一元一次方程知识结构图

一元一次方程九宫格
一元一次方程是指形式为ax+b=0的方程，其中a和b是已知数，x是未知数。

九宫格是一个3x3的方格，我们可以用九宫格来解一
元一次方程。

下面我会从多个角度来解释如何将一元一次方程和九
宫格联系起来。

首先，我们可以将一元一次方程的解法与九宫格联系起来。

对
于方程ax+b=0，我们可以通过移项和合并同类项的操作，将方程的
解表示为x=-b/a。

在九宫格中，我们可以将a和b的值分别填入九
宫格的相应位置，然后通过计算-b/a来求得x的值，从而得到方程
的解。

其次，我们可以将九宫格应用于一元一次方程的教学中。

通过
将方程的系数和常数项填入九宫格中，学生可以更直观地理解方程
的结构和解法。

这种视觉化的方法有助于学生加深对一元一次方程
的理解，并且可以帮助他们更好地掌握方程的求解方法。

此外，九宫格还可以用于解决一元一次方程的实际问题。

例如，我们可以将一个实际问题转化为一元一次方程，然后将方程的系数
和常数项填入九宫格中，通过计算得到未知数的值，从而解决实际
问题。

总的来说，一元一次方程和九宫格可以联系起来，通过九宫格的形式化和可视化特点，有助于学生更好地理解和掌握一元一次方程的求解方法，同时也可以应用于解决实际问题。

希望这些解释能够帮助你更好地理解一元一次方程和九宫格的关系。

七年级数学上册第五章《一元一次方程》知识结构图：
知识要点：
1、方程
含有未知数的等式叫做方程。

2、方程的解
能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

3、等式的性质
（1）等式的两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。

（2）等式的两边同时乘以同一个数（（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。

4、一元一次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。

5、解一元一次方程的一般步骤：
（1）去分母（2）去括号（3）移项（把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫移项。

）（4）合并同类项（5）将未知数的系数化为1。

七年级上学期数学章节知识点总结第一章：有理数1、知识点结构图如下：2、回顾与思考本章我们在小学学习的基础上，进一步认识了负数，使数的范围扩充到有理数。

引入负数不仅可以表示具有相反意义的量，而且还拓展了减法运算的范围。

由此，类似于x+2=1的方程就可以解了。

我们知道，有理数是整数与分数的统称。

由于整数可以看成是分母为1的分数，因此有理数可以写成qp （p、q 是整数，q≠0）的形式；另一方面，形如q p （p、q 是整数，q≠0）的数都是有理数。

所以，有理数可用q p （p、q 是整数，q≠0）表示。

本章我们研究了有理数的加、减、乘、除和乘方运算。

实际上，与负数有关的运算，我们都借助绝对值，将它们转化为正数之间的运算。

数轴不仅能直观表示数，而且还能帮助我们理解数的运算。

在运算的过程中，数形结合、转化是很重要的思想方法。

我们从具体数的加法和乘法中，归纳出了交换律、结合律和分配律等运算律。

运算律不仅能给数的运算带来方便，而且还是今后研究代数问题(如解方程、不等式等)的基础。

请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧。

1。

你能举出一些实例，说明正数、负数在表示相反意义的量时的作用吗?2。

你能用一个图表示有理数的分类吗?引入负数后，减法中哪些原来不能进行的运算可以进行了?3。

怎样用数轴表示有理数?数轴与普通直线有什么不同?怎样利用数轴解释一个数的绝对值和相反数?4。

有理数的加法与减法、乘法与除法各有什么关系?有理数的混合运算都能转化为加法与乘法运算吗?5。

有理数有哪些运算律?结合例子说明运算律在有理数运算中的作用。

第二章：整式的加减法1、知识点结构图如下：2、回顾与思考本章学习了整式的有关概念与整式的加减运算。

由具体的数到用字母表示数，可以简明地表达一些一般的数量和数量关系，给研究问题和计算带来方便，这是数学上的一个重大发展。

从数到式，字母参与运算，得到了各种式子。

其中表示数或字母的积的式子叫做单项式，几个单项式的和叫做多项式。

第一章：有理数★知识结构图：正分数负分数 正整数负整数★正数和负数 概念、定义：1.大于0的数叫做正数（positive number）。

2.在正数前面加上负号“-”的数叫做负数（negative number）。

3.整数和分数统称为有理数（rational number）。

4.规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（number axis）。

5.在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点（origin）。

6.一般的，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值（absolute value）。

7.一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

8.正数大于0，0大于负数，正数大于负数。

两个负数，绝对值大的反而小。

★有理数加法法则：1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的负号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0。

3.一个数同0相加，仍得这个数。

4.有理数的加法中，两个数相加，交换交换加数的位置，和不变。

5.有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先将后两个数相加，和不变。

6.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

★有理数乘法法则1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值向乘；任何数同0相乘，都得0。

2. 有理数中仍然有：乘积是1的两个数互为倒数。

3. 一般的，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。

4.三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。

5.一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。

★有理数除法法则1.除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

2.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何一个不等于0的数，都得0。

★做有理数混合运算时，应注意以下运算顺序：。

1 第一章：有理数★知识结构图：正分数负分数正整数0负整数第二章：整式的加减★知识结构图：2★概念、定义：1.都是数或字母的积的式子叫做单项式（monomial），单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数（coefficient）。

32.一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

3.几个单项的和叫做多项式，其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。

4.多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

5.把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

6.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母和字母的指数不变。

7.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；8.如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。

4第三章:一元一次方程知识结构图：概念、定义：1.含有一个未知数，未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程。

3等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

5.等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以一个不为0的数，结果仍相等。

56.把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。

7.工程问题：工作总量=工作效率×时间盈亏问题：利润=售价－成本利率=利润÷成本×100％售价=标价×折扣数×10％储蓄利润问题：利息=本金×利率×时间本息和=本金+利息三:图形的初步认识知识结构图：61.我们把实物中抽象的各种图形统称为几何图形（geometric figure）。

72.有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形（solid figure）。

3.有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形（plane figure）。

七年级数学（上）知识点人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容.第一章 有理数一． 知识框架二．知识概念1.有理数：(1)凡能写成)0p q ,p (pq ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1；若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a 、b 互为负倒数.7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）. 10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a . 13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。

初中语文知识结构图字音3.汉字2.字形4.含义5.色彩9.词语 6.近义词辨析7.熟语8.关联词语点号12.标点符号11.误用辨析47 27.基础知识13.常见修辞格初15.修辞中辞格辨语词类文20.语法17.短语18.复句19.辨析修改病句21.作家作品24.文学文化常识22.名篇名句23.文化常识45.知识体系26.语言表达——25.简明、连贯、得体28.常见实词31.文章内容的归纳，中心的概括29.常见虚词34.古代诗文阅读30.一词多义32.实词、虚词33.文章内容的理解（翻译、断句）35.文体知识36.依据作品内容进行的合理推断37.作文作品语言、表达技巧和形象的鉴赏38.文学作品思想内容、作者态度的评价44.现代文阅读39.重要句子的理解和解释40.重点词语的理解41.文中信息的分析和筛选42.内容的归纳，中心的概括43.结构的分析，思路的把握46.中考复习初中数学知识结构图1.有理数（正数与负数）2.数轴6.有理数的概念 3.相反数4.绝对值5.有理数从大到小比较7.有理数的加法、加法运算律17.有理数8.有理数的减法9.有理数的加减混和运算10.有理数的乘法、乘法运算16.有理数的运算11.有理数的除法、倒数12.有理数的乘方21.代数式13.有理数的混和运算22、列代数式14.科学记数法、近似数与有效数字23、代数式的值15.用计算器进行简单的数的运算18.单项式27、整式的加减20、整式的概念19、多项式24、合并同类项25、去括号与添括号26、整式的加减法28、等式及其基本性质29、方程和方程的解、解方程32、一元一次方程30、一元一次方程及其解法198 31、一元一次方程的应用初、二元一次方程组的解法中36、相关概念及性质数193 39、二元一次方程组37、三元一次方程组及其解法举例学数、一次方程组的应用. 与43、一元一次不等式40、一元一次不等式及其解法代45、一元一次不等式41、不等式的解集数和一元一次不等、一元一次不等式组42、不等式和它的基本性质式组46、同底数幂的乘法、单项式的乘法47、幂的乘法、积的乘方51、整式的乘法48、单项式与多项式相乘49、多项式的乘法56、整式的乘除50、平方差与完全平方根52、多项式乘以单项式55、整式的除法53、单项式除以单项式54、同底数幂的除法57、提取61、方法58、运用公式法63、因式分解59、分组分解法62、意义60、其他分解法66、含字母系数的65、分式的乘除法——64、分式的乘除运算一元一次方程69、可化为一元一次方程的分式方程及其应用67、分式方程解法、72、分式70、分式的意义和性质阵根71、分式的加减法68分式方程的应用73、平方根与立方根75、数的开方74、实数86、二次根式的意义76、最简二次根式79、二次根式的乘除法77、二次根式的除法87、二次根式78、二次根式的加减法82、二次根式的加减法80、二次根式的加减法81、同类二次根式85、二次根式的混合运算83、二次根式的混合运算84、有理化因式93、一元二次方程的解法193 98、一元二次方程的意义数100、二元二次方程组与102、一元二次方程99、*一元二次方程组的根与系数的关系代94、分式方程的解法数97、可化为一元二次方程95、*无理方程的意义、解法的分式方程式和无理方程96、分式方程、无理方程的应用101、一元二次方程的应用103、一次函数与一元一次不等式106、一次函数104、一次函数图像的图像和性质105、正比例函数的图像和性质108、二次函数——107二次函数的有关概念113、函数及其图像109、平面直角坐标系198 110、函数初111、函数的图像中112、反比例函数数114、线段学116、线段、角115、角117、相交线、对顶角、邻角、补角120、相交线118、垂线、点到直线的距离119、同位角、内错角、同旁内角126、相交、平行123、平行线121、平行线概念及性质122、平行线的判定194 124、空间直线、平面的位置关系空125、命题、公理、定理间129、与三角形有关的边与134、全等三角形图135、等腰三角形形138、三角形133、直角三角形——132、勾股定理131、与三角形有关的角——130、三角形的内角136、轴对称139、平行四边形的概念及其性质137、基本作图140、平行四边形的判定144、平行四边形141、矩形的概念、性质和判定149、多边形142、菱形的概念、性质和判定151、四边形150、中心对称143、正方形的概念、性质和判定145、梯形的相关概念148、梯形146、等腰梯形的概念、性质和判定147、三角形、梯形的中位线、比例线段158、相似图形157、相似多边形、相似三角形的相关概念155、相似三角形153、三角形相似的判定、相似三角形的性质159、解直角三角形161、解直角三角形160、解直角三角形的应163、解直角三角形162、锐角三角形164、圆的有关概念及对称性165、点和圆的位置关系194. 166、过不在同一直线上三点的圆空172、圆的有关性质167、三角形的外接圆间168、垂径定理及其逆定理198. 与169、圆心角、弧、弦、弦心距初图170、圆周角定理中形171、圆内接四边形及其性质数173.直线和圆的位置关系学185、圆174.切线的判定和性质177.直线和圆的位置关系175.三角形的内切圆176. *切线长定理179.正多边形和圆——178.正多边形的有关计算圆周长、弧长183.弧长和扇形的面积181.圆、扇形、弓形的面积圆柱和圆锥的侧面展开图、侧面积184.圆和圆的位置关系186.几何体、几何图形187.平均数188.众数和中位数191.统计初步189.级差、方差、标准差195.统计与概率190.频数、频率、频率分布直方图192.概率初步——概率计算196.中考复习197.总复习初中英语知识结构图1.名词的数3. 名词 2.名词的格4.人称代词5.物主代词6.反身代词10.代词7.指示代词8.不定代词9.疑问代词11.位置14.形容词12.形容词的用法13.比较级和最高级15.副词的用法17.副词16.比较级和最高级18.不定冠词41.词类21.冠词19.定冠词22.一般现在时20.零冠词23.一般过去时24.一般将来时29.动词的时态25.现在进行时26.过去进行时27.现在完成时73. 28.过去完成时初31.动词的语态——30.被动语态中 32.不定式英 41.动词 35.非谓语动词 33.分词语 34.动名词56.语法结构36.连系动词37.助动词42.数词38.情态动词43.介词39.短语动词44连词40.行为动词的及物性和不及物性45.疑问句——反意疑问句49.句子的种类46.祈使句47.感叹句50.句子的成分48.There be结构51.主谓一致52.名词性从句——宾语从句59.句子55复合句53.定语从句56.简单句54.状语从句57.it的用法60.问候58.倒装结构61.感谢和应答62.祝愿、祝贺和应答63.道歉、遗憾和应答70.交际64.提供（帮助等）和应答65.请求、允许和应答66.劝告和建议71.语音67.问路和应答72.拼写68.问时间、日期和应答初中物理知识结构图1.度的测量4.测量的初步知识 2.误差3.间的测量7.简单的运动 5.机械运动6.匀速直线运动8.声音的发生、传播12.声现象9.声音的特性10.噪音的危害和控制11.超声和次声13.温度温度计17.物态变14.溶化和凝固15.汽化和液化16.升华和凝华18.光源光的直线传播19.光的反射反射定律24.光现象20.光的色散颜色21.平面镜、平面镜成像22.光的折射现象23.看不见的光25.透镜29透镜及其应用26.凸透镜成像规律27.眼睛和眼镜28.显微镜和望远30.天平与质量31.密度35.质量和密度32.物质的概述33.测量物质的密度34.密度的应用重力37.同一条直线上二力的合成41.力38.摩擦力39.弹力力的概述及力的测量牛顿第一定律44.力和运动43.二力平衡45.浮力的产生48.浮力46.浮力的大小阿基米德原理47.浮力的应用杠杆51.简单机械50.滑轮（其他简单机械）52.功55.功、功率与机械效率53.机械效率54.功率56.势能59.机械能57.机械能及其转化58.功能60.分子热运动64.分子动理论、内能61.内能62.能量守恒定律63.热量的计算比热容67.电路65.电学的基本概念电路的连接串联和并联70.电流68.电流电流表69.串并联电路中电流的规律73.电压71.电压电压表72.串并联电路中电压的规律76.电阻74.变阻器75.串并联电路中电阻的规律77.电功80.电功电功率电热78.电功率79.电和热电生磁82.电磁继电器86.电和磁83.磁现象84.磁场对电流的作用磁生电87.电话91.信息的传递88.电磁波89.电磁波的发射和接收90.信息之路92.能源家族（核能太阳能）95.能源与可持续发展93.能源革命能源与可持续发展94.能源的开发和利用96.液体的压强97.压强和压力98.大气压强99.内能利用、热机100.欧姆定律101.家庭电路和安全用电102.液体压强和流速的关系初中化学知识结构图1.元素——元素的概念和分类2.离子——核外电子排布的初步知识3.相对分子量6.有关化学式的计算 4.计算化合物中某种元素的质量分数5.计算化合物中个元素的质量比物质构成的奥秘9.化合价常见元素化合价8.化合价与化学互推10.原子11.分子的概念和性质12.物质的分类13.化学式的书写、读法、意义15.溶液、溶质、溶剂19.溶液16.饱和溶液和不饱和溶液17.溶解度18.溶液中溶质的质量分数、溶剂的配制22.氧气20.氧气的性质和用途21.氧气制取25.水23.水的组成、硬水和软水24.保护水资源、节约用水58. 28.二氧化碳二氧化碳的制取初二氧化碳的性质、用途中——溶液酸碱度的表化30.几种常见的酸学47.身边的化学物质35.二氧化碳31.中和反应及其应用32.几种常见的碱33.几种常见的盐化学肥料（特性、种类）38.空气36.空气的主要成分37.防治空气污染39.金属活动性顺序43.金属40.生铁和钢41.常见金属、金属材料、合金42.金属的物理性质、化学性质44.氢气45.碳46.一氧化碳50.物质的变化48.物理变化、化学变化49.物理性质、化学性质51.反应类型——氧化反应、还原反应52.催化剂与催化作用57.物质的化学变化53.质量守恒定律54.化学方程提供的信息、书写及其配平55.利用化学方程式的计算56.综合计算题。

人教版初中数学新教材七年级上册第三章“一元一次方程〞介绍〔2022修订〕方程是（全日制义务教育数学课程标准〔修订稿〕）中“数与代数〞领域的重要内容之一，一元一次方程是最简单、最根本的方程.继第—章“有理数〞和第二章“整式及其加减〞之后，本章对一元一次方程进行研究，主要内容包含一元一次方程的有关概念、解法和应用，化归思想和模型思想隐含于知识之中. 通过学习本章，学生的代数运算能力和数学建模能力将得到进一步开展. 本章共安排四个小节和两个选学内容一、教科书内容和课程学习目标〔一〕本章知识结构框图 1.利用一元一次方程解决问题的根本过程 2. 本章知识安排的前后顺序〔二〕教科书内容人们对方程的研究有悠久的历史，方程是重要的数学根本概念，它随着实践需要而产生，并且具有极其广泛的应用.从数学学科本身看，方程是代数学的核心内容，正是对于它的研究推进了整个代数学的开展.从代数中关于方程的分类看，一元一次方程是最简单的代数方程，也是全部代数方程的根底. 本章主要内容包含：一元一次方程及其相关概念，一元一次方程的解法，利用一元一次方程分析与解决实际问题.其中，以方程为工具分析问题、解决问题，即依据问题中的等量关系建立方程模型是全章的重点之一，同时也是主要难点.分析实际问题中的数量关系并用一元一次方程表示其中的相等关系，是始终贯穿于全章的主线.对一元一次方程的有关概念和解法的商量，是在建立和运用方程这种数学模型的大背景之下进行的，它们在本章前三节中占重要地位.解方程中蕴涵的“化归思想〞和列方程中蕴涵的“数学建模思想〞，是本章中包含的主要数学思想.商量一元一次方程的解法时，会直接应用有理数的运算，还会应用“合并同类项〞“去括号〞等整式加减运算的法则，即第—、二章的内容是关于一元一次方程解法的根底知识. 全章共包含四节：3．1 从算式到方程 3.1.1 一元一次方程在小学阶段，用算术方法解应用题是数学课中的重要内容，此外对于方程也有过对一些最简单问题的商量．本小节先通过一个具体的行程问题，引导学生尝试如何用算术方法解决它，然后再逐渐引导学生通过列出含未知数的式子表示有关的量，并进一步依据问题中的相等关系列出含未知数的等式——方程．这样安排目的不仅在于突出方程的根本特征，引出方程的定义，而且要使学生认识到方程是比算术式子更有力的数学工具，字母(未知数)可以列入方程并参与运算，从而给解决问题带来更大的便利，从算术方法到代数方法是数学的进步．算式表示的是用算术方法进行计算的程序，算式中只能含有已知数而不能含有未知数，这是列算式使用问题中的数量关系时必须遵守的规则．列方程依据问题中的数量关系，特别是相等关系，它打破了列算式时只能使用已知数的限制，方程中可以依据需要含有相关的已知数和未知数，未知数在被解出之前以字母形式进入表示相等关系的式子，是代数方法对于算术方法的新改革．正因有了如此的新突破，所以一般地说列方程要比列算式考虑起来更直接、更自然，因而有更多优越性．本小节中引出了方程、一元一次方程、方程的解以及解方程等根本概念，并且对于“分析实际问题中的数量关系，设未知数，利用相等列出方程〞的过程进行了归纳．这对后续内容的展开具有重要的根底作用. 3.1.2 等式的性质方程是含未知数的等式，为合适初中学生学习，降低学习难度，本章不涉及关于方程的同解理论，而以相对说来比拟简单理解的等式的性质作为解方程的主要依据．本小节通过观察、归纳引出等式的两条性质，并直接利用它们商量一些较简单的一元一次方程的解法．这将为后面的3.2节和3.3节进一步商量较复杂的一元一次方程的解法打算理论依据．本节最后安排的“阅读与思考：‘方程’史话〞，简要地回忆了中外古人研究方程过程中的几个重要事件，通俗地介绍了与方程相关的数学史料，这有助于传播数学文化、扩大知识面和增加学习兴趣. 3.2 解一元一次方程〔一〕——合并同类项与移项本节的重点在于商量解方程中的“合并同类项〞和“移项〞两个根本做法，这样就已经可解类型的一元一次方程．本节中对于“合并同类项〞和“移项〞的商量，分别以问题1和问题2为出发点.以较为简单的实际问题作商量方程解法的背景，一方面可使学生感觉到要商量的解法X于实际问题的需要，另一方面可使依据实际问题列方程贯穿于全章，将列方程的教学过程拉长．从而到达由简单到复杂地逐渐提高学生列方程的能力的教学效果. 本节首先提及在数学史上对解方程颇有影响的一部著作，即生活在约780～850年间的阿拉伯数学家阿尔－花拉子米所著的（对消与复原）一书，提问“对消〞与“复原〞是什么意思，以此作为后面内容的引子．这也具有介绍数学史，传播数学文化的作用．本节在问题1和问题2之后，各安排了两道例题，其中前一例题是单纯解方程，其作用为稳固对相应解法的理解和掌握；后一例题是简单的实际问题，其作用有两个，一是稳固对相应解法的理解和掌握，二是逐渐引导学生理解和掌握如何列方程.解方程和列方程是利用方程分析和解决实际问题的根本过程中不可或缺的两个环节．本节最后安排的“实验与探究：无限循环小数化分数〞，是对一个纯数学问题的商量.它展示了研究数的问题时方程的应用，这有助于加强知识之间的联系和增加学习兴趣，也有益于以后进一步研究实数. 3.3 解一元一次方程〔二〕——去括号与去分母本节的重点在于商量解方程中的“去括号〞和“去分母〞两个根本做法，至此就可以解各种类型的一元一次方程，并归纳出一元一次方程解法的一般步骤．本节中对于“去括号〞和“去分母〞的商量，分别以问题1和问题2为出发点，即从一道“用电问题〞，引出解方程中的“去括号〞问题；又从古代埃及的纸莎草文书中的一道题，引出带有分母的一元一次方程，进而商量用去分母的方法解这类方程．以较为简单的实际问题作商量方程解法的背景，这连续了3.2节的做法，其目的如前面所述. 本节通过古埃及数学问题为商量“去分母〞的引子，反映出人们对数学研究有悠久的历史，数学文化源远流长，这也可以增加相关内容的趣味性．同3.2节的结构一样，本节在问题1和问题2之后，各安排了两道例题，其一是单纯解方程，其二是简单的实际问题，它们对理解和掌握“去括号〞和“去括号〞解方程，对理解和掌握依据实际问题中的相等关系列方程，有重要的示范作用．本节归纳了解一元一次方程的一般步骤，至此这类方程的一般解法已得到完整的商量. 3.4 实际问题与一元一次方程本节的第—局部，在此前已经商量过由实际问题列出一元一次方程以及解一元一次方程的一般步骤的根底上，又安排了例1〔“成龙配套〞问题〕和例2〔工程问题〕，并在其后以框图形式归纳了用一元一次方程解决实际问题的根本过程，这是一个重要的小结. 本节的第二局部，进一步以“探究〞的形式商量如何用一元一次方程解决实际问题．要探究的三个问题〔“销售中的盈亏〞“球赛积分表问题〞“计费问题〞〕要比前几节的问题复杂些，问题情境与实际情况更接近，呈现形式也有别于一般数学习题．本节的重点是建立实际问题的方程模型．通过探究活动，可以进一步体验一元一次方程与实际的紧密联系，加强数学建模思想，培养运用一元一次方程分析和解决实际问题的能力．由于本节问题的背景和表达都比拟贴近实际，其中的有些数量关系比拟隐蔽，所以在探究过程中正确地列出方程是主要的难点．突破难点的关键是弄清问题背景，分析清楚有关数量关系，特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系．〔三〕本章学习目标 1．经历“把实际问题抽象为数学方程〞的过程，体会方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，了解一元一次方程及其相关概念，认识从算式到方程是数学的进步. 2．掌握等式的性质，能利用它们探究一元一次方程的解法，了解它们是解方程的依据. 3．明确解方程的根本目标〔使方程逐渐转化为x=a的形式〕，在此目标引导下研究方程的解法；熟悉解一元一次方程的一般步骤，掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想. 4．能够找出实际问题中的已知数和未知数，会从数学运算角度分析它们之间的关系；会依据问题所求及题中条件设未知数，会列出方程表示问题中的相等关系，并利用方程求未知数，会结合题意进行检验. 5．通过探究用一元一次方程解决实际问题，进一步体会利用一元一次方程解决问题的根本过程〔见上图〕和建立数学模型的思想，在解决问题的过程中感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力.二、编写时考虑的几个问题1.突出列方程，结合解决实际问题商量解方程列方程是本章的重点之一，也是难点．为突出重点，分散难点，使学生能有较多时机接触列方程，本章把对实际问题的商量作为贯穿于全章前后的一条主线．对一元一次方程解法的商量始终是结合解决实际问题进行的，即先列出方程，然后商量如何解方程，这是本章的一个特点．教科书先结合两个实际问题的求解过程分别商量了“合并同类项〞和“移项〞，并进一步通过一些例题对这两种解方程的变形手段进行综合练习和加强．此后教科书又在对另两个实际问题的商量中引出解方程中的“去括号〞和“去分母〞，并进一步通过一些例题和练习题援助学生掌握它们．在此根底上，教科书归纳总结出解一元一次方程的目标和一般步骤，引导学生提高对一元一次方程解法的认识．我们认为这样处理解方程的教学符合人们对方程的认识过程，表达了方程的各种解法源于实际问题的需要，并且可以加强这章内容与实际的联系，有助于解决局部学生总感觉列方程难、学习列方程的时间过短等问题．2. 通过加强探究性，培养分析解决问题的能力、创新精神和实践意识本章的中心任务是，使学生经历建立一元一次方程模型并应用它解决实际问题的过程，体会方程的作用，掌握运用方程解决问题的方法，提高分析问题、解决问题的能力，增强创新精神和应用数学的意识．由于实际问题的类型多样，在某些问题中数量关系不十清楚显，使得建立方程模型表示问题中的相等关系成为教学中的难点．为切实提高利用方程解决实际问题的能力，本章在内容选择上注意加强探究性．例如，第3.4节特别安排了“实际问题和一元一次方程〞的内容，选择了三个具有肯定综合性的问题〔“探究 1 销售中的盈亏〞“探究2 球赛积分表问题〞“探究3 计费问题〞〕，设置了假设干探究点，引导学生利用方程为工具进行具有肯定深度的思考，使全章所强调的以方程为工具把实际问题模型化的思想提到新的高度．这些内容包含：利用方程比拟估算与X计算〔探究1〕，利用方程进行推理、推断、检验〔探究2中已渗透了反证法的思想〕，利用方程寻觅关键数值，对不同方案进行定量化比照与选择〔探究3〕，安排这些探究问题的目的在于：一方面通过更加贴近实际生活的问题，进一步突出方程这种数学模型的应用具有广泛性和有效性；另一方面使学生能在更加贴近实际生活的问题情境中运用所学数学知识，使分析问题和解决问题的能力、创新精神和实践意识在更高层次上等到提高．3. 重视数学思想方法和数学文化的渗透本章不仅重视数学与实际的联系、列方程和解方程的方法，而且重视数学知识中蕴涵的建模和化归等数学思想方法的渗透．，本章所涉及的数学思想方法主要包含两个：一个是由实际问题抽象为方程模型这一过程中蕴涵的符号化、模型化的思想；另一个是解方程的过程中蕴涵的化归思想．虽然考虑到学生的理解能力等原因，教科书没有过多出现“数学模型〞一词，但是本章以框图形式对“利用一元一次方程解决问题的根本过程〞进行了归纳，意在渗透建模思想．为表达化归思想在解方程中具有指导作用，本章中商量一元一次方程的各个步骤时，都注意说明解方程的目的即最终使方程变形为x=a〔已知数〕的形式，各种步骤都是为此而实施的，即在保持方程的左右两边的相等关系的前提之下，逐渐使方程变形，从而使“未知〞逐渐转化为“已知〞．本套教科书的特色之一是，使教科书成为反映科学进步、介绍先进文化的镜子．重视数学的科学价值，同时关注其文化内涵．通过教科书这面镜子的反射，结合教学内容生动生动地介绍古今数学的开展，深刻浅出地反映数学的作用〔工具作用和人文教育作用〕，使学生逐渐地认识数学的科学价值和人文价值，提高科学文化素养．本章对于数学文化予以很大关注，从数字到字母，从算式到方程，从算术到代数……这些数学史上的重大进步以及有关方程的名著（复原与对消）、埃及纸莎草文书中的问题等在教科书中都有所反映．编者期望学生通过学习本章不仅在数学知识和能力方面得到提高，而且能够感受到数学文化的熏陶．七年级上册第三章“一元一次方程〞介绍〔二〕〔2022修订〕课程教材研究所田载今三、对教学的几个建议1. 关注在前面学段的根底上开展，做好从算术到代数的过渡本章第3.1节从一个实际问题〔行程问题〕开始商量，在引出方程后提出“从算式到方程是数学的进步〞.算式与方程表现了算术与代数解决问题的两种不同方法.用算术方法解实际问题是小学阶段中学生已经学习过的内容，它对于提高分析问题中数量关系的能力具有打根底的作用.算式表示一个计算过程，用算术方法解实际问题时，算式受到“其中只含已知数而不能有未知数〞的限制；而代数中设未知数或列方程时首先需要用式子表示问题中有关的量，这些式子实际上也是算式，只是其中可能含有字母〔未知数〕.方程是依据问题中的相等关系列出的等式，其中既含有已知数，又含有未知数，这是代数方程与算术算式的区别之一.由于方程中可以用未知数与已知数一起表示相关的量，并且未知数可以与其他数一样地参与运算，所以方程的应用更为方便.这正是用字母表示数带来的好处.方程的出现使代数方法超越了古老的算术方法.从课程标准看，在前面学段中已经有关于简单方程的内容，学生已经对方程有初步的认识，会用方程表示简单情境中的数量关系，会解简单的方程，即对于方程的认识已经历了入门阶段，具备了肯定的根底，这些根本的、朴素的认识为进一步学习方程奠定了根底.本章的内容是在前面的学习根底上的进一步开展，即对一元一次方程作更系统、更深刻的商量，所涉及的实际问题要比以前学习的问题复杂些，更强调模型化思想的渗透；对方程解法的商量要更系统、更注重算理，更强调创设未知向已知转化的条件以及解法中程序化的思想.了解以上的联系与区别，有助于在本章教学中注意到应在哪些地方使学生得到新的提高.2. 关注方程与实际问题的联系，表达数学建模思想我们生活在一个丰富多彩的世界，其中存在大量问题涉及数量关系的分析，这为学习“一元一次方程〞提供了大量的现实素材.在本章教科书中，实际问题情境贯穿于始终，对方程解法的商量也是在解决实际问题的过程中进行的，“列方程〞在本章中占有突出地位，全章教科书按照商量实际问题的线索而展开.在本章的教学和学习中，要充分注意方程的现实背景，通过大量丰富的实际问题，反映出方程来自实际又效劳于实际，加强对于方程是解决现实问题的一种重要数学模型的认识.鉴于本章的学习对象是七年级学生，教科书的表达力求通俗易懂，在正文中防止过多直接使用“数学模型〞等词，而是通过具体例子反复强调方程在解决实际问题中的工具作用，实际上这就是在渗透建立数学模型的思想.设未知数、列方程是本章中用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤，而正确地理解问题情境，分析其中的相等关系是设未知数、列方程的根底.在本章的教学和学习中，可以从多角度进行思考，借助图形、表格、式子等进行分析，寻觅等量关系，检验方程的合理性.教师还可以结合实际情况选择更贴近学生生活的各种问题，引导学生用一元一次方程分析和解决它们.本章第3.2节和3.3节中，与解方程相比，列方程居于次要位置，实际问题中的数量关系较简单，商量它们可以使学生对列方程有初步认识.第3.4节的例1和例2是数量关系稍复杂的实际问题，商量它们可以使学生对列方程有进一步认识，了解列方程的一般思路.这表达了本章在列方程上由浅入深的整体安排，教学中应注意体会教材前后的联系与变化.利用一元一次方程解决问题的根本过程〔见前面的图〕，在本章中反复出现并且逐渐细化，这有助于从整体上认识一元一次方程与实际问题的关系，请注意在教学中不断加强对它的认识.3. 抓住方程的主线，复习并加深对相关预备知识的认识从数学学科内部来看，整式及其加减运算是一元一次方程的预备知识；而从应用的角度来看，一元一次方程要比整式用得更普遍、更直接．通过本章学习，不仅可以复习有理数运算和合并同类项、去括号等整式加减运算的内容，而且可以进一步体会看似抽象的整式运算在解决实际问题中的用处，从而加深对相关内容的认识．在本章的教学中，期望能够时刻关注教学重点，注意抓住方程这条主线，突出围绕一元一次方程的商量，注重解方程的根本功训练，结合方程的解法复习已学整式的知识，援助学生认识数、式与方程间的联系．4. 关注培养学习的主动性和探究性课程改革的目的之一是促进学习方法的转变，加强学习的主动性和探究性.本章内容涉及大量的实际问题，丰富多彩的问题情境和解决实际问题的愉快更简单激起学生对数学的兴趣.在本章的教学中，应注意引导学生从身边的问题研究起，主动搜集寻觅“现实的、有意义的、富有挑战性的〞学习材料，并更多地进行数学活动和相互交流，在主动学习、探究学习的过程中获得知识，培养能力，体会数学思想方法.在本章的教科书中，安排了许多可提供学生主动进行探究的内容，其中既涉及列方程又涉及解方程，例如3.4节“实际问题与一元一次方程〞中的探究1~3就是为提高分析和解决问题的能力而安排的探究性内容，本章的“数学活动〞及“拓广探究〞栏目下的习题等也设置了很多探究性问题，例如商量月历中的数字排列规律及由此产生的计算规律等有趣的问题.采纳什么方法进行这些内容的教学是需要关注的问题．具体教学方法可能会因时因地因人而易，但是各种方法都应注意鼓舞学生积极探究.当学生在探究过程中遇到困难时，教师应启发诱导，设计必要的铺垫，让学生在经过自己的努力来克服困难的过程中体验如何进行探究活动，而不要替代他们思考，不要过早给出答案．应鼓舞探究多种不同的分析问题和解决问题的方法，使探究过程生动起来，在这样的气氛中可以更好地激发学生积极思维，得到更大收获．5. 关注数学思想方法的教学和学习前面已经说过，本章所涉及的数学思想方法主要包含两个：一个是由实际问题抽象为方程模型这一过程中蕴涵的模型化〔包含符号化〕的思想；另一个是解方程的过程中蕴涵的化归思想.在本章的教学和学习中，不能仅仅着眼于个别题目的具体解题过程，而应关注对以上思想方法的渗透和领会，从整体上认识问题的本质.数学思想方法是通过数学知识的载体来表达的，对于它们的认识需要一个较长的过程，既需要教科书的渗透反映，也需要教师的点拨，最终还需要学生自身的感受和理解.数学思想方法对一个人的影响往往要大于具体的数学知识，例如对解方程的本质有比拟透彻的认识，就简单主动地探究具体方程的解法，这远比死记硬背方程的解法步骤的效果要好.因此，我们需要关注数学思想方法的教学和学习，期望教师在如何深刻浅出地进行这方面的教学上不断探究.6. 关注根底知识和根本技能，适当加强练习稳固本章内容包含一元一次方程的概念、解法和应用.一元一次方程是最根本的代数方程，对它的理解和掌握对于后续学习〔其他的方程以及不等式、函数等〕具有重要的根底作用.因此，教学和学习中应注意打好根底.由于本章教科书是以分析解决实际问题为线索展开的，方程解法的商量安排于分析解决问题的过程之中，但在前面几节解方程是重点.如缺少对教材设计意图的理解，可能会对它们有所无视，而掌握方程解法是必须完成的教学目标，所以在教学和学习中应注意对根底知识和根本技能进行归纳整理，使得它。