数字信号处理第2章(3、4)

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数字信号处理第2章

Z变换与拉氏变换的关系:
这一关系实际上是通过到了Z平面。
若将Z平面用极坐标表示
标表示
，代入
将S平面的函数映射
，S平面用直角坐，得：
上述关系表明： z 的模 r 仅与 s 的实部相对应， z 的幅角则仅与 s 的虚部对应。
映射关系：
Z变换与拉氏变换的关系
0 0,2 (S平面实轴映射到Z平面的正实轴)
解：
，求它的傅立叶变换。
其幅度谱和相位谱分别为：
典型例题
❖ 例2 已知序列的傅立叶变换如下，求它的反变换。
解：
显然序列 h(n)不是绝对可和的，而是平方可和的，但其依然存在傅立叶变换。 Parseval定理
典型例题
❖ 例3 证明复指数序列 x(n) e j0n 的傅立叶变换为：
证：根据序列的傅立叶反变换定义，利用冲击函数的性质，有：
即序列绝对可和
某的有立些序些叶既列序变不，列换满若虽依足引然然绝入不存对频满在可域足。和的以见的冲上后条击条例件函件。也数，不但满满，足足其平平傅方方立可可叶和和变条，换件其傅
也存在。如
、某些周期序列，见后例。
序列傅立叶变换的定义
5．常用序列的傅立叶变换
序列
(n)
傅立叶变换
1
1
典型例题
❖ 例1 已知
A形k(式k=求0,X取1(…：z),N)B，(此z) A( z )
时
为了方bi 便z i通常利用
i0
N
1 ai z i
X(z)/z的
i 1
若序列为因果序列，且N≥M，当X(z)的N个极点都是单
极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：
则其逆Z变换为：

数字信号处理(方勇)第二章习题答案

2－1 试求如下序列的傅里叶变换：（1）)()(01n n n x -=δ （2）)1(21)()1(21)(2--++=n n n n x δδδ （3）),2()(3+=n u a n x n10<<a（4）)4()3()(4--+=n u n u n x（5）∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛=05)3(41)(k nk n n x δ（6）()6cos ,14()0,n n x n π⎧-≤≤=⎨⎩其他解：（1） 010()()j n j j nn X e n n ee ωωωδ∞--=-∞=-=∑（2） 2211()()122j j nj j n X e x n e e e ωωωω∞--=-∞==+-∑ωsin 1j +=（3） 2232()(2)1j j nj nn j nj n n a e X e a u n ea eaeωωωωω-∞∞---=-∞=-=+==-∑∑， 10<<a（4） []4()(3)(4)j j nn X e u n u n eωω∞-=-∞=+--∑∑-=-=33n nj e ω∑∑==-+=313n n j n nj e eωωωωωωωj j j j j e e e e e --+--=--111134=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=----ωωωω21sin 27sin 1137j j j e ee（5） 3350011()(3)44n kj jn j k n k k X e n k e e ωωωδ∞∞+∞--=-∞==⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∞+=--⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛=033411141k j kj e e ωω（6） 44336441()cos 32j j j jn jn n n X e nee e e ππωωωπ---=-=-⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑994()()4()()3333001122j j n j j n n n e e e e ππππωωωω--++===+∑∑ ()9()9334()4()33()()3311112211j j j j j j e e e e e e ππωωππωωππωω-+-+-+⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2－2 设信号}1,2,3,2,1{)(---=n x ，它的傅里叶变换为)(ωj e X ，试计算(1)0()j X e （２）()j X ed πωπω-⎰（３）2()j X e d πωπω-⎰。

数字信号处理第三版第2章.ppt

| z | 2
试利用部分分式展开法求其Z反变换。
解：
X (z)

A1 1 2z 1

1

A2 0.5
z
1
4 1 1 1 3 1 2z1 3 1 0.5z1
x(n)

4 3

2n

1 3
(0.5)n
u(n)
第2章时域离散信号和系统的频域分析
例：设
X (z)
7）终值定理：设x(n)为因果序列，且X(z)=Z［x(n)］的全部
极点，除有一个一阶极点可以在z=1 处外，其余都在单位
圆内，则： lim x(n) lim[(z 1)X (z)]
n
z1
第2章时域离散信号和系统的频域分析
8）序列卷积（卷积定理）
若： y(n) x(n) h(n) x(m)h(n m) m
3z (z 3)2

z2
3z , 6z 9
试利用长除法求其Z反变换。
解：
| z | 3
第2章时域离散信号和系统的频域分析
2.5.4 Z 变换的性质和定理
1）线性性质
Z［ax(n)+by(n)］=aX(z)+bY(z)
2）序列的移位 Z[x(n m)] zm X (z) Rx | z | Rx
2 j c
c (Rx , Rx )
直接利用围线积分的方法计算逆Z变换比较麻烦。下面介绍几种常用的逆Z变换计算方法： 1）用留数定理求逆Z变换（了解） 2）部分分式展开法（掌握） 3）幂级数展开法（长除法）
第2章时域离散信号和系统的频域分析
例：设
1

数字信号处理第二章习题

1 为因果序列，故收敛域为： z 2
8
（2） (n n0 ) n0 0
解：
X ( z)
n

x(n) z n
n
(n n0 ) z n
X ( z) z
n0

1 n n0 (n n0 ) 0 other
1 n0 z
z 0.5 左边序列 0.5 z 2 双边序列右边序列 z 2
16
采用围线积分法求解：
3 2 X ( z) 1 1 0.5 z 1 2 z 1 3(1 2 z 1 ) 2(1 0.5 z 1 ) 5 7 z 1 1 1 (1 0.5 z )(1 2 z ) (1 0.5 z 1 )(1 2 z 1 )
z1 1, z2 2
X(z)的收敛域为
左边序列 z 1 1 z 2 双边序列 z 2 右边序列
24
F ( z) X ( z) z
n 1
z ( z 3) ( z 3) n 1 z zn ( z 1)( z 2) ( z 1)( z 2)
z 2
21
当收敛域为： z 2 0.5
1 n n 1 x(n) 3( ) u (n) 2 u (n 1) 2
22
收敛域为： z 2
右边序列
n 0 ，围线c内有2个1阶极点
x(n) Re s[( z 0.5) F ( z), 0.5] Re s[( z 2) F ( z), 2] ( z 0.5) 5z 7 zn ( z 0.5)( z 2) ( z 2)
双边序列
n 0 ，围线c内有1个1阶极点

数字信号处理第2章 Z变换综述

例4：求序列 x(n) a u (n)的Z变换及收敛域。
n
解： X ( z )
n
n n n n 1 n a u ( n ) z a z ( az ) n 0 n 0

1 az 1 (az 1 ) 2 (az 1 ) n
1 — 64
Z -
-2
-3 1 —— Z 256
1 -3 —— Z 256
...
极点分为：实极点、复极点若为复极点必然是共轭极点，必然是成对出现
例：
z 1 z z X ( z) 2 1 2 1 z z z z 1 ( z 1 )2 ( 3 j)2 2 2
因为D(z)的系数是实数，所以复极点必然成对出现
§2.3
z变换性质1
一、线性: Z[a x (n)+a x (n)]=a Z[x (n)]+a Z[x (n)]
1 1 2 2 1 1 2 2
二、时移： Z[x(n)]=X(z)
Z[x(n-m)]=z-m· X(z)
意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
x(n) h(n) y(n)
|a|<|z|<1/|a|
双边序列的收敛域是左边序列和右边序列z变换的公共收敛区间。
课本P27表2.1
z nu(n) ~ ( z 1) 2
作业2.1(2)(6)
z 2 sin z sin(0 ) sin(n0 )u (n) ~ z 2 2 z cos0 1 sin z 1 sin(0 ) 1 2 z 1 cos0 z 2
z z 1 z z X ( z) 2 z 4 z 3 ( z 1)(z 3) 2 z 1 z 3

(完整word版)数字信号处理答案第二章

第二章2.1 判断下列序列是否是周期序列。

若是,请确定它的最小周期.（1）x （n ）=Acos(685ππ+n ）（2)x （n)=)8(π-ne j（3）x （n)=Asin(343ππ+n ) 解（1）对照正弦型序列的一般公式x （n ）=Acos （ϕω+n )，得出=ω85π。

因此5162=ωπ是有理数，所以是周期序列。

最小周期等于N=)5(16516取k k =。

（2）对照复指数序列的一般公式x （n ）=exp[ωσj +］n,得出81=ω。

因此πωπ162=是无理数,所以不是周期序列。

(3）对照正弦型序列的一般公式x （n)=Acos(ϕω+n ），又x （n)=Asin （343ππ+n ）＝Acos （-2π343ππ-n )＝Acos(6143-n π）,得出=ω43π.因此382=ωπ是有理数，所以是周期序列。

最小周期等于N=)3(838取k k =2.2在图2.2中，x （n ）和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。

计算并列的x （n ）和h （n)的线性卷积以得到系统的输出y(n ）,并画出y(n)的图形。

(a)1111(b)(c)111110 0-1-1-1-1-1-1-1-1222222 33333444………nnn nnnx(n)x(n)x(n)h(n)h(n)h(n)21u(n)u(n)u(n)a n ===22解利用线性卷积公式y(n ）=∑∞-∞=-k k n h k x )()(按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法,计算y(n)的每一个取样值。

（a ） y （0）=x （O)h （0）=1y （l ）=x （O ）h(1)+x （1)h （O)=3y （n)=x(O)h （n ）+x （1)h(n-1)+x(2)h （n —2)=4,n ≥2 （b) x(n ）=2δ(n ）-δ（n-1）h(n)=-δ（n)+2δ（n —1)+ δ(n —2）y(n ）=-2δ(n)+5δ（n —1）= δ(n-3） (c ） y （n ）=∑∞-∞=--k kn k n u k u a)()(=∑∞-∞=-k kn a=aa n --+111u （n ）2。

数字信号处理第二章 DFT

~ N=16：x (4) x((4))16 x((12 16))16 x(12)
例2：
x (n ) x (n ) 0
~ 1 X (k ) k 0 N ~ X (r )
e
j

15
周期序列的傅里叶级数表示：
正变换：
2 N 1 N 1 j nk ~ ~(n) ~(n)e N ~(n)W nk X (k ) DFS x x x N n 0 n 0
反变换：
~ ~(n) IDFS X (k ) 1 x N
j
2 kN N
k mN , m为整数其他k
W
n 0
N 1
( m k ) n N
1W 1W
( k m ) N N ( k m ) N

1 e
j
1 e
N m k rN 0 mk
此外，复指数序列还有如下性质：
0 WN 1, W N 2 N r 1 1, WN WN r
ek (n)
ek (n) 是以N为周期的周期序列，所以基序
列 {e }（k=0,…,N-1) 只有N个是独立的，可以用这N个基序列将 ~ ( n) 展开。 x
j 2 nk N
12
复指数序列 ek (n) e
周期性:
j
2 nk N
W
nk N
的性质：
无论对k还是n，复指数序列都具备周期性。
时间函数连续和非周期连续和周期(T0) 离散(Ts)和非周期离散(Ts)和周期(T0) 非周期和连续非周期和离散(Ω 0=2π /T0) 周期(Ω s=2π /Ts)和连续周期(Ω s=2π /Ts)和离散(Ω 0=2π /T0) 频率函数

数字信号处理(第三版)第2章习题答案

第２章时域离散信号和系统的频域分析
2.3
求信号与系统的频域特性要用傅里叶变换。但分析频率特性使用Z变换却更方便。我们已经知道系统函数的极、零点分布完全决定了系统的频率特性，因此可以用分析极、零点分布的方法分析系统的频率特性，包括定性地画幅频特性，估计峰值频率或者谷值频率，判定滤波器是高通、低通等滤波特性，以及设计简单的滤波器（内容在教材第5 章）等。
X e (e j ) FT[xr (n)]
Hale Waihona Puke 1 1 ej2 1 e j2 1 (1 cos 2)
24
4
2
因为所以
Xe
(e j
)
1 2
[X
(e j
)
X
(e j
)]
X(ejω)=0π≤ω≤2π
X(e-jω)=X(ej(2π-ω))=0 0≤ω≤π
第２章时域离散信号和系统的频域分析
当0≤ω≤π时，
用留数定理求其逆变换，或者将z=ejω代入X(ejω)中，得到X(z)函数，再用求逆Z变换的方法求原序列。注意收敛域要取能包含单位圆的收敛域，或者说封闭曲线c可取单位圆。
第２章时域离散信号和系统的频域分析
例如，已知序列x(n)的傅里叶变换为
X
(e
j
)
1
1 ae
j
a 1
1 求其反变换x(n)。将z=ejω代入X(ejω)中，得到 X (z) 1 az 1
三种变换互有联系，但又不同。表征一个信号和系统的频域特性是用傅里叶变换。 Z变换是傅里叶变换的一种推广，单位圆上的Z变换就是傅里叶变换。
第２章时域离散信号和系统的频域分析

《数字信号处理》第二章离散信号和抽样定理

性延拓，因而采样信号xs(t)就包含了的原信号x(t)全部
信息。
重要结论
第三节抽样定理
*带限信号抽样定理:
要想连续信号抽样后能够不失真的还原出原信号，则抽样频率必须大于或等于两倍原信号频谱的最高频率(2fm≤ fs)，这就是奈奎斯特抽样定理。
第三节抽样定理
二、如何从抽样信号恢复出带限信号x(t)
n
其中
1 g (t)
0
t
2
t

2
Ts
第二节连续信号的离散化
xa (t)
抽样器
（电子开关） P(t)
T
xa (t)
xˆs (t)
fs

1 T
xˆs (t)
第二节连续信号的离散化
理想抽样：当τ 趋于零的极限情况时，抽样脉冲
方波p(t)变成了冲激函数序列δT(t)，这些冲击函数的强度准确地为采样瞬间的xa(t)幅值，这样的抽样称为理想抽样。
余弦与正弦序列示意图如下：
第一节离散时间信号
5、用单位脉冲序列表示任意序列
任意序列x(n)都可用单位脉冲序列δ(n)表示成加权和的形式，即

x(n) x(m) (n m) m
如:
a n x(n)
可表示为 0
10 n 10 其他
10
x(n) am (n m)
样品集合可以是本来就存在的，也可以是由模拟信号通过采样得来的或者是用计算机产生的。
第一节离散时间信号
离散时间信号的时域表示 1）表示离散时间信号可采用枚举的方式。例如
{x(n)}={…，-1.5，-8.7，2.53，0.0，6，7.2， …}

数字信号处理-时域离散随机信号处理(丁玉美)第2章

rxx (0) rxx (0) Rxx r ( M 1) xx
第二章维纳滤波和卡尔曼滤波（2.2.22）式可以写成矩阵的形式，即
Rxd Rxxh
对上式求逆，得到
h Rxx1Rxd
(2.2.23)
(2.2.24)
第二章维纳滤波和卡尔曼滤波上式表明已知期望信号与观测数据的互相关函数及观测数据的自相关函数时，可以通过矩阵求逆运算，得到维纳滤
E[| e(n) |2 ] E[| e(n) |2 ] j 0 a j b j
记
j=0, 1, 2, … （2.2.6）
j j a j b j
j=0, 1, 2, …
（2.2.７）
第二章维纳滤波和卡尔曼滤波则（2.2.6）式可以写为
j E[| e(n) |2 ] 0
j 0

(2.2.16)
假定滤波器工作于最佳状态，滤波器的输出yopt(n)与期望信号d(n) 的误差为eopt(n)，把（2.2.15）式代入上式，得到
* E[ yopt (n)eopt (n)] 0
(2.2.17)
第二章维纳滤波和卡尔曼滤波
d(n) eo pt(n)
yo pt(n)
图 2.2.1 期望信号、估计值与误差信号的几何关系
方法求解，简单易行，具有一定的工程实用价值，并且物理概
念清楚，但不能实时处理；维纳滤波的最大缺点是仅适用于一维平稳随机信号。这是由于采用频域设计法所造成的，因此人们逐渐转向在时域内直接设计最佳滤波器的方法。
第二章维纳滤波和卡尔曼滤波
2.2 维纳滤波器的离散形式——时域解
2.2.1 维纳滤波器时域求解的方法根据线性系统的基本理论，并考虑到系统的因果性，可以得到滤波器的输出y(n),

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=E[s(n)s(n+m)]+E[v(n)s(n+m)] =rss(m) 两边作Z变换得:Sxs(z)=Sss(z) 注意：序列x(n)的 Z变换，
n x ( n ) z 单边Z变换X(z)= ，双边Z变换X(z)= n 0
n
n x ( n ) z

同理 rxx(m)=E[x(n)x(n+m)]
列是一个因果序列，如果能够把因果维纳滤波器的求解问题转
化为非因果问题，求解方法将大大简化。那么怎样把一个因果序列转化为一个非因果序列呢？
PSS(e j ) Ho pt(e j ) Pvv(e j )
0

图 2.3.1 非因果维纳滤波器的传输函数的幅频特性
回顾前面讲到的时间序列信号模型，假设 x(n) 的信号模型
1 jω H opt ( e ) 1 0
Pss(ejω)≠0, Pvv(ejω)=0 Pss(ejω)≠0, Pvv(ejω) ≠ 0 Pss(ejω)=0, Pvv(ejω) ≠ 0
然而实际的系统都是因果的。对于一个因果系统，不能直接转入频域求解的原因是由于输入信号与期望信号的互相关序

| g (k ) |
k

g ( k ) r s ( k )
* 2
k

g ( k ) r*s ( k )
k

r (k ) g (k ) s
k

| r s | 2 2
(2.3.9)
可以看出，均方误差的第一项和第三项都是非负数, 要使均
－ 1 B ( z )
( n )
图 2.3.2 x(n)的时间序列信号模型及其白化滤波器
具体思路如图 2.3.3所示。用白噪声作为待求的维纳滤波器
的输入，设定1/B(z)为信号x(n)的白化滤波器的传输函数，那么维纳滤波器的传输函数G(z)的关系为
H ( z) G( z) B( z)
(2.3.7)
=E{[s(n)+v(n)][s(n+m)+v(n+m)]}
=E[s(n)s(n+m)]+E[v(n)v(n+m)]
=rss(m)+rvv(m)
两边作Z变换得:Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z)
假设信号和噪声不相关，即rsv(m)=0，则 Sxs(z)=Sss(z) Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z)
* r
rss ( 0 )
k 2

k
g ( k ) g ( r ) rww ( k r )
* 2
k

g ( k ) rws ( k )
*
k

* g ( k ) rws (k )
rss ( 0 ) rss ( 0 )
B(z) 已知（如图 2.3.2(a) 所示），求出信号模型的逆系统 B-1(z) ，并将x(n)作为输入，那么逆系统B-1(z)的输出ω(n)为白噪声。一般把信号转化为白噪声的过程称为白化，对应的滤波器称为白化滤波器（如图2.3.2(b)所示）。
( n )
B ( z )
x ( n )
x ( n )
（2.3.2）式可以写成
S ( z ) S ( z ) xs ss H ( z ) opt S ( z ) S ( z ) S ( z ) xx ss vv
（2.3.5）式表示，当噪声为0时，信号全部通过；当信号为 0时，噪声全部被抑制掉，因此维纳滤波确有滤除噪声的能力。把信号的频谱用 Pss(ejω) 表示，噪声的频谱用 Pvv(ejω) 表示，那么非因果的维纳滤波器的传输函数Hopt(ejω)的幅频特性如图2.3.1所示。
2 k
g ( k ) ( n k ) k
2 k

g ( k ) w ( n k )] [ s ( n )

g ( k ) w ( n k )]
E [| s ( n ) | ] E [ E
ˆ y ( n ) s ( n ),
g(n)是G(z)的逆Z变换，如图2.3.3所示。
ˆ y ( n ) s ( n ) ( n ) g ( n ) g ( k ) ( n k )
k

2 E [| e ( n ) | ] E s ( n ) E [s(n )
k

*

g * ( k ) g ( r ) * ( n k ) ( n r )]
*
r
k

g ( k ) ( n k ) s ( n ) g ( k ) ( n k ) s ( n ) k
方误差为最小，当且仅当
m

设定d(n)=s(n)，对上式两边做Z变换，得到
Sxs(z)=Hopt(z)Sxx(z)
Sxs(z) H (z) opt Sxx(z)
考虑x(n)=s(n)+v(n)
假设信号与噪声不相关,即rsv(m)=E[s(n)v(n+m)]=0
rxs(m)=E[x(n)s(n+m)]=E{[s(n)+v(n)]s(n+m)}
第二章维纳滤波和卡尔曼滤波
2.1 引言 2.2 维纳滤波器的离散形式——时域解 2.3 离散维纳滤波器的z域解 2.4 维纳预测 2.5 卡尔曼(Kalman)滤波
2.3 离散维纳滤波器的z域解
若不考虑滤波器的因果性，（2.2.20）式可以写为
r ( k ) h ( m ) r ( k m ) h ( k ) r ( k ) xd xx xx
因此，维纳滤波器的传输函数H(z)的求解转化为G(z)的求解。
x ( n )
1 B ( z )
( n ( n )
图 2.3.3 维纳滤波解题思路
2.3.1 非因果维纳滤波器的求解假设待求维纳滤波器的单位脉冲响应为 ω(n) ，期望信号 d(n)=s(n)，系统的输出信号

数字信号处理第2章(3、4)

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