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不等式的综合应用一、学习目标应用性问题的基本思路：读题(背景、结论)——条件——建掌握不等式与其他函数方程等知识的综合应用．模——解题——反思——作答.二、基础自测1. 函数y ＝x ＋4x(x ≠0)的值域是________． 2.某种产品按下列三种方案两次提价．方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：第一次提价q%，第二次提价p%；方案丙：第一次提价p ＋q 2%，第二次提价p ＋q 2%.其中p>q>0，上述三种方案中提价最多的是________．3. 设x ∈R ，||)21()(x x f =，若不等式f(x)＋f(2x)≤k 对于任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是________．4. 设变量x ，y 满足|x|＋|y|≤1，则x ＋2y 的最大值为________．三、例题分析题型1 含参数的不等式问题例1 若不等式组⎩⎨⎧x 2－x －2＞0，2x 2＋（5＋2k ）x ＋5k ＜0的解集中所含整数解只有－2，求k 的取值范围．变式训练不等式(－1)na<2＋（－1）n ＋1n 对任意n ∈N *恒成立，求实数a 的取值范围．题型2 不等式在函数中的应用例2 已知函数f(x)＝2x －a x 2＋2在区间[－1，1]上是增函数． (1) 求实数a 的值组成的集合A ；(2) 设x 1、x 2是关于x 的方程f(x)＝1x的两个相异实根，若对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]，不等式m 2＋tm ＋1≥|x 1－x 2|恒成立，求实数m 的取值范围．变式训练设a ，b ＞0，且ab ＝1，不等式a a 2＋1＋b b 2＋1≤λ恒成立，则λ的取值范围是________． 题型3 不等式在实际问题中的应用例3 某森林出现火灾，火势正以100 m 2/分钟的速度顺风蔓延，消防站接到报警立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人灭火50 m 2/分钟，所消耗的灭火材料，劳务津贴等费用为人均125元/分钟，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用人均100元，而烧毁森林的损失费60元/m 2，应该派多少消防队员前去救火才能使总损失最少？变式训练某学校拟建一块周长为400 m 的操场，如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？作业1. 关于x 的不等式x 2－ax ＋2a ＜0的解集为A ，若集合A 中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是________．2.已知函数f(x)＝x(1＋a|x|)．设关于x 的不等式f(x ＋a)<f(x)的解集为A ，若⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 A ，则实数a 的取值范围是________．3. 若a>0，b>0，且12a ＋b ＋1b ＋1＝1，则a ＋2b 的最小值为________． 4. 设a ＋b ＝2，b>0，则当a ＝________时，12|a|＋||a b取得最小值．5. 若对满足条件x ＋y ＋3＝xy (x ＞0，y ＞0)的任意x 、y ，(x ＋y)2－a(x ＋y)＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．6. 已知实数x 、y 满足不等式⎩⎨⎧2x －y ≥0，x ＋y －4≥0，x ≤3则2x 3＋y 3x 2y 的取值范围是________．7. 设P(x ，y)为函数y ＝x 2－1(x ＞3)图象上一动点，记m ＝3x ＋y －5x －1＋x ＋3y －7y －2，则当m 最小时，点P 的坐标为________．8. 已知x 、y 为正数，则x 2x ＋y ＋y x ＋2y的最大值为________．注：1. 不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围，或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用基本不等式求最值问题．不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角函数等知识的综合．解决这些问题的关键是找出综合题的各部分知识及联系，充分利用数学思想和数学方法解题．2. 建立不等式的主要途径有：利用基本不等式；利用问题的几何意义；利用判别式；利用函数的有界性；利用函数的单调性等．3. 解答不等式的实际应用问题一般分四步，即审题、建模、求解、检验．。
不等式的综合应用不等式在数学中起着重要的作用，可以用来描述数之间的大小关系。
不仅能够解决简单的大小比较问题，还能在实际生活中找到广泛的应用。
本文将介绍不等式的概念及其综合应用，并探讨其在不同领域中的具体运用。
一、不等式的基本概念不等式是数学中描述数之间大小关系的一种表达方式。
在数学中，常见的不等式有大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）和小于等于号（≤）。
举例来说，对于两个实数a和b，a > b表示a大于b；a < b表示a小于b；a ≥ b表示a大于等于b；a ≤ b表示a小于等于b。
其中，>和<称为严格不等式，≥和≤称为非严格不等式。
二、不等式在数学中有许多重要的应用。
下面将介绍不等式的综合应用在数学、经济学和物理学等领域的具体运用。
1. 数学领域在数学中，不等式经常被用于解决数值范围的问题。
例如，在解方程的过程中，通常需要首先确定方程的解集所在的范围，这就要用到不等式。
另外，在数学建模中，不等式也被广泛应用于优化问题、最大值最小值的求解等方面。
2. 经济学领域在经济学领域，不等式被用于描述供需关系、收入分配等经济现象。
例如，在市场分析中，不等式可以用来表示价格和需求量之间的关系，根据不等式的结果可以预测市场的供求情况。
另外，在经济学中，不等式的运算也可以用于解决收入分配问题。
通过建立收入不等式模型，可以研究收入差距的成因，并提出相应的政策建议。
3. 物理学领域在物理学中，不等式被广泛运用于描述力学、热力学、电磁学等物理现象。
例如，在力学中，不等式可以用来描述物体受力平衡的条件，解决静力学问题。
在热力学中，不等式可以用来描述物体热平衡、热传导等问题。
在电磁学中，不等式可以用来描述电流和电压之间的关系，解决电路中的问题。
三、不等式的实际例子为了更好地理解不等式的综合应用，下面将举几个实际例子来说明。
1. 例子一：超市打折假设某超市进行打折活动，对购物总额在100元以上的顾客，可以享受8折优惠。
6.7不等式的综合应用一、明确复习目标1．熟练运用不等式的知识综合解决函数、方程、数列、解析几何等有关问题2．掌握利用均值不等式和函数单调性求最值的方法，正确理解恒正、恒负、解集为R 、解集为空集的实际含义并会等价转换。
3．能从实际问题中抽象出数学模型，找出已知量与未知量，建立数学关系式，并用适当的方法解决问题4．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力，提高数学素质及创新意识．二．建构知识网络1．不等式的性质，解法和证明方法，是综合运用不等式知识解决问题的基础。
2．解不等式与函数、数列、三角函数、解析几何综合问题的关键是找出各部分的知识点和解法，充分利用相关的知识和方法求解，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解、证明或求最值值问题．3．不等式的应用范围十分广泛，许多问题，最终都可归结为不等式的求解、证明或求最值。
这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值．4．利用不等式解应用题的基本步骤： （1）审题，（2）建模（不等式或函数），（3）求解，（4）作答三、双基题目练练手1．(2004湖北)函数()log (1)[0,1]x a f x a x =++在上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为 （ ）A ．41 B ．21 C ．2 D ．42．(2004湖南)设集合{(,)|,},{(,)|20},U x y x R y R A x y x y m =∈∈=-+> {(,)|0}B x y x y n =+-≤，那么点P （2，3）()U A C B ∈I 的充要条件是（ ） A ．5,1<->n m B ．5,1<-<n mC ．5,1>->n mD ．5,1>-<n m3.某工厂年产值第二年比第一年增长百分率为p 1,第三年比第二年增长的百分率为p 2,第四年比第三年增长的百分率为p 3,若p 1+p 2+p 3=m,m 为常数，则年平均增长率p 的最大值为( )A.3321p p pB.3321p p p ++ C.3321p p p 3)1)(1)(1(321p p p +++4．今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确,有人要用它称物体的重量,他将物体放在左右托盘各称一次,取两次称量结果分别为a,b.设物体的真实重量为G ,则 ( )A.2a b +=G B. 2a b +≤G C. 2a b+>G 5.在等差数列{a n }与等比数列{b n }中，a 1=b 1＞0，a n =b n ＞0，若m<n,则a m 与b m 的大小关系是____________.6.设集合M={(x,y)|x=(y+3)|y-1|+(y+3),532y -≤≤},若(a,b)∈M ，且对M 中的其它元素(c ，d)，总有c ≥a ，则a 的值是______________．◆简答:1-4.BABC; 4.设左、右臂长分别是12,l l 则 12l G l a ⋅=⋅，21l G l b ⋅=⋅ ①×②得G 2=ab , ∴G=ab ,由于12l l ≠，故a b ≠2ba + > ab5. 若d =0或q =1，则a m =b m .若d ≠0，画出a n =a 1+（n －1）d 与b n =b 1·q n －1的图象， 易知a m ＞b m ，故a m ≥b m .6.本题等价于求函数x=f(y)=(y+3)·|y-1|+(y+3)在532y -≤≤时的最小值.易得94a = 四、经典例题做一做【例1】已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)=1，若m 、n ∈[－1,1]，m +n ≠0时nm n f m f ++)()(＞0.(1)用定义证明f (x )在[－1,1]上是增函数； (2)解不等式 f (x +21)＜f (11-x )； (3)若f (x )≤t 2－2at +1对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数t 的取值范围(1).证明 任取x 1＜x 2，且x 1，x 2∈[－1,1]， 则f (x 1)－f (x 2)=f (x 1)+f (－x 2)=2121)()(x x x f x f --+·(x 1－x 2)∵－1≤x 1＜x 2≤1， ∴x 1+(－x 2)≠0，由已知2121)()(x x x f x f --+＞0，又 x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x )在[－1,1]上为增函数. (2)解 ∵f (x )在[－1,1]上为增函数，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<+≤-≤-≤+≤-112111111211x x x x 解得:{x |－23≤x ＜－1，x ∈R} (3)解 由(1)可知f (x )在[－1,1]上为增函数，且f (1)=1， 故对x ∈[－1,1]，恒有f (x )≤1，所以要使f (x )≤t 2－2at +1对所有x ∈[－1,1],a ∈[-1,1]恒成立，即要t 2－2at +1≥1成立， 故t 2－2at ≥0，记g (a )=t 2－2at ，对a ∈[－1,1]，有 g (a )≥0，只需g (a )在[－1,1]上的最小值大于等于0， g (－1)≥0，g (1)≥0，解得，t ≤－2或t =0或t ≥2∴t 的取值范围是 {t |t ≤－2或t =0或t ≥2}◆提炼方法 函数的单调性的判定就是不等式的判定,题（2）中利用单调性把函数值的大小关系转化为自变量的大小关系是最常用的手法,要熟练掌握.【例2】已知奇函数f (x ) 在(-∞,0)∪(0,+∞)上有定义,在(0,+∞)上是增函数,f (1)=0,又知函数:2()sin cos 2,[0,]2g m m πθθθθ=+-∈集合{}()0M m g θ=<恒有{}(())0N m f g θ=<恒有,求M ∩N解:f (x )是奇函数, 在(0,+∞)上递增,则f (x ) 在(-∞,0)也递增.又由f (1)=0得f (-1)=0.{{22()0()0(()0(1)()1()10]sin cos 21,2cos cos 220g g f g f g g m m m m θθθθπθθθθθθ<<∴<=-<-<-∈+-<--+-+<o即即（（，），即也即 令t=cos θ则t ∈[0,1],又设 2)22,01t t mt m t δ=-+-+≤≤（要使δ(t)<0,必须使δ(t)在[0,1]内最大值小于零. 10当max 00()(0)22,2m m t m δδ<<==-+即时，{220m m m φ<∈-+<解不等式组知2224048820,488)(,20120222max 0≤<-<⎪⎩⎪⎨⎧+-≤≤+-=≤≤≤≤m m m m m m t m m 得解不等式组时即当δ30当1,22m m >>即时{max 2()1,102m t m m m δ>=-+-+<<解得综上：{}4M N m m =>-I【例3】已知某种商品的定价上涨x 成（1成即为110，x 成即为10x ），其销售量便相应减少12x 成，按规定，税金是从销售额中按一定的比例缴纳，如果这种商品的定价无论如何变化，从销售额中扣除税金后的金额总比涨价前的销售额少，试求这时税率p 的取值范围(精确到0.1% )解：设原定价为a 元/件，原销售量为b 件，则原销售额为ab 元，由已知得 ()11110210x x ab p ab ⎛⎫⎛⎫+--< ⎪⎪⨯⎝⎭⎝⎭① ()()211012000p x p x p ---+>化简得01,10p p <<∴->Q,x R ∈Q 对任意实数①式恒成立，∴△<0，解得191<<p ，故11.1%<p <1, 即税率的取值范围p ∈(11.1%,100%).【例4】设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm 2，画面的宽与高的比为λ(λ<1)，画面的上下各留8cm 的空白，左右各留5cm 的空白，问怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果]43,32[∈λ，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？解：设画面的高为xcm ，宽为xcm λ，则48402=x λ，设纸张面积为S ，则有)10)(16(++=x x S λ2(1610)16050006760x x λλ=+++=+≥， 当且仅当λλ58=时，即85=λ时，S 取最小值，此时，高cm x 884840==λ，宽cm x 558885=⨯=λ.如果]43,32[∈λ，则上述等号不能成立.现证函数S(λ)在]43,32[上单调递增.设433221≤<≤λλ, 则12()()S S λλ-==-因为05885322121>-⇒>≥λλλλ， 又021<-λλ，所以0)()(21<-λλS S ，故)(λS 在]43,32[上单调递增,因此对]43,32[∈λ，当32=λ时，)(λS 取得最小值.◆提炼方法: 用均值不等式求最值时，如果满足“一正二定三相等”，则可直接求解；如果不符合条件中的相等，则应先判断函数的单调性后在求解.【研讨.欣赏】已知抛物线y =ax 2－1上存在关于直线x +y =0成轴对称的两点，试求实数a 的取值范围.解法一：设抛物线上关于直线l 对称的两相异点为P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），线段PQ 的中点为M （x 0，y 0），设直线PQ 的方程为y =x +b ，由于P 、Q 两点存在，所以方程组⎩⎨⎧-=+=12ax y b x y ，有两组不同的实数解，即得方程 ax 2－x －（1+b ）=0. ① 判别式Δ=1+4a （1+b ）＞0. ②由①得x 0=221x x +=a 21，y 0=x 0+b =a21+b . ∵M ∈l ，∴0=x 0+y 0=a 21+a 21+b ，即b =－a 1，代入②解得a ＞43. 解法二：设同解法一，由题意得 211222121212121110.22y ax y ax y y x x y y x x ⎧=-⎪=-⎪⎪-=⎨-⎪⎪+++=⎪⎩，①，②，③④ 将①②代入③④，并注意到a ≠0，x 1－x 2≠0，得1222122112.x x a x x a a ⎧+=⎪⎨⎪+=-+⎩， 由二元均值不等式易得2（x 12+x 22）＞（x 1+x 2）2（x 1≠x 2）. 将⑤⑥代入上式得2（－21a +a 2）＞（a 1）2，解得a ＞43.解法三：同解法二，由①－②，得y 1－y 2=a （x 1+x 2）（x 1－x 2）.∵x 1－x 2≠0，∴a （x 1+x 2）=2121x x y y --=1.∴x 0=221x x +=a21.∵M （x 0，y 0）∈l ， ∴y 0+x 0=0，即y 0=－x 0=－a 21，从而PQ 的中点M 的坐标为（a 21，－a21）.∵M 在抛物线内部， ∴a （a 21）2－（－a 21）－1＜0. 解得a ＞43.（舍去a ＜0，为什么?） 五．提炼总结以为师1.不等式与函数的综合是一类最常见的题目，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围，与函数有关的不等式证明等，解决此类综合题，要充分运用函数的单调性，注意函数的定义域，有时要与函数的奇偶性、周期性一起讨论.2.不等式与数列的综合题，一般来说多是证明题，要熟悉不等式的常用证明方法，特别是比较法、综合法、分析法、数学归纳法等，也可利用函数的思想.3.含有参数的不等式问题，要分析实质,灵活进行等价转化;化为熟悉的问题去解决，注意参数的范围和它对问题的影响.4.对于应用题要通过阅读，理解材料，寻找量与量之间的内在联系，抽象出数学关系，从而建立数学模型——不等式或函数最值问题，然后利用不等式的知识求出题中的问题.同步练习6.7不等式的综合应用【选择题】 1.设M =a +21-a （2＜a ＜3），N =log 21（x 2+161）（x ∈R ），那么M 、N 的大小关系是 A.M ＞N B.M =N C.M ＜N D.不能确定2.（2004福建）定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=f （x +2），当x ∈［3，5］时，f （x ）=2－|x －4|，则 ( )A.f （sin 6π）＜f （cos 6π） B.f （sin1）＞f （cos1） C.f （cos3π2）＜f （sin 3π2） D.f （cos2）＞f （sin2） 3．已知命题p ：函数)2(log 25.0a x x y ++=的值域为R;命题q ：函数xa y )25(--=是减函数.若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是( ） A ．a ≤1 B ．a <2 C ．1<a <2 D ．a ≤1或a ≥24.如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19千米，那么在8天之内它的行程就超过2200千米；如果它每天行程比原来少12千米，那么它行驶同样的路程就得花9天多的时间，这辆汽车原来每天行程的千米数x 满足：（ ）A.259<x<260B.258<x<260C.257<x<260D.256<x<260【填空题】5.对于0≤m ≤4的m ，不等式x 2+mx ＞4x +m －3恒成立，则x 的取值范围是____________.6.在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个自然数，并且使这两个自然数的和最小，1=□□91+. ◆简答提示：1-4.ADCD; 1. 易证M ＞4，N ≤4＜M . 2.可知当3≤x ≤4时，f （x ）=－2+x . 当4＜x ≤5时，f （x ）=6－x , 周期是2故在（－1，0）上增，在（0，1）上减.又由|cos2|＜|sin2|， ∴f （cos2）＞f （sin2）3．命题p:1a ≤；命题q:a<2.命题p 、q 一真一假得1<a <2。
5.4不等式的综合运用一、复习要求：二、基础训练1.设点在位于第一象限内的图像上运动，则最大值_.2. 已知则的取值范围为，的取值范围为.3. 若，且都是正实数，的最小值是4.（10东北）已知各项均为正数的等比数列满足：，若存在两项，使得，则的最小值为三、例题精选题型一不等式在方程及函数中的运用例1：若关于的方程有实数解，求实数的取值范围.:题型二含参不等式中参数的取值问题例2：若不等式对满足的所有都成立，求的取值范围.例3：关于的方程两根为，是否存在实数，使不等式对任意实数及恒成立？若存在，求范围，若不存在，说明理由.题型三不等式在应用题中的工具作用例4：某兴趣小组要测量电视塔的高度（单位：），如示意图，垂直放置的标杆的高度，仰角（1）该小组已测得一组的值，，根据此计算出的值；（2）该小组分析若干测得数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离（单位：）使与之差较大，可提高测量精度.若电视塔实际高度125，问为多少时，最大？例5：某厂统计资料显示，其中（为常数）已知生产一件正品盈利元，生产一件次品损失元（为给定常数）（1）求出，并将该厂的日盈利额（元）表示为日产量（件）的函数；（2）为获取最大盈利，该厂的日生产量应定为多少件？四、感受高考：1.（06江苏）不等式的解集是2.（06江西）若不等式对一切成立，则的最小值为3.（10天津）设对恒成立，则范围____4. (10安徽) 若对于中的实数，不等式均成立，则的范围5.（10徐州）已知函数（为常数，且），若在区间的最小值为4，则实数的值为五、巩固练习1.不等式的解集是.其中正确结论的序号是①；②；③；④；⑤.2. 命题方程有两个不等的负实根，命题方程无实根.若“或”为真，“且”为假，求的范围.3.若实数满足，则最大值是 .4. 若的等差中项是，且，则的最小值____5. 如果函数的最小值是，那么的值为6. 已知正数，满足若不等式恒成立，则的范围是__7. 如果当时，恒有成立，那么实数的取值范围是____8.（10苏州）如图，两个工厂相距，点为的中点，现要在以为圆心，为半径的圆弧上的某一点处建一幢办公楼，其中.据测算，此办公楼受工厂的“噪音影响度”与距离的平方成反比，比例系数是1，办公楼受工厂的“噪音影响度”与距离的平方也成反比，比例系数是4，办公楼受两厂的“总噪音影响度”是受两厂“噪音影响度”的和，设为.（1）求“总噪音影响度”关于的函数关系，并求出该函数的定义域；（2）当为多少时，“总噪音影响度”最小？9. 如图，给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.点在以为圆心的圆弧上变动.若其中，求的最大值.。
不等式（组）综合应用（讲义）➢ 课前预习不等式和方程的学习方法类似，都是从概念、性质、解法及应用等方面进行的．请回忆不等式的相关内容，并回答下列问题．1. 求不等式组的解集时，我们有两种方法：①背口诀：____________、____________、_______________、______________________．②画数轴：把不等式的解集表示在同一数轴上，并取其______．2. x =3______（填“是”或“不是”）不等式“30x -≤”的解．3. 若关于x 的一元一次不等式组122x a x x <⎧⎨-<-⎩的解集为13x <<，则a =_______．➢ 知识点睛1. 含参不等式（组）一般处理思路（1）系数中含有字母：①把不等式化成ax >b 或ax <b 的形式；②根据___________________，确定___________．（2）系数中不含字母：①_____________________；②_____________________；③_____________________．2. 知识之间组合（1）方程组与不等式组合：___________________，转化成一元一次不等式（组）求解．（2）方程与不等式组合：___________________，转化成一元一次不等式（组）求解．➢ 精讲精练1. 关于x 的一元一次不等式(1)5a x +<，若其解集为51x a <+，则a 的取值范围是_________；若其解集为51x a >+，则a 的取值范围是_________．2. 已知m ，n 为常数，若不等式0mx n -<的解集为1x >-，则20nx m +>的解集为___________．3. 若关于x 的不等式(2)50m n x m n -+->的解集为107x <，则关于x 的不等式mx n >（m ≠0）的解集为___________．4. 若关于x 的不等式组>2>x x a⎧⎨⎩的解集是2x >，则a 的取值范围是______________．5. 若关于x 的不等式组8>41x x x m+-⎧⎨⎩≤的解集是x <3，则m 的取值范围是______________．6. 若关于x 的不等式组1240x a x +>⎧⎨-⎩≤有解，则a 的取值范围是_______________．7. 若关于x 的不等式组3(2)4322x x x a x -->⎧⎪⎨--⎪⎩≥无解，则a 的取值范围是______________．8. 若关于x 的不等式组4050≥x a x a -<⎧⎨+-⎩无解，则a 的取值范围是_______________．9. 若关于x 的不等式x a ≤只有4个正整数解，则a 的取值范围是_______________．10. 若关于x 的不等式组721x m x <⎧⎨-<⎩的整数解共有3个，则m 的取值范围是_______________．11. 若关于x 的不等式组23335x x x a >-⎧⎨-⎩≥有2个整数解，则a 的取值范围是_______________．12. 若关于x ，y 的方程组24121x y k x y +=+⎧⎨-=-⎩的解满足7x y +≥，则k 的取值范围是_______________．13. 若关于x ，y 的方程组3133x y a x y +=+⎧⎨+=⎩的解满足12x y -<+<，则a 的取值范围是_______________．14. 已知4a b +=，23a b a <<，则a 的取值范围是___________．15. 已知23a b -=，97430a b <+<，则b 的取值范围是_________．16. 阅读下列材料，并解答问题．例题：已知2x y -=，且1x >，0y <，试确定x y +的取值范围．解：∵2x y -=∴2y x =-∵0y <∴20x -<∴2x <∵1x >∴12x <<∵222x y x x x +=+-=-∴02x y <+<请按照上述方法，完成下列问题：（1）已知3x y -=，且2x >，1y <，则2y x -的取值范围是____________________．（2）已知x <-1，y >1，若2x y a a -=<-（）成立，求x +y 的取值范围（结果用含a 的式子表示）．【参考答案】➢ 课前预习1. 大大取大、小小取小、大小小大中间找、大大小小找不着公共部分2. 是3. 3➢ 知识点睛不等式的基本性质，a 的符号解不等式组，确定大致范围，验证端点值解方程组并代入不等式，方程变形代入不等式➢ 精讲精练1. 1a >-，1a <-2. 2x >3. 35x < 4. 2a ≤5. 3m ≥6. 3a <7. 5a ≥8. 1a ≤9. 45a <≤10. 67m <≤11. 52a -<-≤12. 2k ≥13. 84a -<<14. 413a << 15. 2132b -<< 16. （1）725y x -<-<-（2）22a x y a +<+<--。
不等式的综合应用（2）1．某村计划建造一个室内面积为8002m 的矩形蔬菜温室。
在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地。
当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。
最大种植面积是多少？解：设矩形温室的左侧边长为a m ，后侧边长为b m ，则 a b=800. 蔬菜的种植面积).2(2808824)2)(4(b a a b ab b a S +-=+--=--=∴).(648248082m ab S =-≤当).(648,20,40,22m S b a b a ====最大值时即 即当矩形温室的左侧边长为40m ，后侧边长为20m 时， 蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m 2.2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n .（1）写出数列{}n a 的前三项321,,a a a ； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对任意的整数4>m ，有8711154<+++ma a a .解：（1）由1,121111=-==a a S a 得；由0,)1(2222221=-+==+a a S a a 得； 由.2,)1(23333321=-+==++a a S a a a 得（2）解：当2≥n 时，有,)1(2)(211n n n n n n a a S S a -⨯+-=-=-- ∴,)1(2211---⨯+=n n n a a ∴,)1(22221----⨯+=n n n a a …… .2212-=a a∴122111)1(2)1(2)1(22-----⨯++-⨯+-⨯+=n n n n n a a 11121212[1(2)]22(1)[(2)(2)(2)]2(1)[2(1)].33n n n n n n nn n ---------=+--+-++-=--=+-经验证a 1也满足上式，∴.1],)1(2[3212≥-+=--n a n n n（3）由通项公式得.24=a 当3≥n 且n 为奇数时，]121121[2311121-++=+--+n n n na a)2121(232222312222223123221213221----------+=+⨯<--++⨯=n n n n n n n n n n ；当m m 且4>为偶数时，m a a a 11154+++)212121(2321)11()11(14431654--++++<+++++=m mm a a a a a 878321)211(4123214=+<-⋅+=-m 。
当m m 且4>为奇数时，.87111111115454<++++<++++m m m a a a a a a a ∴对任意整数m>4，有8711154<+++ma a a 。
3．设10,||)(<<--=a ax a x x f 其中为常数。
（1）解不等式;0)(<x f（2）试推断函数)(x f 是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，说明理由.解：（1）∵10,||0)(<<<-⇔<a ax a x x f 。
当aa x a aa x a x a a x -<≤-<⇔<-⇔≥1,1)1(,即原不等式时；当a x aaa ax a x a a x <<++>⇔>+⇔<1,1)1(,原不等式时。
∴不等式的解集为}.11|{aa x aa x -<<+（2）⎩⎨⎧<++-≥--=--=)()1()()1(||)(a x ax a a x a x a ax a x x f 。
可知，当a x ≥时函数单调递增，当x <a时函数单调递减，所以函数2)()(a a f x f -=有最小值 。
4．如图，直线2121:)21,0(1:21+=±≠≠-+=x y l k k k kx y l 与相交于点P .直线l 1与x 轴交于点P 1，过点P 1作x 轴的垂线交直线l 2于点Q 1，过点Q 1作y 轴的垂线交直线l 1于点P 2， 过点P 2作x 轴的垂线交直线l 2于点Q 2，…，这样一直作下去，可得到一系列点 P 1、Q 1、P 2、Q 2，…，点P n （n=1，2，…）的横坐标构成数列{}.n x（Ⅰ）证明*),1(2111N n x kx n n ∈-=-+；（Ⅱ）求数列{}n x 的通项公式； （Ⅲ）比较5||4||22122+PP k PP n 与的大小.解：（Ⅰ）设点P n 的坐标是),(n n y x ，由已知条件得点Q n 、P n+1的坐标分别是：).2121,(),2121,(1+++n n n n x x x x 由P n+1在直线l 1上，得.121211k kx x n n -+=++∴),1()1(211-=-+n n x k x即*),1(2111N n x kx n n ∈-=-+。
（Ⅱ）由题设知 ,011,1111≠-=--=kx kx 又由（Ⅰ）知 )1(2111-=-+n n x kx ，∴数列}1{-n x 是首项为,11-x 公比为k21的等比数列.从而.*,)21(21,)21(111N n kx k k x nn n n ∈⨯-=⨯-=--即（Ⅲ）由⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=,2121,1x y k kx y 得点P 的坐标为（1，1）. ∴,)21(2)21(8)11(2)1(2||2222222-+⨯=--++-=n nn n n kkk kx x PP.945])10()111[(45||42222212+=+-+--=+k kk PP k① 当2121,21||>-<>k k k 或即时，5||4212+PP k >1+9=10. 而此时5||4||2.10218||2,1|21|021222+<∴=+⨯<∴<<PP k PP PP kn n 。
② 当)21,0()0,21(,21||0⋃-∈<<k k 即时，5||4212+PP k<1+9=10. 而此时 5||4||2,10218||2,1|21|21222+>∴=+⨯>∴>PP kPP PP kn n 。
5．某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年（今年为第一年）的利润为500(1+n21)万元（n 为正整数）.（Ⅰ）设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元（须扣除技术改造资金），求A n 、B n 的表达式；（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？解：（Ⅰ）依题设，A n =(500－20)+(500－40)+…+(500－20n)=490n －10n 2； B n =500[(1+21)+(1+221)+…+(1+n21)]－600=500n －n2500－100.（Ⅱ）B n －A n =(500n －n2500－100) －(490n －10n 2)=10n 2+10n －n2500－100=10[n(n+1) －n250－10].∵函数y=x (x +1)－x250－10在（0，+∞）上为增函数，∴当1≤n≤3时，n(n+1)－n250－10≤12－850－10<0；当n≥4时，n(n+1)－n250－10≥20－1650－10>0.∴仅当n≥4时，B n >A n .6． 经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速度υ（千米/小时）之间的函数关系为：)0(160039202>++=υυυυy ． （1）在该时段内，当汽车的平均速度υ为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到1.0千辆/小时）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 解：（1）依题意，,83920160023920)1600(3920=+≤++=vv y)/(1.1183920,,40,1600max 小时千辆上式等号成立时即当且仅当≈=∴==y v vv 。
（2）由条件得,10160039202>++v v v整理得v 2－89v +1600<0,即（v －25）（v －64）<0,解得：25<v <64.即当v =40千米/小时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/小时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米/小时． 7． 给出一个关于实数x 的不等式cc cx c x +≥+++1122(常数c>0)。
求证：当c ≥1时，不等式对一切实数x都成立．证：令f (x )=cx c x +++221（x ∈R ），设u =c x +2(u ≥c ).则f (x )=uu uu 112+=+(u ≥c ).∴f (x )cu c u c u cc uu cc )1)((1)1(1--=+-+=+-，要使不等式恒成立，即f (x )－cc 1+≥0.∵u≥c >0，∴只须u c －1≥0.∴u 2c≥1，u 2≥c1，∴x 2+c≥c1，∴x 2≥c1－c.要使原不等式对一切实数x 都成立，即使x 2≥c1－c 对一切实数x 都成立. ∵x 2≥0，∴c1－c≤0，∴c≥1(注意c>0)，∴当c≥1时，原不等式对一切实数x 都成立.8．已知集合A ＝﹛x ||x ―a |＜ax ，a ＞0﹜，若函数()sin cos f x x x ππ=- （x A ∈）是单调函数，求a 的取值范围.解：|x―a|＜ax ⇔01(1)*x a x a ax x a x a ax a x a >⎧⎪⎪->-⇒>⎨+⎪-<⇒-<⎪⎩（） 对于（*）：当1a ≥时，1a x a >-； 当01a <<时，1a x a-<。
∴当1a ≥时原不等式解集为1a a+∞+（，）； 当01a <<时解集为11aaa a +-（，）. ()sin cos )4f x x x x ππππ=-=-，当1a ≥时显然不单调。
