高三数学选修4-7 优选法与试验设计初步(北师大版)最新多彩版_思维导图
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北师大版高中数学选修4-7：优选法与试验设计初步-双因素选优问题_课件1
例2 影响某化工产品产量的主要因素为温度和时间，其试验 范围为温度55~75℃，时间30~310min。要求利用优选法选 择合适的合成条件，以提高影响某化工产品的产量。
解：
（1）先固定温度为 65 ℃，用单因素优选 法优选时间。得最优 时间为150min，其收 率为41.6%。
（2）固定时间为150min，用单因素优选法优选温度。
附加材料2：华罗庚优选法成就酒业大王五粮液
比如我们估出每吨加入量在1克至1000克之间，这样我 们就可以借用黄金分割规律来简化试验次数，而不必从1克 到1000克做1000次试验，我们用一个有刻度的纸条来表示 1至1000克。在纸条上找到618(1000×0.618)克的地点画一 条竖线，做一次试验，然后把纸条对折起来，找到618的对 称点382(618×0.618)，再做一次试验，如果382克为最好， 则把618以外的纸条裁掉。然后再对折，找到382的对称点 236(382×0.618)做试验，这样循环往复，就可以找到最佳 的数值。
得最优温度为67℃，其收 率 为 51.6% 。 （ 去 掉 温 度 小 于65℃部分）
（3）先固定温度为67℃，对时间用 单因素优选法优选。得最优时间为 80min，其收率为56.9%。（去掉时 间大于150min）部分。
（4）再固定时间为80min， 再对温度进行优选。此时温 度优选范围为65~75℃。优 选结果还是67℃。
（4）比较P1和P2的大小。 如果P2大，去掉通过P1点的 直线所分开的不含P2点的部 分，即x(a+b)/2部分。
（5）在通过P2的垂线上找最大 值，设为P3。 （6）比较P2和P3的大小。
如果P3大，去掉通过P2点的直 线所分开的不含P3点的部分。
（7）继续做下去......直至找到 最佳点。
阅读材料华罗庚与优选法-北师大版选修4-7优选法与试验设计初步教案
阅读材料：华罗庚与优选法简介本篇阅读材料主要介绍了数学家华罗庚与他的著名发明——优选法。
通过对华罗庚生平和优选法的介绍，可以使读者对这一优秀的科学家和他的发明有一定的了解。
生平华罗庚，1910年出生于江苏南通，1929年毕业于南通中学，次年考入清华大学数学系，师从熊庆来。
考研究生后，华罗庚留校任教，一直从事数学教学和研究直到逝世。
他曾获得全国优秀教师、全国优秀工作者和首届中国数学奖等多项荣誉。
优选法优选法，是华罗庚在20世纪50年代提出的一种优化设计方法。
它的核心思想是：通过少量试验，尽可能地获取更多的信息，并根据这些信息进行合理的推断。
在实际应用中，优选法被广泛用于农业、制药、化工等领域的试验设计中。
以官方认证的北师大版选修4-7《优选法与试验设计初步教案》为例，下面是该教案中相关的内容：•优选法的三大优势：节省成本、节省时间、提高准确度。
•优选法的主要应用场景：不确定因素多、试验过程繁琐或受限制的情况。
•优选法的基本步骤：确定试验因素与水平、确定合适的样本数、按照试验设计进行实验、根据实验结果作出分析和结论。
通过上述内容的学习，可以帮助读者更好地理解和应用优选法。
同时，还可以增加对科学研究和技术应用的认识和理解，从而更好地服务于相关领域的发展和进步。
结语作为一位杰出的科学家，华罗庚不仅在数学领域有着卓越的贡献和成就，而且还在工程技术中贡献了不可磨灭的一笔。
他发明的优选法，在试验设计中发挥了重要作用，为各个领域的研究和应用提供了有力支持。
通过对华罗庚及其优选法的学习和认识，我们可以更好地发挥自身的学识和才智，贡献于社会的发展和进步之中。
湘教版高中数学选修4-7优选法与试验设计初步：连分数、和黄金分割的关系
连分数、 和黄金分割的关系
本节我们通过连分数来讨论
以及分数法
与黄金分割法的关系。
什么是“连分数”？先看一个实例。
一般是正整
数。仅当β时有理数时，β的连分数中有有限个分
数线。
下面我们来讨论一个十分漂亮十分有趣的连分 数。
这个无穷个分数线的连分数γ与我们讲的优选 法有密切关系。
因此，分数法与0.618法是有着相似的“折纸 条”式的操作过程，原来它们之间有着极限关系。
今天的学习到此结束，大家都学会了么？
谢谢
γ的渐进分数序列为： 事实上，
假设截止到上数第n-1条分数线得到的是 ， 则截止到第n条分数线如图所示：
γ=？，由于γ的分数线构造，可以看出 解得正根 由于γ大于0，所以只取正根。
至此我们得出连分数γ其实是［0，1］区间的 黄金分割点，而此连分数的结构以及它的渐进分数 列我们又发现 的极限即［0，1］的黄金分割 点，从而0.618法是分数法的极限情形。
本节我们通过连分数来讨论
以及分数法
与黄金分割法的关系。
什么是“连分数”？先看一个实例。
一般是正整
数。仅当β时有理数时，β的连分数中有有限个分
数线。
下面我们来讨论一个十分漂亮十分有趣的连分 数。
这个无穷个分数线的连分数γ与我们讲的优选 法有密切关系。
因此，分数法与0.618法是有着相似的“折纸 条”式的操作过程，原来它们之间有着极限关系。
今天的学习到此结束，大家都学会了么？
谢谢
γ的渐进分数序列为： 事实上，
假设截止到上数第n-1条分数线得到的是 ， 则截止到第n条分数线如图所示：
γ=？，由于γ的分数线构造，可以看出 解得正根 由于γ大于0，所以只取正根。
至此我们得出连分数γ其实是［0，1］区间的 黄金分割点，而此连分数的结构以及它的渐进分数 列我们又发现 的极限即［0，1］的黄金分割 点，从而0.618法是分数法的极限情形。
北师大版高中数学选修4-7优选法与试验设计初步：拉丁方
4、举例练习
拉丁方设计常被用于平衡实验安排的 时空顺序，也可被用于平衡机体变量 的影响。我们再以下面这个例子对拉 丁方做进一步说明。
练习
（1）问题模式：
• 为了研究生字密度对学生阅读理解的 影响，研究者同时考虑到试验时间和 不同班级可能对阅读理解具有明显影 响，为了将这两个因素的影响从变异 的残差项中分离出去，研究者采用了 拉丁方实验设计。
星期 A1 A2 A3 A4 一 星期 A2 A3 A4 A1 二 星期 A3 A4 A1 A2 三 星期 A4 A1 A2 A3 四
区组 A1 A2 A3 A4
星期 一
星期 二
星期 三 星期 四
日期 2~3 3~4 4~5 5~6 点 点 点点
星期 A1 A2 A3 A4 一
星期 A2 A3 A4 A1 二
②事先假设处理水平与无关变量水平间 没有交互作用。如果这个假设不能满足， 对实验中的一个或多个效应的检验可能有偏差
③随机分配处理水平给P2个方格单元 每个处理水平仅在每行每列中出现一次。 每个方格单元中分配一个或多个被试 因此总共需要的被试数量N=np2(n≥1)
拉 丁 方 实 验 设 计
随二 机、 区 组 实 验 设 计
拉丁方
• 首先我们来看一种设计模式，如下：
ABC D
T1, T1, T1, T1, T2, T2, T2, T2, T3, T3, T3, T3 T4, T4, T4 T4,
大家想 一下这 种设计 模式的 缺点
我们知道：这种设计模式引 起的结果的差异一部分可能 是由序列效应引起的，造成 我们无法对实验结果无法进
表1 四种实验处理的随机区组实验设计
区组 A1 A2 A3 A4
星期一
2.2三次试验分数法的试验设计-北师大版选修4-7优选法与试验设计初步教案
2.2 三次试验分数法的试验设计-北师大版选修4-7 优选法与试验设计初步教案1. 简介本文将介绍北师大版选修4-7教材中2.2节的内容，即三次试验分数法的试验设计。
该方法是在已知控制变量下，通过对每次试验的分数进行评估，优选实验条件的一种方法。
该方法的设计需要注意实验因素的选择、分值的设置、数据的分析等多个方面，下面将会进行一一介绍。
2. 实验过程2.1 实验要求在进行三次试验分数法的实验设计时，需要先明确实验的要求，确定实验的目的。
在本教材中，选修4-7将研究不同pH值下酵母菌的生长情况，目的是确定最适宜的pH值。
2.2 实验因素选择在确定实验要求之后，需要选择实验因素。
在本例中，实验因素为不同的pH 值。
需要注意的是，在进行实验因素选择时，尽可能选择有区别的因素，避免因素间干扰，保证实验的准确性。
2.3 分值的设置在分值设置时，需要考虑实验因素对实验结果的影响程度。
以本教材中的实验为例，设定三次试验的分值分别为3分、2分、1分，分值越高，说明该次实验结果对实验最终结果的影响越大。
2.4 数据的分析在三次试验分数法的实验设计中，数据的分析非常重要。
在进行数据分析时，需要注意以下几个问题：•求出实验结果的总分数，确定最终结果；•根据每个实验因素的得分比较不同因素对实验结果的影响；•根据分析结果对不同实验因素作出最终的评价。
3. 实验设计流程以本教材中的实验为例，三次试验分数法的实验设计流程如下：1.确定实验要求，明确实验目的；2.选择实验因素，尤其要注意因素之间的区别；3.设定各实验因素的分值，根据实验目的和实验计划合理分配；4.进行实验，记录实验数据并进行分数评测；5.汇总实验数据，进行数据分析；6.根据数据分析结果，确定最佳实验条件，并作出评价。
4. 总结三次试验分数法是一种广泛应用于实验设计中的方法，适用于有多个因素的实验，帮助研究者有效地确定最佳实验条件。
在进行三次试验分数法的实验设计中，需要注意实验要求、因素选择、分值设置、数据分析等多个方面，同时针对具体实验进行实施。
选考部分 选修4-7 优选法与试验设计初步
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THANK YOU!
7．解析：运用0.618法寻找最佳点时，随着试验次数的增加， 最佳点被限制在越来越小的范围内，但并不一定能完全确 定，故①错；运用分数法寻找最佳点时，通过n次试验能 保证从(Fn＋1－1)个试点中找到最佳点，故②正确；③明 显错误；盲人爬山法的效果快慢与起点的关系很大，起点 选得好可以省好多次试验，故④错． 答案：②
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[课时作业] 1．解析：依题意，结合对分法的意义得，第一次检查点离
A处500米，第二次检查点离A处250米或750米． 答案：250或750 2．解析：注意到106－85＝21，因此第一个试点应为85＋解析：为了便于用分数法求解，可在两端增设虚点，凑成 13
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例 3：解析：(1)用分数法进行优选，试验范围为[40,61]，将 试验范围等分为 21 份，分点为 41,42,43，…，59,60，从而 可知，第一个试点是 x1＝40＋1231×(61－40)＝53，或第一个 试点是 x1＝61＋1231×(40－61)＝48. (2)由分数法可得，x1＝10＋1231×(31－10)＝23，x2＝10＋31 －23＝18，又 x1 是好点，且 x1>x2，所以第 3 试点应选取的 值是 18＋31－23＝26. 答案：(1)53或48(只写出其中一个也正确) (2)26
5．解析：第一个试点为 0＋(80－0)×58＝50(mL)，或第一个 试点为 80＋(0－80)×58＝30(mL) 答案：50或30
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6．解析：由0.618法知，第一个试点是x1＝20＋(40－ 20)×0.618＝32.36，或者第一试点是x1＝40＋(20－ 40)×0.618＝27.64. 答案：32.36或27.64
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例 1：解：由基本初等函数的图象知： (1)y＝1x在[1,6]上是单调递减的，所以函数 y＝1x在[1,6]上是单峰函数． (2)y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1. ∵函数 y＝－x2＋4x－3 在[1,2]上是单调增加，在[2,6]上是单调减少， ∴函数 y＝－x2＋4x－3 在[1,6]上是单峰函数． (3)y＝sinx 在1，π2上是单调增加，在π2，6上单调性不确定． ∴y＝sinx 在[1,6]上不是单峰函数． (4)y＝ x在[1,6]上是单调增加的，所以 y＝ x在[1,6]上是单峰函数．
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7．解析：运用0.618法寻找最佳点时，随着试验次数的增加， 最佳点被限制在越来越小的范围内，但并不一定能完全确 定，故①错；运用分数法寻找最佳点时，通过n次试验能 保证从(Fn＋1－1)个试点中找到最佳点，故②正确；③明 显错误；盲人爬山法的效果快慢与起点的关系很大，起点 选得好可以省好多次试验，故④错． 答案：②
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[课时作业] 1．解析：依题意，结合对分法的意义得，第一次检查点离
A处500米，第二次检查点离A处250米或750米． 答案：250或750 2．解析：注意到106－85＝21，因此第一个试点应为85＋解析：为了便于用分数法求解，可在两端增设虚点，凑成 13
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例 3：解析：(1)用分数法进行优选，试验范围为[40,61]，将 试验范围等分为 21 份，分点为 41,42,43，…，59,60，从而 可知，第一个试点是 x1＝40＋1231×(61－40)＝53，或第一个 试点是 x1＝61＋1231×(40－61)＝48. (2)由分数法可得，x1＝10＋1231×(31－10)＝23，x2＝10＋31 －23＝18，又 x1 是好点，且 x1>x2，所以第 3 试点应选取的 值是 18＋31－23＝26. 答案：(1)53或48(只写出其中一个也正确) (2)26
5．解析：第一个试点为 0＋(80－0)×58＝50(mL)，或第一个 试点为 80＋(0－80)×58＝30(mL) 答案：50或30
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6．解析：由0.618法知，第一个试点是x1＝20＋(40－ 20)×0.618＝32.36，或者第一试点是x1＝40＋(20－ 40)×0.618＝27.64. 答案：32.36或27.64
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例 1：解：由基本初等函数的图象知： (1)y＝1x在[1,6]上是单调递减的，所以函数 y＝1x在[1,6]上是单峰函数． (2)y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1. ∵函数 y＝－x2＋4x－3 在[1,2]上是单调增加，在[2,6]上是单调减少， ∴函数 y＝－x2＋4x－3 在[1,6]上是单峰函数． (3)y＝sinx 在1，π2上是单调增加，在π2，6上单调性不确定． ∴y＝sinx 在[1,6]上不是单峰函数． (4)y＝ x在[1,6]上是单调增加的，所以 y＝ x在[1,6]上是单峰函数．
4.3正交表-北师大版选修4-7优选法与试验设计初步教案
4.3 正交表-北师大版选修4-7 优选法与试验设计初步教案1. 教学目标本教案的教学目标主要包括以下几个方面：•了解正交表的概念及应用；•掌握正交表的构建方法及选择原则；•掌握正交表在优选法中的应用；•能够利用正交表进行试验设计。
2. 教学内容及方法2.1 教学内容1.正交表的概念和应用；2.正交表的构建方法及选择原则；3.正交表在优选法中的应用；4.试验设计方法及设计实例。
2.2 教学方法本教案的教学方法主要包括：1.讲授法：介绍课程内容和知识点，引导学生形成系统的理论框架；2.互动式教学：通过问题、情景、案例分析等方式引导学生参与探究正交表和试验设计的内容；3.实践性教学：通过案例操作、试验设计和数据分析等方式加深对课程内容的理解和应用。
3.1 导入1.介绍本节课的主题和教学目标；2.引出“优选法”这一概念，让学生了解为什么需要优选法。
3.2 讲授1.介绍“正交表”的概念、作用、种类分类，让学生明确正交表在优选法中起到的作用。
2.讲解正交表的构建原理、方法和选择原则；3.讲解正交表在试验设计中的应用，引导学生掌握正交表在不同场合下的使用注意事项。
3.3 互动式教学1.以工程设计为例，分析正交表在其中的应用；2.引导学生运用正交表进行设计和分析。
3.4 练习与实践1.通过设计实例，让学生独立设计利用正交表的试验方案；2.培养学生数据处理能力，进行数据的统计和分析；3.结合实验结果让学生总结经验，进一步加深对课程内容的理解。
3.5 总结1.总结本节课的主要内容和知识点；2.回顾学生在本课程中所学到的重点和难点；3.引导学生思考如何将所学知识应用于实际问题。
4.1 评估方式1.课后作业：设计一组利用正交表的试验方案并按照试验方案进行实施，并汇总数据进行分析；2.期末考试：考察学生对课程知识的掌握和应用。
4.2 评价指标1.学生对正交表原理及构建方法的掌握程度；2.学生在优选法和试验设计方面的应用能力；3.学生对试验数据的处理和分析能力；4.学生对试验设计的完整实施程度。
课件2：优选法与实验设计初步
选修4－7 优选法与试验设计初步
栏目导引
那么在此试验中主要因素是( )
A．因素 A
B．因素 B
C．因素 C
D．不确定
解析： RA＝0.5，RB＝6.5，RC＝2.5. 所以 B 为主要因素，然后是 C，最后是 A.
答案： B
选修4－7 优选法与试验设计初步
栏目导引
练规范、练技能、练速度
完成上表，求使得试验结果最优(数值最大)的因 素给合，并找出影响试验结果的主要因素．
选修4－7 优选法与试验设计初步
栏目导引
解析： 由题意得下表：
k1q＝13K1q
61
58
53
k2q＝13K2q
53
57
58
k3q＝13K3q
54
57
60
Rq
8
1
7
从上表可以看出，影响结果最显著的是因素A，其次 是因素C，因素B的影响最小，最优组合为(A1，B1， C3)．
选修4－7 优选法与试验设计初步
栏目导引
(3)目标函数：表示目标与因素之间对应关系 的函数，叫目标函数，用f(x)表示，在实际问 题中，我们并不需要真正表达式．
(4)好点、差点及存优范围：设x1，x2是因素范 围[a，b]内的两个试点，C为最佳点，则两个 试点中_效__果__较__好_的点称为好点，_效__果__较__差___ 的点称为差点，当目标函数为单峰函数时，
2
3
A1 B3 C3
3
4
A2 B1 C2
3
5
A2 B2 C3
1
6
A2 B3 C1
2
实验 结果
45 53 61 55 57 48
选修4－7 优选法与试验设计初步