的形式。

2. 非参数化曲线积分非参数化曲线积分是将曲线表示为一般的方程形式，然后对方程中的函数进行积分。

例如，对于曲线C：y=x^2，0≤x≤1，可以将其表示为一般的方程形式C：y=f(x)，0≤x≤1。

然后对函数f(x,y)在曲线C上进行积分，可以表示为：∫Cf(x,y)ds=∫1 0f(x,f(x))√(1+(dy/dx)²)dx其中，√(1+(dy/dx)²)表示曲线C在x时刻的切线长度，也就是曲线的弧长。

非参数化曲线积分的计算方法比较复杂，但是可以将曲线表示为一般的方程形式，更加灵活。

二、曲面积分曲面积分是对曲面上的函数进行积分的一种方法。

曲面积分可以用来计算曲面上的面积、质量、电荷等物理量。

曲面积分的计算方法有两种：第一种是参数化曲面积分，第二种是非参数化曲面积分。

1. 参数化曲面积分参数化曲面积分是将曲面表示为参数方程的形式，然后对参数方程中的函数进行积分。

例如，对于曲面S：z=x^2+y^2，0≤x≤1，0≤y≤1，可以将其表示为参数方程S：r(u,v)=(u,v,u^2+v^2)，0≤u≤1，0≤v≤1。

曲线积分与曲面积分的计算方法计算曲线积分与曲面积分是数学中重要的内容，本文将介绍曲线积分和曲面积分的定义和计算方法。

一、曲线积分的定义和计算方法曲线积分是在三维空间中曲线上的函数进行积分运算的一种方法。

曲线积分的计算可以分为两种情况：第一种情况是曲线的方程已知，我们可以通过参数化曲线来计算积分；第二种情况是曲线的方程未知，我们可以通过对弧长进行积分来计算。

1. 参数化曲线的曲线积分计算对于参数化曲线C: r(t) = (x(t), y(t), z(t))，函数f(x, y, z)的曲线积分可以表示为：∮C f(x, y, z) ds = ∫f(x(t), y(t), z(t))||r'(t)|| dt其中，ds表示曲线C上的弧长元素，r'(t)表示曲线C的切向量，||r'(t)||表示切向量的模长。

通过将参数t从t0到t1进行积分，即可计算出曲线积分的结果。

2. 弧长的曲线积分计算如果曲线的方程未知，但是我们可以计算出曲线上任意两点之间的弧长，则可以通过对弧长进行积分来计算曲线积分。

∮C f(x, y, z) ds = ∫f(x, y, z) dl其中，dl表示曲线C上的弧长元素，通过将参数l从l0到l1进行积分，即可得到曲线积分的结果。

二、曲面积分的定义和计算方法曲面积分是在三维空间中曲面上的函数进行积分运算的一种方法。

曲面积分的计算可以分为两种情况：第一种情况是曲面的方程已知，我们可以通过参数化曲面来计算积分；第二种情况是曲面的方程未知，我们可以通过将曲面分成小面元然后进行求和来进行计算。

1. 参数化曲面的曲面积分计算对于参数化曲面S: r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))，函数f(x, y, z)的曲面积分可以表示为：∬S f(x, y, z) dS = ∫∫f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))||r_u × r_v|| du dv其中，dS表示曲面S上的面积元素，r_u和r_v分别表示参数u和v 方向上的切向量，r_u × r_v表示切向量的叉乘，||r_u × r_v||表示叉乘的模长。

曲线积分与曲面积分知识点【篇一：曲线积分与曲面积分知识点】曲线积分与曲面积分是考研数一考生要求掌握的内容，数二数三考生不要求掌握，老师以高数教程为例，分章节归纳所要求掌握的内容要点，希望对2016 考研人有所帮助。

9.1 第一类曲线积分内容要点：(1)第一类曲线积分的概念和性质；(2)第一类曲线积分计算测试点：计算第一类曲线积分(包含平面曲线和空间曲线)9.2 第二类曲线积分内容要点：(1)第二类曲线积分的概念和性质；(2)第二类曲线积分计算；(3)两类曲线积分之间的关系测试点：计算第二类曲线积分9.3 格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件内容要点：(1)格林公式；(2)平面曲线积分与路径无关的条件；(3)全微分法则；(4)全微分方程测试点：(1)格林公式；(2)计算曲线积分；(3)全微分方程的求解9.4 第一类曲面积分内容要点：(1)第一类曲面积分的概念和性质；(2)第一类曲面积分计算测试点：计算第一类曲面积分9.5 第二类曲面积分内容要点：(1)第二类曲面积分的概念和性质；(2)第二类曲面积分计算；(3)两类曲面积分之间的关系测试点：(1)直接计算第二类曲面积分(2)通过两类曲面积分之间的关系计算第二类曲面积分9.6 高斯公式与散度内容要点：(1)高斯公式；(2)散度测试点：(1)高斯公式(熟练掌握)；(2)散度(记住公式即可)9.7 斯托克斯公式与旋度内容要点：(1)斯托克斯公式；(2)旋度测试点：(1)斯托克斯公式(熟练掌握)；(2)旋度(记住公式即可)9.8 综合例题针对本章所学内容复习巩固，每个例题独立求解，然和和答案对比，对自己所学情况进行简单的测评。

老师以高数教程为基础，把曲线积分和曲面积分所要求掌握的知识点落实到每一章的某一节，希望考生在复习的过程中复习全面，不要出现遗漏知识点的现象。

【篇二：曲线积分与曲面积分知识点】第十章曲线积分与曲面积分一、一、重点两类曲面积分及两类曲面积分的计算和格林公式、高斯公式的应用二、二、难点对曲面侧的理解，把对坐标的曲面积分化成二重积分，利用格林公式求非闭曲线上的第二类曲线积分，及利用高斯公式计算非闭曲面上的第二类曲面积分。