编号17 山西大学附中高二年级排序不等式

山西省山西大学附属中学校2024-2025学年高二10月月考数学试题一、单选题 1．若直线2π:tan 5l x =的倾斜角为α，则α=（ ）． A ．0B ．2π5C ．π2D ．不存在2．已知向量(,2,1),(2,4,2)a x b =-=-r r ，若//a b r r，则x =（ ）A ．1-B ．1C ．5-D ．53．已知直线1:2l y x a =-+与直线()2222:l y a x =-+，则“1a =-”是“12l l //”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．在空间四边形OABC 中，若,E F 分别是,AB BC 的中点，H 是EF 上的点，且13EH EF =u u u r u u u r，记OH xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r，则(,,)x y z 等于（ ）A ．111,,326⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．111,,263⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．111,,362⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．111,,236⎛⎫ ⎪⎝⎭5．如图，在圆锥SO 中，AB 是底面圆O 的直径，2AB SO ==, D ，E 分别为SO ，SB 的中点，点C 是底面圆周上一点（不同于A ,B ）且O C A B ⊥，则直线AD 与直线CE 所成角的余弦值为（ ）A B C D ．126．已知直线l 过点(2,3,1)A ，且(1,1,1)a =r为其一个方向向量，则点(4,3,2)P 到直线l 的距离为（ ）A B C D 7．已知两点()1,5A -，()0,0B ，若直线:22l y kx k =-+与线段AB 有公共点，则k 的取值范围为（ ）A ．(][),11,-∞-+∞UB ．(][],10,1-∞-⋃C ．[][)1,01,-⋃+∞D ．[]1,1-8．已知点P 和非零实数λ，若两条不同的直线1l ，2l 均过点P ，且斜率之积为λ，则称直线1l ，2l 是一组“P λ共轭线对”，如直线12:l y x =，21:2l y x =-是一组“1O -共轭线对”，其中O 是坐标原点．已知1l ，2l 是一组“3O -共轭线对”，则1l ，2l 的夹角的最小值为（ ） A ．π6B ．π3C ．π4D ．π12二、多选题9．下列说法中不正确的是（ ）A ．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B ．若直线过点()1,2，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点()3,4C ．过()11,x y ，()22,x y 两点的直线的方程为112121y y x x y y x x --=-- D ．直线2y kx =-在y 轴上的截距为210．在空间直角坐标系Oxyz 中，点(0,0,0)O ，(2,1,1)A --，(3,4,5)B ，下列结论正确的有（ ）A ．AB =B ．向量OA u u u r 与OB u u u r 的夹角的余弦值为C ．点A 关于z 轴的对称点坐标为(2,1,1)---D ．向量OA u u u r 在OB u u u r 上的投影向量为110OB -u u u r11．如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==BA BC ⊥，2PA PB PC ===，O 为AC 的中点，点M 是棱BC 上一动点，则下列结论正确的是（ ）A ．三棱锥P ABC -1B ．若M 为棱BC 的中点，则异面直线PM 与ABC ．若PC 与平面PAM 所成角的正弦值为12，则二面角M PA C --D ．PM MA +的取值范围为⎤⎥⎦三、填空题12．已知点P 在平面ABC 上，点O 是空间内任意一点，且()1322OP OA mOB OC m R =++∈u u u r u u u r u u u r u u u r，则m 的值为．13．直线的一个方向向量为()1,3v =-r，且经过点()0,2，则直线的一般式方程为.14．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 上一点，且12B P PB =，Q 为正方形11BB C C 内一动点（含边界），若1D Q 且1D Q 与平面1A PD 所成的角最大时，线段1AQ 的长度为.四、解答题15．已知ABC V 的顶点坐标分别是()1,5A -，()2,1B --，()4,3C ，M 为BC 边的中点． (1)求BC 边上的中线AM 的一般式方程； (2)求经过点C 且与直线AB 垂直的直线方程．16．已知()2,1,2a =-r ，()4,2,b x =-r ，且a b⊥r r . (1)求a b +rr.(2)求a r 与a b +rr夹角的余弦值.17．已知直线:120()l kx y k k R -++=∈.（1）若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；（2）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设AOB V 的面积为S ，求S 的最小值及此时l 的方程.18．已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，E 、F 、M 、O 分别是PC 、PD 、BC 、AD 的中点，⊥PO 平面ABCD ．(1)求证：EF PA ⊥；(2)求点B 到平面EFM 的距离；(3)在线段PA 上是否存在点N ，使得直线MN 与平面EFM 求线段PN 的长度，若不存在，说明理由．19．已知ΩABCD ，设Ω的四个顶点到平面α的距离所构成的集合为M ，若M 中元素的个数为k ，则称α为Ω的k 阶等距平面，M 为Ω的k 阶等距集． (1)若α为Ω的1阶等距平面且1阶等距集为{}a ，求a 的所有可能值以及相应的α的个数； (2)已知β为Ω的4阶等距平面，且点A 与点B ，C ，D 分别位于β的两侧．是否存在β，使Ω的4阶等距集为{},2,3,4b b b b ，其中点A 到β的距离为b ？若存在，求平面BCD 与β夹角的余弦值；若不存在，说明理由．。

山西大学附中2014—2015学年第一学期高二（9月）月考数学试题考试时间：90分钟 审核人：高一数学组一.选择题（每小题3分,满分30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．设集合},02|{2R x x x x A ∈≤-=，}21,|{2≤≤--==x x y y B ，则()R C A B ⋂等于A ． RB ．}0,|{≠∈x R x xC ． {0}D ．φ 2．已知a = 20sin ，则 160cos = （ ） A. a B. 21a - C. 21a -±D. 21a --3．若0tan sin <αα，且0tan cos <αα，则角α是（ ） A . 第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限4．对于线性回归方程ˆˆˆy bx a =+，下列说法中不正确．．．的是（ ） A ．直线必经过点(,)x y B ．x 增加一个单位时，y 平均增加ˆb个单位C ．样本数据中0x =时，可能有ˆy a= D ．样本数据中0x =时，一定有ˆy a = 5．函数2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位后所得的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值为（ ） A ．56π B. 23πC. 3π D . 6π 6．R t b t a u b a ∈+===,),20cos ,20(sin ,)25sin ,25(cos 0，则||的最小值是A. 2B.22 C. 1 D. 21 7．已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为 （ ）A.4()22x f x =+B. 2()21f x x =+C.1()1f x x =+D. 2()1f x x =+8．若1>>b a , P , ()1lg lg 2Q a b =+, lg 2a b R +⎛⎫= ⎪⎝⎭,则（ ）A . R P Q << B. P Q R << C. Q P R << D . P R Q << 9．函数()sin()sin()36f x x a x ππ=++-的一条对称轴方程为2x π=，则a = （ ）A ．1D ．310若有()(),f a g b=则b 的取值范围为A B．[1,3] D ．(1,3) 二 11n 项和是 ． 12．已知是的内角，并且有22sin sin sin sin B C A B =+，则C =______。

山西大学附中2017-2018高二数学10月月考试卷（有答案）山西大学附中2017～2018学年高一第一学期10月（总第一次）模块诊断数学试题考试时间:80分钟总分100分考查范围:集合函数不等式一．填空题（每小题4分，共40分）1．设集合，集合，则集合＝()A．{1,3,1,2,4,5}B．{1}C．{1,2,3,4,5}D．{2,3,4,5}2．若且，则（)A．2B．2或-2C．0或2D．0或2或-23．下列集合A到B的对应中，不能构成映射的是（）A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④4.设全集是实数集，，，则如图所示阴影部分所表示的集合是（）A．B．C．D．5.已知，则=（）.A．5B.4C．3D.26．已知，则的表达式是（）A.B.C.D.7．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.8.下列四个函数：①；②；③；④，其中定义域与值域相同的是()A．①②③B．①②④C．②③D．②③④9．设集合，，则（）A．B．C．D．10.已知函数的定义域为，则函数的定义域是() A．B．C．D．二．填空题（每小题4分，共16分）11．函数的值域是.12．设是非空集合，定义．已知集合，，则＝.13.函数的单调增区间是.14.有下列四个命题：①已知，则集合中有0个元素；②函数的值域为；③不等式对任意实数恒成立，则；④不等式的解集是.其中正确命题的序号是．三．解答题：（共44分）15．（本题10分）设，，求：（1）；（2）.16.（本题10分）求下列函数的定义域：（1）（2）17．（本题12分）已知集合，集合.（1）若，求的取值范围；（2）若，求实数的取值范围.18．（本题12分）已知二次函数满足，且.（1）求函数的解析式；（2）令，求函数在上的最小值.山西大学附中2017～2018学年高一第一学期10月（总第一次）模块诊断数学试题评分细则一、选择题（4×10=40分）12345678910CDACDABBBD二、填空题（4×4=16分）11.12.13.14.③三、解答题（共44分）15.解析：…………1分（1）又…………3分…………5分（2）又…………7分得…………10分16.解析：（1）要使函数有意义，只需…………2分…………4分所以定义域为…………5分（2）要使函数有意义，只需…………7分…………9分所以定义域为…………10分17.解析：（1）.…………5分（2）,①当时，满足要求，此时，得;②当时，要，则，解得，由①②得，，实数的取值范围.…………12分18.解析：（1）设二次函数（），…………1分则…………2分∴，，∴，…………4分又，∴.…………5分∴…………6分（2）∵∴.，，对称轴，…………8分当时，；…………9分当时，；…………10分当时，…………11分综上所述，…………12分。

山西大学附中高中数学（必修3）学案 编号17古典概型【学习目标】通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．【学习重点】理解古典概型及其概率计算公式．【学习难点】理解古典概型及其概率计算公式．【学习过程】1．阅读教材125P 的有关内容，自主完成例1，思考并回答下列问题：（1）什么是基本事件？基本事件具有什么特点？（2）在掷骰子的试验中，随机事件“出现奇数点”可以由哪些基本事件组成？2．阅读教材125P 及126P “思考”以上的内容， 思考并回答下列问题：（1）两次试验及例1的试验中，基本事件分别有几个？它们有什么共同特点？（2）什么是古典概型？其特点是什么？3．阅读教材129125~P P 的有关内容，思考并回答下列问题：（1）在“掷一枚质地均匀的骰子的试验”中，基本事件总数是几？每个基本事件出现的概率是多少？随机事件“出现奇数点”的概率如何求？（2）结合上述问题和教材内容，请总结古典概型计算概率的公式．结合公式，体会古典概型两个特征的必要性．4．结合例2，思考并回答下列问题：（1）如果单选题改成是多选题，问题该如何解答？（2）通过上述解决问题的过程，结合教科书归纳求解古典概型的概率问题的步骤．5．结合例3，思考并回答下列问题：（1）请你列出该问题的所有基本事件．（点拨：求基本事件数时，较简单的问题，适合用列举法，较复杂的问题适合用列表法或树状图法）（2）为什么要将两个骰子标上记号？如果不标记会出现什么情况？解释其中的原因，再次体会古典概型的第二个条件的必要性．6．在计算基本事件总数时，要注意分清“有序”和“无序”，不要出现“重复”或“遗漏”的错误，请对教材中的例1、例3、例5进行对比，找出它们之间的联系和区别．课堂自测1．从甲乙丙丁4人中任选2人，甲被选中的概率是2．在20瓶饮料中，有2瓶已经过了保质期．从中任取1瓶，取到已过保质期的饮料的概率是多少？3．在夏令营的7名成员中，有3名同学已去过北京．从这7名同学中任选2名同学，选出的这2名同学恰是已去过北京的概率是多少？4．从1,2,3,4中任取两个不同的数字组成两位数的偶数，则基本事件有哪些？5．5本不同的语文书，4本不同的数学书，从中任取2本，取出的书恰好都是数学书的概率是多少？6．从含有2件正品21,a a 和一件次品1b 的3件产品中每次抽取一件，（1）每次取出后不放回，连续取两次，求取出的2件产品中恰有1件次品的概率．（2）从中取出一件，然后放回，再任取一件，求取出的2件产品中恰有1件次品的概率．7．一个口袋中装有红、白、黄、黑大小相同的四个小球．（1）从中任取一球，求取出白球的概率；（2）从中任取两球，求取出的是红球、白球的概率；（3）先后各取一球，求先后分别取出的是红球白球的概率．8．在箱子里装有10张卡片，分别写有1到10的10个数字，从箱子中任取一张卡片，记下它的读数x ，然后再放回箱子中；第二次再从箱子中任意取出一张卡片，记下它的读数y ．（1）y x 是10的倍数的概率；（2）xy 是3的倍数的概率．。

山西省山西大学附中-2020学年高二数学上学期12月月考试题 文考试时间：120分钟 满分：150分一、单选题（每题5分，共60分）1．椭圆2211625x y +=的长轴长为( )A ．4B ．5C ．10D ．82．若直线220x ay +-=与直线(1)30a x ay --+=平行，则a 的值为（ ）A ．1B ．12或0C ．12D ．03．若圆2211):((2)5C x y +-=-与圆2C 关于直线y x =对称，则圆2C 的方程是（ ） A ．22(2)(1)5x y -++= B ．22(2)(1)5x y -+-= C ．22(2)(1)5x y -+-=D ．22(2)(1)5x y -++=4．如图，表示图中阴影部分所示平面区域(包括边界)的不等式组是（ ）A ．2312023603260x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩B ．2312023603260x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩C ．2312023603260x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+-≥⎩D ．2312023603260x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩5．圆221:16C x y +=与圆222:2270C x y x y +++-=的公切线条数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46.若点(0,0)O 和点(1,1)A 在直线=x y a +的两侧，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0)(2,)-∞+∞UB ．(,0][2,)-∞+∞UC ． (0,2)D ．[0,2]7．已知直线420mx y +-=与直线250x y n -+=互相垂直，交点为()1,p ，则m n p +-等于（ ） A ．0B ．4C ．20D ．248.设x ，y 满足约束条件3310x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．39. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点．若AB 的中点坐标为(1,1)-，则椭圆的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=10．已知点()2,3A ，(3,2)B --与直线l ：10kx y k --+=，且直线l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围为（ ）A ．2k ≥或 34k ≤ B. 34k ≥或 14k ≤- C ．344k -≤≤ D ．324k ≤≤ 11．若圆224x y +=上恰有2个点到直线y x b =+的距离等于1，则b 的取值范围是( ) A．(-UB．(-UC．(D．(-12.如图：已知(,0)F c 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点，点P 在椭圆C 上，直线PF 与圆222()39c b x y -+=相切于点Q ，且2PQ QF =u u u r u u u r，则椭圆C 的离心率等于（ ）A.5 B. 23 C.22 D.12二、填空题（每题5分，共20分）13．过点(3,5)A 作圆2248800x y x y +---=的最短弦，则这条弦所在直线的方程是_____________.14.设12,F F 是椭圆2222:+1(0)x y C a b a b=>>的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使12PF PF ⊥，且1245PF F ∠=o ，则C 的离心率为_________． 15．设1F 是椭圆225945x y +=的左焦点，P 是椭圆上的动点，(1,0)A ，则1||||PA PF +的最小值为_______.16．过点(1,4)且斜率为k 的直线l 与曲线2431y x x =---+有公共点，则实数k 的取值范围是______________________. 三、解答题（共70分） 17．（10分）在ABC ∆中，已知点()3,2A ，AC 边上的中线BM 所在直线的方程为340x y --=，AB 边上的高所在直线的方程为()172y x =-. （1）求直线AB 的方程； （2）求点B 的坐标.18．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，AC BC ⊥，3BC =，AP CP =，O 是AC 的中点，1PO =，2OB =，5PB =．（1）证明：BC ⊥平面PAC ； （2）求点A 到平面PBC 的距离．19．（12分）已知关于,x y 的方程22:2440C x y x y m +--+=． （1）若方程C 表示圆，求m 的取值范围；（2）当=1m 时，曲线C 与直线:240l x y +-=相交于,M N 两点，求MN 的值．20．（12分）已知圆C 经过()3,0M ，()2,1N 两点，且圆心在直线:240l x y +-=上. (1)求圆C 的方程；(2)过原点作圆C 的切线，求切线方程.21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点()2,1P ,且离心率32e =.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线12y x m =+与椭圆C 交于A B ，两点，求PAB △面积的最大值.22．（12分）已知12F F ，是椭圆M :2212x y +=的左右焦点，(1)若C 是椭圆上一点，求12CF CF u u u v u u u u vg 的最小值；（2）直线y x m =+与椭圆M 交于,A B 两点, O 是坐标原点.椭圆M 上存在点P 满足OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，求m 的值.山西大学附中～2020学年高二第一学期12月（总第四次）模块诊断数学答案（文）考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（5×12=60分）13. 80x y +-= 14. 215.5 16. 9382⎡⎤-⎢⎥⎣⎦三、解答题17．在ABC ∆中，已知点()3,2A ，AC 边上的中线BM 所在直线的方程为340x y --=，AB 边上的高所在直线的方程为()172y x =-. （1）求直线AB 的方程；（2）求点B 的坐标.解：（1）由AB 边上的高所在直线方程为()172y x =-得12k =， 则12AB k k=-=-………………………………………………………………………..2分又∵()3,2A ，∴直线AB 的方程为()223y x -=--，………………………….4分即280x y +-=（或28y x =-+）. ………………………5分（2）因为AC 边上的中线过点B ，则联立直线方程：280340x y x y +-=⎧⎨--=⎩.……………7分 解得：40x y =⎧⎨=⎩，………………………9分即点B 坐标为()4,0……………………………..10分18. （12分）如图，在三棱锥P ABC -中，AC BC ⊥，3BC =，AP CP =，O 是AC 的中点，1PO =，2OB =，5PB =．（1）证明：BC ⊥平面PAC ；（2）求点A 到平面PBC 的距离．（1）∵AP CP =，O 是AC 中点，∴PO AC ⊥，………………………….1分由已知得222PO OB PB +=，∴PO OB ⊥，…………………………………..2分又AC OB O OB ABC =⊂I ，平面，∴PO ⊥平面ABC ，…………………3分PO BC ∴⊥,……………………………4分∵AC BC ⊥，,PO AC O PO =⊂I 平面PAC … ∴BC ⊥平面PAC …………………………6分 （2）设点A 到平面PBC 的距离为h ， ∵在Rt OCB V 中，1OC ==， 则PC ==BC Q ⊥平面PAC ∴BC PC ⊥， (7)分2PBC S ∆∴=……………………………….8分 A PBC P ABC V V --=Q ………………9分-133P ABC ABC S O V P ∆∆=⋅=…………………………………10分∴133PBC S h h ∆=∴=g 分 即点A 到平面PBC 的距离为．……………………………………….12 分19．已知关于,x y 的方程22:2440C x y x y m +--+=． （1）若方程C 表示圆，求m 的取值范围；（2）当=1m 时，圆C 与直线:240l x y +-=相交于,M N 两点，求MN 的值．（1）解法一：方程C 可化为 ()()221254x y m -+-=-， (2)分显然 5540,4m m -><时即时方程C 表示圆．…………………………4分解法二： 4+16-160m > ，………………………………..2分 54m <…………………………4分 （2）圆C 的圆心()1,2………………….5分 圆心到直线:240l x y +-=的距离为d ==， …………………………7分 圆C 的半径1r =，…………………………………..8分又 22212r d MN ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，=.10分所以22||1,52MN ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………10分=5………………12分所以5MN =．……………………12分20．已知圆C 经过()3,0M ，()2,1N 两点，且圆心在直线:240l x y +-=上. (1)求圆C 的方程(2)从原点向圆C 作切线，求切线方程. (1)解法一:设圆的方程为220xy Dx Ey F ++++=由题意:930D F ++= ①………………………1分520D E F +++= ②………………………2分又圆心,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在直线240x y +-=上故402ED ---= ， ③………………………3分 由①②③解得:4D =-，0E =，3F =，………………………5分圆的方程为:22430x y x +-+=(或写成:22(2)1x y -+=，……………………6分解法二:由题意，圆心在MN 的中垂线2y x =-上，………………………2分又在已知直线:240l x y +-=上，解得圆心坐标为()2,0C ，………………………4分于是半径1r MC ==………………………5分所求圆的方程为:22(2)1x y -+=; ………………………6分 注：其他方法给相应分值(2)解法一:过原点的直线中，当斜率不存在时，不与圆C 相切………………………7分当斜率存在时，设直线方程为y kx =………………………8分 代入22:430C x y x +-+=得22()430x kx x +-+=即()221430k x x +-+=令()22(4)4310k ∆=--⨯+=，………………………9分解得3k =±，………………………10分即切线方程为3y x =±.………………………12分解法二:过原点的直线中，当斜率不存在时，不与圆C 相切；………………………7分当斜率存在时，设直线方程为y kx =，……………………8分 因为直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径， 根据点到直线的距离公式:d =可得1=……………………9分解得3k =±.………………………10分即切线方程为3y x =±.………………………12分21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点()2,1P ,且离心率2e =. (1)求椭圆C 的方程；(2)直线12y x m =+，椭圆C 交于A B ，两点，求PAB △面积的最大值.(1)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点()2,1P ,且离心率2e =.可得：22222411a b c a c a b ⎧+=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎪⎩,………………………3分解得a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，…………………………….4分 椭圆方程为：22182x y +=…………………..5分(2)设()()1122,,,A x y B x y 联立方程2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得222240x mx m ++-= 直线与椭圆要有两个交点，所以()22(2)4240m m ∆=-->解得，22m -<< 由韦达定理得：212122,24x x m x x m +=-=-…………………………7分利用弦长公式得：12||AB x =-=分由点到直线的距离公式得到P到l的距离d=……………………………..9分2214||222m mS AB d+-===≤=……..11分当且仅当22m=，即m=2………………………….12分22．已知12F F，椭圆M:2212xy+=的左右焦点，(1)若C是椭圆上一点，求12CF CFu u u v u u u u vg的最小值；（2）直线y x m=+与椭圆M交于,A B两点, O是坐标原点.椭圆M上存在点P满足OP OA OB=+u u u r u u u r u u u r，求m的值.(1)设(,),C x y则2212xy+=，12(1,0)F F(-1,0)，,………………………….1分12=(1,),=(1,)CF x y CF x y-----u u u r u u u u r…………………………………2分22122221 (3)1111[22CF CF x yx x x x=-+=-+-=∈u u u v u u u u vg分，分当0x=时，12CF CFu u u v u u u u vg的最小值为0…………………………………..6分（2）设()()1122,,,A x yB x y，联立2212y x mxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2234220x mx m++-=，()222(4)12228240m m m∆=--=-+>，解得m<<，1243x x m+=-………………………………………………………..8分()1212,,OP OA OB P x x y y =+∴++u u u r u u u r u u u r Q ，………………………………..9分12121242,233x x m y y x x m m +=-+=++=Q ， 42,33P m m ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭……………………….10分 42,33P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆2212x y +=上， 22422233m m ⎛⎫⎛⎫∴-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，…………….11分解得m =.…………….12分。

山西大学附中高二年级（下）数学导学设计 编号10基本不等式1【学习目标】1．会用基本不等式证明一些简单问题,理解等号成立的条件；2．能够利用两项的平均值不等式求一些特定函数的极值，从而学会解决简单的应用问题【学习重点】能够利用两项的平均值不等式求一些特定函数的极值．【学习重点】能够利用两项的平均值不等式求一些特定函数的极值．【学习过程】一、导学：1．定理1：如果R b a ∈,，那么ab b a ≥+222 (当且仅当b a =时取“＝”)． 2.定理2：（基本不等式）如果*,R b a ∈，那么ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取“＝”）. 讨论: 1.比较定理1与定理2, 有哪些相同和不同?2.如何证明基本不等式?3.给出图形如右, 你能解释基本不等式的几何意义吗?4.当*,R b a ∈时，其中2b a +称为b a ,的算术平均，ab 称为b a ,的几何平均，怎样用语言表述基本不等式?3.重要结论已知*,R b a ∈，则（1）如果ab 是定值P ，那么当b a =时，b a +有最 值 ；（2）如果b a +是定值S ，那么当b a =时，ab 有最 值 .练习：已知*,R b a ∈都是正数，积ab 是定值100，那么当b a =时，和b a +有最 值_____二、导练：1.下列不等式中正确的是A.若R b a ∈,，则22=⋅≥+ba ab b a a b B.若y x ,都是正数，则y x y x lg lg 2lg lg ⋅≥+ C.若0<x ，则4424-=⋅-≥+x x x x D.若0≤x ，则222222=⋅≥+--x x x x2.“0>a ”且“0>b ”是 “ab b a ≥+2”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.下列函数中，最小值为2的是（ ） A ．x x y 22+= B ．21222+++=x x yC ．x x y sin 1sin +=)2,0(π∈xD ．x x y -+=77 4.设R y x ∈,，且5=+y x ，则y x 33+的最小值为（ ） A ．10 B ．6 3 C ．4 6 D ．18 35.函数)0(132<++=x x x x y 的值域是（ ） A.)0,1(- B. [)0,3- C.[]1,3-- D.)0,(-∞6.设⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111111c b a M ，且),,(1*R c b a c b a ∈=++，则M 的取值范围是（ ） A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，18 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1 D ．[8，＋∞) 7.在的条件下，，00>>b a 三个结论：其中正确的个数是（ ）①22b a b a ab +≤+，②，2222b a b a +≤+ ③b a b a a b +≥+22 A ．0 B ．1 C ．2 D ．38.已知10<<<b a ，2log 21b a P +=，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b a Q 2121log log 21，)(log 2121b a M +=，则M Q P ,,的大小关系是（ ）A ．M Q P >>B ．M P Q >>C ．P M Q >>D ．P Q M >>三、目标检测：1.设0,0>>b a ,则以下不等式中，不恒成立的是（ ）A.()411≥⎪⎭⎫⎝⎛++b a b a B.a b a b >++22 C.b b a a b a b a +++<+++111 D.a b b a b a b a ≥ 2. 设0b a >>，且22211P a b =+，211Q a b =+， M ab =， 2a b N +=，222a b R +=则它们的大小关系是（ ） A ．P Q M N R <<<< B ．Q P M N R <<<<C ．P M N Q R <<<<D ．P Q M R N <<<<3.若0≠x ，则221232)(xx x f --=的最大值是 ，取得最值时的x 的值是 4.4log log 22=+y x ，则y x +的最小值是5.设R y x ∈,，且0≠xy ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2222411y x y x 的最小值为。

山西大学附中2018—2019学年高二第一学期9月（总第一次）模块诊断数学试题考查时间:110分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1.设集合,则（）A. B。

C。

D。

【答案】A【解析】【分析】由题意结合交集的定义进行运算即可.【详解】由题意结合交集的定义可得：。

本题选择A选项。

【点睛】本题主要考查交集的定义与计算，属于基础题.2.不等式的解集是( ）A。

B。

C。

D。

【答案】D【解析】【分析】由题意结合二次不等式的解法求解不等式的解集即可.【详解】不等式即：，由二次不等式的解法大于分两边可得不等式的解集为。

本题选择D选项。

【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题。

3。

设，，则下列不等式成立的是（）A。

B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：本题是选择题，可采用逐一检验，利用特殊值法进行检验,很快问题得以解决．解：∵b＜a，d ＜c，∴设b=—1,a=-2，d=2,c=3，选项A,-2—3＞—1-2,不成立,选项B,（—2）×3＞（-1）×2,不成立，选项C，,不成立，故选D考点：基本不等式点评：本题主要考查了基本不等式,基本不等式在考纲中是C级要求，本题属于基础题．4。

平面向量与的夹角为60°，且，则（）A。

B. C。

4 D. 12【答案】B【解析】。

故选：B5.已知实数,执行如图所示的程序框图,则输出的不小于．．．的概率为（）A。

B。

C. D.【答案】B【解析】【分析】首先确定函数的功能，然后求解题中的概率值即可。

【详解】程序执行过程如下:首先输入，输入n的值为，第一次循环时,满足，执行，;第二次循环时，满足，执行，；第三次循环时，满足,执行，；第四次循环时，不满足，程序跳出循环，输出，求解不等式可得:，而输入的实数，结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为。

2024-2025学年山西大学附中高二（上）诊断数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.一组数据：2，5，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是( )A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差2.某场乒乓球单打比赛按三局两胜的赛制进行，甲乙两人参加比赛.已知每局比赛甲获胜的概率为0.4，乙获胜的概率为0.6.现用计算机产生1～5之间的整数随机数，当出现1或2时，表示此局比赛甲获胜，当出现3，4或5时，表示此局比赛乙获胜.在一次试验中，产生了20组随机数如下：534 123 512 114 125 334 432 332 314 152 423 443 423 344 541 453 525 151 354 345根据以上数据，利用随机模拟试验，估计甲获得冠军的概率为( )A. 0.24B. 0.3C. 0.7D. 0.763.如图所示的频率分布直方图呈现右拖尾形态，则根据此图作出以下判断，正确的是( )A. 众数<中位数<平均数B. 众数<平均数<中位数C. 中位数<平均数<众数D. 中位数<众数<平均数4.已知两条不同直线m ，n 与三个不同平面α，β，γ，则下列命题中正确的是( )A. 若m ⊥α，n ⊥α，则m//n B. 若α⊥γ，β⊥γ，则α//βC. 若α⊥β，m ⊥β，则m//αD. 若α⊥β，m ⊥α，n//β，则m ⊥n5.在正四面体A−BCD 的棱中任取两条棱，则这两条棱所在直线成60°角的概率是( )A. 15B. 25C. 35D. 456.《九章算术》中将正四梭台(上、下底面均为正方形)称为“方亭”.现有一方亭，上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱与下底面所成的角为π4，则此方亭的体积为( )A.20 23B. 82C.28 23 D.22 237.勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知AB=2，P为弧AC(含端点)上的一点，则PB⋅PC的范围为( )A. [0,2]B. [−2,0]C. [1,3]D. [−3,−1]8.已知直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为8，二面角C1−AB−C的大小为π4，且AC=BC，CC1=2，则点A1到平面ABC1的距离为( )A. 2B. 22C. 23D. 24二、多选题：本题共3小题，共18分。

2023-2024一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，则()A.B.C.D.{-2,-1,0}2.已知复数z满足，则z的虚部为()A. B. C.1 D.-13.连续抛掷一枚硬币3次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是()A.只有2次出现反面B.至少2次出现正面C.有2次或3次出现正面D.有2次或3次出现反面4.命题“，”的否定是()A.，B.，2-≤0C.，D.，2—>05.设顶角为的等腰三角形为最美三角形，已知最美三角形顶角的余弦值为，则最美三角形底角的余弦值为()A. B. C. D.6.已知A,B,C表示不同的点，l表示直线，表示不同的平面，则下列推理中错误的是()A.B.C.直线AB与直线l是异面直线D.7.已知直角三角形ABC中，，，，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为()A.B.C.D.8.关于用统计方法获取数据，分析数据，下列结论错误的是()A.某食品加工企业为了解生产的产品是否合格，合理的调查方式为抽样调查B.为了解高一学生的视力情况，现有高一男生480人，女生420人，按性别进行分层抽样，样本量按比例分配，若从女生中抽取的样本量为63，则样本容量为135C.若甲乙两组数据的标准差满足则可以估计乙比甲更稳定D.若数据的平均数为，则数据的平均数为9.声强级单位：dB)由公式给出，其中I为声强单位：W/m2某班级为规范同学在公共场所说话的文明礼仪，开展了“不敢高声语，恐惊读书人”主题活动，要求课下同学之间交流时，每人的声强级不超过现已知3位同学课间交流时，每人的声强分别为5×10-8w/m2,10-8w/m2,2×10-9w/m2，则这3人中达到班级要求的人数为()A.0B.1C.2D.310.已知函数f(z)是定义域为R的偶函数，且，若f(z)在[-1,0上是单调递减的，那么f()在[2,3上是()A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增11.筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用图，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理图现有一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟旋转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米，设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位：米在水面下则d为负数，若以盛水筒P刚浮出水面为初始时刻，经过t秒后，下列命题正确的是(参考数据：()①,其中，且，②,其中，且，③当t≈38时，盛水筒P再次进入水中，④当t≈22时，盛水筒P到达最高点.A.①③B.②③C.②④D.①④12.地球环境科学亚欧合作组织在某地举办地球环境科学峰会，为表彰为保护地球环境做出卓越贡献的地球科研卫士，会议组织方特别制作了富有地球寓意的精美奖杯，奖杯主体由一个铜球和一个三足托盘组成，如图①,已知球的表面积为，底座由边长为4的正三角形铜片ABC沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得，如图②,则下列结论正确的个数是()直线AD与平面DEF所成的角为(2)底座多面体ABCDEF的体积为(平面BCF//平面ADE(4)球面上的点距离球托底面DEF 的最小距离为A.1B.2C.3D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018-2019学年高二第一学期9月(总第一次)模块诊断数学试题考查时间：110分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1。

设集合}7,5,3,1{=A ,{}52≤≤=x x B ，则=B A （ ） A ．{}5,3 B ．{}3,1 C ．{}7,5 D ．{}7,1 2。

不等式0)1)(3(<-+-x x 的解集是（ ）A ．{}31<<-x xB ．{}31<<x xC ．{}31>-<x x x 或D ．{}31><x x x 或 3．设b a >,d c >,则下列不等式成立的是（ ) A ．d b c a ->- B ．bd ac > C ．bdc a > D ．c ad b +<+ 4。

平面向量a 与b 的夹角为60°，且(2,0),1,==a b 则2+=a b （ ）。

125. 已知实数}8,7,6,5,4,3,2,1∈x ,执行如图所示的程序框图,则输出的x 不小于．．．121的概 率为（ ）A ．34 B ．85C ．87D ．21 6。

已知 1.22a =，0.812b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，52log 2c =，则,,a b c 的大小关系为( ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a << 7．已知58cos 3sin =+x x ，则=-)6cos(x π（ ）A ．53- B ．35 C ．54- D ．458．已知函数x x x f cos sin )(λ+=的图象的一个对称中心是点)0,3(π，则函数=)(x g x x x 2sin cos sin +λ的图象的一条对称轴是直线（ ）A ．65π=xB ．34π=xC ． 3π=xD ．3π-=x 9。

2016-2017学年山西大学附中高二（下）期中数学试卷（理科）一.选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，请把答案写在答题纸上）1．已知复数z=a（a﹣1）+ai，若z是纯虚数，则实数a等于（）A．2 B．1 C．0或1 D．﹣12．用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的3．函数y=x4﹣4x+3在区间上的最小值为（）A．72 B．36 C．12 D．04．曲线y=sinx（0≤x≤π）与直线围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．5．用反证法证明命题：“己知a、b是自然数，若a+b≥3，则a、b中至少有一个不小于2”，提出的假设应该是（）A．a、b中至少有二个不小于2 B．a、b中至少有一个小于2C．a、b都小于2 D．a、b中至多有一个小于26．若函数f（x）=x2﹣ax+lnx有极值，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣2，2）C．（﹣∞，2）∪（2，+∞）D．（2，+∞）7．二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，观察发现S′=l；三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3，观察发现V′=S．则由四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，猜想其四维测度W=（）A．4πr4 B．4πr2 C．2πr4 D．πr48．已知函数f（x）=，若存在x∈上有三个零点，求实数m的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；54：根的存在性及根的个数判断；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出导函数f'（x）=x2+a，利用曲线f（x）在处的切线与直线平行，列出方程求解a即可．（2）利用导数判断函数的单调性，通过函数y=f（x）﹣m在区间上有三个零点，等价于函数f（x）在上的图象与y=m有三个公共点．结合函数f（x）在区间上大致图象求解实数m的取值范围即可．【解答】解：（1）f'（x）=x2+a因为曲线f（x）在处的切线与直线平行，所以，所以a=﹣1．（2）由，得f'（x）=x2﹣1，令f'（x）=0，得x=±1．当﹣3＜x＜﹣1时，f'（x）＞0；当﹣1＜x＜1时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0，f（x）在（﹣3，﹣1），单调递增，在（﹣1，1）单调递减．又．若函数y=f（x）﹣m在区间上有三个零点，等价于函数f（x）在上的图象与y=m有三个公共点．结合函数f（x）在区间上大致图象可知，实数m的取值范围是．20．设函数f（x）=ax2﹣a﹣lnx，其中a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）＞﹣e1﹣x在区间（1，+∞）内恒成立，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出函数的倒数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）原不等式等价于在x∈（1，+∞）上恒成立，令，得到a≥，求出F（x）在x∈（1，+∞）单调递增，从而确定a的范围即可．【解答】解：（1）①当a≤0时，2ax2﹣1≤0，f'（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递减．②当a＞0时，，当时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0．故f（x）在上单调递减，在上单调递增．（2）原不等式等价于在x∈（1，+∞）上恒成立．一方面，令，只需g（x）在x∈（1，+∞）上恒大于0即可．又∵g（1）=0，故g'（x）在x=1处必大于等于0．令，g'（1）≥0，可得．另一方面，当时，∵x∈（1，+∞）故x3+x﹣2＞0，又e1﹣x＞0，故F'（x）在时恒大于0．∴当时，F（x）在x∈（1，+∞）单调递增．∴F（x）＞F（1）=2a﹣1≥0，故g（x）也在x∈（1，+∞）单调递增．∴g（x）＞g（1）=0，即g（x）在x∈（1，+∞）上恒大于0．综上，．2017年6月20日。

山西大学附中高二年级（下）数学导学设计 编号23排列【学习目标】1.理解排列的意义，能用分步计数原理推出简单的排列2.会利用排列分析和解决一些简单的应用问题【学习重点】正确理解排列的概念，会利用排列分析和解决一些简单的应用问题【学习难点】利用排列分析和解决一些简单的应用问题阅读教材14页～16页，回答排列的定义：一般地，从n 个 元素中取出m （ ）个元素，按照一定的 排成一排，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列.排列数的定义：从 个 元素中取出 （n m ≤）个元素的 的个数，叫做从n 个不同元素取出m 元素的排列数，用符合 表示.思考：（1）排列定义中的两个基本内容是什么？（2）排列完成的“一件事情”是什么？（3）两个相同的排列有特点？（4）排列和排列数有什么不同？（5）“从1,2,3中每次取出两个数相乘，有多少个不同的乘积？”与“从1,2,3中每次取出两个数相除，有多少个不同的商？”，这两个问题哪个是排列问题？对于一个具体问题，如何判断其是否为排列问题？阅读教材16页～18页，回答排列数公式全排列：从n 个不同元素中 取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列，用公式表示为=n n A全排列数 ， 0！=导练1计算：（1）316A = （2）66A = （3）46A = （4）22A =思考：由（2）（3）（4）可得出 推广可得=m n A =导练2计算下列各式：⑴215A = ⑵ 66A = ⑶ 28382AA -= ⑷ 6688A A = 导练3（1）若17161554m n A =⨯⨯⨯⨯⨯，则n = ，m = ．（2）若55<∈n N n 且，则(55)(56)(68)(69)n n n n ----用排列数符号表示 ．（3）解方程：3322126x x x A A A +=+．导练4化简：11!22!33!!n n ⨯+⨯+⨯++⨯导练5求证 （1）11--=m n m n nA A （2）7766778878A A A A =+- (3)(2)!135(21)2!n n n n =⋅⋅-⋅当堂检测1．计算：=+243545A A ;2．计算：=+++44342414A A A A ；3．某年全国足球甲级（A 组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行 场比赛；4. 5人站成一排照相，共有 种不同的站法；5． 从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个3位数，共可得到 个不同的三位数6．解不等式：2996x x A A ->．7．化简：⑴12312!3!4!!n n -++++；拔高题1.有9个人坐成一圈，问不同坐法有多少种？2.北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的飞机票？3．某公路段原有n 个车站，现增加m 个车站，车票增加了62种，请问原有多少个车站？。

山西大学附属中学2017-2018学年高二数学下学期3月月考试题 理考查内容：必修二 选修2-1一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）1. 若直线1x =的倾斜角为α，则α（ ）A.等于0B.等于4πC.等于2πD.不存在2．函数x x y ln =的导数为（ ）A ．xB ．x ln 1+C ．x x ln 1+D ．13.已知空间向量()1,3,m x =， ()2,1,2n x =-，则“1x =”是“m n ⊥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4.设n m 、是不同的直线，βα、是不同的平面，有以下四个命题： ①若βα⊥，α//m ，则β⊥m ②若α⊥m ，α⊥n ，则n m // ③若α⊥m ，n m ⊥，则α//n ④若α⊥n ，β⊥n ，则αβ// .其中真命题的序号为（ ）A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④5．若直线4:=+ny mx l 和圆4:22=+y x O 没有交点，则过点),(n m 的直线与椭圆14922=+y x 的交点个数为（ ）A.0个B.至多一个C.1个D.2个6.焦点为()6,0±且与双曲线1222=-y x 有相同渐近线的双曲线方程是( ) A.1241222=-y x B.1241222=-x y C.1122422=-x y D.1122422=-y x 7.如图，已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都 相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面 直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）A.4B.44D.348．椭圆2212516x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，弦AB 过1F ，若2ABF ∆的内切圆的周长为2π， ,A B 两点的坐标分别为()11,x y ， ()22,x y ，则21y y -=（ ）A.35 B ．310 C ．320 D ．359.已知平面区域()430,|352501x y D x y x y x ⎧-+≤⎫⎧⎪⎪⎪=+-≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪≥⎩⎩⎭，2yZ x =+.若命题“(),,x y D Z m ∀∈≥”为真命题，则实数m 的最大值为（ ） A.2215 B. 27 C. 13 D. 1410．一个几何的三视图如图所示，则表面积为（ ）A. 18+18+12+C. 18+12+9+11.如图，P 是正四面体V-ABC 的面VBC 上一点，点P 到平面ABC 距离与到点V 的距离相等，则动点P 的轨迹是( ) A ．直线 B ．抛物线 CD ．离心率为3的双曲线12.如图，在三棱锥B ACD - 中，3ABC ABD DBC ∠∠=∠=π=，3,2AB BC BD ===，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为（ ）A ．192πB ．19π CD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．命题“若20x x -≥，则2x >”的否命题是__________.14. 已知ABC ∆在斜二测画法下的平面直观图,A B C A B C ∆∆''''''是边长为a 的正三角形，那么在原ABC ∆的面积为__________.15.已知抛物线24y x =的准线与双曲线22214x y a -=交于,A B 两点，点F 为抛物线的交点，若FAB ∆为正三角形，则双曲线的离心率是 ．16.已知直线()():21440l m x m y m ++-+-=上总存在点M ，使得过M 点作的圆C ：222430x y x y ++-+=的两条切线互相垂直，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. （本小题满分10分）命题:p 方程()2221mx m y +-=表示双曲线；命题:q 不等式()()21120m x m x -+-+>的解集是R . p q ∧为假， p q ∨为真，求m 的取值范围.18．（本小题满分12分）三棱柱111C B A ABC -中，N M 、分别是B A 1、11C B 上的点，且12BM A M =，112C N B N =。

山西大学附中高二年级（下）数学导学设计 编号25组合（1）【学习目标】 1. 正确理解组合与组合数的概念2. 弄清组合与排列之间的关系3. 会做组合数的简单运算.【学习重点】弄清组合与排列之间的关系，会做组合数的简单运算【学习难点】正确理解组合与组合数的概念【学习过程】导学（阅读教材P 21~ P 23，回答以下问题）组合的概念：一般地，从 个 元素中取出 ()m n ≤个元素 一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.思考：（1）比较排列与组合的概念，找出它们的相同点与不同点。

（2）相同的两个组合有什么特点？组合数的概念：从n 个 元素中取出m ()m n ≤个元素的 组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号 表示． 思考：（3）组合与组合数的区别？（4）组合数计算公式的推到思路是什么？（与排列数的计算公式进行比较）组合数公式m n C ＝ ＝ 规定：=0n C（5）公式中m n ,有什么限制条件？导练1、甲、乙、丙、丁4个人，（1）从中选3个人组成一组，有多少种不同的方法？列出所有可能情况；（2）从中选3个人排成一排，有多少种不同的方法？变式1：判断下列问题是组合还是排列（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？（2）高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？（3）从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？（4）10个人互相通信一次，共写了多少封信？（5）10个人互通电话一次，共多少个电话？2、 计算：（1）47C ； （2）37C ； （3）710C ； （4）310C变式2：求证：11+⋅-+=m n m n C mn m C3、设,+∈N x 求321132-+--+x x x x C C 的值变式3：解方程3213113-+=x x C C课堂检测1、计算：(1) 26C ； ⑵ 38C ； (3)2637C C -； (4)253823C C -.2、设集合{}A a,b,c,d,e ,B A =⊂，已知a B ∈，且B 中含有3个元素，则集合B 有个.3、从2，3，5，7四个数字中任取两个不同的数相乘，有m 个不同的积；任取两个不同的数相除，有n 个不同的商，则m ：n = .4、按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；。

山西大学附中2016～2017学年高二第一学期9月（总第一次）模块诊断数学试题考查时间：90分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1. 设b a 、是正实数，以下不等式恒成立的序号为 （ ） ①b a ab ab +>2，② b b a a -->，③ 22234b ab b a ->+，④ 22>+abab A ．①、③ B. ①、④ C ．②、③ D ． ②、④2. 在数列{}n a 中，23n a n =+，前n 项和2,n S an bn c n =++∈*N ，其中c b a ,,为常数，则a b c -+= （ ）A ．3- B.4- C ．5- D ．6-3. 若不等式222424mx mx x x +-<+对任意实数x 均成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(2,2]- B.(2,2)- C ．(,2)[2,)-∞-+∞ D ．(,2]-∞4. 已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为AB．．5. 已知数列{}n a 满足130n n a a ++=，243a =-，则{}n a 的前10项和等于（ ） A ．106(13)--- B ．101(13)9- C ．103(13)-- D ．103(13)-+6.已知210cos 2sin ,=+∈αααR ，则=α2tan （ ） A ．34 B.43C ．43-D ．34- 7. 在△ABC 中，若,2tan 12tan 1)12cos2(222B Bb A a +-=-则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B.直角三角形 C ．等腰直角三角 D ．等腰或直角三角形 8. 将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π69. 在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，如果0sin sin 2)2cos(<++B A C B ，那么三边长c b a ,,之间满足的关系是（ ）A ．22c ab >B ．222c b a <+C ．22a bc >D ．222a c b <+ 10. 已知函数()()ϕ+=x x f 2sin ,其中ϕ为实数,若()()6f x f π≤对R ∈x 恒成立,且()()2f f ππ<.则下列结论正确的是 A.11211-=⎪⎭⎫⎝⎛πf B.⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛5107ππf f C.()x f 是奇函数D.()x f 的单调递增区间是()Z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-k k k 6,3ππππ 11. 已知ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为O ，且3450OA OB OC ++=，则 OC AB ⋅的值为（ ）A. 15- B.15 C. 65- D.65 12．已知点G 是ABC ∆的重心,且11,tan tan tan AG BG A B Cλ⊥+=,则实数λ的值为( ) A.13 B.12C.3D.2 二．填空题（每小题3分，共12分）13. 数列{}n a 为等比数列，其前n 项的乘积为n T ，若82T T =，则10T ＝ .14.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c 若222,4b c a bc AC AB +=+•=且，则ABC ∆的面积等于 ．15. 已知数列{}n a 为正项等差数列，满足141121≤+-k a a (其中*∈N k 且2≥k )，则k a 的最小值为_16．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量的最小值为则μλμλ++=, ．三．解答题：（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17. （本小题10分） 已知数列{}n a 满足13a =，*133()n n n a a n N +-=∈，数列{}n b 满足3nn na b =. （1）证明数列{}n b 是等差数列并求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列}{n a 的前n 项和n S .18. （本小题10分）设△ABC 的三边为,,a b c 满足cos cos b cB C a+=+． （Ⅰ）求A 的值； （Ⅱ）求2cos 322cos 222CB +的取值范围． 19. （本小题10分）某隧道长m 2150，通过隧道的车辆速度不能超过s m /20．一列有55辆车身长都为m 10的同一车型的车队(这种型号车能行驶的最高速度为s m /40)，匀速通过该隧道，设车队的速度为s xm /，根据安全和车流量的需要，当100≤<x 时，相邻两车之间保持m 20的距离；当2010≤<x 时，相邻两车之间保持)3161(2x x +米的距离．自第辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用时间为)(s y ． （1）将y 表示为x 的函数；（2）求车队通过隧道时间y 的最小值及此时车队的速度．(73.13≈)．20. （本小题12分）三角形ABC 中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,面积为S ． （1）若AB →·AC →S 32≤，求A 的取值范围；（2）若3:2:1tan :tan :tan =C B A ，且1=c ，求b ．21．（本小题10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n S n =，数列{}n b 满足11+=n n n a a b ，n T 为数列{}n b 的前n 项和。

山大附中2017-2018学年第一学期高二年级9月测试数学试题（考试时间：90分钟满分：100分内容：必修四、必修五）一、选择题（每题3分，共36分）1. 若，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.则，故A不正确；，故B正确；,故C不正确；故D不正确.故选B.2. 的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故选C.3. 已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题,4. 已知向量，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】向量，，满足.所以.故选C.5. 设是等差数列的前项和，已知，则等于（）A. 13B. 35C. 49D. 63【答案】C【解析】试题分析：依题意有，解得，所以. 考点：等差数列的基本概念.【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念. 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．6. 同时具有性质“①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】A. ,周期,不成立；B. ，,函数单调递减，不成立；C. ，，时，，是对称轴，，函数单增，成立；D. ，时，，，不是对称轴，不成立.故选：C.7. 若不等式的解集为，则的值为 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】∵x=-1,是方程ax2+bx+1=0的两根，又,∴a=-3,b=-2.∴a+b=-5.本题选择B选项.点睛：“三个二次”间关系，其实质是抓住二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与横轴的交点、二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值、二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是同一个问题．解决与之相关的问题时，可利用函数与方程思想、化归思想将问题转化，结合二次函数的图象来解决．8. 已知，那么的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】已知，.故选A.9. 下列各函数中，最小值为的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】A. ,当时函数无最小值；B. ，,当时,函数有最小值;C. ,,所以当时函数无最小值；D. ，，当时，函数有最小值4.点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.10. 在边长为1的正中，，是边的两个三等分点（靠近于点），等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：如图，，是边的两个三等分点，故选C.考点：平面向量数量积的运算11. 在中，若，则下面等式一定成立的为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在中，，，，，故选12. 已知和4的等比中项为，且，则的最小值为（）A. 4B. 5C. 6D. 8【答案】A【解析】由和4的等比中项为可得，则，二、填空题（每题4分，共16分）13. 已知为等比数列，，，则_____________【答案】-7【解析】∵为等比数列,,，∴，∴,是方程x2−2x−8=0的两个根，解方程x2−2x−8=0,得=−2,=4或=4,=−2，∴或，解得或，∴14. 在所在平面上有一点，满足，则与的面积比为___________【答案】【解析】∴即，即，即，∴并且方向一样，|BC|=3|AP|，如果AP和AC夹角为θ，那么BC和AC的夹角也是θ，，，所以15. 已知函数的部分图象如图所示，则__________________【答案】【解析】根据函数的部分图象，可得再根据五点法作图可得，∵0<φ<π,∴φ=，点睛：已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.16. 某人要利用无人机测量河流的宽度，如图，从无人机处测得正前方河流的两岸，的俯角分别为，，此时无人机的高是60米，则河流的宽度等于____________ 米【答案】米【解析】如图由图可知,∠DAB=15°，∵tan15°=tan(45°−30°)=2−.在Rt△ADB中，又AD=60，∴DB=AD⋅tan15°=60×(2−)=120−60.在Rt△ADC中,∠DAC=60∘，AD=60，∴DC=AD⋅tan60°=60.∴BC=DC−DB=60−(120−60)=120−1)(m).∴河流的宽度BC等于120(−1)米.三、解答题（17、18每题8分，19、20每题10分，21题12分）17. 已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）若将函数的图像向右平移个单位，再将各点的横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图像，求函数的解析式并求其图像的对称轴方程.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．（2）利用的图象变换规律求得的解析式，再利用正弦函数的对称轴方程求得对称轴方程试题解析：（1）令，解得所以的单调增区间为:.（2）由已知，对称轴方程为：18. 已知.（1）若，求的坐标；（2）若与的夹角为，求.【答案】（1）或；（2）.【解析】试题分析：（1）利用向量共线定理、数量积运算性质即可得出．（2）利用数量积运算性质即可的．试题解析：（1）∵，∴，与共线的单位向量为.∵，∴或.（2）∵，∴，∴，∴.点睛：平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.19. 在中，角的对边分别为，面积为，已知.(1)求证：；(2)若，求.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）本问主要考查二倍角公式及正弦定理的变形应用，首先将已知化为，再根据正弦定理变形，即边角互化，易得，整理得，即，所以有；（2）根据已知条件中的，先求出的值，然后根据三角形面积公式，可以求出的值，再根据余弦定理，以及，于是可以建立得出关于的方程，易求的值.试题解析：(1)由条件：，由于：，所以：，即：.(2)，所以：.，.又：，由，所以：，所以：.20. 已知数列的前项和，且是2与的等差中项. （1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）a n＝2n；（2）.【解析】试题分析：..................(2)错位相减可得数列的前项和T n＝3－.试题解析：（1）∵a n是2与S n的等差中项，∴2a n＝2＋S n，①∴2a n－1＝2＋S n－1，(n≥2)②①－②得，2a n－2a n－1＝S n－S n－1＝a n，即＝2(n≥2)．在①式中，令n＝1得，a1＝2．∴数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴a n＝2n.（2）b n＝＝．所以T n＝＋＋＋…＋＋，①则T n＝＋＋＋…＋＋，②①－②得，T n＝＋＋＋＋…＋－＝＋2(＋＋＋…＋)－＝＋2×－＝－．所以T n＝3－．21. 已知向量，，函数，.（1）若的最小值为-1，求实数的值；（2）是否存在实数，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用向量数量积的公式化简函数即可．（2）求出函数的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可．（3）由=0得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可．试题解析：（1）∵，，∴，∵∴，，令，∴∵，对称轴为，①当即时，当时，∴舍，②当即时，当时，∴，③当即是，当时，∴舍，综上，.（2）令，即，∴或，∵，有四个不同的零点，∴方程和在上共有四个不同的实根，∴∴∴.。

山西大学附中2024～2025学年第一学期高一（10月）月考（总第一次）数学评分细则一．选择题：1234567891011A DBAABCDABCBDABD三．填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。

12．21,10x x ∃≥-≥13．1314.12a ≥-四．解答题：（本题共4小题，共49分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

）15.(本小题12分)集合{}{}1213A x x B x x =-<<=<≤，，所以{|13}A B x x ⋃=-<≤,………4分{|12}A B x x =<< ，………8分{|12}R C A x x x =≤-≥或，则R (){|23}A B x x =≤≤ðI .………12分16.(1）由题知，{}13A x x =-<<………1分①若,22C m m =∅-≥+则，得0m ≤；………2分②若0,2123m C m m >⎧⎪≠∅-≥-⎨⎪+≤⎩则，得01m <≤………4分由①②可得：1m ≤………5分（2）()(){}10B x x a x a =++-<，因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集，………6分当1a a -<-时，即12a >时，(),1B a a =--，此时113a a -≤-⎧⎨-≥⎩且等号不同时成立，解得4a ≥，又12a >，所以[)4,a ∞∈+；………8分当1a a ->-时，即12a <时，()1,B a a =--，此时113a a -≤-⎧⎨-≥⎩且等号不同时成立，解得3a ≤-，又12a <，所以(],3a ∞∈--；………10分当1a a -=-时，即12a =，B =∅，不合题意舍；………11分综上所述，(][),34,a ∞∞∈--⋃+．………12分17.（1）设该种玻璃的售价提高到()25x x ≥欧元/平方米，则有()802252000x x --≥⎡⎤⎣⎦，………2分解得：2540x ≤≤，………4分所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米.………5分（2）()25200050026003mn m m ³+++-，………7分整理得：25150023mn m m ³++，除以m 得：1500523n m m ³++，………8分由基本不等式得：15005221023n m m+=，………10分当且仅当150053m m =，即3025m =>时，等号成立，………11分所以该种玻璃的销售量n 至少达到102万平方米时，才可能使2024年的销售收入不低于2023年销售收入与2024年投入之和，此时的售价为30欧元/平方米.………12分18.（1）若5n =，有{}51,2,3,4,5S =，由{}1,2,3,5A =，则{}*1,2,3,4A =，满足{}5*5A S = ，集合A 是5S 的恰当子集；………3分（2）{}()1,,,7A a b a b =<是7S 的恰当子集，则{}*1,2,3,4,5,6A =，………4分*716A -=∈，由*5A ∈则75a -=或15b -=，………5分75a -=时，2a =，此时5b =，{}1,2,5,7A =，满足题意；………6分15b -=时，6b =，此时3a =，{}1,3,6,7A =，满足题意；………7分2a =，5b =或3a =，6b =.………8分（3）若存在A 是n S 的恰当子集，并且5A =，当10n =时，{}1,2,3,7,10A =，有{}*1,2,3,4,5,6,7,8,9A =，满足{}0*110A S = ，所以{}1,2,3,7,10A =是10S 的恰当子集，………10分当11n =时，若存在A 是11S 的恰当子集，并且5A =，则需满足{}*1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A =，由*10A ∈，则有1A ∈且11A ∈；由*9A ∈，则有2A ∈或10A ∈，2A ∈时，设{}()1,2,,,11310A a b a b =≤<≤，经检验没有这样的,a b 满足{}*1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A =；当10A ∈时，设{}()1,,,10,1129A a b a b =≤<≤，经检验没有这样的,a b 满足{}*1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A =；，因此不存在A 是11S 的恰当子集，并且5A =，………12分所以存在A 是n S 的恰当子集，并且5A =，n 的最大值为10.………13分。

山西大学附中高二年级（下）数学导学设计编号4§1.2.1独立性检验的基本思想及其初步应用（2）【学习目标】1．通过探究“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题，并借助样本数据的列联表、柱形图和条形图展示在吸烟者中患肺癌的比例比不吸烟者中患肺癌的比例高，让学生亲身体验独立性检验的实施步骤与必要性.2.理解独立性检验的基本思想及实施步骤【学习重点】独立性检验的基本思想及实施步骤【学习难点】独立性检验的基本思想及实施步骤【学习过程】◆探究新知问题：在二维条形图中如何快速判断两个分类变量是否有关？【知识导练】例1．在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175名秃顶. 分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？例2．为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽由表中数据计算得到K的观察值. 能够以的把握认为高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系吗？为什么？4.能以四、当堂检测1.检验两个分类是否相关时，可以粗略地判断两个分类变量是否有关系的是（ ）.A.散点图B.二维条形图C.独立性检验D.以上都可以2.在二维条形图中，两个比值______相差越大，要推断的论述成立的可能性就越大（ ）.A ．a c a b c d ++与， B. a c c d a b ++与，C. a c a d b c ++与 ， D. a c b d a c++与.A ． 99% B. 95% C. 90% D.无充分依据4.在500人身上试验某种血清预防感冒的作用，把一年中的记录与另外500个未用血清的人作5.甲、乙两个班级进行一门考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下的列联表：画出列联表的条形图，并通过图形判断成绩与班级是否有关。

利用列联表的独立性检验判断，是否能够以99%的把握认为“成绩与班级有关”。

山西大学附中高二年级（下）数学导学设计 编号15柯西不等式1【学习目标】1. 认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义；2. 会证明二维柯西不等式及向量形式；3.会利用柯西不等式证明或求最值.【学习重点】柯西不等式的几种形式及应用【学习难点】柯西不等式的应用【学习过程】一、导学：1. 柯西不等式：若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd +++. 当且仅当时, 等号成立.此即二维形式的柯西不等式.证法10.（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 222()()()ac bd =++当且仅当 时, 等号成立.证法20.（构造法）分析： 22222()()()ac bd a b c d +++⇐22222[2()]4()()0ac bd a b c d +-++ 而22222[2()]4()()ac bd a b c d +-++的结构特征那么，证：设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，∵ 22()()()f x ax c bx d =-+- 0 恒成立.∴ . 得证.证法30.（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =， 则||m =，||n =. ∵ m n ⋅=，且><⋅⋅=⋅,cos ||||，有||||||n m n m ⋅⋅. ∴ . 得证.2. 二维柯西不等式的变式：变式10.若,,,a b c d R ∈，则||2222bd ac d c b a ++⋅+ 或bd ac d c b a ++⋅+2222；变式20. 若,,,a b c d R ∈；变式30. 若1122,,,x y x y R ∈ 几何意义:二、导练：1．已知,a b 为实数，证明：4422332()()()a b a b a b ++≥+．2．设*,,1,a b R a b ∈+=求证：114a b +≥．3．求函数y =4．若231x y +=，求2249x y +的最小值，并求最小值点．三、目标检测：1.若R b a ∈,，且1022=+b a ，则b a -的取值范围是（ ） A. ]52,52[- B. ]102,102[- C. ]10,10[- D. ]5,5[-2.已知1=+y x ,那么2232y x +的最小值是（ ） A.65 B. 56 C. 3625 D. 2536 3.设函数1212++-=x x y 的最大值为4.设实数y x ,满足62322≤+y x ，则y x P +=2的最大值为5.若,1=+b a 则22)1()1(b b a a +++的最小值是6.已知点()000,x y P 及直线:l 0x y C A +B += ()220A +B ≠，用柯西不等式推导点到直线的距离公式。

山西大学附中高二年级（下）数学导学设计 编号14
不等式证明——放缩法
【学习目标】结合实例领会放缩法证明不等式的方法
【学习重点】利用放缩法证明不等式
【学习难点】恰当的放缩证明不等式
【学习过程】
一、 导学：
证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的，这种方法称为放缩法。

放缩的技巧：
（1a n n >><
（2）将分子或分母放大或缩小，如： k k k k k 21
11
1<++=-+；
k k k k k 111)1(112--=-< ； 1
11)1(112+-=+>k k k k k （程度大） )1
111(21)1)(1(111122+--=+-=-<k k k k k k ； （程度小）
（3(1)2
n n ++<
（4）真分数的性质：“若0a b <<，0m >，则a a m b b m +<+” 二、导练：
1. 证明不等式)(2131211*N n n n ∈<++++
2.求证：.332113*********<⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯+
+n
3． 若,,,a b c d R +∈，求证：21<+++++++++++<c
a d d
b d
c c a c b b
d b a a
4．设......n S 求证：
(1)(2)22
n n n n n S ++<< ()n N +∈。