【优化探究系列】2019届高考数学(文)一轮复习-课时作业-第五章 第三节 等比数列及其前n项和

【优化探究】2017届高考数学一轮复习 第五章 第四节 数列求和课时作业 理 新人教A 版A 组 考点能力演练1．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ，则S 2 014＝( ) A ．2×31 007－2 B ．2×31 007C.32 014－12 D.32 014＋12解析：由a n ＋2＝3a n 可得数列{a n }的奇数项与偶数项分别构成等比数列，所以S 2 014＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 013)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 014)＝1－31 0071－3＋31－31 0071－3＝(－2)×(1－31 007)＝2×31 007－2，故选择A.答案：A2．(2016·长沙质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＋2S n －1＝n ，则S 2 015的值为( )A ．2 015B ．2 013C ．1 008D ．1 007解析：因为a n ＋2S n －1＝n ，n ≥2，所以a n ＋1＋2S n ＝n ＋1，n ≥1，两式相减得a n ＋1＋a n ＝1，n ≥2.又a 1＝1，所以S 2 015＝a 1＋(a 2＋a 3)＋…＋(a 2 014＋a 2 015)＝1 008，故选择C.答案：C3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋cos 2n π2a n ＋sin 2n π2，则该数列的前18项的和为( )A ．2 101B ．2 012C ．1 012D ．1 067解析：当n 为奇数时，a n ＋2＝a n ＋1，即奇数项构成首项为1、公差为1的等差数列；当n 为偶数时，a n ＋2＝2a n ，即偶数项构成首项为2、公比为2的等比数列，所以该数列的前18项和为9＋9×82＋21－291－2＝45＋1 022＝1 067，故选择D.答案：D4．(2016·贵阳一模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4＝4，S 4＝10，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前2 015项和为( )A.2 0142 015B.2 0152 016C.2 0162 015D.2 0172 016解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 4＝a 1＋3d ＝4，S 4＝4a 1＋6d ＝10，联立解得a 1＝d ＝1，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，1a n a n ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前2 015项和为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015－12 016＝1－12 016＝2 0152 016，故选择B.答案：B5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝nm ，S m ＝m n(m ，n ∈N *且m ≠n )，则下列各值中可以为S n ＋m 的值的是( )A ．2B ．3C ．4D.92解析：由已知，设S n ＝An 2＋Bn ，则⎩⎪⎨⎪⎧S n＝An 2＋Bn ＝nm ，S m＝Am 2＋Bm ＝mn⇒⎩⎪⎨⎪⎧An ＋B m ＝1，Am ＋B n ＝1.两式相减得B (m －n )＝0，故B ＝0，A ＝1mn .S m ＋n ＝A (m ＋n )2＝m ＋n2mn＝m 2＋n 2＋2mn mn >4mnmn＝4，故只有D 符合，故选D.答案：D6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－3n ，n 为偶数，2n －1，n 为奇数，则其前10项和为________．解析：依题意，注意到a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝1－28·221－22＝341，a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5×－5－292＝－85，因此题中的数列的前10项和等于341－85＝256.答案：2567．数列{a n }满足a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2(n ∈N *)，设b n ＝1a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，则T n ＝________.解析：本题考查数列的前n 项和与通项间的关系、裂项相消法．依题意，当n ≥2时，a n＝n 2－(n －1)2＝2n －1；又a 1＝12＝2×1－1，因此a n ＝2n －1，b n ＝12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，因此T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. 答案：n2n ＋18．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋2＋(－1)na n ＝1，记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 60＝________. 解析：依题意得，当n 是奇数时，a n ＋2－a n ＝1，即数列{a n }中的奇数项依次形成首项为1、公差为1的等差数列，a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 59＝30×1＋30×292×1＝465；当n 是偶数时，a n ＋2＋a n ＝1，即数列{a n }中的相邻的两个偶数项之和均等于1，a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 58＋a 60＝(a 2＋a 4)＋(a 6＋a 8)＋…＋(a 58＋a 60)＝15.因此，该数列的前60项和S 60＝465＋15＝480.答案：4809．(2016·南昌模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n,4S n ＝a 2n ＋2a n －3，且a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列，当n ≥5时，a n >0.(1)求证：当n ≥5时，{a n }成等差数列； (2)求{a n }的前n 项和S n .解：(1)证明：由4S n ＝a 2n ＋2a n －3,4S n ＋1＝a 2n ＋1＋2a n ＋1－3， 得4a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋2a n ＋1－2a n ，(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0. 当n ≥5时，a n >0，所以a n ＋1－a n ＝2， 所以当n ≥5时，{a n }成等差数列．(2)由4a 1＝a 21＋2a 1－3，得a 1＝3或a 1＝－1， 又a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列， 所以a n ＋1＋a n ＝0(n ≤5)，q ＝－1， 而a 5>0，所以a 1>0，从而a 1＝3，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3－1n －11≤n ≤42n －7n ≥5，所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32[1－－1n ]1≤n ≤4，n 2－6n ＋8n ≥5.10．(2016·石家庄一模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *，λ≠－1)，且a 1,2a 2，a 3＋3为等差数列{b n }的前三项．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和．解：(1)法一：∵a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *)， ∴a n ＝λS n －1＋1(n ≥2)，∴a n ＋1－a n ＝λa n ，即a n ＋1＝(λ＋1)a n (n ≥2)，λ＋1≠0， 又a 1＝1，a 2＝λS 1＋1＝λ＋1，∴数列{a n }是以1为首项，公比为λ＋1的等比数列， ∴a 3＝(λ＋1)2，∴4(λ＋1)＝1＋(λ＋1)2＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，解得λ＝1， ∴a n ＝2n －1，b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.法二：∵a 1＝1，a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *)，∴a 2＝λS 1＋1＝λ＋1，a 3＝λS 2＋1＝λ(1＋λ＋1)＋1＝λ2＋2λ＋1， ∴4(λ＋1)＝1＋λ2＋2λ＋1＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，解得λ＝1， ∴a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N *)， ∴a n ＝S n －1＋1(n ≥2)，∴a n ＋1－a n ＝a n (n ≥2)，即a n ＋1＝2a n (n ≥2)， 又a 1＝1，a 2＝2，∴数列{a n }是以1为首项，公比为2的等比数列， ∴a n ＝2n －1，b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.(2)由(1)知，a n b n ＝(3n －2)×2n －1，设T n 为数列{a n b n }的前n 项和，∴T n ＝1×1＋4×21＋7×22＋…＋(3n －2)×2n －1，①∴2T n ＝1×21＋4×22＋7×23＋…＋(3n －5)×2n －1＋(3n －2)×2n.②①－②得，－T n ＝1×1＋3×21＋3×22＋…＋3×2n －1－(3n －2)×2n＝1＋3×2×1－2n －11－2－(3n －2)×2n，整理得：T n ＝(3n －5)×2n＋5.B 组 高考题型专练1．(2015·高考天津卷)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1＝b 1＝1，b 2＋b 3＝2a 3，a 5－3b 2＝7.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．解：(1)设数列{a n }的公比为q ，数列{b n }的公差为d ，由题意知q >0.由已知，有⎩⎪⎨⎪⎧2q 2－3d ＝2，q 4－3d ＝10，消去d ，整理得q 4－2q 2－8＝0.又因为q >0，解得q ＝2，所以d ＝2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *；数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由(1)有c n ＝(2n －1)×2n －1，设{c n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －3)×2n －2＋(2n －1)×2n －1，2S n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n，上述两式相减，得－S n ＝1＋22＋23＋ (2)－(2n －1)×2n＝2n ＋1－3－(2n －1)×2n＝－(2n－3)×2n－3，所以，S n ＝(2n －3)×2n＋3，n ∈N *.2．(2015·高考全国卷Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解：(1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3①，可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3②. 由②－①可得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即 2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )． 由于a n >0，可得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝12n ＋12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝n32n ＋3.3．(2014·高考浙江卷)已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n (n ∈N *)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2.(1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝1a n －1b n(n ∈N *)．记数列{c n }的前n 项和为S n .①求S n ；②求正整数k ，使得对任意n ∈N *，均有S k ≥S n .解：(1)由题意得a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n ，b 3－b 2＝6， 知a 3＝(2)b 3－b 2＝8.又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2舍去)， 所以数列{a n }的通项为a n ＝2n(n ∈N *)． 所以a 1a 2a 3…a n ＝2n n ＋12＝(2)n (n ＋1)．故数列{b n }的通项为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)． (2)①由(1)知c n ＝1a n －1b n ＝12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1(n ∈N *)， 所以S n ＝12＋122＋…＋12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝1n ＋1－12n (n ∈N *)．②因为c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0； 当n ≥5时，c n ＝1n n ＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋12n －1， 而n n ＋12n－n ＋1n ＋22n ＋1＝n ＋1n －22n ＋1>0，得n n ＋12n ≤5·5＋125<1， 所以，当n ≥5时，c n <0.综上，对任意n ∈N *恒有S 4≥S n ，故k ＝4.。

课时跟踪训练(二十八) 平面向量的综合应用[基础巩固]一、选择题1．(2018·银川调研)若平面四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( )A ．直角梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形[解析] 由AB →＋CD →＝0得平面四边形ABCD 是平行四边形，由(AB →－AD →)·AC →＝0得DB →·AC →＝0，故平行四边形的对角线垂直，所以该四边形一定是菱形，故选C.[答案] C2．(2017·湖南省五市十校高三联考)△ABC 是边长为2的等边三角形，向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则向量a ，b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° [解析] 解法一：设向量a ，b 的夹角为θ，BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，∴|BC →|＝|b |＝2，|AB →|＝2|a |＝2，∴|a |＝1，AC →2＝(2a ＋b )2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝8＋8cos θ＝4，∴cos θ＝－12，θ＝120°.解法二：BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，则向量a ，b 的夹角为向量AB →与BC →的夹角，故向量a ，b 的夹角为120°.[答案] C3．(2017·云南省高三统一检测)在▱ABCD 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，N 为DC 的中点，BM →＝2MC →，则AM →·NM →＝( )A ．48B ．36C ．24D ．12[解析] AM →·NM →＝(AB →＋BM →)·(NC →＋CM →)＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋23AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →－13AD →＝12AB →2－29AD →2＝12×82－29×62＝24，故选C. [答案] C4．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC ＝( ) A. 3 B.7 C ．2 2D.23 [解析] 设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .AB →·BC →＝1，即ac cos B ＝－1.在△ABC 中，根据余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及AB ＝c ＝2，AC ＝b ＝3，可得a 2＝3，即a ＝ 3.[答案] A5．(2018·河南郑州七校联考)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )A. 5 B ．2 5 C ．5D ．10[解析] 依题意得，AC →·BD →＝1×(－4)＋2×2＝0.所以AC →⊥BD →，所以四边形ABCD 的面积为12|AC →|·|BD →|＝12×5×20＝5.[答案] C6．(2018·福建高三质检)△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝2，AC ＝1，设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →.若BQ →·CP →＝－2，则λ＝( )A.13B.23C.43D ．2[解析] 以点A 为坐标原点，以AB →的方向为x 轴的正方向，以AC →的方向为y 轴的正方向，建立如图平面直角坐标系，由题知B (2,0)，C (0,1)，P (2λ，0)，Q (0,1－λ)，BQ →＝(－2,1－λ)，CP →＝(2λ，－1)．∵BQ →·CP →＝－2，∴1＋3λ＝2，解得λ＝13，故选A.[答案] A 二、填空题7．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．[解析] 由题易知点O 为BC 的中点，即BC 为圆O 的直径，故在△ABC 中，BC 对应的角A 为直角，即AC →与AB →的夹角为90°.[答案] 90°8．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值与最小值的和为________．[解析] 由题意可得a ·b ＝3cos θ－sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，则|2a －b |＝2a －b2＝4|a |2＋|b |2－4a ·b ＝8－8cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6∈[0,4]，所以|2a －b |的最大值与最小值的和为4.[答案] 49．(2018·湖北襄阳优质高中联考)在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．[解析]如图，以A 为坐标原点，以AB 为x 轴，AD 为y 轴建立直角坐标系，则A (0,0)，B (2，0)，E (2，1)．设F (m,2)，0≤m ≤2，由AF →·AB →＝(m,2)·(2，0)＝2m ＝2，得m ＝1，则F (1,2)，所以AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝ 2.[答案]2三、解答题10．已知四边形ABCD 为平行四边形，点A 的坐标为(－1,2)，点C 在第二象限，AB →＝(2,2)，且AB →与AC →的夹角为π4，AB →·AC →＝2.(1)求点D 的坐标；(2)当m 为何值时，AC →＋mAB →与BC →垂直． [解] (1)设C (x ，y )，D (m ，n )，则AC →＝(x ＋1，y －2)． ∵AB →与AC →的夹角为π4，AB →·AC →＝2.∴AB →·AC→|AB →||AC →|＝222＋22·x ＋12＋y －22＝22，化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.① 又AB →·AC →＝2(x ＋1)＋2(y －2)＝2，化为x ＋y ＝2.②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.又点C 在第二象限，∴C (－1,3)．又CD →＝BA →，∴(m ＋1，n －3)＝(－2，－2)，解得m ＝－3，n ＝1.∴D (－3,1)．(2)由(1)可知AC →＝(0,1)， ∴AC →＋mAB →＝(2m,2m ＋1)，BC →＝AC →－AB →＝(－2，－1)．∵AC →＋mAB →与BC →垂直，∴(AC →＋mAB →)·BC →＝－4m －(2m ＋1)＝0，解得m ＝－16.[能力提升]11．在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形[解析] 因为AB →|AB →|，AC →|AC →|分别为AB →，AC →方向上的单位向量，故由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0可得BC ⊥AM (M 是∠BAC 的平分线与BC 的交点)，所以△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，又AB→|AB →|·AC→|AC →|＝12，所以∠BAC ＝60°，所以△ABC 为等边三角形． [答案] A12．(2016·天津卷)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58B.18C.14D.118[解析]建立如图所示的直角坐标系，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，B ⎝⎛⎭⎪⎫－12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34.设F (x 0，y 0)，则DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－34，EF →＝(x 0，y 0)．∵DE →＝2EF →，∴2x 0＝14，2y 0＝－34，即x 0＝18，y 0＝－38.∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－38.∴AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－538，BC →＝(1,0)，∴AF →·BC →＝18.故选B.[答案] B13．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC →·EM →的最大值为________．[解析] 以点A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x ，y 轴建立如图平面直角坐标系，则C (1,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，设E (x,0)，x ∈[0,1]，则EC →·EM →＝(1－x,1)·⎝⎛⎭⎪⎫1－x ，12＝(1－x )2＋12，x ∈[0,1]单调递减，当x ＝0时，EC →·EM →取得最大值32.[答案] 3214. (2018·广东湛江一中等四校联考)如图，已知△ABC 中，点M 在线段AC 上，点P在线段BM 上且满足AM MC ＝MPPB＝2，若|AB →|＝2，|AC →|＝3，∠BAC ＝120°，则AP →·BC →的值为________．[解析] ∵|AB →|＝2，|AC →|＝3，∠BAC ＝120°，∴AB →·AC →＝2×3×cos120°＝－3. ∵MP →＝23MB →，∴AP →－AM →＝23(AB →－AM →)，化为AP →＝23AB →＋13AM →＝23AB →＋13×23AC →＝23AB →＋29AC →.∴AP →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋29AC →·(AC →－AB →)＝49AB →·AC →＋29AC →2－23AB →2＝49×(－3)＋29×32－23×22＝－2.[答案] －215．(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．[解] (1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0. 故22sin x －22cos x ＝0，∴tan x ＝1. (2)∵m 与n 的夹角为π3，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝22sin x －22cos x 1×1＝12，故sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4，x －π4＝π6，即x ＝5π12， 故x 的值为5π12.16．(2017·江西上饶调研)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m ·n ＝sin2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c 边的长． [解] (1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )， 对于△ABC ，A ＋B ＝π－C,0<C <π， ∴sin(A ＋B )＝sin C ，∴m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin2C ， ∴sin2C ＝sin C ，cos C ＝12，C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可得2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得2c ＝a ＋b .∵CA →·(AB →－AC →)＝18，∴CA →·CB →＝18， 即ab cos C ＝18，ab ＝36.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， ∴c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36， ∴c ＝6.[延伸拓展](2017·陕师大附中四模)如图，已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，动点P 在以AB为直径的圆弧APB 上，则PC →·PD →的取值范围是________．[解析] 设CD 的中点为M ，连接PM ，则PC →·PD →＝⎝⎛⎭⎪⎫PM →－12CD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫PM →＋12CD →＝|PM →|2－14|CD →|2＝|PM →|2－4.易知|PM →|∈[2,25]，故PC →·PD →的取值范围是[0,16]． [答案] [0,16]附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

课时作业 A 组——基础对点练1．(2018·云南五市联考)某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B ＝( ) A ．15 B ．29 C ．31D ．63解析：程序在运行过程中各变量的值如下：A ＝1，B ＝3，满足A ＜5，B ＝2×3＋1＝7；A ＝2，满足A ＜5，B ＝2×7＋1＝15；A ＝3，满足A ＜5，B ＝2×15＋1＝31；A ＝4，满足A ＜5，B ＝2×31＋1＝63；A ＝5，不满足A ＜5，输出的B ＝63. 答案：D1题图 2题图2．(2018·沈阳市模拟)如图的程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值，若x ＝y ，则这样的x 的值有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：当x ≤2时，令y ＝x 2＝x ⇒x (x －1)＝0，解得x ＝0，或x ＝1；当2＜x ≤5时，令y ＝2x －4＝x ⇒x ＝4；当x ＞5时，令y ＝1x＝x ，无解．故这样的x 的值有3个．答案：C3．(2018·武汉市模拟)元朝时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹幵生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5, 2，则输出的n ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：由程序框图得，n ＝1，a ＝152，b ＝4，a ≤b 不成立；n ＝2，a ＝454，b ＝8，a ≤b 不成立；n ＝3，a ＝1358，b ＝16，a ≤b 不成立；n ＝4，a ＝40516，b ＝3 2，a ≤b 成立．故输出的n ＝4，故选C. 答案：C4．如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图．若输出的a ＝3，则输入的a ，b 不可能为( )A ．6,9B ．3,3C ．15,18D ．13,10解析：该算法的功能为求两个正整数的最大公约数，执行该算法后输出的a ＝3，即输入的a ，b 的最大公约数为3，则选D. 答案：D5．执行如图所示的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]解析：作出分段函数s ＝⎩⎨⎧3t ，t <1，－t 2＋4t ，t ≥1的图像(图略)，可知函数s 在[－1,2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，∴t ∈[－1,3]时，s ∈[－3,4]． 答案：A6．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为21，则判断框中应填( )A ．i <5B ．i <6C ．i <7D ．i <8解析：第一次执行，S ＝－1，i ＝2；第二次执行，S ＝3，i ＝3；第三次执行，S ＝－6，i ＝4；第四次执行，S ＝10，i ＝5；第五次执行，S ＝－15，i ＝6；第六次执行，S ＝21，i ＝7.此时不满足条件，跳出循环，判断框中应填入的条件是“i <7”，故选C. 答案：CB 组——能力提升练1．(2018·成都市模拟)高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1.执行图2所示的程序框图，若输入的a i (i ＝1,2，…，15)分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为( )A ． 6B ．7C ．8D ．9解析：由程序框图可知，其统计的是成绩大于或等于110的人数，所以由茎叶图知，成绩大于或等于110的人数为9，因此输出的结果为9.故选D. 答案：D2．(2018·南昌市模拟)公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，幵创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为( )(参考数据：3≈1.732，sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5) A ．12 B ．24 C ．36D ．48解析：执行程序框图，可得n ＝6，S ＝3×sin 60°＝332；不满足条件S ≥3.10，n ＝12，S ＝6×sin 30°＝3；不满足条件S ≥3.10，n ＝24，S ＝12×sin 15°≈12×0.258 8＝3.105 6；满足条件S ≥3.10，退出循环．故输出n 的值为24.故选B. 答案：B3．(2018·长沙四校模拟)秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，如图所示的程序框图表示用秦九韶算法求5次多项式f (x )＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0当x ＝x 0(x 0是任意实数)时的值的过程，若输入a0＝2，a1＝－5，a2＝6，a3＝－4，a4＝7，a5＝2，x0＝3，则输出的v的值为( )A．984 B．985C．986 D．987解析：执行程序框图，输入a0＝2，a1＝－5，a2＝6，a3＝－4，a4＝7，a5＝2，x0＝3，经过第1次循环得v＝13，n＝2；经过第2次循环得v＝35，n＝3；经过第3次循环得v＝111，n＝4；经过第4次循环得v＝328，n＝5；经过第5次循环得v＝986，n＝6，退出循环．故输出的v的值为986，故选C.答案：C4．(2018·长沙市模拟)某同学为实现“给定正整数N，求最小的正整数i，使得7i>N”，设计程序框图如图，则判断框中可填入( )A．x≤N B．x<NC．x＞N D．x≥N解析：依题意，应填入的条件是x＞N.选C.答案：C5．某品牌洗衣机专柜在国庆期间举行促销活动，茎叶图中记录了每天的销售量(单位：台)，把这些数据经过如图所示的程序框图处理后，输出的S＝( )A．28 B．29C．196 D．203解析：由程序框图可知，该程序框图输出的是销售量的平均值，结合茎叶图可知，输出的S＝20＋22＋26＋33＋33＋34＋35＝29，故选B.7答案：B6．(2018·郑州市模拟)我们可以用随机数法估计π的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤(函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数)，若输出的结果为521，则由此可估计π的近似值为( )A．3.119 B．3.126C．3.132 D．3. 151解析：在空间直角坐标系O ­xyz 中，不等式组⎩⎨⎧0＜x ＜10＜y ＜10＜z ＜1表示的区域是棱长为1的正方体区域，相应区域的体积为13＝1；不等式组⎩⎨⎧0＜x ＜10＜y ＜10＜z ＜1x 2＋y 2＋z 2＜1表示的区域是棱长为1的正方体区域内的18球形区域，相应区域的体积为18×43π×13＝π6，因此π6≈5211 000，即π≈3.126，选B.答案：B7．(2018·合肥模拟)如图所示的程序框图的算法思路源于世界数学名题“3x ＋1问题”．执行该程序框图，若输入的N ＝3，则输出的i ＝ ()A ．6B ．7C ．8D ．9解析：第一步：n ＝10，i ＝2；第二步：n ＝5，i ＝3；第三步：n ＝16，i ＝4；第四步：n ＝8，i ＝5；第五步：n ＝4，i ＝6；第六步：n ＝2，i ＝7；第七步：n ＝1，i ＝8，结束循环，输出的i ＝8，故选C. 答案：C。

2019届高考数学优化探究练习（含解析）基础很重要！
高中数学严密的数学思维是很重要的，前提是大量的练习，尤其在高一高二。

但仅仅做题是不够的，做题也得讲战术。

遇到不会的题，很多同学会选择看答案，看答案也是有技巧的。

数学题看答案应该是看两次：第一次，弄懂怎样从上步得到下一步，这样做仅仅是只见树木，不见森林。

要见森林就需要第二次看答案，这第二次要站在一个高度上去看这道题是怎样入手，切入方式有没有什么特别之处，这是能够做到举一反三的重要条件。

遇到有价值的题最好记在错题本上，印象会深刻些。

就数学而言，考试时的发挥非常关键，细心就成为考数学的法宝。

当然考试时难免会遇到不会的题，这时要有良好的心理素质，不要烦躁，暂时跳过去，忘掉，等到做完还有时间再回头做。

切不可因一两道题就影响了后面。

面对高考，扎实的知识基础很重要，但知识的深化与拓展同样必不可少，本文易安挑选，2019版同步优化探究理数练习（打包72份，含答案）部分分享，完整电子版获取方式，见文末！。

第五章 数列、推理与证明第1讲 数列的概念与简单表示法1．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．642．在数列{a n }中，已知a 1＝1，且当n ≥2时，a 1·a 2·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝( ) A.73 B.6116 C.3115 D.1143．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图X5­1­1.图X5­1­1他们研究过图X5­1­1(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图X5­1­1(2)中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．289B ．1024C ．1225D ．13784．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，其前n 项积为T n ，则T 2017＝( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2 5．(2015年辽宁大连模拟)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n ＝( )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n6．(2014年新课标Ⅱ)若数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，a 8＝2，则a 1＝________. 7．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2009＝________，a 2014＝________.8．已知递增数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋kn ＋2，则实数k 的取值范围为________．9．(2013年新课标Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式是a n＝________.10．(2016年上海)无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和．若对任意n ∈N *，S n ∈{2,3}，则k 的最大值为________．11．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n (n ∈N *)，则当n 为多大时，a n 最大？12．(2012年大纲)已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．第2讲 等差数列1．(2017年江西南昌二模)已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，2a 7－a 8＝5，则S 11＝( )A ．110B ．55C ．50D ．不能确定2．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－123．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 7＋a 13的值是一个确定的常数，则下列各式：①a 21；②a 7；③S 13；④S 14；⑤S 8－S 5. 其结果为确定常数的是( ) A ．②③⑤ B．①②⑤ C ．②③④ D．③④⑤4．(2017年新课标Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则数列{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8 5．(2017年湖北七市4月联考)在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？( )A ．9日B ．8日C ．16日D ．12日6．已知等差数列{a n }的公差为d ，关于x 的不等式d2x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x ＋c ≥0的解集是[0,22]，则使得数列{a n }的前n 项和最大的正整数n 的值是( )A ．11B ．11或12C ．12D ．12或137．(2017年广东揭阳一模)已知数列{a n }对任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a n －2a n ＋1a n ，若a 1＝12，则a 8＝__________.8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________.9．(2016年新课标Ⅱ)在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.10．(2014年大纲)数列{a n}满足a1＝1，a2＝2，a n＋2＝2a n＋1－a n＋2.(1)设b n＝a n＋1－a n，证明{b n}是等差数列；(2)求{a n}的通项公式．11．(2014年新课标Ⅰ)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝λS n－1，其中λ为常数．(1)证明：a n＋2－a n＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．第3讲 等比数列1．对任意的等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列2．(2016年河北衡水模拟)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n＝14，则S 4n ＝( )A ．80B ．30C ．26D ．163．(2013年新课标Ⅰ)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n4．(2017年广东深圳一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·3n －1＋b ，则ab＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．35．(2016年河南模拟)已知等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，其前n 项和为S n ，则S n 的最大值为( )A.34B.23C.43D.326．(2017年北京)若等差数列{a n }和等比数列{}b n 满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝__________.7．(2017年江西南昌二模)在等比数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，满足S 7－4S 6＋3S 5＝0，则S 4＝________.8．(2017年广东深圳第二次调研)《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果墙足够厚，S n 为前n 天两只老鼠打洞长度之和，则S n ＝__________尺．9．(2016年新课标Ⅰ)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a nb n ＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．10．(2016年新课标Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式；(2)若S 5＝3132，求λ.11．(2017年广东广州一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{S n }的前n 项和T n .第4讲 数列的求和1．(2017年辽宁鞍山一中统测)数列{a n }的通项公式为a n ＝14n 2－1，则数列{a n }的前n项和S n ＝( )A.2n 2n ＋1B.n 2n ＋1C.2n 4n ＋1D.n 4n ＋12．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12 D ．－153．已知等差数列{a n }满足a 1>0，5a 8＝8a 13，则当前n 项和S n 取最大值时，n ＝( ) A ．20 B ．21 C ．22 D ．234．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则数列{|a n |}的前n 项和T n 等于( )A ．6n －n 2B ．n 2－6n ＋18C.⎩⎪⎨⎪⎧ 6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ＋18，n ＞3D.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ，n ＞3 5．(2016年湖北七校2月联考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里6．(2015年江苏)已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前10项和为________．7．如图X5­4­1，它满足：①第n 行首尾两数均为n ；②图中的递推关系类似杨辉三角，则第n (n ≥2)行的第2个数是______________．1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5…… 图X5­4­18．(2017年安徽合肥第二次质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －2n，则S n＝__________.9．(2016年浙江金华模拟)设数列{a n }的前n 项和S n 满足6S n ＋1＝9a n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝1a n，求数列{b n }的前n 项和T n .10．(2017年广东佛山二模)已知{a n }是等差数列，{}b n 是各项均为正数的等比数列，且b 1＝a 1＝1，b 3＝a 4，b 1＋b 2＋b 3＝a 3＋a 4.(1)求数列{a n }，{}b n 的通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，求数列{}c n 的前n 项和T n .11．(2017年广东湛江二模)观察下列三角形数表，数表(1)是杨辉三角数表，数表(2)是与数表(1)有相同构成规律(除每行首末两端的数外)的一个数表．对于数表(2)，设第n 行第二个数为a n .(n ∈N *) (如a 1＝2，a 2＝4，a 3＝7) (1)归纳出a n 与a n －1(n ≥2，n ∈N *)的递推公式(不用证明)，并由归纳的递推公式求出{a n }的通项公式a n ；(2)数列{b n }满足：(a n －1)·b n ＝1，求证：b 1＋b 2＋…＋b n <2.第5讲 合情推理和演绎推理1．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P ­ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( )A.18B.19C.164D.1272．(2017年广东惠州三模)我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．类比祖暅原理，如图X5­5­1，在平面直角坐标系中，图X5­5­1(1)是一个形状不规则的封闭图形，图X5­5­1(2)是一个上底为1的梯形，且当实数t 取[0,3]上的任意值时，直线y ＝t 被图X5­5­1(1)和图X5­5­1(2)所截得的两线段长始终相等，则图(1)的面积为 __________.(1) (2) 图X5­5­13．(2017年北京)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： ①男学生人数多于女学生人数； ②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数．(1)若教师人数为4，则女学生人数的最大值为_____________； (2)该小组人数的最小值为__________． 4．观察下列等式： 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10照此规律，第n 个等式为_____________________________________．5．如图X5­5­2，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，则截下的一个直角三角形按如图X5­5­2(1)所标边长，由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2.设想把正方形换成正方体，把截线换成如图X5­5­2(2)所示的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O ­ABC ，若用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，则可以类比得到的结论是__________________．(1) (2)图X5­5­26．已知cos π3＝12，cos π5·cos 2π5＝14，cos π7·cos 2π7·cos 3π7＝18，…，根据以上等式，可猜想出的一般结论是___________________________________．7．(2017年东北三省四市一联)在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说“甲没有得优秀”，乙说“我得了优秀”，甲说“丙说的是真话”．事实证明，在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是__________．8．已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝nb －ma n －m.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝________.9．某同学在一次研究性学习中发现，以下5个式子的值都等于同一个常数．①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°；②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°. (1)试从上述5个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．10．在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＝5，a 3＝7，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为S n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，n ，且1<m <n ，使得S 1，S m ，S n 成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m ，n 的值；若不存在，请说明理由．第6讲 直接证明与间接证明1．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要作的假设是( )A ．方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<03．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 的形状为__________三角形．4．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)存在有理数根，则a ，b ，c 中至少有一个是偶数．下列假设正确的是________．①假设a ，b ，c 都是偶数； ②假设a ，b ，c 都不是偶数； ③假设a ，b ，c 至多有一个偶数； ④假设a ，b ，c 至多有两个偶数．5．凸函数的性质定理：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f x 1＋f x 2＋…＋f x n n≤f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n.已知函数y ＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________．6．α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及β之外的两条不同的直线，给出下列四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中的三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_________________________________________________________________________________________________________________________.7x 3 5 8 9 15lg x 2a －b a ＋c 3－3a －3c 4a －2b 3a －b ＋c ＋18．已知集合{a ，b ，c }＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a ≠2；②b ＝2；③c ≠0有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c ＝__________.9．已知等差数列{a n }的公差d >0，设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36. (1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65成立．10．(2016年湖北武汉调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝5，S 8＝64. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：1S n －1＋1S n ＋1>2S n(n ≥2，n ∈N *)．第7讲 数学归纳法1．用数学归纳法证明：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N *)，从“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”左端需乘的代数式是( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D.2k ＋3k ＋12．用数学归纳法证明：12＋22＋…＋n 2＋…＋22＋12＝n 2n 2＋13，第二步证明由“k到k ＋1”时，左边应加( )A ．k 2B ．(k ＋1)2C ．k 2＋(k ＋1)2＋k 2D ．(k ＋1)2＋k 23．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＝1－a n ＋11－a(a ≠1，n ∈N *)时，当验证n ＝1时，左边计算所得的式子是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 44．用数学归纳法证明等式：1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22(n ∈N *)，则从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边应添加的项为( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C.k ＋14＋k ＋122D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)25．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋25n －1是31的整数倍时，当n ＝1时，上式等于( )A ．1＋2B ．1＋2＋22C ．1＋2＋22＋23D ．1＋2＋22＋23＋246．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n ＝2n －1＋22n －1(n ∈N ＋)时，假设当n ＝k 时命题成立，则当n ＝k ＋1时，左端增加的项数是( )A ．1项B ．k －1项C ．k 项D ．2k项7．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，利用归纳法假设证明当n ＝k ＋1时，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)38．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程中，由k 推导到k ＋1时，不等式左边增加的式子是________________．9．是否存在常数a ，b ，c ，使等式1×22＋2×32＋…＋n (n ＋1)2＝n n ＋112(an 2＋bn＋c )对一切正整数n 都成立？证明你的结论．10．(2017年浙江)已知数列{x n }满足：x 1＝1，x n ＝x n ＋1＋ln (1＋x n ＋1)(n ∈N *)．证明：当n ∈N *时， (1)0＜x n ＋1＜x n ；(2)2x n ＋1－x n ≤x n x n ＋12；(3)12n ＋1≤x n ≤12n ＋2.第五章 数列、推理与证明第1讲 数列的概念与简单表示法1．A 解析：a 8＝S 8－S 7＝82－72＝64－49＝15. 2．B3．C 解析：第n 个三角形数可表示为12n (n ＋1)，第n 个四边形数可表示为n 2.故选C.4．C 解析：由a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，得a n ＋1＝1＋a n1－a n ，而a 1＝2，则有a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2.故数列{a n }是以4为周期的周期数列，且a 1a 2a 3a 4＝1.所以T 2017＝(a 1a 2a 3a 4)504a 1＝1504×2＝2.5．A 解析：由已知，得a n ＋1－a n ＝ln(n ＋1)－ln n .所以a 2－a 1＝ln 2－ln 1，a 3－a 2＝ln 3－ln 2，a 4－a 3＝ln 4－ln 3，…，a n －a n －1＝ln n －ln(n －1)，以上(n －1)个式子左、右分别相加，得a n －a 1＝ln n ．所以a n ＝2＋ln n ．故选A.6.12 解析：由已知，得a n ＝1－1a n ＋1，a 8＝2， ∴a 7＝1－1a 8＝12，a 6＝1－1a 7＝－1，a 5＝1－1a 6＝2.同理，a 4＝12，a 3＝－1，a 2＝2，a 1＝12.7．1 0 解析：a 2009＝a 4×503－3＝1，a 2014＝a 2×1007＝a 1007＝a 4×252－1＝0.8．(－3，＋∞) 解析：由{a n }为递增数列，得a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋2－n 2－kn －2＝2n ＋1＋k >0恒成立，即k >－(2n ＋1)恒成立，即k >[－(2n ＋1)]max ＝－3.9．(－2)n －1解析：当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1，故a n a n －1＝－2，故a n ＝(－2)n －1. 当n ＝1时，也符合a n ＝(－2)n －1.综上所述，a n ＝(－2)n －1. 10．4 解析：从研究S n 与a n 的关系入手，推断数列的构成特点，解题时应特别注意“数列{a n }由k 个不同的数组成”的“不同”和“k 的最大值”．本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力等．当n ＝1时，a 1＝2或a 1＝3；当n ≥2时，若S n ＝2，则S n －1＝2，于是a n ＝0，若S n ＝3，则S n －1＝3，于是a n ＝0.从而存在k ∈N *，当n ≥k 时，a k ＝0.其中数列{a n }：2,1，－1，0,0,0，…满足条件，所以k max ＝4.11．解：∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ·9－n 11，而⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n >0， ∴当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a 10＝a 9； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 因此a 1<a 2<…<a 9＝a 10>a 11>a 12>….∴当n ＝9或n ＝10时，数列{a n }有最大项，最大项为a 9或a 10.12．解：(1)由a 1＝1与S n ＝n ＋23a n 可得S 2＝2＋23a 2＝a 1＋a 2⇒a 2＝3a 1＝3，S 3＝3＋23a 3＝a 1＋a 2＋a 3⇒23a 3＝a 1＋a 2＝4⇒a 3＝6.故所求a 2，a 3的值分别为3,6.(2)当n ≥2时，S n ＝n ＋23a n ，①S n －1＝n ＋13a n －1，②①－②，可得S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，即a n ＝n ＋23a n －n ＋13a n －1⇔n －13a n ＝n ＋13a n －1⇔a n a n －1＝n ＋1n －1.故有a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×…×a 2a 1×a 1＝n ＋1n －1×n n －2×…×31×1＝n 2＋n2.而12＋12＝1＝a 1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋n 2.第2讲 等差数列1．B 解析：设公差为d ，则2a 7－a 8＝2(a 1＋6d )－(a 1＋7d )＝a 1＋5d ＝a 6＝5，S 11＝11×a 1＋a 112＝11a 6＝55.故选B.2．D 解析：因为S 1，S 2，S 4成等比数列，有S 22＝S 1S 4，即(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12.3．A 解析：由a 1＋a 7＋a 13是一个确定的常数，得3a 7是确定的常数，故②正确；S 13＝13a 1＋a 132＝13a 7是确定的常数，故③正确；S 8－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＝3a 7是确定的常数，故⑤正确．4．A 解析：设等差数列的公差为d ，由a 2，a 3，a 6成等比数列，可得a 23＝a 2a 6，即(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )．整理，可得d 2＋2d ＝0.∵d ≠0，∴d ＝－2.则{a n }前6项的和为S 6＝6a 1＋6×52d ＝6×1＋6×52×(－2)＝－24.5．A 解析：根据题意，显然良马每日行程构成一个首项a 1＝103，公差d 1＝13的等差数列．前n 天共跑的里程为S ′＝na 1＋n n －12d 1＝103n ＋132n (n －1)＝6.5n 2＋96.5n ；驽马每日行程也构成一个首项b 1＝97，公差d 2＝－0.5的等差数列，前n 天共跑的里程为S ′＝nb 1＋n n －12d 2＝97n －0.52n (n －1)＝－0.25n 2＋97.25n .两马相逢时，共跑了一个来回．设其第n 天相逢，则有6.5n 2＋96.5n －0.25n 2＋97.25n ＝1125×2，解得n ＝9.即它们第9天相遇．故选A.6．A 解析：∵关于x 的不等式d2x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x ＋c ≥0的解集是[0,22]，∴⎩⎨⎧d <0，－a 1－d2d 2＝22，解得a 1＝－21d2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－21d 2＋(n －1)d ＝⎝⎛⎭⎪⎫n －232d .可得a 11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－232d ＝－12d >0，a 12＝⎝⎛⎭⎪⎫12－232d ＝12d <0. 故使得数列{a n }的前n 项和最大的正整数n 的值是11. 7.116 解析： 由a n ＋1＝a n －2a n ＋1a n ，得1a n ＋1－1a n ＝2，故数列{1a n }是首项1a 1＝2，公差d ＝2的等差数列，则1a n ＝2＋2(n －1)＝2n .故a 8＝116.8．130 解析：由a n ＝2n －10(n ∈N *)，知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列．令a n ＝2n －10≥0，得n ≥5.所以当n <5时，a n <0；当n ≥5时，a n ≥0.所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝S 15－2(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＝90＋40＝130.9．解：(1)设{a n }的公差为d ，由题意，得 2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3.解得a 1＝1，d ＝25.所以a n ＝2n ＋35.(2)由(1)知，b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋35.当n ＝1,2,3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1；当n ＝4,5时，2<2n ＋35<3，b n ＝2；当n ＝6,7,8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3；当n ＝9,10时，4<2n ＋35<5，b n ＝4.所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24. 10．(1)证明：由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，得 a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2，即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1，所以{b n }是以首项为1，公差为2的等差数列． (2)解：由(1)，得b n ＝1＋2(n －1)， 即a n ＋1－a n ＝2n －1.于是1(nk =∑ak ＋1－a k )＝1(nk =∑2k －1)，所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2.11．(1)证明：由题意，得a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1. 两式相减，得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 因为a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)解：由题意，得a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1.令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3； {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列． 第3讲 等比数列1．D 解析：因为数列{a n }是等比数列，a 26＝a 3a 9，所以a 3，a 6，a 9成等比数列．2．B 解析：由等比数列性质，得S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n 成等比数列，则(S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )．所以(S 2n －2)2＝2×(14－S 2n )．又S 2n >0，得S 2n ＝6.又(S 3n －S 2n )2＝(S 2n－S n )(S 4n －S 3n )，所以(14－6)2＝(6－2)(S 4n －14)，解得S 4n ＝30.3．D 解析：方法一，在等比数列{a n }中，S n ＝a 1－a n q1－q ＝1－a n ·231－23＝3－2a n .方法二，在等比数列{a n }中，a 1＝1，q ＝23，∴a n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1.∴S n ＝1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 1－23＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－23⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝3－2a n . 4．A 解析：因为a 1＝S 1＝a ＋b ，a 2＝S 2－S 1＝2a ，a 3＝S 3－S 2＝6a ，由等比数列，得公比q ＝a 3a 2＝3.又a 2＝a 1q ，所以2a ＝3(a ＋b )，解得a b＝－3.5．D 解析：∵等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，∴S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n .当n 取偶数时，S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n<1；当n 取奇数时，S n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n≤1＋12＝32.∴S n 的最大值为32.故选D.6．1 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由a 4＝b 4＝8，得－1＋3d ＝－q 3＝8，解得q ＝－2，d ＝3.则a 2b 2＝－1＋32＝1.7．40 解析：设{a n }的公比为8，由S 7－4S 6＋3S 5＝0，可得S 7－S 6－3(S 6－S 5)＝0⇒a 7－3a 6＝0，所以q ＝3.所以S 4＝a 11－q 41－q ＝1－341－3＝40.8．2n－12n －1＋1 解析：依题意，得大老鼠每天打洞的距离构成以1为首项，2为公比的等比数列，所以前n 天大老鼠打洞的距离共为1×1－2n1－2＝2n－1；同理可得前n 天小老鼠打洞的距离共为1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝2－12n －1.所以S n ＝2n －1＋2－12n －1＝2n－12n －1＋1.9．解：(1)由a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2.所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)和a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，得b n ＋1＝b n3.因此{b n }是首项为1，公比为13的等比数列．记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝32－12×3n －1. 10．解：(1)由题意，得a 1＝S 1＝1＋λa 1.故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0，得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.(2)由(1)，得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n .由S 5＝3132，得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132， 解得λ＝－1.11. 解：(1)当n ＝1时，S 1＝2a 1－2，即a 1＝2a 1－2. 解得a 1＝2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －2)－(2a n －1－2)＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1. 所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．所以a n ＝2×2n －1＝2n (n ∈N *)．(2)因为S n ＝2a n －2＝2n ＋1－2,所以T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n ＝22＋23＋…＋2n ＋1－2n＝4×1－2n1－2－2n ＝2n ＋2－4－2n .第4讲 数列的求和1．B 解析：由题意，得数列{a n }的通项公式为a n ＝14n 2－1＝12n ＋12n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以数列{a n }的前n 项和S n ＝12⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.故选B. 2．A3．B 解析：设公差为d .由5a 8＝8a 13，得5(a 1＋7d )＝8(a 1＋12d )．解得d ＝－361a 1.由a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a 1＋(n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－361a 1≥0⇒n ≤643＝2113. ∴数列{a n }的前21项都是正数，以后各项都是负数． 故S n 取最大值时，n 的值为21.故选B.4．C 解析：由S n ＝n 2－6n ，得{a n }是等差数列， 且首项为－5，公差为2.∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7.∴当n ≤3时，a n <0；当n >3时，a n >0.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 21≤n ≤3，n 2－6n ＋18，n ＞3.5．B 解析：由题意，知每天所走路程形成以a 1为首项，公比为12的等比列，则a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378.解得a 1＝192，则a 2＝96，即第二天走了96里路．故选B.6.2011解析：由题意，得a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋(a n －2－a n －3)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝n ＋n －1＋n －2＋…＋1＝n n ＋12.所以1a n ＝2n n ＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.S 10＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋12－13＋…＋110－111＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－111＝2011. 7.n 2－n ＋22解析：设第n (n ≥2)行的第2个数构成数列{a n }，则有a 3－a 2＝2，a 4－a 3＝3，a 5－a 4＝4，…，a n －a n －1＝n －1，相加，得a n －a 2＝2＋3＋…＋(n －1)＝2＋n －12×(n－2)＝n ＋1n －22，a n ＝2＋n ＋1n －22＝n 2－n ＋22.8．n ·2n (n ∈N *) 解析：由S n ＝2a n －2n，得当n ＝1时，S 1＝a 1＝2；当n ≥2时，S n ＝2(S n－S n －1)－2n，即S n 2n －S n －12n －1＝1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 2n 是首项为1，公差为1的等差数列，则S n2n ＝n ，S n ＝n ·2n (n ≥2)．当n ＝1时，也符合上式，所以S n ＝n ·2n (n ∈N *)．9．解：(1)当n ＝1时，由6a 1＋1＝9a 1，得a 1＝13.当n ≥2时，由6S n ＋1＝9a n ，得6S n －1＋1＝9a n －1， 两式相减，得6(S n －S n －1)＝9(a n －a n －1)， 即6a n ＝9(a n －a n －1)．∴a n ＝3a n －1.∴数列{a n }是首项为13，公比为3的等比数列，其通项公式为a n ＝13×3n －1＝3n －2.(2)∵b n ＝1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2，∴{b n }是首项为3，公比为13的等比数列．∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝92⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .10．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋3d ＝q 2，1＋q ＋q 2＝2＋5d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.所以a n ＝1＋(n －1)＝n ，b n ＝1×2n －1＝2n －1.(2)由(1)知，c n ＝a n b n ＝n ·2n －1，则：T n ＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1， ①2T n ＝1×21＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n，②①－②，得－T n ＝20＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝1×1－2n1－2－n ·2n ＝(1－n )·2n－1.所以T n ＝(n －1)·2n＋1.11．(1)解：依题意，当n ≥2，可归纳出a n ＝a n －1＋n . 所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1.a n ＝n ＋(n －1)＋…＋2＋2＝n ＋2n －12＋2＝12(n 2＋n )＋1.检验当n ＝1时，上式也成立．所以通项公式为a n ＝12(n 2＋n )＋1.(2)证明：∵(a n －1)·b n ＝1，∴b n ＝1a n －1＝2n n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.∴b 1＋b 2＋…＋b n＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1. 又1－1n ＋1<1，∴b 1＋b 2＋…＋b n <2.第5讲 合情推理和演绎推理1．D 解析：正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3.故V 1V 2＝127.2.92 解析：类比祖暅原理，可得两个图形的面积相等，梯形面积为S ＝12(1＋2)×3＝92，所以图X5­5­1(1)的面积为92.3．(1)6 (2)124．12－22＋32－…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n n ＋125．S 24＝S 21＋S 22＋S 236．cos π2n ＋1·cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n ，n ∈N *7．丙 解析：如果丙说的是假话，则“甲得优秀”是真话，又乙说“我得了优秀”是真话，所以矛盾；若甲说的是假话，即“丙说的是真话”是假的，则说明“丙说的是假的”，即“甲没有得优秀”是假的，也就是说“甲得了优秀”是真的，这与乙说“我得了优秀”是真话矛盾；若乙说的是假话，即“乙没得优秀”是真的，而丙说“甲没得优秀”为真，则说明“丙得优秀”，这与甲说“丙说的是真话”符合．所以三人中说假话的是乙，得优秀的同学是丙．8.nn mmd c - 解析：方法一，设数列{a n }的公差为d 1，则d 1＝a n －a m n －m ＝b －a n －m .所以a m ＋n ＝a m ＋nd 1＝a ＋n ·b －a n －m ＝bn －amn －m.类比推导方法可知：设数列{b n }的公比为q ，由b n ＝b m q n －m ，可知d ＝cq n －m.所以q ＝n m d c-.所以b m ＋n ＝b m q n＝c ·nn m d c -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝n n m m d c -. 方法二，(直接类比)设数列{a n }的公差为d 1，数列{b n }的公比为q ，则a n ＝a 1＋(n －1)d 1，b n ＝b 1q n －1.因为a m ＋n ＝nb －ma n －m ，所以b m ＋n ＝nn m md c -.9．解：(1)选择②，由sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝34.故这个常数是34.(2)推广，得到三角恒等式sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 10．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＝5，a 3＝7，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝3.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋3(n －1)＝3n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2(n ∈N *)．(2)因为1a n a n ＋1＝13n －23n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和S n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋…＋1a n －1a n ＋1a n a n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋…＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －5－13n －2＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1 ＝13⎝⎛⎭⎪⎫1－13n ＋1＝n3n ＋1. 假设存在正整数m ，n ，且1<m <n ，使S 1，S m ，S n 成等比数列，则S 2m ＝S 1S n ， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3m ＋12＝14×n 3n ＋1. 所以n ＝－4m23m 2－6m －1.因为n >0，所以3m 2－6m －1<0.因为m >1，所以1<m <1＋2 33<3.因为m ∈N *，所以m ＝2.此时n ＝－4m23m 2－6m －1＝16.故存在满足题意的正整数m ，n ，且只有一组值， 即m ＝2，n ＝16. 第6讲 直接证明与间接证明1．A 解析：反证法的步骤第一步是假设命题的反面成立，而“至少有一个实根”的否定是“没有实根”．故选A.2．C 解析：由题意，知b 2－ac <3a ⇐b 2－ac <3a 2⇐(a ＋c )2－ac <3a 2⇐a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0⇐－2a 2＋ac ＋c 2<0⇐2a 2－ac －c 2>0⇐(a －c )(2a ＋c )>0⇐(a －c )(a －b )>0.3．等边 解析：由题意，得2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.又b 2＝ac ，由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac .∴a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －c )2＝0.∴a ＝c .∴A＝C .∴A ＝B ＝C ＝π3.∴△ABC 为等边三角形．4．② 5.3 32解析：∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，且A ，B ，C ∈(0，π)．∴f A ＋f B ＋f C 3≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C 3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3. 即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝3 32.∴sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为3 32.6．若①③④，则②(或若②③④，则①) 解析：依题意可得以下四个命题：(1)m ⊥n ，α⊥β，n ⊥β⇒m ⊥α；(2)m ⊥n ，α⊥β，m ⊥α⇒n ⊥β； (3)m ⊥n ，n ⊥β，m ⊥α⇒α⊥β；(4)α⊥β，n ⊥β，m ⊥α⇒m ⊥n . 不难发现，命题(3)(4)为真命题，而命题(1)(2)为假命题．7．lg 15＝3a －b ＋c 解析：如果lg 3＝2a －b 是正确的，那么lg 9＝2lg 3＝2(2a －b )＝4a －2b ；如果lg 3＝2a －b 是错误的，那么lg 9＝4a －2b 也是错误的，这与题意矛盾．反过来，lg 9＝4a －2b 也不是错误的，否则lg 3＝2a －b 是错误的．同样，如果lg 5＝a ＋c ，那么lg 8＝3lg 2＝3(1－lg 5)＝3(1－a －c )，如果lg 5＝a ＋c 是错误的，那么lg 8＝3－3a －3c ，也错误，这与题意矛盾；显然lg 8＝3－3a －3c 也不是错误的，否则lg 5＝a ＋c 也是错误的．∴lg 15＝lg(3×5)＝lg 3＋lg 5＝(2a －b )＋(a ＋c )＝3a －b ＋c .∴应将最后一个改正为lg 15＝3a －b ＋c .8．201 解析：由已知，若a ≠2正确，则a ＝0或a ＝1，即a ＝0，b ＝1，c ＝2或a ＝0，b ＝2，c ＝1或a ＝1，b ＝0，c ＝2或a ＝1，b ＝2，c ＝0均与“三个关系有且只有一个正确”矛盾；若b ＝2正确，则a ≠2正确，不符合题意；所以c ≠0正确，a ＝2，b ＝0，c ＝1，故100a ＋10b ＋c ＝201.9．解：(1)S 2·S 3＝(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36， 将a 1＝1代入上式，解得d ＝2或d ＝－5.∵公差d >0，∴d ＝2.∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.∴S n ＝1＋2n －1n 2＝n 2(n ∈N *)．(2)由(1)知，a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝[2m －1＋2m ＋k －1]k ＋12＝(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65.∵m ，k ∈N *，∴2m ＋k －1>1，k ＋1>1.∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋k －1＝5，k ＋1＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－3，k ＝12，(舍去)．或⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4.综上所述，m ＝5，k ＝4.10．(1)解：设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1＋2d ＝5，S 8＝8a 1＋28d ＝64，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.故所求的通项公式为a n ＝2n －1. (2)证明：由(1)可知，S n ＝n 2，要证原不等式成立，只需证1n －12＋1n ＋12>2n2，只需证[(n ＋1)2＋(n －1)2]n 2>2(n 2－1)2.只需证(n 2＋1)n 2>(n 2－1)2.只需证3n 2>1.而3n 2>1在n ≥1时恒成立，从而不等式1S n －1＋1S n ＋1>2S n(n ≥2，n ∈N *)恒成立．第7讲 数学归纳法1．B 2.D3．B 解析：n ＝1时，左边的最高次数为1，即最后一项为a ，左边是1＋a .4．D 解析：n ＝k 时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋k 2，n ＝k ＋1时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.比较上述两个式子，当n ＝k ＋1时，等式的左边是在假设n ＝k 时等式成立的基础上，等式的左边加上了(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.5．D 解析：原等式共有5n 项，当n ＝1时，25－1＝24.故选D.6．D 解析：运用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n ＝2n －1＋22n －1(n ∈N ＋)，当n ＝k 时，则有1＋2＋3＋ (2)＝2k －1＋22k －1(k ∈N ＋)，左边表示的为2k＋1项的和．当n ＝k ＋1时，则左边＝1＋2＋3＋…＋2k ＋(2k ＋1)＋…＋2k ＋1，表示的为2k ＋1＋1项的和，因此，增加了2k ＋1－2k ＝2k项．7．A 解析：假设n ＝k 时，原式k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除，当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3，为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3.8.12k ＋12k ＋2 解析：求f (k ＋1)－f (k )即可．当n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k .当n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1k ＋1＋k ＋1.故左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1，即12k ＋12k ＋2.9．解：把n ＝1,2,3代入，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝24，4a ＋2b ＋c ＝44，9a ＋3b ＋c ＝70，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝11，c ＝10.猜想：等式1×22＋2×32＋…＋n (n ＋1)2＝ n n ＋112(3n 2＋11n ＋10)对一切n ∈N *都成立． 下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，由上面可知等式成立． (2)假设n ＝k 时等式成立，即1×22＋2×32＋…＋k (k ＋1)2＝k k ＋112(3k 2＋11k ＋10)，则1×22＋2×32＋…＋k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)2＝k k ＋112(3k 2＋11k ＋10)＋(k ＋1)(k ＋2)2＝k k ＋112(3k ＋5)(k ＋2)＋(k ＋1)(k ＋2)2＝k ＋1k ＋212[k (3k ＋5)＋12(k ＋2)]＝k ＋1k ＋212[3(k ＋1)2＋11(k ＋1)＋10]．∴当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合(1)(2)，对n ∈N *等式都成立． 10．证明：(1)用数学归纳法证明x n >0， 当n ＝1时，x 1＝1>0. 假设当n ＝k 时，x k >0，那么当n ＝k ＋1时，若x k ＋1≤0，则0<x k <x k ＋1＋ln(1＋x k ＋1)≤0，矛盾，故x k ＋1>0.因此x n >0(n ∈N *)，所以x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)>x n ＋1.所以0<x n ＋1<x n (n ∈N *)．(2)由x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)>x n ＋1，得 x n x n ＋1－4x n ＋1＋2x n ＝x 2n ＋1－2x n ＋1＋(x n ＋1＋2)·ln(1＋x n ＋1)．记函数f (x )＝x 2－2x ＋(x ＋2)ln(1＋x )(x ≥0)，又f ′(x )＝2x 2＋xx ＋1＋ln(1＋x )>0，函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增， 所以f (x )≥f (0)＝0.因此x 2n ＋1－2x n ＋1＋(x n ＋1＋2)ln(1＋x n ＋1)＝f (x n ＋1)≥0， 所以2x n ＋1－x n ≤x n x n ＋12(n ∈N *)．(3)因为x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)≤x n ＋1＋x n ＋1，所以x n ≥12n －1.由x n x n ＋12≥2x n ＋1－x n ，得1x n ＋1－12≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x n －12>0， 1x n －12≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x n －1－12≥…≥2n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－12＝2n －2， 故x n ≤12n －2.综上所述，12n －1≤x n ≤12n －2(n ∈N *)。

一、填空题1、已知f (x )＝⎩⎨⎧－cos (πx )，x >0，f (x ＋1)＋1，x ≤0，则f (43)＋f (－43)的值等于________、 解析：f (43)＝12；f (－43)＝f (－13)＋1＝f (23)＋2 ＝52，f (43)＋f (－43)＝3. 答案：32、已知f (1－x 1＋x )＝1－x 21＋x 2，则f (x )的解析式可取为________、解析：(换元法)令t ＝1－x 1＋x ，由此得x ＝1－t 1＋t ，所以f (t )＝1－(1－t 1＋t)21＋(1－t 1＋t )2＝2t1＋t 2，从而f (x )的解析式可取为2x1＋x2. 答案：2x1＋x 23、设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－2，|x |≤1，11＋x 2，|x |>1，则f [f (12)]＝________. 解析：f [f (12)]＝f (－32)＝413. 答案：4134、定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ，y ∈R)，f (1)＝2，则f (－3)等于________、解析：令x＝－3，y＝1，则f(－2)＝f(1)＋f(－3)－6.又∵f(1)＝2，∴f(－3)＝f(－2)＋4.令x＝－2，y＝1，则f(－1)＝f(1)＋f(－2)－4，∴f(－2)＝f(－1)＋2.令x＝－1，y＝1，f(0)＝f(－1)＋f(1)－2.又x＝y＝0时，f(0)＝0，∴f(－1)＝0，∴f(－3)＝f(－2)＋4＝f(－1)＋6＝6.答案：65、已知函数f(x)＝ax＋bx－4(a，b为常数)，f(lg 2)＝0，则f(lg12)＝________.解析：由题意得f(lg 2)＝a lg 2＋blg 2－4＝0，有a lg 2＋blg 2＝4，则f(lg 12)＝a lg12＋b lg 12－4＝－a lg 2－blg 2－4＝－8.答案：－86、定义在R上的函数f(x)满足f(m＋n2)＝f(m)＋2[f(n)]2，m，n∈R，且f(1)≠0，则f(2 014)＝________.解析：令m＝n＝0，得f(0＋02)＝f(0)＋2[f(0)]2，所以f(0)＝0；令m＝0，n＝1，得f(0＋12)＝f(0)＋2[f(1)]2，由于f (1)≠0，所以f(1)＝12；令m＝x，n＝1，得f(x＋12)＝f(x)＋2[f(1)]2，所以f(x＋1)＝f(x)＋2×(12)2，即f(x＋1)＝f(x)＋12，这说明数列{f (x )}(x ∈Z)是首项为12，公差为12的等差数列，所以f (2 014)＝12＋(2 014－1)×12＝1 007. 答案：1 0077、已知f (2x ＋1)＝lg x ，则f (x )＝________. 解析：令2x ＋1＝t (t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1(t >1)，f (x )＝lg2x －1(x >1)、答案：lg2x －1(x >1)8、函数f (x )在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则函数的解析式为________、答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤29、已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a ，1，N ＝{a,0}，f ：x → x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b ＝________.解析：由题意可知ba ＝0，a ＝1，解得a ＝1，b ＝0，所以a ＋b ＝1. 答案：1 二、解答题10、已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎨⎧x －1，x >0，2－x ，x <0，(1)求f [g (2)]和g [f (2)]的值； (2)求f [g (x )]和g [f (x )]的表达式、 解析：(1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3， ∴f [g (2)]＝f (1)＝0，g [f (2)]＝g (3)＝2.(2)当x >0时，g (x )＝x －1， 故f [g (x )]＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x <0时，g (x )＝2－x ，故f [g (x )]＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3，∴f [g (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >0，x 2－4x ＋3，x <0.当x >1或x <－1时，f (x )>0， 故g [f (x )]＝f (x )－1＝x 2－2； 当－1<x <1时， f (x )<0， 故g [f (x )]＝2－f (x )＝3－x 2.∴g [f (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x >1或x <－1，3－x 2，－1<x <1.11、如图，在△AOB 中，点A (2,1)，B (3,0)，点E 在射线OB 上自O 开始移动、设OE ＝x ，过E 作OB 的垂线l ，记△AOB 在直线l 左边部分的面积为S ，试写出S 与x 的函数关系式，并画出大致的图象、解析：当0≤x ≤2时，△OEF 的高EF ＝12x ， ∴S ＝12x ·12x ＝14x 2；当2<x ≤3时，△BEF 的高EF ＝3－x ， ∴S ＝12×3×1－12(3－x )·(3－x ) ＝－12x 2＋3x －3； 当x >3时，S ＝32.∴S ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 24(0≤x ≤2)－12x 2＋3x －3(2<x ≤3)32(x >3).函数图象如图所示、12、已知定义域为R 的函数f (x )满足f (f (x )－x 2＋x )＝f (x )－x 2＋x . (1)若f (2)＝3，求f (1)；又若f (0)＝a ，求f (a )；(2)若有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，求函数f (x )的解析式、 解析：(1)因为对任意x ∈R 有 f (f (x )－x 2＋x )＝f (x )－x 2＋x ， 所以f (f (2)－22＋2)＝f (2)－22＋2， 又f (2)＝3，从而f (1)＝1.又f (0)＝a ，则f (a －02＋0)＝a －02＋0，即f (a )＝a . (2)因为对任意x ∈R ， 有f (f (x )－x 2＋x )＝f (x )－x 2＋x ，又有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)＝x 0， 故对任意x ∈R ，有f (x )－x 2＋x ＝x 0. 在上式中令x ＝x 0，有f (x 0)－x 20＋x 0＝x 0. 又因为f (x 0)＝x 0， 所以x 0－x 20＝0， 故x 0＝0或x 0＝1.若x0＝0，则f(x)＝x2－x，但方程x2－x＝x有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故x0≠0.若x0＝1，则有f(x)＝x2－x＋1，易验证该函数满足题设条件、综上，函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.。

5.4 数列求和[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．已知数列{a n }是等差数列，a 1＝tan225°，a 5＝13a 1，设S n 为数列{(－1)na n }的前n 项和，则S 2 014＝( )A ．2 015B ．－2 015C ．3 021D ．－3 022解析：由题知a 1＝tan(180°＋45°)＝1，∴a 5＝13 ∴d ＝a 5－a 15－1＝124＝3. ∴a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2. 设b n ＝(－1)na n ＝(－1)n(3n －2)，∴S 2 014＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－6 037＋6 040)＝3×1 007＝3 021.故选C. 答案：C2．设{a n }是公差不为零的等差数列，a 2＝2，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( )A.n 24＋7n 4 B ．n 22＋3n 2C.n 24＋3n4D ．n 22＋n2解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则 由a 23＝a 1a 9得(a 2＋d )2＝(a 2－d )(a 2＋7d )， 代入a 2＝2，解得d ＝1或d ＝0(舍)． ∴a n ＝2＋(n －2)×1＝n ， ∴S n ＝a 1＋a n n2＝1＋n n 2＝n 22＋n 2.故选D. 答案：D3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．29B ．31C ．33D ．36解析：设等比数列{a n }的公比为q 则a 21q 3＝2a 1，①a 1q 3＋2a 1q 6＝52，②解得a 1＝16，q ＝12，∴S 5＝a 11－q 51－q＝31，故选B.答案：B4．已知等比数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，公比为q ；等差数列{b n }中，b 1＝3，且{b n }的前n 项和为S n ，a 3＋S 3＝27，q ＝S 2a 2.(1)求{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c n ＝32S n ，求{c n }的前n 项和T n .解：(1)设数列{b n }的公差为d ， ∵a 3＋S 3＝27，q ＝S 2a 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2＋3d ＝18，6＋d ＝q 2.求得q ＝3，d ＝3，∴a n ＝3n －1，b n ＝3n .(2)由题意得S n ＝n 3＋3n2，c n ＝32S n ＝32×23×1n n ＋1＝1n －1n ＋1. ∴T n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.5．(2017届广州综合测试)已知数列{a n }是等比数列，a 2＝4，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 2a n －1，求数列{a n b n }的前n 项和T n . 解：(1)设数列{a n }的公比为q ， 因为a 2＝4，所以a 3＝4q ，a 4＝4q 2. 因为a 3＋2是a 2和a 4的等差中项， 所以2(a 3＋2)＝a 2＋a 4， 化简得q 2－2q ＝0. 因为公比q ≠0，所以q ＝2. 所以a n ＝a 2qn －2＝4×2n －2＝2n (n ∈N *)．(2)因为a n ＝2n，所以b n ＝2log 2a n －1＝2n －1， 所以a n b n ＝(2n －1)2n，则T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)2n －1＋(2n －1)2n，①2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)2n＋(2n －1)·2n ＋1.②由①－②得，－T n ＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)2n ＋1＝2＋2×41－2n －11－2－(2n －1)2n ＋1＝－6－(2n －3)2n ＋1，所以T n ＝6＋(2n －3)2n ＋1.6．S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解：(1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，① 可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.②②－①，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1， 即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )． 由a n >0，得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3. 所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列， 通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝12n ＋12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝n32n ＋3.7．已知数列{a n }与{b n }满足a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )(n ∈N *)． (1)若a 1＝1，b n ＝3n ＋5，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1＝6，b n ＝2n(n ∈N *)且λa n >2n ＋n ＋2λ对一切n ∈N *恒成立， 求实数λ的取值范围．解：(1)因为a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )，b n ＝3n ＋5， 所以a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )＝2(3n ＋8－3n －5)＝6，所以{a n }是等差数列，首项为1，公差为6， 即a n ＝6n －5. (2)因为b n ＝2n， 所以a n ＋1－a n ＝2(2n ＋1－2n )＝2n ＋1，当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n ＋2n －1＋…＋22＋6＝2n ＋1＋2，当n ＝1时，a 1＝6，符合上式， 所以a n ＝2n ＋1＋2，由λa n >2n＋n ＋2λ得λ>2n＋n 2n ＋1＝12＋n 2n ＋1，令f (n )＝12＋n 2n ＋1，因为f (n ＋1)－f (n )＝n ＋12n ＋2－n 2n ＋1＝1－n2n ＋2≤0， 所以12＋n2n ＋1在n ≥1时单调递减，所以当n ＝1,2时，2n＋n 2n ＋1取最大值34，故λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞. [能 力 提 升]1．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，前n 项和为S n ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为2的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由已知得S n n＝1＋(n －1)×2＝2n －1， 所以S n ＝2n 2－n ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3. a 1＝1＝4×1－3，所以a n ＝4n －3，n ∈N *.(2)由(1)可得b n ＝(－1)na n ＝(－1)n(4n －3)． 当n 为偶数时，T n ＝(－1＋5)＋(－9＋13)＋…＋[－(4n －7)＋(4n －3)]＝4×n2＝2n ，当n 为奇数时，n ＋1为偶数，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝2(n ＋1)－(4n ＋1)＝－2n ＋1，综上，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ，n ＝2k ，k ∈N *，－2n ＋1，n ＝2k －1，k ∈N *.2．在数列{a n }中，已知a n >1，a 1＝1＋3，且a n ＋1－a n ＝2a n ＋1＋a n －2，记b n ＝(a n －1)2，n ∈N *.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为S n ，证明：13≤1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n <34.解：(1)因为a n ＋1－a n ＝2a n ＋1＋a n －2，所以a 2n ＋1－a 2n －2a n ＋1＋2a n ＝2， 即(a n ＋1－1)2－(a n －1)2＝2. 又b n ＝(a n －1)2，n ∈N *，所以b n ＋1－b n ＝2，数列{b n }是以b 1＝(1＋3－1)2＝3为首项，2为公差的等差数列， 故b n ＝2n ＋1，n ∈N *. (2)证明：由(1)得S n ＝n 3＋2n ＋12＝n (n ＋2)，所以1S n ＝1nn ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，n ∈N *， 所以1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2<34.记T n ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n，因为1S n>0，n ∈N *，所以T n 单调递增．故T n ≥T 1＝1S 1＝13.综上13≤1S 1＋1S 2＋…＋1S n <34.3．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2n ＋a n ＝2S n .(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：S n2<S 1＋S 2＋…＋S n <S n ＋1－12.解：(1)因为当n ∈N *时，a 2n ＋a n ＝2S n ， 故当n >1时，a 2n －1＋a n －1＝2S n －1，两式相减得，a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1＝2S n －2S n －1＝2a n ， 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝a n ＋a n －1. 因为a n >0， 所以a n ＋a n －1>0，所以当n >1时，a n －a n －1＝1.又当n ＝1时，a 21＋a 1＝2S 1＝2a 1，得a 1＝1， 所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以a n ＝n .(2)证明：由(1)及等差数列的前n 项和公式知S n ＝n n ＋12，所以S n ＝n n ＋12>n 22＝n2，所以S 1＋S 2＋…＋S n >12＋22＋…＋n2＝1＋2＋…＋n 2＝S n2. 又S n ＝n n ＋12< n ＋122＝n ＋12，所以S 1＋S 2＋…＋S n <22＋32＋…＋n ＋12＝1＋2＋…＋n ＋12－12＝S n ＋1－12，所以S n2<S 1＋S 2＋…＋S n <S n ＋1－12.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

第五单元数列课时作业(二十八)第28讲数列的概念与简单表示法基础热身1.在数列中,a1=1,a n+1=2a n+1(n∈N*),则a4的值为()A.31B.30C.15D.632.[2017·天门三校月考]数列-1,4,-9,16,-25,…的一个通项公式为()A.a n=n2B.a n=·n2C.a n=·n2D.a n=·(n+1)23.数列0,2,6,14,30,…的第6项为()A.60B.62C.64D.944.[2017·吉林一中月考]数列{a n}的通项公式为a n=3n2-28n,则数列{a n}的最小项是第项.5.[2017·衡阳期末]在数列中,其前n项和为S n,且满足S n=n2+n(n∈N*),则a n= .能力提升6.[2017·保定二模]在数列中,其前n项和为S n,且S n=a n,则的最大项的值为()A.-3B.-1C.3D.17.在数列{a n}中a1=3,(3n+2)a n+1=(3n-1)a n (n≥1),则a n=()A.B.C.D.8.在数列{a n}中,a1=3,a2=6,a n+2=a n+1-a n,则a2018=()A.-6B.-3C.3D.69.[2017·郑州一中模拟]已知数列{a n}满足a n=8+(n∈N*).若数列{a n}的最大项和最小项分别为M和m,则M+m= ()A.B.C.D.10.已知数列,满足a1=b1=1,a n+1=a n+2b n,b n+1=a n+b n,则下列结论中正确的是()A.只有有限个正整数n使得a n<b nB.只有有限个正整数n使得a n>b nC.数列是递增数列D.数列是递减数列11.[2018·江西省宜春三中月考]设数列的前n项和为S n,若a1=1,a n+1=S n(n∈N*),则通项公式a n= .12.已知函数f=记a n=f(n∈N*),若是递减数列,则实数t的取值范围是.13.[2017·锦州质检]已知数列满足a1=1,a n-a n+1=,n∈N*,则a n= .14.(10分)[2018·六盘山高级中学月考]设等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a3=24,S11=0.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{a n}的前n项和S n,并求使得S n取得最大值时n的值.15.(13分)[2017·信阳质检]已知数列满足a2=,且a n+1=3a n-1.(1)求数列的通项公式以及数列的前n项和S n的表达式;(2)若不等式≤m对任意的n∈N*恒成立,求实数m的取值范围.难点突破16.(12分)[2018·宜春三中月考]设a1=2,a2=4,数列{b n}满足b n+1=2b n+2,且a n+1-a n=b n.(1)求证:数列{b n+2}是等比数列;(2)求数列{a n}的通项公式.加练一课(四) 递推数列的通项的求法一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.[2017·遵义航天高级中学月考]数列满足a1=1,a n+1=2a n-1,则a n=()A.1B.2n-1C.nD.-12.已知数列{a n}对任意的p,q∈N*满足a p+q=a p+a q且a2=6,那么a10等于()A.165B.33C.30D.213.[2017·黄山二模]已知数列的前n项和为S n,且a1=2,a n+1=S n+1(n∈N*),则S5=()A.31B.42C.37D.474.若数列{a n}前8项的值各异,且a n+8=a n对任意的n∈N*都成立,则下列数列中可取遍{a n}前8项值的数列为()A.{a2k+1}B.{a3k+1}C.{a4k+1}D.{a6k+1}5.[2017·揭阳模拟]已知数列满足a1=1,a n+1=a n,则a n=()A. B.C.D.6.[2017·三明质检]已知数列的前n项和为S n,且a1=1,a n+1·a n=2n(n∈N*),则S2017=()A.3·21008-3B.22017-1C.22009-3D.21010-37.已知数列满足a1=1,a n+1=a n+,则a n= ()A.B.C.D.8.已知数列满足a1=1,a n-a n+1=na n a n+1(n∈N*),则a n=()A.B.C.D.9.[2017·赣州期末]已知数列{a n}的前n项和为S n,若a n+1+(-1)n a n=n,则S40=()A.120B.150C.210D.42010.已知数列{a n}满足a1=2,且a n=(n≥2,n∈N*),则a n=()A.B.C.D.11.[2017·福州第一中学质检]已知数列满足a1=a2=,a n+1=2a n+a n-1(n∈N*,n≥2),则的整数部分是()A.0B.1C.2D.312.已知S n为数列的前n项和,且a n=a1=a(a∈R).给出下列3个结论:①数列一定是等比数列;②若S5<100,则a<18;③若a3,a6,a9成等比数列,则a=-.其中,所有正确结论的序号为()A.②B.②③C.①③D.①②③二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.若数列满足a1=1,a n+1=a n+2,则a10= .14.[2017·深圳调研]若数列,满足a1=b1=1,b n+1=-a n,a n+1=3a n+2b n,n∈N*,则a2017-a2016= .15.[2017·株洲一模]已知数列{a n}满足a1=1,a n=a1+2a2+3a3+…+(n-1)a n-1(n≥2),则数列{a n}的通项公式为a n= .16.[2018·南宁二中、柳州高中联考]已知数列2008,2009,1,-2008,…若这个数列从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前2018项之和S2018= .课时作业(二十九)第29讲等差数列及其前n项和基础热身1.[2017·重庆诊断]设S n为等差数列的前n项和,a1=-2,S3=0,则的公差为()A.1B.2C.3D.42.在等差数列中,已知a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9=()A.30B.27C.24D.213.[2017·葫芦岛期末]已知S n为等差数列的前n项和,若a4+a9=10,则S12=()A.30B.45C.60D.1204.[2017·大理模拟]在等差数列中,若a3+a4+a5+a6+a7=45,那么a5= .5.在等差数列中,a3+a6=11,a5+a8=39,则公差d= .能力提升6.[2017·河南八市联考]在等差数列中,若a2+a4+a6=3,则a1+a3+a5+a7=()A.3B.4C.5D.67.[2017·杭州质检]设是等差数列,S n为其前n项和.若正整数i,j,k,l满足i+l=j+k(i ≤j≤k≤l),则()A.a i a l≤a j a kB.a i a l≥a j a kC.S i S l<S j S kD.S i S l≥S j S k8.已知等差数列的前n项和为S n,且a1+a5=-14,S9=-27,则使得S n取最小值时,n的值为()A.1B.6C.7D.6或79.[2017·长沙模拟]《九章算术》是我国古代第一部数学专著,全书收集了246个问题及解法,其中一个问题可用现代汉语描述为“现有一根九节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面四节容积之和为3升,下面三节容积之和为4升,求中间一节的容积为多少?”则该问题中第2节,第3节,第8节竹子的容积之和为()A.升B.升C.升D.升10.[2017·蚌埠质检]已知数列满足a1=0,数列为等差数列,且a n+1=a n+b n,b15+b16=15,则a31=()A.225B.200C.175D.15011.[2017·桂林、崇左、百色模拟]已知S n是等差数列的前n项和,若a1=-2017,-=6,则S2017= .12.[2017·浙江五校联考]已知数列,满足a1=2,b1=1,(n≥2,n∈N*),则(a1008+b1008)(a2017-b2017)= .13.(15分)[2017·北京海淀区期中]已知等差数列满足a1+a2=6,a2+a3=10.(1)求数列的通项公式;(2)求数列{a n+a n+1}的前n项和.14.(15分)[2017·安徽师大附中期中]已知正项数列的前n项和为S n,且是1与a n 的等差中项.(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前n项和T n.难点突破15.(5分)[2017·太原期中]已知等差数列的前n项和为S n,且S3=9,a2a4=21,数列满足++…+=1-(n∈N*),若b n<,则n的最小值为()A.6B.7C.8D.916.(5分)[2017·石家庄一模]已知数列满足a1=-,a n+1b n=b n+1a n+b n,且b n=(n∈N*),则数列的前2n项和S2n取最大值时,n= .课时作业(三十)第30讲等比数列及其前n项和基础热身1.已知2是a与2-的等比中项,则a= ()A.2-B.4(2-)C.2+D.4(2+)2.在等比数列{a n}中,a3=4,a6=,则公比q=()A.B.-C.2D.-23.[2017·常德一模]已知各项均为正数的等比数列的前n项和为S n,且S3=14,a3=8,则a6=()A.16B.32C.64D.1284.在等比数列中,公比q=,a3a5a7=64,则a4= .5.[2017·太原质检]设S n是等比数列的前n项和,若S2=2,S6=4,则S4= .能力提升6.[2017·绍兴柯桥区二模]已知等比数列的前n项和为S n,且满足a5=2S4+3,a6=2S5+3,则此数列的公比为()A.2B.3C.4D.57.[2017·衡阳联考]已知数列为等比数列,且a3=-4,a7=-16,则a5=()A.8B.-8C.64D.-648.已知等比数列满足log2a3+log2a10=1,且a5a6a8a9=16,则数列的公比为()A.2B.4C.±2D.±49.[2017·泉州模拟]已知数列为等比数列,a4+a7=2,a5·a6=-8,则a1+a10的值为 ()A.7B.5C.-7D.-510.已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5,若存在两项a m,a n使得=4a1,则+的最小值为()A.B.C.D.11.[2017·大连模拟]已知等差数列{a n}的公差d≠0,且a3,a5,a15成等比数列,若a1=3,S n为数列{a n}的前n项和,则a n·S n的最小值为()A.0B.-3C.-20D.912.[2017·榆林一模]在等比数列{a n}中,a1=4,公比为q,前n项和为S n,若数列{S n+2}也是等比数列,则q= .13.已知是正项等比数列,a2=3,a6=,则a1a2+a2a3+…+a100a101= .14.(10分)[2017·上饶六校联考]已知数列的前n项和为S n,且a n+1=1+S n对一切正整数n恒成立.(1)试求当a1为何值时,数列是等比数列,并求出它的通项公式;(2)在(1)的条件下,当n为何值时,数列的前n项和T n取得最大值.15.(13分)[2018·广西钦州月考]已知数列的前n项和为S n,且S n=λ+(n-1)·2n,又数列满足a n·b n=n.(1)求数列的通项公式.(2)当λ为何值时,数列是等比数列?此时数列的前n项和为T n,若存在m∈N*,使得m<T n成立,求m的最大值.难点突破16.(12分)[2017·泸州诊断]设等比数列{a n}的前n项和为S n,已知a3=,S3=.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=log2,T n为数列{b n}的前n项和,求使T n=+105成立的n的值.课时作业(三十一)第31讲数列求和基础热身1.数列4,8,16,32,…的前n项和为()A.2n+1-2-n-1B.2n+2-2-n-3C.2n+1+2-n-1D.2n+1-2-n-1-12.[2018·山东临沂一中月考]若数列的通项公式是a n=(-1)n(3n-2),则a1+a2+…+a10=()A.15B.12C.-12D.-153.[2017·蚌埠第二中学月考]已知函数f=且a n=f+f,则a1+a2+a3+…+a8=()A.-16B.-8C.8D.164.已知数列的通项公式为a n=,则数列的前40项和为.5.[2017·呼和浩特调研]在等差数列中,a2=8,前6项和S6=66,设b n=,T n=b1+b2+…+b n,则T n= .能力提升6.[2017·湘潭模拟]已知T n为数列的前n项和,若n>T10+1013恒成立,则整数n的最小值为()A.1026B.1025C.1024D.10237.[2017·合肥调研]已知数列满足a1=2,4a3=a6,是等差数列,则数列{(-1)n a n}的前10项的和S10=()A.220B.110C.99D.558.[2017·临川实验学校一模]我国古代数学名著《九章算术》中有已知长方形面积求一边的算法(“少广”算法),该算法的前两步用现代汉语描述如下.第一步:构造数列1,,,,…,①.第二步:将数列①的各项乘,得到一个新数列a1,a2,a3,…,a n.则a1a2+a2a3+a3a4+…+a n-1a n等于()A.B.C.D.9.[2017·重庆第八中学月考]设数列的前n项和为S n,若a n+1=(-1)n-1a n+2n+1,则S32=()A.560B.360C.280D.19210.[2017·唐山一模]数列是首项为1,公差为1的等差数列,数列是首项为1,公比为2的等比数列,则数列的前n项和等于.11.[2017·陕西黄陵中学模拟]已知数列是公差为整数的等差数列,前n项和为S n,且a1+a5+2=0,2S1,3S2,8S3成等比数列,则数列的前10项和为.12.[2017·玉溪质检]已知数列满足a1=1,a2=2,a n+2=1+sin2a n+2cos2,则该数列的前20项和为.13.(15分)[2017·莆田一模]设数列的前n项和S n=2n+1-2,数列满足b n=+22n-1.(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前n项和T n.14.(15分)[2017·佛山质检]已知数列满足a1=1,a n+1=a n+2,数列的前n项和为S n,且S n=2-b n.(1)求数列,的通项公式;(2)设c n=a n b n,求数列的前n项和T n.难点突破15.(5分)[2017·洛阳三检]已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足a n+1=,若a1=2,则{log2a n}的前2017项的和为()A.1B.2C.-6D.-58616.(5分)[2017·抚州临川区模拟]在数列中,a1=2,n(a n+1-a n)=a n+1,n∈N*,若对于任意的a∈[-2,2],不等式<2t2+at-1恒成立,则t的取值范围为.课时作业(三十二)第32讲数列的综合问题基础热身1.[2017·河北五校一模]设等差数列的前n项和为S n,a2,a4是方程x2-x-2=0的两个根,则S5=()A.-B.-5C.5D.2.[2017·河南新乡一模]已知数列为等差数列,且满足=a3+a2015,其中点A,B,C 在一条直线上,点O为直线AB外一点,记数列的前n项和为S n,则S2017的值为() A.B.2017C.2018D.20153.[2017·宜宾二诊]数列的通项公式为a n=n cos2-sin2,其前n项和为S n,则S40为()A.10B.15C.20D.254.[2017·梅河口五中期末]已知数列满足a1=33,a n=n2-n+33,则取最小值时n= .5.现在传播信息的渠道有很多,可以通过广播、电视、网络等渠道进行传递.现有一人自编了一则健康有趣的笑话想通过QQ传递给好友进行分享,他立即通过QQ发给好友,用10秒钟发给了6个在线好友,接到信息的人同样用10秒钟将此信息发给不知此信息的6个在线好友,依此下去,则经过一分钟后有个人知道这条信息.能力提升6.[2018·鞍山第一中学一模]设{a n}是首项为a1,公差为-2的等差数列, S n为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1=()A.8B.-8C.1D.-17.[2017·湖南五市十校联考]已知等差数列的前n项和为S n,且a1<0,若存在自然数m ≥3,使得a m=S m,则当n>m时,S n与a n的大小关系是()A.S n<a nB.S n≤a nC.S n>a nD.大小不能确定8.[2018·河南名校联考]已知公比不为1的等比数列{a n}的前n项和为S n,a1a2a3a4a5=,且a2,a4,a3成等差数列,则S5=()A.B.C.D.9.[2017·黄山二模]对正整数n,设曲线y=(2-x)x n在x=3处的切线与y轴交点的纵坐标为a n,则数列的前n项和等于 ()A.-3B.C. D.10.[2017·太原三模]已知数列的前n项和为S n,点(n,S n+3)(n∈N*)在函数y=3×2x的图像上,等比数列满足b n+b n+1=a n(n∈N*),其前n项和为T n,则下列结论正确的是()A.S n=2T nB.T n=2b n+1C.T n>a nD.T n<b n+111.[2017·资阳二模]我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有蒲(水生植物名)生一日,长三尺;莞(植物名,俗称水葱、席子草)生一日,长一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?”其大意是:今有蒲生长1日,长为3尺;莞生长1日,长为1尺.今后蒲的生长逐日减半,莞的生长逐日增加1倍.若蒲、莞长度相等,则所需的时间约为日.(结果保留一位小数,参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)12.[2017·淮北第一中学三模]若数列满足-=d(n∈N*,d为常数),则称数列为“调和数列”,已知正项数列为“调和数列”,且b1+b2+…+b9=90,则b4b6的最大值是.13.(15分)[2017·长沙十校二联]设是公比大于1的等比数列,S n为其前n项和,已知S3=7,a1+3,3a2,a3+4构成等差数列.(1)求数列的通项公式;(2)令b n=a n+ln a n,求数列的前n项和T n.14.(15分)已知数列的首项a1=4,当n≥2时,a n-1a n-4a n-1+4=0,数列满足b n=(n∈N*).(1)求证:数列是等差数列,并求的通项公式;(2)若c n=·(na n-6),对任意n∈N*,都有c n+t≤2t2,求实数t的取值范围.难点突破15.(5分)设等比数列{a n}的公比为q,其前n项之积为T n,并且满足条件:a1>1,a2015a2016>1,<0.给出下列结论:(1)0<q<1;(2)a2015a2017-1>0;(3)T2016的值是T n中最大的;(4)使T n>1成立的最大自然数等于4030.其中正确的结论为()A.(1)(3)B.(2)(3)C.(1)(4)D.(2)(4)16.(5分)[2017·湖南永州三模]已知数列的前n项和S n=·n,若对任意的正整数n,有(a n+1-p)(a n-p)<0恒成立, 则实数p的取值范围是.课时作业(二十八)1.C[解析] 由题意,得a2=2a1+1=3,a3=2a2+1=7,a4=2a3+1=15,故选C.2.B[解析] 易知数列-1,4,-9,16,-25,…的一个通项公式为a n=·n2,故选B.3.B[解析] 观察数列,得出规律:a2-a1=21,a3-a2=22,a4-a3=23,a5-a4=24,因此a6-a5=25,所以a6=62,故选B.4.5[解析] 因为a n=3n2-28n=3n-2-,且n∈N*,所以当n=5时,a n取得最小值.5.2n [解析] 当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.当n=1时,a1=S1=2,满足上式.故a n=2n.6.C[解析] 当n≥2时,S n=a n,S n-1=a n-1.两式作差可得a n=S n-S n-1=a n-a n-1,则==1+,据此可得,当n=2 时,取到最大值3.7.A[解析]∵(3n+2)a n+1=(3n-1)a n,∴a n+1=a n,∴a n=··…··a1=××…×××3=,故选A.8.D[解析] 根据题意可知a1=3,a2=6,a n+2=a n+1-a n,那么a3=a2-a1=3,a4=a3-a2=-3,a5=a4-a3=-6,a6=a5-a4=-3,a7=a6-a5=3,a8=a7-a6=6,…,可知数列{a n}的周期为6,那么a2018=a336×6+2=a2=6,故选D.9.D[解析] ∵a n=8+,∴a n+1=8+,∴a n+1-a n=-==.∴当1≤n≤4时,a n+1>a n,即a5>a4>a3>a2>a1;当n≥5时,a n+1<a n,即a5>a6>a7>….因此数列先递增后递减,∴当n=5时,a5=为最大项,即M=,又当n→∞时,a n→8,a1=,∴最小项为,即m=,∴m+M=+=.故选D.10.D[解析] 根据题意可构造数列{a n-b n},则a n+1-b n+1=a n+2b n-a n-b n=(1-)a n-(1-)b n=(1-)(a n-b n).因为a1=b1=1,所以a1-b1=1-,所以{a n-b n}是以1-为首项,1-为公比的等比数列,故a n-b n=(1-)n,所以A,B不正确.因为{a n-b n}的公比为1-,其绝对值小于1,所以{|a n-b n|}为递减数列,所以C不正确.-=·|a n-b n|,易知数列,为递增数列,故为递减数列,又{|a n-b n|}为递减数列,故-为递减数列,D正确. 11.a n=[解析] 由a n+1=S n①,可得a n=S n-1(n≥2)②,①-②得a n+1-a n=S n-S n-1=a n(n≥2),即=2(n≥2),又a2=S1=1,所以=1≠2,则数列{a n}从第二项起是以1为首项2为公比的等比数列,所以a n=12.[解析] 因为是递减数列,数列{a n}从a4项开始用式子(t-13)计算,所以只要t-13<0,即t<13即可.因为a1,a2,a3通过x2-3tx+18计算,所以根据二次函数的性质,应该有>且a3>a4,即t>且9-9t+18>t-13,解得<t<4.综上,t的取值范围是<t<4.13.[解析] 由a n-a n+1=可得-==2-,利用累加法可得-+-+…+-=2-+2-+…+21-,即-=21-,可得=3-=,即a n=.14.解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,由可得解得所以数列{a n}的通项公式为a n=48-8n.(2)由(1)知S n=-4n2+44n=-4n-2+121,因为n∈N*,所以当n=5或6时,S n取得最大值.15.解:(1)因为a2=,所以由a2=3a1-1可求得a1=.因为a n+1=3a n-1,所以a n+1-=3a n-,所以数列a n-是以1为首项,以3为公比的等比数列.所以a n-=3n-1,即a n=+3n-1.故S n=+=.(2)依题意,≤m,即+≤m对任意的n∈N*恒成立.设c n=+,则易知数列是递减数列,所以=c1=1.综上,可得m≥1.故所求实数m的取值范围是[1,+∞).16.解:(1)证明:由题知==2,∵b1=a2-a1=4-2=2,∴b1+2=4,∴数列{b n+2}是以4为首项以2为公比的等比数列.(2)由(1)可得b n+2=4·2n-1,故b n=2n+1-2.∵a n+1-a n=b n,∴a2-a1=b1,a3-a2=b2,a4-a3=b3,…,a n-a n-1=b n-1,累加得a n-a1=b1+b2+b3+…+b n-1=(22-2)+(23-2)+(24-2)+…+(2n-2) =-2(n-1)=2n+1-2n-2,则a n=2n+1-2n.加练一课(四)1.A[解析] ∵a n+1=2a n-1,∴a n+1-1=2(a n-1).∵a1-1=0,∴a n-1=0,即a n=1,故选A.2.C[解析] a4=a2+a2=12,a6=a4+a2=18,a10=a6+a4=30.故选C.3.D[解析] 由a n+1=S n+1①,可得a n=S n-1+1(n≥2)②,①-②得a n+1=2a n,又∵a2=S1+1=3,a1=2,∴S5=2+=47,故选D.4.B[解析] 因为数列{a n}前8项的值各异,且a n+8=a n对任意的n∈N*都成立,所以该数列为周期为8的周期数列.为使数列中可取遍{a n}前8项的值,必须保证项数被8除的余数可以取到0,1,2,3,4,5,6,7.经验证A,C,D都不可以,因为它们的项数全部由奇数组成,被8除的余数只能是奇数,故选B.5.B[解析] 由条件知=,分别令n=1,2,3,…,(n-1)(n≥2),可得=,=,=,…,=,累乘得···…·=××……××,即=.又∵a1=1,∴a n=,故选B.6.D[解析] ∵数列满足a1=1,a n+1·a n=2n(n∈N*),∴a2·a1=2,解得a2=2.由题得=,即=2,∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等比数列,首项分别为a1=1,a2=2,公比都为2,则S2017=(a1+a3+…+a2017)+(a2+a4+…+a2016)=+=21010-3,故选D.7.C[解析] 由条件知a n+1-a n==-.分别令n=1,2,3,…,(n-1),代入上式得到(n-1)个等式,这些等式累加可得(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(a n-a n-1)=(-1)+(-)+(-)+…+(-),即a n-a1=-1.又因为a1=1,所以a n=,故选C.8.D[解析] 因为a n-a n+1=na n a n+1,所以=-=n,所以=-+-+…+-+=(n-1)+(n-2)+…+3+2+1+=+1=,则a n=.9.D[解析] 由已知得a3+a1=(a3+a2)-(a2-a1)=1,同理可得a5+a7=1,…,a37+a39=1,又a2+a4=(a3+a2)+(a4-a3)=2+3=5,a6+a8=13,…,a38+a40=77,∴S40=(a1+a3+…+a39)+(a2+a4+…+a40)=10×1+(5+13+…+77)=10+410=420,故选D.10.C[解析] 由a n=,得=+,于是-1=-1(n≥2,n∈N*).又-1=-,∴数列-1是以-为首项,为公比的等比数列,故-1=-(n≥2,n∈N*),当n=1时,a1=2满足上式,则-1=-,∴a n=(n∈N*),故选C.11.B[解析]∵a1=,a2=,a n+1=2a n+a n-1,∴=1,a3=2a2+a1=,∴=·=-= -,=-+-+…+-=-=4-=2-<2,又∵=>1,∴1<<2,则的整数部分是1,故选B.12.B[解析] 根据题意,数列满足a n=且a1=a,则a2=a1+1=a+1,a3=a2+1=a+2,a4=a3+1=a+3,a5=a4+1=a+4,a6=2a5=2a+8,a7=2a6,…对于①,当a=-4时,a6=2a+8=0,此时数列不是等比数列,故①错误;对于②,若S5<100,则有S5=(a1+a2+…+a5)=5(a+2)<100,则有a<18,故②正确;对于③,根据题意,a3=a+2,a6=2a+8,a9=24a5=16×(a+4),若a3,a6,a9成等比数列,则有(2a+8)2=(a+2)×16×(a+4),且a6=2a+8≠0,解得a=-,故③正确.故选B.13.19[解析] 因为a n+1=a n+2,所以a n+1-a n=2,所以数列是首项为1,公差为2的等差数列,所以a10=1+(10-1)×2=19.14.22017[解析] 由题得,a2=3a1+2b1=5,当n≥2时,a n+1=3a n+2b n=3a n-2a n-1,所以a n+1-a n=2(a n-a n-1),又a2-a1=4,所以数列{a n-a n-1}是首项为4,公比为2的等比数列,所以a2017-a2016=4×22016-1=22017.15.[解析] 当n≥2时,由已知得a n+1=a1+2a2+3a3+…+(n-1)a n-1+na n,用此等式减去已知等式,得a n+1-a n=na n,即a n+1=(n+1)a n,又a2=a1=1,∴a1=1,=1,=3,=4,…,=n,将以上n 个式子相乘,得a n=(n≥2).当n=1时,a1=1不满足上式,则a n=16.4017[解析] 设该数列为{a n},则a1=2008,a2=2009,a3=1,a4=-2008,由题意得a5=-2009,a6=-1,a7=2008,…所以a n+6=a n,即数列是以6为周期的数列,又a1+a2+a3+a4+a5+a6=0, ∴S2018=336(a1+a2+a3+a4+a5+a6)+(a1+a2)=4017.课时作业(二十九)1.B[解析] 设等差数列{a n}的公差为d,由题设可得3×(-2)+·d=0,解得d=2,故选B.2.B[解析] 根据等差数列的性质可得,等差数列第1,4,7项的和,第2,5,8项的和与第3,6,9项的和成等差数列,所以a3+a6+a9=2×33-39=27,故选B.3.C[解析] S12==6×(a4+a9)=60,故选C.4.9[解析] 根据等差数列的性质可知a3+a4+a5+a6+a7=5a5=45,所以a5=9.5.7[解析] 由(a5+a8)-(a3+a6)=39-11=4d=28,得d=7.6.B[解析] 由a2+a4+a6=3得a4=1,则a1+a3+a5+a7=4a4=4,故选B.7.A[解析] 设等差数列{a n}的公差为d.可以令i=1,j=2,k=3,l=4,则a i a l-a j a k=a1a4-a2a3=a1(a1+3d)-(a1+d)(a1+2d)=-2d2≤0,S1S4-S2S3=a1(4a1+6d)-(2a1+d)(3a1+3d)=-2-3a1d-3d2=-2a1+d2-d2≤0,故只有A选项正确.8.B[解析] 设等差数列{a n}的公差为d,由题意,得解得则a n=2n-13.令解得≤n≤.因为n∈N*,所以n=6,即当n=6时,S n取得最小值,故选B.9.A[解析] 设最上面一节竹子的容积为a1,则依题意可知根据等差数列的性质可知a1+a2+a3+a4=2(a2+a3)=3,a7+a8+a9=3a8=4,则有a2+a3=,a8=,所以a2+a3+a8=+=,故选A.10.A[解析] 设等差数列{b n}的公差为d,则由题设可得b n=a n+1-a n=b1+(n-1)d,则a2-a1=b1,a3-a2=b1+d,a4-a3=b1+2d,…,a31-a30=b1+29d,累加得a31-a1=30b1+(1+2+…+29)d=30b1+d,即a31=15(2b1+29d),又b15+b16=2b1+29d=15,所以a31=15(2b1+29d)=15×15=225,故选A.11.-2017[解析] ∵S n是等差数列的前n项和,∴是等差数列,设其公差为d.∵-=6,∴6d=6,d=1.∵a1=-2017,∴=-2017,∴=-2017+(n-1)×1=-2018+n,∴S2017= (-2018+2017)×2017=-2017.12.[解析] 由题意可得,当n≥2时,a n+b n=a n-1+b n-1+2,a n-b n=a n-1-b n-1=(a n-1-b n-1),所以数列{a n+b n}是以a1+b1=3 为首项,2为公差的等差数列,数列{a n-b n}是以a1-b1=1 为首项,为公比的等比数列,所以(a1008+b1008)(a2017-b2017)=(3+2×1007)×1×=.13.解:(1)设等差数列的公差为d,因为a1+a2=6,a2+a3=10,所以a3-a1=4,所以2d=4,d=2.又a1+a2=a1+a1+d=6,所以a1=2,所以a n=a1+(n-1)d=2n.(2)记b n=a n+a n+1,所以b n=2n+2(n+1)=4n+2,又b n+1-b n=4(n+1)+2-4n-2=4,所以数列是首项为6,公差为4的等差数列,其前n项和S n===2n2+4n.14.解:(1)由题意知2=1+a n,即4S n=(1+a n)2.当n=1时,可得a1=1.当n≥2时,有4S n-1=(a n-1+1)2,又4S n=(a n+1)2,两式相减得(a n+a n-1)(a n-a n-1-2)=0,∵a n>0,∴a n-a n-1=2,则数列{a n}是以1为首项,2为公差的等差数列,即a n=2n-1.(2)==-,∴T n=1-+-+…+-=1-=.15.C[解析] 设等差数列{a n}的公差为d.∵S3=a1+a2+a3=3a2=9,a2a4=21,∴a2=3,a4=7,d=2,a n=2n-1.设T n=++…+=++…+=1-,则T n+1=++…++=1-,两式作差得T n+1-T n==-=,所以b n+1=,则b n=.当b n<,即<时,得n的最小值为8,故选C.16.8[解析] 由题知当n为奇数时,b n=-2,当n为偶数时,b n=3.又a2b1=b2a1+b1,可得a2=.当n=2k时,有a2k+1b2k=b2k+1a2k+b2k,即3a2k+1=-2a2k+3①.当n=2k-1时,有a2k b2k-1=b2k a2k-1+b2k-1,即-2a2k=3a2k-1-2②.当n=2k+1时,有a2k+2b2k+1=b2k+2a2k+1+b2k+1,即-2a2k+2=3a2k+1-2③.由①③可得a2k+2-a2k=-,由①②可得a2k+1-a2k-1=,则数列,都是等差数列,首项分别为a2=,a1=-,公差分别为-,.则S2n=(a1+a3+a5+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=na1+×+na2+×=-+n.则当n=8时,S2n取得最大值.课时作业(三十)1.D[解析] 由题意,得(2-)a=22,解得a=4(2+),故选D.2.A[解析] 由题意得,q3===,则q=,故选A.3.C[解析] 设等比数列{a n}的公比为q(q>0),由S3=14,a3=8,得可得a1=2,q=2,所以a6=a1q5=2×25=64,故选C.4.8[解析] 因为a3a5a7=64,所以=64,解得a5=4,故a4==8.5.1+[解析] 由等比数列的性质知S2,S4-S2,S6-S4也成等比数列,所以(S4-S2)2=S2·(S6-S4),即(S4-2)2=2·(4-S4),解得S4=1+或S4=1-(舍).6.B[解析] 由a5=2S4+3,a6=2S5+3可得a6-a5=2a5,则=3,故选B.7.B[解析] 设等比数列{a n}的公比为q.∵数列{a n}为等比数列,且a3=-4,a7=-16,∴=a3·a7=(-4)×(-16)=64,又a5=a3q2=-4q2<0,∴a5=-8.故选B.8.A[解析] 设等比数列{a n}的公比为q.由log2a3+log2a10=1得log2a3a10=1,即a3a10=2.∵a5a6a8a9=16,∴(a5a8)(a6a7)q2=16,∴q2=4.由真数大于零得q>0,∴q=2.故选A.9.C[解析] 由等比数列的性质可知a5·a6=a4·a7=-8,又a4+a7=2,故a4,a7是一元二次方程x2-2x-8=0的两个根,解得a4=-2,a7=4或a4=4,a7=-2,故a1=1,q3=-2,a10=-8或a1=-8,q3=-,a10=1,所以a1+a10=-7.10.A[解析] 由各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5,可得a1q6=a1q5+2a1q4,∴q2-q-2=0,∴q=2.∵=4a1,∴q m+n-2=16,∴2m+n-2=24,∴m+n=6,∴+=(m+ n)+=5++≥(5+4)=,当且仅当=时等号成立,故+的最小值等于.11.B[解析] ∵等差数列{a n}的公差d≠0,且a3,a5,a15成等比数列,a1=3,∴(3+4d)2=(3+2d)(3+14d),解得d=-2或d=0,∵d≠0,∴d=-2,则a n=3+(n-1)×(-2)=5-2n,S n=3n+×(-2)=4n-n2,a n·S n=(5-2n)(4n-n2)=2n3-13n2+20n.设f(x)=2x3-13x2+20x,则f'(x)=6x2-26x+20,令f'(x)=0,得x1=1,x2=,则f(x)在1,上单调递减,在,+∞上单调递增.结合f(x)的单调性可知,当n=3时,a n·S n取得最小值2×33-13×32+20×3=-3.故a n·S n的最小值为-3.故选B.12.3[解析] 由数列{S n+2}也是等比数列可得S1+2,S2+2,S3+2成等比数列,则(S2+2)2=(S1+2)(S3+2),即(4+4q+2)2=(4+2)(4+4q+4q2+2),解得q=3或q=0(舍去).13.24(1-4-100)[解析] 由题得等比数列的公比q===,所以a1=6,显然数列也是等比数列,其首项为a1a2=18,公比q'==q2==,于是a1a2+a2a3+…+a100a101==24(1-4-100).14.解:(1)由a n+1=1+S n得当n≥2时,a n=1+S n-1,两式相减得a n+1=2a n.因为数列{a n}是等比数列,所以a2=2a1,又因为a2=1+S1=1+a1,所以a1=1,则a n=2n-1.(2)易得数列是一个递减数列,所以lg>lg>lg>…>lg>0>lg>…由此可知当n-1=8,即n=9时,数列的前n项和T n取得最大值.15.解:(1)当n=1时,a1=S1=λ.当n≥2 时,a n=S n-S n-1=(n-1)·2n-(n-2)·2n-1=n·2n-1.故数列的通项公式为a n=(2)由a n·b n=n,可得b n=因为数列为等比数列,所以首项b1=满足n≥2的情况,故λ=1.则T n=b1+b2+…+b n==21-.因为T n+1-T n=>0,所以T n是递增的,故T n≥1且T n<2.又存在m∈N*,使得m<T n成立,则m的最大值为1.16.解:(1)设等比数列{a n}的公比为q,由a3=,S3=,得a1q2=,a1(1+q+q2)=,解得a1=6,q=-或a1=,q=1.则数列{a n}的通项公式为a n=或a n=6×.(2)当a n=时,b n=log2=log2=2,所以T n=2n.由T n=+105,得2n=+105,所以n=70.当a n=6×时,b n=log2=log2=2n,故数列{b n}是首项为2,公差为2的等差数列,所以T n=n2+n.由T n=+105,得n2+n=+105,所以n=10或n=-(舍).综上知,n=70或10.课时作业(三十一)1.B[解析] 由题知,所给数列的通项公式为a n=2n+1+,则前n项和S n=+=2n+2-2-n-3.故选B.2.A[解析] a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10=-1+4-7+10-13+16-19+22-25+28=5×3=15,故选A.3.C[解析] 当n为奇数时,n+1为偶数,则a n=n2-(n+1)2=-2n-1,所以a1+a3+a5+a7=-(3+7+11+15)=-36.当n为偶数时,n+1为奇数,则a n=-n2+(n+1)2=2n+1,则a2+a4+a6+a8=5+9+13+17=44.所以a1+a2+…+a8=-36+44=8,故选C.4.[解析] a n==(-),则数列的前40项和S40=[(-)+(-)+…+(-)]=(-)=.5.[解析] 设等差数列{a n}的公差为d,由题意得解得则a n=2n+4,因此b n==-,∴T n=-+-+…+-=-=.6.C[解析] 因为=1+,所以T n=n+1-,T10+1013=11-+1013=1024-,又n>T10+1013,所以整数n的最小值为1024.故选C.7.B[解析] 设数列的公差为d,则解得d=2,所以=a1+(n-1)d=2n,a n=2n2,所以S10=-a1+a2-a3+a4-…-a9+a10=-2×12+2×22-2×32+2×42-…-2×92+2×102=2[(22-12)+(42-32)+…+(102-92)]=2[(2-1)×(1+2)+(4-3)×(3+4)+…+(10-9)×(9+10)]=2×(1+2+…+10)=110,故选B.8.C[解析] 新数列为1×,×,×,…,×,所以a1a2+a2a3+a3a4+…+a n-1a n=+++…+=1-+-+-+…+-=1-=.故选C.9.A[解析] 依题意有a2-a1=3,a3+a2=5,a4-a3=7,a5+a4=9,a6-a5=11,a7+a6=13,a8-a7=15,…,由此可得a1+a3=2,a5+a7=2,…,a2+a4=12,a6+a8=28,…,所以S32=(a1+a3+…+a31)+(a2+a4+…+a32)=8×2+8×12+×16=560,故选A.10.(n-1)2n+1[解析] 由题意得a n=n,b n=2n-1,则a n b n=n·2n-1,则数列的前n项和S n=1·20+2·21+3·22+…+n·2n-1①,所以2S n=1·21+2·22+3·23+…+(n-1)·2n-1+n·2n②.①-②得-S n=1+21+22+…+2n-1-n·2n=-n·2n,整理得S n=(n-1)·2n+1.11.-[解析] 设等差数列{a n}的公差为d,因为a1+a5+2=0,所以2a1+4d+2=0,a1=-1-2d.因为2S1,3S2,8S3成等比数列,所以16S1S3=9,即16(-1-2d)(-3-3d)=9(-2-3d)2.因为d为整数,所以解得d=-2,则a1=3,所以a n=3-2(n-1)=5-2n.则==-,所以数列的前10项和为×-+×-+…+×-=×-=-.12.1133[解析] 当n为奇数时,a n+2=2a n,故奇数项是以a1=1为首项,2为公比的等比数列;当n为偶数时,a n+2=a n+2,故偶数项是以a2=2为首项,2为公差的等差数列,所以前20项中的奇数项和S奇==210-1=1023,前20项中的偶数项和S偶=10×2+×2=110,所以S20=1023+110=1133.13.解:(1)当n=1时,a1=S1=2.由S n=2n+1-2得S n-1=2n-2(n≥2),∴a n=S n-S n-1= 2n+1-2n=2n(n≥2).当n=1时,a1=2满足上式,∴a n=2n(n∈N*).(2)b n=+22n-1=+22n-1=-+22n-1,则T n=1-+-+…+-+(2+23+25+…+22n-1)=1-+=+-.14.解:(1)因为a1=1,a n+1-a n=2,所以是首项为1,公差为2的等差数列,所以a n=1+(n-1)×2 =2n-1.当n=1时,b1=S1=2-b1,所以b1=1.当n≥2时,S n=2-b n①,S n-1=2-b n-1②,由①-②得b n=-b n+b n-1,即=.所以是首项为1,公比为的等比数列,故b n=.(2)由(1)知c n=a n b n=,则T n=+++…+③,T n=++…++④,③-④得T n=+++…+-=1+1++…+-= 1+-=3-,所以T n=6-.15.A[解析] 由a1=2,a n+1=,得a2=-3,a3=-,a4=,a5=2,a6=-3,…,由此可得数列{a n}是以4为周期的周期数列,且a1a2a3a4=1,所以{a n}的前2017项的积为a1a2a3a4…a2017=1×1×1×…×a1=2,所以{log2a n}的前2017项的和为log2a1+log2a2+…+log2a2017=log2(a1a2…a2017)=1,故选A.16.(-∞,-2]∪[2,+∞)[解析] 由题设可得a n+1-a n=a n+,即a n+1=a n+,即=+,所以-=-.令n=1,2,3,…,n可得-=-,-=-,-=-,…,-=-,累加得-=1-,则=3-<3,所以2t2+at-1≥3,即2t2+at-4≥0.令F(a)=2t2+at-4,a∈[-2,2],则即解得t≥2或t≤-2.课时作业(三十二)1.D[解析] 根据韦达定理可得a2+a4=1,所以S5===,故选D.2.A[解析] 因为点A,B,C在一条直线上,所以a3+a2015=1,则S2017===,故选A.3.C[解析] 由a n=n cos2-sin2,得a1=0,a2=-2,a3=0,a4=4,a5=0,a6=-6,a7=0,…则a2n-1=0,a2n=(-1)n·2n,则S40=(a1+a3+…+a39)+(a2+a4+…+a40)=-2+4-6+8-…+40=2×10=20,故选C.4.8[解析] =n+-,其中n+≥2=,当且仅当n=即n=时取等号.易知8<<9,且<,∴取最小值时n=8.5.55 987[解析] 经过10秒钟后知道这条信息的人数为1+6,经过20秒钟后知道这条信息的人数为1+6+62,经过30秒钟后知道这条信息的人数为1+6+62+63,则经过x个10秒钟后知道这条信息的人数为1+6+62+…+6x,所以经过一分钟即经过60秒钟后知道此信息的人数为1+6+62+…+66=55 987.6.D[解析] 因为S1,S2,S4成等比数列,所以=S1·S4,即(2a1-2)2=a1(4a1-12),解得a1=-1,故选D.7.C[解析] 由题意得公差d>0,且a m>0,所以当n>m时,S n-a n=S n-S m+a m-a n=a m+a m+1+…+a n-1>0,所以S n>a n,故选C.8.D[解析] 设等比数列{a n}的公比为q,则由a2,a4,a3成等差数列得,2a2q2=a2+a2q,即2q2-q-1=0,解得q=-或q=1(舍去).由a1a2a3a4a5===得a3==a1q2,所以a1=1,S5==,故选D.9.C[解析] y'=2nx n-1-(n+1)x n,所以曲线y=(2-x)x n在x=3处的切线的斜率为-n-13n,所以切线方程为y=-n-13n(x-3)-3n.令x=0,得a n=(n+2)·3n,则=3n,所以数列的前n 项和S n==,故选C.10.D[解析] 由题意可得S n+3=3×2n,S n=3×2n-3,由等比数列前n项和的特点可得数列是首项为3,公比为2的等比数列,数列{a n}的通项公式为a n=3×2n-1.设等比数列{b n}的公比为q,则b1q n-1+b1q n=3×2n-1,解得b1=1,q=2,数列的通项公式为b n=2n-1,由等比数列的求和公式有T n=2n-1.则有S n=3T n,T n=2b n-1,T n<a n,T n<b n+1.故选D.11.2.6[解析] 设蒲每日的生长的长度组成等比数列,其中a1=3,公比为,其前n项和为A n.莞每日生长的长度组成等比数列,其中b1=1,公比为2,其前n项和为B n.则A n=,B n=.令A n=B n,得2n+=7,解得2n=6 或2n=1 (舍去).则n==1+≈2.6,故所需的时间约为2.6日.12.100[解析] 因为数列是“调和数列”,所以b n+1-b n=d,即数列是等差数列,所以b1+b2+…+b9==90,则b4+b6=20,所以b4b6≤=100,当且仅当b4=b6=10时等号成立,因此b4b6的最大值为100.13.解:(1)设数列的公比为q(q>1).由已知,得即由q>1,解得故数列的通项公式为a n=2n-1.(2)由(1)得b n=2n-1+(n-1)ln 2,所以T n=(1+2+22+…+2n-1)+[0+1+2+…+(n-1)]ln 2=+ln 2=2n-1+ln 2.14.解:(1)当n≥2时,b n-b n-1=-=,∵a n-1a n-4a n-1+4=0,∴b n-b n-1==-,∴是等差数列.∴b n=b1+(n-1)=-.(2)∵b n==-,∴a n=+2,∴c n=(2n-4).设f(x)=,则f'(x)=,路漫漫其修远兮，吾将上下而求索- 百度文库∴函数f (x )在-∞,+2上单调递增,在+2,+∞上单调递减,∴数列{c n}当1≤n≤3时递增,当n≥4时递减且c n >0,∴-1≤c n ≤.设y=c n+t-2t2,则y=c n+t-2t2是关于c n 的一次函数,且函数单调递增,∴当c n=时,y≤0即可满足要求,∴+t-2t2≤0,解得t≤-或t≥.5.C[解析] 由<0可知a2015<1或a2016<1.如果a2015<1,那么a2016>1,若a2015<0,则q<0;又∵a2016=a1q2015,∴a2016应与a1异号,即a2016<0,这与假设矛盾,故q>0.若q≥1,则a2015>1且a2016>1,与推出的结论矛盾,故0<q<1,故(1)正确.又a2015a2017=<1,故(2)错误.由结论(1)可知a2015>1,a2016<1,故数列从第2016项开始小于1,则T2015最大,故(3)错误.由结论(1)可知数列从第2016项开始小于1,而T n=a1a2a3…a n,故当T n=(a2015)n时,求得T n>1对应的自然数为4030,故(4)正确.16.(-3,1)[解析] 当n=1时,a1=S1=1.当n≥2时,a n=S n-S n-1=n-(n-1)=(-1)n-1(2n-1).由对任意正整数n,有(a n+1-p)(a n-p)<0恒成立,得[(-1)n(2n+1)-p][(-1)n-1(2n-1)-p]<0①.当n是奇数时,①式化为[p+(2n+1)][p-(2n-1)]<0,解得-(2n+1)<p<2n-1.又该不等式对任意正奇数n都成立,取n=1,可得-3<p<1.当n是偶数时,①式化为[p-(1+2n)][p+(2n-1)]<0,解得1-2n<p<2n+1,又该不等式对任意正偶数n都成立,取n=2,可得-3<p<5.综上所述,-3<p<1.31。

2019年北师大版高考数学一轮复习课时规范练5 函数及其表示基础巩固组1.下面可以表示以M={x|0≤x≤1}为定义域,以N={x|0≤x≤1}为值域的函数图像的是()2.已知函数f(x)满足f(2x)=2f(x),且当1≤x<2时,f(x)=x2,则f(3)=()A. B.C. D.93.(2018河北衡水中学押题二,2)已知集合A={x|x2-2x≤0},B={y|y=log2(x+2),x∈A},则A∩B为()A.(0,1)B.[0,1]C.(1,2)D.[1,2]4.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是()A.y=xB.y=lg xC.y=2xD.y=5.若函数y=f(x)的值域是[1,3],则函数F(x)=1-f(x+3)的值域是()A.[-8,-3]B.[-5,-1]C.[-2,0]D.[1,3]6.已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x+1)的定义域为()A.(-1,1)B.C.(-1,0)D.7.已知函数f(x)=的值域为R,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-1]B.C. D.8.若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)-f(-x)=3x+1,则f(1)=()A.2B.0C.1D.-19.已知f=2x+3,f(m)=6,则m=.10.(2018江苏南京、盐城一模,7)设函数y=e x+-a的值域为A,若A⊆[0,+∞),则实数a的取值范围是.11.已知y=f(2x)的定义域为[-1,1],则函数y=f(log2x)的定义域是.综合提升组12.已知函数f(x)=若a[f(a)-f(-a)]>0,则实数a的取值范围为()A.(1,+∞)B.(2,+∞)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)13.已知函数y=(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,1],则log a+log a=()A.1B.2C.3D.414.(2018百校联盟四月联考,14)已知f(x)=若f(1-a)=f(1+a)(a>0),则实数a的值为.15.已知函数f(x)=的值域是[0,+∞),则实数m的取值范围是.创新应用组16.已知f(x)=若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围为()A.[-1,2]B.[-1,0]C.[1,2]D.[0,2]17.设函数f(x)=若f=4,则实数a=()A.-B.-C.-或-D.-2或-参考答案课时规范练5 函数及其表示1.C选项A中的值域不符合,选项B中的定义域不符合,选项D不是函数的图像.由函数的定义可知选项C正确.2.C∵f(2x)=2f(x),且当1≤x<2时,f(x)=x2,∴f(3)=2f=2×=.3.D由题意,集合A={x|x2-2x≤0}=[0,2],因为x∈A,则x+2∈[2,4],所以B={y|y=log2(x+2),x∈A}=[1,2],所以A∩B=[1,2].故选D.4.D y=10lg x=x,定义域与值域均为(0,+∞).A项中,y=x的定义域和值域均为R;B项中,y=lg x的定义域为(0,+∞),值域为R;C项中,y=2x的定义域为R,值域为(0,+∞);D项中,y=的定义域与值域均为(0,+∞).故选D.5.C∵1≤f(x)≤3,∴1≤f(x+3)≤3,-3≤-f(x+3)≤-1,∴-2≤1-f(x+3)≤0.故F(x)的值域为[-2,0].6.B f(x)的定义域为(-1,0),∴-1<2x+1<0,∴-1<x<-.7.C由题意知y=ln x(x≥1)的值域为[0,+∞).故要使f(x)的值域为R,则必有y=(1-2a)x+3a为增函数,且1-2a+3a≥0,所以1-2a>0,且a≥-1,解得-1≤a<.故选C.8.A令x=1,得2f(1)-f(-1)=4,①令x=-1,得2f(-1)-f(1)=-2,②联立①②,解得f(1)=2.9.- 令x-1=m,则x=2m+2.∴f(m)=2(2m+2)+3=4m+7.∴4m+7=6,解得m=-.10.(-∞,2]∵y=e x+-a≥2-a,∴A=[2-a,+∞)⊆[0,+∞).∴2-a≥0,a≤2.11.[,4]∵函数f(2x)的定义域为[-1,1],∴-1≤x≤1,∴≤2x≤2.∴在函数y=f(log2x)中,≤log2x≤2,∴≤x≤4.12.D当a>0时,不等式a[f(a)-f(-a)]>0可化为a2+a-3a>0,解得a>2.当a<0时,不等式a[f(a)-f(-a)]>0可化为-a2-2a<0,解得a<-2.综上所述,a的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞),故选D.13.C当a>1,且x∈[0,1]时,1≤a x≤a,所以0≤a-a x≤a-1,所以a-1=1,即a=2.所以log a+log a=log2=log28=3.当0<a<1,且x∈[0,1]时, a≤a x≤1,所以a-1≤a-a x≤0,不符合题意.故原式=3.14.1∵a>0,∴1-a<1,1+a>1,由f(1-a)=f(1+a)得2-a=,即a2-2a+1=0,所以a=1.故答案为1.15.[0,1]∪[9,+∞)由题意得,函数f(x)=的值域是[0,+∞),则当m=0时,函数f(x)=的值域是[0,+∞),显然成立;当m>0时,则Δ=(m-3)2-4m≥0,解得0<m≤1或m≥9.综上可知,实数m的取值范围是[0,1]∪[9,+∞).16.D∵当x≤0时,f(x)=(x-a)2,又f(0)是f(x)的最小值,∴a≥0.当x>0时,f(x)=x++a≥2+a,当且仅当x=1时取“=”.要满足f(0)是f(x)的最小值,需2+a≥f(0)=a2,即a2-a-2≤0,解之,得-1≤a≤2,综上可知a的取值范围是[0,2].故选D.17.A∵<1,∴f=4×+a=a+,若a+>1,即a>-时,=4,即a+=2,a=->-;当a+≤1,即a≤-时,4a++a=4,即a=->-(舍去),综上a=-.故选A.。