华东理工大学2008学年第二学期复变函数A卷

2008年复变试题共五页一．选择题（每题3分，共27分）1.下列函数中，在有限复平面上解析的函数是（ ）（A ）i y xy y x )2(222-+- （B ）i y x 22+（C ）)2(222x x y i xy +-+ （D ）i y yi x xy x 322333-+-2４.５.６.７.设0=z 为函数zz e zsin 1--的m 级极点，那么m ＝（ ） （Ａ）５（Ｂ）４（Ｃ）３（Ｄ）２８.设函数)(t f 的拉普拉斯变换)(}]{[s F t f L =，则=⎰t dt t f L 30])([（ ） （Ａ）)3(31s F s （Ｂ）)3(1s F s （Ｃ）)(31s F s （Ｄ）)(1s F s９.设函数)(t f 的傅立叶变换为)()]([ωF t f F =，则函数)2()2(t f t --的傅立叶变换为（ ） （Ａ）)2()2(4ω--ω-'-F F i （Ｂ）)2()2(4ω--ω-'F F i （Ｃ）)2()2(2ω--ω-'-F F i （Ｄ）)2()2(2ω--ω-'F F i 二．填空题（每题４分，共４０分）１.已知5)11)(12(i i i i z +-+-=，则=6z ______________________________ ２.复数i i+1的主值为______________________________３则f ４. 20⎰ ５. 'f ６.７. 8.9. 10设1)(2+ω=ωF ，则)(ωF 的傅立叶逆变换为_____________________________ 三．（10分）将函数2)(1)(zi z z f -=在适当的圆环域内展开成含i z -的幂的洛朗级数。

四．（9分）计算函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<<<<<---<<∞-=t t t t t f 1,010,101,11,0)(的傅立叶变换，并计算广义积分 ⎰+∞ωωωω-0sin )cos 1(2d t 的值。

一、判断下列命题是否正确,如正确, 在题后括号内填√,否⨯1、3125i i +>+ ( )2、设0z 是)(z f 的孤立奇点,如果∞=→)(limz f z z ,则0z 是)(z f 的极点. ( )3、函数()f z 在点z 可导是()f z 在点z 解析的充分必要条件. ( )4、幂级数1n n i n+∞=∑为条件收敛的级数. ( )5、如果0z =，则辐角arg z π=. ( )6、.设11i z i+=-，则807550z z z i ++=-. ( )7、在复数范围内364有唯一值4. 在复数范围内327有唯一值3. ( ) 8、设z a =为)(z f 的m 级极点，那么()Re [,]()f z s a m f z '=- ( ) 9、设x ，y 为实数，则sin()1x iy +≤. ( )10、34z i =+ 是方程 ｚ＋z ＝２＋ｉ的解. （ ） 11、z ＝0为3sin zz 的二级极点. ( )12、使得22z z =成立的复数z 是唯一的. ( )13、函数2()3f z z=在点z ＝0处是解析的. ( )14、设x ，y 为实数，则cos()1x iy +≤. ( ) 15、如果1z =，则辐角arg 0z =.( )16、32i i >. ( ) 17、222()(),()(1)(1)z zf z z i z z ''==≠±++、 ( )18、若0()()f t t t δ=-，则()f t 的傅氏变换为 0i t e ω-( )19、在复数范围内364有唯一值4.( )20、每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛. ( )21、22()1s F s s =+的拉普拉斯逆变换为()sin t t δ-. ( )22、21i i +>+. ( ) 23、如果0z =，则辐角arg 0z =. ( )24、若0()f z '存在，则()f z 在点0z 解析. ( )25、当n →∞时，数列12nn i z +⎛⎫= ⎪⎝⎭收敛. ( )26、幂级数0()!nn nz n +∞=∑的收敛半径为1e . ( )27、设函数)(z f 在区域D 内解析,c 是D 内的任意闭曲线,则0)(=⎰cdz z f . ( )28、设函数)(z f 在圆周1<z 内解析,0=z 为其唯一零点, 则⎰==1].0),([Re 2)(z z f s i z f dzπ ( ) 29、设,2321i z -=则.32arg π=z ( )30、在复数范围内38有唯一值2. ( )31、cos w z =是有界函数. ( ) 32、设函数)(z f 在区域D 内一阶可导,则)(z f 在D 内二阶导数必存在. ( )33.如果f (z )在z 0连续，那么)(0z f '存在。

华东理工大学2007至2008学年第二学期高等数学下8学分课程期末考试试卷 A
2008年6月
一. (本题8分)
求旋转抛物面上与直线垂直的切平面方程。

二. (本题8分)
试用拉格朗日乘数法在椭圆上求一点,使其到直线的距离最短.
三. (本题8分)
设函数在上连续, 且满足,
其中, 求的表达式 .
四. (本题8分)
求曲线在[2,6]上的一条切线,使该切线与直线及曲线
所围成的图形面积为最小,并求最小面积.
五. (本题8分)
如图，半径为的半球形水池中盛满了水,设抽水机每分钟作功为常量千焦耳,
则水深为时,水面下降的速率是多少?
六.填空题(每小题4分,共40分):
1.微分方程满足初始条件的特解
是___________ .
2. 微分方程的通解是 .。

第 1 页 共 5 页考试试卷(A)2008--2009学年第二学期 时间110分钟复变函数与积分变换课程40学时2.5学分 考试形式: 闭卷一、专业年级: 教改信息班 总分100分, 占总评成绩70 %1． 注: 此页不作答题纸, 请将答案写在答题纸上 单项选择题（15分, 每小题3分） 下列方程中, 表示直线的是（ ）。

()()()()()()()254(54)54(54)112Re 1A i z i z zzB i z i zC z i z iD z z z -++=-++=-++==-2． 函数222()()(2)f z x y x i xy y =--+-在（ ）处可导。

()()()()22A B x C y D ==全平面处处不可导下列命题中, 不正确的是（ ）。

()()()()()()()()()0Res ,0Im 1.z z A f z f z B f z D z f z D C e iD z e iωπω∞∞=-=<<<+如果无穷远点是的可去奇点,那么若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数,则在内解析.幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.函数将带形域0()映射为单位圆3． 下列级数绝对收敛的是（ ）。

()()()()()221111112n nnn n n n i i i A B C i D nnn ∞∞∞∞====⎛⎫++⎪⎝⎭∑∑∑∑ 设 在 内解析且 , 那么 （ ）。

()()()()2211A iB iCD ππ--第 2 页 共 5 页1. 的主值为 。

2. 函数 仅在点z= 处可导。

3. 。

4. 函数 在 处的泰勒展开式 。

5. 幂级数 的收敛半径为 。

三．(10分)求解析函数 , 已知 。

四. (20分)求下列积分的值 1．()2241z z e dz zz =-⎰2．()20sin 0x xdx a x a+∞>+⎰五. (15分)若函数 在点 解析, 试分析在下列情形: 1. 为函数 的m 阶零点； 2. 为函数 的m 阶极点；求()()()0Res ,f z z z f z ϕ⎡⎤'⎢⎥⎣⎦。

华东理工大学2008–2009学年第二学期《概率论与数理统计》课程考试试卷 A 卷 2009.7.2 一、（共12分）设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧>>=--其他,00,0,),(2y x ke y x f y x ，（1） 求常数k （3分）； （2） 求}{Y X P >（3分）；（3） 证明：X 与Y 相互独立（6分）。

解：（1）1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-dxdy y x f ，……………………………………….2’102=⎰⎰∞∞--dxdy ke y x ，2=k ；………………………………………1’（2）}{Y X P >⎰⎰∞--=22xy x dxdy e dx ……………………………….2’32311=-=………………………………………………1’ （3）⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-∞--⎰0,00,0,00,2)(02x x e x x dy e x f x y x X ，……………………………..2’ ⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-∞--⎰0,00,0,00,2)(202y y e y y dx e y f y y x Y …………………………………2’因为)()(),(y f x f y x f Y X =，所以X 与Y 相互独立。

………………………………….2’ 二、（10分）某公司经销某种原料，根据历史资料表明：这种原料的市场需求量X （单位：吨）服从 （300，500）上的均匀分布。

每售出1吨该原料，公司可获利1万5千元；若积压1吨，则公司损失5千元。

问公司应该组织多少货源，可使平均收益最大？ 解：设公司组织货源a 吨，此时的收益额为Y （单位：千元），则)(X g Y =，且⎩⎨⎧<--≥=a X X a X aX a Y ),(5.05.1,5.1⎩⎨⎧<-≥=aX a X a X a ,5.02,5.1………………2’X 的概率密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0)500,300(,2001)(x x f ……………………..1’ =EY ⎰∞∞-dx x f x g )()(⎰⎰⋅+⋅-=50030020015.12001)5.02(a a dx a dx a x )300900(200122-+-=a a ……………………………………………………3’ 令0)9002(2001=+-=a da dEY ，…………………………………………………2’450=a （唯一驻点）， 又0100122<-=daEY d所以，当450=a 吨时，可以使平均收益EY 最大，即公司应该组织货源450吨。

3 + i 2-i 3-i 2 + i (因为一对共轨复数的模所以I 兀卩+21兀llyl + ly 卩 2 所<kl o第一章复数与复变函数一、 基本要求1、 熟练掌握复数的加、减、乘、除、乘方、开方和共轨运算；2、 掌握和运用复数模的三角不等式；3、 熟练复数的各种表示形式之间的关系；4、 理解无穷远点的概念；5、 弄清开集、区域、闭区域、单连域、多连通域、简单曲线、简单闭曲线、光滑曲线、逐 段光滑曲线等概念，会用复数方程和不等式表示一些常见的平面曲线和简单区域；6、 掌握复变函数的概念及映射的概念，弄清复变函数与实二元函数之间的关系。

7、 掌握复变函数的极限、连续和导数的概念及其性质。

二、 典型例题例1求复数z = (3 + 0(2~°的模。

(3-0(2 + 0解：注意到本题的特殊性例2、求复数汙的实部与虚部。

卸 s-1 (z-lXz + 1) a-l)(z+Dz+i (z+i )(z+i ) iz+ir_ (zZ + z _Z_ 1) _ zZ_l | . 2Imz- Iz + ll 2 _k + ll 2 l \z + l\2所以，Rew= — , Imw=。

k + ll 2lz + 1 卩=1x1 + 1 y I,因为Lrllyl<ljr|2+Iy '2 (算术-几何平均不等式),卩+'";'汀+'汀冷心 例4、如果|勺1=1勺1=1 Z3 1= 1，且勺+勺+勺二。

，证明勺、5、 Z3是内接于单位圆的一个正(3 + i)(2_i)(3-0(2 + /)证明：I Z 1= J 兀2 + y2 < J 兀2 + + 2 | 兀 || y | Ixl+l yl三角形。

证明：由于I Zi 1=1 Z21=1 Z3 |= 1 '所以它们在单位圆上；又因为Z! + Z2 + Z3 = 0 ,故Z1+Z2=-Z3 如图,则勺与-Z3的夹角和5与％的夹角相等；同理，勺与-Z1的夹角和乙3与-勺的夹角相等；勺与-s的夹角和z3与-勺的夹角相等；因此，容易证明，勺、◎、色的夹角为120度，所以结论成立。

《复变函数与积分变换》试卷（A ） 第1页（共2页）河南理工大学万方科技学院 2008—2009 学年第 2 学期《复变函数与积分变换》试卷（A 卷）考试方式：闭卷 本试卷考试分数占学生总评成绩的 80 %一、填空：（每空3分，共30分）1、5)i =_______________2、1i i ⎛⎫⎪⎝⎭--arg =_____________________3、函数)sin (cos )(y i y e z f x +=的解析区域为________________4、2||124z dzz z =++⎰ = 5、把函数311z +展开成z 的幂级数 6、0z =是31z e z-的 级极点7、2Re [,1]1zzes z -= 8、()F f t ⎡⎤=⎣⎦______________________9、atL e ⎡⎤⎣⎦= ，1L ⎡⎤⎣⎦=_________________二、选择：(每题4分，共20分)1、0=z 是函数()f z =ze 1的哪种奇点 （ ）A ．可去奇点B ．极点C ．本性奇点D ．非孤立奇点 2、幂级数1(1)n n n i z ∞=+∑的收敛半径 ()A ．0B ．∞CD ．e3、若z 0为()f z 的奇点,则下列结论正确的是 ( ) A ．()f z 在z 0点必不可导 B ．()f z 在z 0点必不连续 C ．()f z 在z 0点必没有定义 D ．()f z 在z 0点必不解析4、下列哪一个是调和函数 ( ). A . 32(,)3u x y y x =- B . 22(,)u x y x y =-C . 2(,)3u x y xy =D . 23(,)2u x y x y =-5、设a z =是)(z f 的m 级极点，则函数)()(z f z f '在点a z =处的留数为 ()A ．mB . -mC . m-1D . m+1三、计算：(每题10分，共50分)1、设)(2323lxy x i y nx my +++为解析函数，确定l n m ,,的值。

2008级 高等数学（下）理工 课程试题（A ）合分人： 复查人：一、求下列各题（每小题6分，共 30 分）1. 求02sin lim x y xy x →→⎛⎫+⎪⎪⎭.2. 设(,)z z x y =由方程xyz =,求(1,0,1)|.dz -3. 设(,),z f xy y =其中(,)f u v 具有二阶连续偏导数，求2zx y ∂∂∂.4. 求曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程.5. 求函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数.二、求下列积分（每小题6分，共 36 分）1. 求22sin .yxdy dx xππ⎰⎰2. 求2,z dxdydz Ω⎰⎰⎰，其中222: 1.x y z Ω++≤3. 已知曲线2:(0L y x x =≤≤，求.Lxds ⎰4. 求(sin ())(cos )x x LI e y b x y dx e y ax dy =-++-⎰，其中,a b 为正常数，L 为从点(2,0)A a 沿曲线y =(0,0)O 的弧段.5. 已知∑为锥面z =在柱体222x y x +≤内的部分，求.zdS ∑⎰⎰6. 设∑为有向曲面22(01)z x y z =+≤≤. 沿上侧求(2).x z dydz zdxdy ∑++⎰⎰1.设函数222222221()sin,0,(,)0,0x y x yx yf x yx y⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩，讨论(,)f x y在点(0,0)的连续性与可微性.2. 求二元函数22(,)(2)lnf x y x y y y=++的极值.1．判定级数1(1)ln(1n n ∞=-+∑的敛散性. 若收敛，问是绝对收敛还是条件收敛.2．将2()2xf x x x =+-展开为x 的幂级数.3．将1,02()0,2x f x x πππ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪⎩在[0,]π上展开成余弦级数，并写出它的和函数.。