关于球与多面体的组合体解题方法探讨球与多面体的组合体是三维几何中的一个重要概念，解题方法也有多种。
在此简要探讨一下关于球与多面体组合体的解题方法。
首先，对于球与多面体的组合体，我们可以将问题进行分解，分开考虑球和多面体的特性和性质，然后再综合起来考虑问题。
下面我们结合具体例题进行探讨。
例题1：一个正方体的棱长为2，一个半径为1的球被正方体完全包围住，且完全在正方体内，求球与正方体相交的面积。
解题思路：首先我们可以知道正方体的一个面上的对角线等于正方体的棱长，所以正方体的对角线长度为2√2由题目可知，球在正方体内，球的半径为1，则球心到正方体一些顶点的距离不会超过1，所以球心到正方体一些面的距离也不会超过1我们可以考虑球心到正方体各个面的距离，不难发现，球心到一个面的距离不超过1，球心到相对的面的距离不超过√2，球心到相对的对角面的距离不超过2综上所述，可以得到以下结论：1)若球心在正方体内部，则球与每一面都有交点；2)若球心在正方体边界上，即球心到一面的距离为1，则球与其对边的面无交点；3)若球心在正方体的角点上，即球心到对角面的距离为2，则球与对角面无交点。
在本题中，球心到正方体各个面的距离都不会超过1，所以球与每一面都有交点。
球与正方体的每一面的交线是一个圆，球与三个相邻的面的交线上的圆心在正方体的三个对角线的交点上，球与相对的两个面的交线上的圆心在每个对角面的对角线的交点上。
由于正方体是对称的，所以球与三个相邻的面的交线上的圆互相等价，同理，球与相对的两个面的交线上的圆互相等价。
因此，求球与正方体相交的面积，只需计算球与一个面的交线上的一个圆的面积即可。
球与面的交线上的圆的半径可以通过勾股定理得到，即球心到正方体其中一个面的距离。
在本题中，球心到正方体的一个面的距离为1，所以球与该面的交线上的圆的半径为1-1=0。
因此，球与该面的交线上的圆的面积为0。
综上所述，球与正方体相交的面积为0。
通过以上分析我们可以看出，在解这类球与多面体的组合体题目时，关键是找到球与多面体各个面的交线的性质和关系来进行求解。
第5讲 竞赛和“三一”专题资料——立体几何中与球有关问题 编写林国夫班级___________姓名____________学号__________一.多面体与球的问题（1）多面体内接于球：若球O 是多面体 的外接球，则球O 的球心O 在多面体 的各个表面上的射影为该表面多边形的外心.根据这个性质我们可以确定球心的位置，结合截面法求解相应的量.（2）多面体的内切球：若球O 内切多面体 ，则球O 的球心到多面体 各个表面的距离均为球半径.根据这个性质，结合等体积法求解内切球的半径.（3）球O 被平面 相截，所得的截面为圆截面，设截面圆的圆心为1O ，则1OO 平面 . （4）若多面体是通过长方体或正方体切割所得，则求其外接球的半径可以等价转化为求长方体或正方体的外接球半径.例1（1）如图，一个四面体棱长分别为6,6,6,6,6,9， 则其外接球的半径为______________.（2）如图，已知空间一球，SC 为其直径且||4,,SC A B =为球上两点，满足：||30AB ASC BSC ︒=∠=∠=，则四面体S ABC -的体积为___________.AP（3）在四面体ABCD 中,1AD DB AC CB ====，则四面体ABCD 体积最大时，它的外接球半径R =.（4）（2018·浙江预赛）在四面体PABC 中，PA BC PB AC PC AB ======,则该四面体外接球的半径为_________.B例2 （有关几何体中球的内切问题）(1)四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,边长为,,a PD a PA PC ===,在这个四棱锥中放入一个球,则球的最大半径为(2)在边长为1的正方体C 内作一个内切大球1O ，再在C 内作一个小球2O ，使它与大球1O 外切，同时与正方体的三个面都相切，则球2O 的表面积为___________.(3)在正三棱锥P ABC 中，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切. 如果半球的半径等于1，则正三棱锥的体积最小时，正三棱锥的高等于 _______________.(4)设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半径为r 的一个实心球，此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为_______________二.有关球与球的组合体（抓住球心构建的多面体）例3（1）若4个半径为1的球两两外切，则这4个球的外切正四面体的棱长为__________（2）桌面上有3个半径为2017的球两两相切，在其上方空隙里放入一个球，使其顶点（最高点）与3个球的顶点（最高点）在同一平面内，则该球的半径是___________.（3）若半径为R 的球的内部装有4个相同半径为r 的小球,则小球半径r 的最大可能值是________.（4）将3个半径为1的球和一个半径为1-的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个较小的球，四个球两两相切，那么上层小球的最高点到桌面的距离是___________.O2第5讲 竞赛和“三一”专题资料——立体几何中与球有关问题（练习） 编写林国夫班级___________姓名____________学号__________一.多面体与球的问题相关练习1.外接球的半径为1的正四面体的棱长为________________2.直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===，120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 .3.在四面体ABCD 中，AB BCD ⊥平面，BCD △是边长为3的等边三角形。
精选20 空间几何体（选择与填空）1．与球有关的组合体问题常见内切和外接两种．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于长方体，长方体的顶点均在球面上，长方体的体对角线长等于球的直径．2．在解决几何体的外接球的问题，关键在于求得球心和球半径，在求解时，常运用补全几何体和依据球的截面的性质：利用球的半径R ､截面圆的半径r 及球心到截面的距离d 三者的关系222R r d =+求解． 3．求外接球半径的常用方法：（1）补形法：侧面为直角三角形或正四面体或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；（2）利用球的性质：几何体在不同面均对直角的棱必然是球的直径；（3）定义法：到各个顶点距离均相等的点为球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可．一、单选题1．已知正四棱锥P ABCD -的底面正方形的中心为O ，若高PO =，45PAO ∠=︒，则该四棱锥的表面积是A ．4+ B ．4+C ．4+D ．4+2．若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为A ．B ．CD 3．若一个圆锥的母线长为4，且其侧面积为其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为A ．πB ．32C ．23D ．124．已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的底面边长为a ，高为h ，球的体积为，则这个正四棱柱的侧面积的最大值为A ．B ．C ．D ．5．已知球O 是正四面体SABC 的外接球，E 为线段BC 的中点，过点E 的平面α与球O 形成的截面面积的最小值为6π，则正四面体SABC 的体积为A ．B ．C ．D ．6．如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，每个圆锥的底面直径和高均为12cm ，现有体积为372cm π的细沙全部漏入下圆锥后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度为A ．3cmB ．6cmC ．8cmD ．9cm7．在三棱锥A BCD -中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，ABC 、ACD 、ABD 的面积分别为1、32、3，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为 A ．14πB ．72πC ．494πD8．《算数书》是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈．用该术可求得圆周率π的近似值．现用该术求得π的近似值，并计算得一个底面直径和母线长相等的圆锥的表面积的近似值为27，则该圆锥体积的近似值为A B ．3C ．D ．99．如图，在透明塑料制成的长方体1111ABCD A B C D -容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH 的面积不改变； ③棱11A D 始终与水面EFGH 平行；④当1E AA ∈时，AE BF +是定值．其中正确说法的是 A ．②③④ B ．①②④ C ．①③④D ．①②③10．已知边长为3的正ABC 的顶点和点D 都在球O 的球面上．若6AD =，且AD ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为A ．B ．48πC ．24πD ．12π11．在三楼锥P ABC -中，D 为BC 的中点，PA ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，4AB =，2AC =，若PD 与底面ABC 所成角为45°，则三棱锥P ABC -的体积为A B ．3C ．D 12．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．上述原理在中国被称为祖暅原理．一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为A ．16B ．C ．D ．2113．一个三角形可分为以内切圆半径为高，以原三角形三条边为底的三个三角形．类比此方法，若一个三棱锥的体积2V =，表面积3S =，则该三棱锥内切球的表面积为 A ．81π B ．16π C ．323πD ．169π14．如图，四边形ABCD 是正方形，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，2AB =，60AFC ∠=，则多面体ABCDEF 的体积为A ．43B ．3C ．3D ．16315．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC 为鳖臑，P A ⊥平面ABC ，P A ＝AB ＝2，AC ＝4，三棱锥P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π16．将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使ABD △为正三角形，则三棱锥A BCD -的体积为A ．16 B ．112C ．12D ．1217．已知四面体P ABC -中， 4PA =，AC =PB BC ==PA ⊥平面PBC ，则四面体P ABC -的内切球半径与外接球半径的比A B ．8C ．16D ．818．已知正三棱柱111ABC A B C -的六个顶点均在球O 的球面上，1O 为上底面ABC 的外接圆，若1O 的面积为4π，且侧面矩形11AA B B 的面积为，则球O 的体积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π19．为了给数学家帕西奥利的《神奇的比例》画插图，列奥纳多·达·芬奇给他绘制了一些多面体，如图的多面体就是其中之一．它是由一个正方体沿着各棱的中点截去八个三棱锥后剩下的部分，这个多面体的各棱长均为2，则该多面体外接球的体积等于A ．16πB ．8πC ．16π3D ．32π320．沙漏也叫沙钟，是一种测量时间的装置，基本模型可以看成是由两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为a ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23，当细沙全部漏入下部的圆锥后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此沙堆的侧面积与细沙全都在上部时的圆锥侧面积之比为A ．3 B ．6C D 21．水平桌面α上放有4个半径均为2R 的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）．在这4个球的上面放1个半径为R 的小球，它和下面4个球恰好都相切，则小球的球心到水平桌面α的距离是 A ．2R B ．3RC ．(3R +D ．(2R22．位于北纬x 度的A 、B 两地经度相差90︒，且A 、B 两地间的球面距离为(3R R π为地球半径），那么x 等于 A ．30 B ．45 C ．60D ．7523．已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O 面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为23π，面积为3π，则球O 的表面积等于A ．818πB ．812πC ．1218πD ．1212π24．在棱长为1111ABCD A B C D -中，E ､F ､G 分别为棱AB ､AD ､11D C 的中点，则以下结论正确的为A ．1-=D DEF VB ．平面1D EF 与正方体1111ABCD A BCD -的交点轨迹长度为6+C ．//DG 平面1D EFD ．正方体1111ABCD A B C D -外接球表面积为6π25．蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、塌、踢皮球的活动，类似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗传名录．已知某蹴鞠的表面上有四个点S 、A 、B 、C ，满足S ABC -为正三棱锥，M 是SC 的中点，且AM SB ⊥，侧棱2SA =，则该蹴鞠的表面积为A ．6πB ．12πC ．32πD ．36π26．已知半球O 与圆台OO '有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为A ．3 B ．3 C ．3 D ．3327．蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动．如图所示，已知某“鞠”的表面上有四个点A ，B ，C ，D 满足10cm AB BC CD DA DB =====，15cm AC =，则该“鞠”的表面积为A ．2350cm 3πB ．2700cm 3πC ．2350cm πD ．2350035cm π28．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，2AB =，PAD △为等边三角形，线段BC 的中点为E ．若1PE =，则此四棱锥的外接球的表面积为A ．82πB ．283πC ．9πD ．282127π 29．在棱长为22的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱AB 、AD 的中点，则平面1D EF 与正方体1111ABCD A B C D -外接球的交点轨迹长度为 A ．23πB ．13πC ．4133πD ．4π30．运用祖暅原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图①）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图②），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等．现将椭圆22149x y +=绕y 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图③），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于．A ．8πB ．16πC ．24πD ．32π二、多选题31．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BC 上运动，则下列判断中正确的是A ．三棱锥1A D PC -的体积为112B ．//DP 面11AB DC ．平面1PBD 与平面1ACD 所成二面角为90︒ D ．异面直线1A P 与1AD 所成角的范围是,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦32．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱CC 1上的动点(点P 不与点C ，C 1重合)，过点P 作平面α分别与棱BC ，CD 交于M ，N 两点，若CP ＝CM ＝CN ，则下列说法正确的是A ．A 1C ⊥平面αB ．存在点P ，使得AC 1∥平面αC ．存在点P ，使得点A 1到平面α的距离为53D ．用过点P ，M ，D 1的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形 33．如图四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝23π，P A ＝AC ＝2，P A ⊥平面ABCD ，点E 为PD 的中点，则下列结论正确的是A ．四棱锥P ﹣ABCD 的外接球体积为323πB ．异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为C ．PB ∥平面ACE D ．BD ⊥平面P AC34．在直角梯形ABCD 中，2AD CD ==，//AB CD ，30ABC ∠=︒，点M 为直线AB 上一点，且2AM =，将该直角梯形沿AC 折叠成三棱锥D ABC -，则下列说法正确的是 A ．存在位置D ，使得BD AC ⊥B ．在折叠的过程中，始终有DM AC ⊥ C ．三棱锥D ABC -体积最大值为23D ．当三棱锥D ABC -体积最大时，216BD =+35．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14,2AB BC BB ===，E 、F 分别为棱AB 、11A D 的中点，则下列说法中正确的有A ．1DB CE ⊥B ．三棱锥D CEF -的体积为83C ．若P 是棱11CD 上一点，且11D P =，则E 、C 、P 、F 四点共面 D ．平面CEF 截该长方体所得的截面为五边形36．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF =，则下列结论中错误的是A ．AC AF ⊥B ．//EF 平面ABCDC ．三棱锥A BEF -的体积为定值D ．AEF 的面积与BEF 的面积相等37．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如图所示，将棱长为3a的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为a 的截角四面体，则下列说法正确的是A ．该截角四面体的表面积为2B ．该截角四面体的体积为312a C ．该截角四面体的外接球表面积为2112a π D ．该截角四面体中，二面角A BC D --的余弦值为1338．如图，已知四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，90DAB CBD ∠=∠=︒，60ADB BDC ∠=∠=︒，E 为PC 中点，F 在CD 上，30FBC ∠=︒，22PD AD ==，则下列结论正确的是A ．//BE 平面PADB ．PB 与平面ABCD 所成角为30C ．四面体D BEF -的体积为3D ．平面PAB ⊥平面PAD39．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，M ，N 分别为棱1CC ，CB ，CD 上的动点(点P 不与点C ，1C 重合)，若CP CM CN ==，则下列说法正确的是A．存在点P，使得点1A到平面PMN的距离为4 3B．用过P，M，1D三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形C．1//BD平面PMND．用平行于平面PMN的平面α去截正方体，得到的截面为六边形时，该六边形周长一定为40．如图所示，几何体是由两个全等的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，两个四棱柱的侧棱互相垂直，四棱柱的底面是边长为2的正方形，该几何体外接球的体积为，设两个直四棱柱交叉部分为几何体r，则A．几何体r为四棱锥B．几何体r的各侧面为全等的正三角形C．直四棱柱的高为4D．几何体r内切球的体积为4π3三、填空题41．给出下列命题：①点P是△ABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC于点O，若PA PB PC==，则O是△ABC的外心；②两条直线和一个平面成等角，则这两条直线平行；③三个平面两两相交，则三条交线一定交于一点；④三个平面最多将空间分成8部分；⑤正方体1111ABCD A B C D -中，直线AC 与1BC 所成角为60︒． 其中正确的命题有____________．（填序号）42．如图所示，正方体ABCD A B C D -''''的棱长为1，E ，F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线E ，F 的平面分别与棱BB '、'DD 交于M ，N ，设BM x =，[0x ∈，1]，给出以下四个命题：（1）平面MENF ⊥平面BDD B ''； （2）当且仅当12x =时，四边形MENF 的面积最小； （3）四边形MENF 周长()L f x =，[0x ∈，1]，则1()2y f x =+是偶函数； （4）四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常函数； 以上命题中真命题的序号为____________．43．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30，若SAB 的面积为4，则该圆锥的体积为____________．44．如图，的正方体ABCD A B C D ''''-中，点E ､F ､G 分别是棱A B ''､B C '､CD 的中点，则由点E ､F ､G 确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于____________．45．球O 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球，平面11A C B 截球O 的截面面积为π，则球的表面积为____________．46．由正三棱锥S ABC -截得的三棱台111ABC A B C -的各顶点都在球O 的球面上，若6AB =，三棱台111ABC A B C -的高为2，且球心O 在平面ABC 与平面111A B C 之间（不在两平面上），则11A B 的取值范围为____________．47．如图所示，一个圆锥的侧面展开图为以A 为圆心，半径长为2的半圆，点D 、M 在BC 上，且BD 的长度为3π，BM 的长度为π，则在该圆锥中，点M 到平面ABD 的距离为____________．48．如图，多面体OABCD ，2AB CD ==，AD BC ==AC BD ==且OA ，OB ，OC 两两垂直，给出下列5个结论：①三棱锥O ABC -的体积是定值；②球面经过点A 、B 、C 、D ③直线//OB 平面ACD ； ④直线AD 与OB 所成角是60︒； ⑤二面角A OC D --等于30． 其中正确的结论是____________．49．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90榫卯起来．若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为____________．50．在三棱锥D ABC -中，ABC 是以A ∠为直角的等腰直角三角形，DBC △是边长为2的等边三角形，二面角A BC D --的余弦值为-，则三棱锥D ABC -的外接球的表面积为____________．51．已知球O 的半径为2，以球心O 为中心的正四面体Γ的各条棱均在球O 的外部，若球O 的球面被Γ的四个面截得的曲线的长度之和为8π，则正四面体Γ的体积为____________．52．已知菱形ABCD 的边长为4，对角线4BD =，将ABD △沿着BD 折叠，使得二面角A BD C --为120︒，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为____________．53．三棱锥A BCD -的一条棱长为a ，其余棱长均为1，当三棱锥A BCD -的体积最大时，它的外接球的表面积为____________．54．四面体ABCD 中，90ABC BCD ∠=∠=︒，2AB BC CD ===，AD =四面体的外接球表面积为____________．55．蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内饰米糠的球，如图所示．因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的足球．现已知某“鞠”的表面上有四个点A ，B ，C ，D 满足10cm AB BC CD DA DB =====，15cm AC =，则该“鞠”的表面积为____________2cm ．56．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别是线段BC ，1CC 的中点，点G 在四边形11BCC B 内运动（含边界），若直线1A G 与平面AEF 无交点，则正方体的外接球表面积为____________，线段CG 的取值范围为____________．57．如图，在ABC 中，8,12AB BC AC =+= ，分别取三边的中点,,D E F ，将,,BDE ADF CEF 分别沿三条中位线折起，使得,,A B C 重合于点P ，则当三棱锥P DEF -的外接球的体积最小时，其外接球的半径为____________，三棱锥P DEF -的体积为____________．58．已知四面体ABCD 的棱长均为,E F 分别为棱,BC BD 上靠近点B 的三等分点，过,,A E F 三点的平面与四面体ABCD 的外接球O 的球面相交，得圆'O ，则球O 的半径为____________，圆'O 的面积为____________．59．某电视台鉴宝栏目迎来一件清代老银方斗型挂件（图1），古代常用来作为女方陪嫁．该挂件佩戴起来非常漂亮，寓意“斗出斗入，日进万金”之意．其结构由长方体与正四棱台组合而成．图2是与该挂件结构相同的几何体，且AB =MN NF ==，2BF =，K为BC 上一点，且:2:1BK KC =，Z 为PQ 上一点．（1）若DK MZ ⊥，则QZZP的值为____________； （2）几何体EFGH MNPQ -外接球的体积为____________．60．已知三棱锥S ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，且,,SA SB SC 两两垂直，3SA =，4SB =，5SC =，则该三棱锥的体积为____________，球O 的表面积为____________．。
