《数字信号处理(第四版)》部分课后习题解答
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7.2 课后习题详解7-1 用冲激响应不变法将以下Ha (s )变换为H (z ),抽样周期为T 。
(1)H a (s )=(s +a )/[(s +a )2+b 2];(2)H a (s )=A/(s -s 0)n0,n 0为任意正整数。
解:(1)冲激响应不变法满足h (n )=h a (t )|t =nT =h a (nT ),T 为抽样间隔。
这种变换法必须让H a (s )先用部分分式展开。
由推出由冲激响应不变法可得(2)先引用拉氏变换的结论,可得按且可得可以递推求得7-2 设计一个模拟低通滤波器,要求其通带截止频率f p=20Hz,其通带最大衰减为R p=2dB,阻带截止频率为f st=40Hz,阻带最小衰减为A s=20dB,采用巴特沃思滤波器,画出滤波器的幅度响应。
解:巴特沃思模拟低通滤波器设计流程为:①利用教程(7-5-24)式求解滤波器阶次N;②利用教程(7-5-27a)式求解3dB截止频率Ωc;③查教程表7-2或表7-4获得归一化巴特沃思低通滤波器的系统函数H an(s);④将H an(s)根据Ωc的值去归一化求得所需的系统函数H a(s)。
已知Ωp=2π×20rad/s,Ωst=2π×40rad/s,R p=2dB,A s=20dB。
(1)按给定的参数由教程(7-5-24)式可求得取N=4。
(2)按教程(7-5-27a)式可求得巴特沃思滤波器3dB处的通带截止频率Ωc为(3)查教程表7-2可得N=4时归一化巴特沃思低通滤波器H an(s)(4)去归一化,求得所需的H a(s)为滤波器的幅度响应如图7-1所示。
图7-17-3 设计一个模拟高通滤波器,要求其阻带截止频率f st=30Hz,阻带最小衰减为A s=25dB,通带截止频率为f p=50Hz,通带最大衰减为R p=1dB。
(1)采用巴特沃思滤波器;(2)采用切比雪夫滤波器;(3)利用MATLAB工具箱函数设计椭圆函数滤波器。
数字信号处理习题(xítí)解答第1-2章:1. 判断下列(xiàliè)信号是否为周期信号,若是,确定其周期。
若不是,说明(shuōmíng)理由(1)f1(t) = sin2t + cos3t(2)f2(t) = cos2t + sinπt2、判断下列序列是否为周期(zhōuqī)信号,若是,确定其周期。
若不是(bùshi),说明理由(1)f1(k) = sin(3πk/4) + cos(0.5πk)(2)f2(k) = sin(2k)(3)若正弦序列x(n)=cos(3πn /13)是周期的, 则周期是N=3、判断下列信号是否为周期信号,若是,确定其周期; 若不是,说明理由(1)f(k) = sin(πk/4) + cos(0.5πk)(2)f2(k) = sin(3πk/4) + cos(0.5πk)解1、解β1 = π/4 rad,β2 = 0.5π rad 由于2π/ β1 = 8 N1 =8,N2 = 4,故f(k) 为周期序列,其周期为N1和N2的最小公倍数8。
(2)β1 = 3π/4 rad,β2 = 0.5π rad由于2π/ β1 = 8/3 N1 =8, N2 = 4,故f1(k) 为周期序列,其周期为N1和N2的最小公倍数8。
4、画出下列函数的波形(1).(2).解5、画出下列函数的波形x(n)=3δ(n+3)+δ(n+1)-3δ(n-1)+2δ(n-2)6. 离散线性时不变系统单位阶跃响应,则单位响应=?7、已知信号(xìnhào),则奈奎斯特取样(qǔyàng)频率为( 200 )Hz。
8、在已知信号(xìnhào)的最高频率为100Hz(即谱分析范围(fànwéi))时,为了避免频率(pínlǜ)混叠现象,采样频率最少要200 Hz:9. 若信号的最高频率为20KHz,则对该信号取样,为使频谱不混叠,最低取样频率是40KHz10、连续信号:用采样频率采样,写出所得到的信号序列x(n)表达式,求出该序列x(n) 的最小周期解:,11、连续信号:用采样频率100s f Hz = 采样,写出所得到的信号序列x(n)表达式,求出该序列x(n) 的最小周期长度。
·54· 第3章 离散傅里叶变换(DFT )及其快速算法(FFT )3.1 引 言本章是全书的重点,更是学习数字信号处理技术的重点内容。
因为DFT (FFT )在数字信号处理这门学科中起着不一般的作用,它使数字信号处理不仅可以在时域也可以在频域进行处理,使处理方法更加灵活,能完成模拟信号处理完不成的许多处理功能,并且增加了若干新颖的处理内容。
离散傅里叶变换(DFT )也是一种时域到频域的变换,能够表征信号的频域特性,和已学过的FT 和ZT 有着密切的联系,但是它有着不同于FT 和ZT 的物理概念和重要性质。
只有很好地掌握了这些概念和性质,才能正确地应用DFT (FFT ),在各种不同的信号处理中充分灵活地发挥其作用。
学习这一章重要的是会应用,尤其会使用DFT 的快速算法FFT 。
如果不会应用FFT ,那么由于DFT 的计算量太大,会使应用受到限制。
但是FFT 仅是DFT 的一种快速算法,重要的物理概念都在DFT 中,因此重要的还是要掌握DFT 的基本理论。
对于FFT 只要掌握其基本快速原理和使用方法即可。
3.2 习题与上机题解答说明:下面各题中的DFT 和IDFT 计算均可以调用MA TLAB 函数fft 和ifft 计算。
3.1 在变换区间0≤n ≤N -1内,计算以下序列的N 点DFT 。
(1) ()1x n =(2) ()()x n n δ=(3) ()(), 0<<x n n m m N δ=- (4) ()(), 0<<m x n R n m N = (5) 2j()e, 0<<m n N x n m N π=(6) 0j ()e n x n ω=(7) 2()cos , 0<<x n mn m N N π⎛⎫= ⎪⎝⎭(8)2()sin , 0<<x n mn m N N π⎛⎫= ⎪⎝⎭(9) 0()cos()x n n ω=(10) ()()N x n nR n =(11) 1,()0n x n n ⎧=⎨⎩,解:(1) X (k ) =1N kn N n W -=∑=21j0eN kn nn π--=∑=2jj1e1ekN n k nπ---- = ,00,1,2,,1N k k N =⎧⎨=-⎩(2) X (k ) =1()N knNM n W δ-=∑=10()N n n δ-=∑=1,k = 0, 1, …, N -1(3) X (k ) =100()N knNn n n W δ-=-∑=0kn NW 1()N n n n δ-=-∑=0kn NW,k = 0, 1, …, N -1为偶数为奇数·55·(4) X (k ) =1m knN n W -=∑=11kmN N W W --=j (1)sin esin k m N mk N k N π--π⎛⎫⎪⎝⎭π⎛⎫ ⎪⎝⎭,k = 0, 1, …, N -1 (5) X (k ) =21j 0e N mn kn N N n W π-=∑=21j ()0e N m k nNn π--=∑=2j()2j()1e1em k N N m k Nπ--π----= ,0,,0≤≤1N k mk m k N =⎧⎨≠-⎩(6) X (k ) =01j 0eN nknN n W ω-=∑=021j 0e N k nN n ωπ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=∑=002j 2j 1e1ek NN k N ωωπ⎛⎫- ⎪⎝⎭π⎛⎫- ⎪⎝⎭--= 0210j 202sin 2e2sin /2N k N N k N k N ωωωπ-⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤π⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤π⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,k = 0, 1, …, N -1或 X (k ) =00j 2j 1e 1e Nk N ωωπ⎛⎫- ⎪⎝⎭--,k = 0, 1, …, N -1(7) X (k ) =102cos N kn N n mn W N -=π⎛⎫ ⎪⎝⎭∑=2221j j j 01e e e 2N mn mn kn N N N n πππ---=⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭∑=21j ()01e 2N m k n N n π--=∑+21j ()01e 2N m k n N n π--+=∑=22j ()j ()22j ()j ()11e 1e 21e 1e m k N m k N N N m k m k N N ππ--+ππ--+⎡⎤--⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦=,,20,,N k m k N mk m k N M ⎧==-⎪⎨⎪≠≠-⎩,0≤≤1k N - (8) ()22j j 21()sin ee 2j mn mnN N x n mn N ππ-π⎛⎫== ⎪-⎝⎭ ()()112222j j j ()j ()0011()=e e ee 2j 2j j ,2=j ,20,(0≤≤1)N N kn mn mn m k n m k n N N N N N n n X k W Nk m N k N mk k N --ππππ---+===--⎧-=⎪⎪⎨=-⎪⎪-⎪⎩∑∑其他(9) 解法① 直接计算χ(n ) =cos(0n ω)R N (n ) =00j j 1[e e ]2n n ωω-+R N (n )X (k ) =1()N knNn n W χ-=∑=0021j j j 01[e e ]e 2N kn n n N n ωωπ---=+∑=0000j j 22j j 11e 1e 21e 1e N N k k N N ωωωω-ππ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤--⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦,k = 0, 1, … , N -1 解法② 由DFT 共轭对称性可得同样的结果。
第3章 离散时间信号与系统时域分析3.1画出下列序列的波形(2)1()0.5(1)n x n u n -=- n=0:8; x=(1/2).^n;n1=n+1; stem(n1,x);axis([-2,9,-0.5,3]); ylabel('x(n)'); xlabel('n');(3) ()0.5()nx n u n =-()n=0:8; x=(-1/2).^n;stem(n,x);axis([-2,9,-0.5,3]); ylabel('x(n)'); xlabel('n');3.8 已知1,020,36(),2,780,..n n x n n other n≤≤⎧⎪≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎪⎩,14()0..n n h n other n≤≤⎧=⎨⎩,求卷积()()*()y n x n h n =并用Matlab 检查结果。
解:竖式乘法计算线性卷积: 1 1 1 0 0 0 0 2 2)01 2 3 4)14 4 4 0 0 0 0 8 83 3 3 0 0 0 0 6 62 2 2 0 0 0 0 4 41 1 1 0 0 0 02 21 3 6 9 7 4 02 6 10 14 8)1x (n )nx (n )nMatlab 程序:x1=[1 1 1 0 0 0 0 2 2]; n1=0:8; x2=[1 2 3 4]; n2=1:4; n0=n1(1)+n2(1);N=length(n1)+length(n2)-1; n=n0:n0+N-1; x=conv(x1,x2); stem(n,x);ylabel('x(n)=x1(n)*x2(n)');xlabel('n'); 结果:x = 1 3 6 9 7 4 0 2 6 10 14 83.12 (1) 37πx (n )=5sin(n) 解:2214337w πππ==,所以N=14 (2) 326n ππ-x (n )=sin()-sin(n)解:22211213322212,2122612T N w T N w N ππππππ=========,所以(6) 3228n π-x (n )=5sin()-cos(n) 解:22161116313822222()T N w T w x n ππππππ=======,为无理数,所以不是周期序列所以不是周期序列3.20 已知差分方程2()3(1)(2)2()y n y n y n x n --+-=,()4()nx n u n -=,(1)4y -=,(2)10,y -=用Mtalab 编程求系统的完全响应和零状态响应,并画出图形。