最新人教版高中数学必修五等比数列的基本性质及其应用优质教案

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2.等比数列-人教A版必修五教案

2. 等比数列-人教A版必修五教案一、教学目标1.能够通过示例理解等比数列的概念；2.能够熟练掌握等比数列的通项公式；3.能够计算等比数列中的任意一项；4.能够应用等比数列解决实际问题。

二、教学重点1.等比数列的概念；2.等比数列的通项公式；3.等比数列的应用。

三、教学难点等比数列的应用。

四、教学内容及方法1. 教学内容：1.等比数列的概念；2.等比数列的通项公式；3.等比数列的应用。

2. 教学方法：讲授、示范、练习、讨论。

五、教学步骤1. 导入新知识•引入等比数列的概念，并让学生思考：“如果已知一个数列是等比数列，那么我们可以如何快速地求出任意一项？”•展示等比数列的通项公式，并讲解每一个符号的含义。

2. 讲授等比数列的通项公式1.讲解等比数列的通项公式。

a n=a1q n−1–当q>1时，数列为递增等比数列；–当q<1时，数列为递减等比数列；–当q=1时，数列为常数数列。

2.示例练习。

3. 讲授等比数列的应用1.讲解等比数列在实际问题中的应用，如利润、利率、人口增长等方面的问题。

2.通过数学模型解决实际问题。

4. 小结对全文进行总结。

六、课堂练习与作业1.课堂练习：根据所给的等比数列的前两项和第n项，求出q和a n。

2.作业：完成教材相关习题。

七、教学反思本节课主要介绍等比数列的知识点及其应用，通过对等比数列的通项公式进行详细讲解，使学生能够熟练应用通项公式进行计算。

通过解决实际问题的实例，增强学生对等比数列的应用理解和兴趣。

教学效果较为良好，但在讲解题型方面，需要更多的例子来提高学习效果。

高中数学《等比数列的概念和通项公式》教案

高中数学《等比数列的概念和通项公式》教案一、教学目标1. 让学生理解等比数列的概念，掌握等比数列的性质。

2. 引导学生掌握等比数列的通项公式，并能运用通项公式解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。

二、教学内容1. 等比数列的概念2. 等比数列的性质3. 等比数列的通项公式4. 等比数列的求和公式5. 运用通项公式解决实际问题三、教学重点与难点1. 教学重点：等比数列的概念、性质、通项公式及其应用。

2. 教学难点：等比数列通项公式的推导和运用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究等比数列的性质和通项公式。

2. 利用多媒体课件，生动展示等比数列的图形和性质，提高学生的直观认识。

3. 结合例题，讲解等比数列通项公式的应用，培养学生解决问题的能力。

4. 开展小组讨论，促进学生之间的交流与合作，提高学生的团队意识。

五、教学过程1. 引入新课：通过讲解现实生活中的例子，引出等比数列的概念。

2. 讲解等比数列的性质：引导学生发现等比数列的规律，总结等比数列的性质。

3. 推导等比数列的通项公式：引导学生利用已知的数列性质，推导出通项公式。

4. 讲解等比数列的求和公式：结合通项公式，讲解等比数列的求和公式。

5. 运用通项公式解决实际问题：选取典型例题，讲解等比数列通项公式的应用。

6. 课堂练习：布置适量习题，巩固所学知识。

7. 总结与反思：引导学生总结本节课所学内容，反思自己的学习过程。

8. 课后作业：布置课后作业，巩固所学知识，提高学生的应用能力。

9. 教学评价：对学生的学习情况进行评价，了解学生对等比数列知识的掌握程度。

10. 教学反思：总结本节课的教学效果，针对存在的问题，调整教学策略。

六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体的等比数列案例，让学生深刻理解等比数列的概念和性质。

2. 互动教学：鼓励学生积极参与课堂讨论，提问引导学生思考，增强课堂的互动性。

高中数学《等比数列的概念和通项公式》教案

高中数学《等比数列的概念和通项公式》教案一、教学目标1. 让学生理解等比数列的概念，掌握等比数列的定义及其特点。

2. 引导学生推导等比数列的通项公式，并能运用通项公式解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力、运算能力和解决问题的能力。

二、教学内容1. 等比数列的概念：介绍等比数列的定义、性质和判定方法。

2. 等比数列的通项公式：引导学生推导通项公式，并进行证明。

3. 等比数列的求和公式：介绍等比数列前n项和的公式。

三、教学重点与难点1. 教学重点：等比数列的概念、性质、通项公式和求和公式。

2. 教学难点：等比数列通项公式的推导和证明。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、分析和归纳等比数列的性质。

2. 运用类比法，让学生理解等比数列与等差数列的异同。

3. 利用多媒体辅助教学，展示等比数列的动态变化过程。

4. 开展小组讨论，培养学生的合作意识和解决问题的能力。

五、教学过程1. 导入新课：通过引入日常生活中的实例，如银行存款利息问题，引导学生思考等比数列的概念。

2. 讲解等比数列的定义和性质：让学生通过观察、分析和归纳等比数列的性质，得出等比数列的定义。

3. 推导等比数列的通项公式：引导学生利用已知条件，通过变换和代数运算，推导出等比数列的通项公式。

4. 证明等比数列的通项公式：让学生理解并证明等比数列通项公式的正确性。

5. 介绍等比数列的求和公式：引导学生运用通项公式，推导出等比数列前n项和的公式。

6. 课堂练习：布置一些有关等比数列的题目，让学生巩固所学知识。

7. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，让学生反思自己的学习过程，提高学习效果。

8. 课后作业：布置一些有关等比数列的练习题，巩固所学知识。

六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体的等比数列案例，让学生更好地理解等比数列的概念和性质。

2. 互动提问：在教学过程中，教师应引导学生积极参与课堂讨论，提问等方式来巩固学生对等比数列的理解。

最新人教版高中数学必修5第二章《等比数列》示范教案

最新⼈教版⾼中数学必修5第⼆章《等⽐数列》⽰范教案§3 等⽐数列3.1 等⽐数列整体设计教学分析等⽐数列与等差数列在内容上是完全平⾏的,包括定义、性质、通项公式等,两个数的等差(等⽐)中项、两种数列在函数⾓度下的解释等,因此在教学时要充分利⽤类⽐的⽅法,以便于弄清它们之间的联系与区别.等⽐数列是另⼀个简单常见的数列,研究内容和⽅法可与等差数列类⽐,这是本节的中⼼思想⽅法.本节⾸先归纳出等⽐数列的定义,导出通项公式,进⽽研究图像,⼜给出等⽐中项的概念,最后是通项公式的应⽤.等⽐数列概念的引⼊,可按教材给出⼏个具体的例⼦,由学⽣概括这些数列的相同特征,从⽽得到等⽐数列的定义.也可将⼏个等差数列和⼏个等⽐数列混在⼀起给出,由学⽣将这些数列进⾏分类,由此对⽐地概括等⽐数列的定义.根据定义让学⽣分析等⽐数列的公⽐不为0,以及每⼀项均不为0的特性,加深对概念的理解.启发学⽣⽤函数观点认识通项公式,由通项公式的结构特征,联想到指数函数进⽽画出数列的图像.由于有了等差数列的研究经验,等⽐数列的研究完全可以放⼿让学⽣⾃⼰解决,充分利⽤类⽐思想,教师只需把握课堂的节奏,真正作为⼀节课的组织者、引导者出现,充分发挥学⽣的主体作⽤.⼤量的数学思想⽅法渗透是本章的特⾊,如类⽐思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、⽅程思想、⼀般到特殊的思想等,在教学中要充分体现这些重要的数学思想⽅法,所有能⼒的体现最终归结为数学思想⽅法的体现.三维⽬标1.通过实例,理解等⽐数列的概念；探索并掌握等⽐数列的通项公式、性质,能在具体的问题情境中,发现数列的等⽐关系,提⾼数学建模能⼒；体会等⽐数列与指数函数的关系.2.通过现实⽣活中⼤量存在的数列模型,让学⽣充分感受到数列是反映现实⽣活的模型,体会数学是丰富多彩的⽽不是枯燥⽆味的,达到提⾼学⽣学习兴趣的⽬的.3.通过对等⽐数列概念的归纳,进⼀步培养学⽣严密的思维习惯,以及实事求是的精神,严谨的科学态度.体会探究过程中的主体作⽤及探究问题的⽅法,经历解决问题的全过程.重点难点教学重点：掌握等⽐数列的定义；理解等⽐数列的通项公式及推导.教学难点：灵活应⽤等⽐数列的定义及通项公式解决相关问题,在具体问题中抽象出等⽐数列模型及掌握重要的数学思想⽅法.课时安排2课时教学过程第1课时导⼊新课思路1.(情境导⼊)将⼀张厚度为0.044 mm的⽩纸⼀次⼜⼀次地对折,如果对折1 000次(假设是可能的)纸的厚度将是4.4×10296 m,相当于约5.0×10292个珠穆朗玛峰的⾼度和,这可能吗？但是⼀位数学家曾经说过：你如果能将⼀张报纸对折38次,我就能顺着它在今天晚上爬上⽉球.将⼀张报纸对折会有那么⼤的厚度吗？这就是我们今天要解决的问题,让学⽣带着这⼤⼤的疑问来展开新课.思路2.(练习导⼊)先给出四个数列：1,2,4,8,16,…1,-1,1,-1,1,…-4,2,-1,…1,1,1,1,1,…由学⽣⾃⼰去探究在这四个数列中,每个数列相邻两项之间有什么关系？这四个数列有什么共同点？由此引导学⽣⾃⼰去观察、研究,从中发现规律,突出了以学⽣为主体的思想,训练和培养了学⽣的归纳思维能⼒.让学⽣观察这些数列与上节课学习的等差数列有什么不同？由此引⼊新课.推进新课新知探究提出问题①回忆等差数列的概念及等差数列的通项公式的推导⽅法.②阅读教科书上的①,② 2个背景实例,领会2个实例所传达的思想,写出由2个实例所得到的数列.③观察数列①,②,它们有什么共同的特征?你能再举出2个与其特征相同的数列吗? ④类⽐等差数列的定义,怎样⽤恰当的语⾔给出等⽐数列的定义?⑤你能举出既是等差数列⼜是等⽐数列的例⼦吗?⑥类⽐等差数列通项公式的推导过程,你能推导出等⽐数列的通项公式吗?⑦类⽐等差数列通项公式与⼀次函数的关系,你能说明等⽐数列的通项公式与指数函数的关系吗?活动:教师引导学⽣回忆等差数列概念的学习过程,指导学⽣阅读并分析教科书中给出的2个实例.实例①是与我们⽣活有关的拉⾯问题.拉⾯馆的师傅将⼀根很粗的⾯条,拉伸、捏合,再拉伸、再捏合,这样前8次捏合成的⾯条根数构成⼀个数列:1,2,4,8,16,32,64,128.①实例②是星⽕化⼯⼚今年产值为a 万元,计划在以后5年中每年⽐上年产值增长10%.这样6年的产值构成⼀个数列:a,a(1+10%),a(1+10%)2,a(1+10%)3,a(1+10%)4,a(1+10%)5.②再如,我们常见的某种细胞分裂的模型:图1每次分裂后细胞的个数构成⼀个数列就是:1,2,4,8,….③“⼀尺之棰,⽇取其半,万世不竭”,如果把“⼀尺之棰”看成单位“1”,得到的数列是1,21,41,81,….④教师引导学⽣探究数列①②③④的共同特点:对于数列①,从第2项起,每⼀项与前⼀项的⽐都等于2;对于数列②,从第2项起,每⼀项与前⼀项的⽐都等于1+10%;对于数列③,从第2项起,每⼀项与前⼀项的⽐都等于2;对于数列④,从第2项起,每⼀项与前⼀项的⽐都等于21.也就是说,这些数列有⼀个共同的特点:从第2项起,每⼀项与前⼀项的⽐都等于同⼀常数,这⾥仍是后项⽐前项,⽽不是前项⽐后项,具有这样特点的数列我们称之为等⽐数列.让学⽣类⽐等差数列给出等⽐数列的定义:⼀般地,如果⼀个数列,从第2项起,每⼀项与它的前⼀项的⽐都等于同⼀个常数,那么这个数列叫作等⽐数列.这个常数叫作等⽐数列的公⽐,公⽐通常⽤字母q 表⽰,显然q≠0,上⾯的四个数列都是等⽐数列,公⽐依次是2,1.1,2,21. 教师引导学⽣进⼀步探究,既是等差数列,⼜是等⽐数列的数列存在吗?学⽣思考后很快会举出1,1,1,…,是等⽐数列也是等差数列,其公⽐为1,公差为0.教师可再提出:常数列都是等⽐数列吗?让学⽣充分讨论后可得出0,0,0,…是常数列,但不是等⽐数列.⾄此,学⽣已经清晰了等⽐数列的概念,⽐如,从等⽐数列定义知,等⽐数列中的任意⼀项不为零,公⽐可以为正,可以为负,但不能为0.接下来,教师引导学⽣类⽐等差数列的通项公式的推导⽅法来归纳猜想等⽐数列的通项公式.课件演⽰:不完全归纳法得到等差数列通项公式的过程:a 2=a 1+d,a 3=a 2+d=(a 1+d)+d=a 1+2d,a 4=a 3+d=(a 1+2d)+d=a 1+3d,……归纳得到a n =a 1+(n-1)d.类⽐这个过程,可得等⽐数列通项公式的归纳过程如下:a 2=a 1q,a 3=a 2q=(a 1q)q=a 1q 2,a 4=a 3q=(a 1q 2)q=a 1q 3,……归纳得到a n =a 1q n-1(a 1≠0,q≠0).这样做可以帮助学⽣体会归纳推理对于发现新的数学结论的作⽤.这个结论的正确性可⽤后⾯的数学归纳法进⾏严格证明,现在我们先承认它.下⾯我们再类⽐等差数列,探究推导等⽐数列通项公式的其他⽅法:∵{a n }是等⽐数列, ∴.,,3,21,1124q a a q a a q a a q a a n n n n n n ==-=--=-- 把以上n-1个等式两边分别乘到⼀起,即叠乘,则可得到11-=n n q a a , 于是得到a n =a 1q n-1.容易知道本节开始的实例①的通项公式是a n =2n-1(如图2).图2对于通项公式,教师引导学⽣明确这样⼏点:(1)不要把a n 错误地写成a n =a 1q n (a 1≠0,q≠0).(2)对公⽐q,要和等差数列的公差⼀样,强调“从第2项起,每⼀项与它的前⼀项的⽐”,不要把相邻两项的⽐的次序颠倒,且公⽐q 可以为正,可以为负,但不能为0.(3)在等⽐数列a,aq,aq 2,aq 3,…中,当a=0时,⼀切项都等于0；当q=0时,第2项以后的项都等于0,这不符合等⽐数列的定义.因此等⽐数列的⾸项和公⽐都不能为0.(4)类⽐等差数列中d>0,d<0时的情况,若q>0,则各项符号同号,若q<0,则各项符号异号;若q=1,则等⽐数列为⾮零常数列;若q=-1,则如2,-2,2,-2,…这样的数列;若|q|<1,则数列各项的绝对值递减.应⽤⽰例思路1例1由下⾯等⽐数列的通项公式,求⾸项与公⽐.(1)a n =2n ;(2)a n =41·10n . 活动:本例的⽬的是让学⽣熟悉等⽐数列的概念及通项公式,可由学⽣⼝答或互相提问. 解：(1)a n =2·2n-1, ∴a 1=2,q=2.(2)∵a n =41·10·10n-1, ∴a 1=41×10=25,q=10. 点评:可通过通项公式直接求⾸项,再求公⽐.如(1)中,a 1=21=2,a 2=22=4,∴q=2.变式训练设a 1,a 2,a 3,a 4成等⽐数列,其公⽐为2,则432122a a a a ++的值为( ) A.41 B.21 C.81 D.1解析:由题意知,a 2=a 1q=2a 1,a 3=a 1q 2=4a 1,a 4=a 1q 3=8a 1, ∴4188222211114321a a a a a a a a +=++. 答案：A例2 以下数列中,哪些是等⽐数列? (1)1,-21,41,-81,161; (2)1,1,1, (1)(3)1,2,4,8,12,16,20;(4)a,a 2,a 3,…,a n .活动:教师引导学⽣利⽤等⽐数列的定义来判断.解：(1)是等⽐数列,公⽐q=-21; (2)是公⽐为1的等⽐数列;(3)因为48≠812,所以该数列不是等⽐数列; (4)当a≠0时,这个数列是公⽐为a 的等⽐数列;当a=0时,它不是等⽐数列.点评:本例第(4)⼩题的分类讨论要引起学⽣的注意.变式训练已知数列{lga n }是等差数列,求证:{a n }是等⽐数列.证明:∵{lga n }是等差数列,设公差为d,则lga n+1-lga n =d,即d nn a a 101=+(常数). ∴{a n }是等⽐数列.例3 ⼀个等⽐数列的⾸项是2,第2项与第3项的和是12.求它的第8项的值.活动:本例是⼀道基础题⽬,⽬的在于熟悉等⽐数列通项公式的基本量运算.可让学⽣⾃主探究、体会⽅程思想的运⽤.解:设等⽐数列的⾸项为a 1,公⽐为q,则由已知,得=+=)2(,12)1(,22111q a q a a将①式代⼊②式,得q 2+q-6=0.解得q=-3或q=2.当q=-3时,a 8=a 1q 7=2×(-3)7=-4 374,当q=2时,a 8=2q 7=2×27=256.故数列的第8项是-4 374或256.点评:⽅程思想是本章的重要数学思想,基本量运算是本章的重要题型.例1 数成等差数列,它们的和等于15,如果它们分别加上1,3,9,就成为等⽐数列,求此三个数. 活动:教师引导学⽣分析题意,因为所求三个数成等差数列,它们的和已知,故可设这三个数为a-d,a,a+d,再根据已知条件寻找关于a 、d 的两个⽅程,通过解⽅程组即可获解.解：设所求三个数为a-d,a,a+d,则由题设得+++-=+=+++-),9)(1()3(,152d a d a a d a a d a解此⽅程组,得a=5,d=2.∴所求三个数为3,5,7.点评:此类问题要注意设未知数的技巧.若设所求三个数为a,b,c,则列出三个⽅程求解,运算过程将过于繁杂.因此在计算过程中,应尽可能地少设未知数.例2 在等⽐数列中,已知⾸项为89,末项为31,公⽐为32,则项数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6解析:设等⽐数列为{a n }.⼜∵a 1=89,q=32,a n =31, ∴q n-1=1a a n ,即(32)n-1=278. ∴n-1=3,n=4,即项数为4.答案:B例3 已知数列{a n }满⾜a 1=1,a n+1=2a n +1.(1)求证:数列{a n +1}是等⽐数列;(2)求a n 的表达式.活动:教师引导学⽣观察,数列{a n }不是等差数列,也不是等⽐数列,要求a n 的表达式,通过转化{a n +1}是等⽐数列来求解.解：(1)∵a n+1=2a n +1,∴a n+1+1=2(a n +1).∵a 1=1,故a 1+1≠0,则有2111=+++n n a a .∴{a n +1}是等⽐数列. (2)由(1)知{a n +1}是以a 1+1=2为⾸项,以2为公⽐的等⽐数列,∴a n +1=2·2n-1,即a n =2n -1.点评:教师引导学⽣进⾏解后反思.如本题(1),不能忽视对a n +1≠0的说明,因为在等⽐数列{a n }中,a n ≠0,且公⽐q≠0,否则解题会出现漏洞.知能训练课本本节练习1,习题1—3 1—3.课堂⼩结1.让学⽣归纳总结本节学习内容：等⽐数列的概念和等⽐数列的通项公式的推导及简单的应⽤,等⽐数列的证明⽅法．可让学⽣对⽐⼩结等差数列与等⽐数列的知识,对⽐各⾃性质的异同,让学⽣⽤列表的形式给出．2.教师点出,通过本节内容的学习,在掌握知识的同时,我们还学到了探究新问题的⽅法,提⾼了我们解决问题的能⼒,进⼀步明确了学习必须经历探究问题全过程的意义,必须领悟凝练数学思想⽅法.作业课本习题1—3 A 组 5、6.。

人教版高中必修5(B版)2.3.1等比数列课程设计

人教版高中必修5(B版)2.3.1等比数列课程设计一、教学目标1.知识目标：–了解等比数列的概念与性质；–掌握等比数列的通项公式和求和公式；–熟练运用等比数列的公式计算各种问题。

2.能力目标：–培养学生的数学思想能力和创新能力，让他们在解决问题时运用等比数列的知识；–培养学生的分析问题、解决问题的能力和团队合作意识。

3.情感目标：–培养学生学习数学的兴趣；–提高学生学习数学的自觉性和主动性；–弘扬科学精神和合作精神。

二、教学重难点1.教学重点：–掌握等比数列的定义和性质；–熟练掌握等比数列的通项公式和求和公式。

2.教学难点：–如何应用等比数列的知识解决实际问题；–如何在解决问题中发挥创新思维。

三、教学内容和步骤1. 等比数列的概念（1）引入通过引入生活中的例子，如小球从 1 米的高度下落弹起，每次弹起的高度是上一次的 $\\frac{2}{3}$，得到一个等比数列的实例。

（2）定义让学生根据实例，自己总结出等比数列的概念和性质，教师在此基础上对等比数列的定义进行补充和扩展。

（3）例题提供一些例题让学生来判断它们是否为等比数列，并进一步让学生找到这些等比数列的公比和首项。

2. 等比数列的通项公式和求和公式（1）推导讲解等比数列的通项公式和求和公式的推导过程，说明公式的由来和正确性。

（2）例题提供一些例题让学生来运用上述公式计算各种问题，并解释它们的应用背景。

3. 实际问题的解决（1）实践提供一些实际问题让学生尝试用等比数列的知识来解决，鼓励他们运用创新思维来寻求问题的解决方案。

（2）比较比较一下用等比数列和用其他方法解决问题的差异，并提出通过运用不同方法可以达到更好的解决效果。

4. 总结教师对本节课所学内容进行总结，带领学生回顾本节课的学习重点和难点，并对学生的表现进行评价和反馈。

四、教学手段和方法1.板书法：用板书展示重点、难点、定义、公式等，方便学生的理解和记忆。

2.示范法：用实例和案例来讲解等比数列的应用，让学生更好地理解和掌握概念。

高中数学新人教A版必修5教案 2.4 等比数列1

2.4等比数列教学目标知识与技能目标：1.等比数列的定义；2.等比数列的通项公式．过程与能力目标：1.明确等比数列的定义；2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道n a ，1a ，q ，n 中的三个，求另一个的问题．情感态度与价值观 1.通过生活中的大量实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力;2.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣.教学重点：1.等比数列概念的理解与掌握；2.等比数列的通项公式的推导及应用．教学难点：等差数列＂等比＂的理解、把握和应用．教学过程学生自学：（1）阅读课本P48页-P49页上部分内容。

（2）思考数列1，2，3，4的共同特点是什么？二、新课（抽生回答）共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数．1．等比数列的定义：一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，用字母q 表示（q ≠0），即：1-n n a a =q （q ≠0）.思考：（1）等比数列中有为0的项吗？（2）公比为1的数列是什么数列？（3）既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？（4）常数列都是等比数列吗？（抽生回答，相互补充，直至完整）(1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数q ；｛n a ｝成等比数列⇔n n a a 1+=q （+∈N n ，q ≠0．）(2) 隐含：任一项00≠≠q a n 且(3) q= 1时，{an}为常数数列．（4）．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．2.等比数列的通项公式1: )0,(111均不为q a q a a n n -⋅=观察法：由等比数列的定义，有：q a a 12=；21123)(q a q q a q a a ===；312134)(q a q q a q a a ===；… … )0(1111≠⋅==--q a q a q a a n n n ，．迭乘法：由等比数列的定义，有：q a a =12；q a a =23；q a a =34；…；q a a n n =-1所以11342312--=⋅⋅n n n q a a a a a a a a Λ，即)0(111≠⋅=-q a q a a n n ，3.等比数列的通项公式2:)0(≠⋅=-q a q a a m m n m n ，三、例题讲解例1．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.例2．求下列各等比数列的通项公式：例3．已知数列{an}满足12,111+==+n n a a a ，（1）求证数列{an+1}是等比数列；（2）求{an}的通项公式。

人教版数学必修五《等比数列》教学设计

等比数列(第一课时)教学设计教材分析：等比数列是一种特殊的数列,它有着非常广泛的实际应用:如存款利息、购房贷款、资产折旧等一些计算问题.教材将等比数列安排在等差数列之后,有承前启后的作用.一方面与等差数列有密切联系,另一方面为进一步学习数列求和等有关内容做好准备.学情分析:学生已经学习了等差数列，对特殊数列的定义及性质研究方法有一定的基础和研究能力，但对等比数列变化规律还不了解。

从教学经验上看，学生在等比数列的计算上能力欠缺。

设计理念:长期以来的课堂教学太过于重视结论,轻视过程.为了应付考试,为了使公式定理应用达到所谓“熟能生巧”,教学中不惜花大量的时间采用题海战术来进行强化.在概念公式的教学中往往采用的所谓“掐头去尾烧中段”的方法,到头来把学生强化成只会套用公式的解题机器,这样的学生面对新问题就束手无策.数学是思维的体操,是培养学生分析问题,解决问题的能力及创造能力的载体,新课程倡导:强调过程,强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验,不能再让教学脱离学生的内心感受,必须让学生有追求过程的体验.基于以上原因,在设计本节课时,我考虑的不是简单地告诉学生等比数列的定义及其通项公式，而是将内容按照“问题情境——学生活动——数学建构——数学运用——回顾反思”的顺序展开，通过列举生活中的大量实例，给出等比数列的实际背景，让学生自己去发现,去探索其意义,公式.从发现等比数列定义及通项公式的过程中让学生体会到：有些看似陌生的知识并不都是高不可攀的事情,通过我们的努力,也可以做一些看似数学家才能完成的事.在这个过程中,学生在课堂上的主体地位得到充分发挥,极大地激发了学生的学习兴趣,也提高了他们提出问题,解决问题的能力,培养了他们的创新能力,这正是新课程所倡导的教学理念.教学目标:A.知识目标:理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式.B.能力目标:(1)通过公式的探索,发现,在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力.(2)通过通项公式的探求过程，培养学生用不完全归纳法去发现并解决问题的能力.C.情感目标:(1)公式的发现反映了普遍性寓于特征性之中,从而使学生受到辨证唯物主义思想的熏陶.(2)通过对等比数列概念的归纳,进一步培养学生严密的思维习惯以及实事求是的科学态度.(3)培养学生勇于探索、善于猜想的学习态度，调动学生主动参与课堂教学的积极性，增强学生学好数学的心理体验,产生热爱数学的情感.教学重点、难点:等比数列的定义、通项公式的推导；通项公式的初步应用.教学方法:发现式教学法,类比分析法.教学过程:一、问题情境首先请同学们看以下几个事例：(电脑显示)情境1：国王奖赏国际象棋发明者的事例,发明者要求:在第1个方格放1颗麦粒,在第2个方格上放2颗麦粒,在第3个方格上放4颗麦粒,在第4个方格上放8颗麦粒,依此类推,直到第64个方格子.国王能否满足他的要求呢?情境2：“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”情境3：某轿车的售价约36万元，年折旧率约为10%（就是说这辆车每年减少它的价值的10%），那么该车从购买当年算起，逐年的价格依次为多少？问题1：上述例子可以转化为什么样的数学问题？问题2：上述例子有何共同特点？二、学生活动通过观察、联想，发现：1、上述例子可以与数列联系起来.(有了等差数列的学习作基础)2、得到以下3个数列：①1,2, 22,⋅⋅⋅, 632②111,,,24⋅⋅⋅, 12n⎛⎫⎪⎝⎭,⋅⋅⋅③36,36×0.9, 36×0.92,⋅⋅⋅, 36×0.9n,⋅⋅⋅通过讨论，得到这些情境的共同特点是从第二项起,每一项与它前面一项的比都相等（等于同一个常数）.三、数学建构1、问题：①②③这样的数列和等差数列一样是一类重要的数列,谁能试着给这样的数列取个名字？（学生通过联想、尝试得出最恰当的命名）等比数列2、归纳总结，形成等比数列的概念.一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比.(引导学生经过类比等差数列的定义得出)评注：对于等比数列，你想对它作些什么研究呢？问题是怎样产生的？这是数学教学中的一个重要问题。

高中数学新人教A版必修5教案 2.4 等比数列1

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2.4.2从容说课这节课师生将进一步探究等比数列的知识，以教材练习中提供的问题作为基本材料，认识等比数列的一些基本性质及内在的联系，理解并掌握一些常见结论，进一步能用来解决一些实际问题.通过一些问题的探究与解决，渗透重要的数学思想方法.如类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想以及一般到特殊的思想方法等教学中以师生合作探究为主要形式，充分调动学生的学习积极性教学重点 1.探究等比数列更多的性质2.解决生活实际中的等比数列的问题教学难点渗透重要的数学思想教具准备多媒体课件、投影胶片、投影仪等三维目标一、知识与技能1.了解等比数列更多的性质2.能将学过的知识和思想方法运用于对等比数列性质的进一步思考和有关等比数列的实际问题的解决中3.能在生活实际的问题情境中，抽象出等比数列关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题二、过程与方法1.继续采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学2.对生活实际中的问题采用合作交流的方法，发挥学生的主体作用，引导学生探究问题的解决方法，经历解决问题的全过程3.当好学生学习的合作者的角色三、情感态度与价值观1.通过对等比数列更多性质的探究，培养学生的良好的思维品质和思维习惯，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力2.通过生活实际中有关问题的分析和解决，培养学生认识社会、了解社会的意识，更多地知道数学的社会价值和应用价值教学过程导入新课师教材中第59页练习第3题、第4题，请学生课外进行活动探究，现在请同学们把你们的探究结果展示一下生由学习小组汇报探究结果师对各组的汇报给予评价师出示多媒体幻灯片一：第3题、第4题详细解答：第3题解答：(1)将数列{a n }的前k 项去掉，剩余的数列为a k+1，a k+2,…．令b i =a k+i则数列a k+1,a k+2,…，可视为b 1,b 2，因为q a a b b ik i k i i 11(i ≥1),所以，{b n }是等比数列，即a k+1，a k+2,…是等比数列(2){a n }中每隔10项取出一项组成的数列是a 1,a 11,a 21，…，则109101101121111......q a a a a a a k k 所以数列a 1,a 11,a 21,…是以a 1为首项，q 10为公比的等比数列猜想：在数列{a n }中每隔m(m 是一个正整数)取出一项，组成一个新数列，这个数列是以a 1为首项、q m 为公比的等比数列◇本题可以让学生认识到，等比数列中下标为等差数列的子数列也构成等比数列，可以让学生再探究几种由原等比数列构成的新等比数列的方法第4题解答：(1)设{a n}的公比是q，则a52=(a1q4)2=a12q8而a3·a7=a1q2·a1q6=a12q8所以a52=a3·a7同理,a52=a1·a9(2)用上面的方法不难证明a n2=a n-1·a n+1(n＞1).由此得出，a n是a n-1和a n+1的等比中项，同理可证a n2=a n-k·a n+k(n＞k＞0).a n是a n-k和a n+k的等比中项(n＞k＞师和等差数列一样，等比数列中蕴涵着许多的性质，如果我们想知道的更多，就要对它作进一步的探究推进新课［合作探究］师出示投影胶片 1例题1(教材P61B组第3题)就任一等差数列{a n}，计算a7+a10，a8+a9和a10+a40，a20+a30，你发现了什么一般规律，能把你发现的规律用一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题.在等比数列中会有怎样的类似结论？师注意题目中“就任一等差数列{a n}”，你打算用一个什么样的等差数列来计算？生用等差数列1，2，3，师很好，这个数列最便于计算，那么发现了什么样的一般规律呢？生在等差数列{a n}中，若k+s=p+q(k,s,p,q∈N*)，则a k+a s=a p+a q师题目要我们“从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题”，如何做？生思考、讨论、交流师出示多媒体课件一：等差数列与函数之间的联系［教师精讲］师从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列{a n }的图象，可以看出qsa a p k a a q s p k ,根据等式的性质，有1qp sk a a a a q p s k 所以a k +a s =a p +a q师在等比数列中会有怎样的类似结论？生猜想对于等比数列{a n }，类似的性质为：k+s=p+t(k,s,p,t ∈N *)，则a k ·a s =a p ·a t师让学生给出上述猜想的证明证明：设等比数列{a n }公比为q ，则有a k ·a s =a 1q k-1·a 1q s-1=a 12·q k+s-2a p ·a t =a 1q p-1·a 1q t-1=a 12·q p+t-2因为所以有a k ·a s =a p ·a t师指出：经过上述猜想和证明的过程，已经得到了等比数列的一个新的性质即等比数列{a n }中，若k+s=p+t(k,s,p,t ∈N *)，则有a k ·a s =a p ·a t师下面有两个结论：(1)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积；(2)与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方你能将这两个结论与上述性质联系起来吗？生思考、列式、合作交流，得到：结论(1)就是上述性质中1+n=(1+t)+(n-t)时的情形；结论(2)就是上述性质中k+k=(k+t)+(k-t)时的情形师引导学生思考，得出上述联系，并给予肯定的评价师上述性质有着广泛的应用师出示投影胶片2：例题 2例题（1）在等比数列{a n }中，已知a 1=5,a 9a 10=100,求a 18（2）在等比数列{b n }中，b 4=3,求该数列前七项之积；（3）在等比数列{a n }中，a 2=-2,a 5=54,求a 8.例题2三个小题由师生合作交流完成，充分让学生思考，展示将问题与所学的性质联系到一起的思维过程解答：(1)在等比数列{a n }中，已知a 1=5，a 9a 10=100，求a 18解：∵a 1a 18=a 9a 10，∴a 18=51001109a a a (2)在等比数列{b n }中，b 4=3，求该数列前七项之积解：b 1b 2b 3b 4b 5b 6b 7=(b 1b 7)(b 2b 6)(b 3b 5)b 4∵b 42=b 1b 7=b 2b 6=b 3b 5，∴前七项之积(32)3×3=37(3)在等比数列{a n }中，a 2=-2，a 5=54，求a 8解：.∵a 5是a 2与a 8的等比中项，∴542=a 8×(-∴a 8=-另解：a 8=a 5q 3=a 5·2545425a a =-［合作探究］师判断一个数列是否成等比数列的方法：1、定义法；2、中项法；3、通项公式法例题3：已知{a n }{b n }是两个项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格.从中你能得出什么结论？证明你的结论a nb n a n ·b n 判断{a n ·b n }是否是等比数列例n )32(3-5×2n-11)34(10n 是自选 1自选 2师请同学们自己完成上面的表师根据这个表格，我们可以得到什么样的结论？如何证明？生得到：如果{a n }、{b n }是两个项数相同的等比数列，那么{a n ·b n }也是等比数列证明如下：设数列{a n }的公比是p ，{b n }公比是q ，那么数列{a n ·b n }的第n 项与第n ＋1项分别为a 1p n-1b 1q n-1与a 1p n b 1q n，因为pqq b p a qb p a b a b a n n n n n n n n 11111111它是一个与n 无关的常数，所以{a n ·b n }是一个以pq 为公比的等比数列［教师精讲］除了上面的证法外，我们还可以考虑如下证明思路：证法二：设数列{a n }的公比是p ，{b n }公比是q ，那么数列{a n ·b n }的第n 项、第n-1项与第n ＋1项(n ＞1,n ∈N *)分别为a 1p n-1b 1q n-1、a 1p n-2b 1q n-2与a 1p n b 1q n，因为(a n b n)2=(a1p n-1b1q n-1)2=(a1b1)2(pq) 2(n-1)(a n-1·b n-1)(a n+1·b n+1)=(a1p n-2b1q n-2)(a1p n b1q n)=(a1b1)2(pq)2(n-1)即有(a n b n)2=(a n-1·b n-1)(a n+1·b n+1)(n＞1,n∈N*所以{a n·b n}是一个等比数列师根据对等比数列的认识，我们还可以直接对数列的通项公式考察：证法三：设数列{a n}的公比是p，{b n}公比是q，那么数列{a n·b n}的通项公式为a n b n=a1p n-1b1q n-1=(a1b1)(pq) n-1设c n=a n b n,则c n=(a1b1)(pq) n-1所以{a n·b n}是一个等比数列课堂小结本节学习了如下内容：1.等比数列的性质的探究2.证明等比数列的常用方法布置作业课本第60页习题 2.4 A组第3题、B组第1题板书设计等比数列的基本性质及其应用例1例2例3。

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