华东理工大学线性代数册答案届版

【关键字】基础《2006线性代数》试卷A一、填空题（每小题4分，共20分）。

0．已知正交矩阵P使得，则1．设A为n阶方阵，是的个特征根，则det( )=2．设A是矩阵，是维列向量，则方程组有无数多个解的充分必要条件是：rank(A)=rank(A,B)<n 3．若向量组α=（0，4，2），β=（2，3，1），γ=（t，2，3）的秩为2，则t=-84．，则的全部根为：1、2、-3二、选择题（每小题4分，共20分）1．行列式的值为（ c ）。

DA，1，B，-1C，D，2．对矩阵施行一次行变换相当于（ A ）。

A，左乘一个m阶初等矩阵，B，右乘一个m阶初等矩阵C，左乘一个n阶初等矩阵，D，右乘一个n阶初等矩阵3．若A为m×n 矩阵，，。

则（ C ）。

DA，是维向量空间，B，是维向量空间C，是m-r维向量空间，D，是n-r维向量空间4．若n阶方阵A满足，=0，则以下命题哪一个成立（A ）。

DA，，B，C，，D，5．若A是n阶正交矩阵，则以下命题那一个不成立（ D ）。

A，矩阵AT为正交矩阵，B，矩阵为正交矩阵C，矩阵A的行列式是1，D，矩阵A的特征根是1三、解下列各题（每小题6分，共30分）1．若A为3阶正交矩阵，为A的伴随矩阵，求det ()2．计算行列式。

(a+3)(a-1)^33．设，求矩阵B。

4、求向量组的一个最大无关组。

5、求向量=（1，2，1）在基下的坐标。

四、（12分）求方程组的通解（用根底解系与特解表示）。

六、证明题（6分）设，是线性方程组对应的齐次线性方程组一个根底解系，是线性方程组的一个解，求证线性无关。

《2006年线性代数A》参考答案一填空题(1)2-22006(2)λ12···λn2(3)r(A)=r(A,B)< n(4) t=-8 (5) 1,2,-3二 选择题(1) D (2) A (3) D (4) D (5) D 三 解答题(1) A·A* =|A|·E, |A|·|A*|=|A3| |A*|=|A|2=|A·A’|=|A·A -1|=1 (2)(3)由AB=A-B ，有， （4） 而故{，，}为一个极大无关组（5）6、求向量ω=（1，2，1）在基)1,1,1(),1,1,0(),1,1,1(-===γβα下的坐标。

《线性代数》课后习题答案第一章行列式习题1.11. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。

因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。

任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(21212121221121212211212122 11b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。

因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221 121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。

如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。

又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。

综上所述，我们有)3(Q 是数域。

（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。

（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。

（反证法）如果)()(q Qp Q ?，则q b a p Q b a +=?∈?,，从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。

由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。

所以有0=a 或0=b 。

华东理工大学线性代数 作业簿（第二册）学 院____________专 业____________班 级____________学 号____________姓 名____________任课教师____________1.4 矩阵的分块1．设002000030400100A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1_____________________________________A -=. 解： 1211112001100041000210003A A A A A A ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⇒==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦.2. 已知分块矩阵111221W W W W O ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则TW =( ).(A) 112112W W W O ⎛⎫ ⎪⎝⎭； (B) 121121W O W W ⎛⎫ ⎪⎝⎭；(C) 111221TT TW W W O ⎛⎫⎪⎝⎭； (D) 112112T T T W W W O ⎛⎫⎪⎝⎭.解：D .3. (1) 设10a A a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求nA ；(2)设2100020000310003C ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求n C . 解：(1) 10100aA aI a ⎡⎤⎡⎤==+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，而 2010101,000000B B O ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以110()nn nni in inn nni a n a A C B aI a I n a B a ---=⎡⎤⋅==+⋅=⎢⎥⎣⎦∑， (2)将C 分块得：12C C C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中122131,,0203C C ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 于是由(1)得11122200020003303n n n nn n n n n n CC C n --⎡⎤⋅⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⋅⎣⎦⎢⎥⎣⎦.4. 求满足2AX X I A -+=的矩阵X ，其中101020101A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 解：由原式，整理得))(()(2I A I A I A X I A +-=-=-，而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-001010100I A 可逆，故由上式可得201030.102X A I ⎡⎤⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦5. 设n 阶矩阵A ，B 满足A B AB +=.(1) 证明A I -可逆，且AB BA =；(2) 若已知130210002B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求矩阵A . 解：（1）由,AB B A =+移项得O B A AB =--，即I I B A AB =+--，亦即,))((I I B I A =--从而得到I A -可逆；且由上式可得I I A I B =--))((，展开得,O B A BA =--即B A BA +=，结合条件知BA AB =.（2）由（1）知1)(--=-I B I A ，即,)(1I I B A +-=-而,1000031021010*******)(11⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=---I B 故⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=20001310211A . 6. 设()ij A a =是一个m n ⨯矩阵，(1)计算,,i j i j e A Ae e Ae T T，其中i e 为m 阶单位矩阵的第i 列，j e 为n 阶单位矩阵的第j 列；(2)试证：对任一m 维列向量,0x x A A O T =⇔=；(3)试证：对任一m 维列向量x 和任一n 维列向量y ，0x A y A O T =⇔=. 解：（1）[]1212,,,,,,,,Ti i i in j j j mj i j ij e A a a a Ae a a a e Ae a TT⎡⎤===⎣⎦(2)“⇐”显然；“⇒” 由向量x 的任意性，取(1,2,...,i x e i m ==且i e 为m 阶单位矩阵的第i 列），则由(1)得[]12,,...,0i i i im e A a a a ==T ，即A 的第i 行为零向量，取遍1,2,...,i m = 知A 的每一行均为零向量，即O A =. (3) “⇐”显然；“⇒” 由x 与y 的任意性，取,i j x e y e ==i e n j m i ;,...2,1,,...2,1(==与j e 分别为n m ,阶单位阵的第j i ,列），则由(1)得0==T ij j i a Ae e ，即A 的每一个元素都为零，亦即O A =. 7．设n 阶矩阵[]ij A a =，n 维向量T [1,1,,1]=α，(1)计算A α； (2)若A 可逆，其每一行元素之和都等于常数c ，试证：1A -的每一行元素之和也都相等，且等于1c .解：（1）设i e 为n 阶单位矩阵的第i 列，则有T 12[1,1,,1]n e e e ==+++α又设i α为A 的第i 列，则有A α＝112112121n k k n kk n n n nkk a a Ae Ae Ae a ===⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++=+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑∑ααα(2)由题设及(1)的结论可得：11A c A c-=⇒=αααα，即1A -的每一行元素之和都等于1c.1.5初等变换与初等矩阵1. 用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵.（1）1234⎡⎤⎢⎥-⎣⎦；（2）1122401611-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦. 解：（1）构造分块矩阵12103401⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，并对其进行初等行变换2121()(3)1010121012101231340101031011010r r ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦21(2)4210101001311010r -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即得112421;343110--⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ （2）11122102401213611418--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦.2. 已知211123120204212015A B --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，,且有XA X B =+，求X . 解：1()()XA X B X A I B X B A I -=+⇒-=⇒=-111100111100[]110010~021110211001031201111100100121111~010~010111222001132113001222A I I --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥--⎣⎦1123121295()2041112860151324149X B A I ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥∴=-=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 3.已知123001100456,010,001789100010A P Q ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则100101___________________________P AQ =.解： 132465798⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 4. 设111213212223212223111213313233311132123313,a a a a a a A a a a B a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦， 12010100100,010001101P P ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则有（ ）. (A ) 12APP B =；(B ) 21AP P B =；(C ) 12PP A B =；(D ) 21P PA B =. 解：C .5. 解矩阵方程：010100143100001201001010120X -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 解：X 左右的两个矩阵均为初等矩阵，故而可逆且其逆也是初等矩阵，于是有11010143100100201001001120010X ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦= 010143100100201001001120010-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦=210134102-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.6. 已知1231021001010,001,20010101P P P ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，求1123()PP P -.解：1111123321110210010211()00101000.220100011010PP P P P P -----⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦7. 设矩阵A 可逆，且A~ijr B . 试证：（1）矩阵B 可逆；（2）求1AB -；（3）试证1A -交换i 、j 列后可得矩阵1B -.解：（1）依题意，有ij B R A =，其中ij R 为对应于初等变换ij r 的行初等矩阵，则由ij R 及A 均可逆知B 必可逆.（2）由（1），得11111()ij ij ij B R A A R A R -----===,故而11()ij ij AB A A R R --==.（3）由（1），得11ij B A R --=，而ij ij R C =，故11ij A C B --=，即11ijc A B --.。

第二章 行列式一、习题解答2．1（1）解：逆序数(4132)4τ= （2）解：(36195)4τ= （3）解：(3)(2)(21(1)...3)12n n n n τ---=+2．2解：根据行列式的定义，每个乘积均由来自不同行不同列的元素组成，当来自不同行不同列的元素的行标为自然排列时，其列标的逆序数决定了该乘积项的符号，根据观察，出现4x 的只有主对角线上的四个元素的相乘项11223344a a a a ，该项为(1234)(1)236x x x x x τ-⋅⋅⋅⋅=，故4x 的系数为6，而可以出现3x 的乘积项有两项，它们是1221334414223341,,a a a a a a a a 即分别为3)4231(3)1234(33)1(,331)1(x x x x x x x x -=⋅⋅⋅⋅--=⋅⋅⋅⋅-ττ两项相加，即知3x 的系数为6-。

2．3（1）解：将行列式的2，3，4列全加到第一列后，再提公因子，得原式=121314(1)(1)(1)3111111111113011101101003331(1)(1)(1)3310111010010311011100001r r r ----===⋅⋅-⋅-⋅-=--- （2）解：原式=5514000100200275(1)51(1)036036941011410115++⋅-=⋅⋅--=130352(1)10(01043)120410+-⋅⋅-=-⋅⋅-⋅=（3）解：原式=1213142112312311(1)359(1)(1)3293(1)32581752418252212215+++⋅-+-⋅-+⋅-=--=-----（4）解：原式=342312222222222222(1)22222222(1)(1)222222221234213243543243546543546576r r r -------=--------=14916149163579357905791122227911132222==（5）解：原式=12312312456133310025789333=⋅=⋅= 2．4（1）解：原式=2()12()2()12()1x y yx y yx y x y x yxx y x yx x y xyxy+++++=+++=12()02()10yx yx yx y xy x y x y xx yx+-+-=+⋅⋅----=22332()()2()x y x xy y x y ⎡⎤+--+=-+⎣⎦（2）解：原式=1411(1)0a b cb ac b a cb ac b a cc a a b b c c a a b b c b c ab c a+------=⋅------- =1()11ab c a b cbcc aa b b c c a b a b c a b bc a b c a c a -------==++ =21()0()()()()0bca b c a b b c a b c a b a c b c c b a c⎡⎤++--=++--+-⎣⎦--=3333a b c abc ++-（3）解：原式2143(1)(1)0011001111111100001111111111r r x x x xxyy y y y----==--= 22111111111100110000110011y x y x xy yx xy=--=--2．5（1）证：将左端行列式的底2，3列加到第一列，则第一列元素全为零，由行列式性质， 得证。

we 华东理工大学线性代数 作业簿（第一册）学 院____________专 业____________班 级____________学 号____________姓 名____________任课教师____________1.1 矩阵的概念1. 矩阵[]232ij A a i j ⨯⎡⎤==-=⎣⎦_____________________.解：101321A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 2．设1000100300520100230030040010041003A B C D ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,,,,其中对角阵为_________，三角阵有____________.解：对角阵为D ；三角阵有A ，C ，D .1.2矩阵的运算1. 已知31121123202311X O ---⎡⎤⎡⎤-+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，求矩阵X . 解：依题意，由622211*************X ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即得4113115333X ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦.2. 如果矩阵m n A ⨯与t s B ⨯满足AB BA =，试求,,,m n t s 之间的关系. 解：m n t s ===.3. 填空：(1) 431712325701⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦__________； (2) []112323,,__________⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (3) []12123,__________⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (4) 13121400121134131402__________⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥-⎣⎦. 解： (1) 35649⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；(2) 14；(3)122436-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；(4) 6782056-⎡⎤⎢⎥--⎣⎦.4. 已知矩阵010001000A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，试求与A 可交换的所有矩阵. 解：由可交换矩阵的定义，知道所求矩阵必为3阶方阵，不妨设其为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=i hgf e dc baB ，于是有 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=i hg f ed c b aAB 000100010=000def g h i ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=h g e d b a i h gf e dc b a BA 000000100010， 由BA AB =，即得=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00i h gf ed⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡h g e d b a 000， 由相应元素相等，则得,,,0f b i e a h g d ======故c b a a b a c b a B ,,(000⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=均为任意常数）为与A 可交换的所有矩阵.5. 计算下列各题：(1) []111213112321222323132333,,a a a x x x x a a a x a a a x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦； 解：原式等于：222111222333122112133113233223()()()a x a x a x a a x x a a x x a a x x ++++++++(2) 13223122A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求2008A ； 解：记⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=21232321A ，则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=212323212A ， 31001A I -⎡⎤==-⎢⎥-⎣⎦，200836691=⨯+ 20082007131313222222313131222222⎡⎤⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦66913223122I A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦(). (3) 21121,,233A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，求9A . 解：89822132211112212122562123233333312,,,,A A ⎡⎤⎢⎥⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎪⎪⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--==---⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦.6. 利用等式176232073,3512570352732310,525701--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦计算51763512-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦. 解：51763512-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦5232073570352-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦3197126673852922-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.7. 某公司为了技术革新，计划对职工实行分批脱产轮训，已知该公司现有2000人正在脱产轮训，而不脱产职工有8000人，若每年从不脱产职工中抽调30%的人脱产轮训，同时又有60%脱产轮训职工结业回到生产岗位，设职工总数不变，令0.70.68,0.30.42000A X ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦试用A 与X 通过矩阵运算表示一年后和两年后的职工状况，并据此计算届时不脱产职工与脱产职工各有多少人.解：一年后职工状况为：68003200AX ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦不脱产职工6800人，轮训职工3200人.两年后职工状况为：26800668032003320A A X ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦不脱产职工6680人，轮训职工3320人.8. 设矩阵2142A ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，3162B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， 求:(1);T T T T A B B A - 22(2).A B -解：24363624(1)12121212T T T T A B B A ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦10200010251000510--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦； 2221213131(2)42426262A B --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦01551550030103010--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦.9. 设A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，则（ ）是反对称矩阵. （A ）AB BA -; （B ）AB BA +; （C ）2()AB ; （D ）BAB . 解：B .10．试将矩阵121301223A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦表示成对称矩阵与反对称矩阵之和. 解：5311102222115311()()002222223311302222T T A A A A A ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++-=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 11. 设A 是反对称矩阵，B 是对称矩阵，试证：AB 是反对称矩阵的充分必要条件为AB BA =. 证：必要性:由AB AB Τ-=)(及BA A B A B AB ΤΤΤ-=-==)()(即得BA AB =. 充分性: 若BA AB =，则AB BA A B A B AB ΤΤΤ-=-=-==)()(，知AB 是反对称阵.12. 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++ ，记()f A 为方阵A 的多项式，即1110()m m m m f A a A a A a A a I --=++++（1） 设1200λΛλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，证明12()0()0()f f f λΛλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； （2） 设1A P P Λ-=，证明1()()f A Pf P Λ-=.解：（1）1200kk k λΛλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1111110122201000()00100mm m m m m f a a a a λλλΛλλλ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴=++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦111111012121201200()00()m m m m m m m m a a a a a a a a f f λλλλλλλλ----⎡⎤++++=⎢⎥++++⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ （2）11k k A P P A P P ΛΛ--=⇒=111111110()()m m m m f A f P P a P P a P P a P P a PP ΛΛΛΛ-------∴==++++ 1()Pf P Λ-=13．设矩阵2TT A I αααα=-，其中I 为n 阶单位阵，α为n 维列向量，试证A 为对称矩阵，且2A I =.证：2(2)2()()2T T T TT T T T TT T T T A I I I I Aαααααααααααααααα=-=-=-=-=故A 是对称矩阵，且22()(2)(2)44()T T T T TT T T T A I I I I αααααααααααααααααα=--=-+=.1.3逆矩阵1. 设A 为n 阶矩阵，且满足2A A =，则下列命题中正确的是（ ）. （A ）A O =； （B ）A I =；（C ）若A 不可逆，则A O =； （D ）若A 可逆，则A I =. 解：D.2. 设n 阶矩阵C B A 、、满足ABAC I =，则必有（ ）.（A ）2CA B I =； （B ）T T T TA B A C I =； （C ）2BA C I =； （D ）2222A B A C I =.解：B.3．已知矩阵1111111111111111A ---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥---⎣⎦，求n A 及1A -（n 是正整数）. 证：由I A 42=，即可得⎪⎩⎪⎨⎧=====---为奇数为偶数n A A I A A n I I A A n n n n nn n,2)4(,2)4()(1211222 及I A A =⋅）（41，亦即A A 411=-.4. 已知n 阶矩阵A 满足223A A I O +-=， 求: 11,(2),A A I --+ 1(4)A I -+.解：依题意，有I I A A 32=+）（，即23A I A I +=（），故 A I A I A A 31223111=++=--））；（（，再由已知凑出I I A I A 5)2)(4(-=-+，即得)2(51)4(1I A I A --=+-.5. 设A B AB I -、、为同阶可逆阵，试证：(1) 1A B --可逆； (2) ()111A BA -----也可逆，且有()1111A B A ABA A ----⎡⎤--=-⎢⎥⎣⎦. 证：(1) 11111()A B ABB B AB I B A B ------=-=-⇒-可逆.(2) 证法一：()()()()()()()1111111111111111()A B A A BA B A B AA BI I B A AB A B ABA A ------------------=----⎡⎤=--+=-⎣⎦=- ()111A B A ---⇒--可逆，且()1111A B A ABA A ----⎡⎤--=-⎢⎥⎣⎦. 证法二：由（1）得()111()A BB AB I ----=-，因此()1111111()()()()()()A B A ABA A B AB I A ABA A B AB I AB I A A A BA I BA BA I I-------⎡⎤⎡⎤---=---⎣⎦⎢⎥⎣⎦=----=-+= ()111A B A ---⇒--可逆，且()1111A B A ABA A ----⎡⎤--=-⎢⎥⎣⎦.。

华东理工大学线性代数 作业簿（第八册）学 院____________专 业____________班 级____________学 号____________姓 名____________任课教师____________6.1 二次型及其标准型1. 填空题(1)设三阶矩阵A 的行列式为0,且有两个特征值为1，1-，矩阵A 与B 合同,B 与C 合同,则矩阵C 是_____阶矩阵,其秩_____)(=C r .解：三，2.(2) 设n 阶矩阵A 与正交阵B 合同，则_____)(=A r . 解：n . 因B 为正交阵，故B 可逆.A 与B 合同即存在可逆矩阵C ，使得B AC C =T ，故)()(B r A r ==n .(3)二次型211221)(),,,(∑∑==-=⋅⋅⋅ni i ni i n x x n x x x f , 则此二次型的矩阵=A , 二次型的秩为______, 二次型的正交变换标准型为________________.解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------1 (11)...1...111...11n n n ，1-n ，222121,n ny ny ny -++⋅⋅⋅+ 提示：二次型的秩就是二次型的矩阵的秩，也是其标准型中非零项的个数（注：标准型不唯一）. 因此求二次型的秩有两种方法：1) 直接求二次型的矩阵A 的秩，2）先求A 的特征值，A 有几个非零特征值（重根按重数计算），二次型的秩就是几.(4) 二次型,)(T Ax x x f = 其中A A ≠T ，则二次型的矩阵为_____ ____.解：)(21T A A +. 提示：A 不是二次型的矩阵，因A 不是对称阵。

注意到Ax x x f T )(=的值是一个数，即)()(T x f x f =，故有x A A x x f x f x f )(21)]()([21)(T T +=+=. 而)(21T A A +为对称阵.(5) 设n 元(n >2)实二次型()T f x x Ax = )(T A A =其中的正交变换标准型为22212y y -，则=A ______，矩阵A 的迹为 _____.解：0, 1-. 提示：A 的特征值为11,λ=22,λ=-30n λλ=⋅⋅⋅==，根据A A tr ni ini i ==∏∑==11),(λλ 易得.(6) 如果二次型2221231231213(,,)5526f x x x x x cx x x x x =++-+ 236x x - 的秩为2，则参数c = _____，1),,(321=x x x f 表示的曲面为__________.解：3, 椭圆柱面. 提示：二次型的矩阵33⨯A 的秩为2，故0||=A ，由此可求得c = 3. 再求出A 的特征值为9,4,0321===λλλ，即标准型为232294y y f +=，由此知1),,(321=x x x f 为椭圆柱面.2. 已知二次型322322213212332),,(x ax x x x x x x f +++=（0a >） 通过正交变换化成标准型23222152y y y f ++=，求a 的值及所用的正交变换矩阵Q .解：二次型的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3030002a a A ，)9(22a A -=，由123A λλλ=即10)9(22=-a 得 2=a .A 有三个不同的特征值1,2,5,故对应这三个特征值的特征向量线性无关。