华东理工大学复变函数复习94页PPT

w1
8
2cos
9 16
i
sin
9 16
,
23
w2
8
2
cos
17 16
i sin 1176,
w3
8
2cos
25 16
i sin 2156.
y
w1
这四个根是内接于中
心在原点半径为8 2 的 圆的正方形的四个顶点.
w2
o
w0 x
w3
24
三、典型例题
例1 对于映射 w z 1 , 求圆周 z 2的象. z
3
三角表示法
利用直角坐标与极坐标的关系
x y
r r
cos , sin ,
复数可以表示成 z r(cos i sin )
指数表示法
利用欧拉公式 ei cos i sin ,
复数可以表示成 z rei 称为复数 z 的指数表示式.
4
方根
w
n
z
r
1 n
cos
2kπ
i sin
2kπ
n
n
6
2cos
12
i
sin
12 ,
w1
6
2cos
7 12
i sin 712,
w2
6
2cos
5 4
i
sin
5 4
.
22
例 计算 4 1 i 的值.
解
1i
2cos
4
i
sin
4
4
1
i
8
2cos 4
2k 4
i sin
4
2k
4
即
w0
8

其中 是由 c 与 c k 组成的复合闭路
３、牛顿－莱不尼茨公式
设函数 f ( z ) 在单连通区域Ｄ内解析，G ( z )
为 f ( z ) 的一个原函数，则
z2 z1
f(z)dzG(z2)G(z1)
４、柯西积分公式
设函数 f ( z ) 在区域Ｄ内处处解析，Ｃ为Ｄ
内任意一条正向简单闭曲线，它的内部完全属
第一章：复数与复变函数
❖ 复数的概念 ❖ 复数的运算 ❖ 复数的几何表示 1、复平面 1）复数 zxyi用平面上的点( x , y )表示；
2）复数 zxyi用平面上的向量 O z 表示
3）复数的三角表示式及指数表示式
zz(cos(argz)isin(argz))（三角式）
zeiargz
（指数式）
(1i)i e e iLni()1 i[ln 1 i iA(1 r ig )]
e e i12ln24i2ki
42ki12ln2
e 4 2k c o 1 2lsn 2 isi 1 2 n ln 2
其 k 0 , 1 中 , 2 , . 故 (1 i)i的 辐 角 的 主 值 为 1 ln 2 .
函数 f(z) u (x ,y) iv (x ,y )在点 z xiy 处的 导数公式：
f(z) u i v u i u v i v v i u x x x y y x y y
定理2 设函数 f(z) u (x ,y) iv (x ,y )在区域D
内有定义，则 f ( z ) 在D内解析 u( x , y )与 v ( x , y )
１、 f(z)dz f(z)dz
c
c
２、 ckf(z)dzkcf(z)dz
３、 c [f(z ) g (z )] d z cf(z )d z cg (z )d z

f a n1
d
利用导数公式：
fzf(n)azan, zaR n0 n!
➢ 唯一性：
fzanzan
za, a 0fa
n0
za , a 1fa
f(n)a
za, an n!
Taylor展开方法：
基本方法（Taylor展开定理） 特殊方法（幂级数运算）
① 线性运算 ② 乘除运算 ③ 复合运算 ④ 微积分运算
z0 R r
a
n
n
anzan
za M
z0a
r M
z0a
推论：若幂级数在某点 z z1 处发散，
则它在za z1 a
处发散
z1 R a
收敛半径的求法（比值或根式判别法）
lim an1zalim an1zaLza1
n an
n an
R 1 L
R lim an a n
n 1
limn
n
an
L
幂级数运算性质：
根式判别法（Cauchy判别法）
k wk k r
r<1时级数收敛；r>1时级数发散；r=1时不一定。
级数的代数运算
若 ak A ， bk B
k 0
k 0
加减法：两收敛级数的和与差级数仍
收敛，且
ak bk akbkAB
k0
k0
k0
乘法：两绝对收敛级数的乘积绝对收 敛，且其和与乘积项的排列次序无关
幂级数在收敛圆内其和是解析函数，且 可任意次逐项积分、逐项微商。
例1 z n n1 n e i n n1 n
R
0
Rliman limn11
a n n
n
n1
0, 1 n1 n

①在 z
(分母在 z 0
0不连为续0的)在两z个0 处函连数续f(z;)与g(z)的和,差,积,商
②若函数 hg(z)在点 z 0 处连续，函数 w f(h)
在 h0 g(z0连) 续，则复合函数 wf[g(z)]
在 z 0 处连续（证略）.
例3 求 lim z 1 zi z 2
解: 因为 z 1 在点zi 处连续，故 z2
注:连续的条件:
(1) 在z 0处有定义;
(2) z 0 处的极限值等于该点的函数值.
2)连续充要条件: 定理 函数 f(z) u (x ,y ) i(v x ,y ),在 z0 x0iy0 处连续的充要条件是u(x, y) 和 v(x, y) 都 在点(x0, y0)处连续.
3)连续函数性质:
x2 y2
x2 y2
化为一个复变函数.
解 设 zxiy ，wuiv， 则 wuiv 2xiy x2 y2
将 x 1 (z z) ，y 1 (z z) 以及 x2 y2 zz 得 2 w312i (z0)
2z 2z
二.复变函数的极限与连续性 1.极限:
1)定义 设函数f(z) 在 z 0 的去心邻域内有定义，若对任
2. 可导与连续的关系
若函数wf(z)在点z 0 处可导，则 f (z)在点 z 0 处必
连续.反之不一定.
3.用定义求导的步骤 1)求增量比; 2)求增量比的极限.
例1 求 f ( z) z 2 的导数.
二.解析函数的概念及求导法则
1. 解析函数的定义
1) 点处解析: 如果f(z)不仅在点 z 0处可导,且在点 z 0 的某邻域内的处处可导,则称f(z)在点 z 0处解析;
3)运算法则:类似于实函数极限的运算法则. 例

z = z1 + t(z2 z1 ),
(0 ≤ t ≤ 1)
（2）过两点 z1 和z2的直线L的参数方程为
z = z1 + t(z2 z1 ),
(∞ < t < +∞)
（3）z1、z2，z3 三点共线得充要条件为
z3 z1 = t, z2 z1
(t为 非 实 ) 一 零 数
浙江大学
例： 考察下列方程（或不等式）在平面上所描绘的几何图形。 （1） z 2i = z + 2 该方程表示到点2i和－2距离相等的点的轨迹，所以方程 表示的曲线就是连接点2i 和－2的线段的垂直平分线， 它的方程为y = －x。
复变函数与积分变换
贾厚玉 mjhy@
浙江大学
第一章 复数与复变函数 第二章 解析函数 第三章 复变函数的积分 第四章 级数 第五章 留数 第六章 保角映射 Laplace变换 第七章 Laplace变换
浙江大学
第一章 复数与复变函数
复数及其代数运算 复数的表示 复数的乘幂与方根 复平面点集与区域 复变函数 复变函数的极限与连续
浙江大学
例：已知正三角形的两个顶点为 求三角形的另一个顶点。
z1 = 1, z2 = 2 + i
y
z3 z1 = (z2 z1 )e 3 1 3 = (1+ i)( + i) 2 2 1 3 1 + 3 i = + 2 2
3 3 1+ 3 z3 = i + 2 2
i
π
z3
z2
x
O
z1
3 + 3 1 3 ′ z3 = i + 2 2
Re z 2 ≤ 1
z 2 = (x + iy)2 = (x2 y2 ) + 2ixy

解
由上例可知

(z
1 a)n1
dz

2i, 0,
n0 n 0,
此处不妨设 a z0,
则有
1
1
1,
2 i (z z0 )n dz 0,
n1 n 1.
四、小结与思考
本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原
理是复积分中的重要定理, 掌握并能灵活应用它 是本章的难点.
1
2
3
CF
A
A
F
B4
D1 E C1 B
D
E
问题的提出 C
C1
复合闭路定理D
C2 C3
典型例题
小结与思考
一、.
z 2 z 1
因为 z 2 是包含 z 1 在内的闭曲线,
根据本章第一节例4可知,
1 dz 2i.
z 2 z 1 由此希望将基本定理推广到多连域中.
y C1
解 C1 和 C2 围成一个圆环域, 函数 ez 在此圆环域和其边界
z
C2 o1
2x
上处处解析, 圆环域的边界构成一条复合闭路,
根据闭路复合定理, ez dz 0. z
例3 求

(z
1 a)n1
dz
,

为含
a
的任一简单闭
路，n 为整数.

解 因为a 在曲线内部,
a
1
BB
BB
即 f (z)dz f (z)dz 0,
C
C1
或 f (z)dz f (z)dz.
C
C1
CF
A A F B
D1 E C1 B

内区域
光滑曲线:
光滑曲线：如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区 间[a,b]上连续，且有连续的导函数，在 [a,b]上，其导函数恒不为零，则称此曲线
为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段 光滑曲线。
区域的连通性:
设D是一个区域，在复平面C上，如果D内
任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点
都属于D，则称D是单连通区域; 否则称D是多连通区域。
1 复变函数的概念
设在复平面C上以给点集E。如果 有一个法则f，使得，
z x iy E, w u iv C
同它对应，则称f为在E上定义了一个复变数函 数，简称为复变函数，记为w=f(z)。
注1、同样可以定义函数的定义域与值域； 注2、我们也称这样的函数为单复变函数，即
对E中的每个z，唯一存在一个复数w和它对
函数f也称为从E到C上的一个映射或 映照。把集合E表示在一个复平面上，称 为z-平面；把相应的函数值表示在另一个 复平面上，称为w-平面。从集合论的观
点，令
A { f (z) | z E},
记作A=f(E)，我们称映射w=f(z)把任意的z0 E
映射成为 w0 f (z0) A.
函数的几何意义:
例1:集合
{z | (1 i)z (1 i)z 0}
为半平面，它是一个单连通无界区域，其边 界为直线：
(1 i)z (1 i)z 0
x y 0
例2、集合
{z | 2 Re z 3}
为一个垂直带形，它是一个单连通无界 区域，其边界为两条直线：
Re z 2
Re z 3
例3、集合
{z | 2 arg(z i) 3}
v(x,
y)
v0
即当0 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，有

设 ①B是 由
C
C1
C
2
C
所
n
围
成
的
有界多连通区域.且B D, ②f (z)在D内解析,则
f (z)dz 0 (1)
n
或
f (z)dz
f (z)dz (2)
c
其中:闭C
D
,
i 1
C1 , C
ci
2 ,
C
是
n
在C的内部
的
简
单
闭曲线(互不包含也不相交), 每一条曲线C及Ci
是逆时针,
C
i
c
c1
ck
f ( z)dz f ( z)dz
此式说c明一个解析c1 函 数沿闭曲线的积分， 不因闭曲线在区域内 作连续变形而改变它 的积分值，只要在变 形过程中曲线不经过 的f(z)的不解析点. —闭路变形原理
D
CCC1 11
C
例2 计 算
2z 1 z2 z dz
: 包 含 圆 周z 1在 内 的
1 z2
1)
1 z
1 2
z
1
i
1 2
z
1
i
由柯西-古萨基本定理有
y
11
C
dz 0,
C1 2 z i
1 1 dz 0,
C1 2 z i
C2
•i
C1
1
11
O
x
dz 0, dz 0,
C2 z
C2 2 z i
• i
22
1
1
1
C
z(z2
dz 1)
C1
dz z
C2
2( z
i)

若 z 1 r1 (cos 1 i sin 1） ,
z 2 r2 (cos 2 i sin 2） ,
则有
z2 z1

z2 z1
,
z2 Arg Arg z 2 Arg z 1 . z1
设复数 z 1 和 z 2的指数形式分别为
z 1 r1 e
z re
i
称为复数 z 的指数表示式.
4.复数的乘幂与方根 1) 乘积与商 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.
若 z 1 r1 (cos 1 i sin 1） ,
z 2 r2 (cos 2 i sin 2） ,
则有
z1 z2 r1 r2 [cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )] Arg( z1 z2 ) Argz1 A应的向量分别为 z 1 , z 2 ,
z
z1
y

先把 z 1 按逆时针方向 旋转一个角
所得向量
z 就表示积
z1 z 2 .
2 1
o
r2
复数相乘就是把模相乘, 辐角相加.

再把它的模扩大到
r2 倍 ,

r1

2,
r
z2
x
两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个 复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.
设 G 是一个复数 个确定的法则存在 每一个复数 z x iy 的集合 . 如果有一 , 按这个法则 , 对于集合 G 中的
z , 就有一个或几个复数 w 是复变数
w u iv 与 z 的函数 ( 简称
之对应 , 那末称复变数 复变函数 ), 记作

1
(7) f (z) e z1
(z 1)2(z 2)2
(8) f (z) sinz3
§5.2 留数(Residue)
1. 留数的定义 2. 留数定理 3. 留数的计算规则
1. 留数的定义
0
f (z)在c所围成的区域内解析
c f (z)dz 未必为0 c所围成的区域内含有f (z)的奇点
由留数定义, Res [f (z), z0]= c–1
(1)
故
1
Re s[ f (z), z0 ] c1 2i
f (z)dz
c
(2)
2. 留数定理
定理 设c是一条简单闭曲线, 函数f (z)在c内有 有限个孤立奇点z1 , z2 ,, zn , 除此以外, f (z) 在c内及c上解析, 则
lim z z0
1 0,令 f (z)
1 f (z0 )
0，则z0是
1 的m级零点. f (z)
“”若z0是
1 的m级零点,则 f (z)
f
1 (z)
(z
z0
)m
(z)
(z) 在z0解析,且 (z0 ) 0
.
当z
z0时，f
(z)
(z
1 z0 )m
1
(z)
(z
1 z0 )m
(z)
f (z) cn (z z0 )n ( cm 0, m 1 )
nm
1
lim z z0
f (z)
f (z)
(z z0 )m
g(z)
其 中: g(z) cm cm1(z z0 ) cm2 (z z0 )2 ,
g(z)在 z z0 内是解析函数且g(z0 ) 0.
例如：

( 3) 在除去负实轴 (包括原点)的复平面内 , 主值支 和其它各分支处处连续 , 处处可导, 且
1 1 (ln z ) , (Lnz ) . z z
36
注解
1、对数函数 w Lnz是定义在整个复平面减 去原点上的多值函数 ; 2、对数函数的代数性质（运算性质）： Ln( z1 z2 ) Lnz1 Lnz2 Ln( z1 / z2 ) Lnz1 Lnz2 和幅角的加法一样上面 的等式应该理解为
Im z 0 Im w 0
az b w (a, b, c, d R，ad bc 0) cz d
Im z 0 | w | 1 | z | 1 | w | 1
za we Im(a) 0) ,( R， za
i
za we a 1) ,( R， 1 az
2 2
复
习
19
第一章：
20
复数的三角表示和指数表示
x r cos , 利用直角坐标与极坐标的关系 y r sin ,
复数可以表示成 z r (cos i sin ) 复数的三角表示式 再利用欧拉公式 e i cos i sin , 复数可以表示成 z re i 复数的指数表示式
注意：他们是无界函数
38
当 z 为纯虚数 yi 时,
e y e y cos yi cosh y , 2 e y e y sin yi i sinh y . 2i
当 y 时, sin yi , cos yi .
(注意：这是与实变函数完全不同的)
39
40
21
例 求下列方程所表示的曲线: (1) z i 2; ( 2) z 2i z 2 ;