2019-2020学年高中数学 优选法与试验设计初步课时提能训练 理 新人教A版.doc

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课时提升作业三合情推理一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·潍坊高二检测)已知a1=1,a2=,a3=,a4=,则数列{a n}的一个通项公式为a n= ( )A. B.C. D.【解析】选B.a1=1=,a2==,a3==,a4==,故猜想a n=.2.平面内平行于同一直线的两条直线平行,由此类比到空间中可以得到( )A.空间中平行于同一直线的两条直线平行B.空间中平行于同一平面的两条直线平行C.空间中平行于同一直线的两个平面平行D.空间中平行于同一平面的两个平面平行【解析】选D.利用类比推理,平面中的直线和空间中的平面类比.3.(2016·石家庄高二检测)如图所示的是一串黑白相间排列的珠子,若按这种规律排下去,那么第36颗珠子的颜色是( )A.白色B.黑色C.白色的可能较大D.黑色的可能性较大【解析】选A.由题图可知,这串珠子的排列规律是:每5个一组(前3个是白色珠子,后2个是黑色珠子)周期性排列,而36=5×7+1,即第36颗珠子正好是第8组中的第一颗珠子,其颜色为白色.4.(2016·郑州高二检测)下面使用类比推理,得出的结论正确的是( )A.若“a·3=b·3,则a=b”类比推出“若a·0=b·0,则a=b”B.“若(a+b)c=ac+bc”类比出“(a·b)c=ac·bc”C.“若(a+b)c=ac+bc”类比出“=+(c≠0)”D.“(ab)n=a n b n”类比出“(a+b)n=a n+b n”【解析】选C.A中,3与0两个数的性质不同,故类比中把3换成0,其结论不成立;B中,乘法满足对加法的分配律,但乘法不满足对乘法的分配律;C是正确的;D中,令n=2显然不成立.5.(2016·天津高二检测)在等差数列{a n}中,a10=0,则有等式a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立,类比上述性质,相应地在等比数列{b n}中,若b9=1,则成立的等式是( )A.b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*)B.b1b2…b n=b1b2…b18-n(n<18,n∈N*)C.b1+b2+…+b n=b1+b2+…+b17-n(n<17,n∈N*)D.b1+b2+…+b n=b1+b2-1+…+b18-n(n<18,n∈N*)【解析】选A.由b9=1得b8b9b10=1……①b7b8b9b10b11=1……②由①得b1b2......b7=b1b2 (10)由②得b1b2…b6=b1b2…b11,因此选A.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·陕西高考)观察下列等式:1-=1-+-=+1-+-+-=++…据此规律,第n个等式可为________.【解析】由已知可得:第n个等式左边含有2n项,其中奇数项为,偶数项为-.其等式右边为后n 项的绝对值之和.所以第n个等式为:1-+-+…+-=++…+.答案:1-+-+…+-=++…+7.观察式子:1+<;1++<,1+++<,…则可归纳出第n-1个式子为_________________.【解题指南】分析左边式子结构及项数,与右端分子分母之间的关系.【解析】观察已知三个式子可得第n-1个式子左边有n项,为1+++…+.右边为.答案:1+++…+<8.(2016·淄博高二检测)已知△ABC的边长分别为a,b,c,内切圆半径为r,用S△ABC表示△ABC的面积,则S△ABC=r(a+b+c).类比这一结论有:若三棱锥A-BCD的内切球半径为R,则三棱锥的体积V A -BCD=________.【解析】内切圆半径r内切球半径R,三角的周长a+b+c三棱锥的全面积S△ABC+S△ACD+S△ABD+S△BCD,三角形面积公式中系数三棱锥体积公式中系数,故类比得V A-BCD=R答案:R三、解答题(每小题10分,共20分)9.圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合;球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合.这两个定义很相似.于是我们猜想圆与球会有某些相似的性质.试将平面上的圆与空间中的球进行类比. 【解析】圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性.据此,在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应关系:弦↔截面圆,直径↔大圆,周长↔表面积,圆面积↔球体积,等.于是,根据圆的性质,可以猜测球的性质如下表所示:π10.(2016·烟台高二检测)已知椭圆具有如下性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两点,点P是椭圆上任意一点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为k PM,k PN,那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值,试对双曲线-=1,写出具有类似的性质,并加以证明.【解析】类似的性质为:若M,N是双曲线-=1上关于原点对称的两点,点P是双曲线上任意一点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为k PM,k PN,那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值.证明如下:设M(m,n),P(x,y),则N(-m,-n),因为点M(m,n)在双曲线上,所以n2=m2-b2.同理,y2=x2-b2.则k PM·k PN=·==·=(定值).一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知“平面内,过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条”,类比这一结论可得出以下结论:①空间内,过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条;②空间内,过一点与已知平面垂直的直线有且仅有一条;③空间内,过一条直线与已知直线垂直的平面有且仅有一个;④空间内,过一条直线与已知平面垂直的平面有且仅有一个.其中,正确结论的个数为( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.本题是由平面点与线的位置关系类比到空间点线面的位置关系.可借助长方体这一模型排除①③④,仅有②正确.2.(2016·烟台高二检测)将正整数排成下表:12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16…则在表中的数字2016出现在( )A.第44行第81列B.第45行第81列C.第44行第80列D.第45行第80列【解析】选D.第n行有2n-1个数,前n行共有n2个数.因为442=1936,452=2025,而1936<2016<2025,故2016在第45行.又2025-2016=9,且第45行共有89个数字,所以2016在89-9=80列.故选D.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·石家庄高二检测)设n是正整数:f(n)=1++++…+,计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3.观察上述结果,可推测一般的结论是__________.【解析】由已知前四个式子可得第n个式子左边应为f(2n),右边应为,即一般结论为f(2n)≥. 答案:f(2n)≥4.(2016·青岛高二检测)如图所示,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,A为右顶点,B为上顶点,当⊥时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于________.【解析】设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).则左焦点F(-c,0),B(0,b),A(a,0).所以=(c,b),=(-a,b),因为⊥,所以·=b2-ac=0,即c2-a2-ac=0,两边同除a2得e2-e-1=0,解得e=或e=(舍去)答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·广州高二检测)已知a,b为正整数,设两直线l1:y=b-x与l2:y=x的交点P1(x1,y1),对于n≥2的自然数,两点(0,b),(x n-1,0)的连线与直线y=x交于点P n(x n,y n).(1)求P1,P2的坐标.(2)猜想P n的坐标.【解析】(1)由方程组得P1.过(0,b),两点的直线方程为+=1与y=x联立解得P2.(2)由(1)可猜想P n.6.(2016·海淀高二检测)如图,已知O是△ABC内任意一点,连接AO,BO,CO并延长交对边分别于A′,B′,C′,则++=1.这是平面几何中的一道题,其证明常采用“面积法”.++=++==1.请运用类比思想,对于空间中的四面体V-BCD,存在什么类似的结论?并用“体积法”证明.【解题指南】考虑到用“面积法”证明结论时把O点与三角形的三个顶点连接,把三角形分成三个三角形,利用面积来证明相应的结论.在证明四面体中类似结论时,可考虑利用体积来证明相应的结论.【解析】在四面体V-BCD中,任取一点O,连接VO,DO,BO,CO并延长分别交四个面于E,F,G,H点,则+++=1.证明:在四面体O-BCD与V-BCD中,设底面BCD上的高分别为h1,h,则===.同理有:=;=;=,所以+++==1.关闭Word文档返回原板块。

选修4-7 优选法与试验设计初步1.有一个优选法问题，存优范围为『10，20』，在安排试点时，第一个试点为16，则第二个试点最好是__________.2.设一优选问题的试验因素范围是『0，130』，现用分数法试验，假设最优点是70，则第三个试点为_________.3．配制某种注射药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量为10～110 ml，用黄金分割法寻找最佳加入量时，若第1试点是差点，第2试点是好点，则第3次试验时葡萄糖的加入量是____________ml.4.在0.618法、分数法、对分法、盲人爬山法中，比较适用于解方程x2+x-1=0的优选法的个数为___________.5．(2010·湖南高考)已知一种材料的最佳加入量在110 g到210 g之间.若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是________.6.如果你是一名会计，发现上月的公司账户不平(借方余额合计不等于贷方余额合计)，那么为了最快查出错误记录，你将采用的优选方法是_______.7．(2011·长沙市模拟)用0.618法寻找最佳点时，达到精度0.1的要求,需要_____________次试验.(参考值lg0.618=-0.209).8.现决定优选加工温度，假定最佳温度在60℃与70℃之间，用0.618法进行优选，则第二次试点温度为_________℃.9.用对分法进行试验时，3次试验后的精度为___________．10.(2011·衡阳模拟)为了得到某种特定用途的钢，用黄金分割法试验特定化学元素的最优加入量，若进行若干次试验后存优范围『1 000,m』上的一个好点为1 618，则m可以是________.11.(2011·湘西州模拟)用0.618法寻找某试验的最优加入量时，若当前存优范围是『628，774』，好点是718，则此时要做试验的加入量值为_________.12.用0.618法确定试点，则经过4次试验后，存优范围缩小为原来的______.13.对试验范围是(1,8)的单因素进行比例分割分批试验，若每次做2个试验，则第一批这两个试验点值分别是_________、________.14.有一条输电线路出现了故障，在线路的开始端A处有电，在末端B处没有电，要检查故障所在位置，在0.618法、分数法、对分法、盲人爬山法中，宜采用的优选法是_________.15.为了调制一种饮料，在每10 kg半成品饮料中加入柠檬汁进行试验，加入量为500 g到1 500 g之间，现用0.618法选取试点找到最优加入量，则第二个试点应选取在_________g. 16.某单因素单峰试验范围是(3,18)，用均分分批试验法寻找最佳点，每次安排4个试验.若第一批试点中从左到右的第3个试点是好点，则第一批试验后的存优范围是_________.17.某实验因素对应的目标函数是单峰函数，若用分数法从20个试验中找出最佳点，则需要做试验的次数是_________.18.在配置某种清洗液时，需加入某种材料．经验表明，加入量大于130 ml肯定不好，用150 ml的锥形量杯计量加入量，该量杯的量程分为15格，每格代表10 ml，用分数法找出这种材料的最优加入量，则第一个试点应安排在_____ml.19.技术员王工在粉笔加工设计中正思考着这样的问题：每支粉笔在使用过程中，都要丢掉一段一定长的粉笔头，单就这一点来说，愈短愈好，但太短了，使用起来既不方便，也容易折断，每断一次，必然多浪费一个粉笔头，反而不合适，因而就出现了“粉笔多长最合适”的问题，在长度为10 cm至15 cm范围内经过多次尝试，王工最后发现12 cm长的粉笔最合适.根据上述描述，这个问题的最佳点是________cm.20.某化工厂准备对一化工产品进行技术改造，决定优选加工温度，假定最佳温度在60℃到81℃之间．现用分数法进行优选，则第二个试点的温度为_____℃.答案解析1.『解析』在优选过程中，安排的两个试点最好关于存优范围的中点对称.『答案』142.『解析』由分数法得()18x 0130080,13=+⨯-= x 2=0+130-80=50,因为最优点是70，所以存优范围为『50，130』，故x 3=50+130-80=100.『答案』1003.『解析』由黄金分割法原理得x 1=10+0.618(110-10)=71.8,x 2=10+110-71.8=48.2，由于第2试点是好点，所以存优范围为『10，71.8』,所以x 3=10+71.8-48.2=33.6.『答案』 33.64.『解析』对分法和盲人爬山法适用于解方程.『答案』25.『解析』相对于端点，第一试点的选取有两种情况.『答案』171.8或148.26.『解析』符合对分法的适用范围.『答案』对分法7.『解析』由0.618n-1≤0.1得lg0.1n 1 5.78,lg0.618≥+≈ 所以要安排6次试验.『答案』 68.『解析』x 2=60+0.382×(70-60)=63.82或70-0.382(70-60)=66.18.『答案』63.82或66.189.『解析』由对分法可知，每次试验后存优范围缩小为原来的一半，所以3次试验后的精度为0. 53=0.125.『答案』0.12510.『解析』这有两种可能，若好点处在存优范围的0.618处，则有1 000+0.618(m-1 000)=1 618,故m=2 000;若好点处在存优范围的0.382处，则有1 000+0.382(m-1 000)=1 618,故m≈2 618. 『答案』2 000或2 61811.『解析』当好点为718时，为寻找最优点，根据0.618法得此时试验的加入量值为628+774-718=684.『答案』68412.『解析』经过一次试验，存优范围还是原来的1，经过两次试验后，比较两个试点的关系，得到一个好点和一个差点，去掉一段，得到存优范围是原来范围的0.618，…经过四次试验后，存优范围是原来的0.6183.『答案』0.618313.『解析』比例分割试验法中每批做试验的次数相等.而试点分别是2,3,4,5,6,7，第一批做两个试验，试点在4,5.『答案』4 514.『解析』宜采用对分法.第一次检查点是线段AB 的中点C ，若有电，则检查CB 的中点；若没电，则检查AC 的中点，以此类推.『答案』对分法15.『解析』利用0.618法时，第一个试点500+0.618×(1 500-500)=1 118,则第二个试点500+1 500-1 118=882.『答案』88216.『解析』均分分批试验法要求试点等分试验区间，每次安排4个试验，则把试验区间分成5段，每段的长度是：18335-＝，则第一批试点是6,9,12,15，由于从左到右的第3个试点是好点，即12是好点，也就是说9和15是差点，那么最佳点在区间(9，15)内. 『答案』(9,15)17.『解析』由分数法最优性原理知：20=21-1=F 7-1=F 6+1-1，所以试验次数是6.『答案』618.『解析』斐波那契数列是：1，1，2，3，5，8，13，…，由于0～130有13个试点10,20,30,…,130.那么第一个试点8013+×(130-0)=80. 『答案』8019.『解析』本题是寻找粉笔的合适长度，因此最佳点就是最合适的粉笔长度数据，即12 cm. 『答案』1220.『解析』斐波那契数列是：1，1，2，3，5，8，13，21，…，由于因素范围为21格.那么第一个试点在()136081607321+⨯-=，第二个试点是：60+81-73=68． 『答案』68。

【全程复习方略】（某某专用）2014版高中数学优选法与试验设计初步课时提能训练理新人教A版1.用对分法进行试验时，3次试验后的精度为______.2.有一个优选法问题，存优X围为［10，20］，在安排试点时，第一个试点为16，则第二个试点最好是______.3.某车床的走刀量(单位：mm/r)共有如下13级0.3,0.33,0.35,0.40,0.45,0.48,0.50,0.55,0.60,0.65,0.71,0.81,0.91.那么第一次和第二次的试点分别为______、______.4.配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10 mL到110 mL之间，用黄金分割法寻找最佳加入量时，若第1试点是差点，第2试点是好点，则第3次试验时葡萄糖的加入量是______.5.用0.618法确定试点，则经过4次试验后，存优X围缩小为原来的______倍.6.某设施需要加入大量抗腐蚀剂的特种混凝土预制件. 该种混凝土预制件的质量受混凝土搅拌时间的影响比较大，搅拌时间不同，混疑土预制件的强度也不同. 根据生产经验，混凝土预制件的强度是搅拌时间的单峰函数. 为了确定一个搅拌的标准时间，拟用分数法从20个试验点中找出最佳点，则需要做的试验次数至多是______.7.（2011·某某高考）已知某试验X围为[10,90]，若用分数法进行4次优选试验，则第二次试点可以是______.8.设一优选问题的试验因素X围是［0，130］，现用分数法试验，假设最优点是70，则第三个试点为______.9.在0.618法、对分法、均分分批试验法、比例分割分批试验法中，每次(批)试验后都能将存优X围缩小为相同比例的是______.10.现决定优选加工温度，假定最佳温度在60℃与70 ℃之间，用0.618法进行优选，则第二次试点温度为______℃.11.某冶炼厂准备对一金属产品进行技术改造，决定优选加工温度，假定最佳温度在1 160℃到1 181℃之间．现用分数法进行优选，则第二次试点的温度为______℃.12.为了得到某种特定用途的钢，用黄金分割法考察特定化学元素的最优加入量，若进行若干次试验后存优X围［1 000,m］上的一个好点为1 618，则m可以是______.13.为了调制一种饮料，在每10 kg半成品饮料中加入柠檬汁进行试验，加入量为500 g到1 500 g之间，现用0.618法选取试点找到最优加入量，则第二个试点应选取在______g.14.某单因素单峰试验X围是(3,18)，用均分分批试验法寻找最佳点，每次安排4个试验.若第一批试点中从左到右的第3个试点是好点，则第一批试验后的存优X围是______.15.关于优选法有如下说法：(1)纵横对折法是在每一步确定好点后，都将试验的矩形区域舍弃一半.(2)爬山法中的步法常常采用“两头慢，中间快”的办法.(3)平行线法中，可以多次采用“平行线加速”求后续最佳点.(4)对分法的要点是每个试点都取在因素X围的中点.其中说法正确的序号是______.16.为了炼出某种特定用途的钢材，炼钢时需要加入一定量的某种化学元素.已知每吨这种钢需要加入这种化学元素的量在区间［1 000,2 000］（单位：g）内，现在用0.618法确定最佳加入量，设第1，2，3个试点的加入量分别为x1,x2,x3，若第2个试点比第1个试点好，则x3的值为______.17.对试验X围是(1,8)的单因素进行比例分割分批试验法，若第一次做2个试验，则这两个试验点值分别是______.18.有一条输电线路出现了故障,在线路的开始端A处有电,在末端B处没有电,要检查故障所在位置,宜采用下列哪种优选法:______.(填序号)①0.618法②分数法③对分法④盲人爬山法19.一个试验所要求的温度在59℃～80℃,精确度要求为1℃,用0.618法优选安排的次数与用分数法优选安排的次数分别为______.20.用对分法求方程2x+3x-7=0的一个根，达到精确度为0.1的要求，则根的值为______（只填一个即可），需要进行______次试验.21.已知函数f(x)=x3+3ax2+3x+1.若g(x)=f(x)-3x在［-1,4］上是单峰函数，则a的取值X围是______.答案解析1.【解析】由对分法可知，每次试验后存优X围缩小为原来的一半，所以3次试验后的精度为0.53=0.125. 答案：0.1252．【解题指南】在优选过程中，安排的两个试点最好关于存优X围的中点对称.【解析】x=10+20-16=14.答案：143.【解析】该已知条件符合分数法的优选要求.∴第一次应优选0.55，第二次应优选0.45.答案：0.55 0.454．【解题指南】由于第1试点是差点，故第2试点在存优X围内，则第3试点用“加两头，减中间”来计算.【解析】由黄金分割法原理得x1=10+0.618×(110-10)=71.8;x2=10+110-71.8=48.2.由于第2点是好点，所以存优X围为［10，71.8］.所以x3=10+71.8-48.2=33.6.答案：33.6 mL5.【解题指南】由0.618法精度公式δn=0.618n-1可算.【解析】当n=4时，δ4=0.6184-1=0.6183.答案：0.61836.【解题指南】在分数法中，通过n次试验，最多能从(F n+1－1)个试点中保证找出最佳点，并且这个最佳点就是n次试验中的最优试验点.【解析】因为20=21-1=F7-1=F6+1-1，所以用分数法安排试验时，最多只需做6次试验就能找到其中的最佳点.答案：6次7.【解析】x1=10+(90-10)×58=60或x1=90+(10-90)×58=40，则x2=(10+90)-60=40或x2=(10+90)-40=60.答案：40或608.【解题指南】最优点总在存优X围内，所以可根据最优点是70来确定存优X围.【解析】由分数法得x1=0+813×(130-0)=80,x2=0+130-80=50，因为最优点是70，所以存优X围为［50，130］,故x3=50+130-80=100. 答案：1009.【解析】对分法每次试验后都能将存优X围缩小为原来的12，其余三种方法都是从第2次（批）起，每次（批）试验后将存优X围缩小为相同比例.答案：对分法10.【解析】x2=60+0.382×(70-60）=63.82.答案：63.8211.【解题指南】把温度区间等分成21段，将每段由小到大编号，然后用分数法试验.【解析】把区间分成21段，则第二试点在821处,所以其对应的温度为1 160+821(1 181-1 160)=1 168(℃).答案：1 16812.【解题指南】注意题中条件“若进行若干次试验后存优X围”说明本题有多种可能.【解析】有两种可能，若好点在存优X围的0.618处，则有1 000+0.618（m-1000）=1 618,故m=2 000; 若好点处在存优X围的0.382处，则有1 000+0.382·（m-1000）=1 618,故m≈2 618.答案：2 000或2 61813.【解析】利用0.618法时，第一个试点选在500+0.618×(1 500-500)=1 118，则第二个试点是:500+1 500-1 118=882 (g).答案：88214.【解析】均分分批试验法要求试点等分试验区间，每次安排4个试验，则把试验区间分成5段，每段的长度是：18335-=，则第一批试点是6，9，12，15,由于从左到右的第3个试点是好点，即12是好点，也就是说9和15是差点，那么最佳点在区间(9，15)内.答案：(9,15)15.【解析】爬山法中步法常常采用“两头快，中间慢”的办法.答案：(1)(3)(4)16.【解析】x1=1 000+0.618×(2 000-1 000)=1 618,x2=1 000+2 000-x1=1 382.因为第2个试点是好点，则存优X围是［1 000,1 618］，所以x3=1 000+1 618-1 382=1 236.答案：1 23617.【解析】比例分割试验法每批做试验的次数相等.而试点分别是2,3,4,5,6,7,第一批做2个试验,试点在4,5.答案：4，518.【解题指南】由于要迅速查出故障，所以每次都要尽快缩小故障点所在的X围，又不能重复去找试点. 【解析】宜采用对分法.第一次检查点是线段AB的中点C,若有电则检查CB的中点,若没电,则检查AC的中点,以此类推.答案：③19.【解析】由题知0.618n-1≤121≈0.05,∴n ≥lg0.05lg0.618+1≈7.22. 于是只要安排8次试验,就能保证精度达到0.05,精确度为1℃.若用分数法,第一次试验做在:59+1321×(80-59)=72,第二个试点是:59+80-72=67,比较两个点,若67是好点,去掉72右边部分,最佳点在X 围59～72之间,第三个试点是:59+72-67=64,比较后若64是好点,则第四个试点是:59+67-64=62,比较后若62是好点,则最佳点在59～64之间,第五个试点是:59+64-62=61,同理第六个试点是59+62-61=60,比较,若60是好点,则存优X 围是59～61,若好点是61,则存优X 围是60～62,此时精确度都是1,∴应填:8,6.答案：8,620.【解析】设f(x)=2x +3x-7,由f(1)=-2,f(2)=3知根的X 围为(1,2),取x 1=122+=1.5, 由f(1.5)=0.33知，根的X 围为（1,1.5）, 取211.5x 1.25,2+== 由f(1.25)=-0.87知,根的X 围为(1.25，1.5), 取31.251.5x 2+==1.375, 由f(1.375)=-0.28知,根的X 围为(1.375,1.5), 取41.3751.5x 2+==1.437 5, 由|1.375-1.437 5|=|1.437 5-1.375|=0.062 5＜0.1,故原方程的根可取为1.437 5.需要进行4次试验.答案：1.437 5 421.【解析】由g ′(x)=f ′(x)-3=3x 2+6ax=3x(x+2a),由g(x)=0可得x=0或x=-2a.因为0∈(-1,4)，所以-2a (-1,4),所以-2a≤-1或-2a≥4，即a≥12或a≤-2.故a的取值X围是(-∞,-2］∪［12,+∞).答案：(-∞,-2］∪［12,+∞)。

2019高考数学专题精练-优选法与试验设计初步[时间：35分钟分值：80分]基础热身1．下列函数中，在[－1,4]上不是单峰函数旳是________．①y＝2|x|②y＝x2－2x＋3③y＝sinx④y＝cosx2．有一优选试验，试验旳因素范围是[10,60]，在试验中第一个试点为25，则第二个试点最好为________．3．若F0＝1，F1＝1，且F n＝F n－1＋F n－2(n≥2)，则F8＝________.4．下列结论中正确旳是________．①运用0.618法寻找最佳点时，一定可以在有限次内准确找出最佳点②运用分数法寻找最佳点时，一定可以在有限次内准确找出最佳点③运用对分法和分数法在确定下一个试点时，都需要比较前两个试点旳试验结果④运用盲人爬山法寻找最佳点，在试验范围内取不同旳点作起点，其效果快慢差别不大能力提升5．以下关于优选法旳说法正确旳是________．①对分法适用于具有明确旳标准或要求旳试验；②盲人爬山法适用于因素范围不允许大幅度调整旳试验；③分批试验法适用于每个试验旳代价不大，又有足够旳设备，加快试验进度旳试验．6．在配置一定量旳某种清洗液时，需要加入某种溶剂，经验表明，加入量大于5000 ml 或小于3000 ml时，效果肯定不好，用0.618法来确定这种溶剂旳最佳加入量，则前两次试验加入旳量分别为________．7．阿托品是一种抗胆碱药，它旳脂化工艺主要为“温度与时间”旳双因素，那么为了提高产量，降低成本，对于下列4种优选方法①纵横对折法，②从好点出发法，③平行线法，④对分法．不宜采用旳是________．8．在下面优选法中，每次(批)试验后都能将存优范围缩小为相同比例旳是________．①0.618法②对分法③均分分批试验法④比例分割分批试验法9．在目标函数为单峰旳情形，利用分数法进行了6次试验，就能保证从n个试点中找出最佳点，那么n旳最大值为________．10．在纵横对折法处理双因素优选问题中，分别针对因素Ⅰ和因素Ⅱ各进行了一次优选后，则新旳存优范围旳面积为原存优范围面积旳________．11．如图K66－1，在每批做2个试验旳比例分割分批试验法中，将试验范围7等分，第1批试验先安排在左起第3,4两个点上，若第3个点为好点，则第2批试验应安排在________和________两个点上．图K66－112．(13分)某化工厂准备对一化工新产品进行技术改良，现决定优选加工温度，试验范围定为60～80℃，精确度要求±1℃，现在技术员用分数法进行优选．(1)如何安排试验？(2)若最佳点为69℃，请列出各试验点旳数值；(3)要通过多少次试验可以找出最佳点？难点突破13．(12分)某炼油厂试制磺酸钡，其原料磺酸是磺化油经乙醇水溶液萃取出来旳．试验目旳是选择乙醇水溶液旳合适浓度和用量，使分离出来旳白油最多．根据经验，乙醇水溶液浓度变化范围为50%～90%(体积百分比)，用量变化范围为30%～70%(重量百分比)，精度要求为5%.试用纵横对折法对工艺条件进行优选．课时作业(六十六)【基础热身】1．④[解析] 函数y＝cosx在[－1,4]上既有最大值，也有最小值，故不是单峰函数．2．45[解析] 在安排优选试验时最好使两个试点关于因素范围旳中点对称，则第二个试点最好为10＋60－25＝45.3．34[解析] ∵F0＝1，F1＝1，且F n＝F n－1＋F n－2，∴F2＝2，F3＝3，F4＝5，F5＝8，F6＝13，F7＝21，F8＝34.4．②[解析] 运用0.618法寻找最佳点时，随着试验次数旳增加，最佳点被限定在越来越小旳范围内，故①错；按照分数法安排试验，通过n次试验保证能从(F n＋1－1)个试点中找出最佳点，故②正确；运用对分法在确定下一个试点时，只需要比较试验结果与已知标准(或要求)，故③错；盲人爬山法旳效果快慢与起点旳关系很大，起点选得好，可以省好多次试验，故④错．【能力提升】5．①②③[解析] 由对分法、盲人爬山法、分批试验法旳适用范围知，①②③都正确．6．4236 ml,3764 ml[解析] x1＝3000＋0.618×(5000－3000)＝4236，x2＝3000＋5000－4236＝3764.7．④[解析] 对分法主要适用于单因素优选问题．8．②[解析] 对分法每次试验后都能将存优范围缩小为原来旳12，其余三种方法都是从第2次(批)起，每次(批)试验后将存优范围缩小为相同比例．9．20[解析] 在目标函数为单峰旳情形，通过n次试验，最多能从(F n＋1－1)个试点中保证找出最佳点，因此n旳最大值＝F6＋1－1＝21－1＝20.10.12[解析] 由纵横对折法旳思路知新旳存优范围旳面积为原存优范围面积旳12.11．12[解析] 第3个点为好点，则存优范围为左端到第4个分点，故第2批安排在没有做过试验旳第1和2两个分点上．12．[解答] (1)试验区间为[60,81]，等分为21段，分点为61,62，…，79,80，所以60＋13 21×(81－60)＝73(℃)．故第一试点安排在73℃，由“加两头，减中间”旳方法得：60＋81－73＝68，所以第二试点选在68℃.后续试点可以用“加两头，减中间”旳方法来确定．(2)若最佳点为69℃，即从第二次试验开始知69℃在存优范围内，由(1)知，第一、二次试点旳值分别为73,68，因为69?[60,68]，故去掉68℃以下旳部分，则第三次试验点旳值为68＋81－73＝76.同理去掉76℃以上旳部分，第四次试验点旳值为68＋76－73＝71，第五次试验点旳值为68＋73－71＝70，第六次试验点旳值为68＋71－70＝69，即安排了6次试验，各试验点旳数值依次为：73,68,76,71,70,69.(3)共有20个分点，由分数法旳最优性定理及F6＋1－1＝20可知，通过6次试验可从这20个分点中找出最佳点．【难点突破】13．[解答] 由题意设影响该试验结果旳因素Ⅰ为浓度，试验范围为50%～90%，因素Ⅱ为用量，试验范围为30%～70%.试验：(1)先固定浓度在中点50%＋90%2＝70%处，对用量进行单因素优选，得最佳点A1.同样将用量固定在中点30%＋70%2＝50%处，对浓度进行单因素优选，得最佳点B1.比较A1和B1旳试验结果，如果A1比B1好，则沿坏点B1所在旳线，丢弃不包括好点A1所在旳半个平面区域，即丢弃平面区域：50%≤Ⅰ≤90%,50%≤Ⅱ≤70%.然后再在因素Ⅱ旳新范围即[30%,50%)内取中点40%，用单因素方法优选因素Ⅰ，得最佳点为B2.如此继续下去，不断地将试验范围缩小，直到找到满意旳结果为止，如下图：涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓？涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓？涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓？涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓？涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓？涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓？涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓？涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓？涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓？涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓？涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓？涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓？涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓？涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓？涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓？涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓？涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓？涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓？涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓？涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓？涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓？涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓？涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓？涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓？涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓？涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓？涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓？涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓？涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓？涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓？涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓？涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓？涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓？涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓？涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓？涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓？涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓？涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓？涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓？涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓？。

2019-2020学年高中数学 6.7数学归纳法提能训练 理 新人教A 版一、选择题（每小题6分，共36分）1.利用数学归纳法证明“1+a+a 2+…+a n+1=n 21a 1a+--(a ≠1,n ∈N *)”时，在验证n=1成立时，左边应该是( )（A ）1（B ）1+a（C ）1+a+a 2（D ）1+a+a 2+a 32.(2012•长沙模拟)用数学归纳法证明*n 1111n(n N ,n 1)2321+++⋯+<∈>-“”时，由n=k(k>1)不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是( )(A)2k-1 (B)2k -1 (C)2k (D)2k+13.下列代数式(k ∈N *)能被9整除的是( )(A)6+6×7k(B)2+6×7k-1(C)2(2+2×7k+1)(D)3(2+7k)4.(易错题)某个命题与正整数n 有关，如果当n=k(k ∈N *)时命题成立，那么可推得当n=k+1时命题也成立.现已知当n=7时该命题不成立，那么可推得( ) (A)当n=6时该命题不成立 (B)当n=6时该命题成立 (C)当n=8时该命题不成立 (D)当n=8时该命题成立5.（2012·济宁模拟）若S k =1+2+3+…+(2k+1)，则S k+1=( ) （A ）S k +(2k+2) （B ）S k +(2k+3)（C ）S k +（2k+2）+(2k+3)（D ）S k +（2k+2）+(2k+3)+(2k+4)6.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n ×3n-1=3n (na-b )+c 对一切n ∈N *都成立，则a 、b 、c 的值为( )（A ）a=12,b=c=14（B ）a=b=c=14（C ）a=0,b=c=14（D ）不存在这样的a 、b 、c二、填空题（每小题6分，共18分）7.（2012·徐州模拟）用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n +y n能被x+y 整除”，当第二步假设n=2k-1(k∈N *)命题为真时，进而需证n=_______时，命题亦真.8.(2012•株洲模拟)凸n 边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形的对角线条数f(n+1)=_____________.9.用数学归纳法证明:()()()()222n n 112n ;13352n 12n 122n 1+++⋯+=⨯⨯-++当推证当n=k+1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是_______.三、解答题（每小题15分，共30分） 10.（2012·赣州模拟）数列{a n }中,a 1=-23,当n>1,n ∈N *时，S n +n1S =a n -2, （1）求S 1,S 2,S 3的值；（2）猜想S n 的表达式，并证明你的猜想. 11.（2012·邢台模拟）若不等式111a n 1n 23n 124++⋯+>+++对一切正整数n 都成立，猜想正整数a 的最大值，并证明结论.【探究创新】（16分）设函数y=f(x),对任意实数x,y 都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy. (1)求f(0)的值；(2)若f(1)=1,求f(2),f(3),f(4)的值;(3)在（2）的条件下，猜想f(n)(n ∈N *)的表达式并用数学归纳法证明.答案解析1.【解析】选C.当n=1时，左边=1+a+a 2,故选C.2. 【解析】选C.左边的特点：分母依次增加1，末项为n 121-;由n=k ，末项为k 121-,而n=k+1,末项为k 1k k1121212+=--+.故应增加的项数为2k.3.【解析】选D.通过验证k=1可否定A 、B 、C.4.【解析】选A.命题“n=k(k ∈N *)时命题成立，那么可推得当n=k+1时命题也成立”的逆否命题为“n=k+1(k∈N *)时命题不成立，那么可推得当n=k(k ∈N *)时命题也不成立”，故选A.【变式备选】f(x)是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k ，若f(k)≥k 2成立，则f(k+1)≥(k+1)2成立，下列命题成立的是( )（A ）若f(3)≥9成立，则对定义域内任意的k ≥1，均有f(k)≥k 2成立（B ）若f(4)≥16成立，则对定义域内任意的k ≥4，均有f(k)<k 2成立（C ）若f(7)≥49成立，则对定义域内任意的k<7，均有f(k)<k 2成立（D ）若f(4)≥16成立，则对定义域内任意的k ≥4，均有f(k)≥k 2成立【解析】选D.命题n=k 时成立，则n=k+1时就成立，故若n=4时，f(4)≥16,则k ≥4时,f(k)≥k 2成立. 5.【解析】选C.S k+1=1+2+3+…+［2(k+1)+1］=1+2+3+…+（2k+3）= 1+2+3+…+（2k+1）+(2k+2)+(2k+3)=S k +(2k+2)+(2k+3).6.【解题指南】由题意知，等式对一切n ∈N *都成立，可取n=1,2,3,代入后构成关于a 、b 、c 的方程组，求解即得.【解析】选A.令n=1,2,3分别代入已知得()22313a b c 1233(2a b)c,123333(3a b)c =-+⎧⎪+⨯=-+⎨⎪+⨯+⨯=-+⎩即3a 3b c 118a 9b c 7.81a 27b c 34-+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩解得:a=12,b=14,c=14. 7.【解析】因为n 为正奇数，所以与2k-1相邻的下一个奇数是2k+1.答案：2k+18. 【解析】由n 边形到n+1边形，增加的对角线是增加的一个顶点与原n-2个顶点连成的n-2条对角线及原先的一条边成了对角线. 答案：f(n)+n-19.【解析】当n=k+1时，222212k (k 1)1335(2k 1)(2k 1)(2k 1)(2k 3)+++⋯++⨯⨯-+++ 2k(k 1)(k 1)2(2k 1)(2k 1)(2k 3)++=++++ 故只需证明2k(k 1)(k 1)2(2k 1)(2k 1)(2k 3)++++++ ()()()k 1k 222k 3++=+即可. 答案：()()()()()()()()2k k 1k 1k 1k 222k 12k 12k 322k 3+++++=++++10.【解析】（1）当n ≥2时，a n =S n -S n-1, ∴S n +n1S =S n -S n-1-2, ∴S n =n 11S 2--+(n ≥2).∴11231221314S a ,S ,S .3S 24S 25==-=-=-=-=-++ （2）猜想n n 1S ,n 2+=-+下面用数学归纳法证明：①当n=1时，1211S ,312+=-=-+猜想正确; ②假设当n=k 时猜想正确，即k k 1S ,k 2+=-+ 那么当n=k+1时，k 1k 11S k 1S 22k 2+=-=-++-++ ()()k 11,k 12++=-++ 即当n=k+1时猜想也正确.根据①、②可知，对任意n ∈N *，都有n n 1S .n 2+=-+ 【方法技巧】解“归纳——猜想——证明”题的关键环节： （1）准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础. （2）通过观察、分析、比较、联想，猜想出一般结论. （3）对一般结论用数学归纳法进行证明.【变式备选】在各项均为正数的数列{a n }中，数列的前n 项和为S n ，满足n n n11S (a ).2a =+(1)求a 1,a 2，a 3的值;（2）由(1)猜想出数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想. 【解析】（1）a 1=S 1=1111(a ),2a + ∴21a 1=，∵a 1＞0,∴a 1=1, S 2=a 1+a 2=1+a 2=2211(a ),2a + 得222a 2a 10,+-= ∵a 2＞0,∴a 2同理可求得3a =(2)由(1)猜想n a = (n ∈N *)用数学归纳法证明如下：①当n=1时，由(1)知猜想正确.②假设当n=k时，k a ∈N *)，那么当n=k+1时，k 1k 1k k 1k k 1k k 1k 1k 1k 11111a S S (a )(a )2a 2a 111(a )2a 211(a )2a ++++++++=-=+-+=+-=+∴2k 1k 1a 10,+++-= ∵a k+1＞0,∴k 1a +=即当n=k+1时，猜想也成立,由①、②可知，对一切n ∈N *，猜想都成立.11.【解析】当n=1时，111a ,11123124++>+++即26a ,2424>所以a<26. 而a 是正整数，所以取a=25，下面用数学归纳法证明：11125.n 1n 23n 124++⋯+>+++ (1)当n=1时，已证；（2）假设当n=k 时，不等式成立， 即11125,k 1k 23k 124++⋯+>+++ 则当n=k+1时， 有()()()111k 11k 123k 11++⋯+++++++ ()111111125112.k 1k 23k 13k 23k 33k 4k 1243k 23k 43k 1=++⋯++++->++-++++++++++［］ 因为()()26k 1112,3k 23k 49k 18k 83k 1++=>+++++所以()1120,3k 23k 43k 1+->+++所以当n=k+1时，不等式也成立, 由（1）（2）知，对一切正整数n ，都有11125,n 1n 23n 124++⋯+>+++ 所以a 的最大值等于25.【探究创新】 【解题指南】（1）令x,y 均为0可得f(0); (2)利用递推条件可得f(2),f(3),f(4);(3)证明时要利用n=k 时的假设及已知条件进行等式转化.【解析】(1)令x=y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0)+2×0×0,得f(0)=0.(2)由f(1)=1,得f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+2×1×1=4. f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)+2×2×1=9.f(4)=f(3+1)=f(3)+f(1)+2×3×1=16.（3）由（2）可猜想f(n)=n2,用数学归纳法证明:(ⅰ)当n=1时，f(1)=12=1显然成立.(ⅱ)假设当n=k时，命题成立,即f(k)=k2,则当n=k+1时，f(k+1)=f(k)+f(1)+2×k×1=k2+1+2k=(k+1)2,故当n=k+1时命题也成立，由（ⅰ），（ⅱ）可得，对一切n∈N*都有f(n)=n2成立.。

课时作业(七十二)[第72讲优选法与试验设计初步][时间：35分钟分值：80分]基础热身1．下列函数中，在[－1,4]上不是单峰函数的是________．①y＝2|x|②y＝x2－2x＋3③y＝sin x④y＝cos x2．有一优选试验，试验的因素范围是[10,60]，在试验中第一个试点为25，则第二个试点最好为________．3．若F0＝1，F1＝1，且F n＝F n－1＋F n－2(n≥2)，则F8＝________.4．下列结论中正确的是________．①运用0.618法寻找最佳点时，一定可以在有限次内准确找出最佳点②运用分数法寻找最佳点时，一定可以在有限次内准确找出最佳点③运用对分法和分数法在确定下一个试点时，都需要比较前两个试点的试验结果④运用盲人爬山法寻找最佳点，在试验范围内取不同的点作起点，其效果快慢差别不大能力提升5．以下关于优选法的说法正确的是________．①对分法适用于具有明确的标准或要求的试验；②盲人爬山法适用于因素范围不允许大幅度调整的试验；③分批试验法适用于每个试验的代价不大，又有足够的设备，加快试验进度的试验．6．在配置一定量的某种清洗液时，需要加入某种溶剂，经验表明，加入量大于5 000 ml 或小于3 000 ml时，效果肯定不好，用0.618法来确定这种溶剂的最佳加入量，则前两次试验加入的量分别为________．7．阿托品是一种抗胆碱药，它的脂化工艺主要为“温度与时间”的双因素，那么为了提高产量，降低成本，对于下列4种优选方法：①纵横对折法；②从好点出发法；③平行线法；④对分法．不宜采用的是________．8．在下面优选法中，每次(批)试验后都能将存优范围缩小为相同比例的是________．①0.618法②对分法③均分分批试验法④比例分割分批试验法9．在目标函数为单峰的情形，利用分数法进行了6次试验，就能保证从n个试点中找出最佳点，那么n的最大值为________．10．在纵横对折法处理双因素优选问题中，分别针对因素Ⅰ和因素Ⅱ各进行了一次优选后，则新的存优范围的面积为原存优范围面积的________．11．一个试验要求的温度在69～90℃，用分数法安排试验进行优选，则第一个试点安排在________．12．配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10 mL到110 mL之间，用黄金分割法寻找最佳加入量时，若第一试点是差点，第二试点是好点，则第三次试验时葡萄糖的加入量可以是________．13．用0.618法确定最佳点时，试验区间为[2,4]，若第一个试点x1处的结果比第二个试点x2处的结果好，且x1>x2，则存优区间是________．14．(10分)如图K72－1，在每批做2个试验的比例分割分批试验法中，将试验范围7等分，第1批试验先安排在左起第3,4两个点上，若第3个点为好点，则第2批试验应安排在哪两个点上？15．(13分)某化工厂准备对一化工新产品进行技术改良，现决定优选加工温度，试验范围定为60～80℃，精确度要求±1℃，现在技术员用分数法进行优选．(1)如何安排试验？(2)若最佳点为69℃，请列出各试验点的数值；(3)要通过多少次试验可以找出最佳点？难点突破16．(12分)某炼油厂试制磺酸钡，其原料磺酸是磺化油经乙醇水溶液萃取出来的．试验目的是选择乙醇水溶液的合适浓度和用量，使分离出来的白油最多．根据经验，乙醇水溶液浓度变化范围为50%～90%(体积百分比)，用量变化范围为30%～70%(重量百分比)，精度要求为5%.试用纵横对折法对工艺条件进行优选．课时作业(七十二)【基础热身】1．④ [解析] 函数y ＝cos x 在[－1,4]上既有最大值，也有最小值，故不是单峰函数．2．45 [解析] 在安排优选试验时最好使两个试点关于因素范围的中点对称，则第二个试点最好为10＋60－25＝45.3．34 [解析] ∵F 0＝1，F 1＝1，且F n ＝F n －1＋F n －2，∴F 2＝2，F 3＝3，F 4＝5，F 5＝8，F 6＝13，F 7＝21，F 8＝34.4．② [解析] 运用0.618法寻找最佳点时，随着试验次数的增加，最佳点被限定在越来越小的范围内，故①错；按照分数法安排试验，通过n 次试验保证能从(F n ＋1－1)个试点中找出最佳点，故②正确；运用对分法在确定下一个试点时，只需要比较试验结果与已知标准(或要求)，故③错；盲人爬山法的效果快慢与起点的关系很大，起点选得好，可以省好多次试验，故④错．【能力提升】5．①②③ [解析] 由对分法、盲人爬山法、分批试验法的适用范围知，①②③都正确．6．4 236 ml,3 764 ml [解析] x 1＝3 000＋0.618×(5 000－3 000)＝4 236，x 2＝3 000＋5 000－4 236＝3 764.7．④ [解析] 对分法主要适用于单因素优选问题．8．② [解析] 对分法每次试验后都能将存优范围缩小为原来的12，其余三种方法都是从第2次(批)起，每次(批)试验后将存优范围缩小为相同比例．9．20 [解析] 在目标函数为单峰的情形，通过n 次试验，最多能从(F n ＋1－1)个试点中保证找出最佳点，因此n 的最大值＝F 6＋1－1＝21－1＝20.10.12 [解析] 由纵横对折法的思路知新的存优范围的面积为原存优范围面积的12. 11．82℃ [解析] 由题意可得第一个试点安排在(90－69)×1321＋69＝82(℃)． 12．33.6 [解析] x 1＝10＋0.618×(110－10)＝10＋61.8＝71.8；x 2＝10＋110－71.8＝48.2；x 3＝10＋71.8－48.2＝33.6.13．(2.764,4) [解析] 依题意，x 1＝2＋0.618×(4－2)＝3.236，x 2＝2＋4－3.236＝2.764，故存优范围是(2.764,4)．14．[解答] 第3个点为好点，则存优范围为左端到第4个分点，故第2批安排在没有做过试验的第1和2两个分点上．15．[解答] (1)试验区间为[60,81]，等分为21段，分点为61,62，…，79,80，所以60＋1321×(81－60)＝73(℃)．故第一试点安排在73℃，由“加两头，减中间”的方法得：60＋81－73＝68，所以第二试点选在68℃.后续试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定．(2)若最佳点为69℃，即从第二次试验开始知69℃在存优范围内，由(1)知，第一、二次试点的值分别为73,68，因为69∉[60,68]，故去掉68℃以下的部分，则第三次试验点的值为68＋81－73＝76.同理去掉76℃以上的部分，第四次试验点的值为68＋76－73＝71，第五次试验点的值为68＋73－71＝70，第六次试验点的值为68＋71－70＝69，即安排了6次试验，各试验点的数值依次为：73,68,76,71,70,69.(3)共有20个分点，由分数法的最优性定理及F 6＋1－1＝20可知，通过6次试验可从这20个分点中找出最佳点．【难点突破】16．[解答] 由题意设影响该试验结果的因素Ⅰ为浓度，试验范围为50%～90%， 因素Ⅱ为用量，试验范围为30%～70%.试验：(1)先固定浓度在中点50%＋90%2＝70%处，对用量进行单因素优选，得最佳点A 1. 同样将用量固定在中点30%＋70%2＝50%处，对浓度进行单因素优选，得最佳点B 1.比较A1和B1的试验结果，如果A1比B1好，则沿坏点B1所在的线，丢弃不包括好点A1所在的半个平面区域，即丢弃平面区域：50%≤Ⅰ≤90%,50%≤Ⅱ≤70%.然后再在因素Ⅱ的新范围即[30%,50%)内取中点40%，用单因素方法优选因素Ⅰ，得最佳点为B2.。

2019-2020版高中数学第1讲优选法讲末检测新人教A版选修4-7一、选择题1.下列函数在区间[－1，5]上是单峰函数的有( )(1)y＝3x2＋2；(2)y＝－x2－3x；(3)y＝cos x；(4)y＝2x.A.0个B.1个C.2个D.3个解析(1)在[－1，5]上先减后增是单峰函数；(2)在[－1，5]上单调递减，是单峰函数；(3)在[－1，5]上有最大值和最小值不是单峰函数；(4)在[－1，5]上是单调递增函数，是单峰函数.答案 D2.下列问题不属于优选问题的是( )A.小明每天7：00到校上课B.每天锻炼多长时间，选择在什么时间锻炼会使身体更健康C.在军事上，炮弹的发射角多大时，才能使炮弹的射程最远D.荤素搭配满足什么比例时，才能使我们的饮食更合理解析A选项只陈述了一个事实，并不涉及优选问题，而B、C、D选项，均带有一定的试验性，且试验结果随因素的变化不同.答案 A3.若洗水壶要用1分钟、烧开水要用10分钟、洗茶杯要用2分钟、取茶叶要用1分钟、沏茶1分钟，那么较合理的安排至少也需要( )A.10分钟B.11分钟C.12分钟D.13分钟解析本题属于时间的优选问题，显然在烧开水的时间内，可以安排洗茶杯，取茶叶，故最少需要洗水壶(1分钟)＋烧开水(10分钟)＋沏茶(1分钟)共12分钟.答案 C4.根据生产经验，混凝土预制体的强度是搅拌时间的单峰函数，为了确定搅拌的标准时间，拟用分数法从7个试验点中找出最佳点，则要做的试验次数至多为( )A.3B.4C.5D.6解析由于7＝8－1＝F5－1，故只需做5－1＝4次试验就可以找到最佳试验点.答案 B5.如图，用平行线法处理双因素问题时，首先难以调整的因素Ⅱ固定在0.618处，得到最佳点在A1处，然后再把因素Ⅱ固定在0.382处，得到最佳点A2，若A2处的试验结果比A1处的好，则第三次试验时，将因素Ⅱ固定在( )A.0.764B.0.236C.0.500D.0.309解析因为A2处的试验结果比A1处的好，所以好点在因素Ⅱ的0～0.618之间，由0.618法，第三次试验时，将因素Ⅱ固定在0.618＋0－0.382＝0.236处.答案 B6.下列有关优选法的叙述正确的个数有( )①在生产中仪器仪表的调试通常采用盲人爬山法；②在单峰的目标函数中特别是有有限个试点的优选问题通常采用分数法；③在优选试验中为了加快试验的进度，尽快找出最佳点，通常可采用分批试验法；④在双因素优选试验中，对于某因素不宜调整的试验通常采用双因素平行线法.A.1B.2C.3D.4解析由优选法的意义及适用范围知，①、②、③、④都正确，故选D.答案 D7.下列结论中正确的是( )A.运用0.618法寻找最佳点时，一定可以在有限次内准确找出最佳点B.在目标函数为单峰的情形，运用分数法寻找最佳点时，一定可以在有限次内准确找出最佳点C.运用对分法和分数法在确定下一个试点时，都需要比较前两个试点的试验结果D.运用盲人爬山法寻找最佳点，在试验范围内取不同的点作起点，其效果快慢差别不大解析运用0.618法寻找最佳点时，随着试验次数的增加，最佳点被限定在越来越小的范围内，故A 错；在目标函数为单峰的情形下，按照分数法安排试验，通过n 次试验保证能从(F n ＋1－1)个试点中找出最佳点，故B 正确；运用对分法在确定下一个试点时，只需要比较试验结果与已知标准(或要求)，故C 错；爬山法的效果快慢与起点的关系很大，起点选得好可以省好多次试验，故D 错.答案 B8.在调试某设备的线路设计中，要选一个电阻，调试者手中只有阻值分别为0.9 k Ω，1.1 k Ω，2.7 k Ω，3 k Ω，3.6 k Ω，4 k Ω，5 k Ω等七种阻值不等的定值电阻，他用分数法进行优选试验时，依次将电阻值从小到大安排序号，则第1个试点的阻值是( )A.1.1 k ΩB.2.7 k ΩC.3.6 k ΩD.5 k Ω解析 把阻值由小到大排列并编号阻值 0.9 1.1 2.7 3 3.6 4 5排列 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)为方便使用分数法，可在两端增加虚点(0)、(8)使因素范围凑成8格，∴第1试点为58位置即序号(5)的位置，3.6 k Ω.答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在题中横线上)9.用分数法对[0，105]进行优选法试验，若将此区间段均分为21等份，则第一个试点为________.解析 将区间[0，105]均分为21等分，则相应分点为5，10，15， (100)由分数法原理可知第一试点x 1＝0＋1321(105－0)＝65或x 1＝105－1321(105－0)＝40. 答案 65或40(填一个也正确)10.采用纵横对折法，去掉两个坏点后所剩矩形区域面积是原矩形区域面积的________.解析 如图所示，假设A 1与A 2是两个坏点，由纵横对称法知，先去掉A 1所在的阴影区域，再去掉A 2所在的阴影区域，显然所剩面积是原矩形面积的14. 答案 1411.某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，试验范围定为29 ℃～63 ℃，精确度要求±1 ℃，用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要的最少试验次数为________.解析 由题意知，存优范围长度为34，选择分数2134优选，利用分数法选取试点，最少试验7次.答案 712.在配置某种清洗液时，需要加入某种材料，加入量大于130 mL 或小于10 mL 均不好，若利用均匀分批试验法在(10，130)内优选加入量，每批安排2个试验，则第1批试验加入的量为________ mL 和________ mL.解析 将试验范围分为3份，中间两个分点为50，90.答案 50 90三、解答题(本大题共3小题，满分40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)13.(本小题满分13分)卡那霉素发酵液生物测定，国内外通常规定培养温度为(37±1)℃，培养时间在16小时以上.某制药厂为缩短时间，决定优选培养温度，试验范围定为29 ℃～50 ℃，精确度要求±1 ℃，中间试验点共有20个，试用分数法进行优选.解 用分数法安排试验，要将试验范围21等分，于是F n ＋1＝21所以n ＝6，共需做6次试验.第一个试验点选在第13个分点，即 x 1＝29＋(50－29)×1321＝42(℃)处；第二个试验点是其对称点，即x 2＝50＋29－42＝37(℃)的地方，也就是第8个分点处，依次类推，6次试验的结果如图：14.(本小题满分13分)某化学反应，温度和反应时间会影响最终化合物的生成量，根据以往经验，定出其试验范围为温度：20 ℃～40 ℃；时间：20 min ～100 min.请说明如何用纵横对折法安排试验.解 先把温度固定在试验区间中点30 ℃，对时间进行优选(优选方法可以是0.618法)，找到点为A1；然后把时间固定在试验区间中点60 min，对温度进行优选(优选方法可以是0.618法)，找到点为B1.比较A1和B1，如果好点为B1，丢弃不包括好点B1的平面区域.然后在新范围的温度的中点，对因素时间进行重新优选.类似这样做下去，直到找出最优点.15.(本小题满分14分)如图，一正三角形，边长为20 cm，在它的内部内接一矩形.问矩形的底边为多少时其面积最大？试用0.618法进行优选.解设内接矩形在底边到底角的距离为x，内接矩形的面积为S.则有S＝(20－2x)×3x，其中(20－2x)为矩形底边的长，3x为矩形的宽.x的变化范围为0～10(cm).为使内接矩形面积为最大，用0.618法安排试验.第一试点x1，有x1＝(10－0)×0.618＋0＝6.18，Sx1＝(20－2×6.18)×3×6.18≈81.78(cm2).第二试点x2，x2＝(10＋0)－6.18＝3.82，Sx2＝(20－2×3.82)×3×3.82≈81.78(cm2).在Sx1和Sx2相等时，可同时消去(0，3.82)和(6.18，10)这两个区间.第三试验点可在区间(3.82，6.18)区间中继续用0.618法安排试验.x3＝3.82＋(6.18－3.82)×0.618≈5.28，Sx3＝(20－2×5.28)×3×5.28≈86.33(cm2).x4＝6.18＋3.82－5.28＝4.72，Sx4＝(20－2×4.72)×3×4.72≈86.33(cm2).Sx3＝Sx4，同样可同时消去(3.82，4.72)和(5.28，6.18)两个区间.在区间(4.72，5.28)中，再用0.618安排试验.x5＝4.72＋(5.28－4.72)×0.618≈5.07，Sx5＝(20－2×5.07)×3×5.07≈86.58(cm2).x6＝4.72＋5.28－5.07＝4.93，Sx6＝(20－2×4.93)×3×4.93≈86.58(cm2)由于5.07－4.93＝0.14，两点相差小于0.2 cm，如果认为精度已达到要求，要终止试验.此时矩形底边长为20－2×5.07＝9.86(cm)，或为20－2×4.93＝10.14(cm)，如果认为精度还不够，可继续在区间(4.93，5.07)中用0.618法安排试验，直到达到精度要求为止.。

优选法与试验设计初步在生产和科学试验中，人们为了达到优质、高产、低消耗等目标，需要对有关因素的最佳组合（简称最佳点）进行选择，关于最佳组合（最佳点）的选择问题,称为选优问题。

在实践中的许多情况下,试验结果与因素的关系,要么很难用数学形式来表达,要么表达式很复杂，优选法与试验设计是解决这类问题的常用数学方法。

20世纪60年代，著名数学家华罗庚亲自组织推广了优选法，并在全国工业部门得到了广泛的应用，取得了可喜的成果。

简单地说，优选法是合理地安排试验以求迅速找到最佳点的数学方法。

试验设计也是一种数学方法，一般说来，它是考虑在多因素情况下安排试验的方法，它可以帮助人们通过较少的试验次数得到较好的因素组合，形成较好的设计方案。

本专题将结合具体实例，初步地介绍单因素、双因素的优选法和多因素的正交试验设计方法，并对方法给予简单的说明,帮助学生理解这些方法的基本思想,并能思考和解决一些简单的实际问题。

内容与要求1. 通过丰富的生活、生产案例，使学生感受在现实生活中存在着大量的优选问题。

2. 通过分析和解决具体实际问题,使学生掌握分数法、0。

618法及其适用范围，可以利用计算机（或计算器）进行试验,并能思考和尝试运用这些方法解决一些实际问题，体会优选的思想方法。

3。

了解斐波那契数列｛F n}，理解在试验次数确定的情况下分数法最佳性的证明，通过连分数知道FFnn1和黄金分割的关系。

4。

通过一些具体的实例，使学生知道对分法、爬山法、分批试验法，以及目标函数为多峰情况下的处理方法。

5. 通过丰富的实例,了解多因素优选问题，了解处理双因素问题的一些优选方法，进一步体会优选的思想方法。

6. 通过丰富的生活、生产案例，使学生感受在现实生活中存在着大量的试验设计问题。

7。

通过对具体案例（因素不超过3，水平不超过4)的分析，理解运用正交试验设计方法解决简单问题的过程，了解正交试验的思想和方法，并能运用这种方法思考和解决一些简单的实际问题。