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假设检验过程如下:
在实例中若取定 0.05, 则 k z z 1 . 96 , / 2 0 . 025
又已知 n 9 , 0.015, 由样本算得 x 0.511,
x 即有 0 2.2 1.96, / n
于是拒绝假设H0, 认为包装机工作不正常.
3. 两类错误及记号
假设检验是根据样本的信息并依据小概率原理， 作出接受还是拒绝H0的判断。由于样本具有随机 性，因而假设检验所作出的结论有可能是错误的 . 这种错误有两类: (1) 当原假设H0为真, 观察值却落入拒绝域, 而 作出了拒绝H0的判断, 称做第Ⅰ类错误, 又叫 ‘弃真’. 犯第一类错误的概率是显著性水平 .
三、假设检验的一般步骤
1 . 根据实际问题的要求 ,提出原假设 H 0及备择
假设 H ; 1 2 .选择适当的检验统计量 ,在 H 成立的条件下 , 0
确定它的概率分布 ; 3 . 给定显著性水平 , 确定拒绝域 W ; 1
4. 根据样本观察值计算统 计量的值 ;
μ 和 σ 分 别 表 示 这 一 天 袋 装 糖 重 分析: 用 总 体 X 的 均 值 和 标 准 差 ，
0 . 015 , 由长期实践可知, 标准差较稳定, 设
2 则 X ~ N ( ,0 . 015 ), 其中 未知 .
0.5 还是 0.5 . 问题: 根据样本值判断
(2) 当原假设H0不真, 而观察值却落入接受域, 而作出了接受H0的判断, 称做第Ⅱ类错误, 又叫 ‘取伪’. 当样本容量 n 一定时, 若减少犯第Ⅰ类错误的概 率, 则犯第Ⅱ类错误的概率往往增大.若要使犯 两类错误的概率都减小, 除非增加样概率， 使它不大于显著性水平，而不考虑犯第Ⅱ类错 误的概率的检验，称为显著性检验.
假设检验就是根据样本对所提出的假设作出判 断: 是接受, 还是拒绝. 下面结合实例来说明假设检验的基本思想.
引例 某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的 袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布.当 机器正常时, 其均值为0.5公斤, 标准差为0.015 公斤.某日开工后为检验包装机是否正常, 随机 地抽取它所包装的糖9袋, 称得净重为(公斤): 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512, 问机器是否正常?
因为 X 是 的无偏估计量 ,
所以若 H 为真 , 则 | x | 不应太大 , 0 0 X 0 当 H 为真时 , ~ N ( 0 , 1 ), 0 /n |x | 0 衡量 |x | 的大小可归结为 的大 , 0 / n
于是可以选定一个适当的正数k,
x 0 当观察值 x 满足 k 时 ,拒绝假设 H , 0 /n x 0 反之 , 当观察值 x 满足 k 时 ,接受假 H . 0 /n
上例中所采取的检验法则是符合实际推断原理的 .
因通常 总是取得很小 , 一般取 0.01, 0.0
X 0 因而当 H0为真 ,即 0时 , z/ 2是一 / n 个小概率事件 , 几乎不会发生，现在在 一次试验中
竟然发生了，我们就有 理由怀疑假设的正确性 ，因 而拒绝假设 H0
X-u0 n k
X 0 因为当 H 为真时 Z ~ N ( 0 , 1 ), 0 /n 由标准正态分布分位点的定义得 k z / 2 ,
}= α
x μ x μ 0 0 当 z 时, 拒绝H , z 接受H . α /2 0 α 时, /2 0 σn / σn /
§1
假设检验
一、假设检验的基本原理 二、假设检验的相关概念
三、假设检验的一般步骤
一、假设检验的基本原理
在总体的分布函数完全未知或只知其形式、但不 知其参数的情况下, 为了推断总体的某些性质, 提 出某些关于总体的假设.
例如 , 提出总体服从泊松分布的假设 ; 又如 , 对于 正态总体提出数学期望等于 u0 的假设等.
提出两个对立假设H : 0 . 5 和 H : . 0 0 1 0 再利用已知样本作出判断是接受假设H0(拒绝假 设H1), 还是拒绝假设H0(接受假设H1). 如果作出的判断是接受H0, 则 , 0 即认为机器工作是正常的, 否则, 认为是不正常的.
由于要检验的假设涉及总体均值, 故可借助于样本 均值来判断.
在假设检验中，数 称为显著性水平 .
二、假设检验的相关概念
1. 原假设与备择假设
下 , 上例假设检验问题通常叙述为: 在显著性水平
检验假设 H : , H : . 0 0 1 0
上述假设检验成为双边 假设检验 .
H 称为原假设或零假设 ,H . 0 1 称为备择假设
有时我们只关心总体均值是否增大或减小。 此时，我们需要检验假设： 右边检验： H0 : 0 , H1 : 0 . 左边检验： H0 : 0 , H1 : 0 .
然而由于作出决策的依据是一个样本， 当实际 上 H 0 为真时仍可能做出拒绝 H 0 的决策， 这是一 种错误，其概率记为 P{当 H 为真时拒绝 H }
0 0
我们给定一个较小的数 α （0< α < 1 ） ，使得 P{当 H 0 为真时拒绝 H 0 }≤α 取允许犯这类错误的概率最大为 α 即令 P{当为真时拒绝} = P{
右边检验和左边检验统称为单边检验。
2. 拒绝域与临界点
当检验统计量取某个区域 W 1 中的值时,我们 拒绝原假设H0,则称区域 W 1 为拒绝域, 拒绝域 的边界点称为临界点. 如在前面实例中, 检验统计量为
X 0 Z / n
拒绝域为 |z | z , /2
临界点为 z 及 z . /2 /2
