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基尔霍夫定律基尔霍夫定律是分析与计算电路的基本定律，分别称为基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律。
电路中几个常用名词如下： 支路；同一电流所流经的路径。
在图 1.11中有三条支路。
节点；三条或三条以上支路连接点。
在图 1.11中有a 、b 两个节点。
回路；由若干支路所组成的闭合路径。
在图 1.11中有abca 、abda 、adbca 三个回路。
网孔；不含支路的闭合路径。
在图 1.11中abca 、abda 两个网孔。
1.3.1 基尔霍夫电流定律（KCL ）基尔霍夫电流定律是用来确定电路中任一节点各支路电流间的关系式。
由于电流的连续性，在任一瞬时，流向任一节点的电流之和等于流出该节点电流之和。
即＝入I ∑出I ∑ （1.5） 在图 1.11所示电路中，对节点a 可写出I 1＋I 2＝I 3上述关系式可改写为I 1＋I 2―I 3＝0即 0=∑I （1.6）基尔霍夫电流定律也可表述为：在任一瞬时，通过电路中任一节点电流的代数和恒等于零。
假定选流入节点的电流取正值，则流出节点的电流取负值。
基尔霍夫电流定律通常应用于节点，还可以应用于任一假想的闭合面。
即在任一瞬时，通过电路中任一闭合面的电流代数和也恒等于零。
如图 1.12所示闭合面包围的三极管电路。
I b +I c ＝I e或 I b ＋I c －I e ＝0`图1.12 KCL 用于闭合面 图1.13例 1.3直流三相供电系统如图 1.13所示，若电流I A ＝5A ，I B ＝3A ，试求电流I C 。
解：假想一闭合面将三角形的负载包围起来，则I A ＋I B ＋I C ＝0I C ＝－I A －I B ＝－5－3＝－8A负号表示电流的实际方向与图中参考方向相反。
图1.11 支路、节点、回路和网孔1.3.2 基尔霍夫电压定律（KVL ）基尔霍夫电压定律是确定电路中任一回路各支路电压间的关系式。
对于电路中的任一回路，在任一瞬间，沿闭合回路绕行一周电压升之和等于电压降之和，即＝升U ∑降U ∑ （1.7）以图 1.14电路为例，图中电源电压、电流和各元件两端电压的参考方向均已标出，并设定绕行方向，电压的参考方向与绕行方向一致者为电压降，反之电压升。
复杂直流电路基尔霍夫电流定律一、支路、节点、回路和网孔的概念（举例说明概念）支路：电路中具有两个端钮且通过同一电流的无分支电路。
如图 3 - 1 电路中的ED、AB、FC 均为支路，该电路的支路数目b = 3。
节点：电路中三条或三条以上支路的连接点。
如图3 - 1电路的节点为A、B 两点，该电路的节点数目n = 2 。
回路：电路中任一闭合的路径。
如图3-1 电路中的CDEFC、AFCBA、EABDE 路径均为回路，该电路的回路数目l = 3。
网孔：不含有分支的闭合回路。
如图3-1 电路中的AFCBA、EABDE 回路均为网孔，该电路的网孔数目m = 2。
图3-1二、基尔霍夫电流定律(KCL)内容基尔霍夫电流定律的第一种表述：在任何时刻，电路中流入任一节点中的电流之和，恒等于从该节点流出的电流之和例如图3-2 中，在节点A 上：I1＋I3=I2＋I4＋I5图3-2 电流定律的第二种表述：在任何时刻，电路中任一节点上的各支路电流代数和恒等于零一般可在流入节点的电流前面取“＋”号，在流出节点的电流前面取“－”号，反之亦可。
例如图3-2 中，在节点A 上：I1－I2＋I3 －I4－I5 ＝0三、在使用基尔霍夫电流定律时，必须注意：(1) 对于含有n 个节点的电路，只能列出(n－1) 个独立的电流方程。
(2) 列节点电流方程时，只需考虑电流的参考方向，然后再带入电流的数值。
为分析电路的方便，通常需要在所研究的一段电路中事先选定(即假定)电流流动的方向，称为电流的参考方向，通常用“→”号表示。
电流的实际方向可根据数值的正、负来判断，当I > 0时，表明电流的实际方向与所标定的参考方向一致；当I < 0 时，则表明电流的实际方向与所标定的参考方向相反。
(3)若两个网络之间只有一根导线相连，那么这根导线中一定没有电流通过。
【例3-1】如图3-5 所示电桥电路，已知I1 = 25 mA，I3 = 16mA，I4 = 12 mA，试求其余电阻中的电流I2、I5、I6。
基尔霍夫定律及基尔霍夫定律推导基尔霍夫定律是电路中电压和电流所遵循的基本规律，是分析和计算较为复杂电路的基础，1845年由德国物理学家基尔霍夫提出。
它既可以用于直流电路的分析，也可以用于交流电路的分析，还可以用于含有电子元件的非线性电路的分析。
运用基尔霍夫定律进行电路分析时，仅与电路的连接方式有关，而与构成该电路的元器件具有什么样的性质无关。
基尔霍夫定律包括电流定律（KCL）和电压定律（KVL），前者应用于电路中的节点而后者应用于电路中的回路。
该定律能够迅速地求解任何复杂电路，从而成功地解决了这个阻碍电气技术发展的难题。
基尔霍夫定律建立在电荷守恒定律、欧姆定律及电压环路定理的基础之上，在稳恒电流条件下严格成立。
当基尔霍夫第一、第二方程组联合使用时，可正确迅速地计算出电路中各支路的电流值。
由于似稳电流(低频交流电)具有的电磁波长远大于电路的尺度，所以它在电路中每一瞬间的电流与电压均能在足够好的程度上满足基尔霍夫定律。
因此，基尔霍夫定律的应用范围亦可扩展到交流电路之中。
基尔霍夫第一定律的实质是稳恒电流情况下的电荷守恒定律，其中推导过程中推出的重要方程是电流的连续性方程即SJ*dS=-dq/dt（第一个S是闭合曲面的积分号，J是电流密度矢量，*是矢量的点乘，dS是被积闭合曲面的面积元，dq/dt是闭合曲面内电量随时间的变化率）意思是说电流场的电流线是有头有尾的，凡是电流线发出的地方，该处的正电荷的电量随时间减少，电流线汇聚的地方，该处的正电荷的电量随时间增加对稳恒电流，电流密度不随时间变化，必有SJ*dS=-dq/dt=0，这就是稳恒电流的闭合性，同时也是基尔霍夫定律的推导基础基尔霍夫第二定律的实质是电力线闭合。
第二定律又称基尔霍夫电压定律，是电场为位场时电位的单值性在集总参数电路上的体现，其物理背景是能量守恒。
基尔霍夫电压定律是确定电路中任意回路内各电压之间关系的定律，因此又称为回路电压定律，它的内容为：在任一瞬间，沿电路中的任一回路绕行一周，在该回路上电动势之和恒等于各电阻上的电压降之和，形象地说就是电力线闭合。
第六讲 基尔霍夫定律和戴维南定理1 基尔霍夫定律1．1基尔霍夫第一定律对电路中任何一个节点，流出的电流之和等于流入电流之和。
∑∑=出入j i I I或可表达为：汇于节点的各支路电流强度的代数和为零。
∑=±0iI若规定流入电流为正号，则从节点流出的电流强度为负号。
对于有n 个节点的完整回路，可列出n 个方程，实际上只有1-n 个方程是独立的。
1．2基尔霍夫第二定律沿回路环绕一周，电势降落的代数和为零，即()∑∑=±+±0j jiR IE对于给定的回路绕行方向，理想电源，从正极到负极，电势降落为正，反之为负；对电阻及内阻，若沿电流方向则电势降落为正，反之为负。
若复杂电路包括m 个独立回路，则有m 个独立回路方程。
【例1】如图1所示电路中，已知E 1=32V ，E 2=24V ，电源内阻均不计，R 1=5Ω，R 2=6Ω，R 3=54Ω求各支路的电流。
解： 题中电路共有2个节点，故可列出一个节点方程。
而支路3个，只有二个独立的回路，因而能列出两个回路方程。
三个方程恰好满足求解条件。
规定321I I I 、、正方向如图所示，则有0321=-+I I I两个独立回路，有0112221=+-+-R I R I E E033222=++-R I R I E联解方程得：I 1=1A ，I 2=-0.5A ，I 3=0.5A2I ＜0，说明2I 实际电流方向与图中所假定电流方向相反。
2 戴维南定理实际的直流电源可以看作电动势为E ，内阻为零的恒压源与内阻r 的串联，如图2所示，这部分电路被称为电压源。
不论外电阻R 如何，总是提供不变电流的理想电源为恒流源。
实际电源E 、r 对外电阻R 提供电流I 为rR rr E r R E I +⋅=+= 其中E ／r 为电源短路电流0I ，因而实际电源可看作是一定的内阻与恒流源并联的电流源，如图3所示。
实际的电源既可看作电压源，又可看作电流源，电流源与电压源等效的条件是电流源中恒流源的电流等于电压源的短路电流。
基尔霍夫定律基尔霍夫定律编辑词条B 添加义项基尔霍夫定律是德国物理学家基尔霍夫提出的。
基尔霍夫定律是电路理论中最基本也是最重要的定律之一。
它概括了电路中电流和电压分别遵循的基本规律。
它包括基尔霍夫电流定律（KCL）和基尔霍夫电压定律（KVL）。
基本信息•中文名称基尔霍夫定律•外文名称Kirchhoff's law•别称KCL KVL•表达式KCL:∑I=0 KVL:∑U=0•提出者德国物理学家基尔霍夫•提出时间1845•应用学科物理学中电学的电路问题•适用领域范围电工学目录1?简介2基本概念3主要内容折叠编辑本段 ?简介基尔霍夫定律基尔霍夫定律Kirchhoff laws是电路中电压和电流所遵循的基本规律，是分析和计算较为复杂电路的基础，1845年由德国物理学家G.R.基尔霍夫（Gustav Robert Kirchhoff，1824～1887）提出。
它既可以用于直流电路的分析，也可以用于交流电路的分析，还可以用于含有电子元件的非线性电路的分析。
运用基尔霍夫定律进行电路分析时，仅与电路的连接方式有关，而与构成该电路的元器件具有什么样的性质无关。
基尔霍夫定律包括电流定律（KCL)和电压定律(KVL)，前者应用于电路中的节点而后者应用于电路中的回路。
折叠编辑本段基本概念1、支路：（1）每个元件就是一条支路。
（2）串联的元件我们视它为一条支路。
（3）流入等于流出的电流的支路。
2、节点：基尔霍夫定律（1）支路与支路的连接点。
（2）两条以上的支路的连接点。
（3）广义节点（任意闭合面）。
3、回路：（1）闭合的支路。
（2）闭合节点的集合。
4、网孔：（1）其内部不包含任何支路的回路。
（2）网孔一定是回路，但回路不一定是网孔。
折叠编辑本段主要内容折叠 KCL基尔霍夫第一定律又称基尔霍夫电流定律，简记为KCL，是电流的连续性在集总参数电路上的体现，其物理背景是电荷守恒公理。
基尔霍夫电流定律是确定电路中任意节点处各支路电流之间关系的定律，因此又称为节点电流定律，它的内容为：在任一瞬时，流向某一节点的电流之和恒等于由该节点流出的电流之和，或者，更详细描述，假设进入某节点的电流为正值，离开这节点的电流为负值，则所有涉及这节点的电流的代数和等于零。
第六讲 基尔霍夫定律和戴维南定理
1 基尔霍夫定律
1．1基尔霍夫第一定律
对电路中任何一个节点，流出的电流之和等于流入电流之和。
∑∑=出入j i I I
或可表达为：汇于节点的各支路电流强度的代数和为零。
∑=±0i
I
若规定流入电流为正号，则从节点流出的电流强度为负号。
对于有n 个节点的完整回路，可列出n 个方程，实际上只有1-n 个方程是独立的。
1．2基尔霍夫第二定律
沿回路环绕一周，电势降落的代数和为零，即
()∑∑=±+±0j j
i
R I
E
对于给定的回路绕行方向，理想电源，从正极到负极，电势降落为正，反之为负；对电阻及内阻，若沿电流方向则电势降落为正，反之为负。
若复杂电路包括m 个独立回路，则有m 个独立回路方程。
【例1】如图1所示电路中，已知E 1=32V ，E 2=24V ，电源内阻均不计，R 1=5Ω，R 2=6Ω，R 3=54Ω求各支路的电流。
解： 题中电路共有2个节点，故可列出一个节点方程。
而支路3个，只有二个独立的回路，因而能列出两个回路方程。
三个方程恰好满足求解条件。
规定321I I I 、、正方向如图所示，则有
0321=-+I I I
两个独立回路，有
0112221=+-+-R I R I E E
033222=++-R I R I E
联解方程得：I 1=1A ，I 2=-0.5A ，I 3=0.5A
2I ＜0，说明2I 实际电流方向与图中所假定电流方向相反。
2 戴维南定理
实际的直流电源可以看作电动势为E ，内阻为零的恒压源与内阻r 的串联，如图2所示，这部分电路被称为电压源。
不论外电阻R 如何，总是提供不变电流的理想电源为恒流源。
实际电源E 、r 对外电阻R 提供电流I 为
r
R r
r E r R E I +⋅
=+= 其中E ／r 为电源短路电流0I ，因而实际电源可看作是一定的内阻与恒流源并联的电流源，如图3所示。
实际的电源既可看作电压源，又可看作电流源，电流源与电压
源等效的条件是电流源中恒流源的电流等于电压源的短路电流。
利
用电压源与电流源的等效性可使某些电路的计算简化。
2．1等效电压源定理 又叫戴维南定理，内容是：两端有源网络可等效于一个电压源，
其电动势等于网络的开路电压，内阻等于从网络两端看除电源以外网络的电阻。
图3
图2
I 3
R 图1
如图4所示为两端有源网络A 与电阻R 的串联，网络A 可视为一电压源，等效电源电动势E 0等于a 、b 两点开路时端电压，等效内阻0r 等于网络中除去电动势的内阻，如图5所示。
2．2等效电流源定理
又叫诺尔顿定理，内容是：两端有源网络可等效于一个电流源，电流源的0I 等于网络两端短路时流经两端点的
电流，内阻等于从网络两端看除电源外
网络的电阻。
【例２】如图6所示的电路中，V E V E 0.1,0.321==，Ω=Ω=0.1,5.021r r ，
Ω=Ω=Ω=Ω=0.19,5.4,0.5,0.104321R R R R
（1）试用等效电压源定理计算从电源()22,r E 正极流出的
电流2I ；（2）试用等效电流源定理计算从结点B 流向节点A 的电流1I 。
解： 根据题意，在求通过2E 电源的电流时，可将ABCDE 部分电路等效为一个电压源，求解通过1R 的电流时，可将上下两个有源支路等效为一个电流源。
（1）设ABCDE 等效电压源电动势0E ，内阻0r ，如图7所示，由等效电压源定理，应有
V
E R R R r R E 5.113
2111
0=+++=
()Ω
=+++++=53
21132110R R R r R R r R r
电源()00,r E 与电源()22,r E 串联，故
A r R r E E I 02.02
400
22-=+++=
2I ＜0，表明电流从2E 负极流出。
（2）将A 、B 两个节点短接，构成等效电流源（00r I 、）如图8所示，由等效电流源定理，0I 为原电路流经A 、B 短接后的支路电流。
因为有21,E E 两电源，必须用线性叠加原理，所谓叠加原理与力学中“力的独立作用原理”极为相似，其内容为：若电路中有多个电源，则通过任一支路的电流等于各个电动势单独存在时该
支路产生的电流之和。
由叠加原理
A R r E R R r E I 35.04
22
23110=++++=
图4
1图8
图7
图5
Ω
=+++++++=
'7.6)
)((4
2231422310R r R R r R r R R r r 由0r '和1R 的分流关系
A I R r r I 14.001
001=+''
=
随堂练习：
1．在如图所示的电路中，E 1 = 3.2V ，E 2 = 2.4V ，两电源的内阻均不计，R 1 =0.5Ω，R 2 =0.6Ω，R 3 = 5.4Ω，求各支路的电流。
1．这是一个基尔霍夫定律的基本应用，第一定律的方程个数为 n − 1 = 2 ，第二方程的个数为 p − n + 1 = 2
由第一定律，有 I 3 = I 1 + I 2 由第二定律，左回路有 E 1 − E 2 = I 1R 1 − I 2R 2 左回路有 E 2 = I 2R 2 + I 3R 3 代入数字后，从这三个方程不难解出 I 1 = 1.0A ，I 2 = −0.5A ，I 3 = 0.5A
这里I 2的负号表明实际电流方向和假定方向相反。
【答案】R 1的电流大小为1.0A ，方向向上，R 2的电流大小为0.5A ，方向向下，R 3的电流大小为0.5A ，方向向下。
2．在如图所示电路中，电源E = 1.4V ，内阻不计，R 1 = R 4 = 2Ω，R 2 = R 3 = R 5 = 1Ω，试用戴维南定理和基尔霍夫定律分别求解流过电阻R 5的电流。
E 2
E 1
便直接应用闭合电路欧姆定律。
此电路中的电源只有一个，我们可以援用后一种思路，将除R 5之外的电阻均看成“与电源相关联的”部分，于是——将电路做“拓扑”变换，成乙图。
这时候，P 、Q 两点可看成“新电源”的两极，设新电源的电动势为E ′，内阻为r ′，则
r ′= R 1∥R 2 + R 3∥R 4 = 3
4Ω
E ′为P 、Q 开路时的电压。
开路时，R 1的电流I 1和R 3的电流I 3相等，I 1 = I 3 =
)
()4321R R R R E
++ 21∙
= 157A ，令“老电源”的负极接地，则U P = I 1R 2 = 15
7
V ，U Q = I 3R 4 =
1514V ，所以 E ′= U QP = 15
7
V 最后电路演化成图丙时，R 5的电流就好求了。
【答案】R 5上电流大小为0.20A ，方向（在甲图中）向上。
用基尔霍夫定律解电路中R 5的电流。
此电路p = 6 ，n = 4 ，故基尔霍夫第一定律方程个数为3 ，第二定律方程个数为3 。
为了方便，将独立回路编号为Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ ，电流只设了三个未知量I 1 、I 2和I 3 ，其它三个电流则直接用三个第一定律方程表达出来，见图。
这样，我们只要解三个基尔霍夫第二定律方程就可以了。
对Ⅰ回路，有 I 2R 1 + I 1R 5 − I 3R 3 = 0 即 2I 2 + 1I 1 − 1I 3 = 0 ①
对Ⅱ回路，有 (I 2 − I 1)R 2 − (I 1 + I 3)R 4 − I 1R 5 = 0 即 1(I 2 − I 1) − 2(I 1 + I 3) − 1I 1 = 0 ② 对Ⅲ回路，有 ε = I 3R 3 + (I 1 + I 3)R 4
即 1.4 = 1I 3 + 2(I 1 + I 3) ③ 解①②③式不难得出 I 1 = −0.2A 。
（I 2 = 0.4A ，I 3 = 0.6A ）
E
3．求解如图所示电路中流过
30Ω电阻的电流。
3．基尔霍夫第一定律方程2个，已在图中体现
基尔霍夫第二定律方程3个，分别为——
对Ⅰ回路，有 100 = (I2− I1) + I2·10 ①
对Ⅱ回路，有 40 = I2·10 + I1·30 − I3·10 ②
对Ⅲ回路，有 100 = I3·10 + (I1 + I3) ·10 ③
解①②③式不难得出 I1 = 1.0A 。
（I2 = 5.5A ，I3 = 4.5A）
【答案】大小为1.0A，方向向左。
〖小结〗解含源电路我们引进了戴维南定理和基尔霍夫定律两个工具。
原则上，对任何一个问题，两种方法都可以用。
但是，当我们面临的只是求某一条支路的电流，则用戴维南定理较好，如果要求求出多个（或所有）支路的电流，则用基尔霍夫定律较好。
而且我们还必须看到，随着独立回路个数的增多，基尔霍夫第二定律的方程随之增多，解题的麻烦程度随之增大。
