2018秋新版高中数学北师大版必修4习题：第三章三角恒等变形 3.3.2 含解析

第三章 三角恒等变形 同步练习(二)选择题函数)62sin()62cos(ππ---=x x y 的单调递增区间是（ ） A ．［ππ6132-k ，64ππ-k ］ B ．［64ππ-k ，ππ6114+k ］ C ．［62ππ-k ，ππ6112+k ］ D ．［πk 2，ππ+k 2］2．若)2(54cos παπα<<-=，21tan =β ，则)tan(βα+的值为（ ） A ．－112 B ．112 C ．1 D ．－523．已知53sin -=θ，παπ273<<，则2tan θ的值为（ ）A ．31B ．－31C ．3D ．－34．︒︒︒75sin 30sin 15sin 的值等于（ ）A ．43B ．83C ．81D ．415．若=αsin 374，1411)cos(-=+βα，且βα,都是锐角，则β等于（ ） A ．3π B ．4π C ．6π D ．8π6．若)23,(ππα∈，则ααααsin 1sin 1sin 1sin 1-++--+等于（ ） A ．2tanαB ．2sinαC ．2cotαD ．2cosα7．︒•︒+︒•︒50sin 10sin 70cos 20sin 的值是（ ）A ．41B ．23C ．21D ．438．函数xx y 2cos )23sin(+-=π的最小正周期是（ ）A ．2πB ．πC ．π2D ．π49．若432πθπ<<，且a =θ2sin ，则θθcos sin +的值应该是（ ）A ．1+a ＋a a -2B ．－1+aC ．1+a －a a -2 D ．1+a 10．若ββαββαπαπsin )cos(cos )sin(,23+-+<<等于－54，则2tan α的值是（ ） A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－311．已知41)4cos()4cos(=-+θπθπ，那么θθ42cos sin +的值应等于（ ） A ．23 B ．43 C ．85 D ．6512．函数x x y 2sin cos 65--=的最大值和最小值分别是（ ） A ．11和－1 B ．9和－1 C ．9和－5 D ．11和－513．若︒=+120B A ，则B A y 22cos cos +=的最大值为（ ） A ．21 B ．2 C ．23D ．222+ 14．已知=-=βαcos ,54sin 135，6533)cos(=+βα，则（ ） A ．α是第三象限，β是第四象限角 B ．α是第四象限，β是第一象限角 C ．α是第三象限，β是第一象限角 D ．α是第四象限，β是第一象限角 15．在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 二、填空题16．θ为第二象限角，且21)232sin(>+πθ，则2sin2cos sin 1θθθ--＝_______． 17．若α＋β＝π43，则)tan 1)(tan 1(βα-- = ____________． 18．若,1sin 1cos 1=-αα且)2,(ππα∈，则α2sin ＝_________．19．函数x x y 2sin 32cos 33+=的最大值是_______．20．若21cos sin =-αα，则αα44cos sin +＝_________．三、解答题21．已知函数21cos cos sin 3)(2+-=x x x x f ，R x ∈，求)(x f 的递增区间．22．已知函数x x x f 2cos 1sin 2)(+=．（1）求f ( x ) 的定义域； （2）用定义判断f )(x 的奇偶性；（3）在［－π，π］上作出)(x f 的图象； （4）指出)(x f 的最小正周期及单调递增区间．23、．βαβαcos cos )cos(-=-有可能成立吗？试举例说明． 24．试求︒+︒75cos 15cos 的值．25．试用差角公式证明ααπααπsin )2cos(,cos )cos(=--=-．26．已知)2,23(,1312cos ),,2(,53sin ππββππαα∈=∈=．求)cos(βα-的值． 27.化简αβααβαsin )sin(cos )cos(+++． 课本中用向量的数量积证明公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-，但只是就α，β为锐角的情形的证明．当α，β为任意角时，如何证明公式上述公式？当α，β为锐角时，试比较)cos(βα+与βαcos cos +的大小．23、24、25、26、27、28、29、。

第2课时利用同角三角函数的基本关系化简、证明三角函数式课时过关·能力提升1.化简sin2β+cos4β+sin2βcos2β的结果是()A.14B.34C.1D.32解析:原式=sin2β+cos2β(cos2β+sin2β)=sin2β+cos2β=1.答案:C2.化简√1-sin2π5的结果是()A.si nπ5B.−sinπ5C.co sπ5D.−cosπ5解析:√1-sin2π5=√cos2π5=|cosπ5|=cosπ5.答案:C3.化简(tanx+1tanx)cos2x的结果是()A.tan xB.sin xC.cos xD.1tanx解析:(tanx+1tanx )cos2x=(sinxcosx+cosxsinx)·cos2x=sin2x+cos2xsinxcosx·cos2x=cosxsinx=1tanx.答案:D4.已知α是三角形的一个内角,且sin α+cos α=23,则这个三角形的形状是() A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析:∵sin α+cos α=23,∴(sin α+cos α)2=49,∴2sin αcos α=−59<0.又α∈(0,π),∴sin α>0,∴cos α<0,∴α为钝角,∴这个三角形为钝角三角形.答案:B5.sin 221°+cos 2381°+sin 417°+sin 217°cos 2377°+cos 2377°= .解析:原式=sin 221°+cos 221°+sin 417°+sin 217°cos 217°+cos 217°=1+sin 217°(sin 217°+cos 217°)+cos 217°=2. 答案:26.已知sin α+2cos α=0,则2sin αcos α-cos 2α的值是 .解析:由sin α+2cos α=0,得tan α=-2.所以原式=2sinαcosα-cos 2αsin 2α+cos 2α=2tanα-1tan 2α+1=2×(-2)-1(-2)2+1=-55=−1. 答案:-17.求证:tan 2α-sin 2α=tan 2αsin 2α.证明右边=tan 2α(1-cos 2α)=tan 2α-tan 2αcos 2α=tan 2α−sin 2αcos 2α·cos 2α=tan 2α-sin 2α=左边,∴原等式成立. 8.化简tan α√1sin 2α-1,其中α是第二象限角.解因为α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0.故tan α√1sin 2α-1=tan α√1-sin 2αsin 2α=tan α√cos 2αsin 2α=sinαcosα·|cosαsinα|=sinαcosα·-cosαsinα=−1.9.已知tan 2α=2tan 2β+1,求证:sin 2β=2sin 2α-1.证明(方法一)∵tan 2α=2tan 2β+1,∴tan 2β=tan 2α-12. ∵tan 2β=sin 2βcos 2β=sin 2β1-sin 2β,∴sin2β=tan 2β1+tan 2β. ∴sin 2β=tan 2α-121+tan 2α-12=tan 2α-1tan 2α+1=sin 2αcos 2α-1sin 2αcos 2α+1=sin 2α-cos 2αsin 2α+cos 2α=sin2α−(1−sin2α)=2sin2α−1. (方法二)∵tan 2α=2tan 2β+1,∴tan 2α+1=2(tan 2β+1),∴sin 2α+cos 2αcos 2α=2·sin 2β+cos 2βcos 2β,∴1cos 2α=2cos 2β, ∴cos 2β=2cos 2α,∴1-sin 2β=2(1-sin 2α),∴sin 2β=2sin 2α-1.10.已知θ∈(0,2π),且sin θ,cos θ是方程x 2-kx+k+1=0的两个实根,求k 和θ.解由题意,知{sinθ+cosθ=k , ①sinθcosθ=k +1. ②由①,得1+2sin θcos θ=k 2.。

第三章检测(时间:120分钟　满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.函数y=3sin x-33cos x 的最大值是( )A .3+33B .43C .6D .3解析:∵函数y=3sin x-x=6si 33cos n (x -π3),∴所求的最大值是6.答案:C2.函数y=2si ∈R )的最小值等于( )n(π3-x )‒cos (π6+x )(x A .-3B .-2C .-1D .‒5解析:y=2si -1.n(π3-x )‒cos (π6+x )=2cos (π6+x )‒cos (π6+x )=cos (π6+x ),故最小值为答案:C 3.计算34cos 215°‒38等于( )A .‒3316B .3316C .316D .‒316解析:30°34cos 215°‒38=38(2cos 215°‒1)=38cos =38×32=3316.答案:B4.函数g (x )的图像是函数f (x )=sin 2x‒3cos 2x 的图像向右平移π12个单位长度得到的,则函数g (x )的图像的对称轴为( )A .直线x =π4B .直线x =π3C .直线x=π2D .直线x =π6解析:f (x )=sin 2x 2x=2sig (x )=2si‒3cos n (2x -π3),其图像向右平移π12个单位长度得到2x.由cos 2x=±1,得2x=k π(k ∈Z ),即x∈Z ),所以函数g (x )的n [2(x -π12)-π3]=2sin (2x -π2)=‒2cos =kπ2(k 图像的对称轴为直线x ∈Z ).只有选项C 符合条件.=kπ2(k 答案:C5.在△ABC 中,C=90°,则函数y=sin 2A+2sin B 的最值情况是( )A .有最大值,无最小值B .无最大值,有最小值C .有最大值,也有最小值D .无最大值,也无最小值解析:y=sin 2A+2sin B=sin 2A+2cos A=1-cos 2A+2cos A=-(cos A-1)2+2,而0<cos A<1,故函数无最大值也无最小值.答案:D 6.如图,在平面直角坐标系中,已知两点A (cos 80°,sin 80°),B (cos 20°,sin 20°),则AB 的长为( )A .12B .22C.32D .1解析:由两点间的距离公式,得AB =(cos80°-cos20°)2+(sin80°-sin20°)2=2-2(cos80°cos20°+sin80°sin20°)=2-2cos (80°-20°)=2-2cos60°=2-2×12=1.答案:D7.已知向量a =(cos 2α,sin α),b =(1,2sin α-1),α∈a ·b (π2,π),若=25,则tan (α+π4)=( )A .13B .27C .17D .23解析:由a ·b cos 2α+sin α(2sin α-1)sin αα∈cos α=α=ta =25,得=25,解得=35.又(π2,π),所以‒45,tan ‒34,则n(α+π4)=tanα+tanπ41-tanαtanπ4=17.答案:C 8.已知sin θ=35,5π2<θ<3π,则tan θ2+cos θ2的值为( )A .1010‒3B .3‒1010C .‒30+1010D .30+1010解析:因为sin θcos θ==35,5π2<θ<3π,所以‒45,又5π4<θ2<3π2,所以si n θ2=‒1-cosθ2=‒31010,cos θ2=‒1+cosθ2=‒10,tan θ2=3,故ta n θ2+cos θ2=3‒1010.答案:B9.若cos 5°=a ,则sin 2 375°等于( )A .‒12a ‒321-a 2B .12a +321-a 2C .‒32a ‒121-a 2D.32a +121-a 2解析:因为cos 5°=a ,所以sin 5°sin 2 375°=sin 215°=-sin 35°=-sin(30°+5°)=-sin 30°cos =1-a 2,所以5°-cos 30°sin 5°=‒12a ‒321-a 2.答案:A10.有下列四个函数:①y=sin x+cos x;②y=sin x-cos x;③y=sin x·cos x;④y=sinxcosx.其中在(0,π2)上为递增函数的是( )A.①B.②C.①和③D.②和④解析:y=sin x+cos x,所以①不是,排除A和C;y x =2sin(x+π4)在(0,π2)上不是单调函数=sinx cosx=tan,所以④是,排除B,故选D.在(0,π2)上是增加的答案:D11.已知(sin x-2cos x)(3+2sin x+2cos x)=0,则sin2x+2cos2x1+tanx的值为( )A .85 B.58C .25 D.52解析:∵3+2sin x+2cos x=3+22sin(x+π4)>0,∴sin x-2cos x=0.∴tan x=2.∴原式=2cosx(sinx+cosx)1+sinxcosx=2cos2x(sinx+cosx) cosx+sinx=2cos2x =2cos2xsin2x+cos2x=2tan2x+1=222+1=25.答案:C12.关于函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x有以下四个结论:P1:最大值为2;P2:把函数f(x)=2sin 2x‒1的图像向右平移π4个单位长度后可得到函数f(x)=2(sin x‒cos x)cos x 的图像;P3:递增区间为[kπ+7π8,kπ+11π8](k∈Z);P4:图像的对称中心∈Z).其中正确的结论有( )为(k2π+π8,-1)(kA.1个B.2个C.3个D.4个解析:因为f (x )=2sin x cos x-2cos 2x=sin 2x-cos 2x-1P 1错=2sin (2x -π4)‒1,所以最大值为2‒1,所以误;将f (x )2x-1的图像向右平f (x )=2sin 移π4个单位长度后得到,所以P 2错误;≤2x=2sin [2(x -π4)]‒1=2sin (2x -π2)‒1的图像由‒π2+2kπ≤x ≤∈Z ),即递增区间∈Z ),所以P 3正确;‒π4≤π2+2kπ,解得‒π8+kπ3π8+kπ(k 为[-π8+kπ,3π8+kπ](k 由2x ∈Z ),得x∈Z ),所以对称中心∈Z ),所以P 4正确.‒π4=kπ(k=k 2π+π8(k为(k 2π+π8,-1)(k答案:B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.函数y=ta n x 2‒1sinx的最小正周期是 . 解析:y =1-cosx sinx ‒1sinx =‒cosx sinx =‒1tanx,T =π.答案:π14.函数f (x )=(sin x+cos x )2的递增区间是 . 解析:f (x )=(sin x+cos x )2=1+sin 2x.≤2x ≤∈Z ),令‒π2+2kππ2+2kπ(k ≤x ≤∈Z ),得‒π4+kππ4+kπ(k 所以f (x )的递增区间是[-π4+kπ,π4+kπ](k ∈Z ).答案:∈Z )[-π4+kπ,π4+kπ](k15.已知α∈(0,π2),且tan (α+π4)=3,则log 5(sin α+2cos α)+log 5(3sin α+cos α)= . 解析:tan (α+π4)=tanα+11-tanα=3,∴tan α=12,则log 5(sin α+2cos α)+log 5(3sin α+cos α)=log 53sin 2α+7sinαcosα+2cos 2αsin 2α+cos 2α=log53tan 2α+7tanα+2tan 2α+1=log 55=1.答案:116.在平面直角坐标系xOy中,已知任意角θ以坐标原点O为顶点,x轴的非负半轴为始边,若终边经过点P(x0,y0),且|OP|=r(r>0),定义:sos θ=y0+x0r,称“sos θ”为“正余弦函数”,对于“正余弦函数”y=sos x,有同学得到以下性质:①该函数的值域为[‒2,2];②该函数的图像关于原点对称;③该函数的图像关于直线x =3π4对称;④该函数为周期函数,且最小正周期为2π;⑤该函数的递增区间∈Z.为[2kπ-3π4,2kπ+π4],k其中正确的是 .(填上所有正确性质的序号)解析:由“正余弦函数”的定义可知,y=sos x=sin x+cos x①④⑤=2sin(x+π4),由三角函数的性质可得正确.答案:①④⑤三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知tan α=2.(1)求tan(α+π4)的值;(2)求sin2αsin2α+sinαcosα-cos2α-1的值.解(1)ta n(α+π4)=tanα+tanπ41-tanαtanπ4=tanα+11-tanα=2+11-2=‒3.(2)sin2αsin2α+sinαcosα-cos2α-1=2sinαcosαsin2α+sinαcosα-(2cos2α-1)-1=2sinαcosαsin2α+sinαcosα-2cos2α=2tanαtan2α+tanα-2=2×222+2-2=1.18.(12分)若函数f (x )=1+cos2x 4sin(π2+x )‒asin x2cos (π-x 2)的最大值为2,求实数a 的值.解f (x )x xφ满足=1+cos2x4sin (π2+x )‒asin x2cos (π-x2)=2cos 2x 4cosx +asin x 2cos x 2=12cos +a2sin =14+a 24sin(x +φ),其中sin φ=11+a2,则该函数的最大值为14+a 24,由已知,得14+a 24=22,∴a 2=15,∴a =±15.19.(12分)已知函数f (x )=a (cos 2x+sin x cos x )+b.(1)当a>0时,求f (x )的递增区间;(2)当a<0,且x ∈[0,π2]时,f (x )的值域是[3,4],求a ,b 的值.解f (x )=a ·2x+b1+cos2x 2+a ·12sin=2a 2sin (2x +π4)+a2+b.(1)当2k π≤2x ≤2k π∈Z )时,‒π2+π4+π2(k k π≤x ≤k π∈Z ),‒3π8+π8(k∈Z )为f (x )的递增区间.∴[kπ-3π8,kπ+π8](k (2)∵0≤x ≤≤2x π2,∴π4+π4≤5π4,∴≤si ≤1,‒22n (2x +π4)∴f (x )min=1+22a +b =3,f (x )max =b =4,∴a=2-22,b =4.20.(12分)已知函数f (x )=sin(x+θ)+cos(x+θ)的定义域为R .(1)当θ=0时,求f (x )的单调区间.(2)若θ∈(0,π),且sin x ≠0,当θ为何值时,f (x )为偶函数?解(1)当θ=0时,f (x )=sin x+cos x=2sin (x +π4),当2k π≤x ≤2k π∈Z ),即2k π≤x ≤2k π∈Z )时,f (x )是增加的;‒π2+π4+π2(k ‒3π4+π4(k当2k π≤x ≤2k π∈Z ),即2k π≤x ≤2k π∈Z )时,f (x )是减少的.+π2+π4+3π2(k +π4+5π4(k∴f (x )的递增区间∈Z );为[2kπ-3π4,2kπ+π4](k f (x )的递减区间∈Z ).为[2kπ+π4,2kπ+5π4](k (2)f (x ),则θ∈Z ),∴θ=k π∈Z ).=2cos (x -π4+θ)为偶函数‒π4=kπ(k +π4(k∵θ∈(0,π),∴θ=π4.21.(12分)已知函数f (x )=12sin 2x ‒3cos 2x.(1)求f (x )的最小正周期和最小值;(2)将函数f (x )的图像上每一点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数g (x )的图像.当x ∈[π2,π]时,求g (x )的值域.解(1)f (x )2x2x2x )2x 2x =12sin‒3cos 2x =12sin‒32(1+cos =12sin ‒32cos ‒32=sin (2x -π3)‒32,因此f (x )的最小正周期为π,最小值为‒2+32.(2)由条件可知:g (x )=si n (x -π3)‒32.当x ∈,有x si si[π2,π]时‒π3∈[π6,2π3],从而n (x -π3)的值域为[12,1],那么n (x -π3)‒32的值域为[1-32,2-32].故g (x )在区间[π2,π]上的值域是[1-3,2-3].22.(12分)已知函数f (x )·cos ωx+cos 2ωx =3sin ωx ‒12(ω>0),其最小正周期为π2.(1)求f (x )的解析式;(2)将函数f (x )的图像向右平移π8个单位长度,再将图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=g (x )的图像,若关于x 的方程g (x )+k=0在区间[0,π2]上有且只有一个实数解,求实数k 的取值范围.解(1)f (x )ωx ·cos ωx+cos 2ωx2ωx=3sin ‒12=32sin+cos2ωx +12‒12=sin (2ωx +π6).由题意,知f (x )的最小正周期T =π2,则2π2ω=πω=π2,所以ω=2,所以f (x )=si n (4x +π6).(2)将f (x )的图像向右平,得到y=si ,再将所得图像所有点的横坐移π8个单位长度后n (4x -π3)的图像标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到y=si,所以g (x )=sin (2x -π3)的图像n (2x -π3).因为0≤x ≤≤2x π2,所以‒π3‒π3≤2π3.g (x )+k=0在区,即函数y=g (x )与y=-k 的图像在区间[0,π2]上有且只有一个实数解,由正弦函数的图像可≤-k -k=1,所k=-1.间[0,π2]上有且只有一个交点知‒32<32或以‒32<k ≤32或。

§3　二倍角的三角函数第1课时　二倍角公式及其应用课时过关·能力提升1.函数y=2cos 2x 的一个递增区间是( )A .[-π4,π4]B.[0,π2]C.[π4,3π4]D.[π2,π]解析:y=2cos 2x=1+cos 2x 的递增区间为{x|2k π-π≤2x ≤2k π(k ∈Z )},即{x|k π≤x ≤k π(k ∈Z )}.令‒π2k=1,≤x ≤π.有π2答案:D2.已知si n(π4-x )=35,则cos (π2-2x )的值为( )A .1925B .1625C .1425D .725解析:因为si con(π4-x )=35,所以s(π2-2x )=cos [2(π4-x )]=1‒2sin 2(π4-x )=725.答案:D3.sin110°sin20°cos 2155°-sin 2155°的值为( )A .‒12B .12C .32D .‒32解析:原式=cos20°sin20°cos 225°-sin 225°=12sin40°cos50°=12sin40°sin40°=12.答案:B4.设向量a =(1,sin θ),b =(3sin θ,1),且a ∥b ,则cos 2θ等于( )A .13B .23C .‒13D .‒23解析:∵a ∥b ,∴3sin 2θ=1,∴sin 2θ=13.∴cos 2θ=1-2sin 2θ=13.答案:A5.若tan θ+1tanθ=4,则sin 2θ=( )A .15B.14C.13D.12解析:∵tan θ+1tanθ=4,∴sinθcosθ+cosθsinθ=4.∴sin2θ+cos2θcosθsinθ=4,即2sin2θ=4.∴sin 2θ=12.答案:D6.函数f(x)=sin2(x+π4)‒sin2(x-π4)是( )A.最小正周期为2π的奇函数B.最小正周期为2π的偶函数C.最小正周期为π的奇函数D.最小正周期为π的偶函数解析:2x.∴T=π,f ∵(x+π4)+(π4-x)=π2,∴f(x)=cos2(π4-x)‒sin2(π4-x)=cos[2(π4-x)]=cos(π2-2x)=sin(x)为奇函数.答案:C7.函数y=2sin x cos x+3cos 2x的最大值为 .解析:∵y=2sin x cos x2x=sin 2x2x=2si+3cos+3cos n(2x+π3),∴-2≤y≤2,∴所求函数的最大值为2.答案:28.计算sin 6°·cos 24°·sin 78°·cos 48°的结果是 .解析:sin 6°·cos 24°·sin 78°·cos 48°=sin 6°·cos 24°·cos 12°·cos 48°=2cos6°sin6°cos12°cos24°cos48°2cos6°=2sin12°cos12°cos24°cos48°4cos6°=2sin24°cos24°cos48°8cos6°=2sin48°cos48°16cos6°=sin96°16cos6°=sin (90°+6°)16cos6°=cos6°16cos6°=116.答案:1169.已知A ,B 是△ABC 的两个内角,向量m =co i ,j为互相垂直的单位向量.若sA -B 2i +52sin A +B2j ,其中|m |=324,则tan Atan B 的值为 . 解析:|m |2=cos2A -B 2+54sin 2A +B 2=1+cos (A -B )2+54·1-cos (A +B )2=(32)2=98,∴4cos(A-B )=5cos(A+B ),∴cos A cos B=9sin A sin B ,即tan A tan B=19.答案:1910.(1)已知cos θ=‒23,θ∈(π2,π),求2sin2θ‒cosθsinθ的值;(2)在△ABC 中,若cos A =13,求sin 2B +C2+cos 2A 的值.解(1)∵cos θ=‒23,θ∈(π2,π),∴sin θ=1-cos 2θ=1-29=7,∴2sin2θ‒cosθsinθ=22sinθcosθ‒cosθsinθ=1sinθcosθ‒cos 2θsinθcosθ=1-cos 2θsinθcosθ=sin 2θsinθcosθ=sinθcosθ=73-23=‒142.(2)sin 2A 2A2B +C2+cos =1-cos (B +C )2+cos ==1+cosA 2+2cos 2A ‒1=12+12×13+2×(13)2‒1‒19.11.已知函数f (x )=2sin x2cos x 2‒2sin 2x 2.(1)求f (x )的最小正周期;(2)求f (x )在区间[-π,0]上的最小值.解(1)因为f (x )x x )=22sin ‒22(1‒cos =si n (x +π4)‒22,所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为-π≤x ≤0,所≤x 以‒3π4+π4≤π4.当xx=,f (x )取得最小值.+π4=‒π2,即‒3π4时所以f (x )在区间[-π,0]上的最小值为f (-3π4)=‒1‒22.★12.某一扇形铁皮的半径长为1,圆心角∠COP=α,求为π3.现在铁皮匠想从中剪下一个矩形ABCD ,如图,设当角α取何值时,矩形ABCD 的面积S 最大,并求出这个最大面积.解在Rt △OBC 中,OB=cos α,BC=sin α.在Rt △OAD 中,DAOA =tan π3=3,∴OAα,=3DA =3BC =3sin ∴AB=OB-OA=cos αα.‒3sin ∴S=AB ·BCα=(cosα-33sinα)sin=sin α·cos α2α2α)‒33sin 2α=12sin ‒36(1‒cos 2α2α=12sin +36cos ‒36=33(32sin2α+12cos2α)‒36=33sin (2α+π6)‒36.∵0<α<π3,∴当2α,S max +π6=π2,即α=π6时=33‒36=36.。

北师大版数学必修四第三章三角恒等变形复习题三（P133~135）A组1.化简（1）√1-2sin（3-π）cos(3-π)解析：∵-π/2<3-π<0，则：0<π-3<π/2∴√[1-2sin（3-π）cos(3-π)]=√[1+2sin（π-3）cos(π-3)]=√[sin²（π-3）+ 2sin（π-3）cos(π-3) +cos²(π-3)]=√[sin（π-3）+cos(π-3)]²=sin（π-3）+cos(π-3）=sin3 -cos3（2）√(1-2sin190°cos190°)/[cos170°+√(1-cos²170°)]sin(α+180°)=-sinα，cos(α+180°)=-cosα，sin(180°-α)=sinα，cos(180°-α)=cosα。

∴√(1-2sin190°cos190°)/[cos170°+√(1-cos²170°)]=√(sin²190°+cos²190°-2sin190°cos190°)/(cos170°+|sin170°|)=|sin190°-cos190°|/(cos170°+|sin170°|)=(cos10°-sin10°)/(sin10°-cos10°)= -12.已知tanα=-4/3 计算（1）(3sinα+2cosα)/(sinα-4cosα)同时除以cosα得(3sinα+2cosα)/(sinα-4cosα)=(3tanα+2)/(tanα-4)=(3*(-3/4)+2)/(-3/4-4)=(-9+8)/(-3-16)=1/19（2）2sin²α+3sinαcosα-cos²α解：原式=[2sin2а+3sinаcosа-cos2а]/[(sina)^2 +(cosa)^2] （分母1=sina)^2 +(cosa)^2）=[2(tana)^2 +3tana -1]/[(tana)^2 +1] (代入tanα=-3/4)=-34/253.求证（1）2（1-sinα）（1+cosα）=（1-sinα+cosα）∧2(1-sina+cosa)^2=[1-(sina-cosa)]^2=1-2(sina-cosa)+(sina-cosa)^2=1-2sina+2cosa+(sina)^2+(cosa)^2-2sinacosa=2+2cosa-2sina-2sinacosa=2(1+cosa-sina-sinacosa)=2(1-sina)(1+cosa)（2）sin^2α+sin^2β-sin^2αsin^2β+cos^2αcos^2β=1sin^2α+sin^2β-sin^2α·sin^2β+cos^2α·cos^2β=sin^2α·(1-sin^2β)+sin^2β+cos^2α·cos^2β=sin^2α·cos^2β+sin^2β+cos^2α·cos^2β=sin^2α·cos^2β+cos^2α·cos^2β+sin^2β=cos^2β·（sin^2α+cos^2α）+sin^2β=cos^2β+sin^2β=1（3）tanAsinA/(tanA-sinA)=(tanA+sinA)/tanAsinAtanAsinA/(tanA-sinA)=sinA/cosA*sinA/(sinA/cosA-sinA)=sinA/cosA*sinA*(1/cosA+1)/{(1/cosA+1)*(sinA/cosA-sinA)}=sinA*sinA(1/cosA+1/cos^2A)/{sinA*(1/cos^2A-1)}=sinA*sinA(1/cosA+1/cos^2A)*cosA/(sinA*sin^2A/cosA)=sinA(1+1/cosA)/tanAsinA=(tanA+sinA)/tanAsinA4.选择题（1）下列表达式中，正确的是(A)A.sin（α+β）=cosαsinβ+sinαcosβB.cos(α+v)cosαcosβ+sinαsin βC.sin(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβD.cos(α-β)=cosαcosβ-sinαcosβ（2）若tan110°=a，则tan50°的值(D)A.(a+√3)/(1+a*√3)B.(√3-a)/(1+a*√3)C.(a-√3)/(1-a*√3)D.(a-√3)/(1+a*√3)【过程：根据正切两角差公式：tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tana*tanb)tan50=tan(110-60)=(tan110-tan60)/(1+tan110*tan60)=(a-√3)/(1+a*√3) 】（3）若sin（α-β）cosα-cos（α-β）sinα=m且β为第三象限角,则cosβ的值(B)A.√(1-m^2)B.-√(1-m^2)C.√(m^2-1)D.-√(m^2-1)【过程：∵cos（α－β）cosα＋sin（α＋β）sinα＝m∴cos（α－β-α）=mcos(－β)=mcosβ=mβ为第三象限角sinβ=-√(1-m^2)】(4)化简√1-sin20°的结果是（B）A.cos10°B.cos10°-sin10°C.sin10°-cos10°D.±(cos10°-sin10°)【过程 1-sin20°=(sin10°)^2-2sin10°cos10°+(cos10°)^2=(sin10°-cos10°)^2∵cos10°>sin10°∴原式=cos10°-sin10°】(5)7/16-7/8sin²15°的值为（C）A.7/16B.7/32C.7√3 /32D.7√3 /16【过程 sin^215°=(1-cos30°)/27/16-7/8sin^215°=7/16-(7-7cos30°)/16=7√3 /32】(6)化简tan(π/4+A)-tan(π/4-A)的值为（C）A.2tanAB.-2tanAC.2tan2AD.-2tan2A【过程：tan(π/4+A)-tan(π/4-A)=[tan(π/4)+tanA]/[1-tan(π/4)tanA]-[tan(π/4)-tanA]/[1+tan(π/4)tanA] =(1+tanA)/(1-tanA)-(1-tanA)/(1+tanA)=4tanA/(1-tan²A)=2tan2A】5.已知sinα+cosα=4/5,那么sin2α=-9/25【过程：∵sin2a=2sinacosa2sinacosa=（sina+cosa）²-（sin²a+cos²a）=16/25-1=-9/25∴sin2a=-9/25】6.已知sin（α+45°）=3/5,45°<α<135°,那么sinα=7√2/10【过程：∵45°<α<135°，∴90°<α+45°<180°，cos(α+45°)<0cos(α+45°)= -√(1-9/25)= -4/5sinα=sin(α+45°-45°)=sin(α+45°)cos45°-cos(α+45°)sin45°=3/5*√2/2-(-4/5)*√2/2= 7√2/10】7.已知tanα=4/3,225°<α<270°，求cos2α和sin2α的值。

一、选择题1．已知θ为锐角，且满足如tan 311tan θθ=，则tan 2θ的值为（ ） A ．34B ．43 C ．23D ．322．已知,(0,2)αβπ∈，且满足1sin cos 2αα-=，1cos sin 2ββ-=，则sin()αβ+=（ ） A ．1 B．2-或1 C ．34-或1 D ．1或-13．已知sin cos x x +=，则1tan tan x x +=（ ） A ．6- B ．7-C ．8-D ．9-4．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2παβπ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，且4cos 5α=，2sin()3αβ+=，则（ ）A ．0,3πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．,32ππβ⎛⎫∈⎪⎝⎭ C ．2,23ππβ⎛⎫∈⎪⎝⎭D ．2,3πβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭5．函数12log (sin cos )y x x =的单调增区间是（ ）A ．(,)()44k k k Z ππππ-+∈B ．3(,)()44k k k Z ππππ++∈ C ．(,)()4k k k Z πππ+∈D ．(,)()42k k k Z ππππ++∈ 6．已知cos 2π3)4αα=+，则1tan tan αα+等于（ ） A ．92B ．29C ．9-2D ．2-97．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>的图象关于直线8x π=对称，则ω的最小值为（ ） A ．13B ．23C ．43D ．838．已知α∈3π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭,cos α=-45,则tan π4α⎛⎫- ⎪⎝⎭等于( )A ．7B ．17C ．-17D ．-79．已知函数22()2sin cos ()sin (0)24x f x x x ωπωωω=-->在区间25[,]36ππ-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的范围是（ ）A ．3(0,]5B ．13[,]25C ．13[,]24D ．15[,)2210．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，BC 边上的高为h ，且3h =，则2c a b c c b b ++的最大值是（ ）A ．B ．C ．4D ．611．求sin10°sin50°sin70°的值（ ）A ．12B ．2C ．18D ．812．已知函数()222cos 1f x x x -+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（ ） A ．54π B ．34π C ．2π D ．3π 二、填空题13．已知1sin cos 5θθ+=，(0,)θπ∈，则tan θ=________. 14．222cos 402cos 50cos35cos65cos55cos155︒-︒=︒︒+︒︒_________.15．若1tan 20201tan αα+=-，则1tan 2cos 2αα+=____________.16．已知函数()sin cos ,,22f x x x x ππ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦，有以下结论： ①()f x 的图象关于y 轴对称； ②()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； ③()f x 图象的一条对称轴方程是4x π=； ④()f x 的最大值为2．则上述说法中正确的是__________（填序号） 17．已知π0π2αβ<<<<，3cos 5α=，()3sin 5αβ+=-，则cos β的值为______． 18．如图，以Ox 为始边作钝角α，角α的终边与单位圆交于点P （x 1，y 1），将角α的终边顺时针旋转3π得到角β．角β的终边与单位圆相交于点Q （x 2，y 2），则x 2﹣x 1的取值范围为_____．19．如果函数sin 2cos 2y x a x =+的图象关于直线12x π=对称，那么该函数在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最小值为_______________． 20．已知α，()0,βπ∈，且()23tan 3αβ-=，53tan 11β=-，2αβ-的值为_______.三、解答题21．函数()3sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中7,03B π⎛⎫⎪⎝⎭，且最高点A 与B 的距离29AB π=+（1）求函数()f x 的解析式；（2）若(),,4363f ππαα⎛⎫∈-= ⎪⎝⎭，求cos2α的值. 22．已知31250,2,tan ,sin 223ππαβπαβ<<<<==. （1）求cos()αβ-的值； （2）求αβ+的值.23．已知函数21()3sin cos cos 22f x x x x π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭. （1）若对任意,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，都有()f x a ≥成立，求实数a 的取值范围； （2）若先将()y f x =的图像上每个点横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图像向左平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图像，求函数1()3y g x =-在区间[],3ππ-内的所有零点之和.24．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω，ππ22ϕ-<<）的部分图像如图所示，π12，7π12是函数的两个相邻的零点，且图像过()0,1-点．（1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()()π4g x f x f x ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭的单调增区间以及对称轴方程． 25．已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且2sin cos 22αα-=. （1）求cos α的值； （2）若()4sin 5αβ-=，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos β的值． 26．求值：（1）cos540tan 225cos(330)sin(240)︒︒︒︒+--+-；（2）1cos201sin10tan 52sin 20tan 5︒︒︒︒︒+⎛⎫-- ⎪⎝⎭【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】先利用两角和的正切计算tan tan 2tan 31tan tan 2θθθθθ+=-，再利用二倍角的正切化简前者，结合tan 311tan θθ=可得1tan 2θ=，从而可求tan 2θ.【详解】32222tan tan tan tan 23tan tan 1tan tan 32tan 1tan tan 213tan 1tan 1tan θθθθθθθθθθθθθθ++--===---⨯-，故32223tan tan tan 33tan 13tan 11tan tan 13tan θθθθθθθθ---===-，故21tan 4θ=， 因为θ为锐角，故1tan 2θ=，故1242tan 21314θ⨯==-， 故选：B. 【点睛】思路点睛：已知θ的三角函数值，求()*n n N θ∈的三角函数值，应利用两角和的三角函数值逐级计算即可.2．C解析：C 【分析】由两角与差的正弦、余弦公式变形由已知求得sin()4πα-和cos()4πβ+，用平方关系求得cos()4πα-和sin()4πα+，而sin()sin ()()44ππαβαβ⎡⎤+=-++⎢⎥⎣⎦，展开后计算，注意分类讨论． 【详解】∵1sin cos 2αα-=，∴sin 224αα-=sin()44πα-=，1cos sin 2ββ-=ββ-=，cos()4πβ+=，∴cos()44πα-=±，sin()44πα+=±， sin()sin ()()sin()cos()cos()sin()444444ππππππαβαβαβαβ⎡⎤+=-++=-++-+⎢⎥⎣⎦，当7cos()sin()448ππαβ-+=时，17sin()188αβ+=+=， 当7cos()sin()448ππαβ-+=-时，173sin()884αβ+=-=-， 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查两角和与差正弦、余弦公式．解题关键是确定已知角和未知角之间的关系，本题中已知等式变形得出4πα-和4πβ+，未知角有()()44ππαβαβ+=-++，这样易确定使用的公式与顺序．3．C解析：C 【分析】将等式sin cos x x +=sin cos x x 的值，利用切化弦可求得1tan tan x x+的值. 【详解】由sin cos x x +=，可得()23sin cos 12sin cos 4x x x x +=+=，得1sin cos 8x x =-，因此，221sin cos sin cos 1tan 8tan cos sin sin cos sin cos x x x x x x x x x x x x++=+===-.故选：C. 【点睛】方法点睛：应用公式时注意方程思想的应用，对于sin cos αα+、sin cos αα-、sin cos αα这三个式子，利用()2sin cos 12sin cos αααα±=±可以知一求二．4．C解析：C【分析】 由0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2παβπ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，可得()0,βπ∈，再由()βαβα=+-展开式结合同角三角函数关系可得1cos (,0)2β=-，从而得解. 【详解】 由0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2παβπ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，,02πα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，可得()0,βπ∈.又4cos 5α=，2sin()3αβ+=，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以3sin 5α==，cos()αβ+==. 所以cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++4236(0353515-=-⨯+⨯=<.102+=>，所以1cos (,0)2β∈- 所以2,23ππβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】方法点睛：在利用两角和与差的三角函数公式求值或化简时，常根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论的差异，使问题获解，常见角的变换方式有：()ααββ=+-，2()()ααβαβ=++-，2()αβααβ-=+-等.5．D解析：D 【分析】先利用二倍角公式化简整理，再根据对数函数的定义域及复合函数单调性的性质求解单调递增区间即可. 【详解】由11221log (sin cos )log (sin 2)2y x x x ==， 得1sin 2022222x k x k k x k ππππππ>⇒<<+⇒<<+， 故函数的定义域为(,)()2k k k z πππ+∈，又求函数12log (sin cos )y x x =的单调增区间，利用复合函数单调性的性质， 可得222242k x k k x k ππππππππ+<<+⇒+<<+.故选：D. 【点睛】本题主要考查了复合函数单调性的性质及应用，对数函数定义域的特殊要求.属于中档题.6．A解析：A 【分析】先利用cos 2sin 22παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭结合cos 2π3)4αα=+得出cos 46πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭的值，然后利用二倍角公式得到24cos 22cos 1249ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即4sin 29α=，又12tan tan sin 2ααα+=，将4sin 29α=代入便可解出答案. 【详解】因为sin 22sin cos cos 2244π4)444πππααααπαππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭===+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 46πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以24cos 22cos 1249ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又4cos 2sin 229παα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，所以4sin 29α=， 所以1sin cos 1229tan 4tan cos sin sin cos sin 229ααααααααα+=+====.故选：A. 【点睛】本题考查诱导公式，考查正弦、余弦的二倍角公式及其应用，难度一般，解答时公式的变形运用是关键.7．C解析：C 【分析】利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据题意得出()832k k Z πππωπ+=+∈，可得出关于ω的表达式，即可求出正数ω的最小值.【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由于该函数的图象关于直线8x π=对称，则()832k k Z πππωπ+=+∈，得()483k k Z ω=+∈， 0ω>，当0k =时，ω取得最小值43.故选：C. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，解题时要将三角函数的解析式利用三角恒等变换思想化简，并通过对称性列出参数的表达式求解，考查计算能力，属于中等题.8．B解析：B 【分析】先根据同角三角函数关系求tan α，再根据两角差正切公式求结果. 【详解】 由已知得tan α=34,则tan π1tan 141tan 7ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭. 选B 【点睛】本题考查同角三角函数关系、两角差正切公式，考查基本求解能力.9．B解析：B 【分析】先化简函数，根据()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则为函数含有零的增区间的子集，再根据区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则取得最大值时对应的最小正数解属于[]0,π，最后取交集.【详解】因为()222sin cos sin 24x f x x x ωπωω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()2sin 1sin sin x x x ωωω=+-，22sin sin sin x x x ωωω=+-，sin x ω=，令22,22k x k k Z πππωπ-+≤≤+∈，则22,22k k x k Z ππππωωωω-+≤≤+∈， 因为()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， 25,23,2262,k k k Z ππππωωωωππ⎡⎤∴-++∈⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦ 所以223562ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得35ω≤，令2,2x k k Z πωπ=+∈，因为在区间[]0,π上恰好取得一次最大值， 所以02ππω≤≤，所以12ω≥， 所以ω的取值范围是1325ω≤≤. 故选：B. 【点睛】本题主要考查三角函数的单调性和最值以及二倍角公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．C解析：C 【分析】由余弦定理化简可得2222cos c b a a A b c bc bc ++=+，利用三角形面积公式可得2sin a A =，解得22cos 4sin(6c b a A A A b c bc π++=+=+)，利用正弦函数的图象和性质即可得解其最大值． 【详解】由余弦定理可得：2222cos b c a bc A +=+，故：22222222cos 22cos c b a a b c a bc A a A b c bc bc bc bc+++++===+，而2111sin 222ABC S bc A ah a ∆===，故2sin a A =，所以：2222cos 2cos 4sin()46c b a a A A A A b c bc bc π++=+=+=+． 故选C ． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．11．C解析：C 【分析】由诱导公式可转化为cos20cos40cos80︒︒︒，利用二倍角公式正弦公式求解即可. 【详解】sin10sin50sin70cos20cos40cos80︒︒︒=︒︒︒ 1sin160sin 20cos 20cos 40cos8018sin 20sin 208︒∴︒︒︒︒==︒︒ 即1sin10sin 50sin 708︒︒︒= 故选：C 【点睛】本题主要考查了诱导公式，二倍角的正弦公式，考查了运算能力，属于中档题.12．C解析：C 【分析】根据三角恒等变换化简函数()f x ，再由图象的平移得到函数()g x 的解析式，利用函数()g x 的值域，可知12x x -的值为函数()y g x =的最小正周期T 的整数倍，从而得出选项.【详解】函数2()22cos 12cos 22sin 26f x x x x x x π⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得2sin 46y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再把所得图象向上平移1个单位，得函数()2sin 416y g x x π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭的图象，所以函数()y g x =的值域为[1,3]-.若()()129g x g x ⋅=，则()13g x =且()23g x =，均为函数()y g x =的最大值， 由42()62x k k Z πππ-=+∈，解得()62k x k Z ππ=+∈； 其中1x ､2x 是三角函数()y g x =最高点的横坐标，12x x ∴-的值为函数()y g x =的最小正周期T 的整数倍，且242T ππ==. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象的平移，以及函数的值域和周期，属于中档题.二、填空题13．【分析】把已知等式两边平方求出的值再利用完全平方公式求出的值联立求解再结合同角三角函数间的基本关系可求得的值【详解】已知平方得得解得故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数间的基本关系齐次方程的求解属解析：43-【分析】把已知等式两边平方，求出sin cos θθ的值，再利用完全平方公式求出sin cos θθ-的值，联立求解再结合同角三角函数间的基本关系可求得tan θ的值． 【详解】 已知1sin cos 5θθ+=，平方得()2221sin cos sin cos 2sin cos 25θθθθθθ+=++=，得12sin cos 25θθ=-， ∴()222sin cos sin cos 2sin cos 125252449θθθθθθ-=+-=+=，(0,)θπ∈，sin 0,cos 0θθ><，7sin cos 5θθ∴-=，7ta sin cos 1sin cos n 571t n 51a θθθθθθ=-=-+=+，解得4tan 3θ=-. 故答案为：43-【点睛】本题考查同角三角函数间的基本关系，齐次方程的求解，属于中档题．14．【分析】用诱导公式降次公式两角和与差的正余弦公式化简求值得到答案【详解】原式故答案为：【点睛】本题考查了三角关系的化简与求值诱导公式转化角两角和与差公式二倍角公式属于中档题 解析：2-【分析】用诱导公式、降次公式、两角和与差的正余弦公式化简求值，得到答案. 【详解】原式()()22222cos 40cos 502cos 402cos 50sin 55cos 65cos55sin 65sin 5565︒-︒︒-︒==︒︒-︒︒︒-︒. ()2cos80sin 10︒=-︒2sin10sin10︒=-︒2=-故答案为：2-. 【点睛】本题考查了三角关系的化简与求值，诱导公式转化角，两角和与差公式，二倍角公式，属于中档题.15．2020【分析】由条件求出化简待求式为的形式即可求解【详解】因为解得所以故答案为：2020【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系考查了运算能力属于中档题解析：2020 【分析】由条件求出tan α，化简待求式为tan α的形式即可求解. 【详解】 因为1tan 20201tan αα+=-，解得2019tan 2021α=， 所以222222221cos sin 2tan 1tan 2tan tan 2cos 2cos sin 1tan 1tan 1tan αααααααααααα+++=+=+---- 2220191(1tan )1tan 2021=202020191tan 1tan 12021αααα+++===---， 故答案为：2020 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，考查了运算能力，属于中档题.16．①【分析】去掉绝对值利用辅助角公式化简函数解析式利用函数的奇偶性单调性对称性以及函数的最值对选项进行判断即可【详解】当时当时即函数为偶函数图象关于y 轴对称①正确；函数在区间上单调递增在区间上单调递减解析：① 【分析】去掉绝对值，利用辅助角公式化简函数解析式，利用函数的奇偶性，单调性，对称性以及函数的最值对选项进行判断即可. 【详解】(),,042sin cos ,0,42x x f x x x x x ππππ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=+=⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，()()44f x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()44f x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，①正确； 函数()f x 在区间,24ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，②错误；因为函数()f x 的定义域为,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不关于直线4x π=对称，所以直线4x π=不是一条对称轴，③错误；()f x，④错误．故答案为:①． 【点睛】本题考查余弦函数的性质，考查余弦函数的奇偶性，单调性，对称性以及最值，考查辅助角公式的应用，考查学生的分析推理能力，属于中档题.17．【分析】根据角的范围求出和的值再将变成利用两角差的余弦公式即可求得【详解】因为且所以因为所以因为所以所以故答案为：【点睛】本题考查了同角公式以及两角差的余弦公式考查了学生的计算能力属于中档题 解析：2425-【分析】根据角的范围，求出sin α和cos()αβ+的值，再将cos β变成cos()αβα+-利用两角差的余弦公式即可求得. 【详解】因为02πα<<，且3cos 5α=，所以4sin 5α， 因为π0π2αβ<<<<，所以322ππαβ<+<，因为3sin()5αβ+=-，所以4cos()5αβ+=-，所以cos cos()βαβα=+-cos()cos sin()sin αβααβα=+++433424555525=-⨯-⨯=-.故答案为：2425- 【点睛】本题考查了同角公式以及两角差的余弦公式，考查了学生的计算能力，属于中档题.18．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义两角和差的三角公式求得再利用正弦函数的定义域和值域求出的取值范围【详解】由已知得∴∵∴∴∴的取值范围为故答案为：【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义两角解析：1,12⎛⎤⎥⎝⎦【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，两角和差的三角公式，求得21sin 6x x πα⎛⎫- ⎪⎝-⎭=再利用正弦函数的定义域和值域，求出21x x -的取值范围. 【详解】 由已知得1233x cos x cos cos ππβααβα⎛⎫=-===- ⎪⎝⎭，，，∴211326x x cos cos cos cos cos sin ππβαααααα⎛⎫⎛⎫-=-=--=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵2παπ<<，∴5366πππα<-<，∴1162sin πα⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，， ∴21x x -的取值范围为112⎛⎤⎥⎝⎦，， 故答案为：112⎛⎤ ⎥⎝⎦，. 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的三角公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题.19．【分析】根据三角公式得辅助角公式结合三角函数的对称性求出值再利用的取值范围求出函数的最小值【详解】解：令则则因为函数的图象关于直线对称所以即则平方得整理可得则所以函数因为所以当时即函数有最小值为故答解析：【分析】根据三角公式得辅助角公式，结合三角函数的对称性求出a 值，再利用x 的取值范围求出函数的最小值.【详解】解：sin 2cos 2sin 2cos 2y x a x x x ⎫=+=+，令cos θ=，则sin θ=则)()sin 2cos cos 2sin 2y x x x θθθ=⋅+⋅=+. 因为函数sin 2cos 2y x a x =+的图象关于直线12x π=对称，所以sin 2cos 21212a ππ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin cos 66a ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则122+=平方得22131424a a a ++=+.整理可得(20a -=，则a =所以函数1sin 222sin 2cos 22sin 2223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ ， 当4233x ππ+=时，即2x π=，函数有最小值为故答案为：. 【点睛】本题主要考查三角函数最值求解，结合辅助角公式和利用三角函数的对称性建立方程是解决本题的关键.20．【分析】根据正切差角公式代入可求得将角配凑后可求得根据及可得的范围即可求得的范围进而求得的值【详解】因为由正切差角公式展开可得代入化简可求得则因为所以即所以则所以故答案为:【点睛】本题考查了正切差角 解析：23π-【分析】根据正切差角公式,代入tan 11β=-可求得tan 9α=.将角配凑后可求得()tan 2αβ-=根据tan 19α=<及tan 011β=-<可得,αβ的范围,即可求得2αβ-的范围,进而求得2αβ-的值.【详解】 因为()tan 3αβ-=,tan 11β=- 由正切差角公式展开可得()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--==+⋅代入tan 11β=-tan 3α=⎝⎭化简可求得tan 9α=则()()tan 2tan αβααβ-=+-⎡⎤⎣⎦()()tan tan 1tan tan ααβααβ+-=-⋅-+==因为tan 19α=< 所以04πα<<,即022πα<<tan 0β=< 所以2πβπ<< 则20παβ-<-<所以223παβ-=- 故答案为: 23π- 【点睛】本题考查了正切差角与和角公式的应用,配凑角的形式求正切值,根据三角函数值判断角的取值范围,属于中档题.三、解答题21．（1）()13sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）6. 【分析】（1）根据最高点A 与点B 的距离AB ==，求得,T ω，点7,03B π⎛⎫ ⎪⎝⎭在图象上求解.（2）由(),,463f ππαα⎛⎫∈-= ⎪⎝⎭，求得sin 2,cos 266ππαα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后由cos2cos 266ππαα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭求解.【详解】（1）最高点A 与点B 的距离AB ==，14,2T πω==， ()13sin ,2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为点7,03B π⎛⎫ ⎪⎝⎭在图象上， 所以773sin 0,36f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为2πϕ<，所以6πϕ=-，所以()13sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.（2）()43sin 22663f ππααα⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为,63ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭， 所以2,622πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以cos 263πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 所以cos2cos 266ππαα⎛⎫=-+⎪⎝⎭， cos 2cos sin 2sin 6666ππππαα⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=. 【点睛】 方法点睛：已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)五点法，由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ；(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．22．（1；（2）74π. 【分析】（1）由tan α求得sin ,cos αα，由sin β求得cos β，然后由两角差的余弦公式计算； （2）由两角和的正弦公式求得sin()αβ+后，由3522ππαβ<+<可得αβ+ 【详解】 因为1tan 3α=，所以sin 1cos 3αα=，又因为22sin cos 1αα+=，02πα<<，所以10sin α=，cos 10α=sin β=322πβπ<<，所以cos β===.（1）cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+⎛=⎝⎭10=.（2）因为sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+⎛= ⎝⎭2=-. 因为02πα<<，322πβπ<<，所以3522ππαβ<+<，所以74αβπ+=． 【点睛】方法点睛：本题考查两角和与差的正弦、余弦公式，考查同角间的三角函数关系，求角求值．解题关键是确定“已知角”和“未知角”的关系，以便选用恰当的公式求值．在求角，一般先确定出这个角的范围，在这个范围内选三角函数值是一对一的函数求得这个三角函数值，然后得角，如果不能直接得出一对一的函数，常常需要由已知或已求出的三角函数值缩小角的范围，从而得出角． 23．（1）1a ≤-，（2）6π 【分析】（1）先对函数()f x 化简变形，然后求出函数()f x 在,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的最小值，则可得到实数a 的取值范围；（2）根据题意，利用函数sin()y A x ωϕ=+的图像变换规律，先得到()g x 的解析式，函数1()3y g x =-在区间[],3ππ-内的所有零点，即1sin 3x =的实数根，它的实数根共4个，再根据正弦函数图像的对称性得到结论 【详解】解：（1）21()cos cos 22f x x x x π⎛⎫=++-⎪⎝⎭21cos (2sin 1)2x x x =+-12cos 2sin(2)26x x x π=-=-， 若对任意,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，都有()f x a ≥成立，则只需min ()f x a ≥即可， 因为,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以552[,]666x πππ-∈-，所以当262x ππ-=-即π6x =-时，()f x 取得最小值为1-，所以1a ≤-， （2）先将()f x 的图像上每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得sin()6y x π=-的图像，然后再向左平移6π个单位得到函数()sin g x x =的图像，函数1()3y g x =-在区间[],3ππ-内的所有零点，即1sin 3x =的实数根，它的实数根共4个，设为1234,,,x x x x ，则根据对称性可知这4个根关于直线32x π=对称， 所以1234342x x x x π+++=， 所以12346x x x x π+++=【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数恒等变换、正弦函数的定义域和值域，函数恒成立问题，函数sin()y A x ωϕ=+的图像变换规律，第2问解题的关键是运用正弦函数的对称性进行求解，属于中档题24．（1）()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）5ππ11ππ,242242k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，对称轴方程为5π244k x π=+，k Z ∈． 【分析】 （1）先利用图象解得周期和ω，再结合π3f A ⎛⎫=⎪⎝⎭, ()01f =-，解得ϕ和A ，即得解析式；（2）先根据解析式化简()g x ，再利用整体代入法求解单调区间和对称轴方程即可.【详解】解：（1）由图可知7212122T πππ=-=，周期T π=，故22T πω==， 由π12，7π12是函数的两个相邻的零点，则17π2123π12π⎛⎫= ⎪⎭+⎝处取得最大值， 故π2πsin 33f A A ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得2πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2π2,32k k Z πϕπ+=+∈， 又ππ22ϕ-<<，故π6ϕ=-， 由()0sin sin 16f A A πϕ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，得2A =， 所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； （2）()πππππ2sin 22sin 24sin 2cos 262666g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅--=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ π4sin 43x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当ππ32π4π2π232k x k +≤-≤+，k Z ∈时，5ππ11ππ242242k k x +≤≤+，()g x 单调递增， 所以()g x 的单调增区间为5ππ11ππ,242242k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， 令ππ4π32x k -=+，对称轴方程为5π244k x π=+，k Z ∈． 【点睛】思路点睛：解决三角函数()sin y A ωx φ=+的图象性质，通常利用正弦函数的图象性质，采用整体代入法进行求解，或者带入验证.25．（1）；（2. 【分析】（1）将已知条件两边平方，求得sin α的值，进而求得cos α的值.（2）先求得()cos αβ-的值，然后利用cos cos[()]βααβ=--，结合两角差的余弦公式，求得cos β的值.【详解】（1）将sin cos 222αα-=两边同时平方，得11sin 2α-=，则1sin 2α=，又2παπ∈（，），所以cos 2α==-.（2）由（1）知，1sin ,cos 22αα==-， 因为2παπ∈（，），2βπ∈π（，），所以22ππαβ-<-<.又因为4sin()5αβ-=，所以3cos()5αβ-， 所以cos cos[)]βααβ=--（ cos cos()sin sin()ααβααβ=-+-314525=+⨯， 【点睛】关键点点睛：对于三角函数给值求值的问题，关键在于运用已知角的和，差，二倍的运算表示待求的角，再选择相关公式得以求值．26．（1）0（2【分析】（1）利用诱导公式化简，即可求解；（2）先利用二倍角公式化简1cos 202sin 20︒︒+，由切化弦化1tan 5tan 5︒︒-， 通分后利用两角差的正弦公式展开即可化简求值.【详解】利用（1）原式cos(3180)tan 45cos30sin 60110;︒︒︒=⨯︒+-+=-+= （2）原式=22cos 10cos5sin 5sin10()4sin10cos10sin 5cos5︒︒︒=-︒-︒︒︒︒ 22cos10cos 5sin 5cos10cos10cos10sin10sin102cos1012sin10sin 5cos52sin102sin10sin102︒︒-︒︒︒︒=-︒=-︒⋅=-︒︒︒︒︒︒︒cos102sin 20cos102sin(3010)2sin102sin10︒-︒︒-︒-︒==︒︒1cos102(cos10)222sin10︒︒︒︒--=== 【点睛】关键点点睛：三角函数化简求值，需要根据式子的结构特征选择合适的公式，并且要注意公式的正用、逆用，特别是复杂式子的灵活运用，属于难题.。

一、选择题1．已知,(0,2)αβπ∈，且满足1sin cos 2αα-=，1cos sin 2ββ-=，则sin()αβ+=（ ）A ．1B ．2-或1 C ．34-或1 D ．1或-12．已知函数2()2sin cos (0)f x x x x ωωωω=->图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．1--C ．0D ．-3．已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中,a b ∈R ，且0ab ≠，若()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，则（ ）. A ．ππ56f f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()5π2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．π4f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数 D ．π4f x ⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数 4．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos 63πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin α的值等于（ ）A ．6 B ．6C ．16D ．16-5．已知()sin 2cos x x x ϕ+=+对x ∈R 恒成立，则cos 2ϕ=（ ） A ．25-B ．25C ．35D ．356．若α∈(2π，π)，且3cos 2α＝sin(4π－α)，则sin 2α的值为（ ） A ．－118 B ．118C ．－1718D ．17187．函数()sin sin 22f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．18D ．988．函数2()3sin cos f x x x x =+的最大值为（ ）A ．2B ．C ．D ．3+9．已知直线3x −y +1=0的倾斜角为α，则1sin22α= A ．310 B ．35 C ．−310D ．11010．设a 、b R ∈，[)0,2c π∈，若对任意实数x 都有()2sin 3sin 3x a bx c π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象交点的横坐标是d ，则满足条件的有序实数组(),,,a b c d 的组数为（ ） A ．7B ．11C ．14D ．2811．求sin10°sin50°sin70°的值（ ）A ．12B C ．18D 12．已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．3-B ．3C ．13-D ．13二、填空题13．222cos 402cos 50cos35cos65cos55cos155︒-︒=︒︒+︒︒_________.14．若cos()3πα-=-,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α的值是____________．15．已知tan 2α=，则2sin 2cos αα+=________．16．若角α的终边与单位圆的交点为1,()3m m R ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos2=α______. 17．已知tan 3α=-，则cos2=α_____________. 18．已知1cos cos 2αβ+=，1sin sin 3αβ+=，则cos()αβ-=______. 19．在半径为2的半圆形钢板上截取一块面积最大的矩形，则最大面积是________. 20．若函数()sin()cos f x x x ϕ=++为偶函数，则常数ϕ的一个取值为________．三、解答题21．已知函数()2sin cos 144f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若函数()()2g x f x x =-，求函数()g x 的单调增区间.22．已知2()2sin ()142xf x π=+-． （1）求()(2)3g x f x π=-的递增区间；（2）是否存在实数k ，使得不等式(2)(4)()(4)()32f x k f x k f x π+-⋅+-⋅+<对任意22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，的恒成立，若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．23．函数2()sin cos (0)f x x x x ωωωω=+⋅>且满足___________. ①函数()f x 的最小正周期为π；②已知12x x ≠，()()1212f x f x ==，且12x x -的最小值为2π，在这两个条件中任选一个，补充在上面横线处，然后解答问题. （1）确定ω的值并求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域. 24．在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． ①函数1()cos sin (0)2264f x x x ωωπω⎛⎫⎛⎫=+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．②函数1()sin +cos()(0)2224f x x x x ωωωω⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ③函数()1()sin 0,||22f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭对任意x ∈R 都有5()06f x f x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭成立；已知_______（填所选条件序号），函数()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π． （1）求3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （2）求函数()f x 的单调递增区间和对称中心､对称轴． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．25．如图，以x 轴非负半轴为始边，角α的终边与单位圆相交于点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将角α的终边绕着原点O 顺时针旋转4π得到角β．（1）求3sin()5cos()2sin sin()2πααπαπα-+-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的值； （2）求sin 22cos ββ+的值． 26．已知0πx <<，5sin cos x x +=． （Ⅰ）求sin cos x x -的值；（Ⅱ）求2sin 22sin 1tan x xx+-的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由两角与差的正弦、余弦公式变形由已知求得sin()4πα-和cos()4πβ+，用平方关系求得cos()4πα-和sin()4πα+，而sin()sin ()()44ππαβαβ⎡⎤+=-++⎢⎥⎣⎦，展开后计算，注意分类讨论． 【详解】 ∵1sin cos 2αα-=，∴222sin 224αα-=2sin()44πα-=， 1cos sin 2ββ-=，422cos 222ββ-=，2cos()44πβ+=，∴cos()44πα-=±，sin()44πα+=±， sin()sin ()()sin()cos()cos()sin()444444ππππππαβαβαβαβ⎡⎤+=-++=-++-+⎢⎥⎣⎦，当7cos()sin()448ππαβ-+=时，17sin()188αβ+=+=， 当7cos()sin()448ππαβ-+=-时，173sin()884αβ+=-=-， 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查两角和与差正弦、余弦公式．解题关键是确定已知角和未知角之间的关系，本题中已知等式变形得出4πα-和4πβ+，未知角有()()44ππαβαβ+=-++，这样易确定使用的公式与顺序．2．D解析：D 【分析】先将函数化简整理，根据相邻对称轴之间距离求出周期，确定1ω=，再求2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【详解】因为()21cos 22sin cos sin 22xf x x x x x ωωωωω-=-=- πsin 222sin 23x x x ωωω⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭由题意知()f x 的最小正周期为π22π⨯=，所以2π2πω=，即1ω=，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π2sin 23f ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D. 【点睛】本题考查了三角函数的性质，关键点是根据已知条件先化简正弦函数的解析式，还要熟练掌握三角函数的性质才能正确的解题，属于中档题.3．B解析：B【分析】利用辅助角公式可得()()f x x ϕ=+，又()π4f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立知π422f a ⎛⎫=+=⎪⎝⎭a b =，整理得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性可判断A ，利用诱导公式以及三角函数的奇偶性可判断选项BCD ，进而可得正确选项. 【详解】由0ab ≠知0a ≠且0b ≠，利用辅助角公式可得()()sin cos f x a x b x x ϕ=+=+，其中tan baϕ=， 又()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，知π4f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最值，所以πππsin cos 44422f b a a b ⎛⎫=+=+= ⎝⎪⎭， 即22221122a b ab a b +++=，所以2211022a b ab +-=，即()2102a b -=， 所以a b =，tan 1b a ϕ==，可得4πϕ=，所以()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于选项A ：9sin sin 55420f ππππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 5sin sin 66412f ππππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为5912202πππ<<，则59sin sin 1220ππ<， 当0a >时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0a <时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项A 不正确； 对于选项B ：sin sin 5π5π11π3π2244sin 4f x x x x π⎛⎫-=--- ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭()ππ4sin sin 4x f x x π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--+，故选项B 正确；对于选项C ：sin sin ππ444x x f x π⎛⎫--⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭是奇函数，故选项C 不正确；对于选项D ：si πππ442n sin cos 4f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎛⎫+++ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝是偶函数，故选项D 不正确， 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是从已知条件()π4f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，知π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的最值，π422f a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，从而得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，属于中档题.4．C解析：C 【分析】 求出sin 6απ⎛⎫+⎪⎝⎭，然后由两角差的正弦公式计算． 【详解】∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2,663πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴sin 63πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭， ∴sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11132326-=⨯-⨯=． 故选：C ． 【点睛】本题考查两角差的正弦公式，考查同角间的三角函数关系，在应用三角公式化简求值时，要注意已知角与未知角之间的关系，以确定先用哪一个公式变形．5．D解析：D 【分析】利用两角和的正弦公式进行展开，结合恒成立可得cos ϕ，最后根据二倍角公式得结果. 【详解】由题可知，cos sin sin 2cos x x x x ϕϕ+=+， 则cosϕ=，sin ϕ=， 所以283cos22cos 1155ϕϕ=-=-=，故选：D. 【点睛】本题主要考查了两角和的余弦以及二倍角公式的应用，通过恒成立求出cos ϕ是解题的关键，属于中档题.6．C解析：C 【分析】按照二倍角的余弦以及两角差的正弦展开可得()3cos sin 2αα+=，对等式平方即可得结果. 【详解】 由3cos 2sin 4παα⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得())223cos sin cos sin 2αααα-=-， 又由,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，可知cos sin 0αα-≠，于是()3cos sin 2αα+=，所以112sin cos 18αα=＋， 故17sin 218α=-， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了两角差公式以及二倍角公式的应用，属于中档题.7．D解析：D 【分析】利用诱导公式与二倍角的余弦公式化简，再结合二次函数配方法求解即可. 【详解】因为()sin sin 2sin cos 22f x x x x x π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭， 2219sin 12sin 2sin 48x x x ⎛⎫=+-=--+ ⎪⎝⎭所以()f x 的最大值为98， 故选:D. 【点睛】本题主要考查诱导公式与二倍角的余弦公式的应用，考查了二次函数的性质，属于基础题.8．A解析：A【分析】利用降次公式、二倍角公式和辅助角公式化简()f x ，由此求得()f x 的最大值. 【详解】依题意()1cos 233sin 2sin 2222222x f x x x x -=+=-+12cos 2226x x x π⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以()f x 22=. 故选：A 【点睛】本小题主要考查降次公式、二倍角公式和辅助角公式，考查三角函数的最值的求法，属于中档题.9．A解析：A 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等变换，求出要求式子的值． 【详解】直线3x-y+1=0的倾斜角为α，∴tanα=3，∴2221133sin222219110sin cos tan a sin cos sin cos tan αααααααα=⋅====+++， 故选A ． 【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，三角恒等变换，属于中档题．10．D解析：D 【分析】 根据()2sin 3sin 3x a bx c π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭结合a 、b R ∈，[)0,2c π∈可得出a 、b 、c 的取值组合，求得方程sin 2cos x x =在区间[]0,3π的解，可得出d 的可能取值，进而可求得符合条件的有序实数组(),,,a b c d 的组数. 【详解】已知a 、b R ∈，[)0,2c π∈，若对任意实数x 都有()2sin 3sin 3x a bx c π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，①当2a =时，则353b c π=⎧⎪⎨=⎪⎩或343b c π=-⎧⎪⎨=⎪⎩；②当2a =-时，则323b c π=⎧⎪⎨=⎪⎩或33b c π=-⎧⎪⎨=⎪⎩.解方程sin 2cos x x =，即2sin cos cos x x x =，可得()2sin 1cos 0x x -=，即1sin 2x =或cos 0x =.当[]0,3x π∈时，解方程1sin 2x =，可得6x π=、56π、136π、176π；解方程cos 0x =，可得2x π=、32π、52π. 所以，d 的取值集合为5313517,,,,,,6262626πππππππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 因此，符合条件的有序实数组(),,,a b c d 的组数为4728⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查乘法计数原理的应用，同时也考查了三角方程与三角函数解析式中参数的求解，考查计算能力，属于中等题.11．C解析：C 【分析】由诱导公式可转化为cos20cos40cos80︒︒︒，利用二倍角公式正弦公式求解即可. 【详解】sin10sin50sin70cos20cos40cos80︒︒︒=︒︒︒ 1sin160sin 20cos 20cos 40cos8018sin 20sin 208︒∴︒︒︒︒==︒︒ 即1sin10sin 50sin 708︒︒︒= 故选：C 【点睛】本题主要考查了诱导公式，二倍角的正弦公式，考查了运算能力，属于中档题.12．A解析：A 【分析】首先根据三角函数诱导公式，可由等式()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=-⎪⎝⎭求出tan 2α=；再由两角和的正切公式可求出tan 4απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【详解】 解：()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ∴由三角函数诱导公式化简得：sin 2cos αα-=-，即得tan 2α=，tantan 124tan()34121tan tan 4παπαπα++∴+===---⋅.故选：A. 【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题型.二、填空题13．【分析】用诱导公式降次公式两角和与差的正余弦公式化简求值得到答案【详解】原式故答案为：【点睛】本题考查了三角关系的化简与求值诱导公式转化角两角和与差公式二倍角公式属于中档题 解析：2-【分析】用诱导公式、降次公式、两角和与差的正余弦公式化简求值，得到答案. 【详解】 原式()()22222cos 40cos 502cos 402cos 50sin 55cos 65cos55sin 65sin 5565︒-︒︒-︒==︒︒-︒︒︒-︒.()2cos80sin 10︒=-︒2sin10sin10︒=-︒2=-故答案为：2-. 【点睛】本题考查了三角关系的化简与求值，诱导公式转化角，两角和与差公式，二倍角公式，属于中档题.14．【分析】由诱导公式化简再利用同角三角函数间的关系和角的范围可得答案【详解】由且得故答案为：【点睛】本题考查三角函数的诱导公式和同角三角函数间的关系在运用公式时注意角的范围属于基础题解析：2-【分析】由诱导公式化简cos()πα-，再利用同角三角函数间的关系和角的范围可得答案. 【详解】由cos()3πα-=-，且,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得cos tan 332ααα===-==-．故答案为：2-. 【点睛】本题考查三角函数的诱导公式和同角三角函数间的关系，在运用公式时，注意角的范围，属于基础题.15．1【分析】本题先求出再化简代入求值即可【详解】解：∵∴或①当且时；②当且时故答案为：1【点睛】本题考查了同角三角函数关系二倍角公式是基础题解析：1 【分析】本题先求出sin α、cos α，再化简2sin 2cos αα+代入求值即可. 【详解】解：∵ tan 2α=，sin tan cos ααα=，22sin cos 1αα+=， ∴sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①当sin α=cos 5α=时，222sin 2cos 2sin cos cos 21555ααααα⎛+=⋅+=⨯+= ⎝⎭； ②当sin α=且cos α=时，222sin 2cos 2sin cos cos 21555ααααα⎛⎫⎛⎛⎫+=⋅+=⨯-⨯-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：1.【点睛】本题考查了同角三角函数关系，二倍角公式，是基础题.16．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得再利用二倍角公式求得的值【详解】由题意角的终边与单位圆的交点为可得解得即又由故答案为：【点睛】本题主要考查了任意角的三角函数的定义二倍角的正弦公式的应用其解析：79【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得cos α，再利用二倍角公式求得cos2α的值. 【详解】由题意，角α的终边与单位圆的交点为1,()3m m R ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得2119m +=，解得3m =±，即cos 3α=±， 又由287cos 22cos 12199αα=-=⋅-=. 故答案为：79. 【点睛】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式的应用，其中解答中熟记三角函数的定义，结合余弦的倍角公式求解是解答的关键，属于基础题.17．【分析】由题意根据二倍角公式同角三角函数的基本关系求得的值【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查二倍角公式同角三角函数的基本关系在三角函数化简求值中的应用属于基础题解析：45-【分析】由题意，根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系求得2cos α的值． 【详解】3tan α=-，222222cos sin 1tan 1942cos sin 1tan 195cos ααααααα---∴====-+++． 故答案为：45-． 【点睛】本题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．18．【分析】把两个条件平方相加再利用两角差的余弦公式求得的值【详解】将两式平方可得：①②将①和②相加可得：即解得故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数间的基本关系和两角差的余弦公式的应用考查逻辑思维能力 解析：5972-【分析】把两个条件平方相加，再利用两角差的余弦公式求得cos()αβ-的值． 【详解】1cos cos 2αβ+=，1sin sin 3αβ+=，将两式平方可得： 221cos 2cos cos cos 4ααββ++=①， 221sin 2sin sin sin 9ααββ++=②， 将①和②相加可得：1322cos cos 2sin sin 36αβαβ++=， 即1322cos()36αβ+-=，解得59cos()72αβ-=-. 故答案为：5972-. 【点睛】本题考查同角三角函数间的基本关系和两角差的余弦公式的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.19．4【分析】做出图像由三角函数定义设其中一个顶点坐标从而表示矩形的长与宽进而表示面积求出最大值【详解】由题可构建图像根据三角函数的定义可知所以矩形的面积当时故答案为：4【点睛】本题考查三角函数定义的实解析：4 【分析】做出图像，由三角函数定义设其中一个顶点坐标，从而表示矩形的长与宽，进而表示面积，求出最大值. 【详解】 由题可构建图像根据三角函数的定义，可知()2cos ,2sin A αα所以矩形的面积4cos 2sin 4sin2S ααα=⋅= 当4πα=时，max 4sin 244S π⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭故答案为：4 【点睛】本题考查三角函数定义的实际应用，注意建模，再借助三角函数求最值，属于中档题.20．（答案不唯一）【分析】根据函数为偶函数有化简得对任意恒成立所以有取其中一个值即可得出答案【详解】解：因为函数为偶函数则所以所以等价于对任意恒成立所以所以所以常数的一个取值为故答案为：（答案不唯一）【解析：π2（答案不唯一） 【分析】根据函数为偶函数有()()f x f x =-，化简得sin cos 0x ϕ=对任意x 恒成立，所以有()2k k Z πϕπ=+∈，取其中一个值即可得出答案.【详解】解：因为函数()sin()cos f x x x ϕ=++为偶函数，则()()f x f x =- 所以sin()cos sin()cos()x x x x ϕϕ++=-++-所以sin cos cos sin cos sin()cos cos()sin cos x x x x x x ϕϕϕϕ++=-+-+ 等价于sin cos 0x ϕ=对任意x 恒成立，所以cos 0ϕ=， 所以()2k k Z πϕπ=+∈，所以常数ϕ的一个取值为π2. 故答案为：π2（答案不唯一） 【点睛】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法（1）求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；（2）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于()f x 的方程(组)，从而得到()f x 的解析式；（3）求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值； （4）画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.三、解答题21．（1）最小正周期为π；（2）5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，.【分析】（1）由三角函数恒等变换化简函数得()sin 2f x x =，由三角函数的周期公式可得答案；（2）由余弦的二倍角公式和辅助角公式得()gx 2sin23x π=-（），再由正弦函数的性质可求得函数的单调增区间. 【详解】 解：（1）函数()22sin cos 12cos 1cos 2sin 24444f x x x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=--=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以函数()f x 的最小正周期为22ππ=. （2）()()22sin 22cos 1sin 2g x f x x x x x x =-=-=）2sin 23x π=-（），令222232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，，得51212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，， 所以函数()g x 的单调增区间为51212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，，. 【点睛】方法点睛：解决三角函数的周期和单调性等相关问题，先利用三角函数的恒等变换化简函数为一个角一个三角函数，再运用整体思想代入是常用的方法. 22．（1）5[,],1212k k Z πππ-+∈；（2）存在，14k <<【分析】（1）利用二倍角公式化简可得()sin f x x =，从而可得()sin(2)3g x x π=-，由正弦函数的单调性可得222232k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈，解不等式即可.（2）不等式化为2sin cos (4)(sin cos )3x x k x x ⋅+-+<，令sin cos [t x x =+∈-，不等式等价为2(4)40t k t +--<在⎡-⎣恒成立，令函数2()(4)4,m t t k t =+--根据二次函数根的分布只需(1)0m m -<⎧⎪⎨<⎪⎩，解不等式即可.【详解】（1）解：2()2sin ()1cos()sin 422x f x x x ππ=+-=-+=， ()(2)sin(2)33g x f x x ππ=-=-，222232k x k πππππ-+≤-≤+解得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 函数()g x 的递增区间为5[,],1212k k Z πππ-+∈； （2）假设存在这样的实数k ,则不等式即为2sin cos (4)(sin cos )3x x k x x ⋅+-+<,令sin cos ,t x x =+则()22sin cos 11sin cos 22x x t x x +--⋅==则不等式()221(4)3(4)40t k t t k t ⇔-+-<⇔+--<又sin cos )4t x x x π=+=+，由,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，3,444x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦，所以sin cos )[4t x x x π=+=+∈-令函数2()(4)4,m t t k t =+--即2()(4)40,t m t t k t ⎡=+--<∈-⎣恒成立，由一元二次方程根的分布，只需(1)0101404)20m k k m k ⎧-<-<⎧⎪⎪⇒⇒<<⎨<--<⎪⎩ 【点睛】关键点点睛：本题考查了三角恒等变换、三角函数的性质、三角不等式恒成立以及一元二次方程根的分布，解题的关键是将不等式通过换元法转化为2(4)40t k t +--<在⎡-⎣恒成立，考查了分析能力、运算求解能力. 23．条件选择见解析；（1）1ω=，单调增区为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，单调减区间为5,()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】化简()f x 1sin 262x πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. （1）若选① ，根据周期公式可得ω；若选②，由12min22T x x π-==，可得周期和ω，再根据正弦函数的单调性可得()f x 单调区间；（2）由x 的范围求出26x π-及1sin 262x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的范围可得答案. 【详解】1cos 2()cos 2xf x x x ωωω-=+112cos 2222x x ωω=-+ 1sin 262x πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（1）若选① ，则有T π=，222πωπ∴==，即1ω=，若选②，则有12min22T x x π-==， 222πωπ∴==，即1ω=，综上1()sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 于是由222()262πππππ-+≤-≤+∈k x k k Z ，解得()63ππππ-+≤≤+∈k x k k Z ，即()f x 单调增区为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，由3222()262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得5()36k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以()f x 单调减区间为5,()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）1()sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2,662x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 则13sin 20,622x π⎛⎫⎡⎤-+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()f x 值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了()()sin f x A x b ωϕ=++的性质，有关三角函数的解答题，考查基础知识、基本技能和基本方法，且难度不大，主要考查以下四类问题；（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角三角函数的基本关系和诱导公式求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期、对称性有关的问题，考查了计算能力.24．条件性选择见解析，（1）14；（2）单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；对称中心的坐标为,0,212k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭；对称轴为直线26k x ππ=+，k Z ∈. 【分析】 选择条件①：()f x 11cos cos222224x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11cos sin 426x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，再根据相邻两对称轴之间距离为2π，可得ω从而求出()f x ；选择条件②：()f x 11cos sin 426x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，相邻两对称轴之间距离为2π，可得ω，从而求出()f x ； 选择条件③：()f x 相邻两对称轴之间距离为2π，求出ω，对任意x ∈R 都有5()06f x f x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭成立，则()f x 的图象关于5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，可求出ϕ，从而得出()f x ；（1）由于选择哪种情况，都有1()sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，代入3f π⎛⎫⎪⎝⎭可得答案. （2）分别根据正弦函数的单调递增区间、对称中心、对称轴可得答案. 【详解】选择条件①：依题意，()1cos sin 2264f x x x ωωπ⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即有：()11cos sin cos222224f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得：211()cos cos 222224f x x x x ωωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即有：11()cos sin 426f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 又因为()f x 相邻两对称轴之间距离为2π，则周期为π，从而2ω=， 从而1()sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ；选择条件②：依题意，()1cos cos 224f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即有：11()cos sin 426f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 又因为()f x 相邻两对称轴之间距离为2π，则周期为π，从而2ω=， 从而1()sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 选择条件③：依题意，()f x 相邻两对称轴之间距离为2π，则周期为π，从而2ω=， 对任意x ∈R 都有5()06f x f x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭成立， 则()f x 的图象关于5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则5212k πϕπ⨯+=，k Z ∈，由||2ϕπ<知6π=ϕ，从而1()sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； （1）由于选择哪种情况，都有1()sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以11sin 233264f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）1()sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 单调递增区间为2222621,k x k k z πππππ-≤+≤+∈， 解得,,36x k k k Z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦， 从而()f x 的单调增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦又由2,6x k k Z ππ+=∈，所以212k x k Z ππ=-∈，，得()f x 的对称中心的坐标为,0,212k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭， ()f x 的对称轴为直线2,62x k k Z πππ+=+∈，即26k x ππ=+，k Z ∈. 【点睛】 关键点点睛：本题考查了三角函数解析式的化简，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.25．（1）1；（2）725+-【分析】（1）先利用三角函数的定义分别求出cos α，sin α，tan α，用诱导公式先化简，再求值；（2）由题意得4αβ-=π，得4πβα=-，用二倍角公式即可求解. 【详解】解：（1）由题得4cos 5α=-，3sin 5α=，3tan 4α=-． 3sin()5cos()3sin 5cos 3tan 512cos sin 2tan 2sin sin()2παααααπααααπα-+-++===--⎛⎫-++ ⎪⎝⎭． （2）由题意得4αβ-=π，得4πβα=-， 所以sin 22cos sin 22cos 44ππββαα⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin 22cos cos 22cos 244πππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2164312cos sin )122555ααα⎫=-+=-⨯+-+⎪⎭725+=-． 【点睛】(1) 三角函数值的大小与点P （x ,y ）在终边上的位置无关，严格代入定义式子就可以求出对应三角函数值；当角的终边在直线上时，或终边上的点带参数必要时，要对参数进行讨论．(2)根据题意把角进行合理转化，还要注意角的范围.26．（1）5；（2）415 【分析】 （1）先根据sin cos x x +的值和二者的平方关系联立求得 sin cos x x 的值，再把sin cos x x -平方即可求出；（2）结合（1）求sin x ，cos x 的值，最后利用商数关系求得tan x 的值，代入即可得解．【详解】（1）∵sin cos x x +=， ∴21(sin cos )12sin cos 5x x x x +=+=， ∴2sin cos 5x x =-， ∵0πx <<， ∴sin 0x >，cos 0x <，sin cos 0x x -> ∴249(sin cos )12sin cos 155x x x x -=-=+=，∴sin cos x x -=. （2）sin cos x x +=，sin cos x x -=解得sin 5x =，cos 5x =-， ∴sin tan 2cos x x x==- ∵4sin 25x =-，24sin 5x =， ∴24sin 22sin 4551tan 81215x x x -++==-+． 【点睛】 方法点睛：三角恒等常用的方法：三看（看角、看名、看式），三变（变角、变名、变式）.。

第2课时　半角公式及其应用课时过关·能力提升1.已知cos α=‒35,且π<α<3π2,则cos α2的值等于( )A .55B .‒55C .255D .‒255解析:∵π<α<3π2,∴π2<α2<3π4.∴cos α2=‒1+cosα2=‒5.答案:B 2.设5π<θ<6π,cos θ2=a ,则sin θ4的值等于( )A.‒1+a 2B.‒1-a 2C.‒2+2a 2D.‒2-2a 2解析:∵5π<θ<6π,∴5π2<θ2<3π,5π4<θ4<3π2,∴sin θ4=‒1-cos θ22=‒1-a 2=‒2-2a 2.答案:D3.设α∈(π,2π),则1-cos (π+α)2=( )A .si n α2B .cosα2C .-si n α2D .‒cosα2解析:∵α∈(π,2π),∴α2∈(π2,π),∴1-cos (π+α)2=1+cosα2=cos 2α2=‒cos α2.答案:D4.设a =12cos 6°‒3sin 6°,b =2tan13°1+tan 213°,c =1-cos50°2,则有( )A .a>b>cB .a<b<cC .a<c<bD .b<c<a 解析:a 6°6°=sin 24°,b 26°,c 25°.利用正弦函数的=12cos ‒32sin =2tan13°1+tan 213°=sin =1-cos50°2=sin 性质可知选C .答案:C★5.设α∈(0,π2),β∈(0,π2),且tan α=1+sinβcosβ,则( )A .3α-β=π2B .2α‒β=π2C .3α+β=π2D .2α+β=π2解析:tan α=1+sinβcosβ=1+cos (π2-β)sin (π2-β)=2cos 2(π4-β2)2sin (π4-β2)cos (π4-β2)=cot (π4-β2)=ta n [π2-(π4-β2)]=tan (π4+β2),∴α=k π∈Z ,+(π4+β2),k ∴2α-β=2k π∈Z .+π2,k 当k=0时,满足2α-βB .=π2,故选答案:B6.若cos α=‒45,α是第三象限的角,则1+tanα21-tan α2= .解析:由题意,得sin α=‒35,则ta n α2=1-cosαsinα=1+45-35=‒3,所以1+tanα21-tanα2=‒12.答案:‒1 27.3-sin70°2-cos210°= .解析:3-sin70°2-cos210°=3-sin70°2-1+cos20°2=2(3-cos20°)3-cos20°=2.答案:28.化简sin4x1+cos4x·cos2x1+cos2x·cosx1+cosx= .解析:原式=2sin2xcos2x2cos22x·cos2x1+cos2x·cosx1+cosx=sin2x1+cos2x·cosx1+cosx=2sinxcosx2cos2x·cosx1+cosx=sinx1+cosx=tanx2.答案:ta n x 29.已知等腰三角形的顶角的余弦值等于513,求这个三角形底角的正弦、余弦和正切值.解设等腰三角形的顶角为α,底角为θ,则cos α=513,α+2θ=π,θ∈(0,π2),∴cos 2θ=‒5 13,∴sin θ=1-cos2θ2=1+5132=313,cos θ=1+cos2θ2=1-5132=213,tan θ=sinθcosθ=32.故这个三角形底角的正弦、余弦和正切值分别为31313,21313,32.10.在△ABC 中,若sin A sin B=cos △ABC 的形状.2C 2,试判断解sin A sin B=cos 2C 2=1+cosC 2=1-cos (A +B )2,即2sin A sin B+cos(A+B )=1,∴2sin A sin B+cos A cos B-sin A sin B=cos A cos B+sin A sin B=cos(A-B )=1.∵-π<A-B<π,∴A-B=0,即A=B.∴△ABC 是等腰三角形.11.在△ABC 中,f (B )=4cos B ·sin2(π4+B 2)+3cos 2B ‒2cos B.(1)若f (B )=2,求角B ;(2)若f (B )-m>2恒成立,求实数m 的取值范围.解(1)由题意,得f (B )=4cos B ·2B-2cos B1-cos (π2+B )2+3cos =2cos B (1+sin B )2B-2cos B +3cos =sin 2B 2B=2si +3cos n (2B +π3).∵f (B )=2,∴2si n (2B +π3)=2.∵角B 是△ABC 的内角,∴2B B +π3=π2,则=π12.(2)若f (B )-m>2恒成立,即2si .n (2B +π3)>2+m 恒成立∵0<B<π,∴π3<2B +π3<7π3,∴2si ∈[-2,2],n (2B +π3)∴2+m<-2,∴m<-4.★12.已∈R ).求:知OA =(1,sin x ‒1),OB =(sin x +sin xcos x,sin x ),f (x )=OA ·OB (x (1)函数f (x )的最大值和最小正周期;(2)函数f (x )的递增区间.解(1)f (x )x+sin x cos x+sin 2x-sin x 2x =OA ·OB =sin =12sin π,令2x ∈Z ),可得当x=k π∈Z )时,+1-cos2x 2=22sin (2x -π4)+12,最小正周期为‒π4=π2+2kπ(k +3π8(k f (x )取得最大值1+22.(2)当2k π≤2x ≤2k π∈Z ),‒π2‒π4+π2(k 即k π≤x ≤k π∈Z )时,原函数为增加的,‒π8+3π8(k ∴函数f (x )的递增区间∈Z ).是[kπ-π8,kπ+3π8](k。

2.3两角和与差的正切函数课时过关·能力提升1.tan(-165°)的值是()A.2+√3B.−2−√3C.2−√3D.√3−2解析:原式=tan(-180°+15°)=tan 15°=tan(45°-30°)=tan45°-tan30°1+tan45°tan30°=2−√3.答案:C2.已知tan A tan B=tan A+tan B+1,则cos(A+B)的值是()A.−√22B.√22C.±12D.±√22解析:因为tan A tan B=tan A+tan B+1,所以tan(A+B)=tanA+tanB1-tanAtanB=−1,所以cos(A+B)=±√22.答案:D3.设A,B,C是△ABC的三个内角,且tan A,tan B是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,则△ABC是()A.等边三角形B.等腰直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形解析:由题意,知tan A+tan B=53,tan A tan B=13.∴tan C=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=−tanA+tanB1-tanAtanB =−531-13=−52<0.∴π2<C<π.∴△ABC为钝角三角形.答案:D4.已知α∈(π2,π),tan(α+π4)=17,则sin α+cos α的值为()A.−15B.75C.−75D.34解析:∵ta n(α+π4)=tanα+11-tanα=17,∴tan α=−34.又α∈(π2,π),sin2α+cos2α=1,tan α=sinαcosα, ∴sin α=35,cos α=−45.∴sin α+cos α=−15.答案:A5.已知M=sin 100°-cos 100°,N =√2(cos 46°cos 78°+cos 44°cos 12°),P =1-tan10°1+tan10°,Q =tan22°+tan23°1-tan22°tan23°,则M,N,P,Q 之间的大小顺序是( )A .M<N<P<QB .P<Q<M<NC .N<M<Q<PD .Q<P<N<M解析:M=sin 100°-cos 100°=√2sin(100°−45°)=√2sin 55°>1,N =√2(cos 46°cos 78°+cos 44°cos 12°)=√2(sin 44°cos 78°+cos 44°sin 78°)=√2sin 122° =√2sin 58°>M.P =1-tan10°1+tan10°=tan(45°−10°)=tan 35°<1,Q =tan22°+tan23°1-tan22°tan23°=tan(22°+23°)=tan 45°=1, 故P<Q<M<N.答案:B★6.已知tan θ和ta n (π4-θ)是关于x 的方程x2+px +q =0的两根,则p,q 间的关系满足( )A .p+q+1=0B .p-q-1=0C .p+q-1=0D .p-q+1=0 解析:由题意,得tan θ+ta n (π4-θ)=−p,tan θ·ta n (π4-θ)=q,而ta n π4=tan [θ+(π4-θ)]=tanθ+tan (π4-θ)1-tanθtan (π4-θ),从而1-q=-p ,即p-q+1=0.答案:D7.已知α,β均为锐角,且tan β=cosα-sinαcosα+sinα,则tan(α+β)= . 解析:∵tan β=1-tanα1+tanα=tan π4-tanα1+tan π4tanα,。