排列组合中的涂色问题

排列组合问题之涂色问题（四个方面）一、区域涂色问题1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法。

例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？解析：先给①号区域涂色有5种方法；再给②号涂色有4种方法；接着给③号涂色方法有3种方法；由于④号与①号、②号不相邻，因此④号有4种涂法。

根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=种。

2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数。

例2、4种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

解析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：㈠②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A 种；㈡③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A 种； ㈢②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A 种；㈣③与⑤同色、②与④同色，则有44A 种； ㈤②与④同色、③与⑥同色，则有44A 种。

根据分类计数原理得涂色方法总数为445120A =。

例3、如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色。

现有4解析：依题意至少要用3种颜色。

①若用3种颜色，区域2与4必须同色， 区域3与5必须同色，故有34A 种；②若用4种颜色，则区域2与4同色，区域3与5不同色，有44A 种；或区域3与5同色，区域2与不同色，有4种。

共有4种。

根据分类计数原理得满足题意的着色方法共有3444272A A +=。

3、根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论。

从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求出不同涂色方法总数。

例4、用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，五种颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？解析：可把问题分为三类：①四格涂不同的颜色，有34A 种；②有且仅有两个区域颜色相同，即只有 一组对角小方格涂相同的颜色。

排列组合中区域涂色问题排列组合中的区域涂色问题技巧性强，方法灵活多变，一直是选修2-3中的教学难点问题。

本文对部分常见区域涂色问题的解题规律做一下探讨。

区域涂色问题，应当从使用多少种颜色入手，分类讨论。

再每一类中（若有必要），再根据两个不相邻区域是否同色分小类讨论。

最后再根据分类加法计数原理求出所有方法种数。

例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：当使用4中颜色涂色时，方法种数为45A ；当使用3中颜色时，分两类：①④同色或者②④同色，方法种数为352A 。

可以这样给学生解释：①④同色，相当于①④合并成了一个区域，这样的话原本的四个区域变成了3个区域，故涂色方法种数为35A 。

根据分类分类加法原理，所有涂色方法总数为43552A A +。

例2、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？分析：依题意，可分为3种颜色或4中颜色两类。

①当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，区域3与5必须同色，（相当于5个区域合并成了4个区域）故有34A 种；②当用四种颜色时，若区域2与4同色，则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。

最后，由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2⨯24=72例3、用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？分析：可把问题分为三类：①涂四中颜色：四格涂不同的颜色，方法种数为45A ；②涂三种颜色：有且仅两个区域相同的颜色，即只有一组对角小方格涂相同的颜色，涂法种数为12542C A ；③涂两种颜色：两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为25A ，因此，所求的涂法种数为212255452260A C A A ++=例4、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

1解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。

解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。

本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。

一、区域涂色问题1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。

例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。

例2、四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

例3、如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？2、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。

例4用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？3、 根据相间区使用颜色的种类分类例5如图， 6个扇形区域A 、B 、C 、D 、E 、F ，现给这6个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色可① ②③ ④ ⑤ ⑥2 二、点的涂色问题方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论，（2）根据相对顶点是否同色分类讨论，（3）将空间问题平面化，转化成区域涂色问题。

例6、将一个四棱锥S ABCD -的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？三、线段涂色问题对线段涂色问题，要注意对各条线段依次涂色，主要方法有：1) 根据共用了多少颜色分类讨论2) 根据相对线段是否同色分类讨论。

排列组合中涂色问题的常见方法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。

解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。

本专题总结涂色问题的常见类型及求解方法。

一、 区域涂色问题1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。

例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。

例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色， 2) 区域3与5必须同色，故有3A 种；① ②③ ④ ⑤ ⑥3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。

由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2⨯24=723、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。

排列组合中的涂色问题学习目标：1. 通过例题讲练，能够归纳、识别模型，“对症下药”；2. 能够将新情境变为相应模型，培养转化与化归思想.重难点：甄别题型，掌握方法一、“一带一路”模型例1 用6种不同的颜色给图中4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，相邻的两个格子不同色，则不同的涂色方法共有_____种.变式1 例1中增加条件“且两端的格子不同色”，则不同的涂色方法共有_____种.变式2 例1中增加条件“且最多使用3种颜色”，则不同的涂色方法共有_____种.【总结】用m种不同的颜色给如图n个格子涂色，每个格子涂一种颜色，相邻的两个格子不同色，则不同的涂色方法共有种.二、“飞机场”模型(H模型)例2 用6种不同的颜色把图中A,B,C,D四块区域区分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有_____种.变式用5种不同的颜色把图中A,B,C,D四块区域区分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有_____种.【总结】用m种不同的颜色给例2中的四块区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻的两个区域不同色，则不同的涂色方法共有种.三、“龟壳”模型例3 如图所示，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能栽种相同颜色的花卉，相邻两个花池的花卉颜色不同，则最多有_____种栽种方案．变式1如图某地区有5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_____种．变式2如图所示的5个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余4个区域中涂色，有4种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为_____.变式3 用5种不同的颜色对如图所示的4个区域进行涂色, 要求相邻的小三角形颜色不同, 则有_____种不同的涂法.【巩固练习】1. 某单位要安排一份5天的值班表，每天由1人值班，共有5位人员. 每人值班的天数不限，但相邻两天不能由同一人值班，则该值班表共有多少种不同的排法？2. 现用5种颜色对图中A,B,C,D四个部分着色，要求有公共边的两块不能用同一种颜色，则共有几种不同的着色方法？3. 河南省地处黄河中下游，大部分位于黄河以南，故称河南。