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向量与三角函数的综合平面向量与三角函数的综合姓名： 班级：一、学习目标掌握三角函数与向量平行、垂直、数量积的综合应用二、相关知识三角函数的性质、正余弦定理、三角形面积公式三、课前检测（一）三角函数相关知识1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝ cos(α＋β)＝sin(α－β)＝ sin(α＋β)＝ tan(α－β)＝ tan(α＋β)＝2．二倍角公式sin 2α＝ ；cos 2α＝ ＝ ＝ ； tan 2α＝3．公式的变形（1）sin αcos α＝ ，（2）cos 2α＝ ，sin 2α＝ ；4．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝ ，其中tan φ＝（二）向量相关知识已知向量1122(,),(,)a x y b x y ==1.若a b ，则2.若a b ⊥，则3. a b =4. a =四、教学过程问题一：三角函数与平面向量平行的综合例1：已知向量(3sin ,cos )a x x =，(3,1)b =，若//a b ，求sin cos x x 值.变式：已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量→q ＝(sinA －cosA ，1＋sinA)是共线向量，求角A.问题二：三角函数与平面向量垂直的综合例2：已知向量(3sin ,cos ),(2sin ,5sin 4cos )a b ααααα==-，3(,2)2παπ∈，且a b ⊥．（1）求tan α的值；（2）求cos()23απ+的值．问题三：三角函数与平面向量数量积的综合例3：已知向量1(sin ,1),,)2a x b x →→=-=-，函数()()2f x a b a →→→=+-,求: (1)函数()f x 的最小正周期T ；(2)已知a 、b 、c 分别是ABC ∆的三条边，其中A 为锐角，4,a c ==且()1f A =，求,A b 和ABC ∆的面积S .变式：设函数()f x a b =，其中向量(,cos ),(1sin ,1)a m x b x ==+，x R ∈，且()22f π=（1）求实数m 的值；（2）求函数()f x 的最小值.六、目标检测1、ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边长分别是,,a b c ，设向量(,sin ),(3,sin sin )m a b C n a c B A =+=+-，若m n ，则角B 的大小为________．2、设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈，函数()()f x a a b =⋅+.求函数()f x 的最小正周期和最值对应的x 的取值．3、已知向量(sin ,1),(1,cos ),22a b ππθθθ==-<<．若a b ⊥，求θ．七、作业布置1．已知a ＝(cos40︒，sin40︒)，→b ＝(cos20︒，sin20︒)，则a b ＝（ ）A ．1B ．32C ．12D ．222．将函数2sin 22y x π=-的图象按向量(π2，π2)平移后得到图象对应的解析式 A ．2cos2xB ．－2cos2xC ．2sin2xD ．－2sin2x 3．已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b →，若a ·b →＜0，则△ABC 是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．任意三角形4．设a ＝(32,sin α)，→b ＝(cos α,13)，且a ∥→b ，则锐角α为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒ 6．在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a b c 、、，已知向量→m ＝(1，2sinA)，→n ＝(sinA ，1＋cosA)，满足→m ∥→n ，b ＋c ＝3a(1)求A 的大小；(2)求sin(B ＋π6)的值．7．△ABC的角A、B、C的对边分别为a b c、、，→m＝(2b－c，a)，→n＝(cosA，－cosC)，且→m⊥→n．(1)求角A的大小；(2)当y＝2sin2B＋sin(2B＋π6)取最大值时，求角B的大小.8．已知a＝(cos x＋sin x，sin x)，→b＝(cos x－sin x，2cos x)，（1）求证：向量a与向量→b不可能平行；（2）若()f x＝a·→b，且x∈[－π4,π4]时，求函数()f x的最大值及最小值．9．设函数()()f x a b c=⋅+，其中向量(sin,cos),(sin,3cos)a x xb x x=-=-，(cos,sin),c x x x R=-∈．（1）求函数()x f的最大值和最小正周期；（2）将函数()x fy=的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d．。
高中数学的归纳三角函数与向量的综合应用在高中数学学科中，归纳是一种重要的思维方法，它帮助我们总结和推广已有的数学知识，使之更加系统和全面。
而三角函数和向量是数学中的重要工具和概念，在解决实际问题时发挥着重要的作用。
本文将探讨高中数学中归纳、三角函数与向量的综合应用。
1. 归纳推理在三角函数中的应用三角函数是描述角度和长度关系的数学工具，常见的三角函数包括正弦、余弦和正切。
在归纳推理中，我们可以通过观察、总结和推广已有的数学关系，来求解一些特殊情况下的三角函数值。
以正弦函数为例，我们知道在单位圆上，正弦值是以角度为自变量的函数。
通过观察正弦函数的图像和数值表，我们可以总结出正弦函数的周期性特征和取值范围。
进一步地，我们可以利用这些结论来解决三角函数相关的问题。
2. 向量与三角函数的综合应用在物理学、几何学等领域，向量是一种非常基础且重要的概念。
向量具有大小和方向两个属性，可以用来表示物体的位移、速度、加速度等物理量。
在解决实际问题时，我们常常需要使用向量来分析和求解。
与三角函数的综合应用相结合，向量可以帮助我们解决一些复杂的几何问题。
例如，在平面几何中，我们可以利用向量和三角函数来求解两条直线的夹角、判断线段是否相交等问题。
在物理学中，我们可以通过向量和三角函数来分析物体的受力情况、解决平衡条件等问题。
3. 综合应用的例题分析下面我们通过一个例题来进一步探讨归纳、三角函数和向量的综合应用。
例题：一架飞机从A点出发，向北飞行80km到达B点，然后改变航向向东飞行150km，到达C点。
求飞机从A点到达C点的位移和距离。
解析：首先我们可以将该问题转化为向量问题。
设A点为原点O(0, 0)，则B点的位置向量为\(\vec{OB}\) = 80\(\vec{i}\)，其中\(\vec{i}\)为x轴的单位向量。
同理，C点的位置向量为\(\vec{OC}\) = 80\(\vec{i}\) + 150\(\vec{j}\)，其中\(\vec{j}\)为y轴的单位向量。
高中数学：三角函数与平面向量综合问题—6种类型全面解析
名师寄语
本讲要点小结与建议：
三角函数和平面向量的综合问题是近几年数学高考的一个新的视角．求解这类问题，既要求我们具有娴熟的三角函数的恒等变换技能，又要求我们熟练地进行平面向量的四种运算，特别是数乘运算和数量积运算．因此，在高三复习中，我们应当选择典型的综合性问题进行求解训练，提高我们处理这类综合问题的能力．
二、三角函数与平面向量综合问题—6种类型
题型一：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值
题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题
题型三：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算
题型四：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算
题型五：结合向量平移问题，考查三角函数解析式的求法
题型六：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题
【跟踪训练】
【参考答案】。
向量和三角函数的基本概念与应用一、 向量的基本概念：1、 向量、平行向量（共线向量）、零向量、单位向量、相等向量：2、 向量的表示：→AB 、→a 、区别于|→AB|、|→a |3、 向量的加法、减法：平行四边形法则和三角形法则★ 例题1、一艘船从A 点出发以2 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的速为2km/h ；求船实际航行的速度大小和方向。
（答案：4km/h ，方向与水流方向成60°角）★【※题2】①设O 为平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足→OP=→OA+λ(→AB+→AC),λ∈[0,+∞),则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( D )A 外心B 垂心C 内心D 重心 ②将上题中的条件改为→OP=→OA+λ( →AB |→AB| + →AC|→AC|)则应选( C )★ 例题3：（1）、化简下列各式：①→MN+→NM ；②→FD+→DE-→EF ；③→AB+→BC+→CA ；④（→AB-→DC ）+（→DA-→CB ）其中结果为0的有①③④（ 2）、在平行四边形ABCD 中，→AB=→a ,DB=→b ,则有:→AD=→a -→b ,→AC=→a +→a -→b4、 实数与向量的积、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示：① 注意点的坐标和向量的坐标的差别：②向量的平等行和垂直坐标公式：5、向量的数量积的概念，以及向量平行、垂直、长度、夹角：★例1、已知平行四边形OADB 中，→OA=→a ,→OB=→b ,AB 与OD 相交于点C ，且|BM|=13|BC|，|CN|=13|CD|，用→a 、→b 表示→OM 、→ON 、和→MN 。
★ 例2、求证；G 为△ABC 的重心的充要条件是：→GA+→GB+→GC=0★例3、已知AD 、BE 分别是△ABC 的边BC 、AC 上的中线，→AD=→a ,→BE=→b ，则→BC=____★ 例4、①已知等差数列｛a n ｝的前n 项之和为S n ,若M,N,,P 三点共线，O 为坐标原点，且→ON=a 31→OM+a 2→OP(直线MP 不过点O ），则S 32等于多少？②（2006年江西高考）已知等差数列｛a n ｝的前n 项之和为S n ,若→OB=a 1→OA+a 200→OC,且=A,B,C 三点共线（该直线不过点O ），则S 200等于（ ）A 100B 101C 200D 201★例5、①若→a 的起点和终点坐标分别为（1，3），（4，7），则|→a |=_____② 已知→a =(1,2),→b =(x,1),且→a +2→b 与2→a -→b 平行，则x 之值为____③ 已知→a =(3,4),→a ⊥→b ,且→b 的起点坐标为(1,2)，终点坐标为 (x,3x)，则→b 等于_____ ④ 已知点M （3，-2），N （-5，-1），且→MP=12→MN ，则点P 的坐标是____（答案：（-1，-32）巩固练习：（一）平面向量的坐标运算规律：①设→a =(x 1,y 1),→b =(x 2,y 2),则→a +→b =_________；→a -→b =__________,λ→a =______；②|→a |=→a 2 =x 12+y 12；又→a ²→b =|→a |²|→b |²cos<→a ,→b >=x 1x 2+y 1y 2则cos<→a ,→b >= →a ²→b |→a ||→b = x 1x 2+y 1y 2 x 12+y 12 ²x 22+y 22 ; ③若→a ∥→b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0; 若→a ⊥→b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0，★例1、 ① 已知→a =(3,5) → b=(2,3),→c =(1,-2),求（→a ²→b )²→c （答案：（21，-42））②已知→a =(3,-1),→b =(-1,2),则-3→a -2→b 的坐标为_____(答案:(-7,-1)) ③已知|→a |=4,|→b |=3,(2→a -3→b )²(2→a +→b )=61,求→a 与→b 的夹角.(为120°) ④已知|→a |=2,|→b |=9, →a ²→b =-542,求→a 与→b 的夹角.(为135°)★ 例2、①已知→a =(1,2),→b =(x,1)且→a +2→b 与2→a -→b 平行，则x=_____(答案:21)②已知|→a |=2,|→b |=1, →a 与→b 的夹角为3π,求向量2→a +3→b 与3→a -→b 的夹角的余弦值.(答案:2837 ²31 )；③已知向量→a =(cos α,sin α),→b =(cos β,sin β),且→a ≠±→b ,则→a +→b 与→a -→b 的夹角大小是____(90°)④已知向量→a 与→b 的夹角为120°,且|→a |=3,|→a +→b |=13 ,则|→b |=_____★例3已知→a =(1,2),→b =(-3,2),当k 为何值时,①k →a +→b 与→a -3→b 垂直?②k →a +→b 与→a -3→b 平行,平行时它们是同向还是反向?（解:①k=19; ②k=-1/3,反向.）★例4:①若向量→a +3→b 垂直于向量7→a -5→b ,且向量→a -4→b 垂直于向量7→a -2→b ,求向量→a 与→b 的夹角大小.(答案:60°)②已知向量→a =(2,7),→b =(x,-3),当→a 与→b 的夹角为钝角时，求出x 的取值范围；若→a 与→b 的夹角为锐角时，问x 的取值范围又为多少？（答案：为钝角时x<212≠-67; 为锐角时x>212)★例5、已知→a =(cos x 2,sin x 2),→b =(sin 3x 2,cos 3x2),x ∈[0,2π]，①求→a ²→b ；②求|→a +→b |，③设函数ƒ（x)=→a ²→b+2|→a +→b |，求出ƒ(x ）的最大值和最小值。
三角函数平面向量及解三角形的综合运用运用三角函数、平面向量和解三角形的综合运用时，常涉及到问题的空间几何解析、力学问题、电磁场问题等等。
本文将从求解平面三角形、力学问题和电磁场问题三个方面进行综合运用的详细说明。
1.求解平面三角形在平面三角形的解析中，我们经常会使用到三角函数的性质。
例如，已知三角形的两边和一个角，可以通过余弦定理求解出第三边的长。
另外，已知三个角或三个边中的一对和对应的一个角，我们可以利用正弦定理求解出其他的边和角。
举例说明：假设有一个平面三角形ABC，其中已知AB=3，AC=4，∠BAC=60°。
求解BC的长度和∠ABC、∠ACB的大小。
首先，我们可以利用余弦定理计算出BC的长度：BC² = AB² + AC² - 2·AB·AC·cos(∠BAC)BC² = 3² + 4² - 2·3·4·cos(60°)BC²=9+16-24·0.5BC²=25-12=13BC=√13接下来，利用正弦定理求解∠ABC和∠ACB的大小：sin(∠ABC) / AB = sin(∠BAC) / BCsin(∠ABC) / 3= sin(60°) / √13sin(∠ABC) = 3·sin(60°) / √13∠ABC = arcsin(3·sin(60°) / √13)sin(∠ACB) / AC = sin(∠BAC) / BCsin(∠ACB) / 4 = sin(60°) / √13sin(∠ABC) = 4·sin(60°) / √13∠ACB= arcsin(4·sin(60°) / √13)通过以上计算，我们可以得出BC≈3.605，∠ABC≈39.23°，∠ACB≈80.77°。
平面向量与三角函数的综合计算与应用解析与归纳引言：平面向量作为数学中的重要概念之一，与三角函数有着密切的联系。
通过对平面向量与三角函数的综合运用，我们可以解决各种实际问题，并深入理解它们在数学中的应用。
本文将通过计算、解析和归纳的方式，探讨平面向量与三角函数的综合应用。
一、平面向量与三角函数的基本关系在开始讨论平面向量与三角函数的综合计算与应用之前，我们先来回顾一下它们之间的基本关系。
1. 平面向量的表示平面向量可以用有序数对表示，一个二维向量A可以表示为A = (a, b)，其中a为向量在x轴上的分量，b为向量在y轴上的分量。
同时，向量A也可以表示为矩阵形式：A = [a, b]2. 平面向量的运算平面向量可以进行加法和数量乘法运算。
加法运算即将两个向量的对应分量相加，例如A + B = (a1 + b1, a2 + b2)，其中A = (a1, a2)，B = (b1, b2)。
数量乘法即向量的每一个分量都乘以相同的数，例如kA = (ka1, ka2)，其中k为任意实数。
3. 三角函数的定义三角函数是常用的数学函数，由直角三角形的边长比定义。
其中，正弦函数s inθ的定义为：sinθ = 长边/斜边，余弦函数cosθ的定义为：cosθ = 邻边/斜边，正切函数tanθ的定义为：tanθ = 长边/邻边。
二、平面向量与三角函数的综合计算与应用在了解了平面向量与三角函数的基本关系后，我们可以通过综合计算与应用来加深对它们的理解。
1. 平面向量与三角函数之间的关系根据平面向量的定义和三角函数的定义，我们可以得出以下结论：对于任意角θ，设与角θ 相对的边向量为A，斜边向量为B，则有：A = [sinθ, cosθ]B = [sinθ, cosθ]2. 平面向量的模与方向平面向量的模表示向量的长度，可以通过勾股定理来计算。
对于向量A = (a, b)，其模记为|A|，计算公式为：|A| = √(a^2 + b^2)向量的方向可以用角度来表示，可以通过以下公式计算：θ = arctan(b/a)3. 平面向量的点积与叉积平面向量的点积和叉积是平面向量运算中的两个重要概念。
ʏ山东省威海市第二中学丛丽伟三角函数与平面向量之间的交汇与综合问题,一直是高考数学试卷中比较常见的一类热点问题,通过平面向量的工具性加以转化问题,结合三角函数中的概念及相应公式加以恒等变换,有时涉及正㊁余弦定理等相关知识,用来综合考查三角函数的基础知识㊁基本公式㊁基本技能与基本应用等㊂一㊁三角函数的求值与平面向量的综合以平面向量为载体,利用诱导公式㊁同角三角函数关系式㊁两角和与差的三角函数及倍角公式等解决三角函数中的求值问题,是高考的重要考向,考查同学们分析问题㊁解决问题的能力㊂例1已知向量m=(s i n x,3c o s x),n=(s i n x,s i n x),函数f(x)=m㊃n㊂(1)求fπ12的值;(2)当xɪ0,π2时,求函数f(x)的最大值与最小值㊂分析:(1)根据题设条件,利用平面向量的数量积公式,通过数量积的坐标运算来构建函数f(x)的解析式,把x=π12代入即可;(2)利用题设中x的取值范围所对应角的取值范围,结合三角函数的图像与性质来确定三角函数在给定区间上的最大值与最小值㊂解:(1)依题意可得f(x)=m㊃n=(s i n x,3c o s x)㊃(s i n x,s i n x)=s i n2x+3c o s x s i n x=1-c o s2x2+32s i n2x=32s i n2x-12c o s2x+12=s i n2x-π6+12,故fπ12=s i n2ˑπ12-π6+12=12㊂(2)当xɪ0,π2时,有2x-π6ɪ-π6,5π6㊂故当2x-π6=π2,即x=π3时,f(x)m a x=s i nπ2+12=1+12=32;当2x-π6=-π6,即x=0时,f(x)m i n=s i n-π6+12=-12+12=0㊂规律方法:平面向量在三角函数求值中的应用步骤:(1)利用平面向量的基本性质㊁运算公式㊁数量积等构建对应的三角函数关系式,特别是涉及向量的平行与垂直关系等;(2)利用三角恒等变换公式,以及题设条件中的角的取值限制等,通过三角函数的图像与性质来分析与求解㊂二㊁三角函数的性质与平面向量的综合以平面向量的坐标运算为载体,引入三角函数,通过三角恒等变换化为一个角的三角函数,重点考查三角函数的单调性㊁周期性㊁最值㊁取值范围及三角函数的图像变换等㊂例2已知向量m=(s i n x,-1),n=c o s x,32,函数f(x)=(m+n)㊃m㊂(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;(2)当xɪ0,π2时,求函数f(x)的值域;(3)将函数f(x)的图像左移3π8个单位32解题篇创新题追根溯源高考数学2024年1月长度后得函数g (x )的图像,求函数g (x )在-π3,π3上的最大值㊂分析:(1)根据题设条件,通过向量的坐标运算及数量积公式,构建三角函数f (x )的解析式,并通过三角恒等变换转化为正弦型函数,进而求解对应的基本性质;(2)结合题设条件中角的取值范围,通过三角函数的图像与性质来确定函数的最值,进而得以确定函数f (x )的值域;(3)利用三角函数图像的平移变换可得函数g (x )的解析式,进而利用三角函数的图像与性质来求解最大值问题㊂解:(1)由已知可得f (x )=(m +n )㊃m =s i n x +c o s x ,12㊃(s i n x ,-1)=s i n 2x +s i n x c o s x -12=12s i n 2x -12c o s 2x =22s i n 2x -π4㊂故f (x )的最小正周期T =2π2=π㊂由2k π-π2ɤ2x -π4ɤ2k π+π2,k ɪZ ,可得k π-π8ɤx ɤk π+3π8,k ɪZ ,所以函数f (x )的单调递增区间是k π-π8,k π+3π8(k ɪZ )㊂(2)当x ɪ0,π2时,有2x -π4ɪ-π4,3π4 ,故-22ɤs i n 2x -π4 ɤ1,所以-12ɤ22s i n 2x -π4ɤ22㊂所以当x ɪ0,π2 时,函数f (x )的值域为-12,22㊂(3)根据题意可得函数g (x )=22s i n 2x +3π8-π4 =22s i n 2x +π2=22c o s 2x ㊂当x ɪ-π3,π3时,有2x ɪ-2π3,2π3㊂所以当2x =0,即x =0时,g (x )m a x =22c o s 0=22㊂规律方法:平面向量与三角函数的基本性质的综合问题的解法:(1)利用向量的相关概念㊁公式等构建相应的三角函数解析式;(2)利用三角恒等变换公式等将相应的三角函数关系式转化为正弦型(或余弦型)函数;(3)根据三角函数的图像与性质来研究相关函数的基本性质问题㊂三、平面向量在三角形计算中的应用以平面向量的线性运算㊁数量积为载体,考查三角形中正㊁余弦定理的应用,以及简单的三角恒等变换,主要解决三角形中的边㊁角及面积等问题㊂例3 在әA B C中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知s i n C =2s i n (B +C )㊃c o s B ㊂(1)判断әA B C 的形状;(2)设向量m =(a +c ,b ),n =(b +a ,c -a ),若m ʊn ,求A ㊂分析:(1)利用三角形的内角和公式A +B +C =π转化角后,结合题设条件进行消元处理,进而得到涉及角A ,B 的基本关系,结合三角函数值及三角形的性质来分析与判断;(2)利用两平面向量平行的关系,结合向量的坐标加以转化与应用,合理构建三角形中边与角的关系式,进而利用余弦定理加以分析与求解㊂解:(1)在әA B C 中,因为s i n C =s i n (A +B ),s i n A =s i n (B +C ),所以s i n C=s i n (A +B )=2s i n (B +C )c o s B =2s i n A c o s B ,所以s i n A c o s B +c o s A s i n B=2s i n A c o s B ,即s i n A c o s B -c o s A s i n B =0,即s i n (A -B )=0㊂又因为-π<A -B <π,所以A -B =0,即A =B ,故әA B C 为等腰三角形㊂(2)由m ʊn 得(a +c )(c -a )=b (b +a ),展开整理得b 2+a 2-c 2=-a b ,所以c o s C =a 2+b 2-c 22a b =-12㊂42 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年1月因为0<C<π,所以C=2π3㊂又A=B,故A+B=π3,所以A=π6㊂规律方法:平面向量与三角形计算综合问题的解法:(1)借助平面向量的基本概念㊁基本公式等,往往可以合理构建三角函数关系式,为利用解三角形来处理问题奠定基础;(2)合理综合解三角形㊁三角函数及平面向量的相关知识加以合理转化与巧妙应用㊂特别地,在解决三角形中的向量夹角问题时需注意向量的方向㊂四㊁三角函数㊁平面向量与其他知识的综合应用以平面向量为问题场景,通过坐标公式㊁数量积公式等变形,转化为相应的三角函数问题,综合函数与方程㊁不等式等其他相关知识来分析与综合,也是高考中比较常见的一类综合应用问题㊂例4设向量a=(4s i n x,c o s x-s i n x),b=s i n2π+2x4,c o s x+s i n x,函数f(x)=a㊃b㊂(1)求函数f(x)的解析式;(2)已知常数ω>0,若y=f(ωx)在-π2,2π3上是增函数,求ω的取值范围;(3)设集合A=xπ6ɤxɤ2π3,B= {x||f(x)-m|<2},若A⊆B,求实数m的取值范围㊂分析:(1)利用向量的数量积把三角函数关系式加以转化,即可得到函数f(x)= 2s i n x+1;(2)根据三角函数在给定区间上的单调性,通过不等式组的求解来确定参数的取值范围;(3)结合绝对值不等式的求解㊁集合的包含关系㊁三角关系式的最值,以及三角函数的图像与性质来加以直观转化与求解㊂解:(1)因为a=(4s i n x,c o s x-s i n x), b=s i n2π+2x4,c o s x+s i n x,所以函数f(x)=a㊃b=4s i n xˑs i n2π+2x4+(c o s x-s i n x)ˑ(c o s x+s i n x)= 4s i n x㊃1-c o sπ2+x2+c o s2x= 2s i n x(1+s i n x)+1-2s i n2x=2s i n x+1㊂(2)由于f(ωx)=2s i nωx+1,由2kπ-π2ɤωxɤ2kπ+π2,kɪZ,可得函数y= f(ωx)的增区间是2kπω-π2ω,2kπω+π2ω,kɪZ㊂又因为y=f(ωx)在区间-π2,2π3上是增函数,所以-π2,2π3⊆-π2ω,π2ω,即-π2ωɤ-π2,2π3ɤπ2ω,解得0<ωɤ34㊂所以ω的取值范围为0,34㊂(3)由|f(x)-m|<2解得-2<m-f(x)<2,即f(x)-2<m<f(x)+2㊂因为A⊆B,所以当π6ɤxɤ2π3时,不等式f(x)-2<m<f(x)+2恒成立㊂所以[f(x)-2]m a x<m<[f(x)+2]m i n,即[f(x)]m a x-2<m<[f(x)]m i n+2㊂因为f(x)=2s i n x+1,所以在π6,2π3上,[f(x)]m a x=fπ2=3, [f(x)]m i n=fπ6=2,所以1<m<4㊂故实数m的取值范围为(1,4)㊂规律方法:本题巧妙地把平面向量㊁三角函数㊁集合㊁不等式等相关知识加以交汇,以平面向量为问题背景,通过平面向量的数量积为媒介,结合三角函数的图像与性质来考查数学基本知识点,得以达到提高数学品质与提升数学能力的目的㊂注意高考中三角函数与平面向量的交汇综合问题往往以平面向量的相关概念与数量积等来建立相应的三角函数关系式,结合三角函数的基本公式与三角恒等变换公式㊁解三角形公式等来综合考查,一般难度中等,真正达到考查能力,注意应用的目的㊂(责任编辑王福华)52解题篇创新题追根溯源高考数学2024年1月。
三角函数与向量的综合应用在数学领域中，三角函数与向量是两个重要的概念。
它们在各自的领域中拥有广泛的应用，并且可以相互结合，产生更强大的数学工具。
本文将讨论三角函数与向量的综合应用，并探究它们在实际问题中的应用。
一、三角函数与向量的基础知识1. 三角函数三角函数是描述角度关系的函数，其中最常用的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们可以通过三角比值或单位圆上的点坐标来定义。
三角函数在几何、物理和工程等领域中广泛应用，用于求解角度、距离、速度等问题。
2. 向量向量是具有大小和方向的量，可用于表示物体的位移、力和速度等。
向量通常用有序数组表示，其中包括了向量的分量或坐标。
向量在几何、物理、计算机图形学等领域中有重要的应用，用于描述与计算空间中的各种问题。
二、三角函数与向量的结合运用1. 正弦函数与向量的应用正弦函数可以用于求解两个向量之间的夹角。
对于给定的两个向量A和B，它们的夹角θ可以通过以下公式求得：θ = arcsin(|A × B| / (|A| |B|))其中，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长，A × B表示两个向量的叉乘，|A × B|表示叉乘结果的模长。
这个夹角的计算提供了求解向量运动方向、力的方向以及判断向量共线性等问题的重要依据。
2. 余弦函数与向量的应用余弦函数可以用于求解两个向量之间的夹角以及向量在特定方向上的投影。
对于给定的两个向量A和B，它们的夹角θ可以通过以下公式求得：θ = arccos(A · B / (|A| |B|))其中，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长，A · B表示两个向量的点乘。
此外，余弦函数还可以用于求解向量在特定方向上的投影长度，从而实现对向量分解和向量运动路径的分析。
3. 正切函数与向量的应用正切函数可以用于求解向量的斜率。
对于给定的向量A，它的斜率可以通过以下公式求得：m = tan(θ) = (A.y / A.x)其中，A.x和A.y分别表示向量A在x轴和y轴上的分量。
三角函数和向量的综合复习要点：1、 熟练应用三角恒等变换和向量数量积等公式2、 三角函数和向量综合问题的处理思路 典例剖析：1、已知向量.1,43),1,1(-=⋅=n m m n m 且的夹角为与向量向量π（1）求向量n ；（2）设向量)sin ,,(cos ),0,1(x x b a ==向量，其中R x ∈，若0=⋅a n ，试求||b n +的取值范围.2、已知向量552),sin ,(cos ,sin ,cos =-==b a b a ββαα）（（1）求)cos(βα-的值 （2）若02,20<<-<<βππα且135sin -=β，求αsin 的值3、 已知向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-==2,0)2sin,2(cos),23sin,23(cosπx xx b x x a 且向量。
求（1）b a b a +⋅及；（2）若b a b a x f +-⋅=λ2)(的最小值是23-，求实数λ的值。
4、已知函数2()2cos 2sin cos 1(0)f x x x x x ωωωω=++∈R >，的最小正周期是2π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合．17题、如图，函数y=2sin(πx+ϕ),(x ∈R)（其中0≤ϕ≤2π）的图象与y 轴交于点（0，1）；①、求ϕ的值；②、设P 为图象上的最高点，M ，N 是图象与x 轴的交点，求→PM 与→PN 的夹角。
课后作业：1、已知向量(sin ,cos ),(1,2)m A A n ==- ,且0.m n ⋅=(Ⅰ)求tan A 的值；(Ⅱ)求函数()cos 2tan sin (f x x A x x =+∈R )的值域.2、已知向量)1,2sin2(cos.22x x a -=)sin ,1(.x b =，函数f (x )＝b a ⋅(Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期； (Ⅱ)当x 0∈(0,4π)且f (x 0)＝524时，求f (x 0＋6π)的值.3、(山东17)（本小题满分12分）已知函数()3sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+-+（0πϕ<<，0ω>）为偶函数，且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为π2．（Ⅰ）求π8f ⎛⎫⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位后，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间．4．（上海18）（本题满分15分） 已知函数f (x )=sin2x ，g (x )=cos π26x ⎛⎫+⎪⎝⎭，直线()x t t =∈R 与函数()()f x g x ，的图像分别交于M 、N 两点． （1）当π4t =时，求｜MN ｜的值；（2）求｜MN ｜在π02t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时的最大值．5、如图在长方体A B C D 中，,,A B a A D b N ==是C D 的中点，M 是线段AB 上的点，2,1a b ==，（1）若M 是AB 的中点，求证：A N 与CM共线；（2）在线段AB 上是否存在点M ，使得BD与CM 垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出M 点的位置；（3）若动点P 在长方体A B C D 上运动，试求AP AB ⋅的最大值及取得最大值时P点的位置。
三角函数与平面向量第一部分：三角函数一、运用同角三角函数关系、诱导公式、和、差、倍、半等公式进行化简求值类。
1.若，，，，则 .2.若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，sin 2=8θ，则sin θ= .3.已知α为第二象限角，sin cos 3αα+=，则cos2α= .4. 已知向量33(cos,sin ),(cos ,sin ),[,]22222x x x x x ππ==-∈且a b 。
（1）若||+>a b ，求x 的取值范围；（2）函数()||f x =⋅++a b a b ，若对任意12,[,]2x x ππ∈，恒有12|()()|f x f x t -<,求t 的取值范围。
练习一下1.已知sin cos αα-=α∈(0，π)，则tan α= .2.若tan θ+1tan θ=4,则sin2θ= . 3.sin 47sin17cos30cos17-= .4.如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（ ） A、10 B、10 C、10 D、155.α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)122sin(π+a 的值为 ；若41-3sin =⎪⎭⎫⎝⎛απ，则⎪⎭⎫⎝⎛+απ23cos 等于 . 02πα＜＜02πβ-＜＜1cos()43πα+=cos()423πβ-=cos()2βα+=6.已知a ∈(2π，π)，sin α=5，则tan2α= 二、运用三角函数性质解题，通常考查正弦、余弦函数的单调性、周期性、对称轴及对称中心。
例1.已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是（ ）()A 15[,]24 ()B 13[,]24 ()C 1(0,]2()D (0,2]例2.已知ω>0，πϕ<<0，直线4π=x 和45π=x 是函数)(sin )(ϕω+=x x f 图像的两条相邻的对称轴，则=ϕ( )（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4 例3.函数1-1y x =的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ） （A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8例4 若,0),(cos ,sin ),0x x x ωωωω==->m n ，在函数()()f x t =⋅++m m n 的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为4π，且当[0,]3x π∈时，()f x 的最大值为1。
（1）求函数()f x 的解析式； （2）若()[0,]f x x π=∈，求实数x 的值。
【习题2】1.已知函数)62(sin 4π+=x y )670π≤≤x （的图像与一条与x 轴平行的直线有三个交点，其中横坐标分别为32,1,x x x )321x x x <<（，则=++3212x x x 2.已知函数b a x b x a x f ,(cos -sin )(=为常数，),0R x a ∈≠的图像关于4π=x 对称，则函数)-43(x f y π=是（ ） （A ）偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 （B ）偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称 （C ）奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称（D ）奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 3.设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值4π，则)(x f 的最小正周期是（ ）A ．2πB . π C.2π D . 4π 4.函数xx y cos 3-sin =)20π<≤x （取最大值时，=x5.已知b x x f ++=)cos(2)(ϕω对于任意实数x 都有)()4(x f x f -=+π成立，且1)8(-=πf ，则实数b 的值为 .三、三角函数的图像及性质【例】1.把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是【例】2.函数的图象如图，则的解析式和的值分别为（ ）A ． ，B ． ，C ． ，D ． ， 【例3】矩形ABCD 中，AB ⊥x 轴，且矩形ABCD 恰好完全覆盖)0,(sin ≠∈=a R a ax a y 的一个完整周期的图像，当a 变化时，矩形ABCD 周长的最小值为 ；【例】4. 如图，函数π2cos()(0)2y x x ωθθ=+∈R ，≤≤的图象与y轴交于点(0，且在该点处切线的斜率为2-． （1）求θ和ω的值；（2）已知点π02A ⎛⎫⎪⎝⎭，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是b x A x f +ϕ+ω=)sin()()(x f ++=)1()0(f f S )2006()2(f f +⋯+12sin 21)(+π=x x f 2006=S 12sin 21)(+π=x x f 212007=S 12sin 21)(+π=x x f 212006=S 12sin 21)(+π=x x f 2007=SPA 的中点，当02y =，0ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求0x 的值．【习题3】1.定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为 （ ） （A ）21- （B ）21 （C ）23-（D ）23 2．函数x x y cos -⋅=的部分图象是( )3.① 存在)2,0(πα∈使31cos sin =+a a ② 存在区间（a ，b ）使x y cos =为减函数而x sin ＜0 ③ x y tan =在其定义域内为增函数 ④ )2sin(2cos x x y -+=π既有最大、最小值，又是偶函数⑤ |62|sin π+=x y 最小正周期为π以上命题错误的为____________.4.右图为)(sin ϕω+=x A y 的图象的一段，求其解析式。
四、三角函数的定义域、值域、最值问题【例1】求下列函数的定义域1.x x x f cos 2-1)21-lg(sin )(+=； 2.x x y cos lg 252+-=.【例2】（1）已知)(cos ),23,21()(x f x f 则的定义域为-的定义域为____________.（2）设)(,cos )1sin 2(2x f x x f 则=-的定义域为_____________.【例3】求下列函数的值域（1）4sin 5cos 22-+=x x y ；（2）x x x x y 22cos 2cos sin 4sin 6+-=；（3）2sin 31sin 3++=x x y ；（4）)4(tan 1)4(tan 122x x y -+--=ππ；【 例4】函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为(A)2 (B)0 (C)－1(D)1-【习题4】1、函数)(x f 的定义域为[﹣，]，则)sin (x f 的定义域为（ ）A 、[﹣，]B 、[，]C 、[2k π+，2k π+]（k ∈Z ）D 、[2k π﹣，2k π+]∪[2k π+，2k π+]（k ∈Z ）2．若θ为锐角，则θθcos sin +的取值范围是 （ ）A ．]2,1(B ．]2,1[C ．]2,0[D ．]2,2[- 3．α在第三、四象限，m mm 则,432sin --=α的取值范围是（ ）A ．（－1，0）B ．（－1,21） C ．（－1,23） D ．（－1，1） 4．函数||sin |sin |x x y +=的值域是（ ）A ．[－2，2]B ．[－1，1]C ．[0，2]D ．[0，1]5.若函数21cos 2π()sin sin π42sin 2x f x x a x x +⎛⎫=+++ ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭3，试确定常数a 的值．五、解三角形问题，判断三角形形状，正余弦定理的应用【例1】在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，且B a A b cos 3sin =。
（1）求角B 的大小；（2）若A C b sin 2sin ,3==，求c a ,的值.【例2】在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知32cos =A ,CB cos 5sin =． (Ⅰ)求C tan 的值；(Ⅱ)若a∆ABC 的面积．【例3】在中，角所对的边分别为,,a b c . 已知且. （Ⅰ）当时，求的值；(Ⅱ)若角为锐角，求p 的取值范围.【例4】△ABC 的角,,A B C 的对分别是,,a b c ，已知sin cos 1sin2CC C +=-. (1) 求sin C 的值；（2）若224()8a b a b +=+-，求c 的值。
【例5】已知)1,sin 32cos 2(x x m +=，),-cos (y x n =，且满足0=⋅。
（1）将y 表示为x 的函数，并求)(x f 的最小正周期；（2）已知c b a ,,分别是ABC ∆的三个内角C B A ,,对应的边长，若)2()(Af x f ≤对所以的R x ∈恒成立，且2=a ，求c b +的取值范围。
【习题5】在△ABC 中角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，且满足C a A c cos sin =. （1）求角C 的大小；（2）求)4cos(sin 3π+-B A 的最大值，并求取得最大值时角B A ,的大小。
向量部分类型（一）：向量的夹角问题1.平面向量b a ,41==且满足2.=b a 的夹角为2.已知非零向量b a ,）（，a b b 2-⊥=，则b a 与的夹角为ABC ..A B C ()sin sin sin ,A C p B p R +=∈214ac b =5,14p b ==,a c B3.已知平面向量b a ,满足424)2.(==-=+-b a b a ）（且，则b a 与的夹角为 4.设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a ,5.的夹角。
与求b a ,732=+==类型（二）：向量共线问题1. 已知平面向量），（x a 32=，平面向量），，（182--=b 若a ∥b ，则实数x2. 设向量），（），，（3212==b a 若向量b a +λ与向量)74(--=，共线，则=λ3.已知向量），（），，（x b a 211==若a b b a 24-+与平行，则实数x 的值是（ ）A ．-2B ．0C ．1D ．2_____)10,(),54(),12,(.4=-===k C B A k OC OB k OA 则三点共线，，，，且，已知向量5．已知a =（1，2），b =（-3，2）若k a +2b 与2a -4b 共线，求实数k 的值； 类型（三）: 向量的垂直问题1．已知向量b a b x a ⊥==且），（)6,3(,1，则实数x 的值为2．已知a =（1，2），b =（-3，2）若k a +2b 与2a -4b 垂直，求实数k 的值 3．已知,24），（=a 求与a 垂直的单位向量的坐标。
