高三数学一轮复习课时作业66 优选法与试验设计初步 新人教A版 文

课时规范练54《素养分级练》P384基础巩固组1.某次期中考试数学试卷的第7,8两道单选题难度系数较小,甲同学答对第7道题的概率为23,连续答对两道题的概率为12.用事件A表示“甲同学答对第7道题”,事件B表示“甲同学答对第8道题”,则P(B|A)=()A.13B.12C.23D.34答案:D解析:由题可知P(A)=23,P(AB)=12.故P(B|A)=P(AB)P(A)=34.2.(2022·河南濮阳一模)已知甲、乙两人进行羽毛球比赛,比赛规则是3局2胜制,即先赢2局者胜.甲每局获胜的概率为34,则本次比赛甲获胜的概率为()A.2132B.2732C.1516D.1316答案:B解析:本次比赛甲获胜有3种可能:①第1,3局甲胜,第2局乙胜;②第2,3局甲胜,第1局乙胜;③第1,2局甲胜.则本次比赛甲获胜的概率为P=34×14×34+14×34×34+34×34=2732.3.(2022·广东韶关二模)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件1和元件2同时正常工作,或元件3正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件正常工作的概率均为34,且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件正常工作的概率为()A.764B.1532C.2732D.5764答案:D解析:讨论元件3正常与不正常,第一类,元件3正常,上部分正常或不正常都不影响该部件正常工作,则正常工作的概率为34×1=34.第二类,元件3不正常,上部分必须正常,则正常工作的概率为14×34×34=964,故概率为34+964=5764. 4.(2021·新高考Ⅰ,8)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则( )A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立答案:B解析:由已知得P (甲)=16,P (乙)=16,P (丙)=56×6=536,P (丁)=66×6=16,P (甲丙)=0,P (甲丁)=16×6=136,P (乙丙)=16×6=136,P (丙丁)=0.由于P (甲丁)=P (甲)·P (丁)=136,根据相互独立事件的性质,知事件甲与丁相互独立,故选B .5.(多选)(2023·山东潍坊模拟)已知事件A ,B 满足A ⊆B ,且P (B )=0.5,则一定有( )A.P (A B )>0.5B.P (B |A )<0.5C.P (A B )<0.25D.P (A|B )>0.5 答案:BC解析:对于A,因为A ⊆B ,所以A B ⊆B ,所以P (A B )≤P (B )=0.5,故A 错误;对于B,因为A ⊆B ,所以A ∩B =⌀,所以P (B |A )=P (BA )P (A )=0,故B 正确;对于C,因为A ⊆B ,所以A ∩B =⌀,所以P (A B )=0,故C 正确;对于D,因为A ⊆B ,所以A ∩B=A ,所以P (A ∩B )=P (A ),若A=⌀,则P (A|B )=P (AB )P (B )=0,故D 错误.6.(2022·山东威海三模)设随机事件A ,B ,已知P (A )=0.4,P (B|A )=0.3,P (B|A )=0.2,则P (AB )= ,P (B )= .答案:0.12 0.24解析:P (B|A )=P (AB )P (A )=0.3⇒P (AB )=0.3P (A )=0.3×0.4=0.12,P (B|A )=(AB P (A )=0.2⇒P (A B )=0.2P (A )=0.2×(1-0.4)=0.12,P (B )=P (AB )+P (A B )=0.12+0.12=0.24.综合提升组7.(2022·山东淄博三模)甲箱中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙箱中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱,分别以A 1,A 2和A 3表示由甲箱取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙箱中随机取出一球,以B 表示由乙箱取出的球是红球的事件,则下列结论正确的是( )A.事件B 与事件A i (i =1,2,3)相互独立B.P (A 1B )=522C.P (B )=25D.P (A 2|B )=845答案:BD解析:由题意P (A 1)=12,P (A 2)=15,P (A 3)=310,若A 1发生,此时乙袋有5个红球,3个白球和3个黑球,则P (B|A 1)=511,若A 2发生,此时乙袋有4个红球,4个白球和3个黑球,则P (B|A 2)=411,若A 3发生,此时乙袋有4个红球,3个白球和4个黑球,则P (B|A 3)=411,所以P (A 1B )=P (B|A 1)P (A 1)=522,B 正确;P (A 2B )=P (B|A 2)P (A 2)=455,P (A 3B )=P (B|A 3)P (A 3)=655,P (B )=P (B|A 1)P (A 1)+P (B|A 2)P (A 2)+P (B|A 3)P (A 3)=922,C 错误;则P (A 1)P (B )≠P (A 1B ),P (A 2)P (B )≠P (A 2B ),P (A 3)P (B )≠P (A 3B ),A 错误;P (A 2|B )=P (A 2B )P (B )=P (B |A 2)P (A 2)P (B )=845,D 正确.故选BD . 创新应用组8.(2022·山东日照三模)若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形,任何事件都对应样本空间的一个子集,且事件发生的概率对应子集的面积.则如图所示的涂色部分的面积表示( )A.事件A 发生的概率B.事件B 发生的概率C.事件B 不发生条件下事件A 发生的概率D.事件A ,B 同时发生的概率答案:A解析:由题意可得,如图所示的涂色部分的面积为P (A|B )P (B )+[1-P (B )]P (A|B )=P (AB )+P (B )P (A|B )=P (AB )+P (A B )=P (A ).。

2021年高考数学一轮复习算法初步课时作业理（含解析）新人教A版一、选择题1．(xx·汕头市质量测评(二))执行下边的框图，若输出的结果为12，则输入的实数x的值是( )A.14B.32C.22D.2解析：x>1时，log2x＝12得x＝2成立，而x<1时，x－1＝12得x＝32>1与x<1矛盾，故选D.答案：D第1题图第2题图2．(xx·天津卷)阅读上边的程序框图，运行相应的程序．若输入x的值为1，则输出S的值为( )A ．64B ．73C ．512D ．585解析：第1次循环，S ＝1，不满足判断框内的条件，x ＝2；第2次循环，S ＝9，不满足判断框内的条件，x ＝4；第3次循环，S ＝73，满足判断框内的条件，跳出循环，输出S ＝73.答案：B3．(xx·浙江卷)某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则( )A ．a ＝4B ．a ＝5C ．a ＝6D ．a ＝7解析：k ＝1，S ＝1＋1－12＝32；k ＝2，S ＝1＋1－13＝53；k ＝3，S ＝1＋1－14＝74；k ＝4，S ＝1＋1－15＝95.输出结果是95，这时k ＝5>a ，故a ＝4.答案：A第3题图 第4题图4．(xx·湖北七市联考)已知全集U ＝Z ，Z 为整数集，如上图程序框图所示，集合A ＝{x |框图中输出的x 值}，B ＝{y |框图中输出的y 值}；当x ＝－1时，(∁U A )∩B ＝( )A ．{－3，－1,5}B ．{－3，－1,5,7}C ．{－3，－1,7}D ．{－3，－1,7,9}解析：由程序框图的运行程序可知，集合A ＝{0,1,2,3,4,5,6}，B ＝{－3，－1,1,3,5,7,9}，所以(∁U A)∩B＝{－3，－1，7,9}，故选D.答案：D5．(xx·辽宁大连第一次模拟)如图是用模拟方法估计椭圆x24＋y2＝1面积的程序框图，S表示估计的结果，则图中空白处应该填入( )A．S＝N250B．S＝N125C．S＝M250D．S＝M125解析：区间0～2构成边长为2的正方形，其面积为4，由程序框图的运行程序可知在2 000个点中落在椭圆第一象限内的点共有M个，而椭圆自身是关于x轴、y轴、原点对称的，故空白处应填入M2 000×4×4＝M125，故选D.答案：D6．(xx·辽宁卷)执行如图所示的程序框图，若输入n＝10，则输出S＝( )A.511B.111C.3655D.7255解析：S＝122－1＋142－1＋162－1＋182－1＋1102－1＝511.答案：A第6题图第7题图7．(xx·重庆六区高三调研抽测)一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为910，则判断框内应填入的条件是( ) A．i>9 B．i≥9 C．i>10 D．i≥8解析：S＝11×2＋12×3＋…＋1n n＋1＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝nn＋1，由S＝910，得n＝9，故选A.答案：A8．(xx·山西适应性训练考试)执行如图所示的程序框图，输入m＝1 173，n＝828，则输出的实数m的值是( )A．68B．69C．138D．139解析：1 173÷828＝1…345,828÷345＝2…138，354÷138＝2…69,138÷69＝2…0，∴m＝n＝69，n＝r＝0.∴输出的实数m的值为69.答案：B9．(xx·石家庄第二次模拟)定义min{a1，a2，…，a n}是a1，a2，…，a n中的最小值，执行程序框图(如图)，则输出的结果是( )A.15B.14C.13D.23解析：n＝2时，a2＝2，n＝3时，a3＝1a2＝12；n＝4时，a4＝a2＋1＝3，n＝5时，a5＝1a4＝13；n ＝6时，a 6＝a 3＋1＝32，n ＝7时，a 7＝1a 6＝23；n ＝8时，a 8＝a 4＋1＝4，T ＝min⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，2，12，3，13，32，23，4＝13. 答案：C第9题图 第10题图10．(xx·云南昆明高三调研)某班有24名男生和26名女生，数据a 1，a 2，…，a 50是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试中的成绩(成绩不为0)，如图所示的程序用来同时统计全班成绩的平均数：A ，男生平均分：M ，女生平均分：－W .为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其成绩的相反数，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的( )A ．T >0？，A ＝M ＋W50B ．T <0？，A ＝M ＋W50 C ．T <0？，A ＝M －W50D ．T >0？，A ＝M －W50解析：依题意得，全班成绩的平均数应等于班级中所有的学生的成绩总和除以总人数，注意到当T>0时，输入的成绩表示的是某男生的成绩；当T<0时，输入的成绩表示的是某女生的成绩的相反数．因此结合题意得，选D.答案：D二、填空题11．(xx·广东卷)执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为________．解析：第1次循环：s＝1＋(1－1)＝1，i＝1＋1＝2；第2次循环：s＝1＋(2－1)＝2，i＝2＋1＝3；第3次循环：s＝2＋(3－1)＝4，i＝3＋1＝4；第4次循环：s＝4＋(4－1)＝7，i＝4＋1＝5.循环终止，输出s的值为7.答案：7第11题图第12题图12．(xx·山东卷)执行上面的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n的值为________．解析：逐次计算的结果是F1＝3，F0＝2，n＝2；F1＝5，F0＝3，n＝3，此时输出，故输出结果为3.答案：313．(1)(xx·宁德质检)运行下图所示的程序，输入3,4时，则输出________．INPUTa ，bIF a >b THENm ＝aELSE m ＝bEND IFPRINT mENDS ←0n ←0While S ≤1 023S ←S ＋2nn ←n ＋1End WhilePrint n第(1)题图 第(2)题图(2)(xx·常州市高三教学期末调研测试)根据上图所示的算法，可知输出的结果为________．解析：(1)程序的功能是比较两个数的大小且输出较大的数，所以输入3,4时输出4. (2)根据算法语句可知这是一个循环结构，S n 是一个以1为首项，2为公比的等比数列的前n 项和，即：S n ＝1－2n1－2＝2n－1，可见n ＝10时，S 10＝1 023，所以n ＝10时进行最后一次循环，故n ＝11.答案：(1)4 (2)11 [热点预测]14．(1)(xx·安徽省“江南十校”高三联考)下图是寻找“徽数”的程序框图．其中“S mod 10”表示自然数S 被10除所得的余数，“S /10”表示自然数S 被10除所得的商．则根据上述程序框图，输出的“徽数S ”为( )A ．18B ．16C ．14D ．12第(1)题图 第(2)题图(2)(xx·江西重点中学第一次联考)如图所示的程序框图中，令a ＝tan θ，b ＝sin θ，c ＝cos θ，若在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ|－π4<θ<3π4，θ≠0，π4，π2中，给θ取一个值，输出的结果是sin θ，则θ的值所在范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0 B.⎝⎛⎭⎪⎫0，π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 解析：(1)法一：S ＝10，则x ＝S MOD 10＝10，y ＝S /10＝1,3(x ＋y ＋1)＝6，不符合判断条件，S ＝11，则x ＝1，y ＝1，3(x ＋y ＋1)＝9，不符合判断条件．S ＝12，则x ＝2，y ＝1，3(x ＋y ＋1)＝12，符合判断条件，输出S ＝12，选D.法二：由题意知，此程序的功能是寻找“徽数”，所谓“徽数”的定义是个位数与S 被10除所得的商的和加1后，再乘以3等于这个数本身，所以从选项验证可知D 正确．(2)由程序框图可知，本程序的功能是输入的三个数中输出最大的一个，现在tan θ，sin θ，cos θ，输出了sin θ，所以sin θ是最大的，在集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪－π4<θ<3π4，θ≠0，π4，π2中θ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，34π.答案：(1)D (2)C [ '24966 6186 憆t929516 734C 獌t-29431 72F7 狷26668 682C 栬21394 5392 厒%35320 89F8 觸39170 9902 餂。

课时规范练31《素养分级练》P314基础巩固组1.(2022全国乙,文3)已知向量a =(2,1),b =(-2,4),则|a-b |=( ) A.2 B.3 C.4 D.5答案:D解析:由题设得a-b =(4,-3),则|a-b |=√42+(-3)2=5.故选D . 2.若a =(2,1),b =(-1,1),(2a +b )∥(a +m b ),则m 的值为( ) A.12B.2C.-2D.-12答案:A解析:由已知得2a +b =(3,3),a +m b =(2-m ,1+m ),由(2a +b )∥(a +m b ),可得3×(1+m )=3×(2-m ),解得m=12.故选A .3.(2022·陕西西安三模)已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,-4),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,m ),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,m ),若A ,C ,D 三点共线,则m=( ) A.2 B.23 C.-2-√6 D.-2+√6答案:A解析:因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,-4),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,m ),所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,m-4).又A ,C ,D 三点共线,所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则{1=-λ,m -4=λm ,解得{λ=-1,m =2.故选A . 4.(2023·北京朝阳高三期中)已知向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示,用基底{a ,b }表示c ,则( )A.c =2a -3bB.c =-2a -3bC.c =-3a +2bD.c =3a -2b答案:D解析:建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形网格的边长为1,则A (1,0),B (2,1),C (0,4),D (7,1),所以a =(1,1),b =(-2,3),c =(7,-3).设向量c =m a +n b ,m ,n ∈R ,则c =m a +n b =(m-2n ,m+3n )=(7,-3),所以{m -2n =7,m +3n =-3,解得{m =3,n =-2,故c =3a -2b .故选D .5.(2023·福建宁德高三月考)集合M={λ|λ=(1,2)+m (2,3),m ∈R },N={μ|μ=n (2,3)+(-1,-1),n ∈R },则M ∩N 等于( ) A.{(1,2)} B.{(3,5)} C.{(-1,2)} D.{(3,-5)}答案:B解析:由题意,M={λ|λ=(1+2m ,2+3m ),m ∈R},N={μ|μ=(2n -1,3n -1),n ∈R},因为元素是向量,要使向量相等,只有横坐标和纵坐标分别相等,所以{1+2m =2n -1,2+3m =3n -1,解得{m =1,n =2,此时λ=μ=(3,5).故选B .6.(多选)(2023·福建福州高三月考)已知向量a =(1,-2),若存在实数λ,μ,使得a =λe 1+μe 2,则e 1,e 2可以是( )A.e 1=(1,1),e 2=(2,2)B.e 1=(0,0),e 2=(-2,4)C.e 1=(1,1),e 2=(1,2)D.e 1=(-1,2),e 2=(2,-4) 答案:BCD解析:对于A,由a =λe 1+μe 2得(1,-2)=λ(1,1)+μ(2,2),所以{1=λ+2μ,-2=λ+2μ,无解,所以不存在实数λ,μ,使得a =λe 1+μe 2,故A 错误;对于B,由a =λe 1+μe 2得(1,-2)=λ(0,0)+μ(-2,4),所以{1=-2μ,-2=4μ,解得μ=-12,λ∈R ,存在实数λ,μ,使得a =λe 1+μe 2,故B 正确;对于C,由a =λe 1+μe 2得(1,-2)=λ(1,1)+μ(1,2),所以{1=λ+μ,-2=λ+2μ,解得{λ=4,μ=-3,所以存在实数λ,μ,使得a =λe 1+μe 2,故C 正确;对于D,由a =λe 1+μe 2得(1,-2)=λ(-1,2)+μ(2,-4),所以{1=-λ+2μ,-2=2λ-4μ,所以存在实数λ,μ,使得a =λe 1+μe 2,故D 正确.故选BCD .7.已知点A (1,0),B (2,2),向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1),则向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 答案:(3,1)解析:由已知得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)+(2,-1)=(3,1). 8.与向量a =(-1,2)同向的单位向量b = . 答案:-√55,2√55解析:设b =(x ,y ),∵b 与a 同向, ∴b =λa (λ>0),即x=-λ,y=2λ.又b 为单位向量,模为1,∴(-λ)2+(2λ)2=1,λ>0,解得λ=√55,故b =-√55,2√55.9.(2023·广东惠州高三月考)已知向量a =(-1,2),b =(1,2 022),向量m =a +2b ,n =2a -k b ,若m ∥n ,则实数k= . 答案:-4解析:由m ∥n ,知∃λ∈R ,使得m =λn ,即a +2b =λ(2a -k b )=2λa -k λb ,则可得{1=2λ,2=-kλ,解得{λ=12,k =-4.综合提升组10.(2023·辽宁沈阳高三月考)如图,在△ABC 中,点D ,E 分别在边AB ,BC 上,且均为靠近B 的四等分点,CD 与AE 交于点F ,若BF⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则3x+y=( )A.-1B.-34C.-12D.-14答案:A解析:连接DE ,由题意可知,BDBA=BE BC=14,所以DE ∥AC ,则DE AC=BD BA=14,所以DF FC=DE AC=14,所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =15DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −320AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =-14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −320AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .又BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x=-25,y=15,则3x+y=-1.故选A .11.(多选)已知向量m =(cos α,sin α),n =(cos β,sin β)(α,β∈[0,2π),α>β),且m +n =(0,1),则下列说法正确的是( ) A.m 2+n 2=1 B.cos(α-β)=-12 C.|m -n |的值为2 D.sin(α+β)=0答案:BD解析:由已知得{cosα+cosβ=0,sinα+sinβ=1,又α∈[0,2π),β∈[0,2π),α>β,得{α=5π6,β=π6.m 2=1,n 2=1,则有m 2+n 2=2,故A 错误;cos(α-β)=cos 2π3=-12,故B 正确;m =-√32,12,n =√32,12,则有m -n =(-√3,0),故有|m -n |=√3≠2,故C 错误;sin(α+β)=sin π=0,故D 正确.故选BD .12.(2023·安徽阜阳高三期中)在△ABC 中,M 为BC 边上任意一点,N 为线段AM 上任意一点,若AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R ),则λ+μ的取值范围是 . 答案:[0,1]解析:由题意,设AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤t ≤1),当t=0时,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以λ=μ=0,从而有λ+μ=0;当0<t ≤1时,因为AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R ),所以t AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λt AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μt AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,因为M ,B ,C 三点共线,所以λt +μt =1,即λ+μ=t ∈(0,1].综上,λ+μ的取值范围是[0,1].创新应用组13.(2023·安徽合肥高三期末)已知O 是△ABC 所在平面内的一点,内角A ,B ,C 所对的边分别为a=3,b=2,c=4,若a OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +b OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +c OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,过点O 作直线l 分别交AB ,AC (不与端点重合)于点P ,Q ,若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ,λ,μ∈R ,△PAO 与△QAO 的面积之比为32,则λμ=( ) A.56 B.13C.43D.34答案:D解析: 由△PAO 与△QAO 的面积之比为32,易得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =-32OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .故2(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+3(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,即2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2λ(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3μ(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,整理得(5-2λ-3μ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3μOC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.因为3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 均不共线,故2λ3μ=24,解得λμ=34.故选D .。

选修4-7 优选法与试验设计初步1.有一个优选法问题，存优范围为『10，20』，在安排试点时，第一个试点为16，则第二个试点最好是__________.2.设一优选问题的试验因素范围是『0，130』，现用分数法试验，假设最优点是70，则第三个试点为_________.3．配制某种注射药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量为10～110 ml，用黄金分割法寻找最佳加入量时，若第1试点是差点，第2试点是好点，则第3次试验时葡萄糖的加入量是____________ml.4.在0.618法、分数法、对分法、盲人爬山法中，比较适用于解方程x2+x-1=0的优选法的个数为___________.5．(2010·湖南高考)已知一种材料的最佳加入量在110 g到210 g之间.若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是________.6.如果你是一名会计，发现上月的公司账户不平(借方余额合计不等于贷方余额合计)，那么为了最快查出错误记录，你将采用的优选方法是_______.7．(2011·长沙市模拟)用0.618法寻找最佳点时，达到精度0.1的要求,需要_____________次试验.(参考值lg0.618=-0.209).8.现决定优选加工温度，假定最佳温度在60℃与70℃之间，用0.618法进行优选，则第二次试点温度为_________℃.9.用对分法进行试验时，3次试验后的精度为___________．10.(2011·衡阳模拟)为了得到某种特定用途的钢，用黄金分割法试验特定化学元素的最优加入量，若进行若干次试验后存优范围『1 000,m』上的一个好点为1 618，则m可以是________.11.(2011·湘西州模拟)用0.618法寻找某试验的最优加入量时，若当前存优范围是『628，774』，好点是718，则此时要做试验的加入量值为_________.12.用0.618法确定试点，则经过4次试验后，存优范围缩小为原来的______.13.对试验范围是(1,8)的单因素进行比例分割分批试验，若每次做2个试验，则第一批这两个试验点值分别是_________、________.14.有一条输电线路出现了故障，在线路的开始端A处有电，在末端B处没有电，要检查故障所在位置，在0.618法、分数法、对分法、盲人爬山法中，宜采用的优选法是_________.15.为了调制一种饮料，在每10 kg半成品饮料中加入柠檬汁进行试验，加入量为500 g到1 500 g之间，现用0.618法选取试点找到最优加入量，则第二个试点应选取在_________g. 16.某单因素单峰试验范围是(3,18)，用均分分批试验法寻找最佳点，每次安排4个试验.若第一批试点中从左到右的第3个试点是好点，则第一批试验后的存优范围是_________.17.某实验因素对应的目标函数是单峰函数，若用分数法从20个试验中找出最佳点，则需要做试验的次数是_________.18.在配置某种清洗液时，需加入某种材料．经验表明，加入量大于130 ml肯定不好，用150 ml的锥形量杯计量加入量，该量杯的量程分为15格，每格代表10 ml，用分数法找出这种材料的最优加入量，则第一个试点应安排在_____ml.19.技术员王工在粉笔加工设计中正思考着这样的问题：每支粉笔在使用过程中，都要丢掉一段一定长的粉笔头，单就这一点来说，愈短愈好，但太短了，使用起来既不方便，也容易折断，每断一次，必然多浪费一个粉笔头，反而不合适，因而就出现了“粉笔多长最合适”的问题，在长度为10 cm至15 cm范围内经过多次尝试，王工最后发现12 cm长的粉笔最合适.根据上述描述，这个问题的最佳点是________cm.20.某化工厂准备对一化工产品进行技术改造，决定优选加工温度，假定最佳温度在60℃到81℃之间．现用分数法进行优选，则第二个试点的温度为_____℃.答案解析1.『解析』在优选过程中，安排的两个试点最好关于存优范围的中点对称.『答案』142.『解析』由分数法得()18x 0130080,13=+⨯-= x 2=0+130-80=50,因为最优点是70，所以存优范围为『50，130』，故x 3=50+130-80=100.『答案』1003.『解析』由黄金分割法原理得x 1=10+0.618(110-10)=71.8,x 2=10+110-71.8=48.2，由于第2试点是好点，所以存优范围为『10，71.8』,所以x 3=10+71.8-48.2=33.6.『答案』 33.64.『解析』对分法和盲人爬山法适用于解方程.『答案』25.『解析』相对于端点，第一试点的选取有两种情况.『答案』171.8或148.26.『解析』符合对分法的适用范围.『答案』对分法7.『解析』由0.618n-1≤0.1得lg0.1n 1 5.78,lg0.618≥+≈ 所以要安排6次试验.『答案』 68.『解析』x 2=60+0.382×(70-60)=63.82或70-0.382(70-60)=66.18.『答案』63.82或66.189.『解析』由对分法可知，每次试验后存优范围缩小为原来的一半，所以3次试验后的精度为0. 53=0.125.『答案』0.12510.『解析』这有两种可能，若好点处在存优范围的0.618处，则有1 000+0.618(m-1 000)=1 618,故m=2 000;若好点处在存优范围的0.382处，则有1 000+0.382(m-1 000)=1 618,故m≈2 618. 『答案』2 000或2 61811.『解析』当好点为718时，为寻找最优点，根据0.618法得此时试验的加入量值为628+774-718=684.『答案』68412.『解析』经过一次试验，存优范围还是原来的1，经过两次试验后，比较两个试点的关系，得到一个好点和一个差点，去掉一段，得到存优范围是原来范围的0.618，…经过四次试验后，存优范围是原来的0.6183.『答案』0.618313.『解析』比例分割试验法中每批做试验的次数相等.而试点分别是2,3,4,5,6,7，第一批做两个试验，试点在4,5.『答案』4 514.『解析』宜采用对分法.第一次检查点是线段AB 的中点C ，若有电，则检查CB 的中点；若没电，则检查AC 的中点，以此类推.『答案』对分法15.『解析』利用0.618法时，第一个试点500+0.618×(1 500-500)=1 118,则第二个试点500+1 500-1 118=882.『答案』88216.『解析』均分分批试验法要求试点等分试验区间，每次安排4个试验，则把试验区间分成5段，每段的长度是：18335-＝，则第一批试点是6,9,12,15，由于从左到右的第3个试点是好点，即12是好点，也就是说9和15是差点，那么最佳点在区间(9，15)内. 『答案』(9,15)17.『解析』由分数法最优性原理知：20=21-1=F 7-1=F 6+1-1，所以试验次数是6.『答案』618.『解析』斐波那契数列是：1，1，2，3，5，8，13，…，由于0～130有13个试点10,20,30,…,130.那么第一个试点8013+×(130-0)=80. 『答案』8019.『解析』本题是寻找粉笔的合适长度，因此最佳点就是最合适的粉笔长度数据，即12 cm. 『答案』1220.『解析』斐波那契数列是：1，1，2，3，5，8，13，21，…，由于因素范围为21格.那么第一个试点在()136081607321+⨯-=，第二个试点是：60+81-73=68． 『答案』68。

课时规范练9《素养分级练》P299基础巩固组1.幂函数y=x a,y=x b,y=x c,y=x d在第一象限的图象如图所示,则a,b,c,d的大小关系是()A.a>b>c>dB.d>b>c>aC.d>c>b>aD.b>c>d>a答案:D解析:根据幂函数的性质,在第一象限内,x=1的右侧部分的图象,图象由下至上,幂指数增大,所以由图象得b>c>d>a.2.幂函数f(x)=(m2-m-1)x m2+m-3在x∈(0,+∞)上单调递减,则实数m=()A.-1B.2C.-1或2D.1答案:A解析:∵幂函数f(x)=(m2-m-1)x m2+m-3,∴m2-m-1=1,解得m=2或m=-1;又当x∈(0,+∞)时,f(x)单调递减,∴当m=2时,m2+m-3=3,幂函数为y=x3,不满足题意;当m=-1时,m2+m-3=-3,幂函数为y=x-3,满足题意.综上,m=-1.3.(2023·浙江余杭高级中学高三检测)函数y=x 23的大致图象是()答案:B 解析:∵y=x 23=√x 23的定义域为R ,且√(-x )23=√x 23,∴y=x 23为偶函数,图象关于y 轴对称,可排除C,D;∵0<23<1,∴由幂函数性质知y=x 23在(0,+∞)上单调递增,但增长速度越来越慢,可排除A .故选B.4.(2023·四川绵阳南山中学高三检测)幂函数y=x m 2-2m -3(m ∈Z )的图象如图所示,则实数m 的值为 .答案:1解析:由图象可知,该幂函数在(0,+∞)单调递减,所以m 2-2m-3<0,解得-1<m<3,又m ∈Z ,所以m 可取0,1,2,因为该函数为偶函数,所以m 2-2m-3为偶数,故m=1.5.已知函数f (x )=x α(1≤x ≤2)的最大值与最小值之差为12,则α= . 答案:log 232或-1解析:由题意,函数f (x )=x α(1≤x ≤2),当α>0时,函数f (x )在[1,2]上单调递增,可得2α-1=12,解得α=log 232;当α=0时,显然不成立;当α<0时,函数f (x )在[1,2]上单调递减,可得1-2α=12,解得α=-1.综上,α=log 232或α=-1. 6.若函数y=x 2-5x-1的定义域为[0,m ],值域为-294,-1,则实数m 的取值范围是 . 答案:52,5解析:根据题意,函数y=x 2-5x-1=x-522-294,函数图象的对称轴为直线x=52,且有f (0)=f (5)=-1,又由函数的定义域为[0,m ],值域为-294,-1,则有52≤m ≤5,即m 的取值范围是52,5.7.已知幂函数f (x )=(m 2-3m-17)x m-2的图象关于y 轴对称,则f (x )的解析式为 ;函数g (x )=f (2x )-4x 2+3在[-1,2]上的值域是 . 答案:f (x )=x 4114,243解析:因为f(x)=(m2-3m-17)x m-2是幂函数,所以m2-3m-17=1,解得m=6或m=-3.又f(x)的图象关于y轴对称,所以m=6,故f(x)=x4.由f(x)=x4可知,g(x)=16x4-4x2+3=16(x2)2-4x2+3=16x2-182+114.因为x∈[-1,2],所以x2∈[0,4],所以16x2-182+114∈114,243.故g(x)在[-1,2]上的值域为114,243.综合提升组8.函数f(x)=(m2-m-1)x4m9+m5-1是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足f(x1)-f(x2)x1-x2>0,若a,b∈R,且a+b>0,则f(a)+f(b)的值:①恒大于0;②恒小于0;③等于0;④无法判断.上述结论正确的是(填序号).答案:①解析:由于函数f(x)=(m2-m-1)x4m9+m5-1是幂函数,故m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.因为对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足f(x1)-f(x2)x1-x2>0,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,当m=2时,f(x)=x2 079符合题意,当m=-1时,f(x)=x-6不符合题意,故f(x)=x2 079,且函数f(x)为奇函数.所以f(x)在R上单调递增.由于a,b∈R,且a+b>0,所以a>-b,故f(a)>f(-b),所以f(a)>-f(b),所以f(a)+f(b)>0.9.若函数f(x)=x2-2ax+1-a在[0,2]上的最小值为-1,则a=.答案:1解析:函数f(x)=x2-2ax+1-a的图象的对称轴为直线x=a,图象开口向上,①当a≤0时,函数f(x)在[0,2]上单调递增,则f(x)min=f(0)=1-a,由1-a=-1,得a=2,不符合a≤0;②当0<a<2时,则f(x)min=f(a)=a2-2a2+1-a=-a2-a+1,由-a2-a+1=-1,得a=-2或a=1,所以a=1;③当a≥2时,函数f(x)在[0,2]上单调递减,则f(x)min=f(2)=4-4a+1-a=5-5a,由5-5a=-1,得a=65,不符合a≥2.综上,a=1.创新应用组10.函数y=x,y=x2和y=1x的图象如图所示,下列四个说法:①如果1a>a>a2,那么0<a<1;②如果a2>a>1a,那么a>1;③如果1a>a2>a,那么-1<a<0;④如果a2>1a>a,那么a<-1.其中正确的是()A.①④B.①C.①②D.①③④答案:A解析:当三个函数的图象依y=1x,y=x和y=x2次序呈上下关系时,可得0<x<1,所以若1a>a>a2,可得0<a<1,所以①正确;当三个函数的图象依y=x2,y=x和y=1x 次序呈上下关系时,-1<x<0或x>1,所以若a2>a>1a,可得a>1或-1<a<0,所以②错误;由于三个函数的图象没有出现依y=1x,y=x2和y=x次序的上下关系,所以③错误;当三个函数的图象依y=x2,y=1x 和y=x次序呈上下关系时,x<-1,所以若a2>1a>a时,可得a<-1,所以④正确.故选A.。

课时规范练42《素养分级练》P375基础巩固组1.(2023·江西上饶六校联考)若经过点P (-1,-2)的直线与圆x 2+y 2=5相切,则该直线在y 轴上的截距为( ) A.52B.5C.-52D.-5答案:C解析:∵(-1)2+(-2)2=5,∴点P 在圆上.设圆心为O ,则k OP =-2-1=2,则过点P 的切线的斜率k=-12, ∴切线方程为y+2=-12(x+1),令x=0,得y=-52.2.点G 在圆(x+2)2+y 2=2上运动,直线x-y-3=0分别与x 轴、y 轴交于M ,N 两点,则△MNG 面积的最大值是( ) A.10 B.232C.92D.212答案:D解析:易知点M (3,0),N (0,-3),则|MN|=√32+32=3√2.圆(x+2)2+y 2=2的圆心坐标为(-2,0),半径为√2,圆心到直线x-y-3=0的距离为√2=5√22,所以,点G 到直线x-y-3=0的距离的最大值为5√22+√2=7√22,所以,△MNG 面积的最大值是12×3√2×7√22=212. 3.(多选)已知直线l :x+y-√2=0与圆C :(x-1)2+(y+1)2=4,则( ) A.直线l 与圆C 相离 B.直线l 与圆C 相交C.圆C 上到直线l 的距离为1的点共有2个D.圆C 上到直线l 的距离为1的点共有3个 答案:BD解析:由圆C :(x-1)2+(y+1)2=4,可知其圆心坐标为(1,-1),半径为2,圆心(1,-1)到直线l :x+y-√2=0的距离d=√2|√12+12=1,故B,D 正确,A,C 错误.故选BD .4.(2023·河北石家庄模拟)已知圆C :x 2+y 2+2ay=0(a>0)截直线√3x-y=0所得的弦长为2√3,则圆C 与圆C':(x-1)2+(y+1)2=1的位置关系是 ( )A.相离B.外切C.相交D.内切答案:C解析:圆C 的圆心为(0,-a ),半径为a ,其圆心到直线√3x-y=0的距离为√3+1=a 2,则2√a 2-(a 2) 2=√3a=2√3,解得a=2.所以C :x 2+(y+2)2=4,C 的圆心为(0,-2),半径为2.又C'的圆心为(1,-1),半径为1,|CC'|=√(0-1)2+(-2+1)2=√2,故可得2-1<|CC'|<2+1,所以两圆的位置关系是相交.5.已知圆O :x 2+y 2=1,点A (0,-2),B (a ,2),从点A 观察点B ,要使视线不被圆O 挡住,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.-∞,-4√33∪4√33,+∞ C.-∞,2√33∪2√33,+∞D.-4√33,4√33答案:B解析:易知点B (a ,2)在直线y=2上.过点A (0,-2)作圆的切线,设切线的斜率为k ,则切线方程为y=kx-2,即kx-y-2=0,由d=|0-0-2|√1+k 2=1,得k=±√3,则切线方程为y=±√3x-2.切线和直线y=2的交点坐标分别为-4√33,2,4√33,2.故从点A 观察点B ,要使视线不被圆O 挡住,则实数a 的取值范围是-∞,-4√33∪4√33,+∞.6.(2022·山东聊城二模)已知点P 在圆O :x 2+y 2=4上,点A (-3,0),B (0,4),满足AP ⊥BP 的点P 的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0答案:B解析:设点P (x ,y ), 则x 2+y 2=4,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+3,y ),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y-4).由AP ⊥BP ,得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x (x+3)+y (y-4)=x 2+y 2+3x-4y=0,即x+322+(y-2)2=254,故点P 的轨迹为一个圆心为-32,2,半径为52的圆.则两圆的圆心距为52,半径和为52+2=92,半径差为52-2=12,有12<52<92,所以两圆相交,满足AP⊥BP的点P有2个.7.(2023·山东胜利一中模拟)已知圆C:x2+y2-4x=0,过点M(1,1)的直线截圆所得的弦长的最小值为.答案:2√2解析:圆C的标准方程为(x-2)2+y2=4,圆心为C(2,0),半径为r=2,|CM|=√(2-1)2+(0-1)2=√2,与CM垂直的弦的弦长为l=2√r2-|CM|2=2√4-2=2√2,即为所求弦长的最小值.8.过P(-2,-3)作圆(x-4)2+(y-2)2=9的两条切线,切点为A,B,则过A,B两点的直线方程为.答案:6x+5y-25=0解析:圆(x-4)2+(y-2)2=9的圆心为C(4,2),半径为3,以线段PC为直径的圆的方程为(x-1)2+y+122=614,将两圆的方程相减得公共弦AB的方程为6x+5y-25=0.综合提升组9.(2023·浙江杭州学军中学高三月考)已知在某滨海城市A附近的海面出现台风活动,据监测,目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向,距城市A 300 km的海面点P处,并以20 km/h的速度向西偏北30°方向移动.已知该台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域,半径为100√3 km,则城市A受台风影响的时间为()A.5 hB.5√3 hC.52√3 h D.4 h答案:B解析:如图,AP=300 km,∠APB=30°,台风中心沿PB方向以20 km/h的速度移动,台风中心距离城市A的最短距离为AB=AP sin 30°=300×12=150(km).又以台风中心为圆心的圆形区域,半径为100√3 km,则台风中心在以城市A为圆心,半径为100√3 km的圆内时,城市A受台风影响.以城市A为圆心,半径为100√3 km的圆截直线PB所得弦长为2√(100√3)2-1502=100√3(km),则城市A受台风影响的时间为100√320=5√3(h).10.(2023·河南安阳模拟)已知圆C :(x-2)2+(y-6)2=4,M 为直线l :x-y+8=0上一个动点,过点M 作圆C 的两条切线,切点分别为A ,B ,则当四边形CAMB 周长取最小值时,四边形CAMB 的外接圆的方程为( ) A.(x-7)2+(y-1)2=4 B.(x-1)2+(y-7)2=4 C.(x-7)2+(y-1)2=2 D.(x-1)2+(y-7)2=2 答案:D解析:圆C :(x-2)2+(y-6)2=4的圆心C (2,6),半径r=2, 点C 到直线l 的距离d=√12+(-1)=2√2.依题意,CA ⊥AM ,四边形CAMB 的周长为2|CA|+2|AM|=4+2√|CM |2-|CA |2≥4+2√d 2-4=4+2√(2√2)2-4=8,当且仅当CM ⊥l 时,等号成立,此时直线CM :x+y-8=0. 由{x -y +8=0,x +y -8=0,得点M (0,8). 四边形CAMB 的外接圆圆心为线段CM 的中点(1,7),半径为√2,方程为(x-1)2+(y-7)2=2. 11.(2022·山东烟台三模)已知动点P 到点A (1,0)的距离是到点B (1,3)的距离的2倍,记点P 的轨迹为C ,直线y=kx+1交C 于M ,N 两点,Q (1,4).若△QMN 的面积为2,则实数k 的值为 . 答案:-7或1解析:设P (x ,y ),则有√(x -1)2+y 2=2√(x -1)2+(y -3)2,整理得(x-1)2+(y-4)2=4,即点P 的轨迹C 为以(1,4)为圆心,以2为半径的圆. 点Q (1,4)到直线y=kx+1的距离为√1+k 2=√1+k 2,直线y=kx+1交C 于M ,N 两点,则|MN|=2√4-(√1+k2) 2,则△QMN 的面积S=12×2√4-(√1+k2) 2 √1+k 2=2,解得k=-7或k=1.创新应用组12.(2022·新高考Ⅰ,14)写出与圆x 2+y 2=1 和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程: .答案:x=-1或y=-34x+54,或y=724x-2524解析:在平面直角坐标系中,画出圆x 2+y 2=1和圆(x-3)2+(y-4)2=16.设点O (0,0),O 1(3,4),由图得两圆外切,则☉O 与☉O 1有两条外公切线和一条内公切线,易得其中一条外公切线l 的方程为x=-1.由图可知,内公切线l 1与另一条外公切线l 2的斜率均存在.∵l 1与直线OO 1垂直,直线OO 1的斜率k OO 1=43,∴直线l 1的斜率k l 1=-34,直线OO 1的方程为y=43x. 可设直线l 1的方程为y=-34x+b (b>0). 又圆心O 到直线l 1的距离d 1=√(-4)2+1=1,解得b=54(负值舍去).故内公切线l 1的方程为y=-34x+54.由{y =43x ,x =-1,得直线l 与直线OO 1的交点为A (-1,-43). 则可设直线l 2的方程为y+43=k (x+1). 又圆心O 到直线l 2的距离d 2=|k -43|√k 2+1=1,解得k=724,故直线l 2的方程为y=724x-2524.由上可知,与圆x 2+y 2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的直线的方程为x=-1,或y=-34x+54,或y=724x-2524.。

4-7 优选法与试验设计初步1．下列五个函数：①y ＝2|x |，②y ＝cos x ，x (－1,4)，③y ＝sin x ，x ∈(－1,4)，④y ＝－x 2＋2x ＋3，⑤y ＝13x 3－x 2－3x 中，不是单峰函数的是________．『答案』 ②⑤2．某车床的走刀量(单位：mm/r)共有如下13级：0.3,0.33，0.35，0.40,0.45,0.48,0.50,0.55,0.60,0.65,0.71,0.81，0.91.那么第一次和第二次的试点分别为______、______.『解析』 该已知条件符合分数法的优选要求．∴第一次应优选0.55，第二次应优选0.45.『答案』 0.55 0.453.如图，用平行线法处理双因素问题时，首先将难以调整的因素Ⅱ固定在0.618处，得到最佳点在A 1处，然后再把因素Ⅱ固定在0.382处，得到最佳点A 2，若A 2处的试验结果比A 1处的好，则第三次试验时，将因素Ⅱ固定在________处．『解析』 因为A 2处的试验结果比A 1处的好，所以好点在因素Ⅱ的0～0.618之间，由0.618法，第三次试验时，将因素Ⅱ固定在0.618＋0－0.382＝0.236处．『答案』 0.2364．有一双因素优选试验，2≤x ≤4,10≤y ≤20.使用纵横对折法进行优选．分别对因素x 和y 进行了一次优选后其新的存优范围的面积为________．『解析』 由纵横对折法知对因素x 和y 进行了一次优选后得到两个好点，无论哪个好点的试验结果更优，其新的存优范围的面积为原存优范围面积的一半，即12×(4－2)×(20－10)＝10.『答案』 105．为了提高某产品的质量，对影响质量的一个因素进行优选．已知此因素范围为『1 000,2 000』，用0.618法安排试验，第一个和第二个试点安排在何处？如果第一点效果比第二点好，第三个试点应选在何处？『解析』 在因素范围『1 000,2 000』内，用0.618法安排试验，第一个试点x 1，满足x 1＝1 000＋0.618(2 000－1 000)＝1 618.第二个试点x 2满足，x 2＝1 000＋2 000－1 618＝1 382.试验结果，如果x 1的效果比x 2好，消去x 2＝1 382以下部分，则第三个试点x 3满足，x 3＝2 000＋1 382－1 618＝1 764.示意图如下：6．某化学反应，温度和反应时间会影响最终化合物的生成量，根据以往经验，定出其试验范围为温度：20 ℃～40 ℃；时间：20 min～100 min；请说明如何用纵横对折法安排试验．『解析』先把温度固定在试验区间中点30 ℃，对时间进行优选(优选方法可以是0.618法)，例如找到点为A1；然后把时间固定在试验区间中点60 min，对温度进行优选(优选方法可以是0.618法)，例如找到点为B1；比较A1和B1，如果好点为B1，丢弃不包括好点B1的平面区域．然后在新范围的温度的中点，对因素时间进行重新优选．类似这样做下去，直到找出满意的点．7．设有一优选问题，其因素范围为1 000～2 000，假设最优点在1 000处．(1)若用0.618法进行优选，写出第二、三、四试点的数值；(2)若第一试点取在1 950处，写出第二、三、四试点的数值．『解析』(1)由0.618法得第一试点为x1＝1 000＋0.618×(2 000－1 000)＝1 618处．由“加两头，减中间”法则得x2＝1 000＋2 000－1 618＝1 382.∵最优点在1 000处，∴x2优于x1，∴新的存优范围为『1 000,1 618』，∴x3＝1 000＋1 618－1 382＝1 236，同理新的存优范围为『1 000,1 382』，∴x4＝1 000＋1 382－1 236＝1 146.(2)∵x1＝1 950，∴x2＝1 000＋2 000－1 950＝1 050，∵最优点在1 000处，∴x2优于x1，∴新的存优范围为『1 000,1 950』．∴x3＝1 000＋1 950－1 050＝1 900.同理新的存优范围为『1 000,1 900』，∴x4＝1 000＋1 900－1 050＝1 850.8．已知某化学反应中较重要的因素有A—催化剂的量；因素B—溶剂的用量；因素C—反应时间．各因素取值如下表：『解析』∵有3个水平，∴在三水平正交表里选，选择正交表L9(34)，进行如下的表头设计和试验安排.。

课时规范练39《素养分级练》P319基础巩固组1.若图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则()A.k1<k2<k3B.k3<k1<k2C.k3<k2<k1D.k1<k3<k2答案:D解析:直线l1的倾斜角α1是钝角,故k1<0.直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角,且α2>α3,所以0<k3<k2,因此k1<k3<k2.2.(2023·福建厦门高三检测)已知直线l的倾斜角为60°,且经过点(0,1),则直线l的方程为()A.y=√3xB.y=√3x-2C.y=√3x+1D.y=√3x+3答案:C解析:由题意知,直线l的斜率为√3,则直线l的方程为y=√3x+1.3.(2023·湖南长沙一中高三月考)直线x sin α-y+1=0的倾斜角的取值范围为()A.0,π4B.π4,3π4C.0,π4∪π2,π D.0,π4∪3π4,π答案:D解析:设直线x sin α-y+1=0的倾斜角为θ,可得tan θ=sin α∈[-1,1].又θ∈[0,π),所以θ的取值范围为0,π4∪3π4,π.4.如果AB>0且BC<0,那么直线Ax+By+C=0不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:C解析:由AB>0且BC<0,可得A,B同号,B,C异号,所以A,C也是异号.令x=0,得y=-CB>0;令y=0,得x=-CA>0.所以直线Ax+By+C=0不经过第三象限.5.(2023·浙江宁波高三检测)已知直线ax+y-2+a=0在两坐标轴上的截距相等,则实数a=( ) A.1 B.-1 C.-2或1 D.2或1答案:D解析:当a=0时,直线y=2,此时不符合题意,应舍去;当a=2时,直线l :2x+y=0,在x 轴与y 轴上的截距均为0,符合题意;当a ≠0且a ≠2时,直线l :ax+y-2+a=0在x 轴上的截距为2-aa,在y 轴上的截距为2-a ,由2-aa=2-a ,解得a=1.故a 的值是2或1.6.已知直线l 与x 轴、y 轴所围成三角形的面积为14,则l 的方程可以是 . 答案:x+2y-1=0(答案不唯一)解析:若直线l 与x 轴、y 轴所围成三角形的面积为14,则只需满足直线l 在x 轴、y 轴上的截距之积的绝对值为12,则直线l 在x 轴、y 轴上的截距可以为1和12,则l :x+y12=1,即x+2y-1=0.7.若直线l :y=-(a+1)x+a-2不经过第二象限,则实数a 的取值范围为 . 答案:(-∞,-1]解析:因为直线不过第二象限,所以{-(a +1)≥0,a -2≤0,解得a ≤-1,所以实数a 的取值范围为(-∞,-1].8.直线l 经过点A (2,1),B (3,t 2)(-√2≤t ≤√2),则直线l 的倾斜角的取值范围是 . 答案:0,π4∪3π4,π解析:∵直线l 经过点A (2,1),B (3,t 2),∴k l =t 2-13-2=t 2-1.∵-√2≤t ≤√2,∴k l ∈[-1,1].设直线l 的倾斜角为θ,则tan θ∈[-1,1],得θ∈0,π4∪3π4,π.综合提升组9.P (x ,y )在线段AB 上运动,已知A (2,4),B (5,-2),则y+1x+1的取值范围是 . 答案: -16,53 解析:y+1x+1表示线段AB 上的点与C (-1,-1)连线的斜率,因为k AC =4-(-1)2-(-1)=53,k BC =-2-(-1)5-(-1)=-16, 所以由图可知y+1x+1的取值范围是-16,53.10.已知直线l :kx-y+1+2k=0(k ∈R ). (1)证明:直线l 过定点;(2)若直线l 不经过第四象限,求k 的取值范围;(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ,交y 轴正半轴于点B ,O 为坐标原点,设△AOB 的面积为S ,求S 的最小值及此时直线l 的方程.(1)证明:直线l 的方程可化为y=k (x+2)+1, 故无论k 取何值,直线l 总过定点(-2,1).(2)解:直线l 的方程可化为y=kx+2k+1,则直线l 在y 轴上的截距为2k+1,要使直线l 不经过第四象限,则{k ≥0,1+2k ≥0,解得k ≥0.故k 的取值范围是[0,+∞).(3)解:依题意,直线l 在x 轴上的截距为-1+2kk,在y 轴上的截距为1+2k ,且k>0,所以A -1+2kk,0,B (0,1+2k ),故S=12|OA||OB|=12×1+2k k ×(1+2k )=124k+1k +4≥12×(4+4)=4,当且仅当4k=1k 且k>0,即k=12时,等号成立.故S 的最小值为4,此时直线l 的方程为x-2y+4=0.创新应用组11.已知数列{a n }的通项公式为a n =1n (n+1)(n ∈N *),其前n 项和S n =910,则直线x n+1+y n=1与坐标轴所围成的三角形的面积为 . 答案:45解析:由a n =1n (n+1)可知a n =1n −1n+1,所以S n =1-12+12−13+13−14+…+1n−1n+1=1-1n+1.又S n =910,所以1-1n+1=910,所以n=9,所以直线方程为x10+y9=1,且与坐标轴的交点为(10,0)和(0,9),所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为12×10×9=45.。