河南省南阳市一中2015-2016学年高一下学期开学考试数学试卷

南阳一中2016年春期高一年级开学考试数学试题第Ⅰ卷（共45分）一、选择题：本大题共9个小题,每小题5分,共45分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1。

频率分布直方图中,小长方形的面积等于（ ）A ．组距B ．频率C ．组数D ．频数2.下列命题中正确的是（ ）A ．若a b =，则a b =B ．若a b >，则a b >C ．若a b =，则//a bD ．若//a b ，//b c ,则//a c3.若直线()()321480a x a y ++-+=和直线()()52470a x a y -++-=相互垂直，则a 值为( ）A ．0B ．1C ．0或1D ．0或1-4.一批热水器共有98台,其中甲厂生产的有56台，乙厂生产的有42台，用分层抽样从中抽出一个容量为14的样本，那么甲、乙两厂各抽得的热水器的台数是（ ）A ．甲厂9台，乙厂5台B ．甲厂8台，乙厂6台C ．甲厂10台,乙厂4台D ．甲厂7台,乙厂7台 5.27cos tan 34ππ⋅的值为( ) A ．12- B ．32- C ．12D ．32 6。

函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ )A ．B ．C ．D ．7。

如右图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．12B ．1C ．34D ．328。

已知()f x 是定义在R 上的偶函数，它在[)0,+∞上是减函数，若()()lg 1f x f >，则x 的取值范围是（ ）A ．1,110⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()10,1,10⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()()0,110,+∞9。

在正三棱柱111C C AB -A B 中，若11C AB ⊥B ，则下列关于直线1C A 和1AB ，1C B 关系的判断正确的为（) A ．1C A 和1AB 垂直，和1C B 不垂直 B ．1C A 和1AB ，1C B 都垂直C ．1C A 和1AB ,1C B 都不垂直D ．1C A 和1AB 不垂直,和1C B 垂直第Ⅱ卷（共75分）二、填空题（每题5分，满分15分，将答案填在答题纸上) 10。

2015-2016学年河南省南阳一中高二（下）开学数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”的逆否命题是（）A．若ab≠0，则a≠0或b≠0B．若a≠0或b≠0，则ab≠0C．若ab≠0，则a≠0且b≠0D．若a≠0且b≠0，则ab≠02．（5分）已知数列{a n}的通项公式为a n＝，记数列{a n}的前n项和为S n，则使S n≤0成立的n的最大值为（）A．2B．3C．4D．53．（5分）设命题甲：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R；命题乙：0＜a＜1，则命题甲是命题乙成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件4．（5分）与圆C1：x2+（y+1）2＝1及圆C2：x2+（y﹣4）2＝4都外切的动圆的圆心在（）A．一个圆上B．一个椭圆上C．双曲线的一支上D．一条抛物线上5．（5分）已知{a n}为等比数列，S n是它的前n项和．若a2•a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝（）A．31B．32C．33D．346．（5分）若曲线f（x）＝sin x﹣cos x的切线的倾斜角为α，则α的取值范围为（）A．B．C．D．7．（5分）若正数x，y满足x+3y＝5xy，则3x+4y的最小值是（）A．B．C．5D．68．（5分）数列{a n}中，对所有的正整数n都有a1•a2•a3…a n＝n2，则a3+a5＝（）A．B．C．D．9．（5分）利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，利用2×2列联表，由计算可得K2≈8.806参照附表，得到的正确结论是（）A．有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”B．有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”C．在犯错误的概率不超过0.05%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.05%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”10．（5分）在△ABC中∠A＝60°，b＝1，其面积为，则角A的对边的长为（）A．B．C．D．11．（5分）F1、F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知定义域为R的奇函数y＝f（x）的导函数为y＝f′（x），当x≠0时，＞0，若a＝f（1），b＝﹣2f（﹣2），c＝（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若方程表示椭圆，则实数m的取值范围是．14．（5分）某学习小组进行课外研究性学习，为了测量不能到达的A、B两地，他们测得C、D两地的直线距离为2km，并用仪器测得相关角度大小如图所示，则A、B两地的距离大约等于（提供数据：，结果保留两个有效数字）15．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+2bx+c，函数f（x）在区间（0，1）内取极大值，在区间（1，2）内取极小值，则u＝的取值范围是．16．（5分）下列说法中①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”②“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件③对于常数m，n，“mn＜0”是“方程mx2+ny2＝1表示的曲线是双曲线”的充要条件④“p∨q为真”是“p∧q为真”的充分不必要条件其中说法正确的有（写出所有真命题的编号）．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2b sin A （Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cos A+sin C的取值范围．18．（12分）已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6+a8＝10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．19．（12分）已知函数，其中a∈R（1）若函数f（x）在（0，+∞）单调递增，求实数a的取值范围（2）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴，求函数f（x）的单调区间与极值．20．（12分）椭圆+＝1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，3），离心率e＝．（1）求椭圆方程；（2）若直线l：y＝kx﹣3与椭圆交于不同的两点M，N．若满足|AM|＝|AN|，求直线l的方程．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣ax﹣alnx（a∈R）．（1）当a＝1时，求证：∀x1，x2∈（1，+∞），均有f（x1）≥g（x2）（2）当x∈[1，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．22．（12分）已知点A（﹣1，0），B（1，0）直线AM，BM相交于点M，且k MA×k MB＝﹣2．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）过定点F（0，1）作直线PQ与曲线C交于P、Q两点，△OPQ的面积是否存在最大值，若存在，求出△OPQ面积的最大值，若不存在，请说明理由．2015-2016学年河南省南阳一中高二（下）开学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：一个命题的逆否命题是把原命题的题设和结论否定并且交换位置，∴命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”的逆否命题是若a≠0且b≠0，则ab≠0故选：D．2．【解答】解：∵数列{a n}的通项公式为a n＝，∴a1+a4＝a2+a3＝0，a5＝＞0，∴S3＜0，S4＝0，S5＞0，∴使S n≤0成立的n的最大值为4．故选：C．3．【解答】解：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R①a＝0，则1＞0恒成立②a≠0，则，故0＜a＜1由①②得0≤a＜1．即命题甲⇔0≤a＜1．因此甲推不出乙，而乙⇒甲，因此命题甲是命题乙成立的必要非充分条件．故选：B．4．【解答】解：由已知得C1的圆心坐标（0．﹣1），r1＝1，C2的圆心坐标（0，4），r2＝2，设动圆圆心M，半径r，则|MC1|＝r+1，|MC2|＝r+2，∴|MC2|﹣|MC1|＝1，由双曲线的定义可得：动圆的圆心在双曲线的一支上．故选：C．5．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，则可得a1q•a1q2＝2a1，即a4＝a1q3＝2，又a4与2a7的等差中项为，所以a4+2a7＝，即2+2×2q3＝，解得q＝，可得a1＝16，故S5＝＝31．故选：A．6．【解答】解：∵f（x）＝sin x﹣cos x，∴f′（x）＝cos x+sin x＝sin（x+θ）∈[﹣，]，∴﹣≤tanα≤，又α∈[0，π），解得α∈[0，]∪[，π）．故选：C．7．【解答】解：∵正数x，y满足x+3y＝5xy，∴＝1∴3x+4y＝（）（3x+4y）＝+++≥+2＝5当且仅当＝时取等号∴3x+4y≥5即3x+4y的最小值是5故选：C．8．【解答】解：由条件可知a3＝＝＝，a5＝＝．∴a3+a5＝．故选：A．9．【解答】解：计算K2≈8.806＞7.879，对照表中数据得出有0.005的几率说明这两个变量之间的关系是不可信的，即有1﹣0.005＝99.5%的把握说明两个变量之间有关系，故选：B．10．【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝60°，b＝1，∴S△ABC＝b•c•sin A＝×1×c×sin60°＝，解得c＝4，由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2b•c•cos A＝17﹣2×4×1×＝13，解得a＝；故选：D．11．【解答】解：因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB＝BF2＝AF2＝m，A为双曲线上一点，F1A﹣F2A＝F1A﹣AB＝F1B＝2a，B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1＝2a，BF2＝4a，F1F2＝2c，由∠ABF2＝60°，则∠F1BF2＝120°，在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2＝4a2+16a2﹣2•2a•4a•cos120°，得c2＝7a2，则e2＝7，解得e＝．故选：D．12．【解答】解：设g（x）＝xf（x），；∵x≠0时，；∴x＞0时，g′（x）＞0；∴g（x）在（0，+∞）上单调递增；∵f（x）为奇函数；∴b＝﹣2f（﹣2）＝2f（2），；又a＝f（1）＝1f（1）；∵ln2＜1＜2，g（x）在（0，+∞）上单调递增；∴g（ln2）＜g（1）＜g（2）；即（ln2）f（ln2）＜1f（1）＜2f（2）；∴c＜a＜b．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．【解答】解：∵方程表示椭圆，∴将方程化为标准形式，得可得，解之得﹣2＜m＜﹣1且m∴．故答案为：14．【解答】解：依题意，△ADC为等边三角形，∴AC＝2；在△BDC中，CD＝2，由正弦定理得：＝＝2，∴BC＝；在△ABC中，由余弦定理得AB2＝BC2+AC2﹣2BC•AC cos45°＝2+4﹣2××2×＝2，∴AB＝≈1.4km．故答案为：1.4km．15．【解答】解：f（x）＝x3+ax2+2bx+c，∴f′（x）＝x2+ax+2b，∵函数f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值∴f′（x）＝x2+ax+2b＝0在（0，1）和（1，2）内各有一个根f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0即，画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（﹣3，1），则u＝的几何意义表示平面区域内的点与（1，2）的直线的斜率，而K AB＝，K BC＝1，故u∈，故答案为：．16．【解答】解：①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”；故①错误，②④“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件，故②正确，③对于常数m，n，“mn＜0”是“方程mx2+ny2＝1表示的曲线是双曲线”的充要条件；故③正确，④当p真，q假时，满足p∨q为真，但p∧q为真不成立，即“p∨q为真”是“p∧q为真”的充分不必要条件不成立，故④错误；故正确的命题是②③，故答案为：②③三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解答】解：（Ⅰ）由a＝2b sin A，根据正弦定理得sin A＝2sin B sin A，所以，由△ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）＝＝＝．由△ABC为锐角三角形知，0＜A＜，0＜﹣A＜，∴＜A＜，，所以．由此有＜，所以，cos A+sin C的取值范围为（，）．18．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2＝0，a6+a8＝10．∴，解得，∴a n﹣1+（n﹣1）＝n﹣2．（2）＝．∴数列{}的前n项和S n＝﹣1+0+++…+，＝+0++…++，∴＝﹣1++…+﹣＝﹣2+﹣＝，∴S n＝．19．【解答】解（1）对f（x）求导得f′（x）＝﹣﹣，函数f（x）在（0，+∞）单调递增，∴f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，即﹣﹣≥0，即有a≤，由，∴a≤﹣1，即有a的取值范围（﹣∞，﹣1]；（2）对f（x）求导得f′（x）＝﹣﹣，由f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y轴，可知f′（1）＝﹣﹣a＝0，解得a＝，知，则f′（x）＝，令f′（x）＝0，解得x＝1或x＝3，由此知f（x）的增区间为（0，1），（3，+∞），减区间为（1，3）；函数f（x）在x＝1时取得极大值f（1）＝﹣2，f（x）在x＝3时取得极小值f（3）＝﹣1﹣ln3．20．【解答】解：（1）由一个顶点为A（0，3），离心率e＝，可得b＝3，＝，a2﹣b2＝c2，解得a＝5，c＝4，即有椭圆方程为+＝1；（2）由|AM|＝|AN|知点A在线段MN的垂直平分线上，由，消去y得（9+25k2）x2﹣150kx＝0，由k≠0，得方程的△＝（﹣150k）2＞0，即方程有两个不相等的实数根．设M（x1，y1）、N（x2，y2），线段MN的中点P（x0，y0），则x1+x2＝，∴x0＝＝，∴y0＝kx0﹣3＝﹣，即P（，﹣），∵k≠0，∴直线AP的斜率为k1＝﹣＝﹣，由AP⊥MN，得﹣＝﹣，∴25k2＝7，解得：k＝±，即有直线l的方程为y＝±x﹣3．21．【解答】证明：（1）a＝1时，f（x）＝x2﹣x﹣ln x，，f（x）在（1，+∞）上是增函数，f（x）min＝f（1）＝0，g'（x）＝﹣3x2+5x﹣4＜0，∴g（x）在（1，+∞）上是减函数，g（x）max＝g（1）＜0∴当a＝1时，∀x1，x2∈（1，+∞），均有f（x1）≥g（x2）…（5分）解：（2）由x∈[1，+∞）知，x+ln x＞0，…（6分）∴f（x）≥0恒成立等价于a≤在x∈[1，+∞）时恒成立，…（7分）令h（x）＝，x∈[1，+∞），有h′（x）＝＞0，…（8分）x∈[1，+∞），h'（x）＞0，h（x）单调递增，∴x∈[1，+∞）h（x）≥h（1）＝1，∴a≤1．∴a的取值范围是（﹣∞，1]．…（12分）22．【解答】解：（1）解：设M（x，y），（1分）则，，x≠1，（3分）∴，∴点M的轨迹C的方程，x≠±1．（未写范围扣一分）（4分）（2）由已知当直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程是y＝kx+1，联立，消去y得（k2+2）x2+2kx﹣1＝0，∵△＝（4k2）+4（k2+2）＝8（k2+1）＞0，∴k∈R，设P（x1，y1），Q（x2，y2），，，…（7分）＝＝…（10分）当且仅当k＝0时取等号，…（11分）△OPQ面积的最大值为．…（12分）。

河南省南阳市第一中学2015-2016学年高二下学期开学考试数学一、选择题：共12题1．公差不为零的等差数列a n的前n项和为S n,若a4是a3与a7的等比中项,S8=32,则S10等于A.18B.24C.60D.90【答案】C【解析】本题主要考查等差数列的前n项和公式及等比中项.由题意知,a42=a3∙a7,得a1=−32d,S8=8a1+8×8−12d=32,解得,a1=−3,d=2.所以S10=10×−3+10×10−12×2=60.选C.2．在ΔABC中,已知B=60°,C=45°,BC=8,AD⊥BC于D,则AD长为A.4(3−1)B.4(3+1)C.4(3+3)D.4(3−3)【答案】D【解析】本题主要考查解三角形.因为B=60°,C=45°,所以∠BAC=75°,∠DAC=45°,在直角三角形DAC中,设DC=x,则DA=x;在直角三角形BAD中,DB=33x,BC=DB+DC=33x+x=8,解得x=4(3−3).选D.3．若椭圆x2a2+y2b2=1过抛物线y2=8x的焦点,且与双曲线x2−y2=1有相同的焦点,则该椭圆的方程是A.x24+y22=1 B.x23+y2=1 C.x22+y24=1 D.x2+y23=1【答案】A【解析】本题主要考查圆锥曲线的几何性质. 抛物线y2=8x的焦点为2,0,双曲线x2−y2=1的焦点为2,0, −2,0,由题意知a2−b2=24a+0b=1,解得a2=4b2=2,所以椭圆的方程是x24+y22=1.选A.4．下列命题:①“在三角形ABC中,若sin A>sinB,则A>B”的逆命题是真命题;②命题p:x≠2或y≠3,命题q:x+y≠5,则p是q的必要不充分条件;③“∀x∈R,x3−x2+1≤0”的否定是“∀x∈R,x3−x2+1>0”;④“若a>b,则2a>2b−1”的否命题为“若a≤b,则2a≤2b−1”;其中正确的个数是A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】本题主要考查逻辑联结词.对①,“在三角形ABC中,若sin A>sinB,则A>B”的逆命题是“在三角形ABC中,若A>B,则sin A>sinB”,若A>B,则a>b,所以由正弦定理得,sin A>sinB,所以逆命题是真命题,①正确;对②,命题p:x≠2或y≠3,命题q:x+y≠5,若p则q的逆否命题是“若x+y=5则x=2且y=3”,x+y=5推不出x=2且y=3,但x=2且y=3时,x+y=5,所以p是q的必要不充分条件,②正确;对③,“∀x∈R,x3−x2+ 1≤0”的否定是“∃x∈R,x3−x2+1>0”,③错误;对④,“若a>b,则2a>2b−1”的否命题为“若a≤b,则2a≤2b−1”所以④正确.所以正确的命题有3个.选C.5．已知向量a=(2,−1,2),b=(2,2,1),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为A.652B.65C.4D.8【答案】B【解析】本题主要考查平面向量的数量积.设向量a与b的夹角为θ,a∙b=a b cosθ,a=22+−12+22=3,b=22+22+12=3,cosθ=2×2+−1×2+2×13×3=49,sinθ=659;以a,b为邻边的平行四边形的面积为S=b×a×sinθ=3×3×659=65.选B.6．已知直线y=−x+m是曲线y=x2−3ln x的一条切线,则m的值为A.0B.2C.1D.3【答案】B【解析】本题主要考查导函数的几何意义. 曲线y=x2−3ln x的导函数为y′=2x−3x,因为直线y=−x+m是曲线y=x2−3ln x的一条切线,所以2x−3x=−1,解得x=1,所以y=12−3ln1=1,所以1=−1+m,解得m=2.选B.7．等比数列{a n}共有奇数项,所有奇数项和S奇=255,所有偶数项和S偶=−126,末项是192,则首项a1=A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】本题主要考查等比数列的性质的应用.因为等比数列{a n}共有奇数项,令其有2n+1项;则奇数项有n+1个,偶数项有n个,令其公比为q;由题意得S奇=a1q0+q2+ q4+⋯+q2n−2+a2n+1=255,S偶=a1q1+q3+⋯+q2n−1=−126,所以q0+q2+q4+⋯+q2n−2 q1+q3+⋯+q2n−1=255−a2n+1−126=255−192−126=63−126=−12=1q,即q=−2;而a2n+1=192=a1q2n=4n a1,而S偶=a1q1+q3+⋯+q2n−1=−2a1(1−4n)1−4=−126,即4n a1=192a11−4n=−189,解得a1=3.选C.8．在ΔABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若3a cos B+b cos A=2c sin C,a+b=4,且ΔABC的面积的最大值为3,则ΔABC的形状为A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.正三角形【答案】C【解析】本题主要考查射影定理,基本不等式,三角形的面积公式.因为a cos B+b cos A=c,所以3c=2c sin C,即sin C=32;而4=a+b≥2ab,即ab≤4(当且仅当a=b=2时等号成立);而S=12ba sin C=34ba≤3(当且仅当a=b=2时S最大);此时a=b=2,所以ΔABC为等腰三角形.选C.【备注】三角形的面积公式:S=12bc sin A.9．若x、y满足x+y−2≥0kx−y+2≥0y≥0,且z=y−x的最小值为−4,则k的值为A.2B.−2C.12D.−12【答案】D【解析】本题主要考查线性规划问题.画出可行域(如图ΔABC所示);A2,0,B −2k ,0,C0,2;当过点B −2k,0时,z取得最小值z=2k=−4,即k=−12.选D.【备注】体会数形结合思想.10．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是A.245B.285C.5D.6【答案】C【解析】本题考查基本不等式.x+3y=5xy可变形为15y +35x=1；所以3x+4y= (3x+4y)(1 5y +35x)=3x5y+12y5x+45+95≥23x5y×12y5x+135=125+135=5.当且仅当x=2y=1时取等号.所以3x+4y的最小值是5.选C.11．已知双曲线x2a −y2b=1(a>0,b>0)的一条渐近线与圆(x−3)2+y2=9相交两点A,B,若|AB|=2,则该双曲线的离心率A.8B.22C.3D.32【答案】C【解析】本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质.双曲线的渐近线为bx+ay=0,圆心(3,0)到渐近线的距离d=9−1=a2+b2,整理得双曲线的离心率e=ca=3.选C.【备注】点到线的距离公式:d=00a2+b2.12．在数列{a n}中,a n=1−12+13−14+⋅⋅⋅+12n−1−12n,则a k+1等于A.a k+12k+1B.a k+12k+2−12k+4C.a k+12k+2D.a k+12k+1−12k+2【答案】D【解析】本题主要考查数列的通项.由题意得a k+1=1−12+13−14+⋅⋅⋅+12k−1−12k+1 2k+1−12k+2,a k=1−12+13−14+⋅⋅⋅+12k−1−12k,所以a k+1=a k+12k+1−12k+2.选D.二、填空题：共4题13．观察下面的算式:12=16×1×2×3,12+22=16×2×3×5,12+22+32=16×3×4×7,则12+22+⋅⋅⋅+n2=______(其中n∈N∗).【答案】16n(n+1)(2n+1)【解析】本题主要考查归纳推理.因为12=16×1×2×3,12+22=16×2×3×5,12+22+32=16×3×4×7,观察规律可知,12+22+⋅⋅⋅+n2=16n(n+1)(2n+1).14．已知抛物线C:y2=8x与点M(−2,2),过C的焦点,且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若MA⋅MB=0,则k=______.【答案】2【解析】本题主要考查平面向量的数量积,抛物线.由题意得抛物线的焦点F(2,0),AB:y= k(x−2);联立方程可得k2x2−4k2+8x+4k2=0,若A(x1,y1),B(x2,y2),套用韦达定理得x1+x2=4+8k ,x1x2=4,可得y1+y2=8k,y1y2=−16;而MA⋅MB=0,代入数据可得16k −16k+4=0,解得k=2.15．已知f(x)=x2+2xf′(1),则f′(0)=______.【答案】−4【解析】本题主要考查导函数的运算.因为f(x)=x2+2xf′(1),所以f′x=2x+2f′(1),所以f′1=2×1+2f′(1),解得f′1=−2,f′0=2×0+2f′1=2×−2=−4.所以f′0=−4.16．已知在长方体ABCD−A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A1到截面AB1D1的距离是______.【答案】43【解析】本题主要考查空间几何体的体积.在∆AB1D1中,AB1=AD1=25,B1D1=22,所以S AB1D1=12×22×20−2=6;而V A1−AB1D1=13×S AB1D1ℎ=13×S A1B1D1A1A=V A−A1B1D1,即ℎ=2×4S A B1D1=86=43.三、解答题：共6题17．设命题p:实数x满足x2−4ax+3a2<0,其中a>0;命题q:实数x满足x2−5x+6≤0.(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;(2)若p是q成立的必要不充分条件,求实数a的取值范围.【答案】(1)由x2−4ax+3a2<0得(x−3a)⋅(x−a)<0;又a>0,所以a<x<3a;当a=1时,1<x<3,即p为真命题时,实数x的取值范围是1<x<3;由x2−5x+6≤0得2≤x≤3,所以q为真时,实数x的取值范围是2≤x≤3.若p∧q为真,则2≤x<3,所以实数x的范围是2,3.(2)设A=x a<x<3a,B=x2≤x≤3;q是p的充分不必要条件,则B⊂A,所以0<a<23a>3⇒1<a<2;所以实数a的取值范围是(1,2)【解析】本题主要考查命题及其关系,逻辑联结词,充要条件. (1)p为真命题时,1<x<3,q 为真时,2≤x≤3;若p∧q为真,则实数x的范围是2,3;(2)q是p的充分不必要条件,则B⊂A,解得1<a<2,所以实数a的取值范围是(1,2).18．在ΔABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c,已知cos2A−3cos(B+C)=1.(1)求角A的大小;(2)若ΔABC的面积S=53,b=5,求sin B sin C的值.【答案】(1)由cos2A−3cos(B+C)=1,得2cos2A+3cos A−2=0,即(2cos A−1)(cos A+2)=0.解得cos A=12或cos A=−2 (舍去).因为0<A<π,所以A=π3.(2)由S=12bc sin A=12bc⋅32=34bc=53,得bc=20.又b=5,所以c=4.由余弦定理,得a2=b2+c2−2bc cos A=25+16−20=21,故a=21.又由正弦定理,得sin B sin C=ba sin A casin A=bca2sin2A=2021×34=57.【解析】本题主要考查诱导公式,三角形的面积公式,正余弦定理. (1)由诱导公式得cos A=12,因为0<A<π,所以A=π3;(2)由S=12bc sin A=53,得c=4;由余弦定理得a=21,又由正弦定理得sin B sin C=bca2sin2A=57.【备注】三角函数常考查:诱导公式,三角恒等变换,正余弦定理,三角形的面积公式等.19．已知等差数列{a n}的公差为2,前n项和为S n,且S1,S2,S4成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=(−1)n−14na n a n+1,求数列{b n}的前n项和T n.【答案】(1)因为S1=a1,S2=2a1+2×12×2=2a1+2,S4=4a1+4×32×2=4a1+12,由题意,得(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得a1=1; 所以a n=2n−1.(2)b n=(−1)n−14na n a n+1=(−1)n−14n(2n−1)(2n+1)=(−1)n−1(12n−1+12n+1)当n为偶数时,T n=(1+13)−(13+15)+⋯+(12n−3+12n−1)−(12n−1+12n+1)=1−12n+1=2n2n+1;当n为奇数时,T n=(1+13)−(13+15)+⋯−(12n−3+12n−1)+(12n−1+12n+1)=1+12n+1=2n+22n+1.所以T n=2n+22n+1,n为奇数2n2n+1,n为偶数(或T n=2n+1+(−1)n−12n+1).【解析】本题主要考查等差、等比数列的通项与求和.【备注】等差数列中a n=a1+(n−1)d,S n=n(a n+a1)2;等比数列中a n=a1q n−1,S n=a1(1−q n)1−q.20．某建筑工地要建造一批简易房,供群众临时居住,房形为长方体,高2.5米,前后墙用2.5米高的彩色钢板,两侧用2.5米高的复合钢板,两种钢板的价格都用长度来计算(即钢板的高均为2.5米,用长度乘以单价就是这块钢板的价格),每米单价:彩色钢板为450元,复合钢板为200元,房顶用其他材料建造,每平方米材料费为200元,每套房材料费控制在32000元以内.(1)设房前面墙的长为x,两侧墙的长为y,一套简易房所用材料费为p,试用x,y表示p.(2)一套简易房面积S的最大值是多少?当S最大时,前面墙的长度是多少?【答案】(1)依题得,根据长方体的表面积公式可知,p=900x+400y+200xy∵S=xy,∴p=900x+400y+200xy≥2900×400S+200S=200S+1200S又因为p≤32000,所以200S+1200≤32000,化简得S+6−160≤0, 解得−16≤S≤10,又S>0,∴0<S≤100,当且仅当900x=400yxy=100,即x=203时S取得最大值.答:每套简易房面积S的最大值是100平方米,当S最大时前面墙的长度是203米. 【解析】本题主要考查函数模型及其应用,基本不等式.21．如图,在四棱锥P−ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,PB⊥AC,AD⊥CD,且AD=CD=22,PA=2,点M在线段PD上.(1)求证:AB⊥平面PAC;(2)若二面角M−AC−D的大小为45°,试确定点M的位置.【答案】(1)因为PA⊥平面ABCD,AC,AB⊂平面ABCD,所以PA⊥AC,PA⊥AB; 又因为PB⊥AC,PA⊥AC,PA,PB⊂平面PAB,PA∩PB=P,所以AC⊥平面PAB;又因为AC⊥平面PAB,AB⊂平面PAB,所以AC⊥AB;因为AC⊥AB,PA⊥AB,PA,AC⊂平面PAC,PA∩AC=A,所以AB⊥平面PAC(2)因为PA⊥平面ABCD,又由(1)知BA⊥AC;建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz.则A(0,0,0),C(0,4,0),D(−2,2,0),P(0,0,2),PD=(−2,2,−2),AC=(0,4,0);设M(x,y,z),PM=tPD,则(x,y,z−2)=t(−2,2,−2);故点M坐标为(−2t,2t,2−2t),AM=(−2t,2t,2−2t)设平面MAC的法向量为n1=(x,y,z),则AC⋅n1=0, AM⋅n1=0.所以4y=0,−2tx+2ty+(2−2t)z=0.令z=1,则n1=(1−tt,0,1).又平面ACD的法向量n2=(0,0,1),所以cos45°=|n1⋅n2||n1|⋅|n2|=22,解得t=12;QUOTE* MERGEFORMAT故点M为线段PD的中点.【解析】本题主要考查线面垂直,空间角,空间向量的应用. (1)PA⊥AC,PB⊥AC,所以AC⊥平面PAB;又因为AC⊥平面PAB,所以AC⊥AB;而PA⊥AB,所以AB⊥平面PAC;(2)建立恰当的空间直角坐标系,得平面MAC的法向量n1=(1−tt,0,1),平面ACD的法向量n2=(0,0,1),所以cos45°=|n1⋅n2||n1|⋅|n2|=22,解得t=12;QUOTE *MERGEFORMAT故点M为线段PD的中点.【备注】立体几何的相关知识:线面平行与垂直、空间角、空间向量的应用等. 考查空间想象能力与运算求解能力.22．已知椭圆x2a +y2b=1(a>b>0)的右焦点到直线l:x=a2c的距离为455,离心率e=53,A,B是椭圆上的两动点,动点P满足OP=OA+λOB,(其中λ为常数).(1)求椭圆标准方程;(2)当λ=1且直线AB与OP斜率均存在时,求|k AB|+|k OP|的最小值;(3)若G是线段AB的中点,且k OA⋅k OB=k OG⋅k AB,问是否存在常数λ和平面内两定点M,N,使得动点P满足PM+PN=18,若存在,求出λ的值和定点M,N;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)由题设可知:a=3,c=5.又b2=a2−c2,∴b2=4.∴椭圆标准方程为x29+y24=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)则由OP=OA+OB得P(x1+x2,y1+y2).∴k AB⋅k OP=y1−y2x1−x2⋅y1+y2x1+x2=y12−y22x12−x22=−49.由|k AB|∈(0,+∞)得,|k AB|+|k OP|≥2|k AB⋅k OP|=43当且仅当k AB=±23时取等号(3)∵k AB⋅k OG=y1−y2x1−x2⋅y1+y2x1+x2=y12−y22x12−x22=−49.∴k OA·k OB=−49.∴4x1x2+9y1y2=0.设P(x,y),则由OP=OA+λOB得(x,y)=(x1,y1)+λ(x2,y2)=(x1+λx2,y1+λy2),即x=x1+λx2,y=y1+λy2.因为点A、B在椭圆4x2+9y2=36上, 所以4x2+9y2=36+36λ2+2λ(4x1x2+9y1y2).所以4x2+9y2=36+36λ2.即x29+9λ2+y24+4λ2=1,所以P点是椭圆x29+9λ2+y24+4λ2=1上的点,设该椭圆的左、右焦点为M,N,则由椭圆的定义PM+PN=18得18=29+9λ2,∴λ=±2M(30),N(−30).【解析】本题主要考查椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系.【备注】常考查直线与圆锥曲线的位置关系,椭圆、双曲线的标准方程,圆锥曲线中参数的求解.体会化归与转化思想,设而不求的思想.。

某某省某某第一中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学一、选择题：共10题1．下列说法中,正确的是A.幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)B.当a＝0时,函数y＝xα的图象是一条直线C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称,则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大D.幂函数y＝xα,当a<0时,在第一象限内函数值随x值的增大而减小【答案】D【解析】本题主要考查幂函数的图象与性质.由幂函数的图象与性质可知，A错误；当x=0时，y=0，故B错误；令a＝-1，则y=x-1，显然C错误；故D正确.2．如图所示,则这个几何体的体积等于A.4B.6C.8D.12【答案】A【解析】由三视图可知所求几何体为四棱锥,如图所示,其中SA⊥平面ABCD,SA=2,AB=2,AD=2,CD=4,且四边形ABCD为直角梯形,∠DAB=90°,∴V=SA×(AB+CD)×AD=×2××(2+4)×2=4,故选A.3．下列关于函数y＝f(x),x∈[a,b]的叙述中,正确的个数为①若x0∈[a,b]且满足f(x0)＝0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根,f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点;④用二分法求方程的根时,得到的都是根的近似值.A.0B.1C.3D.4【答案】B【解析】本题主要考查方程与根、二分法.由零点的定义知，零点是曲线与x轴交点的横坐标，故①错误；当f(a)=0时，无法用二分法求解，故②错误；显然，③正确；若f(x)=2x-x-1，在区间(-1,1)上的零点，用二分法，可得f(0)=0，显然，④错误.4．如图,在三棱锥S-ABC中,E为棱SC的中点,若AC＝,SA＝SB＝SC＝AB＝BC＝2,则异面直线AC与BE所成的角为A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】本题主要考查异面直线所成的角.取SA的中点D，连接BD、DE，则,是异面直线AC与BE所成的角或补角，由题意可得BD=BE=，DE=，即三角形BDE是等边三角形，所以5．如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF＝,则下列结论中错误的是A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.直线AB与平面BEF所成的角为定值D.异面直线AE、BF所成的角为定值【答案】D【解析】本题主要考查线面平行与垂直的判定定理、线面所成的角、异面直线所成的角，考查了空间想象能力.易证AC⊥平面BDD1B1，则AC⊥BE，A正确，不选；易知平面A1B1C1D1∥平面ABCD，则EF∥平面ABCD，B正确，不选；因为平面BEF即是平面BDD1B1，所以直线AB 与平面BEF所成的角为定值，故C正确，不选；故选D.6．若函数且)有两个零点,则实数a的取值X围是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查函数的性质与零点.当时，函数是减函数，最多只有1个零点，不符合题意，故排除A、D；令,易判断函数在区间上分别有一个零点，故排除C，所以B正确.7．已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l【答案】D【解析】本题涉及直线与平面的基本知识,意在考查考生的空间想象能力、分析思考能力,难度中等偏下.由于m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,则平面α与平面β必相交,但未必垂直,且交线垂直于直线m,n,又直线l满足l⊥m,l⊥n,则交线平行于l ,故选D.8．已知直线(1+k)x+y-k-2＝0过定点P,则点P关于直线x-y-2＝0的对称点的坐标是A.(3,﹣2)B.(2,﹣3)C.(3,﹣1)D.(1,﹣3)【答案】C【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.将(1+k)x+y-k-2＝0整理为：k(x-1)+x+y-2=0,则x-1=0且x+y-2=0,可得P(1,1),设点P的对称点坐标为(a,b),则，则x=3,y=-1,故答案：C.9．如图,平面⊥平面与两平面所成的角分别为和．过分别作两平面交线的垂线,垂足为,则＝A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查线面与面面垂直的判定与性质、直线与平面所成的角，考查了空间想象能力.根据题意，由面面垂直的性质定理可得，,则,则AB=2，则10．经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,若截距之和最小,则直线的方程为A.x＋2y-6＝0 B.2x＋y-6＝0 C.x-2y＋7＝0 D.x-2y-7＝0【答案】B【解析】本题主要考查直线方程、基本不等式.由直线的斜率为k(k<0)，则y-4=k(x-1),分别令x=0、y=0求出直线在两坐标轴上的截距为：4-k，1-,则4-k+1-,当且仅当-k=-，即k=-2时，等号成立，则直线的方程为2x＋y-6＝0二、填空题：共5题11．已知直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,则经过点A(3,2)且与直线垂直的直线方程为________．【答案】2x-y-4＝0【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.因为直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,所以(m+1)m-2=0,且8-(m-2),则m=1，直线: x+2y-1=0,根据题意，设所求直线方程为2x-y+t＝0，将点A(3,2)代入可得t=-4，即：2x-y-4＝012．用斜二测画法得到的四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形,其下底长为5,一腰长为,则原四边形的面积是________.【答案】8【解析】本题主要考查平面直观图.根据题意，直观图中，梯形的下底长为5，一腰长为,则易求上底为3，高为1，面积为,所以原四边形的面积是13．已知三棱锥A-BCD的所有棱长都为,则该三棱锥的外接球的表面积为________．【答案】3π【解析】本题主要考查空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力.将正方体截去四个角可得到一个正四面体，由题意，可将该三棱锥补成一个棱长为1的正方体，所以该三棱锥的外接球的直径即为正方体的对角线，所以2r=，则该三棱锥的外接球的表面积为S=14．已知关于x的方程有两根,其中一根在区间内,另一根在区间内,则m的取值X围是________．【答案】【解析】本题主要考查二次函数的性质与二元一次方程的根.设,由题意可知：，求解可得15．甲、乙、丙、丁四个物体同时以某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，，有以下结论：①当时，甲走在最前面；②当时，乙走在最前面；③当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.其中，正确结论的序号为_________(把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分).【答案】③④⑤【解析】①错误.因为，，所以，所以时，乙在甲的前面.②错误.因为，，所以，所以时，甲在乙的前面.③正确.当时，，的图象在图象的上方.④正确.当时，丙在甲乙前面，在丁后面，时，丙在丁前面，在甲、乙后面，时，甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱.⑤正确.指数函数增长速度越来越快，x充分大时，的图象必定在，，上方，所以最终走在最前面的是甲.三、解答题：共5题16．如图(1)所示,在直角梯形中,BC AP,AB BC,CD AP,又分别为线段的中点,现将△折起,使平面平面(图(2))．(1)求证:平面平面;(2)求三棱锥的体积．【答案】证明:(1)分别是的中点,∵平面,AB平面.∴平面.同理,平面,∵,EF平面平面∴平面平面.(2)＝.【解析】本题主要考查面面与线面平行与垂直的判定与性质、空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力与等价转化.(1)根据题意,证明、,再利用线面与面面平行的判定定理即可证明;(2)由题意易知，则结果易得.17．已知两点,直线,求一点使,且点到直线的距离等于2．【答案】设点的坐标为.∵．∴的中点的坐标为．又的斜率．∴的垂直平分线方程为,即．而在直线上．∴．①又已知点到的距离为2．∴点必在于平行且距离为2的直线上,设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:∴或．∴点在直线或上．∴或②∴①②得:或．∴点或为所求的点．【解析】本题主要考查直线方程与斜率、两条直线的位置关系、中点坐标公式.设点的坐标为，求出统一线段AB的垂直平分线，即可求出a、b的一个关系式；由题意知，点必在于平行且距离为2的直线上, 设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:，求出m的值，又得到a、b的一个关系式，两个关系式联立求解即可.18．(1)已知圆C经过两点,且被直线y=1截得的线段长为.求圆C的方程;(2)已知点P(1,1)和圆过点P的动直线与圆交于A,B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程.【答案】(1)设圆方程为.因为点O,Q在圆上,代入:又由已知,联立:解得:由韦达定理知:.所以:.即即:.即:.则.所以所求圆方程为:.(2)设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2). 由题意:,又.所以: 化简:所以M 点的轨迹方程为【解析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系、圆的性质、直线的斜率公式、方程思想.(1)设圆方程为，将y =1代入圆的方程，利用韦达定理，求出D 、E 、F 的一个关系式，再由点O 、Q 在圆上，联立求出D 、E 、F 的值，即可得到圆的方程;(2) 设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2)，由题意:,又，化简求解即可得到结论.19．如图,在四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD , AB ⊥AD , AC ⊥CD ,∠ABC ＝60°,PA ＝AB ＝BC ,E 是PC 的中点．C A PB D E(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小;(2)证明:AE ⊥平面PCD ;(3)求二面角A-PD-C的正弦值．【答案】(1)在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥A B.又AB⊥AD,PA∩AD＝A,从而AB⊥平面PAD,∴PB在平面PAD内的射影为PA,从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中,AB＝PA,故∠APB＝45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.(2)证明:在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥PA.由条件CD⊥AC,PA∩AC＝A∵CD⊥平面PA C.又AE⊂平面PAC,∴AE⊥C D.由PA＝AB＝BC,∠ABC＝60°,可得AC＝PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥P C.又PC∩CD＝C,综上得AE⊥平面PCD.(3)过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示．由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD.因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角．由已知,可得∠CAD＝30°.设AC＝a,可得PA＝a,AD＝a,PD＝a,AE＝在Rt△ADP中,∵AM⊥PD,∴AM·PD＝PA·AD,则AM＝＝.在Rt△AEM中,sin∠AME＝＝.所以二面角A—PD—C的正弦值为.【解析】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理、线面角与二面角，考查了空间想象能力.(1)根据题意，证明AB⊥平面PAD,即可得证∠APB为PB和平面PAD所成的角，则易求结果；(2)由题意，易证CD⊥平面PA C，可得AE⊥C D，由题意易知AC＝PA，又因为E是PC 的中点,所以AE⊥P C，则结论易证；(3) 过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示，由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD，因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角，则结论易求.20．诺贝尔奖的奖金发放方式为:每年一发,把奖金总额平均分成6份,分别奖励给在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半;另一半利息计入基金总额,以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示:1999年诺贝尔发放后基金总额约为19 800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1),2000年记为f(2),…,依次类推)(1)用f(1)表示f(2)与f(3),并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式;(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真,并说明理由．(参考数据:1.031 29≈1.32)【答案】(1)由题意知:f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%＝f(1)×(1＋3.12%),f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%＝f(2)×(1＋3.12%)＝f(1)×(1＋3.12%)2,∴f(x)＝19800(1＋3.12%)x-1(x∈N*)．(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19800(1＋3.12%)9＝26136,故2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%≈136(万美元),与150万美元相比少了约14万美元,是假新闻．【解析】本题主要考查指数函数、函数的解析式与求值,考查了分析问题与解决问题的能力、计算能力.(1)由题意知: f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%，f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%，化简，即可归纳出函数f(x)的解析式；(2)根据题意，求出2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)，再求出2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%，即可判断出结论.。

2015-2016学年河南省南阳一中高二（下）开学数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n．若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于（）A．18B．24C．60D．902．（5分）在△ABC中，已知B＝60°，C＝45°，BC＝8，AD⊥BC于D，则AD长为（）A．4（﹣1）B．4（+1）C．4（+3）D．4（3﹣）3．（5分）若椭圆过抛物线y2＝8x的焦点，且与双曲线x2﹣y2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程为（）A．B．C．D．4．（5分）下列命题正确的个数是（）A．“在三角形ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B”的逆命题是真命题；B．命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5则p是q的必要不充分条件；C．“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”；D．“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”．A．1B．2C．3D．45．（5分）已知，则以为邻边的平行四边形的面积为（）A．B．C．4D．86．（5分）已知直线y＝﹣x+m是曲线y＝x2﹣3lnx的一条切线，则m的值为（）A．0B．2C．1D．37．（5分）等比数列{a n}共有奇数项，所有奇数项和S奇＝255，所有偶数项和S偶＝﹣126，末项是192，则首项a1＝（）A．1B．2C．3D．48．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a cos B+b cos A）＝2c sin C，a+b＝4，且△ABC的面积的最大值为，则此时△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直线三角形C．等腰三角形D．正三角形9．（5分）若x，y满足，且z＝y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（）A．2B．﹣2C．D．﹣10．（5分）若正数x，y满足x+3y＝5xy，则3x+4y的最小值是（）A．B．C．6D．511．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣3）2+y2＝9相交于A，B两点，若|AB|＝2，则该双曲线曲离心率为（）A．8B．C．3D．12．（5分）在数列{a n}中，a n＝1﹣+﹣+…+﹣，则a k+1＝（）A．a k+B．a k+﹣C．a k+D．a k+﹣二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）观察下面的算式：，，，则12+22+…+n2＝（其中n∈N*）．14．（5分）已知抛物线C：y2＝8x与点M（﹣2，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C 交于A，B两点，若•＝0，则k＝．15．（5分）已知f（x）＝x2+2xf′（1），则f′（0）＝．16．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，高为4，则顶点A1到截面AB1D1的距离为．三、解答题（共70分）17．（10分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足x2﹣5x+6≤0（1）若a＝1，且q∧p为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）＝1．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S＝5，b＝5，求sin B sin C的值．19．（12分）已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1、S2、S4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝（﹣1）n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）在雅安发生地震灾害之后，救灾指挥部决定建造一批简易房，供灾区群众临时居住，房形为长方体，高2.5米，前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算（即钢板的高均为2.5米，用长度乘以单价就是这块钢板的价格），每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元，房顶用其他材料建造，每平方米材料费为200元，每套房材料费控制在32000元以内．（1）设房前面墙的长为x，两侧墙的长为y，一套简易房所用材料费为p，试用x，y表示p；（2）一套简易房面积S的最大值是多少？当S最大时，前面墙的长度是多少？21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD∥BC，PB⊥AC，AD⊥CD，且AD＝CD＝2，P A＝2，点M在线段PD上．（Ⅰ）求证：AB⊥平面P AC；（Ⅱ）若二面角M﹣AC﹣D的大小为45°，试确定点M的位置．22．（12分）已知椭圆的右焦点到直线的距离为，离心率，A，B是椭圆上的两动点，动点P满足，（其中λ为常数）．（1）求椭圆标准方程；（2）当λ＝1且直线AB与OP斜率均存在时，求|k AB|+|k OP|的最小值；（3）若G是线段AB的中点，且k OA•k OB＝k OG•k AB，问是否存在常数λ和平面内两定点M，N，使得动点P满足PM+PN＝18，若存在，求出λ的值和定点M，N；若不存在，请说明理由．2015-2016学年河南省南阳一中高二（下）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．【解答】解：∵a4是a3与a7的等比中项，∴a42＝a3a7，即（a1+3d）2＝（a1+2d）（a1+6d），整理得2a1+3d＝0，①又∵，整理得2a1+7d＝8，②由①②联立，解得d＝2，a1＝﹣3，∴，故选：C．2．【解答】解：由题意，∵B＝60°，C＝45°，∴A＝75°，∴在△ABC中，，∴AB＝8﹣8，∴AD＝AB sin60°＝4（3﹣）．故选：D．3．【解答】解：抛物线y2＝8x的焦点为（2，0），双曲线x2﹣y2＝1的焦点坐标为（，0），（﹣，0），所以椭圆过（2，0），且椭圆的焦距2c＝2 ，即c＝，则a2﹣b2＝c2＝2，即a2＝b2+2，所以设椭圆的方程为：+＝1，把（2，0）代入得：＝1即b2＝2，则该椭圆的方程是：．故选：A．4．【解答】解：对于A项“在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B”的逆命题为“在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin B”，若A＞B，则a＞b，根据正弦定理可知sin A＞sin B，∴逆命题是真命题，∴A正确；对于B项，由x≠2，或y≠3，得不到x+y≠5，比如x＝1，y＝4，x+y＝5，∴p不是q的充分条件；若x+y≠5，则一定有x≠2且y≠3，即能得到x≠2，或y≠3，∴p是q的必要条件；∴p是q的必要不充分条件，所以B正确；对于C项，“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x∈R，x3﹣x2+1＞0”；所以C不对．对于D项，“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”．所以D正确．故选：C．5．【解答】解：设向量和的夹角是θ，则由向量的数量积和题意得，cosθ＝＝＝，∴sinθ＝＝，∴以和为邻边的平行四边形的面积S＝2××||×||×＝．故选：A．6．【解答】解：曲线y＝x2﹣3lnx（x＞0）的导数为：y′＝2x﹣，由题意直线y＝﹣x+m是曲线y＝x2﹣3lnx的一条切线，可知2x﹣＝﹣1，所以x＝1，所以切点坐标为（1，1），切点在直线上，所以m＝1+1＝2．故选：B．7．【解答】解：设等比数列有2n+1项，则奇数项有n+1项，偶数项有n项，设公比为q，得到奇数项为奇数项为a1（1+q2+q4+…+q2n）＝255，偶数项为a1（q+q3+q5+…+q2n﹣1）＝﹣126，所以qa1（1+q2+q4+…+q2n）＝255q，即a1（q+q3+q5+…+q2n﹣1）+qa2n+1＝255q，可得：﹣126+192q＝255q，解得q＝﹣2．所以所有奇数项和S奇＝255，末项是192，＝＝255，即：解得n＝3．是共有7项，a7＝a1（﹣）6，解得a1＝3．故选：C．8．【解答】解：∵（a cos B+b cos A）＝2c sin C，∴（sin A cos B+sin B cos A）＝2sin2C，∴sin C＝2sin2C，且sin C＞0，∴sin C＝，∵a+b＝4，可得：4≥2 ，解得：ab≤4，（当且仅当a＝b＝2成立）∵△ABC的面积的最大值S△ABC＝ab sin C≤×4×＝，∴a＝b＝2，∴则此时△ABC的形状为等腰三角形．故选：C．9．【解答】解：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，可知直线kx﹣y+2＝0与x轴的交点在x+y ﹣2＝0与x轴的交点的右边，故由约束条件作出可行域如图，当y＝0，由kx﹣y+2＝0，得x＝，∴B（﹣）．由z＝y﹣x得y＝x+z．由图可知，当直线y＝x+z过B（﹣）时直线在y轴上的截距最小，即z最小．此时，解得：k＝﹣．故选：D．10．【解答】解：∵正数x，y满足x+3y＝5xy，∴＝1，即＝1，∴3x+4y＝（3x+4y）（）＝++≥+2＝5当且仅当＝即x＝1且y＝时取等号，∴3x+4y的最小值为：5故选：D．11．【解答】解：依题意可知双曲线的一渐近线方程为bx﹣ay＝0，∵|AB|＝2，圆的半径为3∴圆心到渐近线的距离为2，即＝2，解得b＝a∴c＝3a，∴双曲线的离心率为e＝＝3．故选：C．12．【解答】解：∵a n＝1﹣+﹣+…+﹣，∴a1＝1﹣，a2＝1﹣+﹣，…，a n＝1﹣+﹣+…+﹣，a k＝1﹣+﹣+…+﹣，所以，a k+1＝a k+﹣．故选：D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．【解答】解：由于所给的等式的左边，是非0自然数的平方和，右边是倍的连续的两个自然数n，（n+1）与一个2n+1的积，所以，猜想：12+22+32+…+n2＝n（n+1）（2n+1），故答案为：n（n+1）（2n+1）14．【解答】解：由抛物线C：y2＝8x得焦点（2，0），由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y＝k（x﹣2），代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0，△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．∴x1+x2＝4+，x1x2＝4．∴y1+y2＝，y1y2＝﹣16又•＝0，∴•＝（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）＝∴k＝2．故答案为：2．15．【解答】解：由f（x）＝x2+2xf′（1），得：f′（x）＝2x+2f′（1），取x＝1得：f′（1）＝2×1+2f′（1），所以，f′（1）＝﹣2．故f′（0）＝2f′（1）＝﹣4，故答案为：﹣4．16．【解答】解：如图，设A1C1∩B1D1＝O1，∵B1D1⊥A1O1，B1D1⊥AA1，∴B1D1⊥平面AA1O1，∴平面AA1O1⊥面AB1D1，交线为AO1，在面AA1O1内过A1作A1H⊥AO1于H，连接A1H，则A1H的长即是点A1到截面AB1D1的距离，在Rt△A1O1A中，A1O1＝，AO1＝3，由A1O1•A1A＝h•AO1，可得A1H＝故答案为：三、解答题（共70分）17．【解答】解：（1）p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0⇔（x﹣3a）（x﹣a）＜0，∵a＞0为，所以a＜x＜3a；当a＝1时，p：1＜x＜3；命题q：实数x满足x2﹣5x+6≤0⇔2≤x≤3；若p∧q为真，则p真且q真，∴2≤x＜3；故x的取值范围是[2，3）（2）p是q的必要不充分条件，即由p得不到q，而由q能得到p；∴（a，3a）⊃[2，3]⇔，1≤a≤2∴实数a的取值范围是[1，2]．18．【解答】解：（Ⅰ）由cos2A﹣3cos（B+C）＝1，得2cos2A+3cos A﹣2＝0，即（2cos A﹣1）（cos A+2）＝0，解得（舍去）．因为0＜A＜π，所以．（Ⅱ）由S＝＝＝，得到bc＝20．又b＝5，解得c＝4．由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝25+16﹣20＝21，故．又由正弦定理得．19．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1、S2、S4成等比数列．∴S n＝na1+n（n﹣1）（2a1+2）2＝a1（4a1+12），a1＝1，∴a n＝2n﹣1；（2）∵由（Ⅰ）可得b n＝（﹣1）n﹣1＝（﹣1）n﹣1＝（﹣1）n﹣1（+）．∴T n＝（1+）﹣（+）+（+）+…+（﹣1）n﹣1（+）．当n为偶数时，T n＝1+）﹣（+）+（+）+…+（+）﹣（+）＝1﹣＝．当n为奇数时，T n＝1+）﹣（+）+（+）+…﹣（+）+（+）＝1+＝．∴T n＝．20．【解答】解：（1）依题得，p＝2x×450+2y×200+xy×200＝900x+400y+200xy 即p＝900x+400y+200xy；（2）∵S＝xy，∴又因为，解得，∴0＜S≤100，当且仅当时S 取得最大值．答：每套简易房面积S的最大值是100平方米，当S最大时前面墙的长度是米．21．【解答】（Ⅰ）证明：因为P A⊥平面ABCD，AC，AB⊂平面ABCD，所以P A⊥AC，P A⊥AB，…（2分）又因为PB⊥AC，P A⊥AC，P A，PB⊂平面P AB，P A∩PB＝P，所以AC⊥平面P AB，…（3分）又因为AC⊥平面P AB，AB⊂平面P AB，所以AC⊥AB，…（4分）因为AC⊥AB，P A⊥AB，P A，AC⊂平面P AC，P A∩AC＝A，所以AB⊥平面P AC．…（6分）（Ⅱ）因为P A⊥平面ABCD，又由（Ⅰ）知BA⊥AC，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．则A（0，0，0），C（0，4，0），D（﹣2，2，0），P（0，0，2），，，设M（x，y，z），，则（x，y，z﹣2）＝t（﹣2，2，﹣2），故点M坐标为（﹣2t，2t，2﹣2t），，…（8分）设平面MAC的法向量为＝（x，y，z），则，…（9分）所以，令z＝1，则＝（）．…（10分）又平面ACD的法向量＝（0，0，1），所以cos45°＝＝，解得t＝，故点M为线段PD的中点．…（12分）22．【解答】解：（1）由题设可知：，解得，b＝2．∴椭圆标准方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）则由，得P（x1+x2，y1+y2）．∴．由|k AB|∈（0，+∞）得，，当且仅当时取等号；（3）∵＝．∴．∴4x1x2+9y1y2＝0．设P（x，y），则由，得（x，y）＝（x1，y1）+λ（x2，y2）＝（x1+λx2，y1+λy2），即x＝x1+λx2，y＝y1+λy2．∵点A、B在椭圆4x2+9y2＝36上，∴4x2+9y2＝36+36λ2+2λ（4x1x2+9y1y2）．∴4x2+9y2＝36+36λ2．即，∴P点是椭圆上的点，设该椭圆的左、右焦点为M、N，则由椭圆的定义PM+PN＝18，得18＝，∴，，．∴存在常数λ＝，和平面内两定点M（，0），N（，0），使得动点P 满足PM+PN＝18．。

南阳一中2015年秋期高一年级第二次月考数学答案一、选择题 DBCBD ABAAC CB二、填空题 13. 1350 14. )1,161[ 15. π3500 16. ]2016,1(20161 三、解答题17题解:（1）依题意有:{1,2},{1,2,3,4,5},{3,4,5,6,7,8}A B C ===∴{3,4,5}B C =，故有(){1,2}{3,4,5}{1,2,3,4,5}A B C ==（2）由{6,7,8},{1,2}U U C B C C ==；故有()()U U C B C C ={1,2,6,7,8}18题(1)证明 DA E D D ABB E D D ABB AD D ABB AB D ABB AD A AB AD AB D A AD D A 11111111111111111,,⊥∴⊆⊥∴⊆⊆=⋂⊥⊥，平面，又平面，平面平面且，， O 11145FD D ∠DF D ⊥CE F D F CE ⊥DF D 2，易求该角大小为即为该二面角的平面角，，可证，连结与作）过（ 19解：(1). a=1时，()2421x x f x =⋅--,令()0,f x = 即22(2)210x x ⋅--=,解得21x =或122x =-(舍) 所以0x =. 所以函数()f x 的零点为0.(2). 若()f x 有零点,则方程01242=--⋅x x a 有解. 于是221111112()()424224x x x x x a ⎡⎤+⎛⎫==+=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 因为1()02x >,所以112044a >-=, 即0a >P Q MDC A B N 20题（2）33)(可得距离为等体积转化（略解）根据CMN A ACN M V V --= 21题证明：（Ⅰ）连接BD .∵四边形ABCD 为菱形， 60=∠BAD ，∴△ABD 为正三角形．又Q 为AD 中点， ∴AD BQ ⊥．∵PD PA =,Q 为AD 的中点，∴AD PQ ⊥．又Q PQ BQ = ， ∴AD ⊥平面PQB ．（Ⅱ）当31=t 时，PA ∥平面MQB ． 下面进行证明： 连接AC 交BQ 于N ，连接MN ． ∵AQ ∥BC ， ∴12AN AQ NC BC ==． 又∵PC PM 31=， ∴12PM MC =． ∴12PM AN MC NC ==， ∴MN ∥PA . 又⊂MN 平面MQB ，⊄PA 平面MQB ， ∴PA ∥平面MQB ．【另解】 连接AC 交BQ 于N ，连接MN ． ∵AQ ∥BC ， ∴12AN AQ NC BC ==． 若PA ∥平面MQB ，又PA ⊂平面PAC ，平面MQB平面PAC MN =， ∴MN ∥PA . ∴12PM AN MC NC ==． ∴PC PM 31=，即31=t ． 22题.（1）由).1,1()(11011-∴<<->+-的定义域为，得x f x xx 又)()11log (11log )(22x f x x x x x x x f -=+-+--=-++=-，)(x f ∴为奇函数. )20152016()20152016(-+f f =0 ---------------------------------6分 （2）设1121<<<-x x ，则)1)(1()(2111121122211x x x x x x x x ++-=+--+-， 0)1)(1(,0,11211221>++>-∴<<<-x x x x x x ，011112211>+--+-∴x x x x ，即22111111x x x x +->+- 分10.上也是减函数)1,1(在11log )(从而得分9上是减函数，)1,1(在11log 函数22 -+-+-=-+-=∴xx x x f x x y )(x f e m x ≤--恒成立，即x e x f m -+≤)(恒成立令x e x f x h -+=)()(，则x e x f x h -+=)()(在定义域上是减函数， 则a e a a a a h x h m -++-+-==≤11log )()(2min 12分。

河南省南阳市第一中学2015-2016学年高二下学期开学考试数学（文）试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给有一项是符合题目要求的）1．命题“若0ab =，则0a =或0b =”的逆否命题是（ ） A ．若0ab ≠，则0a ≠或0b ≠ B ．若0a ≠或0b ≠，则0ab ≠ C ．若0ab ≠，则0a ≠且0b ≠D ．若0a ≠且0b ≠，则0ab ≠2．已知数列{}n a 的通项公式为325n a n =-，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则使0n S ≤成立的n 的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．设命题甲：2210ax ax ++>的解集是实数集R ；命题乙：01a <<，则命题甲是命题乙成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既非充分又非必要条件5．{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S 等于（ ）A ．31B ．32C ．33D ．346．若曲线()sin f x x x =的某切线倾斜角为a ，则a 的取值范围为（ ） A ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．20,,33πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．20,,33πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦7．已知正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是（ ） A ．245B ．285C ．5D ．68．数列{}n a 中，对所有的正整数n 都有2123n a a a a n ⋅⋅⋅⋅⋅=，则35a a +=（ ）A ．6116B ．259C ．2519D ．31159．利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，利用22⨯列联表，由计算可得28.806K ≈()2P K k >0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.7063.8415.0246.6357.87910.828参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”B ．有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”C ．在犯错误的概率不超过0.05%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.05%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”10．在ABC ∆中，60A ∠=︒，1b =，ABC S ∆，则角A 的对边的长为（ ）ABCD 11．如图，12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于点A 、B ．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．4 BCD12．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()0f x f x x '+>，若()1a f =，()22b f =--，11ln ln 22c f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1a f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ） A ．a c b <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c a b <<第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若方程22121x y m m -=++表示椭圆，则实数m 的取值范围是______． 4．某学习小组进行课外研究性学习，为了测量不能到达的A 、B 两地，他们测得C 、D 两地的直线距离为2km ，并用仪器测得相关角度大小如图所示，则A 、B 两地的距离大约等于______ 1.414≈ 1.732≈，结果保留两个有效数字）15．已知函数()3211232f x x ax bx c =+++，函数在区间()0,1内取得极大值，在区间()1,2内取得极小值，则21b u a -=-的取值范围是______．16．下列说法中①命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠” ②“1x >”是“0x >”的充分不必要条件③对于常数,m n ，“0mn <”是“方程221mx ny +=表示的曲线是双曲线”的充要条件 ④“p q ∨为真”是“p q ∧为真”的充分不必要条件 其中说法正确的有______（写出所有真命题的编号）三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2sin a b A =． （1）求B 的大小；（2）求cos sin A C +的取值范围．18．（12分）已知等差数列{}n a 满足2680,10a a a =+=-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．19．（12分）已知函数()264ln 4x x af x x x-+=-，其中a R ∈． （1）若函数()f x 在()0,+∞单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线垂直于y 轴，求函数()f x 的单调区间与极值．20．（12分）椭圆()222210x y a b a b +=>>的一个顶点为()0,3A ，离心率45e =．（1）求椭圆方程；（2）若直线:3l y kx =-与椭圆交于不同的两点,M N ．若满足AM AN =，求直线l 的方程．21．（12分）已知函数()()2ln f x x ax a x a R =--∈，()3253422g x x x x =-+-+． （1）当1a =时，求证：()12,1,x x ∀∈+∞，均有()()12f x g x ≥； （2）当[)1,x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．22．（12分）已知点()()1,0,1,0A B -，直线,AM BM 相交于点M ，且2MA MB k k ⨯=-． （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过定点()0,1F 作直线PQ 与曲线C 交于P 、Q 两点，OPQ ∆的面积是否存在最大值，若存在，求出OPQ ∆面积的最大值，若不存在，请说明理由．河南省南阳市第一中学2015-2016学年高二下学期开学考试数学（文）试题参考答案一、选择1-5DCCCA 6-10CCABD 11-12BD 11．【答案】B∴222214416224282c a a a a a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，∴c =，由此可得双曲线C 的离心率e =12．试题分析：设()()h x xf x =，∴()()()h x f x xf x ''=+，∵()y f x =是定义在R 上的奇函数，∴()h x 是定义在R 的偶函数，当0x >时，()()()0h x f x xf x ''=+>，此时函数()h x 单调递增.∵()1(1)1a f h ==，()2(2)2b f h =--=-，111(ln )(ln )ln 222c f h ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 又1212>>，∴b a c >>．故选D ． 二、填空题 13．332,,122⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 14．1.4km 15．1,14⎛⎫⎪⎝⎭16．②③ 三、解答题17．解：（1）由A b a sin 2=，根据正弦定理得A B A sin sin 2sin =，所以21sin =B ， 由ABC∆为锐角三角形得6π=B ． ………………5分（2）cos sin cos sin cos sin 663A C A A A A A ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+--=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (7)分由ABC ∆为锐角三角形知，653322326,20ππππππππ<+<⇒<<⇒>+<<A A A A 所以23)3sin(21<+<πA．由此有3232A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭， 所以C A sin cos +的取值范围为32⎫⎪⎪⎝⎭． ………………10分18．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得11021210a d a d +=⎧⎨+=-⎩，解得11,1.a d =⎧⎨=-⎩ 故数列{}n a 的通项公式为2n a n =-． ………………6分（2）设数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ， 即12122n n n S a a a -=++⋅⋅⋅+，故11S =，122242n n nS a a a =++⋅⋅⋅+， 所以，当1n ＞时，1211111112122222422n n n n n n n n S a a a a a n a ------⎛⎫=++⋅⋅⋅+-=-++⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭ 11211222n n n n n --⎛⎫=---= ⎪⎝⎭．所以12n n n S -=．综上，数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和12n n n S -=． ………………12分（用错位相减法也可）19．试题解析：（1）对()f x 求导得()'2114a f x x x=-- 函数()f x 在()0,+∞单调递增，∴()0f x '≥在()0,+∞恒成立21104a x x--≥，224404x a x x --≥，即2440x a x --≥，即244x x a -≤恒成立， 构造()()22244144x x x g x ---==≥-，∴1a ≤-，a 的取值范围(],1-∞- ………………4分（2）对()f x 求导得()2114a f x x x'=--，由()f x 在点()()1,1f 处的切线垂直于直线y 轴，可知()3104f a '=--=，解得34a =- ………………5分由（1）知()33ln 442x f x x x =---则()22434x x f x x-+'=， 令()0f x '=，解得1x =或3x =由此知函数f x 在1x =时取得极大值12f =- ………………10分()f x 在3x =时取得极小值()31ln3f =--． ………………12分20．解：（1）由一个顶点为()0,3A ，离心率45e =， 可得3b =，45c a =，222a b c -=，解得5a =，4c =，即有椭圆方程为221259x y +=…………4分（2）由AM AN =知点A 在线段MN 的垂直平分线上，由2231259y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()229251500k x kx -+=，由0k ≠，得方程的()21500k ∆=->，即方程有两个不相等的实数根． 设()11,N x y 、()22,N x y ，线段MN 的中点()00,P x y ， 则122150925k x x k +=+，∴1202752925x x k x k +==+， ∴002273925y kx k ==-+-，即227527,925925kP k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， ∵0k ≠，∴直线AP 的斜率为221227325189257525925k k k k k k --++=-=-+， 由AP MN ⊥，得22518125k k k +-=-，∴2257k =，解得：5k =±………………10分即有直线l的方程为3y x =-． ………………12分21．试题分析：（1）对()f x 进行求导得到其导函数，因为()f x 的一个极值点为1，所以()10f =，代入即可求出a 的值；（2）对()g x 进行求导得到其导函数，判断出其在[]1,4上的单调性，从而可以判断出最大值在哪个点取得，求出其最大值b ；代入()f x b ≥，分离参数a ，构造一个新函数()h x ，只需a 小于等于其最小值即可．试题解析：（1）1a =时，()2ln f x x x x =--，()()()221112121x x x x f x x x x x+---'=--== ()f x 在()1,+∞上是增函数，()()min 10f x f == ()23540g x x x '=-+-<，所以()g x 在()1,+∞上是减函数，()()max 10g x g =<当1a =时，()12,1,x x ∀∈+∞，均有()()12f x g x ≥ ………………5分（2）由[)1,x ∈+∞知，ln 0x x +>， ………………6分所以()0f x ≥恒成立等价于2ln x a x x≤+在[)1,x ∈+∞时恒成立， (7)分令()2ln x h x x x =+，[)1,x ∈+∞，有()()()212l n 0ln x x x h x x x -+'=≥+， ………………8分[)()()1,,0,x h x h x '∈+∞>单调递增所以[)1,x ∈+∞，()()11h x h ≥=，所以1a ≤． ………………12分22．试题分析：（2）求OPQ ∆的面积，可分割成两个同底的三角形，即2121x x OF S OPQ -⨯⨯=∆， 然后设出直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理写出两根和和两根积代入即可表示出面积的最大值．试题解析：（1）设(),M x y ， ………………1分 则(),111MA MB y yk k x x x ==≠±+-， ………………3分 ∴211y y x x ⨯=-+- ∴()22112y x x +=≠± （未写出范围扣一分） ………………4分（2）由已知当直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程是1y kx =+，联立22121y kx y x ⎧⎪⎨⎪=+=⎩+，消去y 得()222210k x kx ++-= ∵()()()222442810k k k ∆=++=+>，∴k R ∈， 设()()1122,,,P x y Q x y ，12122221,22k x x x x k k +=-=-++7分1212OPQS OF x x ∆=⨯⨯-==221111222≤+++⨯=k k ………………10分当且仅当0k =时取等号， ………………11分OPQ ∆面积的最大值为2． ………………12分。

2024-2025学年方城县第一高级中学高一开学考试数学试卷一、单选题（共8题，每题5分，共计40分）1.已知正数a ，b ，满足2a b +=，则ab 有（）A.最小值1B.C. D.最大值12.下列命题是全称量词命题的是（）A.存在一个实数的平方是负数B.至少有一个整数x ，使得23x x +是质数C.每个四边形的内角和都是360°D.x ∃∈R ，2x x =3.下列对象能构成集合的是（）A.我国近代著名的数学家 B.的所有近似值C.所有的欧盟成员国 D.2023年全国高考数学试题中所有难题4.{}110A x x =∈≤≤N ，{}260B x x x =∈+-=R ，则图中阴影部分表示的集合为（）．A.{}2B.{}3C.{}3,2-D.{}2,3-5.由实数x ，x -，||x ，所组成的集合，最多含元素个数为（）A.2B.3C.4D.56.下列说法正确的是（）A.ac bc =是a b =的充分条件B.1x ≥是21x ≥的必要条件C.四边形对角线互相垂直是四边形为菱形的充要条件D.“13x <<”是“0x ≥”的充分不必要条件7.已知集合{}24x A x =>，集合{}B x x a =<∣，若A B ⋃=R ，则实数a 的取值范围为（）A.(],2-∞B.[)2,+∞C.(),2-∞D.()2,+∞8.对于集合A ，B ，“⊆”不成立的含义是()A.B 是A 的子集B.A 中的元素都不是B 的元素C.A 中至少有一个元素不属于BD.B 中至少有一个元素不属于A二、多选题（共3题，每题6分，共计18分）9.（多选）下列说法中，正确的有（）A.空集是任何集合的真子集B.若A B ⊆，B C ⊆，则A C⊆C.任何一个集合必有两个或两个以上的真子集D.如果不属于B 的元素一定不属于A ，则A B⊆10.下列不等式中不成立的是（）A.若0a b >>，则22ac bc > B.若0a b >>，则22a b >C.若0a b <<，则22a ab b << D.若0a b <<，则11a b>11.若“x M ∃∈，0x <”为真命题，“x M ∃∈，4x ≥”为假命题，则集合M 可以是（）A .{}1x x < B.{}14x x -≤≤C.{}03x x ≤< D.{}44x x -<<三、填空题（共3题，每题5分，共计15分）12.已知全集U R =，集合{}13A x x =≤≤，{}24B x x =≥，则A B = __，()U A B = ð__.13.含有3个实数的集合既可表示成,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，又可表示成{a ²，a +b ，0}，则20232023a b +=_______14.“一元二次方程()()10x a x a ---=有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条件的是______；四、解答题（共5题，共计77分）15.已知0,0a b >>，求证：1a b ++++.16.已知全集为，集合{}023A x x a =<+≤，122B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭．（1）当1a =时，求A B ⋃；（2）若A B A = ，求实数a 的取值范围．17.已知集合{}2340A x Rax x =∈--=∣．（1）若1A ∈，求集合A （用列举法表示）；（2）若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．18.已知集合[]21,35A a a =+-，[]3,22B =．（1）当10a =时，求A B ⋂，A B ；（2）求能使A B A = 成立的实数a 的取值范围．19.甲、乙两人同时从A 地出发沿同一路线走到B 地，所用时间分别为1 s t ，2 s t ．甲有一半的时间以m m/s 的速度行走，另一半的时间以n m/s 的速度行走；乙有一半的路程以m m/s 的速度行走，另一半的路程以n m/s 的速度行走，且m n ≠．（1）请用含m ，n 的代数式表示甲、乙两人所用的时间1t 和2t ；（2）比较1t 与2t 的大小，并判断甲、乙两人谁先到达B 地。

2016春期期终高一数学参考答案及评分标准一、1-12 CABBD ABDCB BC二、13、52 14、π5 15、55 16、 7 三．17．解：（1）(1,5)=AD ，(1,)=---BC x y ，由=AD BC得x=-2,y=-5。

………………………………………………………………………………5分（2）(3,1),AB =(1,)BC x y =---，因为B ∠为直角，则AB BC ⊥，∴3(1)0x y ---=，又||||AB BC =，∴22(1)10x y ++=，再由3(1)y x =--，解得03x y =⎧⎨=-⎩或23x y =-⎧⎨=⎩．………………………………………………………………10分 18.解：(1)由所给数据计算得3.4)9.52.58.44.46.33.39.2(714)7654321(71=++++++⨯==++++++⨯=y t 289410149)(271=++++++=-∑=i i t t146.13)1()2()4.1()3())((71=⨯++-⨯-+-⨯-=--∑= y y t ti i i …………………………………4分5.02814)())((71271==---=∑∑==i i i i i t ty y t t b ，3.245.03.4=⨯-=-=t b y a 所求回归方程为3.25.0+=t y …………………………………………………………………………8分(2)由(1)知，05.0>=b ，故2009年至2015年该地区居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元.将2017年的年份代号9=t 代入(1)的回归方程，得8.6=y故预测该地区2017年该地区居民家庭人均纯收入约为6.8千元.………………………………12分19.解答(1)21)(-⋅=b a x f =21sin sin cos 32-+x x x ………………………………………2分 )62sin(2cos 212sin 23π-=-=x x x ππ==∴22)(T x f 的最小正周期函数………………………………………6分 （2）].65,6[62]2,0[ππππ-∈-∈x x 时，当 由正弦曲线x y sin =在]65,6[ππ-上的图像可知 当3262πππ==-x x 即时)(x f 取最大值1；当0662=-=-x x 即ππ时)(x f 取最小值21-. 函数]2,0[)(π在x f 上的最大值和最小值分别为1，21- ………………………………12分20.解：(1)从身高低于 1.80的同学中任选2人,其结果组成的基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共6个.选到的2人身高都在1.78以下的有：(A,B),(A,C),(B,C)共3个.记选到的2人都在 1.78以下为事件M ，所以2163)(==M P .………………………………………………………………………………6分 (2)从该小组同学中任选2人，所有结果组成的基本事件有：(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10个.选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在)9.23,5.18[ 中的事件有(C,D),(C,E),(D,E)，共3个.记选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在)9.23,5.18[中为事件N ，所以103)(=N P . ………………………………………………………………………………………………12分21解：(1)根据题意，则有1tan tan ,tan tan +=-=+p B A p B A ， 而1)1(1tan tan 1tan tan )tan(=+--=-+=+p p B A B A B A ，又B A ,是ABC ∆的内角， 所以4π=+B A ，则43)(π=+-π=B A C 。

2015-2016学年某某省某某市一中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2≤x}，则M∩N=（）A．{0} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}2．下列函数中，在（﹣∞，1）内是增函数的是（）A．y=1﹣x3B．y=x2+x C．y=D．y=3．已知a=log5，b=log23，c=1，d=3﹣0.6，那么（）A．a＜c＜b＜d B．a＜d＜c＜b C．a＜b＜c＜d D．a＜c＜d＜b4．若函数f（x）=2ax2﹣x﹣1在（0，1）内恰有一个零点，则a的取值X围是（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，1）D．[0，1）5．下列命题中正确的是（）A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥C．由五个面围成的多面体一定是四棱锥D．棱台各侧棱的延长线交于一点6．四面体ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD=2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D所成的角的大小是（）A．90° B．30° C．45° D．60°8．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B﹣AC﹣D，则四面体ABCD的外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π9．函数f（x）=log a（ax﹣2）在[1，3]上单调递增，则a的取值X围是（）A．（1，+∞）B．（0，2）C．（0，）D．（2，+∞）10．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（0，4），且AC=BC，则△ABC的欧拉线的方程为（）A．x+2y+3=0 B．2x+y+3=0 C．x﹣2y+3=0 D．2x﹣y+3=011．方程=k（x﹣1）+2有两个不等实根，则k的取值X围是（）A．（，+∞）B．（，1] C．（0，）D．（，1]12．设集合A={（x，y）|x2+y2≤|x|+|y|，x，y∈R}，则集合A所表示图形的面积为（）A．1+π B．2 C．2+π D．π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为．14．（log3）2﹣3+log0.25+（）﹣4=．15．当x∈（1，3）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值X围是．16．圆C的方程为x2+y2﹣6x+8=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知集合A={x|x2﹣x﹣12＜0}，集合B={x|x2+2x﹣8＞0}，集合C={x|x2﹣4ax+3a2＜0，a≠0}，（Ⅰ）求A∩（C R B）；（Ⅱ）若C⊇（A∩B），试确定实数a的取值X围．18．分别求出适合下列条件的直线方程：（Ⅰ）经过点a＞2，t=2且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍；（Ⅱ）经过直线2x+7y﹣4=0与7x﹣21y﹣1=0的交点，且和A（﹣3，1），B（5，7）等距离．19．一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的，（1）求每年砍伐面积的百分比；（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？（3）今后最多还能砍伐多少年？20．如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰在CD上，即A1O⊥平面DBC．（Ⅰ）求证：BC⊥A1D；（Ⅱ）求证：平面A1BC⊥平面A1BD；（Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离．21．如图，已知圆心坐标为（，1）的圆M与x轴及直线y=x分别相切于A，B两点，另一圆N与圆M外切、且与x轴及直线y=x分别相切于C、D两点．（1）求圆M和圆N的方程；（2）过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．22．已知函数，其反函数为y=g（x）．（Ⅰ）若g（mx2+2x+1）的定义域为R，某某数m的取值X围；（Ⅱ）当x∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值h（a）；（Ⅲ）是否存在实数m＞n＞2，使得函数y=h（x）的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]，若存在，求出m、n的值；若不存在，则说明理由．2015-2016学年某某省某某市一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2≤x}，则M∩N=（）A．{0} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】求出集合N，然后直接求解M∩N即可．【解答】解：因为N={x|x2≤x}={x|0≤x≤1}，M={﹣1，0，1}，所以M∩N={0，1}．故选B．【点评】本题考查集合的基本运算，考查计算能力，送分题．2．下列函数中，在（﹣∞，1）内是增函数的是（）A．y=1﹣x3B．y=x2+x C．y=D．y=【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用．【分析】逐一判断函数的单调性，推出正确结果即可．【解答】解：y=1﹣x3函数在（﹣∞，1）内是减函数．y=x2+x对称轴为x=﹣，在（﹣∞，1）内不是增函数．y==﹣1，在（﹣∞，1）内是增函数，满足题意．y=，函数在（﹣∞，1）内是减函数．故选：C．【点评】本题考查函数的单调性的判断，是基础题．3．已知a=log5，b=log23，c=1，d=3﹣0.6，那么（）A．a＜c＜b＜d B．a＜d＜c＜b C．a＜b＜c＜d D．a＜c＜d＜b【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用对数函数、指数数的性质求解．【解答】解：∵a=log5＜=﹣2，b=log23＞log22=1，c=1，0＜d=3﹣0.6＜30=1，∴a＜d＜c＜b．故选：B．【点评】本题考查四个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、指数数的性质的合理运用．4．若函数f（x）=2ax2﹣x﹣1在（0，1）内恰有一个零点，则a的取值X围是（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，1）D．[0，1）【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题．【分析】根据函数零点存在性定理，若函数f（x）=2ax2﹣x﹣1在（0，1）内恰有一个零点，则f（0）f（1）＜0，可得关于a的不等式，解不等式，即可求出a的X围．【解答】解：当△=0时，a=﹣，此时有一个零点x=﹣2，不在（0，1）上，故不成立．∵函数f（x）=2ax2﹣x﹣1在（0，1）内恰有一个零点，∴f（0）f（1）＜0，即﹣1×（2a﹣1）＜0，解得，a＞1，故选A【点评】本题考查了函数零点存在性定理，属基础题，必须掌握．5．下列命题中正确的是（）A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥C．由五个面围成的多面体一定是四棱锥D．棱台各侧棱的延长线交于一点【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】根据棱柱、棱锥、棱台的几何特征，即可得出结论．【解答】解：有两个面平行，其余各面是相邻的公共边都相互平行的平行四边形的几何体叫棱柱，故A错误；有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点三角形的几何体叫棱锥，故B错误；由5个面成的多面体可能是四棱锥或三棱柱，故C不正确；拿一个平行于底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台，故棱台各侧棱的延长线交于一点，即D正确．【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，棱锥的几何特征，棱台的几何特征，熟练掌握相关定义是解答的关键．6．四面体ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD=2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间角．【分析】取AD的中点G，连接EG、FG，由三角形中位线定理得EG∥CD，从而得到∠GEF是EF与CD所成的角，由此能求出EF与CD所成的角的大小．【解答】解：设CD=2AB=2，取AD的中点G，连接EG、FG，∵E、F分别为AC、BD中点，∴EG∥CD，且EG=，FG∥AB，且FG==．∵EF⊥AB，FG∥AB，∴EF⊥FG．∵EG∥CD，∴∠GEF是EF与CD所成的角，在Rt△EFG中，∵EG=1，GF=，EF⊥FG，∴∠GEF=30°，即EF与CD所成的角为30°．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D所成的角的大小是（）A．90° B．30° C．45° D．60°【考点】直线与平面所成的角．【专题】计算题．【分析】连接A1C1交B1D1于O，连接OB，说明∠A1BO为A1B与平面BB1D1D所成的角，然后求解即可．【解答】解：连接A1C1交B1D1于O，连接OB，因为B1D1⊥A1C1，A1C1⊥BB1，所以A1C1⊥平面BB1D1D，所以∠A1BO为A1B与平面BB1D1D所成的角，设正方体棱长为1，所以A1O=，A1B=，sin∠A1BO=，∠A1BO=30°．故选B．【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，找出直线与平面所成角是解题的关键，考查计算能力．8．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B﹣AC﹣D，则四面体ABCD的外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】球心到球面各点的距离相等，即可知道外接球的半径，就可以求出其体积了．【解答】解：由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半，则V球=π×（）3=．故选C．【点评】本题考查学生的思维意识，对球的结构和性质的运用，是基础题．9．函数f（x）=log a（ax﹣2）在[1，3]上单调递增，则a的取值X围是（）A．（1，+∞）B．（0，2）C．（0，）D．（2，+∞）【考点】复合函数的单调性．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得可得，由此解得a的X围．【解答】解：函数f（x）=log a（ax﹣2）在[1，3]上单调递增，可得，解得a＞2，【点评】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数的性质，属于基础题．10．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（0，4），且AC=BC，则△ABC的欧拉线的方程为（）A．x+2y+3=0 B．2x+y+3=0 C．x﹣2y+3=0 D．2x﹣y+3=0【考点】待定系数法求直线方程．【专题】直线与圆．【分析】由于AC=BC，可得：△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上，求出线段AB的垂直平分线，即可得出△ABC的欧拉线的方程．【解答】解：线段AB的中点为M（1，2），k AB=﹣2，∴线段AB的垂直平分线为：y﹣2=（x﹣1），即x﹣2y+3=0．∵AC=BC，∴△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上，因此△ABC的欧拉线的方程为：x﹣2y+3=0．故选：C．【点评】本题考查了欧拉线的方程、等腰三角形的性质、三角形的外心重心垂心性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．方程=k（x﹣1）+2有两个不等实根，则k的取值X围是（）A．（，+∞）B．（，1] C．（0，）D．（，1]【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得，函数y=的图象和直线y=k（x﹣1）+2有2个交点，数形结合求得k的X围．【解答】解：方程=k（x﹣1）+2有两个不等实根，即函数y=的图象和直线y=k（x﹣1）+2有2个交点．而函数y=的图象是以原点为圆心，半径等于1的上半圆（位于x轴及x轴上方的部分），直线y=k（x﹣1）+2，即kx﹣y+2﹣k=0 的斜率为k，且经过点M（1，2），当直线和半圆相切时，由=1，求得k=．当直线经过点A（﹣1，0）时，由0=k（﹣1﹣2）+3求得k=1．数形结合可得k的X围为（，1]，【点评】本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了函数和方程的转化及数形结合的数学思想，属于中档题．12．设集合A={（x，y）|x2+y2≤|x|+|y|，x，y∈R}，则集合A所表示图形的面积为（）A．1+π B．2 C．2+π D．π【考点】圆方程的综合应用；Venn图表达集合的关系及运算．【专题】综合题；数形结合；分类讨论；直线与圆．【分析】根据不等式，分别讨论x，y的取值，转化为二元二次不等式组，结合圆的性质进行求解即可．【解答】解：若x≥0，y≥0，则不等式等价为x2+y2≤x+y，即（x﹣）x2+（y﹣）2≤，若x≥0，y＜0，则不等式等价为x2+y2≤x﹣y，即（x﹣）x2+（y+）2≤，若x≤0，y≤0，则不等式等价为x2+y2≤﹣x﹣y，即（x+）x2+（y+）2≤，若x＜0，y≥0，则不等式等价为x2+y2≤﹣x+y，即（x+）x2+（y﹣）2≤，则对应的区域如图：在第一象限内圆心坐标为C（，），半径=，则三角形OAC的面积S==，圆的面积为×=π，则一个弓弧的面积S=π﹣，则在第一象限的面积S=π×（）2﹣2×（π﹣）=﹣+=+，则整个区域的面积S=4×（+）=2+π，故选：C【点评】本题主要考查区域面积的计算，根据条件利用分类讨论的数学数学化简条件，利用圆的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，比较复杂．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】图表型．【分析】由已知中的三视图，我们可以判断出该几何体的形状，及关键数据，代入棱锥体积公式，即可求出答案．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体有一个半圆锥和一个四棱维组合而成，其中半圆锥的底面半径为1，四棱锥的底面是一个边长为2为正方形，他们的高均为则V=（+4）•=故答案为：【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图判断出几何体的形状是解答本题的关键．14．（log3）2﹣3+log0.25+（）﹣4=．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用．【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：（log3）2﹣3+log0.25+（）﹣4=﹣4+1+4=．故答案为：．【点评】本题考查对数运算法则的应用，考查计算能力．15．当x∈（1，3）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值X围是（﹣∞，﹣5]．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用一元二次函数图象分析不等式在定区间上恒成立的条件，再求解即可．【解答】解：∵解：利用函数f（x）=x2+mx+4的图象，∵x∈（1，3）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，∴，即，解得m≤﹣5．∴m的取值X围是（﹣∞，﹣5]．故答案为：（﹣∞，﹣5]．【点评】本题考查不等式在定区间上的恒成立问题．利用一元二次函数图象分析求解是解决此类问题的常用方法．16．圆C的方程为x2+y2﹣6x+8=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】由于圆C的方程为（x﹣3）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣43）2+y2=4与直线y=kx ﹣2有公共点即可．【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣6x+8=0，整理得：（x﹣3）2+y2=1，即圆C是以（3，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣3）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C′（3，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即5k2﹣12k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值．故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣3）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知集合A={x|x2﹣x﹣12＜0}，集合B={x|x2+2x﹣8＞0}，集合C={x|x2﹣4ax+3a2＜0，a≠0}，（Ⅰ）求A∩（C R B）；（Ⅱ）若C⊇（A∩B），试确定实数a的取值X围．【考点】一元二次不等式的解法；集合的包含关系判断及应用；交集及其运算；补集及其运算．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）先通过解一元二次不等式化简集合A和B，再求集合B的补集，最后求出A∩（C R B）即可；（Ⅱ）由于一元二次方程x2﹣4ax+3a2=0的两个根是：a，3a．欲表示出集合C，须对a进行分类讨论：①若a=0，②若a＞0，③若a＜0，再结合C⊇（A∩B），列出不等关系求得a的取值X围，最后综合得出实数a的取值X围即可．【解答】解：（Ⅰ）依题意得：A={x|﹣3＜x＜4}，B={x|x＜﹣4或x＞2}，（C R B）={x|﹣4≤x≤2}∴A∩（C R B）=（﹣3，2]（Ⅱ）∴A∩B={x|2＜x＜4}①若a=0，则C={x|x2＜0}=∅不满足C⊇（A∩B）∴a≠0②若a＞0，则C={x|a＜x＜3a}，由C⊇（A∩B）得③若a＜0，则C={x|3a＜x＜a}，由C⊇（A∩B）得综上，实数a的取值X围为【点评】本小题主要考查一元二次不等式的解法、集合的包含关系判断及应用、交集及其运算=补集及其运算不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想．属于基础题．18．分别求出适合下列条件的直线方程：（Ⅰ）经过点a＞2，t=2且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍；（Ⅱ）经过直线2x+7y﹣4=0与7x﹣21y﹣1=0的交点，且和A（﹣3，1），B（5，7）等距离．【考点】直线的一般式方程．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）分别讨论直线过原点和不过原点两种情况，设出直线方程，解出即可；（Ⅱ）先求出直线的交点坐标，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式求出斜率k即可．【解答】解：（Ⅰ）当直线不过原点时，设所求直线方程为+=1，将（﹣3，2）代入所设方程，解得a=，此时，直线方程为x+2y﹣1=0．当直线过原点时，斜率k=﹣，直线方程为y=﹣x，即2x+3y=0，综上可知，所求直线方程为x+2y﹣1=0或2x+3y=0．…（Ⅱ）有解得交点坐标为（1，），当直线l的斜率k存在时，设l的方程是y﹣=k（x﹣1），即7kx﹣7y+（2﹣7k）=0，由A、B两点到直线l的距离相等得，解得k=，当斜率k不存在时，即直线平行于y轴，方程为x=1时也满足条件．所以直线l的方程是21x﹣28y﹣13=0或x=1．…【点评】本题考察了求直线方程问题，考察点到直线的距离公式，是一道中档题．19．一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的，（1）求每年砍伐面积的百分比；（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？（3）今后最多还能砍伐多少年？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题．【分析】（1）根据每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，设每年砍伐面积的百分比为x 可建立方程，解之即可得到每年砍伐面积的百分比；（2）设经过m年剩余面积为原来的．根据题意：到今年为止，森林剩余面积为原来的．可列出关于m的等式，解之即可；（3）根据题意设从今年开始，以后砍了n年，再求出砍伐n年后剩余面积，由题意，建立关于n的不等关系，利用一些不等关系即可求得今后最多还能砍伐多少年．【解答】解：（1）设每年砍伐面积的百分比为x （ 0＜x＜1）．则，即，解得（2）设经过m年剩余面积为原来的，则，即，，解得m=5故到今年为止，已砍伐了5年．（3）设从今年开始，以后砍了n年，则n年后剩余面积为令≥，即（1﹣x）n≥，≥，≤，解得n≤15故今后最多还能砍伐15年．【点评】本题主要考查函数模型的选择与应用、不等式的解法及指数式与对数式的互化．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．20．如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰在CD上，即A1O⊥平面DBC．（Ⅰ）求证：BC⊥A1D；（Ⅱ）求证：平面A1BC⊥平面A1BD；（Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由线面垂直得A1O⊥BC，再由BC⊥DC，能证明BC⊥A1D．（Ⅱ）由BC⊥A1D，A1D⊥A1B，得A1D⊥平面A1BC，由此能证明平面A1BC⊥平面A1BD．（III）由=，能求出点C到平面A1BD的距离．【解答】证明：（Ⅰ）∵A1O⊥平面DBC，∴A1O⊥BC，又∵BC⊥DC，A1O∩DC=O，∴BC⊥平面A1DC，∴BC⊥A1D．（Ⅱ）∵BC⊥A1D，A1D⊥A1B，BC∩A1B=B，∴A1D⊥平面A1BC，又∵A1D⊂平面A1BD，∴平面A1BC⊥平面A1BD．解：（III）设C到平面A1BD的距离为h，∵=，∴=，又∵=S△DBC，，∴．∴点C到平面A1BD的距离为．【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．如图，已知圆心坐标为（，1）的圆M与x轴及直线y=x分别相切于A，B两点，另一圆N与圆M外切、且与x轴及直线y=x分别相切于C、D两点．（1）求圆M和圆N的方程；（2）过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）圆M的圆心已知，且其与x轴及直线y=x分别相切于A，B两点，故半径易知，另一圆N与圆M外切、且与x轴及直线y=x分别相切于C、D两点，由相似性易得其圆心坐标与半径，依定义写出两圆的方程即可．（2）本题研究的是直线与圆相交的问题，由于B点位置不特殊，故可以由对称性转化为求过A点且与线MN平行的线被圆截得弦的长度，下易解．【解答】解：（1）由于⊙M与∠BOA的两边均相切，故M到OA及OB的距离均为⊙M的半径，则M在∠BOA的平分线上，同理，N也在∠BOA的平分线上，即O，M，N三点共线，且OMN为∠BOA的平分线，∵M的坐标为（，1），∴M到x轴的距离为1，即⊙M的半径为1，则⊙M的方程为，设⊙N的半径为r，其与x轴的切点为C，连接MA，NC，由Rt△OAM∽Rt△O可知，OM：ON=MA：NC，即得r=3，则OC=，则⊙N的方程为；（2）由对称性可知，所求的弦长等于过A点直线MN的平行线被⊙N截得的弦的长度，此弦的方程是，即：x﹣﹣=0，圆心N到该直线的距离d=，则弦长=2．【点评】本题考查直线与圆的位置关系以及直线与圆相交的性质，属于直线与圆的方程中综合性较强的题型，题后注意题设中条件转化的技巧．22．已知函数，其反函数为y=g（x）．（Ⅰ）若g（mx2+2x+1）的定义域为R，某某数m的取值X围；（Ⅱ）当x∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值h（a）；（Ⅲ）是否存在实数m＞n＞2，使得函数y=h（x）的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]，若存在，求出m、n的值；若不存在，则说明理由．【考点】函数的最值及其几何意义；反函数．【专题】分类讨论；分析法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）求得g（x）=，由定义域为R，可得mx2+2x+1＞0恒成立，即有m＞0，判别式小于0，解不等式即可得到所求X围；（Ⅱ）令，即有y=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，讨论对称轴和区间的关系，运用单调性，即可得到所求最小值；（III）h（x）=7﹣4x，x∈（2，+∞），且h（x）在x∈（2，+∞）上单调递减，可得h（n）=m2，h（m）=n2，两式相减，即可判断．【解答】解：（Ⅰ）由函数，可得其反函数为y=，因为定义域为R，即有mx2+2x+1＞0恒成立，所以，解得m∈（1，+∞）；（Ⅱ）令，即有y=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，当a＞2，区间[，2]为减区间，t=2时，y min=7﹣4a；当≤a≤2，t=a时，y min=3﹣a2；当a＜，区间[，2]为增区间，t=时，y min=﹣a．则；（III）h（x）=7﹣4x，x∈（2，+∞），且h（x）在x∈（2，+∞）上单调递减．所以，两式相减得，m+n=4，与m＞n＞2矛盾，所以不存在m，n满足条件．【点评】本题考查函数的定义域和值域的求法，考查二次函数的最值的求法，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．。