巧解一元一次方程(1)

一元一次方程之巧思妙解
解一元一次方程的通常步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、把系数化为1.但是对于有些具备特殊性的一元一次方程，我们完全可以打破常规，灵活、巧妙地变通解题步骤，避繁就简，使解题过程简捷明了. 下面介绍几种技巧，供同学们参考.
一、巧去括号
分析：如果按例1使括号前的系数依次相乘，解题过程会变得非常复杂.这时要充分利用方程特点，将方程两边同乘以或除以某数，是括号前的系数变成1，从而去掉括号.
解：方程两边同乘以3，去掉大括号，然后
二、巧拆项
分析：观察方程的特点，可先将每个含有分母的多项式拆开，分类合并，可简化过程.
分析：观察各项未知数的系数和常数
三、巧换元
分析：将（x-1）看成一个整体，用换元法，可大大简化运算.
四、巧用分式的基本性质
分析：若直接去分母较繁，观察本题可先用分数的基本性质，使化分数和去分母一次到位，从而避免了繁杂的运算.
五、巧分组通分
分析：观察四个分母的数字特点，采用移项后分组通分，即将分母是21和14的两项放在一组，另外两项成一组，可巧解方程.
分析：注意到左边的第一项和右边的第二项中的分母有公约数3，左边的第二项和右边的第一项中的分母有公约数4，移项局部通分，可简化解题过程.。

看结构、找特征、巧解方程
解一元一次方程时，不但要熟练掌握一般解法，而且还应根据方程的不同特点，分析结构特征，找出规律、灵活处理，这样可以达到化繁为简、避难就易的目的，举例说明如下：
一、巧乘因数
例1：解方程－0.25X＝7.5
解:两边同乘以－4得: X＝－30
这里计算7.5×(－4)要比计算7.5÷(－0.25)容易得多,所以在解方程时两边同乘以－4。

把未知数的
系数化为1,避免了繁冗的运算。

二、巧约因数
这道题从整体思想着想，注重问题的整体结构的特殊性，把握整体运算，从而迅速获解。

总之，在解方程时，我们应充分观察、细心分析、看结构、找特征，根据方程的不同特点，采用恰当的方法，简便求解，从而达到事半功倍的效果。

(作者单位：711700陕西省富平县华朱初中)。

3．2 解一元一次方程(一)——合并同类项与移项第1课时 利用合并同类项解一元一次方程01 教学目标经历把方程等号两边分别合并同类项的过程，能用合并同类项解一元一次方程． 02 预习反馈阅读教材P86～87“问题1及例1”，完成下列内容．1．形如“ax ＋bx ＝c ”的方程，先合并同类项，再把未知数系数化为1．2．补全下列解方程的过程：(1)6x －x ＝4；解：合并同类项，得 5x ＝4.系数化为1，得x ＝45．(2)－4x ＋6x －0.5x ＝－0.3.解：合并同类项，得1.5x ＝－0.3.系数化为1，得x ＝－15．03 例题讲解例 (教材P87例1变式)解下列方程：(1)x 2＋x ＋2x ＝140;(2)3x －1.3x ＋5x －2.7x ＝－12×3－6×4.解：(1)x ＝40. (2)x ＝－15.【点拨】 用合并同类项解一元一次方程的步骤：(1)合并同类项，把原方程化为ax ＝b(a ≠0)的形式；(2)系数化为1，若合并后未知数的系数是1，则没有这个步骤．系数化为1的技巧：①若未知数的系数是不等于0和1的整数，则方程两边除以这个整数；②若未知数的系数是分数m n ，则方程两边乘它的倒数，即乘n m ；③若未知数的系数是带分数(小数)，则先化为假分数(分数)，再按情形②处理．总之，不要一律地除以未知数的系数，要视具体情况灵活处理．【跟踪训练】 解下列方程：(1)6x －5x ＝3；解：合并同类项，得x ＝3.(2)－x ＋3x ＝7－1；解：合并同类项，得2x ＝6.系数化为1，得x ＝3.(3)x 2＋5x 2＝9；解：合并同类项，得3x ＝9.系数化为1，得x ＝3.(4)6y ＋12y －9y ＝10＋2＋6.解：合并同类项，得9y ＝18.系数化为1，得y ＝2.04 巩固训练1．对于方程8x ＋6x －10x ＝6进行合并正确的是(C)A ．3x ＝6B ．2x ＝6C ．4x ＝6D ．8x ＝62．方程18x －3x ＋5x ＝11的解是(C)A ．x ＝2611B ．x ＝－2011C ．x ＝1120D ．x ＝11103．方程10x －2x ＝6＋1两边合并后的结果为8x ＝7，其解为x ＝78．4．解下列方程：(1)－10x －6x ＝－7＋15; (2)23x －56x ＝－67；(3)14x －12x ＝－7－6; (4)－32y －3y ＝52－2.解：(1)x ＝－12. (2)x ＝367. (3)x ＝52. (4)y ＝－19.05 课堂小结1．你今天学习的解方程有哪些步骤？合并同类项，系数化为1(等式的性质2)．2．合并同类项即是将方程中含未知数的项和常数项分别合并，系数化为1的依据是等式的性质2.第2课时利用合并同类项解一元一次方程的实际问题01教学目标经历用“总量＝各部分量的和”这一基本关系列一元一次方程解决实际问题的过程，掌握一元一次方程的简单应用．02预习反馈阅读教材P86“例1”，完成下列内容．学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，求今年购置计算机的数量．解：设今年购置计算机x台，则去年购置计算机13x台．根据题意，得x＋13x__＝100，解得x＝75.答：今年购置计算机75台．03例题讲解例(教材P86例1变式)中国某明星与麦当劳公司签约，该明星作为麦当劳的形象代言人，三年获酬金1 400万美元，若前一年的酬金是后一年的一半，且不考虑税金，则他第一年应得酬金多少万美元？解：设该明星第一年的酬金为x万美元，则第二年的酬金为2x万美元，第三年的酬金为4x万美元，由题意，得x＋2x＋4x＝1 400，即7x＝1 400.等式两边都除以7，得x＝200.答：该明星第一年应得酬金200万美元．【点拨】【跟踪训练】麻商集团三个季度共销售冰箱2 800台，第一个季度销售量是第二个季度的2倍，第三个季度销售量是第一个季度的2倍，试问麻商集团第二个季度销售冰箱多少台？解：设麻商集团第二个季度销售冰箱x台，则第一个季度销售量为2x台，第三个季度销售量为4x台．根据总量等于各分量的和，得x＋2x＋4x＝2 800.解得x＝400.答：麻商集团第二个季度销售冰箱400台．04巩固训练1．已知某数的3倍与这个数的2倍的和是30，求这个数．解：设这个数是x.根据题意，得3x＋2x＝30.解得x＝6.答：这个数是6.2．据某统计数据显示，在我国的700座城市中，按水资源情况可分为三类：暂不缺水城市、一般缺水城市和严重缺水城市，其中，暂不缺水城市数是严重缺水城市数的4倍，一般缺水城市数是严重缺水城市数的2倍，求严重缺水的城市有多少座？解：设严重缺水的城市有x座．根据题意，得4x＋2x＋x＝700.解得x＝100.答：严重缺水的城市有100座．3．蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿，现有蜘蛛、蜻蜓若干只，它们共有120条腿，且蜻蜓的只数是蜘蛛的2倍，蜘蛛、蜻蜓各有多少只？解：设蜘蛛有x只，则蜻蜓有2x只，根据题意，得8x＋6×2x＝120.解得x＝6.所以蜻蜓有：6×2＝12(只)．答：蜘蛛有6只，蜻蜓有12只．05课堂小结如何列方程？分哪些步骤？(1)设未知数；(2)分析题意找出等量关系；(3)根据等量关系列方程．第3课时 利用移项解一元一次方程01 教学目标1．经历利用等式的性质解一元一次方程的过程，通过观察、比较、归纳出移项的法则．2．能用移项解一元一次方程．02 预习反馈阅读教材P88～89“问题2及例3”，完成下列内容．1．把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．2．补全下列解方程的过程：(1)5x －8＝－3x －2;解：移项，得5x ＋3x ＝－2＋8．合并同类项，得8x ＝6.系数化为1，得x ＝34.(2)3x ＋7＝32－2x.解：移项，得3x ＋2x ＝32－7． 合并同类项，得5x ＝25．系数化为1，得x ＝5．03 例题讲解例1 (教材P89例3变式)解下列方程：(1)x －2＝3－x ；(2)－x ＝1－2x ；(3)x －2x ＝1－23x ；(4)x －3x －1.2＝4.8－5x. 解：(1)x ＝52. (2)x ＝1. (3)x ＝－3. (4)x ＝2.【点拨】 移项时要改变项的符号，通常把含未知数的项移到方程的左边，而常数项移到方程的右边．【跟踪训练】 解下列方程：(1)4x ＝9＋x ；解：移项，得4x －x ＝9.合并同类项，得3x ＝9.系数化为1，得x ＝3.(2)4－35m ＝7；解：移项，得－35m ＝7－4.合并同类项，得－35m ＝3.系数化为1，得m ＝－5.(3)4x ＋5＝3x ＋3－2x ；解：移项，得4x －3x ＋2x ＝－5＋3.合并同类项，得3x ＝－2.系数化为1，得x ＝－23.(4)8y －3＝5y ＋3.解：移项，得8y －5y ＝3＋3.合并同类项，得3y ＝6.系数化为1，得y ＝2.04 巩固训练1．下列变形过程中，属于移项的是(C)A ．由3x ＝－1，得x ＝－13B ．由x 4＝1，得x ＝4C ．由3x ＋5＝0，得3x ＝－5D．由－3x＋3＝0，得3－3x＝02．对方程2x－3＋x＝6进行移项，下列正确的是(C)A．2x－x＝6＋3 B．2x－x＝6－3C．2x＋x＝6＋3 D．2x＋x＝6－33．方程3x＋1＝2x的解是(A)A．x＝－1 B．x＝1 C．x＝－2 D．x＝2 4．解下列方程：(1)5x＝3x－12;(2)8x－5＝7x＋2；(3)12x－7＝8x－3;(4)7y＋8＝2y－5－3y.解：(1)x＝－6.(2)x＝7.(3)x＝1.(4)y＝－13 8.05课堂小结1．今天你又学会了解方程的哪些方法？有哪些步骤？每一步的依据是什么？2．移项的“两注意”：(1)“两变”，即一变位置(从方程的一边移到另一边)，二变符号，不要只变位置而不变符号；(2)要与交换律加以区别，在方程的同一边交换项的位置时，符号不变.第4课时利用移项解一元一次方程的实际问题01教学目标经历用“表示同一个量的两个不同的式子相等”这一基本关系列一元一次方程解决实际问题的过程，掌握一元一次方程的简单应用．02预习反馈阅读教材P90“例4”，完成下列内容．某果园12的面积种植了苹果树，14的面积种植了葡萄树，其余40 000 m 2的面积种植了桃树．求这个果园的面积．解：设这个果园的面积是x m 2，根据题意，得12x ＋14x ＋40 000＝x ．解得x ＝160__000．答：这个果园的面积是160__000__m 2．03 例题讲解例 (教材P90例4变式)将一堆糖果分给幼儿园某班的小朋友，如果每人2颗，那么就多8颗；如果每人3颗，那么就少12颗，这个班共有多少名小朋友？ 解：设这个班共有x 名小朋友．根据题意，得2x ＋8＝3x －12，解得x ＝20.答：这个班共有20名小朋友．【点拨】 用“表示同一个量的两个不同的式子相等”列一元一次方程解决实际问题的步骤：(1)设两个未知量中的一个为未知数x ；(2)用含x 的两个不同式子表示另一个未知量；(3)建立一元一次方程；(4)解方程；(5)检验，作答．【跟踪训练】 清明节期间，七(1)班全体同学分成若干小组到革命传统教育基地缅怀先烈，若每小组7人，则余下3人；若每小组8人，则少5人．该班共有多少名同学？解：设一共分为x 个小组．由题意，得7x ＋3＝8x －5.解得x ＝8.则7x ＋3＝7×8＋3＝59.答：该班共有59名同学．04巩固训练1．用大小两台拖拉机耕地，每小时共耕地30亩．已知大拖拉机的效率是小拖拉机的1.5倍，问小拖拉机每小时耕地多少亩？解：设小拖拉机每小时耕地x亩．根据题意，得30－x＝1.5x.解得x＝12.答：小拖拉机每小时耕地12亩．2．学校举办秋季田径运动会，八年级(1)班班委会为班上参加比赛的运动员购买了8箱饮料，如果每人发2瓶，那么剩余16瓶；如果每人发3瓶，那么少24瓶．问该班有多少人参加比赛？解：设该班有x人参加比赛．依题意，得2x＋16＝3x－24.解得x＝40.答：该班有40人参加比赛．3．根据图中的信息，求梅花鹿和长颈鹿现在的高度．解：设梅花鹿现在高x m.根据题意，得3x＋1＝x＋4.解得x＝1.5.所以x＋4＝5.5.答：梅花鹿现在高1.5 m，长颈鹿现在高5.5 m.05课堂小结1．学生试述本节课学了哪些内容？2．本节课讨论的问题中的相等关系又有何共同特点？。

巧解一元一次方程巧点晴——方法和技巧1.概念（1）方程：含有未知数的等式，叫做方程；（2）方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解；（3）解方程：求方程的解的过程叫做方程。

2.解方程的根据解方程主要依据加法和减法、乘法与除法的互逆关系。

巧指导——例题精讲A级冲刺名校·基础点晴【例1】38与一个数的3倍的和是140，求这个数。

做一做1χ的6倍与31的和是49，求χ。

【例2】某数加上7再乘以4，减去8，得56。

这个数先减去8，再乘以4，然后加上7，问得多少？做一做2一个数，如果加上3，乘以5，减去5，再除以5，结果还是5，求这个数是多少。

（用方程解）【例3】解方程：2×4－（2χ＋1）=7做一做3 已知3.5×4＋7χ=49，求χ的值。

B级培优竞赛·更上层楼【例4】10箱苹果比6箱梨重54千克，每箱梨重16千克，问每箱苹果重多少千克？做一做4 果园里有梨树和桃树，桃树的棵数是梨树的5倍，比梨树多480棵。

问梨树和桃树各有多少棵？【例5】一只油桶内有47千克汽油，把这些汽油分别装进15个同样大小的油壶内，都装满后还余2千克。

问每个油壶装了多少千克汽油？做一做5 全班值100棵树，其中有5个同学每人分到2棵，其余每人分到3棵，问全班共有多少个同学？【例6】已知篮球、足球、排球的价格平均每个为36元，篮球的价格比排球每个多10元，足球的价格比排球每个多8元，问每个足球多少元？做一做6 有70块糖，如果第一个小朋友所分得的是第二个小朋友的2倍，第二个小朋友所分得的是第三个小朋友的2倍，最后还剩下7块糖没分。

问每个小朋友各分得几块糖？C级（选学）决胜总决赛·勇夺冠军【例7】有四个数，从中每次取出三个数相加，得到的四个和分别是22，24，27，20，求这四个数各是多少。

做一做7 一个三位数，三个数位上的数字的和是17，百位上的数字比十位上的数字大7，个位上的数字是十位上的数字的3倍。

人教版数学七年级上册3.2《解一元一次方程（一）》教学设计一. 教材分析人教版数学七年级上册3.2《解一元一次方程（一）》是学生在学习了有理数的运算、方程与方程的解等知识的基础上，进一步学习解一元一次方程。

本节课的内容主要包括：一元一次方程的定义、解一元一次方程的一般步骤和求解实际问题中的方程。

通过本节课的学习，使学生掌握解一元一次方程的基本方法，提高解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在进入七年级之前，已经初步掌握了有理数的运算和方程的知识，具备一定的逻辑思维能力。

但部分学生在解决实际问题时，往往不能将数学知识与实际问题相联系，对一元一次方程的解法不够熟练。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习差异，引导学生将数学知识应用于实际问题，提高解题能力。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生理解一元一次方程的定义，掌握解一元一次方程的一般步骤，能够熟练地求解实际问题中的方程。

2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生解决实际问题的能力，提高学生的数学思维水平。

3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，增强学生学好数学的信心，使学生感受到数学在生活中的重要作用。

四. 教学重难点1.重点：一元一次方程的定义，解一元一次方程的一般步骤。

2.难点：将实际问题转化为方程，求解一元一次方程。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生认识一元一次方程，激发学生的学习兴趣。

2.启发式教学法：在教学过程中，引导学生主动思考、探究，培养学生的逻辑思维能力。

3.合作学习法：学生进行小组讨论，互相交流解题方法，提高学生的合作能力。

4.反馈评价法：及时对学生的学习情况进行评价，鼓励学生自主学习，提高学习效果。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示一元一次方程的定义、解题步骤及实际问题。

2.练习题：准备一定数量的练习题，用于巩固所学知识。

3.教学道具：准备一些教学道具，如黑板、粉笔等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如购物时发现找回的钱数不对，引出一元一次方程。