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第4章 量子力学的矩阵形式与表象变换§1 量子态的不同表象态的表象 量子力学中态和力学量的具体表示方式研究表象的意义 根据不同问题选择不同表象，还可以进行表象变换。
一、坐标表象波函数ψ(x ,t ) 1、ψ(x ,t )2、dx t x 2),(ψ——表示体系处在ψ(x ,t )所描述的态中，在x →x +d x 范围内找到粒子的几率，也就是说，当体系处在ψ(x ,t )所描述的态中，测量坐标x 这个力学量所得值在x →x +d x 这个范围内的几率。
3、2(,)1x t dx ψ=⎰4、动量为x p '的自由粒子的本征函数 xp ip e x ''=2/1)2(1)(πψ5、x 在坐标表象中对应于本征值x '的本征函数)(x x '-δ， 即，)()(x x x x x x '-'='-δδ 二、动量表象波函数 动量本征函数：pxip e x2/1)2(1)(πψ=组成完备系，任一状态ψ可按其展开(,)(,)()p x t c p t x dp ψψ=⎰ (1) 展开系数*(,)()(,)pc p t x x t dx ψψ=⎰ (2) ψ(x ,t )与c (p ,t )互为Fourier （付里叶）变换，一一对应关系，所不同的是变量不同。
认为c (p ,t )和ψ(x ,t )描述同一个状态。
ψ(x ,t )是这个状态在坐标表象中的波函数，c (p ,t )是同一个状态在动量表象中的波函数。
1、),(t p c ——状态波函数2、dp t p c 2),(表示体系处在c (p ,t )所描述的态中测量动量这个力学量p 所得结果为p →p +d p 范围内的几率。
3、1),(2=⎰dp t p c命题：假设ψ(x ,t )是归一化波函数，则c (p ,t )也是归一。
(在第一章中已经证明) 4、x p '的本征函数（具有确定动量x p '的自由粒子的态）若ψ(x ,t )描写的态是具有确定动量 p'的自由粒子态，即：1/21()(2)ip xp x eψπ''=则相应动量表象中的波函数：*(,)()(,)pc p t x x t dx ψψ=⎰()p i E te p p δ'-'=-所以，在动量表象中，具有确定动量p' 的粒子的波函数是以动量p 为变量的δ函数。
狄拉克符号狄拉克符号（也叫“bra-ket 符号”）与希尔伯特空间一起，构成了量子力学形式体系，是非常重要的基本概念。
[1]目录1基本介绍2矩阵表示3性质1基本介绍狄拉克（Dirac）符号（也叫“bra-ket 符号”）于1939年被狄拉克提出，他将“括号（bracket）”这个单词一分为二，分别代表这个符号的左右两部分，左边是“bra”，即为左矢；右边是“ket”，即为右矢。
[1]把希尔伯特空间一分为二，互为对偶的空间，就是狄拉克符号的优点。
用右矢|α>表示态矢，左矢<α|表示其共厄矢量，<α|β>是内积，<α|α>大于等于0，称为模方。
|β><α|是外积。
注意的是：几种表示的意义：|α> 右矢，<α| 左矢，A表示算符，A|α>表示一个右矢，<α|A表示一个左矢，而且，A总是从左方作用于右矢，从右方作用于左矢的。
<α|A|β>是一个复数，可以看成（<α|A|）|β>即一个左矢与一个右矢的内积；或者<α|（A|β>），即一个右矢与一个左矢的内积。
狄拉克符号在量子力学理论表述中有两个优点：1.可以毋需采用具体表象（即可以脱离某一具体的表象）来讨论问题。
2.运算简捷，特别是对于表象变换2矩阵表示右矢与左矢可分别用N×1阶和1×N阶矩阵表示为：[1]不同的两个态矢量的内积则由一个括号来表示：<ψ|φ>，当狄拉克符号作用于两个基矢时，所得值为：（δij为克罗内克函数）相同的态矢量内积为：3性质因为每个右矢是一复数希尔伯特空间中的一个矢量，而每个右矢-左矢关系是内积，而直接地可以得到如下的操作方式：[2-3]（1）给定任何左矢<Φ|、右矢|Ψ1>以及|Ψ2>复数c1及c2，则既然左矢是线性泛函，根据线性泛函的加法与标量乘法的定义有：（2）给定任何右矢|Ψ>、左矢<Φ1|以及<Φ2|，还有复数c1及c2，则既然右矢是线性泛函：（3）给定任何右矢|Ψ1>以及|Ψ2>，还有复数c1及c2，根据内积的性质（其中c*代表c的复数共轭），则有：和对偶。
狄拉克符号（Dirac）狄拉克符号（Dirac ）1狄拉克符号量⼦体系状态的描述，前述波动⼒学和矩阵⼒学两种⽅法，其共同特点是：与体系有关的所有信息都有波函数给出；极为重要的是波函数可以写成各类⼒学量的本征函数的线性组合，⽽展开系数模平⽅具有⼒学量概率的含义。
问题：能否不从单⼀⾓度描述体系，⽽⽤统⼀的⽅式全⾯概括体系的所有性质及概念？狄拉克从数学理论⽅⾯，构造了⼀个抽象的、⼀般⽮量--态⽮，并引进了⼀套“狄拉克符号”，简洁、灵活地描述量⼦⼒学体系的状态。
1.1狄拉克符号的引⼊ 1.1.1 态空间任何⼒学量完全集的本征函数系{})(x u n 作为基⽮构成希尔伯特空间（以离散谱为例），微观体系的状态波函数ψ作为该空间的⼀个态⽮，有∑=nn n u a ψ（1）n a 即为态⽮ψ在基⽮n u 上的分量，态⽮ψ在所有基⽮{}n u 上的分量{}n a 构成了态⽮在{}n u 这个表象中的表⽰（矩阵）= n a a a 21ψ (),,,,**2*1n a a a =+ψ（2）微观体系所有可以实现的状态都与此空间中某个态⽮相对应，故称该空间为态空间注意：（1）式中的n u 只是表⽰某⼒学量的本征态，⽽抛开其具体表象；（2）式的右⽅是ψ的{}n u 表象1.1.2 态空间中内积（标积）的定义设态空间中两个任意态⽮A ψ与B ψ在同⼀表象{}n u 中的分量表⽰各为{}n a 与{}n b ，则两态⽮内积的定义为()∑==+n n n n n B Ab a b b b a a a *21**2*1,,,, ψψ（3）注意：A B B A ψψψψ++≠1.1.3狄拉克符号的引⼊态空间中的ψ与+ψ在形式上具有明显的不对称性，狄拉克认为它们应该分属于两个不同的空间?伴随空间引⼊符号>，称为右⽮ [Ket ⽮，Bra ⽮（Bracket 括号><）]微观体系的⼀个量⼦态ψ⽤>ψ表⽰，>ψ的集合构成右⽮空间，>ψ在右⽮空间中的分量表⽰可记为矩阵=> n a a a 21ψ（4）约定：右⽮空间的态⽮ ,,,B A ψψψ⼀律⽤字母 ,,,>>>B A ψψψ表⽰⼒学量的本征态⽮⼀律⽤量⼦数 ,,,2,1>>>>nlm n ，或连续本征值>λ表⽰引⼊符号 <，称为左⽮微观体系的⼀个量⼦态ψ也可⽤ψ<表⽰，但在同⼀表象中>ψ与ψ<的分量互为共轭复数(),,,,**2*1n a a a =<ψ（5）ψ<的集合构成左⽮空间引⼊狄拉克符号后，任意两个态⽮>>B A ,的内积定义为同⼀表象下伴随空间中相应分量之积的和∑=++>=nn n n b a b a b a A B ***11| （6）这⾥*||>>=<>λ|,|n 仍为抽象的本征⽮ 1.2 基⽮的狄拉克符号表⽰ 1.2.1 离散谱⼒学量完全集的本征函数{}n u 具有离散的本征值{}n Q 时，对应的本征⽮>>>n |,2|,1| 或>nlm |等，构成正交归⼀化的完全系，可以作为⽮量空间的基⽮，作为基⽮可表⽰为??>= 0011| ?>= 0102| …… ←>= 010|n 第n ⾏（7）（1）基⽮具有正交归⼀性 mn n m δ>=<| （8）（2）展开定理 ∑>>=nn n a ||ψ（9）两边同时左乘|m <得∑∑==><>=m mn n nn a a n m a m δψ|| （10）说明展开系数是态⽮在基⽮上的分量（3）封闭性把>=<ψ|n a n 代⼊>ψ|中得，><>>=∑ψψ|||n n n所以 1||=<>∑n n n（11）称为基⽮的封闭性※狄拉克符号运算中⾮常重要的关系式 1.2.2 连续谱当⼒学量本征值构成连续谱λ时，对应的基⽮记为{}>λ|x 表象中)()(|x x x u x x '-=>='<δ，动量表象中px ip e x u x p -=>=<2/1)2(1)(|π，同理 )(|x u n x n >=< )(|p u n p n >=< 1|>==< px ie p x2/1)2(1|π>=< 1.3 态⽮在基⽮下的形式 1.3.1 离散谱基⽮为{}>n |，态⽮记为>ψ|或 ,|,|>>B A ，⽤基⽮展开><>>=?>=∑ψψψ|||1|n n n（16）展开系数>=<ψ|n a n 构成>ψ|在>n |表象中的分量，也可写成><><><= >= ψψψψ||2|1|21n a a a n （17）相应的左⽮ ∑><<= n n |||ψψ（18）()()><><><==1ψψψψ（19）1.3.2 连续谱><>>=ψλλλψ|||d （20）或 ?<><=<|||λλλψψd （21）1.3.3 注意：>ψ|只表⽰⼀个抽象的态⽮，只有),(|t x x ψψ>=<为x 表象的波函数；n a n >=<ψ| 为>n |表象的波函数1.4 线性厄⽶算符的作⽤1.4.1 离散谱（1）算符作⽤在基⽮上∑∑>>=><>=∧∧n算符矩阵元 >=<∧m F n F nm || （23）（2）算符作⽤在态⽮上（算符⽅程）>>=∧ψ||F （24）即有 >>=<<∧?ψ|||n F n （25）或 ∑∑><>=><<>=<∧mmnm m F m m F n n ψψ?||||| （26）注意：（24）式是抽象的算符⽅程，（25），（26）式是具体表象中的算符⽅程，><>n |表象中的分量，nm F 也是具体表象中的矩阵元。
专题讲座4-表象理论一、狄拉克符号和表象我们用一个矢量ψ（右矢）来表示量子力学的一个状态, 这个状态可以用一套基矢量{}α来展开(某个算苻本征矢或几个的共同本征矢，基矢量是正交、归一完备的)，选定一套基对应选定一个表象在本征值是分立时，nn naαψ=∑n n a α=ψ用一个列矩阵来表示展开系数12...n a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ψ= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭这称为在这个表象中的波函数也可以用左矢ψ来表示状态*n n na ψ=∑ **()n n n a αα=ψ=ψ在{α表象中ψ用ψ的转置共轭矩阵表示（行矩阵）()†***12....n a a a ψ=右矢和左矢的标积定义为()12†****12....... .n n n n n a a b b b b a a ⎛⎫⎪ ⎪⎪Φψ=Φψ== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑ 态的归一化可以表示为()12†****12...1.n n n nn a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪ψψ=ψψ=== ⎪ ⎪⎝⎭∑在连续谱情况时，（比如坐标的本征矢x ，动量的本征矢p ）()x x dx ψ=ψ⎰()x x ψ=ψ （这就是我们熟悉的坐标表象的波函数）*()()x x dx Φψ=Φψ⎰态的归一化可以表示为*()()1x x dx ψψ=ψψ=⎰当一个算苻作用在一个态上，它的作用是是这个态变成了另外一个态F Φ=ψ在一个算苻Q 的表示里（利用本征矢的封闭性1k k kαα=∑）k k m m mF ααααΦ=ψ∑即n nm m b F a = 1,2,3,...m =写成矩阵形式1111211221222212. .. ..... . ... . . . . . . . .n n n n n nn n b F F F a b F F F a b F F F a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中算苻F 矩阵元为km k mF F αα=要具体计算出来，一般可以借助Q 在坐标表象的本征函数'''*'''*()(,/)()()()(,/)()km k m k m k m k m F F x x F x x dx dxx F x i x x x x dx dx x F x i x x dxααααδααα===-∂∂-=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰本征态方程F ψλψ=在Q 表象1112111212222212.... ......... . . . . . . .n n n n nn n n F F F F F F F F F ββββλββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（在坐标表象 (,/)()()F x i x x x ψλψ-∂∂= ）久期方程11121111121212222212221212... .... . .....0..... .... . . . . . . . . n n n n n n nn n n n nn F F F F F F F F F F F F F F F F F F λβλλβλλβλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-- ⎪⎪ ⎪⎪=→⎪⎪-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭0 . . . .= 表象变换设算苻A 的本征矢为{}m a ， 算苻B 的本征矢为{}b αb α可以用{}ma 展开m m mb S a αα=∑展开系数*()()m m m m S a b dx a x x b dxa x b x αααα===⎰⎰以m S α为矩阵元的矩阵成为变换矩阵。
