新人教A版--理科数学课时试题及解析(72)优选法与试验设计初步

2.盲人爬山法-人教A版选修4-7 优选法与试验设计初步教案1.引入盲人爬山法，也叫Delta设计法、峰谷法等，是一种常用于试验设计中的方法。

通过该方法，可以找到一个近似全局最优的解，并且时间成本相对较低。

在生产制造、药物研发以及质量控制等领域中，盲人爬山法都有广泛应用。

本文介绍此方法在人教A版选修4-7“优选法与试验设计”课程中的应用，同时介绍如何进行初步教学设计。

2.盲人爬山法简介盲人爬山法是基于贪心策略的优化算法，在寻找某函数的最大（小）值问题上，极其有效，但也有其局限性。

该算法的基本思想是，随机选取一个初始解，通过在其附近搜索，找到更优的解。

将找到的新解视作下一次搜索的初始解，形成一个新的极值点，并不断搜索，最终获得到相对理想的解。

通常使用离散形式计算，通过对连续形式的函数进行数字离散化，然后进行随机抽样。

3.盲人爬山法的流程1.选择随机起始点2.在此基础上添加噪声（可选）3.通过梯度下降寻找局部最佳（可选）4.对目标函数进行离散化处理5.在当前最优解得到的领域内随机选择一个新解6.判断新解是否更优，若更优则该解成为当前解7.重复步骤5-6直至满足收敛条件或迭代次数4.盲人爬山法的代码实现在Python中，盲人爬山法可以用如下代码实现：import randomimport numpy as npdef blind_climb(target_function, bounds, max_iterations=1000, step_size =0.1):# 随机选取一个初始解random_pos = np.array([random.uniform(bounds[i][0], bounds[i][1]) f or i in range(len(bounds))])iteration = 0# 迭代循环while iteration < max_iterations:# 在目标函数值增大的方向添加一定的随机噪声noisy_pos = [random.gauss(random_pos[i], step_size) for i in ra nge(len(bounds))]noisy_pos = np.clip(noisy_pos, bounds[:, 0], bounds[:, 1])# 如果新解更优，则该解成为当前解if target_function(*noisy_pos) < target_function(*random_pos): random_pos = noisy_positeration += 1return random_pos5.初步教学设计在进行初步教学设计时，需要考虑以下几个方面。

一什么叫优选法[学习目标]1.通过丰富的生活、生产和科学实验案例，感受现实生活中存在大量的优选问题.2.了解最佳点、优选问题、优选法等概念.[预习导引]1.优选问题(1)在生产、生活和科学试验中，人们为了达到优质、高产、低消耗等目的.对有关因素的最佳组合，简称最佳点.(2)关于最佳点的选择问题，称为优选问题.2.优选法①优选法是根据生产和科学研究中的不同问题，利用数学原理，合理安排试验，以最少的试验次数迅速找到最佳点的科学试验方法.②目的：优选法的目的在于减少实验次数.要点一优选问题例1下列生活常识，与优选法有关的为()①商品价格竞猜；②蒸馒头放碱；③营养师调配饮料时，选取合适的口感；④生煤炉对炉门的关闭程度.A.①②B.①③C.②③④D.①②③④解析以上四个现象均与优选法有关，所以答案选D.答案 D规律方法在生产和科学实验中，选取“合适”的配方，寻找“合适”的操作和工艺条件，给出产品的“合理”设计参数，把仪器调节到“合适”的程度都是优选问题.跟踪演练1下列生活常识与优选法无关的为()A.化学中催化剂用量B.检查线路故障C.足球赛上抛硬币选边D.五角星形是一种优美的图形解析抛硬币跟概率有关，正面或反面朝上的概率均为12，它不属于优选问题.答案 C要点二实验次数问题例22009年多个国家出现甲型H1N1流感，对与某确诊患者接触的200人进行隔离观察并对这些人进行血的化验，可以用以下两种方法进行：(1)每个人的血分别化验，这时需要化验多少次？(2)把每个人的血样分成两份.取k个人的血样各一份混在一起进行化验.若结果是阳性，那么再对这k个人的另一份血样逐个化验，这时这k个人共需做k＋1次化验.假设与甲型H1N1流感接触的发病率为0.01，而且这些人的反应是独立的. 求当k取10时，按第(2)种方法操作时所需化验次数的最大值.解(1)需要化验200次.(2)由发病率为0.01，估计200人大约有2人的血样呈阳性.当k＝10时，则共有20组.第一次，对这20组进行化验，化验的次数为20次；第二次，对第一次化验呈阳性的组逐个化验，最多共化验2×10＝20次.∴最多共需20＋20＝40次.规律方法通过实验方法求最优点时，科学安排实验方式是减少实验次数的关键.跟踪演练2外形类似的一串钥匙中有n(n＞1)片钥匙，分别对应编号为①，②，…，把锁.为了给n片钥匙编号，需要用钥匙去试锁，每试一次均可判断这片钥匙是或不是配这把锁的.(1)给①号锁找钥匙，最少要试几次，最多要试几次？(2)如果是n把锁对应n片钥匙，那最多要试多少次呢？解(1)给①号锁找钥匙，试一次就打开了锁，则最少次数是1次，若一共试了n－1次还没有打开①号锁，则最后一片钥匙就是①号锁，故最多次数是n－1次.(2)由(1)知，若按①，②，…，顺序给钥匙编号，则①号钥匙最多要n－1次；从n－1片钥匙中找②号锁，最多要n－2次；…；从2片钥匙中找最后两把锁，要1次.故最多需要试的次数是：(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＋0＝n（n－1）2(次).要点三优选法思想应用例3为了供暖时减少能源耗损，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米的隔热层建造成本是6万元，该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热厚度x(cm)满足关系：C(x)＝k 3x＋5(0≤x≤10).若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式.(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值.解(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝k3x＋5，再由C(0)＝8，得k＝40，因此，C(x)＝403x＋5.而建造费用C1(x)＝6x，则隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×403x＋5＋6x＝8003x＋5＋6x(0≤x≤10).(2)f′(x)＝6－2 400（3x＋5）2，令f′(x)＝0，即2 400（3x＋5）2＝6，解得x＝5，x＝－253(舍去).当0＜x＜5时，f′(x)＜0；当5＜x＜10时，f′(x)＞0. 故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元.规律方法利用函数的思想和方法，求出最佳点，是优选法的常用途径.跟踪演练3一人用锅烙饼，正面烙3 min，反面烙2 min，锅里一次最多放两个饼.现在需要烙三个饼，下表表示两种方案实验的操作流程.如方案1中最开始表示烙A的正面和B的背面.(1)据此填写上表中的各序号表示的意义.(2)从上述表格中，你觉得烙三个饼最少需要的时间为()A.9 minB.8 minC.7 minD.15 min解析(1)由条件易知：①处填C的背面；②处填A的背面；③处填9分钟；④处填C的正面；⑤处填A的背面；⑥处填8 min.(2)结合表中流程可知：不可能7分钟烙完，最少要8 min，故选B项.答案 B1.优选法的核心问题是：如何安排试验，能以最少次数迅速找到最佳点.2.利用优选法进行试验的步骤：(1)在因素区间上做两次试验，得到好点、差点；(2)以差点向好点一侧为存优区间，继续做试验，与原好点比较好坏；(3)重复第2步，直到找到最佳点或得到满意的试点.一、基础达标1.下列问题是优选问题的有()①手工制作玻璃钢模型舰艇，采用何种型号环氧树脂、固化剂，才能使作品的硬度和韧性适宜；②炸酱面如何配料使口感更好；③膏豆腐的制作过程中，如何配制热石膏同豆浆的关系，才能使豆腐做出后不老不嫩.A.①③B.②③C.①②③D.①解析以上3个例子从不同的方面说明了优选问题的普遍性，均属于优选问题. 答案 C2.下列各试验中，与优选方法无关的是()A.女孩子在日常生活中总爱穿高跟鞋B.在学校举行的诗歌朗诵大赛中，文艺班长先从班级中选出一名优秀队员C.景泰蓝生产过程中，寻找“合适”的操作和工艺条件D.篮球比赛中，上下半场交换比赛场地解析A中“爱穿高跟鞋”、B中“优秀队员”、C中“合适的操作和工艺条件”都需要通过试验得到最佳效果，有优选法的思想，D只是交换场地，是比赛规则，不需要试验.答案 D3.下列有关优选法的说法中正确的个数为( )①优选法就是利用数学原理合理安排试验，以最少的试验次数迅速找到最佳点的科学试验方法 ②优选法的目的就是减少试验的次数 ③试验中如果安排不合理，会使得试验的次数很多 ④优选法是纯数学问题，实验性不大. A.1个 B.2个 C.3个D.4个解析 由优选法定义可知①②③正确.④错误. 答案 C4.一艘货船可装货物30 t ，装载容积为14 m 3，现有五件货物待运，它们的重量、容积和获利情况如下表：则能获得的最大利润为( ) A.7万元 B.9万元 C.10万元D.12万元解析 选择编号为①④⑤的货物，保证限重、限积要求，并使利润最大，故答案为B. 答案 B5.甲、乙、丙三人同时在水龙头边接水，他们各自盛满水所用时间分别为30 s 、40 s 、35 s ，则三个人等待的总时间最少为__________s.解析 按甲、丙、乙的顺序接水，这样三人等待的总时间最少，最少为30×3＋35×2＋40＝200(s). 答案 2006.用20 cm 长的铁丝折成一个矩形，则矩形最大面积为__________. 解析 设长为x ，宽为y ，则x ＋y ＝10，面积S ＝xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝25，当且仅当x ＝y ＝5时，等号成立.S max＝25，所以答案为25 cm2.答案25 cm2二、能力提升7.方程x2＋x－1＝0的一个正根为__________.(精确度为0.01)解析利用二分法可求得该正根为0.62.答案0.628.用长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容积的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时，容器的容积最大？并求出它的最大容积.解设容器底面短边长为x m，则另一边长为(x＋0.5)m，高为(3.2－2x)m，由3.2－2x＞0，x＞0，得0＜x＜1.6.设容器的容积为y，则有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)(0＜x＜1.6)⇒y＝－2x3＋2.2x2＋1.6x.∴y′＝－6x2＋4.4x＋1.6.令y′＝0，得x1＝1，x2＝－415(舍去).又x∈(0，1)，y′＞0，x∈(1.1，6)，y′＜0，因此，当x＝1时，y max＝1.8，此时高1.2 m.∴容器的高为1.2 m时容积最大，最大容积为1.8 m3.9.《幸运52》有一个游戏叫看商品猜价格，这个游戏的具体规则：由参与者猜一个价格，然后主持人会根据此人所报出的价格来判断是高于实际价格还是低于实际价格，并提示是“高了”还是“低了”，直到你猜对价格为止.如果你是参与者，而且已确定了这个商品的价格在1 000元至2 000元之间(为整数值)，你可以用等距法(即从一端开始每端相同的差价k元进行报价)来猜.那你觉得如何取k 的值，能较快的猜得价格？解(1)若k取1，即报价从1 001，1 002，1 003，…，直至猜中为止，对这种方法如果价格较低(如不超过1 010)还是比较好，但如果价格较高(如价格是1 800)，则猜的次数很多.按此方法报的次数最多的价格是1 999元，报了999次.(2)若先取k＝100，即报价按1 100，1 200，…，确定价格的百位，如报到1 500时，说“高了”，则易知价格在1 400至1 500之间；然后取k＝10，即报价按1410，1 420，…，确定价格的十位；再取k ＝2，确定个位.以此类推猜得价格.按此方法报的次数最多的价格是1 999元，报了23次. (以上仅列举了两种方法，答案不唯一) 三、探究与创新10.某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y 万元. (1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 解 (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx －1，∴y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x ＝256⎝ ⎛⎭⎪⎫m x －1＋mx (2＋x )x ＝256x m ＋m x ＋2m －256.(2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12 ＝m 2x 2(x 32－512).令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.当0＜x ＜64时，f ′(x )＜0，f (x )在区间(0，64)内为减函数； 当64＜x ＜640时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(64，640)内为增函数. 所以f (x )在x ＝64处取得最小值.此时n ＝m x －1＝64064－1＝9. 故需新建9个桥墩才能使y 最小.二 单峰函数[学习目标]1.理解单峰函数的概念，并能够判断函数在给定的区间上是否是单峰函数.2.理解因素、可控因素、不可控因素、单因素问题、目标函数、试点、好点、差点、存优范围等概念. [预习导引]1.(1)单峰函数：如果函数f (x )在区间[a ，b ]上只有唯一的最大值点(或最小值点)C ，而在最大值点(或最小值点)C 的左侧，函数单调增加(减少)；在点C 的右侧，函数单调减少(增加)，则称这个函数为区间[a ，b ]上的单峰函数. (2)规定：区间[a ，b ]上的单调函数也是单峰函数.2.因素的概念及分类(1)一般地，把影响试验目标的诸多变量称为因素.(2)在一个试验过程中，只有(或主要有)一个因素在变化的问题，称为单因素问题. (3)分类：按影响因素是否可控分为⎩⎨⎧可控因素不可控因素(4)在试验中能够表示目标与因素之间对应关系的函数，称为目标函数. (5)设x 1和x 2是因素范围[a ，b ]内的任意两个试点，C 点为最佳点，并把两个试点中效果较好的点称为好点，效果较差的点称为差点.(6)以差点为分界点，把因素范围分为两部分，称好点所在部分为存优范围.要点一 单峰函数的判断例1 下列函数，单峰函数有________. (1)y ＝lg x ，x ∈[1，10]； (2)y ＝3x 2－5x ＋2，x ∈[1，5]； (3)y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2.(4)y ＝2x ，x ∈R .解析 其中注意(4)函数y ＝2x 虽然是单调函数，但是它的定义域不为闭区间，所以不为单峰函数. 答案 (1)(2)(3)规律方法 由单峰函数定义可知：闭区间上的单调函数或只有一个极值点的函数都是单峰函数；常用判断方法(1)图象法.(2)导数法. 跟踪演练1 下列函数不为单峰函数的为( ) A.f (x )＝x 2，x ∈[0，1] B.f (x )＝x 3－3x 2－9x C.y ＝x ＋4x ，x ∈[1，3]D.y ＝2x ，x ∈[－1，1]解析利用导数知识作出f(x)＝x3－3x2－9x的图象可知不是单峰函数，所以答案选B.答案 B要点二好点、差点的判断例2某主要因素对应的目标函数如图所示，若c是最佳点，则下列说法中正确的是()A.d，e都是好点B.区间[a，d]是一个存优范围C.d不是好点D.a，b是分界点解析c与d比较，d为差点，c为好点，则以d为分界点，含有好点的部分为存优范围，所以区间[a，d]是一个存优范围，故选B.答案 B规律方法 1.若目标函数为单峰函数，则好点比差点更接近最佳点，且最佳点与好点必在差点的同侧.2.以差点为分界点，把因素分成两部分，并称好点所在部分为存优范围.3.好点、差点是相对于区间而言的，在一个范围内是好点，但在另一个范围内可能就是差点.跟踪演练2已知函数f(x)为区间[0，1]上的单峰函数，且f(x)在x＝a处取到最大值.若f(0.3)<f(0.6)，则存优区间为________；若第3个试点为0.44，且相比0.6而言是好点，则存优区间缩小为________.解析由f(x)为[0，1]上的单峰函数，且f(x)在x＝a处取到最大值，又f(0.3)<f(0.6)，故存优区间为[0.3，1]；由0.44是好点，从而存优区间缩小为[0.3，0.6].答案[0.3，1][0.3，0.6]要点三求单峰函数中参数范围例3已知f(x)＝13x3－2ax2＋3a2x＋2的定义域是[0，4].(1)若f(x)的最佳点是x＝3，求a的值.(2)若f(x)是单峰函数，求a的取值范围. 解f′(x)＝x2－4ax＋3a2(ⅰ)当a ＝0时，f ′(x )＝x 2≥0，当且仅当x ＝0时， f ′(x )＝0，f (x )在[0，4]上单调递增最佳点不为x ＝3.(ⅱ)当a ≠0时，由f ′(x )＝x 2－4ax ＋3a 2＝(x －a )(x －3a )知x ＝a ，x ＝3a 是极值点.由条件知x ＝3是函数的在[0，4]上唯一一个极值点，当a ＝3，可得3a ＝9∉(0，4)；当3a ＝3时，a ＝1∈(0，4)，故a ＝1不合题意.所以a ＝3. (2)由f (x )在区间[0，4]上是单峰函数.故f (x )在区间上只有一个极值点或没有极值点，由两个极值点x ＝a ，x ＝3a (a ≠0)在区间(0，4)上可得⎩⎨⎧0＜a ＜4，0＜3a ＜4，解之得0＜a ＜43.故由f (x )在区间上只有一个极值点或没有极值点， 可得a ≤0或a ≥43.即a 的取值范围是(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞.规律方法 函数的最佳点一般是函数在区间上的唯一极值点.函数在区间上是单峰函数，三次函数在此区间上只有一个极值点或没有极值点，本题第(2)问可转化为三次函数有两个极值点在区间上的否命题.跟踪演练3 若y ＝sin ax (a >0)在[0，π]上是单峰函数，则a 的取值范围为________. 解析 函数y ＝sin ax 的周期为T ＝2πa ，则34·2πa ≥π， ∴0<a ≤32. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，321.结合图象，理解目标函数为单峰函数的条件下好点、差点、最佳点间的关系.2.了解单峰函数求最佳点的方法.一、基础达标1.关于单峰函数，有下列说法：①在区间[a ，b ]上的单峰函数就是只有一个极大值点的函数； ②在区间[a ，b ]上的单调函数不是单峰函数；③对有关因素的最佳组合进行选择，这样的问题称为优选问题； ④在试验范围内具有极值性的问题称为具有单峰性的问题. 其中正确的个数有( ) A.0个 B.1个 C.2个D.3个解析 ①②④错误，只有③正确. 答案 B2.下列函数在区间[－10，10]上是单峰函数的为( ) A.y ＝1x ＋1B.y ＝cos xC.y ＝2xD.y ＝13x 3－x 2－3x 解析 根据单峰函数的定义及规定知只有y ＝2x 在区间[－10，10]上为单峰函数. 答案 C3.已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m 在区间[－3，2]上是单峰函数，则下列哪个存优范围最小( ) A.[－2，2] B.[－1，1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12 解析 由f ′(x )＝6x 2－12x ＝0，知x 1＝0，x 2＝2，所以最佳点是x ＝0，所以C 选项排除，由A ，B ，D 的区间范围可知D 的范围最小，故选D 项. 答案 D4.若某单峰函数的存优范围是[1，4]，现在区间[1，4]上任取两点2，3，通过比较，2与3相比，2是好点，则此时的存优范围是__________. 解析 因为2为好点，舍去区间[3，4]，存优范围为[1，3). 答案 [1，3)5.在粉笔加工设计中，每支粉笔都要丢掉一段一定长的粉笔头，单就这一点来说，愈长愈好，但太长了，使用起来既不方便，也容易折断，每断一次，必然多浪费一个粉笔头，反而不合适，因而就出现了“粉笔多长最合适”的问题，技术员王工在长度为10 cm至15 cm范围内经过多次尝试，最后发现12 cm长的粉笔最合适.根据上述描述，请回答下列问题：(1)这个问题的可控因素是________；(2)这个问题的最佳点是________.解析(1)这个问题是优选问题.这个问题是寻找粉笔的合适长度，因此可控因素是粉笔的长度.(2)本题是寻找粉笔的合适长度，因此最佳点就是最合适的粉笔长度，即12 cm. 答案(1)粉笔的长度(2)12 cm6.已知t＞0，则函数y＝t2－4t＋1t的最佳点为__________.解析y＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4≥－2(t＞0)，当且仅当t＝1时，y min＝－2.答案 1二、能力提升7.说出下列优选问题中的可控因素.①购房者在选择适合自己的房屋时，会从房屋的位置、价格等不同特性进行对比，从中选择合适的房子.②调配葡萄酒时，需用两种原酒调配而成，如由赤霞珠、梅鹿辄组合成的干红葡萄酒，经过多次试验，确定两种原酒的最佳比例.③做馒头，碱放少了馒头会酸，碱放多了馒头会变黄、变绿且带碱味，碱放多少才合适呢？④为了加强钢的强度，要在钢中加入碳，加入太多太少都不好，究竟加入多少碳，钢才能达到最高强度呢？解(1)中的可控因素是位置、价格等；(2)两种原酒的比例；(3)加入碱的量；(4)加入碳的量.8.已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.(1)若f(x)在[0，＋∞)上单调，求a的取值范围.(2)若g(x)＝f(x)－3x在[－1，4]上是单峰函数，求a的取值范围.解 (1)由f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3≥0对任意x ≥0恒成立，得－2a ≤x ＋1x ⇒－2a ≤2⇒a ≥－1.(2)由g ′(x )＝f ′(x )－3＝3x 2＋6ax ＝3x (x ＋2a )，由g ′(x )＝0可得x ＝0或x ＝－2a . ∵0∈(－1，4)，所以－2a ∉(－1，4)， ∴－2a ≤－1或－2a ≥4，即a ≥12或a ≤－2. 故a 的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.9.有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次为P 万元和Q 万元.它们与投入资金x 万元的关系有经验公式P ＝15x ，Q ＝35x .现有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，则对甲、乙两种商品的资金投入分别为多少？并说明此优选问题是否具有单峰性质.解 设对甲种商品投资x 万元，则乙种商品投资为(3－x )万元，又设所获得的利润总额为y 万元，由题意有y ＝15x ＋353－x ，x ∈[0，3].令3－x ＝t ，则x ＝3－t 2，t ∈[0，3]，从而y ＝15(3－t 2)＋35t ＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋2120，t ∈[0，3].当t ＝32∈[0，3]时，y max ＝2120.即知x ＝3－94＝34，3－x ＝3－34＝94.因此，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，获得的最大利润为1.05万元.这个优选问题中的目标函数，经过换元之后为有最大值的二次函数，而二次函数为单峰函数，因此这个优选问题具有单峰性质.三、探究与创新10.证明：若目标函数为单峰函数，则最佳点与好点必在差点的同侧. 证明 下面仅对单峰函数f (x )上凸的情形进行证明.设点c 为[a ，b ]上的单峰函数f (x )的最大值点，m ，n ∈[a ，b ]，且f (m )＞f (n ).因为f (x )为单峰函数，所以f (x )在[a ，c ]递增，在[c ，b ]递减.(1)设n ∈[a ，c ]，如图，因为m ，n ∈[a ，b ]，且f (m )＞f (n )，所以m ∉[a即m ∈[n ，b ].因为n ∈[a ，c ]，所以c ∈[n ，b ].因此，点m ，c 在点n 右侧.(2)设n ∈[c ，b ].因为m ，n ∈[a ，b ]，且f (m )＞f (n )，所以m ∉[n ，b ]，即m ∈[a ，n ].因为n ∈[c ，b ]，所以c ∈[a ，n ].因此，点m ，c 在点n 的左侧.由(1)(2)可知点m ，c 始终在点n 的同侧.三 黄金分割法——0.618法(一)[学习目标]1.理解用黄金分割法进行试验设计的原理.2.了解黄金分割常数的推导过程. [预习导引](1)优选问题通过试验方法找到最佳点时，“最快”找到或确定合适的试点的两个原则为：①安排试验点时，最好使两个试验点关于区间[a ，b ]的中心a ＋b2对称. ②每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相同.(2)黄金分割常数用ω表示.其值ω2其近似值是0.618.黄金分割常数是一元二次方程x 2＋x －1＝0的一个根.(3)设M 为线段AB 上的一点，若有AB ∶AM ＝AM ∶MB ，则点M 叫做线段AB的黄金分割点，令AB ＝1，AM ＝x ，则x 2(或黄金率).要点一 黄金分割常数的意义例1 下列说法中，正确的个数为( )①黄金分割常数，是指事物各部分之间的一种比例关系，它表示将整体一分为二，较大部分和较小部分之间的比例等于整体和较大部分之间的比例；②黄金分割点，是指在已知线段上的一点，它分线段为两部分，其中一部分是全线段与另一部分的比例中项；③黄金分割常数，就是方程t 2＋t －1＝0的正实根；④正五边形的两条对角线的一个交点是对角线上的黄金分割点. A.1B.2C.3D.4解析 ②③④正确.①中黄金分割常数为较大部分和较小部分之间的比例等于较大部分与整体之间的比，故①错. 答案 C规律方法 黄金分割常数就是方程x 2＋x －1＝0的正根，在自然界与几何图形中普遍存在.跟踪演练1 下列实际问题与黄金分割常数有关的为( )①一名有经验的教师在45 min 的课堂里至少要留10.7 min 给学生自主学习； ②设计师在许多图案选择中，常常采用五角星； ③腿短的女生喜爱穿高跟鞋； ④人们最喜欢春秋气温. A.②③ B.②④ C.②③④D.①②③④解析 以上四种现象均与黄金分割常数有关，所以答案为D. 答案 D要点二 几何中的黄金分割数例2 若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左焦点到左准线的距离等于长半轴长，证明椭圆的离心率为黄金分割数.证明 由题意可得：a 2c －c ＝a ⇒c 2＋ac －a 2＝0 ⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋ca －1＝0⇒c a ＝－1±52. ∵c a ∈(0，1)，∴c a ＝－1＋52.即e ＝－1＋52＝ω. 规律方法 依黄金分割常数确定的几何图形更富美感，这一点在美术，雕塑中被普遍采用.跟踪演练2 如图，△ABC 是正五角形的一个角所在的三角形，AD 是∠CAB 的平分线，求证：DB DC ＝ABAC ＝ω(其中ω是黄金分割常数).证明 由条件可知△ABC 是等腰三角形，且∠C ＝36°， 所以∠CAB ＝∠CBA ＝72°，则AC ＝BC . 由AD 是∠CAB 的平分线可得∠DAB ＝36°， 所以∠ADB ＝∠CBA ＝72°，则AD ＝AB . 所以△ABC ∽△BDA ，所以AB AC ＝BD BA ， 即AB 2＝AC ·BD .在△ADC 中，由∠CAD ＝∠C ＝36°，知AD ＝CD .所以CD 2＝BC ·BD .设BC ＝1，CD ＝t (0＜t ＜1)，则BD ＝1－t ，所以t 2＝1－t ，解得t ＝－1＋52或 t ＝－1－52(舍去)，即CD BC ＝t ＝－1＋52＝ω，故DB DC ＝ABAC ＝ω.要点三 用0.618法确定试点例3 为了提高某产品的质量，对影响质量的一个因素进行优选.已知此因素范围为[1 000，2 000]，用0.618法安排试验，第一个和第二个试点安排在何处？如果第一点效果比第二点好，第三个试点应选在何处？解 在因素范围[1 000，2 000]内，用0.618法安排试验，第一个试点x 1满足x 1＝1 000＋0.618(2 000－1 000)＝1 618； 第二个试点x 2满足x 2＝1 000＋2 000－1 618＝1 382.试验结果，如果x 1的效果比x 2好，舍去x 2＝1 382以下部分，则第三个试点x 3满足x 3＝2 000＋1 382－1 618＝1 764. 示意图如下：规律方法 0.618法满足的原则是：(1)每次要进行比较的两个试验点，应关于相应试验区间的中点对称； (2)每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数应相同.跟踪演练3 例题条件不变，如果第二点效果比第一点好，那么第三个试点应选在何处？解 由于x 2的效果比x 1的效果好， 消去x 1＝1 618以上部分， 此时的存优范围为[1 000，1 618]， ∴x 3＝1 000＋1 618－1 382＝1 236， ∴第三个试点应选在1 236处.1.通过缩小存优范围来寻找最优点的方法：(1)在因素范围[a ，b ]内任选两点各做一次试验，根据试验结果确定好点与差点.(2)在差点处把区间[a ，b ]分为两段，截掉不含好点的一段，留下存优范围[a 1，b 1]，(3)再在[a 1，b 1]内重复上述过程，从而达到可使存优范围逐步缩小的目的. 2.利用黄金分割法寻找最优点的原则： (1)使两个试点关于[a ，b ]的中心a ＋b2对称；(2)保证每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相等.一、基础达标1.有一优选问题，存优范围为[10，20]，在安排试点时，第一个试点为16，则第二个试点最好为( ) A.12 B.13 C.14D.15解析 在优选过程中，安排试点时，最好使两个试点关于[10，20]的中点15对称，所以第二个试点最好为14. 答案 C2.在存优范围[10，100]安排两个实验点x 1，x 2，则x 1，x 2关于( )对称.A.0.618B.65.62C.55D.61.8解析x＝x1＋x22＝10＋1002＝55.答案 C3.用0.618法确定试点，则经过4次试验后，存优范围缩小为原来的()A.0.6182B.0.6183C.0.6184D.0.6185解析由黄金分割法知：每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相等，故4次试验后，存优范围缩小为原来的0.6183.答案 B4.假设因素区间为[0，1]，取两个试点0.1和0.2，则对峰值在(0，0.1)内的单峰函数，两次试验存优范围缩小到区间________上.解析如图所示：因为峰值在(0，0.1)内，故应舍去区间[0.2，1]，两次试验后存优范围缩小到区间[0，0.2]上.答案[0，0.2]5.人体的正常体温为36～37 ℃，在炎炎夏日将空调设为__________℃，人体感觉最佳.(精确到0.1 ℃)解析36×0.618到37×0.618，即22.2～22.8.答案22.2～22.86.一个身高为170 cm的人，肚脐离地面的最佳高度为__________ cm(精确到1 cm).解析由170×0.618＝105.06≈105.答案105二、能力提升7.已知一种材料的最佳加入量在110 g到210 g之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是________g.解析根据0.618法可知，第一试点的加入量为110＋0.618×(210－110)＝171.8(g)或110＋210－171.8＝148.2(g)答案171.8或148.28.在炼钢过程中为了得到特定用途的钢，需要加入含有特定元素的材料.若每吨钢需要加入某元素的量在1 000 g 到2 000 g 之间，假设最佳点在1 400 g ，如果用0.618法试验，求第三个试验点.解 由0.618法知x 1＝1 000＋0.618(2 000－1 000)＝1 618(g)，x 2＝1 000＋2 000－x 1＝1 382(g).由于1 382 g 接近1 400 g ，所以此时的存优范围为(1 000，1 618)，∴x 3＝1 000＋1 618－1 382＝1 236(g).9.如图，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，A 为长轴的右端点，B的上端点，当FB ⊥AB 时，其离心率为5－12，此类椭圆为“黄金椭圆”.(1)类似“黄金椭圆”，推算“黄金双曲线”的离心率.(2)设AB 为黄金双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的弦，M 为AB 的中点，若AB ，OM 的斜率存在，求k OM ·k AB .解 (1)类似“黄金椭圆”，作出“黄金双曲线”，如图，则BF ⊥AB . 则BO ＝b ，FO ＝c ，OA ＝a ，在Rt △ABF 中，b 2＝ac . 又∵b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2＝ac ⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－ca －1＝0. ∴e ＝c a ＝1±52.又e ＞1， ∴e ＝1＋52.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b 2＝1， ①x 22a 2－y 22b 2＝1. ② 由①－②得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2＝（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b 2. ∵M 是AB 的中点，且x 1≠x 2，∴x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22，从而y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2·x 0y 0. 故k OM ·k AB ＝y 0x 0·y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2＝1＋52. 三、探究与创新10.已知线段AB ，怎样作出它的黄金分割点？解 法一 在AB 的端点B 作BD ⊥AB ，使BD ＝12AB ，连接AD ，在AD 上截取DE ＝DB ，再在AB 上截取AC ＝AE ，则点C 为所求作的黄金分割点，如图1. 事实上，由作法可知AD ＝52AB ，则AC ＝AE ＝AD －DB ＝AD －12AB ＝5－12AB ， 即证.图1法二 在AB 上作正方形ABMN ，在AN 上取中点E ，在NA 的延长线上取EF ＝EB .以AF 为一边作正方形ACDF ，则点C 为所求作的黄金分割点，如图2. 事实上，由AC ＝AF ＝EF －AE ＝EB －AE ＝AB 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB 2－12AB ＝5－12AB ，即证.图2三黄金分割法——0.618法(二)[学习目标]1.能用0.618法解决不限定次数的优选问题，从而找到试验区间中的最佳点.2.掌握黄金分割法的操作过程，了解实验精度及对实验的控制.[预习导引]1.黄金分割法适用于目标函数为单峰的情形，该法是把试点安排在黄金分割点来寻找最佳点的方法.2.用0.618法确定试点的流程：(1)在因素范围[a，b]上确定第一个试点x1＝a＋0.618(b－a).(2)在第一个试点x1的基础上，确定第二个试点x2＝a＋b－x1，即相当于“加两头，减中间”.(3)在确定第n个试验点x n时，如果存优区间的好点是x m，则x n＝小＋大－x m.3.衡量一种试验的效率是用存优范围与原始范围的比值来确定，这个比值叫做精度，它与试验的次数有关.n次试验后的精度δn＝n次试验后的存优范围原始的因素范围，0.618法中n次试验后的精度δ＝0.618n－1.在达到精度δ条件下的试验的次数n应满足：n≥lg δlg 0.618＋1.要点一黄金分割法例1关于黄金分割下列说法正确的有________.(1)把试点安排在黄金分割点来寻找最佳点的方法，称为黄金分割法(2)黄金分割法只适用于目标函数为单峰的情形。

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一什么叫优选法一、基础达标1.下列问题是优选问题的有( )①手工制作玻璃钢模型舰艇，采用何种型号环氧树脂、固化剂，才能使作品的硬度和韧性适宜；②炸酱面如何配料使口感更好；③膏豆腐的制作过程中，如何配制热石膏同豆浆的关系，才能使豆腐做出后不老不嫩.A.①③B.②③C。

①②③ D.①解析以上3个例子从不同的方面说明了优选问题的普遍性，均属于优选问题.答案C2.下列各试验中，与优选方法无关的是( ）A。

女孩子在日常生活中总爱穿高跟鞋B.在学校举行的诗歌朗诵大赛中，文艺班长先从班级中选出一名优秀队员C。

景泰蓝生产过程中,寻找“合适”的操作和工艺条件D。

篮球比赛中，上下半场交换比赛场地解析A中“爱穿高跟鞋”、B中“优秀队员”、C中“合适的操作和工艺条件"都需要通过试验得到最佳效果，有优选法的思想,D只是交换场地，是比赛规则，不需要试验。

答案D3。

下列有关优选法的说法中正确的个数为( )①优选法就是利用数学原理合理安排试验，以最少的试验次数迅速找到最佳点的科学试验方法②优选法的目的就是减少试验的次数③试验中如果安排不合理，会使得试验的次数很多④优选法是纯数学问题，实验性不大.A。

1个 B.2个C。

【全程复习方略】（某某专用）2014版高中数学优选法与试验设计初步课时提能训练理新人教A版1.用对分法进行试验时，3次试验后的精度为______.2.有一个优选法问题，存优X围为［10，20］，在安排试点时，第一个试点为16，则第二个试点最好是______.3.某车床的走刀量(单位：mm/r)共有如下13级0.3,0.33,0.35,0.40,0.45,0.48,0.50,0.55,0.60,0.65,0.71,0.81,0.91.那么第一次和第二次的试点分别为______、______.4.配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10 mL到110 mL之间，用黄金分割法寻找最佳加入量时，若第1试点是差点，第2试点是好点，则第3次试验时葡萄糖的加入量是______.5.用0.618法确定试点，则经过4次试验后，存优X围缩小为原来的______倍.6.某设施需要加入大量抗腐蚀剂的特种混凝土预制件. 该种混凝土预制件的质量受混凝土搅拌时间的影响比较大，搅拌时间不同，混疑土预制件的强度也不同. 根据生产经验，混凝土预制件的强度是搅拌时间的单峰函数. 为了确定一个搅拌的标准时间，拟用分数法从20个试验点中找出最佳点，则需要做的试验次数至多是______.7.（2011·某某高考）已知某试验X围为[10,90]，若用分数法进行4次优选试验，则第二次试点可以是______.8.设一优选问题的试验因素X围是［0，130］，现用分数法试验，假设最优点是70，则第三个试点为______.9.在0.618法、对分法、均分分批试验法、比例分割分批试验法中，每次(批)试验后都能将存优X围缩小为相同比例的是______.10.现决定优选加工温度，假定最佳温度在60℃与70 ℃之间，用0.618法进行优选，则第二次试点温度为______℃.11.某冶炼厂准备对一金属产品进行技术改造，决定优选加工温度，假定最佳温度在1 160℃到1 181℃之间．现用分数法进行优选，则第二次试点的温度为______℃.12.为了得到某种特定用途的钢，用黄金分割法考察特定化学元素的最优加入量，若进行若干次试验后存优X围［1 000,m］上的一个好点为1 618，则m可以是______.13.为了调制一种饮料，在每10 kg半成品饮料中加入柠檬汁进行试验，加入量为500 g到1 500 g之间，现用0.618法选取试点找到最优加入量，则第二个试点应选取在______g.14.某单因素单峰试验X围是(3,18)，用均分分批试验法寻找最佳点，每次安排4个试验.若第一批试点中从左到右的第3个试点是好点，则第一批试验后的存优X围是______.15.关于优选法有如下说法：(1)纵横对折法是在每一步确定好点后，都将试验的矩形区域舍弃一半.(2)爬山法中的步法常常采用“两头慢，中间快”的办法.(3)平行线法中，可以多次采用“平行线加速”求后续最佳点.(4)对分法的要点是每个试点都取在因素X围的中点.其中说法正确的序号是______.16.为了炼出某种特定用途的钢材，炼钢时需要加入一定量的某种化学元素.已知每吨这种钢需要加入这种化学元素的量在区间［1 000,2 000］（单位：g）内，现在用0.618法确定最佳加入量，设第1，2，3个试点的加入量分别为x1,x2,x3，若第2个试点比第1个试点好，则x3的值为______.17.对试验X围是(1,8)的单因素进行比例分割分批试验法，若第一次做2个试验，则这两个试验点值分别是______.18.有一条输电线路出现了故障,在线路的开始端A处有电,在末端B处没有电,要检查故障所在位置,宜采用下列哪种优选法:______.(填序号)①0.618法②分数法③对分法④盲人爬山法19.一个试验所要求的温度在59℃～80℃,精确度要求为1℃,用0.618法优选安排的次数与用分数法优选安排的次数分别为______.20.用对分法求方程2x+3x-7=0的一个根，达到精确度为0.1的要求，则根的值为______（只填一个即可），需要进行______次试验.21.已知函数f(x)=x3+3ax2+3x+1.若g(x)=f(x)-3x在［-1,4］上是单峰函数，则a的取值X围是______.答案解析1.【解析】由对分法可知，每次试验后存优X围缩小为原来的一半，所以3次试验后的精度为0.53=0.125. 答案：0.1252．【解题指南】在优选过程中，安排的两个试点最好关于存优X围的中点对称.【解析】x=10+20-16=14.答案：143.【解析】该已知条件符合分数法的优选要求.∴第一次应优选0.55，第二次应优选0.45.答案：0.55 0.454．【解题指南】由于第1试点是差点，故第2试点在存优X围内，则第3试点用“加两头，减中间”来计算.【解析】由黄金分割法原理得x1=10+0.618×(110-10)=71.8;x2=10+110-71.8=48.2.由于第2点是好点，所以存优X围为［10，71.8］.所以x3=10+71.8-48.2=33.6.答案：33.6 mL5.【解题指南】由0.618法精度公式δn=0.618n-1可算.【解析】当n=4时，δ4=0.6184-1=0.6183.答案：0.61836.【解题指南】在分数法中，通过n次试验，最多能从(F n+1－1)个试点中保证找出最佳点，并且这个最佳点就是n次试验中的最优试验点.【解析】因为20=21-1=F7-1=F6+1-1，所以用分数法安排试验时，最多只需做6次试验就能找到其中的最佳点.答案：6次7.【解析】x1=10+(90-10)×58=60或x1=90+(10-90)×58=40，则x2=(10+90)-60=40或x2=(10+90)-40=60.答案：40或608.【解题指南】最优点总在存优X围内，所以可根据最优点是70来确定存优X围.【解析】由分数法得x1=0+813×(130-0)=80,x2=0+130-80=50，因为最优点是70，所以存优X围为［50，130］,故x3=50+130-80=100. 答案：1009.【解析】对分法每次试验后都能将存优X围缩小为原来的12，其余三种方法都是从第2次（批）起，每次（批）试验后将存优X围缩小为相同比例.答案：对分法10.【解析】x2=60+0.382×(70-60）=63.82.答案：63.8211.【解题指南】把温度区间等分成21段，将每段由小到大编号，然后用分数法试验.【解析】把区间分成21段，则第二试点在821处,所以其对应的温度为1 160+821(1 181-1 160)=1 168(℃).答案：1 16812.【解题指南】注意题中条件“若进行若干次试验后存优X围”说明本题有多种可能.【解析】有两种可能，若好点在存优X围的0.618处，则有1 000+0.618（m-1000）=1 618,故m=2 000; 若好点处在存优X围的0.382处，则有1 000+0.382·（m-1000）=1 618,故m≈2 618.答案：2 000或2 61813.【解析】利用0.618法时，第一个试点选在500+0.618×(1 500-500)=1 118，则第二个试点是:500+1 500-1 118=882 (g).答案：88214.【解析】均分分批试验法要求试点等分试验区间，每次安排4个试验，则把试验区间分成5段，每段的长度是：18335-=，则第一批试点是6，9，12，15,由于从左到右的第3个试点是好点，即12是好点，也就是说9和15是差点，那么最佳点在区间(9，15)内.答案：(9,15)15.【解析】爬山法中步法常常采用“两头快，中间慢”的办法.答案：(1)(3)(4)16.【解析】x1=1 000+0.618×(2 000-1 000)=1 618,x2=1 000+2 000-x1=1 382.因为第2个试点是好点，则存优X围是［1 000,1 618］，所以x3=1 000+1 618-1 382=1 236.答案：1 23617.【解析】比例分割试验法每批做试验的次数相等.而试点分别是2,3,4,5,6,7,第一批做2个试验,试点在4,5.答案：4，518.【解题指南】由于要迅速查出故障，所以每次都要尽快缩小故障点所在的X围，又不能重复去找试点. 【解析】宜采用对分法.第一次检查点是线段AB的中点C,若有电则检查CB的中点,若没电,则检查AC的中点,以此类推.答案：③19.【解析】由题知0.618n-1≤121≈0.05,∴n ≥lg0.05lg0.618+1≈7.22. 于是只要安排8次试验,就能保证精度达到0.05,精确度为1℃.若用分数法,第一次试验做在:59+1321×(80-59)=72,第二个试点是:59+80-72=67,比较两个点,若67是好点,去掉72右边部分,最佳点在X 围59～72之间,第三个试点是:59+72-67=64,比较后若64是好点,则第四个试点是:59+67-64=62,比较后若62是好点,则最佳点在59～64之间,第五个试点是:59+64-62=61,同理第六个试点是59+62-61=60,比较,若60是好点,则存优X 围是59～61,若好点是61,则存优X 围是60～62,此时精确度都是1,∴应填:8,6.答案：8,620.【解析】设f(x)=2x +3x-7,由f(1)=-2,f(2)=3知根的X 围为(1,2),取x 1=122+=1.5, 由f(1.5)=0.33知，根的X 围为（1,1.5）, 取211.5x 1.25,2+== 由f(1.25)=-0.87知,根的X 围为(1.25，1.5), 取31.251.5x 2+==1.375, 由f(1.375)=-0.28知,根的X 围为(1.375,1.5), 取41.3751.5x 2+==1.437 5, 由|1.375-1.437 5|=|1.437 5-1.375|=0.062 5＜0.1,故原方程的根可取为1.437 5.需要进行4次试验.答案：1.437 5 421.【解析】由g ′(x)=f ′(x)-3=3x 2+6ax=3x(x+2a),由g(x)=0可得x=0或x=-2a.因为0∈(-1,4)，所以-2a (-1,4),所以-2a≤-1或-2a≥4，即a≥12或a≤-2.故a的取值X围是(-∞,-2］∪［12,+∞).答案：(-∞,-2］∪［12,+∞)。

2.分数法的最优性-人教A版选修4-7 优选法与试验设计初步教案一、教学目标1.理解分数法选优的基本思想。

2.能够利用分数法为多目标问题求解最优解。

3.能够将其他类型的问题转化为分数法问题求解。

4.能够初步了解试验设计的基本概念与方法。

二、教学内容1.分数法的最优性2.试验设计的基本概念和方法三、教学重点1.理解分数法选优的基本思想。

2.能够利用分数法为多目标问题求解最优解。

四、教学难点1.将其他类型的问题转化为分数法问题求解。

2.试验设计的基本概念和方法。

五、教学方法授课、分组讨论、案例分析。

六、教学过程1. 分数法的最优性分数法是一种用于多目标问题求解的一种方法，它可以将多个目标指标通过分数之和的方式转化为单一目标指标，从而求解最优解。

分数法在实际问题中应用广泛，在工程领域尤为常见。

例如，在产品设计中，我们需要考虑多个因素，如造价、质量、效率等，而这些因素往往是相互矛盾的，通过分数法就可以将这些因素综合起来，从而得到最优解。

分数法的具体步骤如下：1.确定需要综合评价的指标和权重。

这些指标和权重通常需要由多方面的专家或者相关人员进行评估和确定。

2.将各项指标和权重代入到分数公式中进行计算。

3.比较各个方案的得分，并选出得分最高的方案。

下面通过一个简单的例子对分数法进行说明：某公司拟投资三项工程，若仅按单一因素–利润进行选优，则可得出箭头所示的最优方案：可见，第二项工程的利润最高，应该优先选择。

如果采用分数法，则可先评估三项工程的成本、利润、风险等几个影响项目投资收益的因素。

假定对这些因素的评分标准和相应权数分别如下表所示：则分别计算三个方案的综合评分，如下表所示：可见，三个方案的综合评分得分相差不多，因此可以认为三个方案的优劣相当。

若不考虑风险因素，则方案B成为最优方案。

2. 试验设计的基本概念和方法试验设计是一种系统地选择试验方案并实施试验，以研究某一因素对试验结果的影响、确定最佳因素水平或确定因素之间的交互关系的方法。

4.正交表的特性-人教A版选修4-7 优选法与试验设计初步教案1. 前言正交表是实验设计中的一种重要工具，在实验设计中应用广泛。

通过正交表的设计，可以使得实验结果更加准确、可靠和有效。

本文将介绍正交表的基本特性以及应用。

2. 正交表的基本特性2.1 正交表的构成正交表是由多个列组成的表格，每个列代表一个因素，每一行代表一种方案，列中的数值表示该因素在该方案下的水平。

正交表一般是一个 kv 对象，其中 k 代表因素数，v 代表水平数。

例如，一个 2^3 正交表的 kv 对象表示为：(3, 2)2.2 正交表的优点正交表是一种高效的试验设计工具，具有以下优点：•精细的设计 - 正交表可以对多个因素进行全面且合理的设计。

•可控的误差 - 通过正交表的设计，可以减小误差的影响。

•最小试验 - 正交表可以在尽可能少的试验次数中得到最终结果，节省试验成本。

•可重复 - 正交表的设计可以重复利用，提高设计效率。

2.3 正交表的应用场景正交表在实验设计中的应用非常广泛，特别是在多因素试验中的应用更为突出，例如：•工艺优化 - 通过正交表对工艺因素进行优化，提高生产效率和产品品质。

•产品设计 - 通过正交表对多种因素进行设计，得到更优的产品设计。

•药物试验 - 通过正交表对药物因素进行设计，得到更精准的药物剂量和效果。

3. 正交表的设计方法3.1 构造正交表的方法构造正交表一般有以下几种方法：•对称差法 - 通过对称差法构造正交表，得到的正交表具有较好的效果。

•随机化法 - 通过随机化法构造正交表，得到的正交表具有可重复性和一定的试验效果。

•混合法 - 通过混合法构造正交表，可以有效地控制因素之间的影响。

3.2 正交表的优选法正交表的优选法是指，在多个可能的正交表中，选取一组最佳正交表的方法。

一般来说，正交表的优选需要考虑以下因素：•正交性 - 优选的正交表需要满足正交性。

•自由度 - 优选的正交表需要具有充分的自由度，以满足实验设计的要求。

课时作业(七十二)[第72讲优选法与试验设计初步][时间：35分钟分值：80分]基础热身1．下列函数中，在[－1,4]上不是单峰函数的是________．①y＝2|x|②y＝x2－2x＋3③y＝sin x④y＝cos x2．有一优选试验，试验的因素范围是[10,60]，在试验中第一个试点为25，则第二个试点最好为________．3．若F0＝1，F1＝1，且F n＝F n－1＋F n－2(n≥2)，则F8＝________.4．下列结论中正确的是________．①运用0.618法寻找最佳点时，一定可以在有限次内准确找出最佳点②运用分数法寻找最佳点时，一定可以在有限次内准确找出最佳点③运用对分法和分数法在确定下一个试点时，都需要比较前两个试点的试验结果④运用盲人爬山法寻找最佳点，在试验范围内取不同的点作起点，其效果快慢差别不大能力提升5．以下关于优选法的说法正确的是________．①对分法适用于具有明确的标准或要求的试验；②盲人爬山法适用于因素范围不允许大幅度调整的试验；③分批试验法适用于每个试验的代价不大，又有足够的设备，加快试验进度的试验．6．在配置一定量的某种清洗液时，需要加入某种溶剂，经验表明，加入量大于5 000 ml 或小于3 000 ml时，效果肯定不好，用0.618法来确定这种溶剂的最佳加入量，则前两次试验加入的量分别为________．7．阿托品是一种抗胆碱药，它的脂化工艺主要为“温度与时间”的双因素，那么为了提高产量，降低成本，对于下列4种优选方法：①纵横对折法；②从好点出发法；③平行线法；④对分法．不宜采用的是________．8．在下面优选法中，每次(批)试验后都能将存优范围缩小为相同比例的是________．①0.618法②对分法③均分分批试验法④比例分割分批试验法9．在目标函数为单峰的情形，利用分数法进行了6次试验，就能保证从n个试点中找出最佳点，那么n的最大值为________．10．在纵横对折法处理双因素优选问题中，分别针对因素Ⅰ和因素Ⅱ各进行了一次优选后，则新的存优范围的面积为原存优范围面积的________．11．一个试验要求的温度在69～90℃，用分数法安排试验进行优选，则第一个试点安排在________．12．配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10 mL到110 mL之间，用黄金分割法寻找最佳加入量时，若第一试点是差点，第二试点是好点，则第三次试验时葡萄糖的加入量可以是________．13．用0.618法确定最佳点时，试验区间为[2,4]，若第一个试点x1处的结果比第二个试点x2处的结果好，且x1>x2，则存优区间是________．14．(10分)如图K72－1，在每批做2个试验的比例分割分批试验法中，将试验范围7等分，第1批试验先安排在左起第3,4两个点上，若第3个点为好点，则第2批试验应安排在哪两个点上？15．(13分)某化工厂准备对一化工新产品进行技术改良，现决定优选加工温度，试验范围定为60～80℃，精确度要求±1℃，现在技术员用分数法进行优选．(1)如何安排试验？(2)若最佳点为69℃，请列出各试验点的数值；(3)要通过多少次试验可以找出最佳点？难点突破16．(12分)某炼油厂试制磺酸钡，其原料磺酸是磺化油经乙醇水溶液萃取出来的．试验目的是选择乙醇水溶液的合适浓度和用量，使分离出来的白油最多．根据经验，乙醇水溶液浓度变化范围为50%～90%(体积百分比)，用量变化范围为30%～70%(重量百分比)，精度要求为5%.试用纵横对折法对工艺条件进行优选．课时作业(七十二)【基础热身】1．④ [解析] 函数y ＝cos x 在[－1,4]上既有最大值，也有最小值，故不是单峰函数．2．45 [解析] 在安排优选试验时最好使两个试点关于因素范围的中点对称，则第二个试点最好为10＋60－25＝45.3．34 [解析] ∵F 0＝1，F 1＝1，且F n ＝F n －1＋F n －2，∴F 2＝2，F 3＝3，F 4＝5，F 5＝8，F 6＝13，F 7＝21，F 8＝34.4．② [解析] 运用0.618法寻找最佳点时，随着试验次数的增加，最佳点被限定在越来越小的范围内，故①错；按照分数法安排试验，通过n 次试验保证能从(F n ＋1－1)个试点中找出最佳点，故②正确；运用对分法在确定下一个试点时，只需要比较试验结果与已知标准(或要求)，故③错；盲人爬山法的效果快慢与起点的关系很大，起点选得好，可以省好多次试验，故④错．【能力提升】5．①②③ [解析] 由对分法、盲人爬山法、分批试验法的适用范围知，①②③都正确．6．4 236 ml,3 764 ml [解析] x 1＝3 000＋0.618×(5 000－3 000)＝4 236，x 2＝3 000＋5 000－4 236＝3 764.7．④ [解析] 对分法主要适用于单因素优选问题．8．② [解析] 对分法每次试验后都能将存优范围缩小为原来的12，其余三种方法都是从第2次(批)起，每次(批)试验后将存优范围缩小为相同比例．9．20 [解析] 在目标函数为单峰的情形，通过n 次试验，最多能从(F n ＋1－1)个试点中保证找出最佳点，因此n 的最大值＝F 6＋1－1＝21－1＝20.10.12 [解析] 由纵横对折法的思路知新的存优范围的面积为原存优范围面积的12. 11．82℃ [解析] 由题意可得第一个试点安排在(90－69)×1321＋69＝82(℃)． 12．33.6 [解析] x 1＝10＋0.618×(110－10)＝10＋61.8＝71.8；x 2＝10＋110－71.8＝48.2；x 3＝10＋71.8－48.2＝33.6.13．(2.764,4) [解析] 依题意，x 1＝2＋0.618×(4－2)＝3.236，x 2＝2＋4－3.236＝2.764，故存优范围是(2.764,4)．14．[解答] 第3个点为好点，则存优范围为左端到第4个分点，故第2批安排在没有做过试验的第1和2两个分点上．15．[解答] (1)试验区间为[60,81]，等分为21段，分点为61,62，…，79,80，所以60＋1321×(81－60)＝73(℃)．故第一试点安排在73℃，由“加两头，减中间”的方法得：60＋81－73＝68，所以第二试点选在68℃.后续试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定．(2)若最佳点为69℃，即从第二次试验开始知69℃在存优范围内，由(1)知，第一、二次试点的值分别为73,68，因为69∉[60,68]，故去掉68℃以下的部分，则第三次试验点的值为68＋81－73＝76.同理去掉76℃以上的部分，第四次试验点的值为68＋76－73＝71，第五次试验点的值为68＋73－71＝70，第六次试验点的值为68＋71－70＝69，即安排了6次试验，各试验点的数值依次为：73,68,76,71,70,69.(3)共有20个分点，由分数法的最优性定理及F 6＋1－1＝20可知，通过6次试验可从这20个分点中找出最佳点．【难点突破】16．[解答] 由题意设影响该试验结果的因素Ⅰ为浓度，试验范围为50%～90%， 因素Ⅱ为用量，试验范围为30%～70%.试验：(1)先固定浓度在中点50%＋90%2＝70%处，对用量进行单因素优选，得最佳点A 1. 同样将用量固定在中点30%＋70%2＝50%处，对浓度进行单因素优选，得最佳点B 1.比较A1和B1的试验结果，如果A1比B1好，则沿坏点B1所在的线，丢弃不包括好点A1所在的半个平面区域，即丢弃平面区域：50%≤Ⅰ≤90%,50%≤Ⅱ≤70%.然后再在因素Ⅱ的新范围即[30%,50%)内取中点40%，用单因素方法优选因素Ⅰ，得最佳点为B2.。

2. 黄金分割法——0.618法-人教A版选修4-7 优选法与试验设计初步教案一、引言优化设计中的黄金分割法，也称为0.618法，是一种基于数学原理的试验设计方法，广泛应用于各行各业的优化设计和科学实验中。

本文主要介绍该方法原理、应用场景及实践操作。

二、基本原理黄金分割法基于斐波那契数列，每个数是前两个数之和。

数列中相邻两数之比逐渐接近0.6180339887，这一比例被称为黄金分割率。

黄金分割法依赖数学原理和数据来确定最优化的参数。

在试验设计中，可以将黄金分割法应用于寻找设计参数、优化配比、提高产品质量等方面。

根据黄金分割法的原理，选择合适的样本比例、数据范围和实验方案，不断调整参数，最终达到优化目的。

三、应用场景黄金分割法广泛应用于工程设计、产品研发、市场营销等多个领域。

以下是一些常见的应用场景：1.工程设计中的优化设计：根据黄金分割法的原理，在确定初始参数后，通过实验数据不断调整最优参数，以达到最佳效果。

2.产品模型设计：黄金分割法可以用于确定产品模型各部分的尺寸比例，以使整体效果更加协调。

3.金融、股市投资：通过黄金分割法的原理，可以根据数据的走势和规律预测股票、外汇等市场的走向，指导投资决策。

四、实践操作以下是黄金分割法在试验设计中的实践步骤：步骤一：制定实验计划在实验设计之前，需要制定实验计划。

需要识别实验目的、确定实验要素和范围、设置参数、确定实验方案等。

步骤二：确定样本量和数据范围在试验设计中，样本量和数据范围是重要的考虑因素。

根据黄金分割法的原理，可以根据样本量和数据范围确定最优化的参数。

步骤三：执行实验并记录数据实验执行时需要记录实验数据，包括实验样本数据和实验结果数据。

数据分析和评估是后续步骤中的重要环节。

步骤四：分析和优化数据在实验完成后，需要对数据进行分析和优化。

通过基于数学原理的黄金分割法，可以识别数据的规律和变化趋势，从而优化实验结果。

五、总结黄金分割法是一种基于数学原理的试验设计方法，广泛应用于各行各业的优化设计和科学实验中。