黑体辐射公式及基尔霍夫公式重新推导论证

实际原子的热辐射公式及爱因斯坦吸收系数确定彭国良福建省武夷山市环保局 ( 354300 )E-mail (*********************** )摘要：本文通过假定绝对黑体同一般物质一样由分子组成，称为黑体分子。

黑体分子满足在截面内所有频率的光子都被吸收，在截面外全部不吸收，也称为绝对黑体分子的吸收截面。

对所有频率的光子都相同，所有真实的物质原子的吸收截面都不大于黑体分子的吸收截面，黑体分子的吸收截面也是黑体分子的辐射截面，所有实际原子的辐射截面都相同，都与黑体分子的吸收截面相等。

在此基础上，根据基尔霍夫公式和普朗克公式可以推导出一个实际原子在各种温度下辐射热能谱的公式；根据原子中电子跃迁的几率与原子吸收相应光子的速率存在对应关系，可确定爱因斯坦吸收系数A ，吸收系数B 的函数关系。

本文还推导了在两个不同温度原子之间辐射与吸收光子的相应关系。

关键词：黑体辐射；活化光子吸收截面；辐射截面；爱因斯坦吸收系数。

1引言所有物体都能发射热辐射，而热辐射与光辐射一样，都是一定频率范围内的电磁波。

1859年【1】，基尔霍夫（G.R.Kirchhoff ）证明，黑体与热辐射达到平衡时，辐射能量密度),(T fu 随频率变化曲线的形状与位置只与黑体的绝对温度有关，而与空腔的形状及组成的物质无关。

1893年，维恩（W.Wien ）发现黑体辐射的位移律实验测得黑体辐射本领在不同温度下，随波长的变化规律。

根据维恩位移公式，可以确定黑体的辐射本领极大值所对应的频率f m 与黑体绝对温度成正比。

1900年10月19日，基尔霍夫的学生普朗克，在德国物理学会会议上提出了一个黑体辐射能量密度的分布公式。

但普朗克黑体辐射公式只能应用于黑体辐射情况，而不能对实际原子的热辐射情况进行预测，实际上，现代就没有各种物质原子的热能谱辐射公式。

原子能级之间的跳跃一般伴随着辐射的吸收和发射，这是原子体系与辐射场相互作用的结果。

爱因斯坦在1917年提出的辐射的发射和吸收理论，他用清晰的物理概念简洁地给出了受激发射与自发发射，吸收系数三者之关系，即著名的A 、B 系数；并推导出A 、B 系数之间的关系,但爱因斯坦没能给出A 、B 系数单独存在的物理函数关系;本文将推导和阐明A 、B 系数单独存在的物理公式及其物理意义。

基尔霍夫热辐射定律基尔霍夫热辐射定律（Kirchhoff热辐射定律），德国物理学家古斯塔夫·基尔霍夫于1859年提出的传热学定律，它用于描述物体的发射率与吸收比之间的关系。

简介一般研究辐射时采用的黑体模型由于其吸收比等于1（α=1），而实际物体的吸收比则小于1（1>α>0）。

基尔霍夫热辐射定律则给出了实际物体的辐射出射度与吸收比之间的关系。

•M为实际物体的辐射出射度，M b为相同温度下黑体的辐射出射度。

而发射率ε的定义即为所以有ε=α。

所以，在热平衡条件下，物体对热辐射的吸收比恒等于同温度下的发射率。

而对于漫灰体，无论是否处在热平衡下，物体对热辐射的吸收比都恒等于同温度下的发射率。

不同层次的表达式对于定向的光谱，其基尔霍夫热辐射定律表达式为对于半球空间的光谱，其基尔霍夫热辐射定律表达式为对于全波段的半球空间，其基尔霍夫热辐射定律表达式为•θ为纬度角，φ为经度角，λ为光谱的波长，T为温度。

参考文献•杨世铭，陶文铨。

《传热学》。

北京：高等教育出版社，2006年：356-379。

•王以铭。

《量和单位规范用法辞典》。

上海：上海辞书出版社普朗克黑体辐射定律普朗克定律描述的黑体辐射在不同温度下的频谱物理学中，普朗克黑体辐射定律（也简称作普朗克定律或黑体辐射定律）（英文：Planck's law, Blackbody radiation law）是用于描述在任意温度T下，从一个黑体中发射的电磁辐射的辐射率与电磁辐射的频率的关系公式。

这里辐射率是频率的函数[1]：这个函数在hv=2.82kT时达到峰值[2]。

如果写成波长的函数，在单位立体角内的辐射率为[3]注意这两个函数具有不同的单位：第一个函数是描述单位频率间隔内的辐射率，而第二个则是单位波长间隔内的辐射率。

因而和并不等价。

它们之间存在有如下关系：通过单位频率间隔和单位波长间隔之间的关系，这两个函数可以相互转换：电磁波波长和频率的关系为[4]普朗克定律有时写做能量密度频谱的形式[5]：这是指单位频率在单位体积内的能量，单位是焦耳／（立方米·赫兹）。

欢迎阅读普朗克黑体辐射公式的推导所谓的黑体是指能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。

黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。

辐射热平衡状态:处于某一温度T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。

实验发现：热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度T 有关而与黑体的形状和材料无关。

实验得到： 1.Wien 公式从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式：Wien 公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。

2. Rayleigh-Jeans 公式Rayleigh-Jeans 公式在低频区和实验相符，但是在高频区公式与实验不符，并且∞→=⎰∞v v d E E ，既单位体积的能量发散，而实验测得的黑体辐射的能量密度是4T E σ=，该式叫做Stefan-Bolzmann 公式，σ叫做Stefan-Bolzmann 常数。

3. Planck 黑体辐射定律1900年１２月１４日Planck 提出如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。

作为辐射原子的模型，Planck 假定：（1）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率v 振荡；（2）黑体只能以E=hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。

得到：νννπνρνd kT h C h d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1)/exp(1833该式称为Planck 辐射定律 h 为普朗克常数，h=s j .10626.634-⨯4，普朗克的推导过程：把空窖内的电磁波分解为各个频率的简振振动，简振模的形式最后为).(),(wt r K i k k e C t r -=αβψ，为常系数振方向，表示两个互相垂直的偏ααk C 2,1=每一个简振模在力学上等价于一个自由度，记频率在()νννd +,内的自由度数为()ννd g ， 则（0，v ）范围内的总自由度数G(v)与g(v)的关系为()()ννννd g G ⎰=0。

普朗克和瑞利-金斯黑体辐射公式的推导1 引言马克斯·普朗克于1900年建立了黑体辐射定律的公式，并于1901年发表。

其目的是改进由威廉·维恩提出的维恩近似（至于描述黑体辐射的另一公式：由瑞利勋爵和金斯爵士提出的瑞利-金斯定律，其建立时间要稍晚于普朗克定律。

由此可见瑞利-金斯公式所导致的“紫外灾难”并不是普朗克建立黑体辐射定律的动机）。

维恩近似在短波范围内和实验数据相当符合，但在长波范围内偏差较大；而瑞利-金斯公式则正好相反。

普朗克得到的公式则在全波段范围内都和实验结果符合得相当好。

在推导过程中，普朗克考虑将电磁场的能量按照物质中带电振子的不同振动模式分布。

得到普朗克公式的前提假设是这些振子的能量只能取某些基本能量单位的整数倍，这些基本能量单位只与电磁波的频率有关，并且和频率成正比。

这即是普朗克的能量量子化假说，这一假说的提出比爱因斯坦为解释光电效应而提出的光子概念还要至少早五年。

然而普朗克并没有像爱因斯坦那样假设电磁波本身即是具有分立能量的量子化的波束，他认为这种量子化只不过是对于处在封闭区域所形成的腔（也就是构成物质的原子）内的微小振子而言的，用半经典的语言来说就是束缚态必然导出量子化。

普朗克没能为这一量子化假设给出更多的物理解释，他只是相信这是一种数学上的推导手段，从而能够使理论和经验上的实验数据在全波段范围内符合。

不过最终普朗克的量子化假说和爱因斯坦的光子假说都成为了量子力学的基石。

2 公式推导2.1 普朗克公式和瑞利-金斯公式的推导黑体是指在任何温度下,对于各种波长的电磁辐射的吸收系数恒等于1的物体。

黑体辐射的能量是由电磁场的本征振动引起的，为简化推导过程，在此将黑体简化为边长为L 的正方形谐振腔。

则腔内的电磁场满足亥姆霍兹方程： 2222u+k u 0 (k )ωμε∇== （1） 用分离变量法，令u(x,y,z)X(x)Y(y)Z(z)=则（1）式可分解为三个方程：222222222000x y z d X k X dx d Y k Y dyd Z k Z dz⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 其中2222x y zk k k ωμε++= 得（1）式的驻波解为：112233(,,)(cos sin )(cos sin )(cos sin )x x y y z z u x y z c k x d k x c k y d k y c k z d k z =+++由在x=0,x=L,y=0,y=L,z=0,z=L 上的边界条件0n E n∂=∂及0D E ⋅=可得：123cos sin sin sin cos sin sin sin cos x x y z y x y z z x y z E A k x k y k z E A k x k y k zE A k x k y k z⎧=⎪=⎨⎪=⎩ x x k n L π=，y y k n L π=，z z k n L π= ,,0,1,2,x y z n n n= （其中1A ,2A ,3A 满足关系1230x y z k A k A k A ++=）则j k （j 表示第j 个本征态）的绝对值为： 2222222()()()j x y z j k n n n n L Lππ=++= 换成第j 个本征态的频率得：222()2j j c n Lν= 当j L λ>>时，j λ和j ν可视为连续变化，不必取分立值，即有： 222()2c n Lν= （2） （2）式表明在整数n 空间一组整数,,x y z n n n 即对应一个本征模的频率。

黑体辐射公式(普朗克公式):推导普朗克黑体辐射公式设黑体腔内是稳定的驻波场,是具有不同频率、不同传播方向的驻波系统.在腔壁上电场形成波节,磁场形成波腹.每一驻波代表一种振动模式. 以长方形腔为例.腔内某一驻波的波矢为:产生驻波的条件为: 其中因此，谐振腔中可以存在的波矢为:因此有一组 对应一种模式.不同的频率应有不同的模式,相同的频率,因k 方向不同,也会有不同的模式. 一组 对应一个波矢,对应波矢三维空间中的一个点.波矢三维空间中的一任意点,其坐标为 注意:驻波波矢有限制.不同的 形成三维空间点阵, 8个格点形成一个长方体元, 每个格点又属于8个长方体元因此,每一格点对应一个长方体元, 有n 个格点， 对应n 个长方体元, 就有n 个振动模式.频率从 0～ν 范围内, 有多少个振动模式? 由 可知，允许存在的波矢数等于在波矢空间内半径为2πν/c 的球体内可以存在的体元数。

因m 1、m 2、m 3为正整数，故对应1/8球体内的体元数： 3221(,).1h kTh r T ce νπνν=⋅-2222,x y z k k k k =++2cos ,x k παλ=2cos ,y k πβλ=2cos ,zk πγλ=123,,0,1,2,m m m =112cos ,L m αλ=222cos ,L m βλ=332cos .L m γλ=11,x k m L π=22,y k m L π=33.z k m L π=222,/k c c πππνλν===22222312123()()()m m m k L L L π⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦222312123()()().22m mm c c k L L L νπ==++1,2,3m m m 1,2,3m m m 123123(,,)m m m L L L πππ1,2,3m m m 222222()x y z k k k k cπν==++43331424(),833V c cπνπνπ=⋅=⋅球体元的体积:其中，V =L 1L 2L 3为谐振腔的体积 体元数:考虑到两个偏振态:将上式两边除以V 并对ν 微分,得单位体积频率在ν～ d ν 范围内的本征模数. 普朗克认为,黑体腔器壁是不同频率的线性谐振子,由能量子假说,这些谐振子取分立的值,按照玻耳兹曼定理,具有能量 的振动几率有如下关系所以,平均能量为壁上振子分布应与驻波分布相同,因此单位体积内频率范围在 ν ~ d ν 内的能量密度为黑体单色辐出度为二 证明关系式热辐射以光速c 向各个方向辐射，因此，在任意一方向上的立体角d Ω内，频率为ν的辐出度为在小孔外２π立体角空间内总辐射能量为 3123.V L L L Vππππ=⋅⋅=元334,3V V V c πν=⋅球元338.3N V cνπν=⋅238,dn d cπνν=0,hεν=0,m εε=0000,,2,3εεε230001:::kTkTkTeeeενενεν---0000000.11m kTm kT m h kTkTm m eh ee eεεενεενε--∞=∞====--∑∑3381().1h kTh d ceνπνρνν=⋅-30221(,)(,).41h kTc h r T T c eνπννρν==⋅-22001(,)(,)cos sin (,)44cr T c T d d T ππνρνθθθφρνπ==⎰⎰0(,)(,).4r T T νρν=0(,)(,)cos ,4cdr T T d νρνθπ=Ω。

黑体辐射定律的基本理论及公式推导1.引言所谓黑体，就是对什么光都吸收而无反射也无透射的物体。

黑体在现实中是不存在的，就像质点，刚体，电偶极子等物理概念一样是一个理想化的物理模型。

物理上可以用如图1所示的装置来模拟黑体。

耐火材料做成的物体内部挖空一部分区域，并且在物体一个面开一个非常的小孔，一旦光线射进小孔后，在空腔内壁经过多次吸收和反射，几乎完全被吸收掉，再跑出小孔的几率特别小，因此可以把空腔的小孔视为黑体的表面。

定义吸收本领(,)v T 为在频率附近，单位频率间隔内被物体吸收的辐射通量与照射在该物体上的辐射通量之比，则黑体的吸收本领(,)1v T 。

由于任何一个物体，当它的温度恒定时，它辐射的电磁波和吸收的电磁波达到平衡。

定义物体的辐射本领(,)R v T 为一个温度T 下物体单位表面积在单位时间内发射、频率在vv dv 内单位频率间隔的辐射能。

波长表示辐射本领R(λ,T)和频率表示的辐射本领(,)R v T 之间的关系为2(,)(,)/R T cR v T ,物体的辐射本领(,)R v T 和吸收本领(,)v T 及辐射场的谱能量密度之比为一普适常数，即1859年提出的基尔霍夫定律。

图 1-1 黑体的模拟(,)(,)(,)4R v T c Fv T v T （1-1）上式中c 为真空中的光速，该常数F 被证明等于(,)/4c v T 。

对黑体而言有(,)1v T ，黑体的辐射本领0(,)R v T 为0(,)(,)/4R v T Fc v T （1-2）（1-2）式意味着黑体的辐射本领(,)R v T 就等于基尔霍夫定律里面的普适常量。

因此黑体辐射的研究对于任何物体的热辐射规律具有重大的意义，其物理价值是不言而喻的。

2 普朗克黑体辐射定律公式及其推导2.1 普朗克公式普朗克假说：黑体是由带电的线性谐振子所组成，这些谐振子能量不能连续变化，只能取一些分立的值，这些分立值是最小能量的整数倍，即000,,2,3,,n，称为谐振子的能级。

普朗克黑体辐射公式的详细推导普朗克假设黑体辐射是由一系列离散的微观振动体产生的，这些振动体能够吸收和释放以能量量子(hf)为单位的能量。

当这些振动体处于平衡状态时，设振动体的能量分布函数为Ψ(ε)，其中ε表示振动体的能量。

考虑单位体积和单位能量范围内的振动体数目，记为N(ε)dε，其中N表示单位体积内振动体的总数。

根据统计力学的理论，N(ε)dε可表达为波尔兹曼分布，即：N(ε)dε = g(ε)exp(-ε/kBT)dε其中，g(ε)表示在特定能量范围内的能量态的数目，exp(-ε/kBT)是由玻尔兹曼因子得到，k是玻尔兹曼常数，T是温度。

由于辐射的能量不连续，因此，可以将单位体积和单位频率范围内的振动体数目表示为N(v)dv，其中v表示频率，dv表示频率范围。

考虑到能量和频率之间的关系，有ε = hv，其中h是普朗克常数。

根据可加性和幂次原理，能量态的数目g(ε)应满足：g(ε)dε=4π(2m/h^2)^(3/2)ε^(1/2)dε其中，m是振动体的质量。

将ε和dε用v和dv表示，并对能量态的数目函数进行简化得到：g(v)dv = (8πv^2/c^3)dv其中，c是光速。

由于单位体积和单位能量范围内的振动体数目与单位体积和单位频率范围内的振动体数目之间有关系：N(ε)dε = N(v)dv将上述得出的g(ε)和g(v)带入上式，并整理可得：N(v) = (8πv^2/c^3)exp(-hv/kBT)dv可以将上式转化为单位面积、单位时间、单位频率范围内的能量密度u(v)：u(v) = N(v)hv代入上式并进行整理，得到：u(v) = (8πhv^3/c^3)exp(-hv/kBT)dv利用频率和波长的关系，即v=c/λ，可以将上式转化为以波长表示的能量密度：u(λ) = (8πhc/λ^5)exp(-hc/λkBT)dλ这就是普朗克黑体辐射公式的最终形式。

通过对普朗克黑体辐射公式的推导，我们可以看出，普朗克假设了黑体辐射的能量是以能量量子为单位的离散量，这个假设是量子力学发展的重要先导。

黑体辐射公式普朗克辐射定律(Planck)则给出了黑体辐射的具体谱分布，在一定温度下，单位面积的黑体在单位时间、单位立体角内和单位波长间隔内辐射出的能量为B(λ，T)=2hc2 /λ5 ·1/exp(hc/λRT)-1B(λ，T)—黑体的光谱辐射亮度(W，m-2 ，Sr-1 ，μm-1 )λ—辐射波长(μm)T—黑体绝对温度(K、T=t+273k)C—光速(2.998×108 m·s-1 )h—普朗克常数，6.626×10-34 J·SK—波尔兹曼常数(Bolfzmann)，1.380×10-23 J·K-1 基本物理常数由图2.2可以看出：①在一定温度下，黑体的谱辐射亮度存在一个极值，这个极值的位置与温度有关，这就是维恩位移定律(Wien)λm T=2.898×103 (μm·K)λm —最大黑体谱辐射亮度处的波长(μm)T—黑体的绝对温度(K)根据维恩定律，我们可以估算，当T～6000K时，λm ～0.48μm(绿色)。

这就是太阳辐射中大致的最大谱辐射亮度处。

当T～300K，λm～9.6μm，这就是地球物体辐射中大致最大谱辐射亮度处。

②在任一波长处,高温黑体的谱辐射亮度绝对大于低温黑体的谱辐射亮度，不论这个波长是否是光谱最大辐射亮度处。

如果把B(λ，T)对所有的波长积分，同时也对各个辐射方向积分，那么可得到斯特番—波耳兹曼定律(Stefan-Boltzmann)，绝对温度为T的黑体单位面积在单位时间内向空间各方向辐射出的总能量为B(T)B(T)=δT4 (W·m-2 )δ为Stefan-Boltzmann常数, 等于5.67×10-8 W·m-2 ·K-4但现实世界不存在这种理想的黑体，那么用什么来刻画这种差异呢?对任一波长，定义发射率为该波长的一个微小波长间隔内，真实物体的辐射能量与同温下的黑体的辐射能量之比。

黑体辐射基尔霍夫定律
黑体辐射与基尔霍夫定律：探索热辐射的奥秘
热辐射，是物体由于具有温度而辐射电磁波的现象。

为了更好地研究这一现象，物理学家们定义了一种理想物体——黑体，作为热辐射研究的标准物体。

而基尔霍夫辐射定律，正是描述黑体辐射特性的关键理论。

基尔霍夫辐射定律指出，在热平衡状态下，任何物体所辐射的能量与吸收的能量之比与物体本身物性无关，只与波长和温度有关。

这一规律揭示了热辐射的一个重要特性：物体的辐射能力与其温度的四次方成正比。

这意味着随着温度的升高，物体的辐射能力会显著增强。

黑体作为一种理想化的物体，具有特殊的热辐射性质。

在相同温度下，黑体的辐射能力最强，吸收能力也最强。

这意味着黑体可以发射出更多的能量，并且能更有效地吸收外来能量，从而维持其温度稳定。

这种特性使得黑体在许多领域，如能源、环保和航天工程中具有广泛应用。

此外，基尔霍夫辐射定律还指出，黑体的光谱辐射亮度与波长的关系遵循普朗克公式。

这意味着在一定温度下，黑体的光谱辐射亮度在某些波长下达到峰值。

这一特性对于理解和控制热辐射过程具有重要意义。

总之，黑体辐射与基尔霍夫定律为我们揭示了热辐射的奥秘。

通过深入研究黑体的
热辐射特性，我们可以更好地理解热辐射现象，探索其在各个领域的应用前景。

黑体辐射公式及基尔霍夫公式重新推导论证黑体是一个理想化的物体，能够完全吸收、辐射所有波长的电磁波，且不进行任何反射和透射。

黑体辐射的能量分布与其温度有关，即黑体辐射的频谱强度与黑体温度成正比。

设黑体内处于热平衡状态，其内部每个模式满足玻尔兹曼分布。

我们每单位体积内的模式数目为g(ω)dω，其中g(ω)是频率为ω的模的数目。

根据统计力学理论，每个模式的能量E等于kT(h为普朗克常数)乘以相应的玻尔兹曼因子。

于是我们可以写出单位体积下的总能量分布为：u(ω)dω = g(ω)E(ω)exp(-E(ω)/kT)其中u(ω)是单位体积内频率处在(ω,ω+dω)的能量。

假设我们要求单位面积、单位时间辐射出的能量，以频率在(ω,ω+dω)之间的光子数为n(ω)。

则辐射出的能量为每个光子的能量乘以光子数之和，即为：dE=n(ω)hω=u(ω)dω×V其中V是体积。

利用维恩位移定律，我们可以得到，单位能量辐射出的光子数为：n(ω) = g(ω)exp(-E(ω)/kT)代入前式可得：dE = u(ω)dω × V = g(ω)E(ω)exp(-E(ω)/kT) × dω × V于是，总能量可以通过积分得到：E(T) = ∫[0,+∞] u(ω)dω = ∫[0,+∞]g(ω)E(ω)exp(-E(ω)/kT) × dω × V进一步简化可得:E(T) = ∫[0,+∞] g(ω) × (hω/ [exp(hω/kT) - 1])dω × V这就是黑体辐射公式（普朗克公式），它给出了黑体辐射的频率分布与温度之间的关系。

基尔霍夫电流定律（基尔霍夫第一定律）的推导：基尔霍夫电流定律是基尔霍夫电路定律的一部分，用于描述电流在一个电路中的守恒性。

假设我们有一个电路，其中有n个节点和m个分支，假设节点i的电流为Ii（i=1,2,...,n），分支j的电流为Ij（j=1,2,...,m）。

普朗克黑体辐射公式的推导所谓的黑体是指能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。

黑体辐射:由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射.辐射热平衡状态: 处于某一温度 T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态. 实验发现:热平衡时,空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度 T 有关而与黑体的形状和材料无关。

实验得到:1。

Wien 公式从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式：ννννρνd T C C d )/ex p(231-=Wien 公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。

2. Rayleigh-Jeans 公式ννπνρνd kT Cd Jeans Rayleigh 238=-公式 Rayleigh-Jeans 公式在低频区和实验相符，但是在高频区公式与实验不符,并且∞→=⎰∞v v d E E ，既单位体积的能量发散，而实验测得的黑体辐射的能量密度是4T E σ=，该式叫做Stefan —Bolzmann 公式,σ叫做Stefan —Bolzmann 常数。

3. Planck 黑体辐射定律1900年１２月１４日Planck 提出如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。

作为辐射原子的模型,Planck 假定： （1）原子的性能和谐振子一样,以给定的频率 v 振荡；（2）黑体只能以 E = hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量,而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。

得到：νννπνρνd kT h C h d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1)/exp(1833该式称为Planck 辐射定律h 为普朗克常数,h=s j .10626.634-⨯4，普朗克的推导过程：把空窖内的电磁波分解为各个频率的简振振动，简振模的形式最后为).(),(wt r K i k k e C t r -=αβψ,为常系数振方向，表示两个互相垂直的偏ααk C 2,1=每一个简振模在力学上等价于一个自由度,记频率在()νννd +,内的自由度数为()ννd g ， 则（0，v ）范围内的总自由度数G （v ）与g(v)的关系为()()ννννd g G ⎰=0.借助几何方法求出()3338νπνc V G =，取微分得()ννπννd cV d g 238= 令E 代表体积为V 的空窖内热平衡辐射的总内能，()ννd T u ,代表单位体积,频率间隔在()νννd +,内的能量，于是()ννεννd g d T u V E⎰⎰∞∞==0~0)(,，的振子的平均能量代表频率为νε,()()ννπνννd c g V d g 23~81=≡代表单位体积内频率间隔在()νννd +,内的振动自由度数。

黑体辐射公式的推导黑体辐射公式是描述黑体辐射能谱的公式。

在19世纪末，许多科学家通过实验和理论推导，发现了黑体辐射的规律，并试图找到一个能够描述这种规律的公式。

其中最著名的是德国物理学家马克斯·波恩斯坦在1901年提出的黑体辐射公式，也称为普朗克公式。

下面我们将对黑体辐射公式进行详细的推导。

首先，我们假设黑体是一个能够完全吸收所有入射辐射的理想物体。

根据热力学的基本原理，我们知道一个处于热平衡的物体，其辐射能谱必须是连续的，即在一个特定的频率范围内的辐射能量密度是连续变化的。

为了推导黑体辐射公式，我们可以考虑在一个封闭的均匀立方体空腔内的辐射。

这个空腔内充满了电磁波，电磁波的频率和波长范围是非常广泛的。

我们设空腔内辐射能量的密度为u(ν)，其中ν为频率。

由热力学的基本原理可知，黑体辐射能谱与温度有关。

我们设空腔的温度为T。

为了推导辐射能谱，波尔兹曼首先假设在频率范围ν到ν+Δν内，吸收或发射能量的电磁场模式数为g(ν)。

这里g(ν)即为单位频率范围内模式的数目。

根据经典电动力学理论，一个频率为ν的电磁波模式的能量为hν，其中h为普朗克常量。

因此，在一个频率范围ν到ν+Δν内，单位体积内的辐射能量为u(ν)g(ν)hν。

我们知道，电磁波的能量等于单位体积内辐射能量的密度乘以体积，即能量密度等于单位体积内辐射能量密度与单位体积的乘积。

因此，单位体积内的辐射能量可以写为u(ν)g(ν)hνV，其中V为空腔的体积。

下一步，我们考虑对g(ν)在ν到ν+Δν范围内进行积分，即对频率范围内的所有模式进行求和。

这样，我们可以得到单位体积内所有频率的辐射能量之和。

为了推导辐射能谱，我们将这个求和作为对频率的积分。

经过数学变换和近似处理，我们得到：U(ν) = u(ν)hν = \(\fra c{8πh}{c^3}\)\(\frac{ν^3}{e^{\(\frac{hν}{kT}\)} - 1}\)其中c为光速，k为玻尔兹曼常量。

普朗克黑体辐射公式的详细推导辐射是物体由于内部热运动而产生的电磁波。

普朗克假设黑体辐射是由许多振动的谐振子（即电磁振子）组成的，每个谐振子只能具有离散能量值。

普朗克假设这些能量是量子化的，即能量E只能取整数倍的基本能量hν，其中ν为辐射频率。

设一个振子的能量为E，频率为ν，则E=hν。

普朗克认为振子的能量只能取整数倍的基本能量hν，因此振子的能量只能是离散的。

假设在单位时间内，频率在ν到ν+dν范围内，能量在E到E+dE范围内的谐振子数为n(E,ν)。

则单位体积内频率在ν到ν+dν范围内，能量在E到E+dE范围内的谐振子数为：n(E,ν)dEdν为了求解n(E,ν)，我们需要引入玻尔兹曼分布和玻尔兹曼常数k。

在热平衡状态下，系统中具有能量E的状况数（即相同的谐振子数）为：W(E)=n(E,ν)*e^(-E/kT)其中，T为系统的温度，n(E,ν)为单位体积内频率在ν到ν+dν范围内，能量在E到E+dE范围内的谐振子数。

根据统计物理学的理论，系统的熵S与状况数W的关系为：dS = k * ln W(E)将W(E)代入上式并对E求微分，我们可以得到：dS = k * [ d(n(E,ν)) - (E/kT) * dn(E,ν) ]根据熵的最大化原理，熵是关于能量的单调递增函数，即dS>=0，即有：d(n(E,ν)) - (E/kT) * dn(E,ν) >= 0 （式1）我们将式1两边对E积分，可得：∫(d(n(E,ν)) - (E/kT) * dn(E,ν)) = ∫0到E dn(E,ν) （式2）其中，积分区间为0到E。

对式2进行变换，得到：n(E,ν) - (∫0到E (E/kT) * dn(E,ν)) = ∫0到E dn(E,ν)整理后，我们可以得到：n(E,ν)=[∫0到E(1/e^(E/kT))]*n(E,ν)令x=E/(kT)，则式子变为：n(E,ν)=[∫0到x(1/e^x)]*n(E,ν)通过计算可知，上式的积分结果为：∫0到x(1/e^x)=1-(1+x)e^(-x)将该结果代入n(E,ν)的表达式中，我们可以得到：n(E,ν)=(1-(1+x)e^(-x))*n(E,ν)（式3）进一步简化，我们可以得到：n(E,ν)=(1-(1+E/(kT))e^(-E/(kT)))*n(E,ν)（式4）根据统计物理学的经验公式，单位体积频率为ν到ν+dν范围内，能量为E到E+dE范围内的谐振子数n(E,ν)与能量E的关系为：n(E,ν)=C*E^3*1/(e^(E/(kT))-1)（式5）其中，C为常数。

基尔霍夫定律、热辐射定律和绝对黑体的概念一直是热力学和热辐射领域的重要组成部分。

从简单到复杂，从浅入深地探讨这些概念，有助于我们更深入地理解热辐射现象的本质。

在本文中，我将结合基尔霍夫定律、热辐射定律和绝对黑体的概念，探讨它们在热力学和热辐射领域的应用，并共享我的个人观点和理解。

一、基尔霍夫定律基尔霍夫定律是指在任何特定的温度下，黑体对热辐射的辐射率是与其吸收率相等的定律。

这意味着一个黑体对热辐射的吸收与发射是平衡的，不会有多余的热量被吸收或者被辐射出去。

这个定律的提出，为我们理解热辐射的平衡提供了重要的理论基础。

在实际应用中，基尔霍夫定律被广泛用于热辐射能量的计算和热辐射物体的性质分析。

在太阳能利用领域，我们可以利用基尔霍夫定律来计算太阳辐射能够被光伏电池吸收的比例，从而评估太阳能电池的效率。

二、热辐射定律热辐射定律是描述热辐射能量密度与波长、温度之间关系的定律。

根据热辐射定律，我们可以得到黑体辐射能谱的表达式，即普朗克辐射定律和维恩位移定律。

这些定律为我们研究热辐射能谱提供了重要的理论支持。

在科学研究和工程应用中，热辐射定律被广泛用于光谱分析、热辐射源的特性分析以及光谱技术的应用等方面。

在红外光谱仪的设计中，我们可以根据热辐射定律来选择合适的波长范围和温度条件，以提高红外光谱仪的灵敏度和分辨率。

三、绝对黑体绝对黑体是指完全吸收所有辐射能量的物体，不产生反射和透射，并且以辐射的方式发射热能的理想物体。

绝对黑体是热辐射研究中的重要模型，它在热力学和量子力学的发展中发挥了重要作用。

绝对黑体的概念对我们理解热辐射的本质和研究热辐射现象具有重要意义。

在实际应用中，绝对黑体被广泛用于光谱辐射标定、辐射热测温和光谱辐射计量等领域。

在辐射热测温技术中，我们可以利用绝对黑体作为标定源，来确保测温设备的测量精度和准确性。

结语通过对基尔霍夫定律、热辐射定律和绝对黑体的探讨，我们可以更深入地理解热辐射现象的本质和规律。

普朗克黑体辐射公式的推导所谓的黑体是指能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。

黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。

辐射热平衡状态:处于某一温度T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。

实验发现：热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度T 有关而与黑体的形状和材料无关。

实验得到： 1.Wien 公式从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式：Wien 公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。

2. Rayleigh-Jeans 公式Rayleigh-Jeans 公式在低频区和实验相符，但是在高频区公式与实验不符，并且∞→=⎰∞v v d E E ，既单位体积的能量发散，而实验测得的黑体辐射的能量密度是4T E σ=，该式叫做Stefan-Bolzmann 公式，σ叫做Stefan-Bolzmann 常数。

3. Planck 黑体辐射定律1900年１２月１４日Planck 提出如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。

作为辐射原子的模型，Planck 假定：（1）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率v 振荡； （2）黑体只能以E=hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。

得到：νννπνρνd kT h C h d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1)/exp(1833该式称为Planck 辐射定律 h 为普朗克常数，h=s j .10626.634-⨯4，普朗克的推导过程：把空窖内的电磁波分解为各个频率的简振振动，简振模的形式最后为).(),(wt r K i k k e C t r -=αβψ，为常系数振方向，表示两个互相垂直的偏ααk C 2,1=每一个简振模在力学上等价于一个自由度，记频率在()νννd +,内的自由度数为()ννd g ，则（0，v ）范围内的总自由度数G(v)与g(v)的关系为()()ννννd g G ⎰=0。

热辐射四定律公式普朗克定律、维恩位移定律,stefan-
boltzmann定律和基尔霍夫定律
热辐射四定律公式是描述热辐射现象的基本规律。

它们分别是普朗克定律、维恩位移定律、斯特凡-玻尔兹曼定律和基尔霍夫定律。

1. 普朗克定律：普朗克定律描述了黑体辐射的功率谱密度与辐射频率的关系。

它可以表达为：
B(ν, T) = (2hν^3 / c^2) / (e^(hν / kT) - 1)
其中，B(ν, T)表示在给定频率ν和温度T下每单位频率范围内的辐射功率密度，h为普朗克常数，c为光速，k为玻尔兹曼常数。

2. 维恩位移定律：维恩位移定律描述了黑体辐射峰值波长与温度的关系。

它可以表达为：
λ_max = b / T
其中，λ_max表示黑体辐射的峰值波长，T为温度，b为维恩位移常数。

3. 斯特凡-玻尔兹曼定律：斯特凡-玻尔兹曼定律描述了黑体辐射的总功率与温度之间的关系。

它可以表达为：
P = σT^4
其中，P为黑体辐射的总功率，T为温度，σ为斯特凡-玻尔兹曼常数。

4. 基尔霍夫定律：基尔霍夫定律描述了任何物体对于任何波长的辐射在吸收和辐射之间的平衡关系。

它可以表达为：
εA = εA' = ε
其中，εA表示物体A的吸收率，εA'表示物体A的辐射率，ε表示物体A与B之间的辐射率。

黑体普朗克公式推导1． 空腔内的光波模式数在一个由边界限制的空间V 内，只能存在一系列独立的具有特定波矢k 的平面单色驻波。

这种驻波称为电磁波的模式或光波模式，以k 为标志。

设空腔为立方体，如下图x图1 立方体空腔沿三个坐标轴方向传播的波分别应满足的驻波条件是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∆=∆=∆222λλλq z n y m x (1)式中m 、n 、q 为正整数。

将xx k λπ2=代入(1)式中，有xm k x ∆=π则在x 方向上，相邻两个光波矢量的间隔为： xx m x m k x ∆=∆--∆=∆πππ)1( 同理，相邻两光波矢在三个方向的间隔为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∆=∆∆=∆∆=∆z k y k x k zy x πππ (2)因此每个波矢在波矢空间所占的体积元为 Vzy x k k k z y x 33ππ=∆∆∆=∆∆∆(3)xk y图2 波矢空间在波矢空间中，处于k 和k d 之间的波矢k 对应的点都在以原点为圆心、k 为半径、k d 为厚度的薄球壳内，这个球壳的体积为()k k k k k d 4d 3434233πππ=-- (4) 式中k =k 、k d d =k 。

根据(1)式的驻波条件，k 的三个分量只能取正值，因此k d 和k d 之间的、可以存在于V 中的光波模式在波矢空间所占的体积只是上述球壳的第一卦限，所以2d 8d 422kk k k V k ππ== (5) 由(3)式已知每个光波矢的体积元，则在该体积内的光波模式数为V kk V V M k 223d /2ππ== (6)式中乘以2是因为每个光波矢量k 都有两个可能的偏振方向，因此光波模式数是光波矢量数的2倍。

由于λπ2=k ，λλπd 2d 2=k ，上式可以用波长形式表示，即在体积为V 的空腔内，波长λλd +间隔的光波模式数为：λλπd 84VM = (7)2． 黑体辐射公式黑体辐射是黑体温度T 和辐射场波长λ的函数。

普朗克黑体辐射公式推导步骤1：假设黑体内的辐射能量由一系列处于不同能级上的振子所组成。

考虑到振子的能量是量子化的，那么每个振子只能具有离散的能量，即E = nhv，其中E为能量，n为量子数，v为辐射频率，h为普朗克常数。

步骤2：设想黑体内的振子可以具有不同的能量量子数n，表示各个振子能量的分布情况。

我们假设振子的能量量子数n符合玻尔兹曼分布，即n能级的占有数为exp(-E_n / kT)，其中E_n为n能级的能量，k为玻尔兹曼常数，T为黑体的温度。

步骤3：进一步假设振子的能量量子数n的平均值为，每个振子的能量为E = nhv，则黑体的总能量可以表示为U = ∑(nE) = ∑(nhvexp(-E_n / kT))。

在这里，∑代表对所有能级进行求和。

步骤4：将能量量子数n的平均值表示为，并代入总能量公式。

整理得:U = ∑((nvexp(-E_n / kT))hv步骤5：通过积分，将对所有可能的能级n进行求和替换为对能量E的积分。

利用代换关系dn = dE / hv，将求和替换为积分。

同样，将E_n也替换为E。

U = ∫(Eexp(-E / kT)) / (hv) * dE步骤6：对积分进行推导求解，得到：U = (kT)^4 / (h^3c^2) * ∫(E^3 / (exp(E / kT) - 1)) * dE这就是普朗克黑体辐射公式的具体形式，其中c为光速。

该公式描述了黑体辐射频谱与温度之间的依赖关系，表征了能量密度与频率的分布规律。

简单总结一下，普朗克黑体辐射公式的推导基于能量量子化和能级分布的假设。

通过对振子能量的分布以及总能量的计算，得到了描述黑体辐射的具体公式。

这个公式的重要性在于引入了能量的量子化概念，为后来量子力学的发展奠定了基础。

黑体辐射的三个公式
1.黑体辐射公式：B=σT^4，
这是伽马发表的原始黑体辐射公式，它的结果表明，即使在等温条件下，绝热物体也会发射出辐射能量。

其中，σ为常数，T为物体表面
温度，B为物体表面发射辐射强度。

2.Rayleigh-Jeans公式：B=2kT/λ^4，
这是根据Rayleigh和Jeans对伽马黑体辐射公式做出的改进，它认为，辐射强度与波长有关，研究结果表明，如果实验结果与伽马公式相比，则Rayleigh-Jeans公式在波长较小时表现更为逼近。

其中，k为常数，T为物体表面温度，B为物体表面发射辐射强度，λ为波长。

3.Planck公式：B=(2hc^2/λ^5)(1/(e^(h/kT)-1))，
这是Planck发表的黑体辐射公式，它把光子概念引入到公式中，将伽
马公式和Rayleigh-Jeans公式结合起来，由此取得最准确的结果。

其中，h表示普朗克常数，c表示光速，k为玻尔兹曼常数，T为物体表
面温度，B为物体表面发射辐射强度，λ为波长。