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2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(04 导数及其应用)

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2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（04导数及其应用）一、选择题：1.（2015安徽文）函数()32f x ax bx cx d =+++的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）（A ）a >0，b <0，c >0，d >0 （B ）a >0，b <0，c <0，d >0 （C ）a <0，b <0，c <0，d >0 （D ）a >0，b >0，c >0，d <02．（2015福建理）若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- ，其导函数()f x ' 满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是（ ）A ．11f k k ⎛⎫<⎪⎝⎭ B ．111f k k ⎛⎫>⎪-⎝⎭ C ．1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D ． 111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 【答案】C考点：函数与导数．3．（2015福建文）“对任意(0,)2x π∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B考点：导数的应用．4.(2015全国新课标Ⅰ卷理)设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数x 0，使得0()f x 0，则a 的取值范围是（ ）A.[-，1）B. [-，）C. [，）D. [，1）【答案】D 【解析】试题分析：设()g x =(21)x e x -，y ax a =-，由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线y ax a =-的下方.因为()(21)x g x e x '=+，所以当12x <-时，()g x '＜0，当12x >-时，()g x '＞0，所以当12x =-时，max [()]g x =12-2e -，当0x =时，(0)g =-1，(1)30g e =>，直线y ax a =-恒过（1,0）斜率且a ，故(0)1a g ->=-，且1(1)3g e a a --=-≥--，解得32e≤a ＜1，故选D.考点：导数的综合应用5．(2015全国新课标Ⅱ卷理)设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞【答案】A 【解析】试题分析：记函数()()f x g x x=，则''2()()()xf x f x g x x -=，因为当0x >时，'()()0xf x f x -<，故当0x >时，'()0g x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减；又因为函数()()f x x R ∈是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞单调递减，且(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >，综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-，故选A ．考点：导数的应用、函数的图象与性质． 6. (2015陕西理)对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）A ．-1是()f x 的零点B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值 D. 点(2,8)在曲线()y f x =上 【答案】A考点：1、函数的零点； 2、利用导数研究函数的极值．二、填空题：1.（2015安徽理）设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 .（写出所有正确条件的编号）① 3,3a b =-=-；②3,2a b =-=；③3,2a b =->；④0,2a b ==；⑤1,2a b ==.与最值；函数零点问题考查时，要经常性使用零点存在性定理.2. (2015湖南理)20(1)x dx ⎰-= .【答案】0.【考点定位】定积分的计算.【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解.3、(2015全国新课标Ⅰ卷文)已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则 a = .4. (2015全国新课标Ⅱ卷文)已知曲线ln y x x =+在点()1,1 处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a = ． 【答案】8 【解析】试题分析：由11y x'=+可得曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线斜率为2,故切线方程为21y x =-,与()221y ax a x =+++ 联立得220ax ax ++=,显然0a ≠,所以由 2808a a a ∆=-=⇒=.考点：导数的几何意义.5、(2015陕西文)函数x y xe =在其极值点处的切线方程为____________. 【答案】1y e=-考点：导数的几何意义. 6. (2015陕西理)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．【答案】1.2 【解析】试题分析：建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是()11010222162⨯+-⨯⨯=，设抛物线的方程为22x py =（0p >），因为该抛物线过点()5,2，所以2225p ⨯=，解得254p =，所以2252x y =，即2225y x =，所以当前最大流量是()()5323535522224022255255257575753x dx x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=-=⨯-⨯-⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是161.2403=，所以答案应填：1.2．考点：1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．7. (2015陕西理)设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点p 处的切线垂直，则p 的坐标为 ． 【答案】()1,1 【解析】试题分析：因为x y e =，所以x y e '=，所以曲线x y e =在点()0,1处的切线的斜率0101x k y e ='===，设P 的坐标为()00,x y （00x >），则001y x =，因为1y x =，所以21y x '=-，所以曲线1y x =在点P处的切线的斜率02201x x k y x ='==-，因为121k k ⋅=-，所以2011x -=-，即201x =，解得01x =±，因为00x >，所以01x =，所以01y =，即P 的坐标是()1,1，所以答案应填：()1,1．考点：1、导数的几何意义；2、两条直线的位置关系．8、(2015四川文)已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R ).对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝1212()()f x f x x x --，n ＝1212()()g x g x x x --，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m ＞0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n ＞0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号).【答案】①④ 【解析】对于①，因为f '(x )＝2x ln 2＞0恒成立，故①正确对于②，取a ＝－8，即g '(x )＝2x －8，当x 1，x 2＜4时n ＜0，②错误 对于③，令f '(x )＝g '(x )，即2x ln 2＝2x ＋a 记h (x )＝2x ln 2－2x ，则h '(x )＝2x (ln 2)2－2【考点定位】本题主要考查函数的性质、函数的单调性、导数的运算等基础知识，考查函数与方程的思想和数形结合的思想，考查分析问题和解决能提的能力.【名师点睛】本题首先要正确认识m ，n 的几何意义，它们分别是两个函数图象的某条弦的斜率，因此，借助导数研究两个函数的切线变化规律是本题的常规方法，解析中要注意“任意不相等的实数x 1，x 2”与切线斜率的关系与差别，以及“都有”与“存在”的区别，避免过失性失误.属于较难题. 9. (2015天津文) 已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为 ． 【答案】3 【解析】试题分析：因为()()1ln f x a x '=+ ,所以()13f a '==. 考点：导数的运算法则.10.(2015天津理)曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 . 【答案】16【解析】试题分析：两曲线的交点坐标为(0,0),(1,1)，所以它们所围成的封闭图形的面积()1122300111236S x x dx x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰.考点：定积分几何意义.三、解答题：1. （2015安徽文） 已知函数)0,0()()(2>>+=r a r x axx f （Ⅰ）求)(x f 的定义域，并讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）若400=ra，求)(x f 在),0(+∞内的极值.2.（2015安徽理）设函数2()f x x ax b =-+.（Ⅰ）讨论函数(sin )f x 在(,)22ππ-内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值； （Ⅱ）记2000()f x x a x b =-+，求函数0(sin )(sin )f x f x -在[]22ππ-,上的最大值D ； （Ⅲ）在（Ⅱ）中，取000a b ==，求24a zb =-满足D 1≤时的最大值.3.（2015北京文）设函数()2ln 2x f x k x =-，0k >． （Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(上仅有一个零点．【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；极小值(1ln )2k k f -=；（2）证明详见解析.所以，()f x 的单调递减区间是)k ，单调递增区间是(,)k +∞；()f x 在x k =(1ln ))2k k f k -=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )()2k k f k -=. 因为()f x 存在零点，所以(1ln )02k k -≤，从而k e ≥. 当k e =时，()f x 在区间)e 上单调递减，且()0f e =，所以x e =()f x 在区间]e 上的唯一零点.当k e >时，()f x 在区间)e 上单调递减，且1(1)02f =>，()02e kf e -=<， 所以()f x 在区间]e 上仅有一个零点.综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间]e 上仅有一个零点.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题.4. （2015北京理）已知函数()1ln 1xf x x+=-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程；（Ⅱ）求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值． 【答案】（Ⅰ）20x y -=，（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）k 的最大值为2.试题解析：（Ⅰ）212()ln,(1,1),(),(0)2,(0)011x f x x f x f f x x+''=∈-===--，曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程为20x y -=；（Ⅱ）当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，即不等式3()2()03x f x x -+>，对(0,1)x ∀∈成立，设331()ln 2()ln(1)ln(1)2()133x x x F x x x x x x +=-+=+---+-，则422()1x F x x'=-，当()01x ∈，时，()0F x '>，故()F x 在（0，1）上为增函数，则()(0)0F x F >=，因此对(0,1)x ∀∈，3()2()3x f x x >+成立；（Ⅲ）使()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭成立，()01x ∈，，等价于31()ln ()013x x F x k x x +=-+>-，()01x ∈，；422222()(1)11kx k F x k x x x+-'=-+=--， 当[0,2]k ∈时，()0F x '≥，函数在（0，1）上位增函数，()(0)0F x F >=，符合题意；当2k >时，令402()0,(0,1)k F x x -'==∈，，显然不成立，综上所述可知：k 的最大值为2.考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论.5．（2015福建文）已知函数2(1)()ln 2x f x x -=-．(Ⅰ)求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）证明：当1x >时，()1f x x <-；（Ⅲ）确定实数k 的所有可能取值，使得存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有()()1f x k x >-．【答案】(Ⅰ) ⎛ ⎝⎭；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）(),1-∞． 【解析】(Ⅰ)求导函数()21x x f x x-++'=，解不等式'()0f x >并与定义域求交集，得函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）构造函数()()()F 1x f x x =--，()1,x ∈+∞．欲证明()1f x x <-，只需证明()F x 的最大值小于0即可；（Ⅲ）由（II ）知，当1k =时，不存在01x >满足题意；当1k >时，对于1x >，有()()11f x x k x <-<-，则()()1f x k x <-，从而不存在01x >满足题意；当1k <时，构造函数()()()G 1x f x k x =--，()0,x ∈+∞，利用导数研究函数()G x 的形状，只要存在01x >，当0(1,)x x ∈时()0G x >即可．试题解析：（I ）()2111x x f x x x x-++'=-+=，()0,x ∈+∞．由()0f x '>得2010x x x >⎧⎨-++>⎩解得102x <<．故()f x 的单调递增区间是10,2⎛+ ⎝⎭． （II ）令()()()F 1x f x x =--，()0,x ∈+∞．则有()21F x x x-'=．当()1,x ∈+∞时，()F 0x '<，所以()F x 在[)1,+∞上单调递减，故当1x >时，()()F F 10x <=，即当1x >时，()1f x x <-． （III ）由（II ）知，当1k =时，不存在01x >满足题意．当1k >时，对于1x >，有()()11f x x k x <-<-，则()()1f x k x <-，从而不存在01x >满足题意．当1k <时，令()()()G 1x f x k x =--，()0,x ∈+∞，则有()()2111G 1x k x x x k x x-+-+'=-+-=．由()G 0x '=得，()2110x k x -+-+=．解得10x =<，21x =>．当()21,x x ∈时，()G 0x '>，故()G x 在[)21,x 内单调递增．从而当()21,x x ∈时，()()G G 10x >=，即()()1f x k x >-， 综上，k 的取值范围是(),1-∞．考点：导数的综合应用．6. （2015福建理） 已知函数f()ln(1)x x =+，(),(k ),g x kx R =?(Ⅰ)证明：当0x x x ><时，f()；(Ⅱ)证明：当1k <时，存在00x >,使得对0(0),x x Î任意，恒有f()()x g x >；(Ⅲ)确定k 的所以可能取值，使得存在0t >，对任意的(0),x Î，t 恒有2|f()()|x g x x -<． 【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详见解析；(Ⅲ) =1k ． 【解析】 试题分析：(Ⅰ)构造函数()f()ln(1),(0,),F x x x x x x =-=+-??只需求值域的右端点并和0比较即可；(Ⅱ)构造函数G()f()()ln(1),(0,),x x g x x kx x =-=+-??即()0G x >，求导得1()1+G x k x ¢=- (1k)1+kx x-+-=，利用导数研究函数()G x 的形状和最值，证明当1k <时，存在00x >，使得()0G x >即可；(Ⅲ)由(Ⅰ)知，当1k >时，对于(0,),x "违+()f()g x x x ，>>故()f()g x x >，则不等式2|f()()|x g x x -<变形为2k ln(1)x x x -+<，构造函数2M()k ln(1),[0)x x x x x =-+-违，+，只需说明()0M x <，易发现函数()M x 在0x Î（递增，而(0)0M =，故不存在；当1k <时，由(Ⅱ)知，存在00x >,使得对任意的任意的0(0),x x ，Î恒有f()()x g x >，此时不等式变形为2ln(1)k x x x +-<， 构造2N()ln(1)k ,[0)x x x x x =+--违，+，易发现函数()N x 在0x Î（递增，而(0)0N =，不满足题意；当=1k 时，代入证明即可．试题解析：解法一：(1)令()f()ln(1),(0,),F x x x x x x =-=+-??则有1()11+1+x F x x x¢=-=-当(0,),x ?? ()0F x ¢<,所以()F x 在(0,)+?上单调递减； 故当0x >时，()(0)0,F x F <=即当0x >时，x x f()<．(2)令G()f()()ln(1),(0,),x x g x x kx x =-=+-??则有1(1k)()1+1+kx G x k x x-+-¢=-=当0k £ G ()0x ¢>,所以G()x 在[0,)+?上单调递增, G()(0)0x G >= 故对任意正实数0x 均满足题意.当01k <<时，令()0,x G ¢=得11=10k x k k-=->． 取01=1x k，-对任意0(0,),x x Î恒有G ()0x ¢>,所以G()x 在0[0,x )上单调递增, G()(0)0x G >=,即f()()x g x >.综上，当1k <时，总存在00x >,使得对任意的0(0),x x ，Î恒有f()()x g x >．(3)当1k >时，由（1）知，对于(0,),x "违+()f()g x x x ，>>故()f()g x x >，|f()()|()()k ln(1)x g x g x f x x x -=-=-+，令2M()k ln(1),[0)x x x x x =-+-违，+，则有21-2+(k-2)1M ()k 2=,11x x k x x x x+-¢=--++故当0x Î（时，M ()0x ¢>,M()x 在[0上单调递增，故M()M(0)0x >=,即2|f()()|x g x x ->,所以满足题意的t 不存在.当1k <时，由（2）知存在00x >,使得对任意的任意的0(0),x x ，Î恒有f()()x g x >． 此时|f()()|f()()ln(1)k x g x x g x x x -=-=+-,令2N()ln(1)k ,[0)x x x x x =+--违，+，则有2'1-2-(k+2)1()2=,11x x k N x k x x x-+=--++故当0x Î（时，N ()0x ¢>,M()x 在[0上单调递增，故N()(0)0x N >=,即2f()()x g x x ->,记0x 的为1x ，则当21(0)|f()()|x x x g x x ?>，时，恒有，故满足题意的t 不存在. 当=1k ，由（1）知，(0,),x 违当+|f()()|()()ln(1)x g x g x f x x x -=-=-+，令2H()ln(1),[0)x x x x x =-+-违，+，则有21-2H ()12=,11x xx x x x-¢=--++ 当0x >时，H ()0x ¢<,所以H()x 在[0+¥，）上单调递减，故H()(0)0x H <=,故当0x >时，恒有2|f()()|x g x x -<,此时，任意实数t 满足题意. 综上，=1k .解法二：（1）（2）同解法一.（3）当1k >时，由（1）知，对于(0,),x "违+()f()g x x x >>，，故|f()()|()()k ln(1)k (k 1)x g x g x f x x x x x x -=-=-+>-=-，令2(k 1),01x x x k -><<-解得，从而得到当1k >时，(0,1)x k ?对于恒有2|f()()|x g x x ->,所以满足题意的t 不存在.当1k <时，取11k+1=12k k k <<，从而 由（2）知存在00x >,使得0(0),x x Î任意，恒有1f()()x k x kx g x >>=.此时11|f()()|f()()(k)2kx g x x g x k x x --=->-=, 令21k 1k ,022x x x --><<解得，此时 2f()()x g x x ->, 记0x 与1-k 2中较小的为1x ，则当21(0)|f()()|x x x g x x ?>，时，恒有，故满足题意的t 不存在. 当=1k ，由（1）知，(0,),x 违当+|f()()|()()ln(1)x g x g x f x x x -=-=-+，令2M()ln(1),[0)x x x x x =-+-∈∞，+，则有212M ()12,11x xx x x x--'=--=++ 当0x >时，M ()0x ¢<,所以M()x 在[0+∞，）上单调递减，故M()M(0)0x <=,故当0x >时，恒有2|f()()|x g x x -<,此时，任意实数t 满足题意 综上，=1k .考点：导数的综合应用．7．（2015广东理）设1a >，函数a e x x f x-+=)1()(2。

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2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(03 函数的性质及其应用)

2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(03 函数的性质及其应用)

2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（03函数的性质及其应用）一、选择题1.（2015安徽文、理）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）（A ）y cos x = （B ）y sin x = （C ）y ln x = （D ）21y x =+2.（2015安徽理）函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）（A ）0a >，0b >，0c < （B ）0a <，0b >，0c > （C ）0a <，0b >，0c < （D ）0a <，0b <，0c <3、（2015北京文）下列函数中为偶函数的是（ ）A ．2sin y x x = B ．2cos y x x = C ．ln yx =D ．2xy -=【答案】B【解析】试题分析：根据偶函数的定义()()f x f x -=，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0,)+∞不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B. 考点：函数的奇偶性.4.（2015北京理）如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是（ ）AB Oxy -122CA ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤【答案】C 【解析】考点：1.函数图象；2.解不等式.5. （2015北京理）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】 【解析】试题分析：“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A 中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A 错误；B 中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B 错误，C 中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km ，消耗8升汽油，C 错误，D 中某城市机动车最高限速80千米/小时. 由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油,选D. 考点：1.函数应用问题；2.对“燃油效率”新定义的理解；3.对图象的理解. 6．（2015福建文）下列函数为奇函数的是( )A ．y x =B ．x y e =C ．cos y x =D ．x xy e e -=- 【答案】D 【解析】试题分析：函数y x =和x y e =是非奇非偶函数； cos y x =是偶函数；x xy e e -=-是奇函数，故选D ．考点：函数的奇偶性． 7．（2015福建理）下列函数为奇函数的是( ) A ．y x = B ．sin y x = C ．cos y x = D ．x x y e e -=-【答案】D考点：函数的奇偶性．8.（2015广东文）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =+ B ．2cos y x x =- C ．122x x y =+ D ．sin 2y x x =+ 【答案】A 【解析】试题分析：函数()2sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()11sin1f =+，()1sin1f x -=-，所以函数()2sin f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数()2cos f x x x=-的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()()22cos cos f x x x x x f x -=---=-=，所以函数()2cos f x x x =-是偶函数；函数()122x xf x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()112222x x x x f x f x ---=+=+=，所以函数()122x x f x =+是偶函数；函数()sin 2f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()sin 2sin 2f x x x x x f x -=-+-=--=-，所以函数()sin 2f x x x=+是奇函数．故选A ．考点：函数的奇偶性． 9．（2015广东理）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A ．xe x y += B ．x x y 1+= C ．x xy 212+= D ．21x y += 【答案】A ．【解析】令()x f x x e =+，则()11f e =+，()111f e --=-+即()()11f f -≠，()()11f f -≠-，所以x y x e =+既不是奇函数也不是偶函数，而BCD 依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A ． 【考点定位】本题考查函数的奇偶性，属于容易题．10. （2015湖北文）函数256()4||lg 3x x f x x x -+=-+-的定义域为（ ）A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4]UD ．(1,3)(3,6]-U 【答案】C .【考点定位】本题考查函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容.【名师点睛】本题看似是求函数的定义域，实质上是将根式、绝对值、对数和分式、交集等知识联系在一起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性.11. （2015湖北文）设x ∈R ，定义符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则（ ）A ．|||sgn |x x x =B ．||sgn ||x x x =C ．||||sgn x x x =D ．||sgn x x x =【答案】D .【考点定位】本题考查分段函数及其表示法，涉及新定义，属能力题.【名师点睛】以新定义为背景，重点考查分段函数及其表示，其解题的关键是准确理解题意所给的新定义，并结合分段函数的表示准确表达所给的函数.不仅新颖别致，而且能综合考察学生信息获取能力以及知识运用能力.12. （2015湖北理）已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（ ）A ．sgn[()]sgn g x x =B ．sgn[()]sgn g x x =-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】B 【解析】试题分析：因为()f x 是R 上的增函数，令x x f =)(，所以x a x g )1()(-=，因为1>a ，所以)(x g 是R 上的减函数，由符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0sgn[()]0,0sgn 1,0x g x x x x ->⎧⎪===-⎨⎪<⎩.考点：1.符号函数，2.函数的单调性.13．（2015湖北理）设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】B考点：1.函数的值域，2.不等式的性质.14、(2015湖南文、理)设函数f （x ）=ln （1+x ）-ln （1-x ），则f （x ）是( )A 、奇函数，且在（0,1）上是增函数B 、奇函数，且在（0,1）上是减函数C 、偶函数，且在（0,1）上是增函数D 、偶函数，且在（0,1）上是减函数 【答案】A 【解析】试题分析：求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可． 函数f （x ）=ln （1+x ）-ln （1-x ），函数的定义域为（-1，1），函数f （-x ）=ln （1-x ）-ln （1+x ）=-[ln （1+x ）-ln （1-x ）]=-f （x ），所以函数是奇函数．()2111'111f x x x x=+=+-- ，已知在（0,1）上()'0f x > ，所以f(x)在(0,1)上单调递增，故选A.【考点定位】函数的性质.【名师点睛】本题主要考查了以对数函数为背景的单调性与奇偶性，属于中档题，首先根据函数奇偶性的判定可知其为奇函数，判定时需首先考虑定义域关于原点对称是函数为奇函数的必要条件，再结合复合函数单调性的判断，即可求解.15、(2015全国新课标Ⅰ卷文)已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ，且()3f a =-，则(6)f a -=（ ）（A ）74-（B ）54- （C ）34- （D ）14-16、(2015全国新课标Ⅰ卷文)设函数()y f x =的图像与2x ay +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =( )（A ） 1- （B ）1 （C ）2 （D ）417．(2015全国新课标Ⅱ卷理)设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( )A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C 【解析】试题分析：由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2log 121>，所以22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=，故选C ．考点：分段函数．18．(2015全国新课标Ⅱ卷文、理)如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B考点：函数图像19. (2015山东文)设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) （A ）a ＜b ＜c （B ）a ＜c ＜b （C ）b ＜a ＜c （D ）b ＜c ＜a 【答案】C 【解析】试题分析：由0.6xy =在区间(0,)+∞是单调减函数可知， 1.50.600.60.61<<<，又0.61.51>，故选C.考点：1.指数函数的性质；2.函数值比较大小.20. (2015山东文)若函数21()2x x f x a+=-是奇函数，则使f （x ）>3成立的x 的取值范围为( )（A ）( ) (B)() （C ）（0,1） （D ）（1，+）【答案】C 【解析】试题分析：由题意()()f x f x =--，即2121,22x x xx a a--++=---所以，(1)(21)0,1x a a -+==，21(),21x x f x +=-由21()321x x f x +=>-得，122,01,x x <<<<故选C.考点：1.函数的奇偶性；2.指数运算.21. (2015山东文) 设函数3,1()2,1xx b x f x x -<⎧=⎨≥⎩，若5(())46f f =，则b=( ) （A ）1 （B ）78 （C ）34 (D)12【答案】D【解析】试题分析：由题意，555()3,662f b b =⨯-=-由5(())46f f =得，51253()42b b b ⎧-<⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩或5251224bb -⎧-≥⎪⎨⎪=⎩，解得12b =，故选D.考点：1.分段函数；2.函数与方程.22.(2015山东理)设函数()31,1,2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()()()2f a f f a =的a 取值范围是（ ）（A ）2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）[]0,1 （C ）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（D ）[)1,+∞【答案】C【考点定位】1、分段函数；2、指数函数.【名师点睛】本题以分段函数为切入点，深入考查了学生对函数概念的理解与掌握，同时也考查了学生对指数函数性质的理解与运用，渗透着对不等式的考查，是一个多知识点的综合题.23.(2015陕西文)设1,0()2,0xx x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，则((2))f f -=（ ） A ．1- B ．14 C ．12 D ．32【答案】C考点：1.分段函数；2.函数求值.24. (2015陕西文) 设()sin f x x x =-，则()f x =（ ） A ．既是奇函数又是减函数 B ．既是奇函数又是增函数 C ．是有零点的减函数 D ．是没有零点的奇函数 【答案】B 【解析】试题分析：()sin ()()sin()sin (sin )()f x x x f x x x x x x x f x =-⇒-=---=-+=--=- 又()f x 的定义域为R 是关于原点对称，所以()f x 是奇函数；()1cos 0()f x x f x '=-≥⇒是增函数. 故答案选B考点：函数的性质.25.(2015四川理)如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则mn 的最大值为（ ）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812【答案】B【考点定位】函数与不等式的综合应用.【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现.26.(2015四川文)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系kx b y e +=( 2.718...e =为自然对数的底数，,k b 为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是( )(A )16小时 (B )20小时 (C )24小时 (D )21小时 【答案】C【考点定位】本题考查指数函数的概念及其性质，考查函数模型在现实生活中的应用，考查整体思想，考查学生应用函数思想解决实际问题的能力.【名师点睛】指数函数是现实生活中最常容易遇到的一种函数模型，如人口增长率、银行储蓄等等，与人们生活密切相关.本题已经建立好了函数模型，只需要考生将已知的两组数据代入，即可求出其中的待定常数.但本题需要注意的是：并不需要得到k 和b 的准确值，而只需求出e b 和e 11k，然后整体代入后面的算式，即可得到结论，否则将增加运算量.属于中档题.27.(2015天津理)已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为（ ） （A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<【答案】C 【解析】试题分析：因为函数()21x mf x -=-为偶函数，所以0m =，即()21xf x =-，所以221log log 330.521(log 3)log 2121312,3a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭()()2log 502log 5214,2(0)210b f c f m f ==-====-= 所以c a b <<，故选C.考点：1.函数奇偶性；2.指数式、对数式的运算.28.(2015天津理)已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）（A ）7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】试题分析：由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩， 即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知724b <<.86422468151055101529. (2015天津文)已知定义在R 上的函数||()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）(A) b c a << (B) b c a << (C) b a c << (D) b c a <<【答案】B 【解析】试题分析：由()f x 为偶函数得0m =,所以2,4,0a b c ===,故选B. 考点：1.函数奇偶性；2.对数运算.30. (2015天津文) 已知函数22||,2()(2),2x x f x x x ì-?ï=í->ïî,函数()3(2)g x f x =--,则函数y ()()f x g x =-的零点的个数为（ ）(A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5 【答案】A考点：函数与方程.31. (2015浙江理) 存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ）A.(sin 2)sin f x x =B.2(sin 2)f x x x =+ C.2(1)1f x x +=+ D.2(2)1f x x x +=+32、(2015浙江文)函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D 【解析】试题分析：因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A, B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.33、(2015浙江文)设实数a ，b ，t 满足1sin a b t +==（ ）A ．若t 确定，则2b 唯一确定B ．若t 确定，则22a a +唯一确定C ．若t 确定，则sin 2b唯一确定 D ．若t 确定，则2a a +唯一确定 【答案】B 【解析】试题解析：因为1sin a b t +==，所以222(1)sin a b t +==，所以2221a a t +=-，故当t 确定时，21t -确定，所以22a a +唯一确定.故选B.考点：函数概念34. (2015重庆文) 函数22(x)log (x 2x 3)f =+-的定义域是（ ） (A) [3,1]- (B) (3,1)-(C) (,3][1,)-∞-+∞U (D) (,3)(1,)-∞-+∞U 【答案】D【解析】试题分析：由0)1)(3(0322>-+⇒>-+x x x x 解得3-<x 或1>x ； 故选D.考点：函数的定义域与二次不等式.二、填空1. (2015全国新课标Ⅰ卷理)若函数f (x )=x ln （x +2a x +）为偶函数，则a =【答案】1考点：函数的奇偶性2. (2015全国新课标Ⅱ卷文)已知函数()32f x ax x =-的图像过点（-1,4）,则a = ． 【答案】-2【解析】试题分析：由()32f x ax x =-可得()1242f a a -=-+=⇒=- .考点：函数解析式3.（2015安徽文）=-+-1)21(2lg 225lg.【名师点睛】本题主要考查考生的基本运算能力，熟练掌握对数运算公式和指数幂运算公式是解决本题的关键.4.（2015安徽文）在平面直角坐标系xOy 中，若直线a y 2=与函数1||--=a x y 的图像只有一个交点，则a 的值为 .5、（2015北京文）32-，123，2log 5三个数中最大数的是 ． 【答案】2log 5 【解析】试题分析：31218-=<，12331=>，22log 5log 423>>2log 5最大.考点：比较大小.6. （2015北京理）设函数()()()2142 1.x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩‚‚‚≥①若1a =，则()f x 的最小值为；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．【答案】(1)1，(2)112a ≤<或2a ≥. 考点：1.函数的图象；2.函数的零点；3.分类讨论思想.加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米）2015年5月1日 1235000 2015年5月15日48 35600 千米平均耗油量为（ ）A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升 【答案】B 【解析】 试题分析：因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量48V =升. 而这段时间内行驶的里程数3560035000600S =-=千米. 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为481008600⨯=升，故选B. 考点：平均耗油量.8．（2015福建文）若函数()2() x afx a R-=∈满足(1)(1)f x f x+=-，且()f x在[,)m+∞单调递增，则实数m的最小值等于_______．【答案】1【解析】试题分析：由(1)(1)f x f x+=-得函数()f x关于1x=对称，故1a=，则1()2xf x-=，由复合函数单调性得()f x在[1,)+∞递增，故1m≥，所以实数m的最小值等于1．考点：函数的图象与性质．9．（2015福建理）若函数()6,2,3log,2,ax xf xx x-+≤⎧=⎨+>⎩（0a>且1a≠）的值域是[)4,+∞，则实数a的取值范围是．【答案】(1,2]考点：分段函数求值域．10.(2015湖北文)a为实数，函数2()||f x x ax=-在区间[0,1]上的最大值记为()g a. 当a=_________时，()g a的值最小.【答案】222-.【考点定位】本题考查分段函数的最值问题和函数在区间上的最值问题，属高档题.【名师点睛】将含绝对值的二次函数在区间上的最值问题和分段函数的最值问题融合在一起，运用分类讨论的思想将含绝对值问题转化为分段函数的问题，充分体现了分类讨论和化归转化的数学思想，能较好的考查知识综合能力.其解题的关键是运用分类讨论求出()g a的表达式和分段函数在区间上的最值求法.11、(2015湖南文)若函数f （x ）=| 2x -2 |-b 有两个零点，则实数b 的取值范围是_____. 【答案】0＜b ＜2考点：函数零点12.(2015湖南理)已知32,(),x x af x x x a ⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a的取值范围是 .【答案】),1()0,(+∞-∞Y .【考点定位】1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想.【名师点睛】本题主要考查了函数的零点，函数与方程等知识点，属于较难题，表面上是函数的零点问题，实际上是将问题等价转化为不等式组有解的问题，结合函数与方程思想和转化思想求解函数综合问题，将函数的零点问题巧妙的转化为不等式组有解的参数，从而得到关于参数a 的不等式，此题是创新题，区别于其他函数与方程问题数形结合转化为函数图象交点的解法，从另一个层面将问题进行转化，综合考查学生的逻辑推理能力.13. (2015江苏)不等式224x x-<的解集为________. 【答案】(1,2).- 【解析】试题分析：由题意得：2212x x x -<⇒-<<，解集为(1,2).- 考点：解指数不等式与一元二次不等式14. (2015江苏)已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为【答案】4考点：函数与方程15. (2015山东理)已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ，则a b += .【答案】32-【考点定位】指数函数的性质.【名师点睛】本题考查了函数的有关概念与性质，重点考查学生对指数函数的性质的理解与应用，利用方程的思想解决参数的取值问题，注意分类讨论思想方法的应用.16. (2015上海文)设)(1x f -为12)(+=x x x f 的反函数，则=-)2(1f . 【答案】32-17、(2015上海文、理)方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ． 【答案】2【解析】设13,(0)x t t -=>，则2222log (5)log (2)254(2)0t t t t -=-+⇒-=->21430,5333112x t t t t x x -⇒-+=>⇒=⇒=⇒-=⇒= 【考点定位】解指对数不等式【名师点睛】利用24log 2=，)0,0(log log log >>=+n m mn n m a a a 将已知方程变形同底数2的两个对数式相等，再根据真数相等得到关于x 的指数方程，再利用换元法求解.与对数有关的问题，应注意对数的真数大于零.18、(2015上海理)设()1f x -为()222x x f x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 ． 【答案】419. (2015四川理)某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C ο）满足函数关系b kx ey +=（Λ718.2=e 为自然对数的底数，k 、b 为常数）。

2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全( 数列)

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2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全（数列）一、选择题：1.（2015北京理） 设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则213a a a >D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】C考点：1.等差数列通项公式；2.作差比较法2．（2015福建理）若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】D 【解析】 试题分析：由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4b a=．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1a =，4b =；当4a 是等差中项时，82a a=-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=，选D ．考点：等差中项和等比中项．3、(2015全国新课标Ⅰ卷文)已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） （A ）172 （B ）192（C ）10 （D ）124. (2015全国新课标Ⅱ卷文)设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11【答案】A 【解析】试题解析：13533331a a a a a ++==⇒=,()15535552a a S a +===.故选A. 考点：等差数列5．(2015全国新课标Ⅱ卷理)等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 【答案】B考点：等比数列通项公式和性质．6．(2015全国新课标Ⅱ卷文)已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（ ）A.2B.1C.12 1D.8【答案】C【解析】试题分析：由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=,所以34182a q q a ==⇒= ,故2112a a q == ,选C.考点：等比数列.7. (2015浙江理)已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（ ）A.140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D. 140,0a d dS <>8．(2015重庆理)在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （ ）A 、-1B 、0C 、1D 、6【答案】B【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式与等差数列的性质.二、填空题：1.（2015安徽文）已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于 .2.（2015安徽理）已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .3．（2015福建文）若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于________． 【答案】9考点：等差中项和等比中项．4．（2015广东理）在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a += 【答案】10．【解析】因为{}n a 是等差数列，所以37462852a a a a a a a +=+=+=，345675525a a a a a a ++++==即55a =，285210a a a +==，故应填入10．【考点定位】本题考查等差数列的性质及简单运算，属于容易题．5. （2015广东文）若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中526a =+56c =-则b = ．【答案】1 【解析】试题分析：因为三个正数a ，b ，c 成等比数列，所以(25265261b ac ==+-=，因为0b >，所以1b =，所以答案应填：1． 考点：等比中项．6. (2015浙江文)已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a = ，d = ． 【答案】2,13- 【解析】试题分析：由题可得，2111(2)()(6)a d a d a d +=++，故有1320a d +=，又因为1221a a +=，即131a d +=，所以121,3d a =-=. 考点：1.等差数列的定义和通项公式；2.等比中项.7.(2015湖南理)设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，且13S ，22S ，3S 成等差数列，则n a = .【答案】13-n .【考点定位】等差数列与等比数列的性质.【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质，属于容易题，在解题过程中，需要建立关于等比数列基本量q 的方程即可求解，考查学生等价转化的思想与方程思想.8. (2015江苏)数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为 【答案】2011【解析】试题分析：由题意得：112211(1)()()()1212n n n n n n n a a a a a a a a n n ---+=-+-++-+=+-+++=所以1011112202(),2(1),11111n n n S S a n n n n =-=-==+++ 考点：数列通项，裂项求和9、(2015全国新课标Ⅰ卷文)数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .10．(2015全国新课标Ⅱ卷理)设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．【答案】1n-【解析】试题分析：由已知得111n n n n n a S S S S +++=-=⋅，两边同时除以1n n S S +⋅，得1111n nS S +=--，故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为首项，1-为公差的等差数列，则11(1)n S n n =---=-，所以1nS n =-． 考点：等差数列和递推关系．11. (2015陕西文、理)中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ． 【答案】5 【解析】试题分析：设数列的首项为1a ，则12015210102020a +=⨯=，所以15a =，故该数列的首项为5，所以答案应填：5． 考点：等差中项．三、解答题：1. （2015安徽文）已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .2.（2015安徽理） 设*n N ∈，n x 是曲线221n y x+=+在点(12)，处的切线与x 轴交点的横坐标.（Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式； （Ⅱ）记2221321n n T x x x -=，证明14n T n≥.3、（2015北京文）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ 【答案】（1）42(1)22n a n n =+-=+；（2）6b 与数列{}n a 的第63项相等.【解析】试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用等差数列的通项公式，将1234,,,a a a a 转化成1a 和d ，解方程得到1a 和d 的值，直接写出等差数列的通项公式即可；第二问，先利用第一问的结论得到2b 和3b 的值，再利用等比数列的通项公式，将2b 和3b 转化为1b 和q ，解出1b 和q 的值，得到6b 的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出n 的值，即项数. 试题解析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d. 因为432a a -=，所以2d =.又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =. 所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,)n =.（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q . 因为238b a ==，3716b a ==， 所以2q =，14b =.所以61642128b -=⨯=.由12822n =+，得63n =. 所以6b 与数列{}n a 的第63项相等. 考点：等差数列、等比数列的通项公式.4. （2015北京理）已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a ≤，且121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，()12n =，，…． 记集合{}*|n M a n =∈N ．（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．【答案】（1）{6,12,24}M =，（2）证明见解析，（3）8 【解析】 ①试题分析：（Ⅰ）由16a =，可知23412,24,12,a a a ===则{6,12,24}M =；（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，用数学归纳法证明对任意n k ≥，n a 是3的倍数，当1k =时，则M 中的所有元素都是3的倍数，如果1k >时，因为12k k a a -=或1236k a --，所以12k a -是3的倍数，于是1k a -是3的倍数，类似可得，21,......k a a -都是3的倍数，从而对任意1n ≥，n a 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数.第二步集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，由已知121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，，用数学归纳法证明对任意n k ≥，n a 是3的倍数；第三步由于M 中的元素都不超过36，M 中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由n a 的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，由定义可知，1n a +和2n a 除以9的余数一样，分n a 中有3的倍数和n a 中没有3的倍数两种情况，研究集合M 中的元素个数，最后得出结论集合M 的元素个数的最大值为8.试题解析：（Ⅰ）由已知121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，可知：12346,12,24,12,a a a a ===={6,12,24}M ∴=（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，由已知121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，，可用用数学归纳法证明对任意n k ≥，n a 是3的倍数，当1k =时，则M 中的所有元素都是3的倍数，如果1k >时，因为12k k a a -=或1236k a --，所以12k a -是3的倍数，于是1k a -是3的倍数，类似可得，21,......k a a -都是3的倍数，从而对任意1n ≥，n a 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数.（Ⅲ）由于M 中的元素都不超过36，由136a ≤，易得236a ≤，类似可得36n a ≤，其次M 中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由n a 的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，另外，M 中的数除以9的余数,由定义可知，1n a +和2n a 除以9的余数一样，考点：1.分段函数形数列通项公式求值；2.归纳法证明；3.数列元素分析.5．（2015福建文） 等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．【答案】（Ⅰ）2n a n =+；（Ⅱ）2101．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用基本量法可求得1,a d ，进而求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列前n 项和，首先考虑其通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题2nn b n =+，故可采取分组求和法求其前10项和．试题解析：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ． 由已知得()()11143615a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩．所以()112n a a n d n =+-=+．考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法．6、（2015广东文）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+．()1求4a 的值； ()2证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； ()3求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）78；（2）证明见解析；（3）()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.7．（2015广东理）数列{}n a 满足1212242-+-=+⋅⋅⋅++n n n na a a , *N n ∈. (1) 求3a 的值；(2) 求数列{}n a 前n 项和n T ； (3) 令11b a =，()11111223n n n T b a n n n -⎛⎫=++++⋅⋅⋅+≥ ⎪⎝⎭，证明：数列{}n b 的前n 项和n S 满足n S n ln 22+<【答案】（1）14；（2）1122n -⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）见解析．（3）依题由1211112n n n a a a b a n n -+++⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭知11b a =，1221122a b a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，【考点定位】本题考查递推数列求项值、通项公式、等比数列前n 项和、不等式放缩等知识，属于中高档题． 8．（2015湖北理）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩；（Ⅱ）12362n n -+-.2345113579212222222n n n T -=++++++. ② ①-②可得221111212323222222n n n n n n T --+=++++-=-，故n T 12362n n -+=-.考点：1.等差数列、等比数列通项公式，2.错位相减法求数列的前n 项和. 9. (2015湖北文)设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩；（Ⅱ）12362n n n T -+=-.【考点定位】本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和，属中档题.【名师点睛】这是一道简单综合试题，其解题思路：第一问直接借助等差、等比数列的通项公式列出方程进行求解，第二问运用错位相减法直接对其进行求和.体现高考坚持以基础为主，以教材为蓝本，注重计算能力培养的基本方向.10. (2015湖南文)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121,2a a ==，且13n n a S +=*13,()n S n N +-+∈，（I ）证明：23n n a a +=； （II ）求n S 。

2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(05-不等式)

2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(05-不等式)

2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（05不等式）一、选择题：1.（2015安徽文）已知x，y满足约束条件，则的最大值是（）（A）-1 （B）-2（C）-5 （D）12.（2015北京理）若，满足则的最大值为（）A．0 B．1 C． D．2【答案】D【解析】试题分析：如图，先画出可行域，由于，则，令，作直线，在可行域中作平行线，得最优解，此时直线的截距最大，取得最小值2.考点：线性规划；3．（2015福建文）若直线过点，则的最小值等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C考点：基本不等式．4．（2015福建理）若变量满足约束条件则的最小值等于 ( )A． B． C． D．2【答案】A【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，目标函数变形为，当最小时，直线的纵截距最大，故将直线经过可行域，尽可能向上移到过点时，取到最小值，最小值为，故选A．考点：线性规划．5．（2015福建文）变量满足约束条件，若的最大值为2，则实数等于（）A． B．C． D．【答案】C【解析】x–1–2–3–41234–1–2–3–4123BOC试题分析：将目标函数变形为，当取最大值，则直线纵截距最小，故当时，不满足题意；当时，画出可行域，如图所示， 其中．显然不是最优解，故只能是最优解，代入目标函数得，解得，故选C ．考点：线性规划．6.（2015广东文）若变量，满足约束条件，则的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C考点：线性规划．7．（2015广东理）若变量，满足约束条件则的最小值为（）A ． B. 6 C. D. 4【答案】．【解析】不等式所表示的可行域如下图所示，由得，依题当目标函数直线：经过时，取得最小值即，故选【考点定位】本题考查二元一次不等式的线性规划问题，属于容易题．8.（2015广东文）不等式的解集为．（用区间表示）【答案】【解析】试题分析：由得：，所以不等式的解集为，所以答案应填：．考点：一元二次不等式．9、(2015湖南文)若变量x、y满足约束条件，则z=2x-y的最小值为( )A、-1B、0C、1D、2【答案】AxyOAl考点：简单的线性规划10. (2015湖南理)若变量，满足约束条件，则的最小值为（）A.-7B.-1C.1D.2【答案】A.而可知当，时，的最小值是，故选A.【考点定位】线性规划.【名师点睛】本题主要考查了利用线性规划求线性目标函数的最值，属于容易题，在画可行域时，首先必须找准可行域的范围，其次要注意目标函数对应的直线斜率的大小，从而确定目标函数取到最优解时所经过的点，切忌随手一画导致错解.11、(2015湖南文)若实数a，b满足，则ab的最小值为( )A、 B、2 C、2 D、4【答案】C考点：基本不等式12.(2015山东理)已知满足约束条件，若的最大值为4，则（）（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3【答案】B【解析】不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，若的最大值为4，则最优解可能为或，经检验，是最优解，此时；不是最优解.故选B.【考点定位】简单的线性规划问题.【名师点睛】本题考查了简单的线性规划问题，通过确定参数的值，考查学生对线性规划的方法理解的深度以及应用的灵活性，意在考查学生利用线性规划的知识分析解决问题的能力.13.(2015陕西理)设，若，，，则下列关系式中正确的是（）A． B． C． D．【答案】C考点：1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性．14.(2015陕西文)设，若，，，则下列关系式中正确的是（）A．B．C．D．【答案】【解析】试题分析：；；因为，由是个递增函数，所以，故答案选考点：函数单调性的应用.15. (2015陕西文)某企业生产甲乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元【答案】当直线过点时，取得最大值故答案选考点：线性规划.16. (2015陕西理)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元【答案】D【解析】试题分析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨，则利润由题意可列，其表示如图阴影部分区域：当直线过点时，取得最大值，所以，故选D．考点：线性规划．17. (2015上海文)下列不等式中，与不等式解集相同的是（）.A. B.C. D.【答案】B18、(2015上海理)记方程①：，方程②：，方程③：，其中，，是正实数．当，，成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根【答案】B【解析】当方程①有实根，且②无实根时，，从而即方程③：无实根，选B.而A,D由于不等式方向不一致，不可推；C推出③有实根【考点定位】不等式性质19.(2015重庆文)若不等式组,表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（）(A)-3 (B) 1 (C) (D)3【答案】B【解析】试题分析：如图，；由于不等式组,表示的平面区域为三角形ABC，且其面积等于，再注意到直线AB：x+y-2=0与直线BC:x-y+2m=0互相垂直，所以三角形ABC是直角三角形；易知，A（2，0），B（1-m,m+1）,C();从而=，化简得：，解得m=-3,或m=1；检验知当m=-3时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去；所以m=1;故选B.考点：线性规划.20、(2015四川文)设实数x，y满足，则xy的最大值为( )(A) (B) (C)12 (D)14【答案】A【考点定位】本题主要考查线性规划与基本不等式的基础知识，考查知识的整合与运用，考查学生综合运用知识解决问题的能力.【名师点睛】本题中，对可行域的处理并不是大问题，关键是“求xy最大值”中，xy已经不是“线性”问题了，如果直接设xy＝k，，则转化为反比例函数y＝的曲线与可行域有公共点问题，难度较大，且有超出“线性”的嫌疑.而上面解法中，用基本不等式的思想，通过系数的配凑，即可得到结论，当然，对于等号成立的条件也应该给以足够的重视.属于较难题.21.(2015天津文)设变量满足约束条件,则目标函数的最大值为（）(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)14【答案】C考点：线性规划22.( 2015天津理)设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（）（A）3 （B）4 （C）18 （D）40【答案】C864224681510551015AB考点：线性规划.23、(2015浙江文)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，，，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，，，且．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（）A．B．C．D．【答案】B考点：1.不等式性质；2.不等式比较大小.二、填空题:1、（2015北京文）如图，及其内部的点组成的集合记为，为中任意一点，则的最大值为．【答案】7考点：线性规划.2.（2015湖北文）若变量满足约束条件则的最大值是_________．【答案】.【考点定位】本题考查线性规划的最值问题，属基础题.【名师点睛】这是一道典型的线性规划问题，重点考查线性规划问题的基本解决方法，体现了数形结合的思想在数学解题中重要性和实用性，能较好的考查学生准确作图能力和灵活运用基础知识解决实际问题的能力.3、(2015全国新课标Ⅰ卷文)若x,y满足约束条件 ,则z=3x+y的最大值为．【答案】4【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线：，平移直线，当直线:z=3x+y 过点A时，z取最大值，由解得A（1,1），∴z=3x+y的最大值为4.【考点定位】简单线性规划解法【名师点睛】对线性规划问题，先作出可行域，在作出目标函数，利用z的几何意义，结合可行域即可找出取最值的点，通过解方程组即可求出做最优解，代入目标函数，求出最值，要熟悉相关公式，确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键，目标函数常有距离型、直线型和斜率型.4.(2015全国新课标Ⅰ卷理)若x,y满足约束条件，则的最大值为 .【答案】3【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.考点：线性规划解法5. (2015全国新课标Ⅱ卷文)若x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为．【答案】8考点：线性规划6．(2015全国新课标Ⅱ卷理)若x，y满足约束条件，则的最大值为____________．【答案】【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数变形为，当取到最大时，直线的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到，则的最大值为．考点：线性规划．xy–1–2–3–41234–1–2–3–41234DCBO7. (2015山东文)若x,y满足约束条件则的最大值为 .【答案】【解析】试题分析：画出可行域及直线，平移直线，当其经过点时，直线的纵截距最大，所以最大为.考点：简单线性规划.8. (2015山东文)定义运算“”：（）.当时，的最小值是 .【答案】【解析】试题分析：由新定义运算知，，因为，，所以，，当且仅当时，的最小值是.考点：1.新定义运算；2.基本不等式.9. (2015上海文)若满足，则目标函数的最大值为 .【答案】3【考点定位】不等式组表示的平面区域，简单的线性规划.10. (2015天津文)已知则当a的值为时取得最大值.【答案】4【解析】试题分析：当时取等号,结合可得考点：基本不等式.11.(2015重庆文)设,则的最大值为________.【答案】考点：基本不等式.12、(2015浙江文)已知实数，满足，则的最大值是．【答案】15【解析】试题分析：由图可知当时，满足的是如图的劣弧，则在点处取得最大值5；当时，满足的是如图的优弧，则与该优弧相切时取得最大值，故，所以，故该目标函数的最大值为.考点：1.简单的线性规划；13. (2015浙江理)若实数满足，则的最小值是．三、解答题。

2015年全国各地高考数学试题(卷)与解答分类汇编大全(05_不等式)

2015年全国各地高考数学试题(卷)与解答分类汇编大全(05_不等式)

2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（05不等式）一、选择题：1.（2015文）已知x，y满足约束条件401x yx yy-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则yxz+-=2的最大值是（）（A）-1 （B）-2（C）-5 （D）12.（2015理）若x，y满足1x yx yx-⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y=+的最大值为（）A．0 B．1 C．32D．2【答案】D【解析】试题分析：如图，先画出可行域，由于2z x y=+，则1122y x z=-+，令0Z=，作直线12y x=-，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z取得最小值2.考点：线性规划；3．（2015文）若直线1(0,0)x ya ba b+=>>过点(1,1)，则a b+的最小值等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C考点：基本不等式．4．（2015理）若变量,x y满足约束条件20,0,220,x yx yx y+≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y=-的最小值等于 ( ) A．52- B．2- C．32- D．2【答案】A【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，目标函数变形为2y x z=-，当z最小时，直线2y x z=-的纵截距最大，故将直线2y x=经过可行域，尽可能向上移到过点1(1,)2B-时，z取到最小值，最小值为152(1)22z=⨯--=-，故选A．考点：线性规划．5．（2015文）变量,x y满足约束条件220x yx ymx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，若2z x y=-的最大值为2，则实数m等于（）A．2- B．1-C．1 D．2【答案】C【解析】x–1–2–3–41234–1–2–3–4123BOC试题分析：将目标函数变形为2y x z =-，当z 取最大值，则直线纵截距最小，故当0m ≤时，不满足题意；当0m >时，画出可行域，如图所示， 其中22(,)2121mB m m --．显然(0,0)O 不是最优解，故只能22(,)2121m B m m --是最优解，代入目标函数得4222121mm m -=--，解得1m =，故选C ．考点：线性规划．6.（2015文）若变量x ，y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．2 【答案】C考点：线性规划．7．（2015理）若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x 则y x z 23+=的最小值为（ ）A ．531 B. 6 C. 523D. 4【答案】C ．【解析】不等式所表示的可行域如下图所示，由32z x y =+得322z y x =-+，依题当目标函数直线l ：322z y x =-+经过41,5A ⎛⎫⎪⎝⎭时，z 取得最小值即min42331255z =⨯+⨯=，故选C【考点定位】本题考查二元一次不等式的线性规划问题，属于容易题．8. （2015文）不等式2340x x --+>的解集为 ．（用区间表示） 【答案】()4,1- 【解析】试题分析：由2340x x --+<得：41x -<<，所以不等式2340x x --+>的解集为()4,1-，所以答案应填：()4,1-． 考点：一元二次不等式．9、(2015文)若变量x 、y 满足约束条件111x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则z=2x-y 的最小值为( )A 、-1B 、0C 、1D 、2【答案】AxyOA l考点：简单的线性规划10. (2015理)若变量x，y满足约束条件1 211 x yx yy+≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则3z x y=-的最小值为（）A.-7B.-1C.1D.2【答案】A.而可知当2-=x，1=y时，min3(2)17z=⨯--=-的最小值是7-，故选A.【考点定位】线性规划.【名师点睛】本题主要考查了利用线性规划求线性目标函数的最值，属于容易题，在画可行域时，首先必须找准可行域的围，其次要注意目标函数对应的直线斜率的大小，从而确定目标函数取到最优解时所经过的点，切忌随手一画导致错解.11、(2015文)若实数a，b满足12aba b+=，则ab的最小值为( )A2 B、2 C、2 D、4【答案】C考点：基本不等式12.(2015理)已知,x y满足约束条件2x yx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y=+的最大值为4，则a=（）（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3 【答案】B【解析】不等式组2xyx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，若z ax y=+的最大值为4，则最优解可能为1,1x y==或2,0x y==，经检验，2,0x y==是最优解，此时2a=；1,1x y==不是最优解.故选B.【考点定位】简单的线性规划问题.【名师点睛】本题考查了简单的线性规划问题，通过确定参数a的值，考查学生对线性规划的方法理解的深度以及应用的灵活性，意在考查学生利用线性规划的知识分析解决问题的能力.13.(2015理)设()ln,0f x x a b=<<，若)p f ab=，()2a bq f+=，1(()())2r f a f b=+，则下列关系式中正确的是（）A．q r p=< B．q r p=> C．p r q=< D．p r q=>【答案】C考点：1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性．14. (2015文)设()ln ,0f x x a b =<<，若()p f ab =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ）A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q => 【答案】C 【解析】试题分析：1()ln ln 2p f ab ab ab ===；()ln22a b a bq f ++==；11(()())ln 22r f a f b ab =+=因为2a b ab +>，由()ln f x x =是个递增函数，()()2a b f f ab +>所以q p r >=，故答案选C考点：函数单调性的应用.15. (2015文) 某企业生产甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128万元【答案】D当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时，z 取得最大值324318z =⨯+⨯=故答案选D考点：线性规划.16. (2015理)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）D ．18万元甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128【解析】试题分析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x 、y 吨，则利润34z x y =+由题意可列32122800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，其表示如图阴影部分区域：当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时，z 取得最大值，所以max 324318z =⨯+⨯=，故选D ． 考点：线性规划．17. (2015文)下列不等式中，与不等式23282<+++x x x 解集相同的是（ ）.A. 2)32)(8(2<+++x x xB. )32(282++<+x x xC.823212+<++xxxD.218322>+++xxx【答案】B18、(2015理)记方程①：2110x a x++=，方程②：2220x a x++=，方程③：2340x a x++=，其中1a，2a，3a是正实数．当1a，2a，3a成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根【答案】B【解析】当方程①有实根，且②无实根时，22124,8a a≥<，从而4222321816,4aaa=<=即方程③：2340x a x++=无实根，选B.而A,D由于不等式方向不一致，不可推；C推出③有实根【考点定位】不等式性质19. (2015文)若不等式组2022020x yx yx y m+-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m的值为（）(A)-3 (B) 1 (C)43(D)3【答案】B【解析】试题分析：如图，；由于不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,表示的平面区域为三角形ABC ，且其面积等于43，再注意到直线AB ：x+y-2=0与直线BC:x-y+2m=0互相垂直，所以三角形ABC 是直角三角形；易知，A （2，0），B （1-m,m+1）,C(2422,33m m -+); 从而112222122223ABC m S m m m ∆+=+⋅+-+⋅=43，化简得：2(1)4m +=，解得m=-3,或m=1；检验知当m=-3时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去；所以m=1; 故选B.考点：线性规划.20、(2015文)设实数x ，y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy 的最大值为( )(A )252(B )492 (C )12 (D )14【答案】A【考点定位】本题主要考查线性规划与基本不等式的基础知识，考查知识的整合与运用，考查学生综合运用知识解决问题的能力.【名师点睛】本题中，对可行域的处理并不是大问题，关键是“求xy 最大值”中，xy 已经不是“线性”问题了，如果直接设xy ＝k ，，则转化为反比例函数y ＝的曲线与可行域有公共点问题，难度较大，且有超出“线性”的嫌疑.而上面解法中，用基本不等式的思想，通过系数的配凑，即可得到结论，当然，对于等号成立的条件也应该给以足够的重视.属于较难题.21.(2015天津文)设变量,y x 满足约束条件2020280x x y x y ì-?ïï-?íï+-?ïî,则目标函数3y z x =+的最大值为（ ）(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)14【答案】C考点：线性规划22.( 2015天津理)设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y =+的最大值为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）18 （D ）40【答案】C864224681510551015AB考点：线性规划.23、(2015文)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m）分别为x，y，z，且x y z<<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m）分别为a，b，c，且a b c<<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（）A．ax by cz++ B．az by cx++ C．ay bz cx++ D．ay bx cz++【答案】B考点：1.不等式性质；2.不等式比较大小.二、填空题:1、（2015文）如图，C∆AB及其部的点组成的集合记为D，(),x yP为D中任意一点，则23z x y=+的最大值为．【答案】7考点：线性规划.2.（2015文）若变量,x y满足约束条件4,2,30,x yx yx y+≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y+的最大值是_________．【答案】10.【考点定位】本题考查线性规划的最值问题，属基础题.【名师点睛】这是一道典型的线性规划问题，重点考查线性规划问题的基本解决方法，体现了数形结合的思想在数学解题中重要性和实用性，能较好的考查学生准确作图能力和灵活运用基础知识解决实际问题的能力.3、(2015全国新课标Ⅰ卷文)若x,y满足约束条件20210220x yx yx y+-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩,则z=3x+y的最大值为．【答案】4【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线l：30x y+=，平移直线l，当直线l:z=3x+y 过点A时，z取最大值，由2=021=0x yx y+-⎧⎨-+⎩解得A（1,1），∴z=3x+y的最大值为4.【考点定位】简单线性规划解法【名师点睛】对线性规划问题，先作出可行域，在作出目标函数，利用z的几何意义，结合可行域即可找出取最值的点，通过解方程组即可求出做最优解，代入目标函数，求出最值，要熟悉相关公式，确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键，目标函数常有距离型、直线型和斜率型.4.(2015全国新课标Ⅰ卷理)若x,y满足约束条件1040xx yx y-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则yx的最大值为 .【答案】3【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.考点：线性规划解法5. (2015全国新课标Ⅱ卷文)若x,y满足约束条件50210210x yx yx y+-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩,则z=2x+y的最大值为．【答案】8考点：线性规划6．(2015全国新课标Ⅱ卷理)若x，y满足约束条件1020,220,x yx yx y-+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，，则z x y=+的最大值为____________．【答案】32【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数变形为y x z=-+，当z取到最大时，直线y x z=-+的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到1(1,)2D，则z x y=+的最大值为32．考点：线性规划．xy–1–2–3–41234–1–2–3–41234DCBO7. (2015文)若x,y满足约束条件13,1y xx yy-≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则3z x y=+的最大值为 .【答案】7【解析】试题分析：画出可行域及直线30x y+=，平移直线30x y+=，当其经过点(1,2)A时，直线的纵截距最大，所以3z x y=+最大为1327z=+⨯=.考点：简单线性规划.8. (2015文)定义运算“⊗”：22x yx yxy-⊗=（,0x y R xy∈≠，）.当00x y>>，时，(2)x y y x⊗+⊗的最小值是 .2【解析】试题分析：由新定义运算知，2222(2)4(2)(2)2y x y xy xy x xy--⊗==，因为，00x y>>，，所以，2222224222(2)2222x y y x x y xyx y y xxy xy xy xy--+⊗+⊗=+=≥=2x y=时，(2)x y y x⊗+⊗2考点：1.新定义运算；2.基本不等式.9. (2015文)若yx,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-2yyxyx，则目标函数yxz2+=的最大值为 .【答案】3【考点定位】不等式组表示的平面区域，简单的线性规划.10. (2015天津文)已知0,0,8,a b ab>>=则当a的值为时()22log log2a b⋅取得最大值. 【答案】4【解析】试题分析：()()()()22222222log log211log log2log2log164,244a ba b ab+⎛⎫⋅≤===⎪⎝⎭当2a b=时取等号,结合0,0,8,a b ab>>=可得4, 2.a b==考点：基本不等式.11. (2015文)设,0,5a b a b>+=,1++3a b+ ________.【答案】23考点：基本不等式.12、(2015文)已知实数x ，y 满足221x y +≤，则2463x y x y +-+--的最大值是 ． 【答案】15 【解析】试题分析： 22,2224631034,22x y y xz x y x y x y y x+-≥-⎧=+-+--=⎨--<-⎩由图可知当22y x ≥-时，满足的是如图的AB 劣弧，则22z x y =+-在点(1,0)A 处取得最大值5；当22y x <-时，满足的是如图的AB 优弧，则1034z x y =--与该优弧相切时取得最大值，故1015z d -==，所以15z =，故该目标函数的最大值为15.考点：1.简单的线性规划；13. (2015理)若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值是 ．三、解答题。