2020-2021学年人教版九年级数学上学期第二十一章 一元二次方程 单元同步试卷(含答案)

人教版九年级数学上册《第二十一章一元二次方程》单元测试卷-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．下列方程中是一元二次方程的是（）A．x+y2=2B．x+4=2C．x2+4x=2D．x2+1x=22．如果x=2是一元二次方程x2+bx+2=0的一个根，则b的值是（）A．2 B．－2 C．3 D．−33．一元二次方程x2−6x+1=0配方后可变形为（）A．(x−3)2=8B．(x−3)2=10C．(x+3)2=8D．(x+3)2=104．一元二次方程x2+2x−1=0的实数根有（）A．1个B．2个C．0个D．无数个5．方程x2−49=0的解为（）A．x1=7，x2=−7B．x1=1，x2=7C．x1=x2=7D．x1=x2=−76．已知关于x的一元二次方程ax2+2x−1=0有两个实数根，则a的取值范围是（）A．a>−1且a≠0B．a≥−1且a≠0C．a≥−1D．a≤−17．2024年元旦开始，梧州市体育训练基地吹响冬季足球训练“集结号”，该基地组织了一次单循环的足球比赛（每两支队伍之间比赛一场），共进行了36场比赛，设有x支队伍参加了比赛，依题意可列方程为（）A．x(x+1)=36B．x(x−1)=36C．x(x+1)2=36D．x(x−1)2=368．设x1,x2是一元二次方程x2−2x−1=0的两根，则1x1+1x2=（）A．12B．−12C．2 D．−2二、填空题9．若方程(m−1)x m2+1−x−2=0是一元二次方程，则m的值是.10．将一元二次方程x2−8x−5=0化成(x+a)2=b（a，b 为常数）的形式，则ab＝．11．关于x的一元二次方程ax2−2(a−1)x+a=0有实数根．则a的取值范围．12．已知三角形的两边长为1和2，第三边的长是方程x2−5x+6=0的一个根，则这个三角形的周长是．13．若 m，n 是一元二次方程x2−2x−5=0的两个根，则m2n+mn2=．三、计算题14．解方程：（1）x2+1=7x；（2）x2+4x−5=0．四、解答题15．关于x的一元二次方程−x2+2x−k=0．（1）若方程有两个实根，求k的取值范围．（2）若方程的一根为−1，求k的值及另一根．16．已知关于x的方程x2﹣3ax﹣3a﹣6＝0（1）求证：方程恒有两不等实根；（2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且（x1﹣1）（x2﹣1）＝1，求a的值．17．如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．（1）若扩充后的矩形绿地面积为800m2，求新的矩形绿地的长与宽；（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3．求新的矩形绿地面积．18．第31届世界大学生夏季运动会在成都举办，吉祥物“蓉宝”深受大家的喜爱．某商场从厂家购进了成都大运会吉祥物蓉宝毛绒公仔和3D钥匙扣两种商品，每个毛绒公仔的进价比每个3D钥匙扣的进价多30元．若购进毛绒公仔4个，3D钥匙扣5个，共需要570元．（1）求毛绒公仔、3D钥匙扣两种商品的每个进价分别是多少元？（2）该商场从厂家购进成都大运会吉祥物蓉宝毛绒公仔和3D钥匙扣两种商品共60个，所用资金恰好为4200元．在销售时，每个毛绒公仔的售价为100元，要使得这60个商品卖出后获利25%，则每个3D钥匙扣的售价应定为多少元？参考答案1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】A6.【答案】B7.【答案】D8.【答案】D9.【答案】-110.【答案】-111.【答案】a≤12且a≠012.【答案】513.【答案】514.【答案】（1）解：原方程可化为x2−7x+1=0b2−4ac=(−7)2−4×1×1=45>0x=7±√452=7±3√52x1=7+3√52（2）解：∵x2+4x−5=0∴(x+5)(x−1)=0∴x+5=0或x−1=0∴x1=−515.【答案】（1）解：∵方程有两个实根∴Δ=22−4×(−1)×(−k)≥0解得k≤1∴k的取值范围为k≤1.（2）解：设方程的另一根为x 2，依题意得{−1+x 2=2−x 2=k解得{x 2=3k =−3∴k 的值为−3，另一根为316.【答案】（1）证明：∵Δ=b 2−4ac =(−3a)2−4×1×(−3a −6)=9a 2+12a +24=(3a +2)2+20>0∴该方程恒有两个不等实根；（2）解：由根与系数的关系x 1+x 2=3a,x 1x 2=−3a −6∵(x 1−1)(x 2−1)=1∴x 1x 2−(x 1+x 2)+1=1∴−3a −6−3a +1=1解得a =−117.【答案】（1）解：（1）设将绿地的长、宽增加xm ，则新的矩形绿地的长为(35+x)m ，宽为(15+x)m 根据题意得：(35+x)(15+x)=800整理得：x 2+50x −275=0解得：x 1=5，x 2=−55（不符合题意，舍去）∴35+x =35+5=40，15+x =15+5=20答：新的矩形绿地的长为40m ，宽为20m（2）设将绿地的长、宽增加ym ，则新的矩形绿地的长为(35+y)m ，宽为(15+y)m 根据题意得：(35+y)：(15+y)=5：3即3(35+y)=5(15+y)解得：y =15∴(35+y)(15+y)=(35+15)×(15+15)=1500答：新的矩形绿地面积为1500m 218.【答案】（1）解：设毛绒公仔、3D 钥匙扣两种商品的每个进价分别是(30＋x)和x 元，由题意得： 4(30+x)+5x =570，解得x =50答：毛绒公仔、3D 钥匙扣两种商品的每个进价分别是80和50元；（2）解：设毛绒公仔买了x 个，由题意可得：80x +50(60−x)=4200解得x=40设3D钥匙扣的每个售价为y元，由题意得：20x40+20(y−50)=4200×25%解得y=62.5答：每个3D钥匙扣的售价为62.5元。

一元二次方程 单元同步密卷训练九年级数学人教版（上）一、选择题1. 用配方法解一元二次方程x 2－6x －10＝0时，下列变形正确的是( )A ．(x ＋3)2＝1B ．(x －3)2＝1C ．(x ＋3)2＝19D ．(x －3)2＝192. 若关于x 的方程(a －2)x 2－2ax ＋a ＋2＝0是一元二次方程，则a 的值是( )A ．2B ．－2C ．0D ．不等于2的任意实数3. 若方程(x －5)2＝19的两根为a 和b ，且a ＞b ，则下列结论中正确的是( )A ．a 是19的算术平方根B ．b 是19的平方根C ．a －5是19的算术平方根D ．b ＋5是19的平方根4. 用配方法解方程x 2-2x-5=0，原方程应变为（ ）A ．（x+1）2=6B 。

（x+2）2=9C 。

（x-1）2=6D 。

（x-2）2=9。

5. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干、小分支的总数是91．设每个支干长出x 个分支，则可列方程为（ ）A ．x 2+x+1＝91B ．（x+1）2＝91C ．x 2+x ＝91D ．x 2+1＝916. 已知1是关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+1=0的一个根，则m 的值是【 】A ． 1B ．﹣1C ．0D ．无法确定7. 已知0x =是关于x 的一元二次方程22(1)440m x mx m +++-=的一个解，则m 的值是（ ）（A ）1 （B ）-1 （C ）0或1 （D ）0或-18. 随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止至2021年底某市汽车拥有量为16.9万辆．已知2019年底该市汽车拥有量为10万辆．设2019年底至2021年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x.根据题意列方程得( )A.10(1＋x)2＝16.9B.10(1＋2x)＝16.9C.10(1－x)2＝16.9D.10(1－2x)＝16.99.已知1是关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+1=0的一个根，则m 的值是（ ）A.1B.﹣1C.0D.无法确定10. 方程3 x （x-1）=5（x-1）的根为（ ）A. x =53B.x =1C.x 1 =1 x 2 =53D. x 1 =1 x 2 =3511.若关于x 的方程a （x+m ）2+b ＝0的解是x 1＝2，x 2＝﹣1（a ，m ，b 均为常数，a ≠0），则方程a （﹣x ﹣m+1）2+b ＝0的解是（ ）A ．x 1＝1，x 2＝﹣2B ．x 1＝1，x 2＝0C ．x 1＝3，x 2＝﹣2D ．x 1＝3，x 2＝012.若方程x 2﹣（m+n ）x+mn ＝0（m ≠0）的根是x 1＝x 2＝m ，则下列结论正确的是（ ）A ．n ＝0且n 是该方程的根B ．n ＝m 且n 是该方程的根C ．n ＝m 但n 不是该方程的根D ．n ＝0但n 不是该方程的根二、填空题13. 关于x 的方程（m 2﹣4）x 2+（m ﹣2）x ﹣2＝0，当m 满足 时，方程为一元二次方程，当m 满足 时，方程为一元一次方程．14. 公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的名著《代数学》中用图解一元二次方程．他把一元二次方程x 2+2x ﹣35＝0写成x 2+2x ＝35的形式，并将方程左边的x 2+2x 看作是由一个正方形（边长为x ）和两个同样的矩形（一边长为x ，另一边长为1）构成的矩尺形，它的面积为35，如图所示，于是只要在这个图形上添加一个小正方形，即可得到一个完整的大正方形，这个大正方形的面积可以表示为：x 2+2x+ ＝35+ ，整理，得（x+1）2＝36．因为x 表示边长，所以x ＝ ．15. 方程(x-1)(x+2)(x-3)＝0的根是_____ ___．16. 菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x 2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的面积为 ．17. 已知x ＝－1是关于x 的方程2x 2＋ax －a 2＝0的一个根，则a ＝__________．18. 如果21x －2x －8=0，则1x的值是________． 19. 若方程的两根是x 1、x 2，则代数式的值是 。

第二十一章一元二次根式一．知识框架二.知识概念一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．本章内容主要要求学生在理解一元二次方程的前提下，通过解方程来解决一些实际问题。

（1）运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．（2）配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如的方程。

这样的方程可以化为更为简单的形如的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。

进而举例说明如何解形如的方程。

然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程，引出配方法。

最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。

在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。

对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。

（3）一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=2b a-±就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。

第二十一章一元二次方程单元测试卷[时间：120分钟 分值：120分]一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 1.下列方程是一元二次方程的是( ) A.x 2＝2x ＋3 B ．x 2＋1＝2xy C.x 2＋1x＝3D ．2x ＋y ＝12.若方程4x 2＝81－9x 化成一般形式后，二次项系数为4，则一次项是( ) A.9 B ．－9x C.9xD ．－93.用配方法解一元二次方程x 2－2x －1＝0时，下列配方正确的是( ) A.(x －1)2＋1＝0 B ．(x ＋1)2＋1＝0 C.(x －1)2－1＝0D ．(x －1)2－2＝04.若方程x 2＋9x ＋9＝0的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2－x 1x 2的值为( ) A.－18B ．18C.9D ．05.学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要比赛一场．若共比赛了28场，则有几个球队参赛？设有x 个球队参赛，则列方程为( )A.12x (x ＋1)＝28B.12x (x －1)＝28 C.x (x ＋1)＝28D ．x (x －1)＝286.若方程x 2－9x ＋18＝0的两个根分别是等腰三角形的底边长和腰长，则这个等腰三角形的周长为( )A.12或15 B ．12 C.15D ．20二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 7.方程x 2＝9x 的解是______________.8.若关于x 的方程(a ＋2)xa 2－2＋3x －5＝0是一元二次方程，则a ＝________. 9.若a 是方程2x 2－4x －6＝0的一个根，则代数式a 2－2a 的值是________.10.若关于x 的一元二次方程(m －1)x 2－4x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围为____________.11.设a ，b 是方程x 2＋x －2020＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为________.12.对于实数a ，b ，规定a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab （a ≥b ），ab －a 2（a ＜b ）.例如2*3，因为2<3，所以2*3＝2×3－22＝2.若x 1，x 2是方程x 2－2x －3＝0的两根，则x 1*x 2＝__________.三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13.解方程：(1)x 2－4x ＋2＝0； (2)x (x －1)＝2(x －1).14.当x 为何值时，代数式(x －1)2与(3－2x )2的值相等？15.已知关于x 的一元二次方程(k ＋1)x 2－3x －3k －2＝0有一个根为－1，求k 的值及方程的另一个根.16.某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进生产技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2，3，4月每个月生产成本的下降率都相同.(1)求每个月生产成本的下降率；(2)请你预测4月份该公司的生产成本.17.已知关于x的一元二次方程x2＋(2m－1)x＋m2－1＝0有实数根.(1)求实数m的取值范围；(2)当m取满足条件的最大整数时，求方程的根.四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18.已知关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0.(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若该方程有一个根小于1，求k的取值范围.19.如图，要设计一幅宽20 cm，长30 cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶1，如果要使彩条所占的面积是图案面积的1975，应如何设计彩条的宽度？20.阅读下面的材料，解答后面的问题. 解方程：x 4－3x 2＋2＝0.解：设x 2＝y ，则原方程变为y 2－3y ＋2＝0，解得y 1＝1，y 2＝2. 当y ＝1时，x 2＝1，解得x ＝±1； 当y ＝2时，x 2＝2，解得x ＝± 2.综上所述，原方程的解为x 1＝1，x 2＝－1，x 3＝2，x 4＝－ 2. 问题：(1)上述解答过程采用的数学思想方法是( ) A.加减消元法 B ．代入消元法 C.换元法D ．待定系数法(2)采用类似的方法解方程：(x 2－2x )2－x 2＋2x －6＝0.五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21.为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元．经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位：台)和每台售价x(单位：万元)成一次函数关系.(1)求年销售量y与每台售价x之间的函数关系式(不要求写自变量的取值范围)；(2)根据相关规定，每台设备的售价不得高于70万元，若该公司想获得10000万元的年利润，则每台设备的售价应是多少万元？22.如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2－6x＋8＝0的根是x1＝2，x2＝4，则方程x2－6x＋8＝0是“倍根方程”.(1)根据上述定义，一元二次方程2x2＋x－1＝0________(填“是”或“不是”)“倍根方程”；(2)若一元二次方程x2－3x＋c＝0是“倍根方程”，求c的值；(3)若(x－2)(mx－n)＝0(m≠0)是“倍根方程”，求代数式4m2－5mn＋n2的值.六、解答题(本大题共12分)23.如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s 的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动.(1)经过几秒，点P，Q之间的距离为 6 cm？(2)经过几秒，△PBQ的面积等于8 cm2？(3)若点P沿射线AB方向从点A出发以1 cm/s的速度移动，同时点Q沿射线CB方向从点C出发以2 cm/s 的速度移动，几秒后，△PBQ的面积为1 cm2？参考答案1．A 2.C 3.D 4.A 5.B 6.C 7．x 1＝0，x 2＝9 8.2 9.310．m<5且m ≠1 11.2019 12.12或－4 13．解：(1)移项，得x 2－4x ＝－2， (x －2)2＝2，x －2＝±2， ∴x 1＝2＋2，x 2＝2－ 2.(2)x(x －1)＝2(x －1)，x(x －1)－2(x －1)＝0， (x －1)(x －2)＝0， x －1＝0或x －2＝0， ∴x 1＝1，x 2＝2.14．解：(x －1)2＝(3－2x)2，∴x －1＝±(3－2x)，∴x －1＝3－2x 或x －1＝－(3－2x)，∴x ＝43或x ＝2.即当x 的值为43或2时，代数式(x －1)2与(3－2x)2的值相等．15．解：将x ＝－1代入(k ＋1)x 2－3x －3k －2＝0，解得k ＝1，∴原方程为2x 2－3x －5＝0.设方程的另一个根为x 1，由根与系数的关系可知：－x 1＝－52，∴x 1＝52.即k 的值为1，方程的另一个根为52.16．解：(1)设每个月生产成本的下降率为x.根据题意，得400(1－x)2＝361.解得x 1＝0.05＝5%，x 2＝1.95(不合题意，舍去)． 答：每个月生产成本的下降率为5%. (2)361×(1－5%)＝342.95(万元)．答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．17．解：(1)根据题意，得Δ＝(2m －1)2－4(m 2－1)≥0，解得m ≤54.(2)m 的最大整数值为1，则方程为x 2＋x ＝0，解得x 1＝－1，x 2＝0. 18．解：(1)证明：∵在方程x 2－(k ＋3)x ＋2k ＋2＝0中， Δ＝[－(k ＋3)]2－4×1×(2k ＋2)＝k 2－2k ＋1＝(k －1)2≥0， ∴该方程总有两个实数根．(2)∵x ＝k ＋3±（k －1）22＝k ＋3±（k －1）2，∴x 1＝2，x 2＝k ＋1.∵该方程有一个根小于1，∴k ＋1<1，解得k<0，∴k 的取值范围为k<0.19．解：设竖彩条的宽为x cm ，则横彩条的宽为2x cm.由题意，得(30－2x)(20－4x)＝30×20×(1－1975)，整理，得x 2－20x ＋19＝0，解得x 1＝1，x 2＝19(不合题意，舍去)．∴竖彩条的宽为1 cm ，横彩条的宽为2 cm. 20．解：(1)C(2)设x 2－2x ＝y ，则原方程变为y 2－y －6＝0， 解得y 1＝3，y 2＝－2.当y ＝3时，x 2－2x ＝3，解得x 1＝－1，x 2＝3； 当y ＝－2时，x 2－2x ＝－2，此方程无解． 综上所述，原方程的解为x 1＝－1，x 2＝3.21．解：(1)∵此设备的年销售量y(单位：台)和每台售价x(单位：万元)成一次函数关系，∴可设y ＝kx ＋b.将数据代入可得⎩⎪⎨⎪⎧40k ＋b ＝600，45k ＋b ＝550，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－10，b ＝1000，∴年销售量y 与每台售价x 之间的函数关系式是y ＝－10x ＋1000. (2)∵每台设备的售价是x 万元，成本价是30万元， ∴每台设备的利润为(x －30)万元． 由题意得(x －30)(－10x ＋1000)＝10000， 解得x 1＝80，x 2＝50.∵每台设备的售价不得高于70万元，即x ≤70， ∴x ＝80不合题意，故舍去，∴x ＝50.∴若该公司想获得10000万元的年利润，则每台设备的售价应是50万元． 22．解：(1)2x 2＋x －1＝0，(2x －1)(x ＋1)＝0，解得x 1＝12，x 2＝－1，故一元二次方程2x 2＋x －1＝0不是“倍根方程”．故应填不是．(2)设方程x 2－3x ＋c ＝0的两个根为x 1，x 2，且x 1＝2x 2，则x 1＋x 2＝3x 2＝3， ∴x 2＝1，∴x 1＝2，∴c ＝x 1x 2＝2.(3)由(x －2)(mx －n)＝0(m ≠0)是“倍根方程”，且该方程的两根分别为x ＝2和x ＝n m ，可知n m ＝4或nm ＝1.当nm＝4时，n ＝4m ，则原式＝(m －n)(4m －n)＝0；当nm ＝1时，n ＝m ，则原式＝(m －n)(4m －n)＝0. 综上所述，代数式4m 2－5mn ＋n 2的值为0.23．解：(1)设经过x 秒，点P ，Q 之间的距离为 6 cm ， 则AP ＝x cm ，QB ＝2x cm.∵AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，∴PB ＝(6－x)cm. ∵在△ABC 中，∠B ＝90°，∴由勾股定理，得(6－x)2＋(2x)2＝6，化简，得5x 2－12x ＋30＝0. ∵Δ＝b 2－4ac ＝(－12)2－4×5×30＝144－600<0， ∴点P ，Q 之间的距离不可能为 6 cm.(2)设经过y 秒，△PBQ 的面积等于8 cm 2.由题意得12(6－y)·2y ＝8，解得y 1＝2，y 2＝4.经检验，y 1，y 2均符合题意． ∴经过2秒或4秒，△PBQ 的面积等于8 cm 2. (3)①当点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB 上时，设移动时间为m 秒，则0<m ≤4，依题意得12(6－m)(8－2m)＝1，∴m 2－10m ＋23＝0，解得m 1＝5＋2(舍去)，m 2＝5－2； ②当点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB 的延长线上时， 设移动时间为n 秒，则4<n ≤6，依题意得12(6－n)(2n －8)＝1，∴n 2－10n ＋25＝0，解得n 1＝n 2＝5；③当点P 在线段AB 的延长线上，点Q 在线段CB 的延长线上时，设移动时间为k 秒，则k>6，依题意得12(k －6)(2k －8)＝1，∴k 2－10k ＋23＝0，解得k 1＝5＋2，k 2＝5－2(舍去)．综上，经过(5－2)秒或5秒或(5＋2)秒，△PBQ 的面积为1 cm 2.1、人生如逆旅，我亦是行人。

第二十一章一元二次方程一、单选题1．方程x2－4＝0的解是A．x＝2B．x＝－2C．x＝±2D．x＝±42．下列方程中，是一元二次方程的是（）=1 A．xy=0B．x2+1=0C．x2=x(x−1)D．x2+1x3．方程3x2=5x+7的二次项系数、一次项系数，常数项分别为（）A．3，5，7B．3，−5，−7C．3，−5，7D．3，5，−74．将方程x2−6x−1=0配方后，原方程可变形为（）A．(x−3)2=8B．(x−3)2=10C．(x+3)2=10D．(x+3)2=85．若关于x的一元二次方程(k−2)x2+4x+1=0有两个实数根则k的取值范围是( ) A．k<6B．k<6且k≠2C．k≤6且k≠2D．k>66．已知a是方程x2−2x−1=0的一个解，则代数式2a2−4a+3的值为（）A．4B．－4C．5D．－57．已知m是一元二次方程x2−4x+1=0的一个根，则2023−m2+4m的值是（）A．−2023B．2023C．2022D．20248．如果关于x的方程(m−2)x2−(2m−1)x+m=0只有一个实数根，那么方程mx2−(m+2)x+(4−m)=0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．只有一个实数根9．2022年，新《医保目录》启用，部分药品实行降价．某药品经过两次降价，每瓶零售价由132元降为102元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（）A．132(1+x)2=102B．132(1−x)2=102C．132(1−2x)=102D．132(1−x2)=10210．已知一元二次方程a(x+m)2+n=0(a≠0)的两根分别为−4，3，则方程a(x+m−1)2 +n=0的两根分别为（）A．2，−5B．−3，4C．3，−4D．−2，5二、填空题11．把下列方程中一元二次方程的序号填在横线上：．+5=0　⑥3x3﹣4x2+1=0．①x2=4②2x2+y=5③3x+x2﹣1=0　④5x2=0⑤3x2+x212．方程2（x+1）2＝（x+2）（x﹣2）化为一般形式为．13．把方程x2+6x+3=0变形为(x+ℎ)2=k的形式，其中h，k为常数，则k=．14．关于x的一元二次方程x2+2x+4c=0有两个相等的实数根，则c=．15．连续两个奇数的乘积为483，则这两个奇数为．16．若关于x的一元二次方程mx2+x−1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．17．若ΔABC的两边长分别为3和4，第三边的长是方程x2−6x+5=0的根，则ΔABC的周长是．18．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边，且BC＞AB）．若花园的面积为192m2，则AB的长为m．三、解答题19．解方程:(1)x2−5x−6=0；(2)2x2−4x−1=0；(3)(x−7)2+2(x−7)=0；(4)(3x+2)2=4(x−3)2.20．已知关于x的一元二次方程x2+(2m+2)x+m2−4=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为负整数，且该方程的两个根都是整数，求m的值．21．已知关于x的一元二次方程（a﹣c）x2＋2bx＋（a＋c）＝0．其中a、b、c分别为△ABC 三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．22．交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售250个，9月份销售360个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同．(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)若此种头盔的进价为25元/个，测算在市场中当售价为40元/个时，月销售量为400个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到7000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？参考答案：1．C2．B3．B4．B5．C6．C7．D8．C9．B10．B11．①③④⑤12．x 2+4x +6＝013．614．14/0.2515．21,23或−23,−21.16．m >−14且m ≠017．1218．1219．（1）x 1=6，x 2=-1；（2）x 1=2+62，x 2=2−62；（3）x 1=7，x 2=5；（4）x 1=-8，x 2=45．20．（1） m >−52；（2）m =−2．21．（1）△ABC 为等腰三角形；（2）△ABC 为直角三角形22．(1)20%(2)45。

九年级数学上册第二十一章一元二次方程全部重要知识点单选题1、如图，把长40cm，宽30cm的矩形纸板剪掉2个小正方形和2个小矩形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为x cm（纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是950cm2，则x的值是（）A．3B．4C．4.8D．5答案：D分析：观察图形可知阴影部分小长方形的长为(x+40−2x2)cm，再根据去除阴影部分的面积为950cm2，列一元二次方程求解即可．解：由图可得出，40×30−2x2−2x⋅(x+40−2x2)=950整理，得，x2+20x−125=0解得，x1=5,x2=−25（不合题意，舍去）．故选：D．小提示：本题考查的知识点是一元二次方程的应用，根据图形找出阴影部分小长方形的长是解此题的关键．2、若α和β是关于x的方程x2+bx−1=0的两根，且αβ−2α−2β=−11，则b的值是（）A．－3B．3C．－5D．5答案：C分析：根据一元二次方程根与系数的关系得出α+β=−b,αβ=−1，代入αβ−2α−2β=−11得到关于b的方程，求出b的值即可．解：∵α和β是关于x的方程x2+bx−1=0的两根，∴α+β=−b,αβ=−1，∴αβ−2α−2β=αβ−2(α+β)=−1+2b=−11∴b=−5故选：C小提示：本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和为-ba ，两根之积为ca是解题的关键．3、若实数a（a≠0）满足a﹣b＝3，a+b+1＜0，则方程ax2+bx+1＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．有两个实数根答案：B分析：先求出根的判别式，再根据已知条件判断正负，即可判断选项．解：在方程ax2+bx+1＝0中，△=b2﹣4a，∵a﹣b＝3，∴a＝3+b，代入a+b+1＜0和b2﹣4a得，b＜﹣2，b2﹣4（3+b）=b2﹣4b﹣12=(b+2)(b﹣6)∵b+2＜0，b-6＜0，∴(b+2)(b-6) ＞0，所以，原方程有有两个不相等的实数根；故选：B．小提示：本题考查了一元二次方程根的判别式和因式分解，解题关键是求出根的判别式，利用因式分解判断值的正负．4、我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（）A ．3(x −1)x =6210B ．3(x −1)=6210C ．(3x −1)x =6210D ．3x =6210 答案：A分析：设这批椽的数量为x 株，则一株椽的价钱为3（x −1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．解：∵这批椽的数量为x 株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱， ∴一株椽的价钱为3（x −1）文，依题意得：3（x −1）x ＝6210， 故选：A ．小提示：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5、已知两个关于x 的一元二次方程M:ax 2+bx +c =0，N:cx 2+bx +a =0，其中ac ≠0，a ≠c ．下列结论错误．．的是（ ） A ．若方程M 有两个相等的实数根，则方程N 也有两个相等的实数根 B ．若方程M 有一个正根和一个负根，则方程N 也有一个正根和一个负根 C ．若5是方程M 的一个根，则15是方程N 的一个根D ．若方程M 和方程N 有一个相同的根，则这个根一定是x =1 答案：D分析：利用根的判别式判断A ；利用根与系数的关系判断B ；利用一元二次方程的解的定义判断C 与D ． 解：A 、如果方程M 有两个相等的实数根，那么△=b 2-4ac =0，所以方程N 也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；B 、若方程M 有一个正根和一个负根，那么△=b 2-4ac >0，c a<0，所以a 与c 符号相反，ac<0，所以方程N 也有一个正根和一个负根，结论正确，不符合题意；C 、如果5是方程M 的一个根，那么25a +5b +c =0，两边同时除以25，得125c +15b +a =0，所以15是方程N 的一个根，结论正确，不符合题意；D 、如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么ax 2+bx +c =cx 2+bx +a ，（a -c ）x 2=a -c ，由a ≠c ，得x 2=1，x =±1，结论错误，符合题意；故选：D．小提示：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根，以及根与系数的关系、一元二次方程的解等知识，掌握它们是关键．6、若x=2是关于x的一元二次方程ax2−x−b=0的一个根，则2+8a−2b的值为（）A．0B．2C．4D．6答案：D分析：根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入方程ax2−x−b=0得4a-b=2，再把2+8a−2b变形为2+2（4a-b），最后整体代入求值即可．解：∵x=2是关于x的一元二次方程ax2−x−b=0的一个根，∴4a-2-b=0，∴4a-b=2，∴2+8a−2b=2+2(4a−b)=2+2×2=2+4=6，故选：D．小提示：本题主要考查了一元二次方程的解，将代数式进行适当变形是解答本题的关键．7、直线y=x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1=0实数解的个数是（）.A．0个B．1个C．2个D．1个或2个答案：D分析：根据直线y=x+a不经过第二象限，得到a≤0，再分两种情况判断方程的解的情况.∵直线y=x+a不经过第二象限，∴a≤0，∵方程ax2+2x+1=0，当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解，当a<0时，方程为一元二次方程，∵∆=b2−4ac=4−4a，∴4-4a>0，∴方程有两个不相等的实数根， 故选：D.小提示：此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易错点是a 的取值范围，再分类讨论.8、若直角三角形的两边长分别是方程x 2−7x +12=0的两根，则该直角三角形的面积是（ ） A ．6B ．12C ．12或3√72D ．6或3√72答案：D分析：根据题意，先将方程x 2−7x +12=0的两根求出，然后对两根分别作为直角三角形的直角边和斜边进行分情况讨论，最终求得该直角三角形的面积即可． 解方程x 2−7x +12=0得x 1=3，x 2=4当3和4分别为直角三角形的直角边时，面积为12×3×4=6；当4为斜边，3为直角边时根据勾股定理得另一直角边为√42−32=√7，面积为12×√7×3=3√72； 则该直角三角形的面积是6或3√72， 故选：D ．小提示：本题主要考查了解一元二次方程及直角三角形直角边斜边的确定、直角三角形的面积求解，熟练掌握解一元二次方程及勾股定理是解决本题的关键．9、已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x 2−6x +8=0的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．2或4 答案：A分析：解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．解：x 2－6x+8=0 （x －4）（x －2）=0 解得：x=4或x=2，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，所以三角形的底边长为2，故选：A．小提示：本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．10、把一元二次方程(x+1)(x−1)=3x化成一般形式，正确的是（）A．x2−3x−1=0B．x2−3x+1=0C．x2+3x−1=0D．x2+3x+1=0答案：A分析：先把方程的左边按照平方差公式进行整理，再移项把方程化为x2−3x−1=0,从而可得答案．解：∵(x+1)(x−1)=3x，∴x2−1=3x,∴x2−3x−1=0,∴方程的一般形式为：x2−3x−1=0,故选A小提示：本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)”是解本题的关键．填空题11、若m，n是关于x的方程x2-3x-3＝0的两根，则代数式m2+n2-2mn＝_____．答案：21分析：先根据根与系数的关系得到m+n＝3，mn＝﹣3，再根据完全平方公式变形得到m2+n2﹣2mn＝（m+n）2﹣4mn，然后利用整体代入的方法计算．解：∵m，n是关于x的方程x2-3x-3＝0的两根，∴m+n＝3，mn＝﹣3，∴m2+n2﹣2mn＝（m+n）2﹣4mn＝32﹣4×（﹣3）＝21．所以答案是：21．小提示：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−b，ax1x2=c．a12、“新冠肺炎”防治取得战略性成果．若有一个人患了“新冠肺炎”，经过两轮传染后共有25个人患了“新冠肺炎”，则每轮传染中平均一个人传染了_________人．答案：4分析：设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x(1+x)人被传染，根据一人患病经过两轮传染后共有25个人患了“新冠肺炎”，即可得出关于x的一元二次方程，解方程求解即可．设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x(1+x)人被传染，由题意得1+x+x(1+x)=25解得x=4或−6（舍去）所以，每轮传染中平均一个人传染了4人所以答案是：4．小提示：本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13、观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n的值为____________．答案：不存在分析：首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n个图形中“•”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n个“○”的个数是n(n+1)；最后根据图形中的2“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n的值是多少即可．解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；n=2时，“•”的个数是6=3×2；n=3时，“•”的个数是9=3×3；n=4时，“•”的个数是12=3×4；……∴第n个图形中“•”的个数是3n；又∵n=1时，“○”的个数是1=1×(1+1)2；n=2时，“○”的个数是3=2×(2+1)2，n=3时，“○”的个数是6=3×(3+1)2，n=4时，“○”的个数是10=4×(4+1)2，……∴第n个“○”的个数是n(n+1)2，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022∴3n−n(n+1)2=2022①，n(n+1)2−3n=2022②解①得：无解解②得：n1=5+√162012,n2=5−√162012所以答案是：不存在小提示：本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．14、如图，若将图1正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则a与b数量关系是______．答案：b=√5+12a分析：根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为(a+b)，右图是一个长方形，长、宽分别为(b+a+b)、b，并且它们的面积相等，由此即可列出等式(a+b)2=b(b+a+b)，解方程即可求出答案．解：依题意得(a+b)2=b(b+a+b)，整理得：a 2+b 2+2ab =2b 2+ab ， 则a 2-b 2+ab =0， 方程两边同时除以b 2， 则(a b )2−1+ab =0， 解得：ab =−1±√52， ∵a b不能为负， ∴ab=−1+√52，∴b =√5+12a ， 所以答案是：b =√5+12a ． 小提示：此题主要考查了图形的剪拼，是一个信息题目．解题的关键是要正确理解题目的意思，会根据题目隐含条件找到数量关系，最后利用数量关系列出方程解决问题15、如果一元二次方程x 2+3x −2=0的两个根为x 1，x 2，则x 13+3x 12−x 1x 2+2x 2=______．答案：-4分析：根据根与系数的关系得到x 1+x 2=-3，x 1x 2=-2，根据一元二次方程根的意义得到x 12+3x 1−2，然后利用整体代入的方法计算，即可求得结果． 解：由题意得：x 1+x 2=−3 ， x 1x 2=−2，∴x 13+3x 12−x 1x 2+2x 2=x 1(x 12+3x 1−2)+2(x 1+x 2)−x 1x 2=0+2×(−3)+2 =-4．所以答案是：-4．小提示：本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的根，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系的公式和理解一元二次方程根的意义． 解答题16、把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项．(1)（2x﹣1）（3x＋2）＝x2＋2；(2)(2√2−x)(2√2+x)=(3+x)2．答案：(1)5x2+x﹣4＝0，二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为﹣4(2)2x2+6x+1＝0，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1分析：根据多项式的乘法化简，再化为一元二次方程的一般形式，进而求得二次项系数、一次项系数以及常数项．（1）化简后为5x2+x﹣4＝0，因此二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为﹣4；（2）化简后为2x2+6x+1＝0，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1．小提示：本题考查了多项式的乘法，一元二次方程的一般形式，理解一元二次方程的一般形式是解题的关键．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．17、已知关于x的方程x2−2mx+m2−9=0．(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；(2)设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1+x2=6，求m的值．答案：(1)见解析(2)3分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＞0，由此可证出此方程有两个不相等的实数根；（2）利用根与系数的关系可得x1+x2=2m即可找出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．（1）根据题意可知：Δ=(2m)2−4(m2−9)=36>0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）有题意得：x 1+x 2=2m∴x 1+x 2=2m =6，解得m =3小提示：本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系的表达式，并会熟练计算．18、综合与探究：如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程x 2+x =0的两个根是x 1=0，x 2=−1，则方程：x 2+x =0是“邻根方程”．(1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：①x 2+x −6=0； ②2x 2−2√5x +2=0．(2)已知关于x 的一元二次方程x 2−(m −2)x −2m =0（m 是常数）是“邻根方程”，求m 的值．答案：(1)x2＋x −6＝0不是“邻根方程”；2x 2−2√5x +2=0是“邻根方程”(2)m ＝−1或−3分析：（1）根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否为1，可以确定方程是否是“邻根方程”；（2）先解方程，求出根，再根据新定义列出关于m 的方程，注意有两种情况．（1）解：①解方程得：(x +3)(x −2)=0，∴x 1=−3，x 2=2，∵2≠−3+1，∴x 2+x −6=0不是“邻根方程”；②x =2√5±√20−164=2√5±24=√5±12， ∴x 1=√5+12，x 2=√5−12， ∵ √5+12−√5−12=1，∴2x 2−2√5x +2=0是“邻根方程”；（2）解：x2−(m−2)x−2m=0(x−m)(x+2)=0，∴x1=m，x2=−2，∵方程x2−(m−2)x−2m=0(m是常数）是“邻根方程”，∴m=−2+1或m=−2−1，∴m=−1或−3.小提示：本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型．。