精品解析：河北省衡水中学2019届高三下学期一调考试理科数学试题(解析版)

河北省衡水中学2019届高三下学期一调考试数学（理科）一、选择题：本题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求得A，解指数不等式求得B，再根据两个集合的交集的定义求得.【详解】因为集合，，所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.2.已知，是虚数单位，若，则（）A. B. 2 C. D. 5【答案】C【解析】【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于的方程组，解得的值，进而可得答案.【详解】因为，结合，所以有，解得，所以，故选C.【点睛】该题考查的是有关复数的模的问题，涉及到的知识点有复数相等的条件，属于简单题目.3.给出下列四个结论：①命题“，”的否定是“，”；②命题“若，则且”的否定是“若，则”；③命题“若，则或”的否命题是“若，则或”；④若“是假命题，是真命题”，则命题，一真一假.其中正确结论的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】①写出命题“，”的否定，可判断①的正误；②写出命题“若，则且”的否定，可判断②的正误；写出命题“若，则或”的否命题，可判断③的正误；④结合复合命题的真值表，可判断④的正误，从而求得结果.【详解】①命题“，”的否定是：“，”，所以①正确；②命题“若，则且”的否定是“若，则或”，所以②不正确；③命题“若，则或”的否命题是“若，则且”，所以③不正确；④“是假命题，是真命题”，则命题，一真一假，所以④正确；故正确命题的个数为2，故选B.【点睛】该题考查的是有关判断正确命题的个数的问题，涉及到的知识点有命题的否定，否命题，复合命题真值表，属于简单题目.4.函数的图像大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】观察函数解析式，通过函数的定义域，特殊点以及当时，函数值的变化趋势，从而将不满足条件的选项排除，从而得到正确的结果.【详解】因为函数的定义域为R，故排除B，因为，所以排除C，当时，因为指数函数比对数函数增长速度要快，所以当时，有，所以排除D，故选A.【点睛】该题是一道判断函数图象的题目，总体方法是对函数解析式进行分析，注意从函数的定义域、图象所过的特殊点以及对应区间上函数图象的变化趋势，来选出正确的结果，注意对不正确的选项进行排除.5.已知图①②③中的多边形均为正多边形，，分别是所在边的中点，双曲线均以图中，为焦点.设图①②③中双曲线的离心率分别为，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分别根据正三角形、正方形、正六边形的性质，将用表示，然后利用双曲线的定义，求得，的等量关系，分别求出图示①②③中的双曲线的离心率，然后再判断的大小关系.【详解】图①中，；图③中，设正六边形的一个在双曲线右支上的顶点为，则，则；图②中，，，故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．6.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A. 2018B. -1010C. 1009D. -1009【答案】C【解析】【分析】根据程序框图，它的作用是求的值，根据结合律进行求解，可得结果. 【详解】该程序框图的作用是求的值，而，故选C.【点睛】该题主要考查程序框图，用结合律进行求和，属于简单题目.7.已知某几何体的三视图如图所示，图中小方格的边长为1，则该几何体的表面积为（）A. 65B.C.D. 60【答案】D【解析】【分析】由已知的三视图还原几何体为三棱柱截去三棱锥得到的，根据图中数据，计算表面积.【详解】由三视图可知，该几何体为如下图所示的多面体,它是由直三棱柱截去三棱锥所剩的几何体，其中，所以其表面积为，故选D.【点睛】该题考查的是有关几何体的表面积的问题，涉及到的知识点有根据三视图还原几何体，椎体的表面积，属于简单题目.8.五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着.那么没有相邻的两个人站起来的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】五个人的编号为由题意，所有事件共有种，没有相邻的两个人站起来的基本事件有，再加上没有人站起来的可能有种，共种情况，所以没有相邻的两个人站起来的概率为故答案选9.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在中，，由正弦定理得，，由余弦定理得，，，，，故选C.10.已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两个动点，若，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出的最大值.【详解】因为，，所以，在中，由余弦定理得：，又，所以，所以，所以的最大值为，故选B.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，基本不等式，在解题的过程中，对题的条件进行正确转化是解题的关键，属于中档题目.11.已知当时，，则以下判断正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】记，为偶函数且在上单调递减，由，得到即∴，即故选:C12.若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点.设函数（，为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个不动点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵f（﹣x）+f（x）=x2∴令F（x）=f（x）﹣，∴f（x）﹣=﹣f（﹣x）+x2∴F（x）=﹣F（﹣x），即F（x）为奇函数，∵F′（x）=f′（x）﹣x，且当x0时，f′（x）＜x，∴F′（x）＜0对x＜0恒成立，∵F（x）为奇函数，∴F（x）在R上单调递减，∵f（x）+≥f（1﹣x）+x，∴f（x）+﹣≥f（1﹣x）+x﹣，即F（x）≥F（1﹣x），∴x≤1﹣x，x0≤，∵为函数的一个不动点∴g（x0）=x0，即h（x）= =0在（﹣∞，]有解．∵h′（x）=e x-，∴h（x）在R上单调递减．∴h （x）min=h（）=﹣a即可，∴a≥．故选：B点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题：本题共4小题.13.抛物线的准线方程为________．【答案】【解析】由抛物线的标准方程为x2=y，得抛物线是焦点在y轴正半轴的抛物线，2P=1，∴其准线方程是y=，。

2019-2020学年度高三年级下学期一调考试数学（理科）试卷命题人：审核人：第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知全集U R ，集合22Ay y xx R ，，集合lg 1Bx yx ，则阴影部分所示集合为（）A ．12，B ．12，C ．(12]， D ．[12)，2. 复数3a izai(其中a R ，为虚数单位)，若复数z 的共轭复数的虚部为12，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若2πa ，ab a ，aaca，则,,a b c 的大小关系为A ．c b a B．b c a C．b a cD ．a b c4．函数x exf xcos )112(图象的大致形状是A ．B ．C ．D ．5．吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（）A ．15B ．815C ．35D．3206．已知△ABC 外接圆的圆心为O ，若AB=3，AC=5，则AO BC u u u r u u u r的值是（）A ．2B ．4C ．8D ．167．给出下列五个命题：①若为真命题，则为真命题；②命题“，有”的否定为“，有”；③“平面向量与的夹角为钝角”的充分不必要条件是“”；④在锐角三角形中，必有；⑤为等差数列，若，则其中正确命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．38．已知定义在(0,)上的函数()f x ，恒为正数的()f x 符合()()2()f x f x f x ，则(1)(2)f f 的取值范围为（）A ．(,2)e e B ．211(,)2e eC ．(3,e e )D ．211(,)e e9．已知点(0,2)A ，抛物线C ：24yx 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则:FM MN（）A ．2:5B ．1:2C ．1:5D ．1:310.定义12n np p p L为n 个正数1p 、2p 、…、n p 的“均倒数”，若已知正整数列n a 的前n 项的“均倒数”为121n ，又14n na b ，则12231011111b b b b b b （）A ．1011B ．112C ．111D ．111211．对于任意的实数[1,e]x，总存在三个不同的实数[1,5]y，使得21ln 0yy xe ax x 成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．24251(,]eeeB ．4253[,)e eC ．425(0,]eD ．24253[,)eee12．如图，在正方体1111ABCD A B C D ﹣中，1A H 平面11AB D ，垂足为H ，给出下面结论：①直线1A H 与该正方体各棱所成角相等；②直线1A H 与该正方体各面所成角相等；③过直线1A H 的平面截该正方体所得截面为平行四边形；④垂直于直线1A H 的平面截该正方体，所得截面可能为五边形，其中正确结论的序号为（）A ．①③B ．②④C ．①②④D ．①②③第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.有一个底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点的距离都大于1的概率为___．14．在数列{a n }中，若函数f （x ）＝sin 2x +22cos 2x 的最大值是a 1，且a n ＝（a n+1﹣a n ﹣2）n ﹣2n 2，则a n ＝_____．15．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是2222221[()]42ac bSa c ，共中a 、b 、c 是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边。

河北省衡水中学2019届高三下学期一调考试数学（理科）一、选择题：本题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求得A，解指数不等式求得B，再根据两个集合的交集的定义求得.【详解】因为集合，，所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.2.已知，是虚数单位，若，则（）A. B. 2 C. D. 5【答案】C【解析】【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于的方程组，解得的值，进而可得答案.【详解】因为，结合，所以有，解得，所以，故选C.【点睛】该题考查的是有关复数的模的问题，涉及到的知识点有复数相等的条件，属于简单题目.3.给出下列四个结论：①命题“，”的否定是“，”；②命题“若，则且”的否定是“若，则”；③命题“若，则或”的否命题是“若，则或”；④若“是假命题，是真命题”，则命题，一真一假.其中正确结论的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】①写出命题“，”的否定，可判断①的正误；②写出命题“若，则且”的否定，可判断②的正误；写出命题“若，则或”的否命题，可判断③的正误；④结合复合命题的真值表，可判断④的正误，从而求得结果.【详解】①命题“，”的否定是：“，”，所以①正确；②命题“若，则且”的否定是“若，则或”，所以②不正确；③命题“若，则或”的否命题是“若，则且”，所以③不正确；④“是假命题，是真命题”，则命题，一真一假，所以④正确；故正确命题的个数为2，故选B.【点睛】该题考查的是有关判断正确命题的个数的问题，涉及到的知识点有命题的否定，否命题，复合命题真值表，属于简单题目.4.函数的图像大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】观察函数解析式，通过函数的定义域，特殊点以及当时，函数值的变化趋势，将不满足条件的选项排除，从而得到正确的结果.【详解】因为函数的定义域为R，故排除B，因为，所以排除C，当时，因为指数函数比对数函数增长速度要快，所以当时，有，所以排除D，故选A.【点睛】该题是一道判断函数图象的题目，总体方法是对函数解析式进行分析，注意从函数的定义域、图象所过的特殊点以及对应区间上函数图象的变化趋势，来选出正确的结果，注意对不正确的选项进行排除.5.已知图①②③中的多边形均为正多边形，，分别是所在边的中点，双曲线均以图中，为焦点.设图①②③中双曲线的离心率分别为，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分别根据正三角形、正方形、正六边形的性质，将用表示，然后利用双曲线的定义，求得，的等量关系，分别求出图示①②③中的双曲线的离心率，然后再判断的大小关系.【详解】图①中，；图③中，设正六边形的一个在双曲线右支上的顶点为，则，则；图②中，，，故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．6.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A. 2018B. -1010C. 1009D. -1009【答案】C【解析】【分析】根据程序框图，它的作用是求的值，根据结合律进行求解，可得结果. 【详解】该程序框图的作用是求的值，而，故选C.【点睛】该题主要考查程序框图，用结合律进行求和，属于简单题目.7.已知某几何体的三视图如图所示，图中小方格的边长为1，则该几何体的表面积为（）A. 65B.C.D. 60【答案】D【解析】【分析】由已知的三视图还原几何体为三棱柱截去三棱锥得到的，根据图中数据，计算表面积.【详解】由三视图可知，该几何体为如下图所示的多面体,它是由直三棱柱截去三棱锥所剩的几何体，其中，所以其表面积为，故选D.【点睛】该题考查的是有关几何体的表面积的问题，涉及到的知识点有根据三视图还原几何体，锥体的表面积，属于简单题目.8.五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着.那么没有相邻的两个人站起来的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】五个人的编号为由题意，所有事件共有种，没有相邻的两个人站起来的基本事件有，再加上没有人站起来的可能有种，共种情况，所以没有相邻的两个人站起来的概率为故答案选9.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在中，，由正弦定理得，，由余弦定理得，，，，，故选C.10.已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两个动点，若，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出的最大值.【详解】因为，，所以，在中，由余弦定理得：，又，所以，所以，所以的最大值为，故选B.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，基本不等式，在解题的过程中，对题的条件进行正确转化是解题的关键，属于中档题目.11.已知当时，，则以下判断正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】记，为偶函数且在上单调递减，由，得到即∴，即故选:C12.若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点.设函数（，为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个不动点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵f（﹣x）+f（x）=x2∴令F（x）=f（x）﹣，∴f（x）﹣=﹣f（﹣x）+x2∴F（x）=﹣F（﹣x），即F（x）为奇函数，∵F′（x）=f′（x）﹣x，且当x0时，f′（x）＜x，∴F′（x）＜0对x＜0恒成立，∵F（x）为奇函数，∴F（x）在R上单调递减，∵f（x）+≥f（1﹣x）+x，∴f（x）+﹣≥f（1﹣x）+x﹣，即F（x）≥F（1﹣x），∴x≤1﹣x，x0≤，∵为函数的一个不动点∴g（x0）=x0，即h（x）= =0在（﹣∞，]有解．∵h′（x）=e x-，∴h（x）在R上单调递减．∴h（x）min=h（）=﹣a即可，∴a≥．故选：B点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题：本题共4小题.13.抛物线的准线方程为________．【答案】【解析】由抛物线的标准方程为x2=y，得抛物线是焦点在y轴正半轴的抛物线，2P=1，∴其准线方程是y=，。

2018-2019学年河北省衡水中学高三（下）一调数学试卷（理科）（4月份）副标题一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合,,则( )A. B. C. D. 1,【答案】D【解析】解：因为集合,1,2,,所以1,．故选：D．解一元二次不等式求得A,解指数不等式求得B,再根据两个集合的交集的定义求得．本题考查交集的求法,考查有关集合的运算、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题．2.已知a,,i是虚数单位,若,则( )A. B. 2 C. D. 5【答案】C【解析】解：因为,结合a,,所以有,解得,所以,故选：C．根据复数相等的充要条件,构造关于a,b的方程组,解得a,b的值,进而可得答案．本题考查的是有关复数的模的问题,涉及到的知识点有复数相等的条件等基础知识,考查运算求解能力,是基础题．3.给出下列四个结论：命题“,”的否定是“,”；命题“若,则且”的否定是“若,则”；命题“若,则或”的否命题是“若,则或”；若“是假命题,是真命题”,则命题p,q一真一假．其中正确结论的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】解：命题“,”的否定是“,”；所以正确；命题“若,则且”的否定是“若,则或”,所以不正确；命题“若,则或”的否命题是“若,则且”；所以不正确；“是假命题,是真命题”,则命题p,q一真一假,所以正确；故正确命题的个数为2,故选：B．写出命题“”的否定,可判断的正误；写出命题“若,则且”的否定,可判断的正误；写出命题“若,则或”的否命题,可判断的正误；结合复合命题的真值表,可判断的正误,从而求得结果．本题考查的是有关判断正确命题的个数的问题,涉及到的知识点有命题的否定,否命题,复合命题真值表,属于简单题目．4.函数的图象可能是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数的性质的判断与数形结合的思想方法应用．根据函数的定义域和特值法即可排除A,C,D,从而得到正确选项．【解答】解：因为,函数的定义域为R,且在R上连续,故排除A；且,故排除C,,故排除D,故选：B．5.下列三图中的多边形均为正多边形,M,N是所在边的中点,双曲线均以图中的,为焦点,设图示中的双曲线的离心率分别为,,、则,,的大小关系为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】解：设等边三角形的边长为2,以底边为x轴,以底边的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则双曲线的焦点为,且过点,到两个焦点,的距离分别是和,,,．正方形的边长为,分别以两条对角线为x轴和y轴,建立平面直角坐标系,则双曲线的焦点坐标为和,且过点点到两个焦点,的距离分别是和,,,．设正六边形的边长为2,以所在直线为x轴,以的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则双曲线的焦点为和,且过点,点到两个焦点和的距离分别为和2,,,．所以．故选：D．根据题设条件,分别建立恰当的平面直角坐标系,求出图示中的双曲线的离心率,,,然后再判断,,的大小关系．恰当地建立坐标系是正确解题的关键．6.如图所示的程序框图输出的结果是( )A. 2018B.C. 1009D.【答案】C【解析】解：执行如图所示的程序框图知,该程序运行后是计算并输出,当时,终止循环,此时输出．故选：C．模拟执行题目中的程序框图,得出该程序运行后输出的S值．本题考查了程序框图的应用问题,是基础题．7.某几何体的三视图如图所示,图中小方格的长度为1,则该几何体的表面积为( )A. 65B.C.D. 60【答案】D【解析】解：由三视图可知,该几何体为如下图所示的多面体,它是由直三棱柱截去三棱锥后所剩的几何体,其中,所以其表面积；故选：D．由已知的三视图还原几何体为三棱柱截去三棱锥得到的,根据图中数据,计算表面积．本题考查了由几何体的三视图求几何体的表面积；关键是正确还原几何体的形状．8.五个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的硬币若硬币正面朝上,则这个人站起来；若硬币正面朝下,则这个人继续坐着那么没有相邻的两个人站起来的概率为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】解：五个人的编号为1,2,3,4,5．由题意,所有事件,共有种,没有相邻的两个人站起来的基本事件有,,,,,,,,,,再加上没有人站起来的可能有1种,共11种情况,没有相邻的两个人站起来的概率为,故选C．求出基本事件的个数,即可求出没有相邻的两个人站起来的概率．本题考查没有相邻的两个人站起来的概率,考查列举法的运用,比较基础．9.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】解：在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,所以：,则：,所以：,,,,,故选：C．1首先利用余弦定理整理出,进一步利用三角函数关系式的恒等变换,根据关系式的转换求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换,同角三角函数关系式的应用,正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型．10.抛物线的焦点为F,设,是抛物线上的两个动点,若,则的最大值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】解：因为,,所以．在中,由余弦定理得：．又．所以,的最大值为,故选：D．利用余弦定理,结合基本不等式,即可求出的最大值．本题考查抛物线的定义,考查余弦定理、基本不等式的运用,属于中档题．11.已知当,时,,则以下判断正确的是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】解：,,又余弦函数是偶函数,；设,,在上是偶函数,且在上是减函数；又,,即．故选：C．根据题意,得出,设,,根据的奇偶性和单调性,即可得出结论．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题,也考查了转化思想,是中档题．12.若存在一个实数t,使得成立,则称t为函数的一个不动点设函数e为自然对数的底数,定义在R上的连续函数满足,且当时,若存在,且为函数的一个不动点,则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】解：令,,,即为奇函数,,且当时,,对恒成立,为奇函数,在R上单调递减,,,即,,即,为函数的一个不动点,即在有解．在R上单调递减．可,．故选：B．构造函数,结合条件证明是奇函数,求函数的导数,研究函数的单调性,结合函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．本题主要考查函数与方程的应用,已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路,直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围；分离参数法：先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决；数形结合法：先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解．二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.抛物线的准线方程是______．【答案】【解析】解：因为抛物线的标准方程为：,焦点在y轴上；所以：,即,所以：,准线方程,即．故答案为：．先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及,再直接代入即可求出其准线方程．本题主要考查抛物线的基本性质解决抛物线的题目时,一定要先判断焦点所在位置．14.三棱锥中,,,,则该几何体外接球的表面积为_______________．【答案】【解析】【分析】本题考查棱锥外接球的表面积的求法,是中档题．由题意,把三棱锥放到长方体中,利用长方体外接球性质即可得解．【解答】解：三棱锥中,,,,三棱锥放到长方体：如图不难发现：AB,AC,AD分别是长方体的三个面的对角线,即长方体的对角线的平方等于,长方体外接球直径,即,几何体外接球的表面积．故答案为：．15.已知O在内,且：：：3：2,,则______【答案】【解析】解：如图,根据题意不妨设的边,,,,建立如图坐标系,则BC的方程为设O点坐标为,点O在三角形内,故则O到BC的距离则根据：：：3：2,得：：,解得,,,,由,得,解得,,所以：,故填：本题可以采用特值法,设为以,,的直角三角形,建立坐标系进行计算．如何将面积比转化为边的关系是解决问题的关键本题属难题．16.设实数,若对任意的,关于x的不等式恒成立,则的最小值为______．【答案】【解析】解：设,则,令,可得：,由指数函数与反比例函数在第一象限有且只有一个交点,可得：与的图象在第一象限有且只有一个交点,设交点横坐标为m,当时,,单调递增；当时,,单调递减,且,令可得,,．在上单调递增,因为,所以在上单调递增,当时,由可得：,即,时等号成立,所以,即的最小值为,故答案是：．首先将不等式恒成立,转化为的最小值,利用导数研究函数的单调性,从而求得其最值,得到结果．该题考查的是有关利用恒成立问题求参数的最值的问题,涉及到的知识点有利用导数研究不等式恒成立问题,属于较难题目．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知数列的前n项和满足,且．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ在数列的前100项中,是否存在两项,,且,使得三项成等比数列若存在,求出所有的m,t的取值；若不存在,请说明理由．【答案】解：,,则,．当时,．又符合上式,；若,,三项成等比数列,则,即,即．,,,即．又为3的奇数倍,,5,8,11,验证得,,．【解析】先根据等差数列定义求,再根据项与和的关系求；根据条件化简m,t的关系式,再利用范围限制m取值,即得正整数解．本题考查的是有关数列的问题,涉及到的知识点有等差数列的概念,通项公式的求解,数列项与和的关系,关于是否存在类问题的解法,属于中档题．18.某企业为了解年广告费单位：万元对年销售额单位：万元的影响,对近4年的年广告费和年销售额的散点图,并判断与哪一个更适合作为年销售额y关于年广告费x的回归方程类型给出判断即可,不必说明理由．根据的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程．已知商品的年利润z与x,y的关系为根据的结果,计算年广告费x约为何值时小数点后保留两位,年利润的预报值最大附：对于一组数据,,,,其回归直的斜率和截距的最小二乘估计分别为,．【答案】解：作出散点图如图所示,由此判断更适合作为年销售额y关于年广告费x的回归方程类型；计算,,则,,所以回归方程为；由可知年利润z的预报值为,设,则,可得,；故当,即万元时,年利润的预报值最大．【解析】根据题中所给的数据画出散点图,可以发现点落在一条直线的周围,从而判断出更适合作为年销售额y关于年广告费x的回归方程类型；根据数据,利用公式求得回归直线的方程；根据题意,将相应的量代换,求得结果．本题考查了有关统计的应用问题问题,涉及到的知识点有回归类型的选取,散点图的绘制,回归直线的求解等,是中档题．19.如图,在五边形ABCDE中,,,,,将沿AD折起到的位置,得到如图所示的四棱锥,M为线段PC的中点,且平面PCD．求证：平面PAD．若直线PC与AB所成角的正切值为,求直线BM与平面PDB所成角的正弦值．【答案】解：证明：取PD的中点N,连接AN,MN．又M为PC的中点,所以,．又,,所以,．则四边形ABMN为平行四边形,所以．因为平面PAD,平面PAD,所以平面PAD．解：因为平面PCD,,所以平面PCD,所以,．由,即及N为PD的中点,可得为等边三角形,所以．又,所以,即．因为平面PAD,平面PAD,,所以平面PAD．又平面ABCD,所以平面平面ABCD．因为,所以即为直线PC与AB所成的角,所以,所以．设,则,．取AD的中点O,连接PO,过O作交BC于点F,则PO,OF,OA两两垂直．以O为坐标原点,OA,OF,OP的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示．则0,,1,,2,,0,,所以1,所以1,,1,,0,设平面PDB的法向量为y,,则,即,令 ,则因为． 所以直线BM 与平面PDB 所成角的正弦值为． 【解析】 取PD 的中点N ,连接AN ,MN ,可证四边形ABMN 为平行四边形,从而应用线面平行的判定定理证得结果；设 ,取AD 的中点O ,连接PO ,过O 作AB 的平行线,建立空间直角坐标系 ,求出平面PBD 的法向量 ,计算法向量与 的夹角得出结论．该题考查的是有关立体几何的问题,涉及到的知识点有线面平行的判定,应用向量法求线面角的正弦值的问题,属于中档题目．20. 如图所示,在 中, ,AB 的中点为O ,点D 在AB 的延长线上,且固定边AB ,在平面内移动顶点C ,使得圆M 与边BC ,边AC 的延长线相切,并始终与AB 的延长线相切于点D ,记顶点C 的轨迹为曲线 以AB 所在直线为x 轴,O 为坐标原点建立平面直角坐标系．Ⅰ 求曲线 的方程；Ⅱ 过点 的直线l 与曲线 交于不同的两点S ,R ,直线SB ,RB 分别交曲线 于点E , 设 , ,求 的取值范围．【答案】解： 如图所示,依题意得 ,,设动圆M 与边AC 的延长线相切于 ,与边BC 相切于 ,则 , , ,．点C 轨迹 是以A ,B 为焦点,长轴长为 的椭圆,且挖去长轴的两个顶点． 则曲线 的方程为：．Ⅱ 设S ,R ,E 的坐标分别为 2, , ．, ,可得． 当直线SB 与x 轴不垂直时,直线SB 的方程为：,即．代入椭圆方程整理化为：．则,即． 当直线 轴时,直线SB 的方程为： , ,满足上式 即 ． 同理可得： ．设直线l的方程为：代入椭圆方程整理为：．由,,解得：．由．则．,．【解析】如图所示,依题意得,,设动圆M与边AC的延长线相切于,与边BC相切于,可得,,,可得利用椭圆的定义标准方程即可得出．Ⅱ设S,R,E的坐标分别为2,,由,可得当直线SB与x轴不垂直时,直线SB的方程为：,即代入椭圆方程整理化为：利用根与系数的关系可得当直线轴时,直线SB的方程为：,,满足上式同理可得：设直线l的方程为：代入椭圆方程整理为：再利用根与系数的关系即可得出．本题考查了圆的标准方程及其切线性质、椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、分类讨论方法、转化法,考查了推理能力与计算能力,属于难题．21.已知函数有两个不同的极值点,Ⅰ求实数a的取值范围；Ⅱ设,讨论函数的零点个数．【答案】解：,因为有两个不同的极值点,则有两个不同的零点．令,则,即,设,则直线与函数的图象有两个不同的交点．,由,得,即,所以在上单调递增,在上单调递减,从而．因为当时,；当时,；当时,,所以a的取值范围是．因为,为的两个极值点,则,为直线与曲线的两个交点的横坐标,由可知,且,因为当或时,,即；当时,,即,则在,上单调递减,在上单调递增,所以的极小值点为,极大值点为,当时,因为,,,则,所以在区间内无零点,因为,,则当,即时,．又,则,所以．此时,在和内各有1个零点,且,当,即时,,此时在内有1个零点,且, 当,即时,,此时在内无零点,且,综上分祈,当时,有2个零点；当时,有1个零点；当时,没有零点．【解析】Ⅰ根据函数极值与导数之间的关系,进行求解即可．Ⅱ求的解析式,求函数的导数,根据函数单调性极值关系判断函数零点个数即可．本题主要考查函数零点的判断以及函数极值与单调性之间的关系,利用导数是解决本题的关键考查学生的运算能力,综合性较强,有一定的难度．22.在平面直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为为参数,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,曲线、的公共点为A、B．Ⅰ求直线AB的斜率；Ⅱ若点C、D分别为曲线、上的动点,当取最大值时,求四边形ACBD的面积．【答案】解：曲线的参数方程为为参数,消去参数化为：．曲线的极坐标方程为,即,化为普通方程：．上述两个方程相减可得：．则直线AB的斜率为2．Ⅱ当且仅当直线CD经过两个圆的圆心时,线段CD取得最大值,此时．．直线的方程为：,可得．当取最大值时,四边形ACBD的面积．【解析】曲线的参数方程为为参数,利用平方关系消去参数化为普通方程,曲线的极坐标方程为,即,利用互化公式可得普通方程上述两个方程相减可得直线AB的方程及其斜率．Ⅱ当且仅当直线CD经过两个圆的圆心时,线段CD取得最大值,此时直线的方程为：,可得利用弦长公式可得,当取最大值时,四边形ACBD的面积．本题考查了直线与圆的参数方程极坐标方程、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．23.设的最小值为m．求m的值；设a、,,求的最小值．【答案】解：由根据图象可知最小值为．由,可得,那么：当且仅当时取等号即的最小值为．【解析】利用零点取绝对值,即可求解最小值；构造基本不等号式,利用乘以“1”法求解即可；本题主要考查函数最值的求解,根据基本不等式的性质以及零点分段法是解决本题的关键．。

2018-2019学年度第二学期高三年级一模考试数学（理科）试卷第I 卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知全集为R ，集合{1,0,1,5}A =-，{}2|20B x x x =--≥，则R AB =ð（ ）A. {1,1}-B. {0,1}C. {0,1,5}D. }1,0,1{-【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合B,再求R A B ð得解. 【详解】由题得B={x|x ≥2或x ≤1-}, 所以{|12}R C B x x =-<<， 所以{0,1}R A B =ð.故选：B【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.若复数z 满足(1i)|1|z +=，则在复平面内z 的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】先求出复数z 和z ,再求出在复平面内z 的共轭复数对应的点的位置得解. 【详解】由题得22(1)1(1)(1)(1i)i z i i i -===-++-，所以1z i=+，所以在复平面内z的共轭复数对应的点为（1,1），在第一象限.故选：A【点睛】本题主要考查复数的模和复数的除法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3. 某单位共有36名员工，按年龄分为老年、中年、青年三组，其人数之比为3：2：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为12的样本，则青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为（）A. 25B.35C. 2536D.1136【答案】B【解析】试题分析：按分层抽样应该从青年职工组中抽取人,其中青年组共有人,这六人中抽取两人的基本事件共有种，甲乙至少有一人抽到的对立事件为甲乙均没被抽到，基本事件为种，因此青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为，故选B．考点：1．分层抽样；2．古典概型．4.如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（）A. 2017年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省.B. 与去年同期相比，2017年第一季度的GDP 总量实现了增长.C. 去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元.D. 2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个. 【答案】D 【解析】分析：解决本题需要从统计图获取信息，解题的关键是明确图表中数据的来源及所表示的意义，依据所代表的实际意义获取正确的信息．详解：由折线图可知A 、B 正确；()4067.41 6.6%38154000÷+≈<，故C 正确；2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏均第一；河南均第四，共2个.故D 错误. 故选D.点睛：本题考查条形统计图和折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图得到必要的住处是解决问题的关键．5.P 是双曲线22:12x C y -=右支上一点, 直线l 是双曲线C 的一条渐近线.P 在l 上的射影为Q ,1F 是双曲线C 的左焦点, 则||||1PQ PF +的最小值为( ) A. 1B. 25+C. 45+D. 122+【答案】D 【解析】设双曲线C 的右焦点为2F ，连接2PF，则12PF PQ PF PQ +=+d ≥（d为点2F到渐近线0x =的1=），即1PF PQ +的最小值为122+；故选D.点睛：本题考查双曲线的定义和渐近线方程；在处理涉及椭圆或双曲线的点到两焦点的距离问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义，将曲线上的点到一焦点的距离合理转化到另一个焦点间的距离.6.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，1AB AC AA ==，M ，N 是线段1BB ，1CC 上的点，平面AMN 与平面ABC 所成（锐）二面角为6π，当1B M 最小时，=∠AMB （ ）A.512πB.3π C.4π D.6π 【答案】B 【解析】 【分析】以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AMB ∠的大小．【详解】以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设1=1AB AC AA ==，设CN b =，BM a =，则(1N ，0，)b ，(0M ，1，)a ，(0A ，0，0)，(0B ，1，0)， (0AM =，1，)a ，(1AN =，0，)b ，设平面AMN 的法向量(n x =，y ，)z ，·0·0AM n y az AN n x bz ⎧=+=⎨=+=⎩，取1=z ，得(n b =-，a -，1)， 平面ABC 的法向量(0m =，0，1)， 平面AMN 与平面ABC 所成（锐)二面角为6π， 2||cos6||||m n m n a π∴==+，解得22331a b +=，∴当|1|B M 最小时，0b =，BM a ==，tan AB AMB BM ∴∠== 3AMB π∴∠=．故选：B ．【点睛】本题考查角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7.已知函数sin()()xx f x a ωϕπ+=(0,0,)a R ωϕπ><<∈，在[]3,3-的大致图象如图所示，则aω可取（ ）A.2πB. πC. 2πD.4π【答案】B 【解析】分析：从图像可以看出()f x 为偶函数，结合()f x 的形式可判断出()sin y x ωϕ=+为偶函数，故得ϕ的值，最后通过()10f =得到ω的值．详解：()f x 为[]3,3-上的偶函数，而xy a π=为[]3,3-上的偶函数，故()()sin g x x ωϕ=+为[]3,3-上的偶函数，所以,2k k Z πϕπ=+∈．因为0ϕπ<<，故2πϕ=，()()sin cos 2x xx x f x a a πωωππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==． 因()10f =，故cos 0ω=，所以2k πωπ=+，k ∈N ．因()02f =，故0cos 012a aπ==，所以21=a ． 综上()21k aωπ=+，k ∈N ，故选B ．点睛：本题为图像题，考察我们从图形中扑捉信息的能力，一般地，我们需要从图形得到函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值，然后利用所得性质求解参数的大小或取值范围．8.《九章算术》中描述的“羡除”是一个五面体，其中有三个面是梯形，另两个面是三角形.已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的体积为（ ）A. 20B. 24C. 28D. 32【答案】B 【解析】 【分析】画出五面体的直观图，利用割补法求其体积. 【详解】五面体对应的直观图为：由三视图可得：,4,2,6EF BC AD BC EF AD ===，三个梯形均为等腰梯形且平面FADE ⊥平面ABCDF 到底面ABCD 的距离为4d =，,AD BC 间的距离为3.如下图所示，将五面体分割成三个几何体，其中,F AGHB E IDCJ --为体积相等的四棱锥，且2AG GI ID ===，1,2BH JC HJ ===，则棱柱FGH EIJ -为直棱柱，EIJ ∆为直角三角形.又()114123632F AGHB E IDCJ V V --==⨯⨯⨯+⨯=； 1243122FGH EIJ V -=⨯⨯⨯=，故五面体的体积为121224+=.故选A.【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．而不规则几何体的体积的计算，可将其分割成体积容易计算的规则的几何体.9.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,且BC 边上的高为a 63,则c b b c + 的最大值是（ ） A. 8 B. 6C.D. 4【答案】D 【解析】22b c b c c b bc ++=，这个形式很容易联想到余弦定理：cos A 2222b c a bc+-=，①而条件中的“高”容易联想到面积，1122a =bc sin A ，即a 2＝23bc sin A ，② 将②代入①得：b 2＋c 2＝2bc (cos A ＋3sin A )，∴b c c b+＝2(cos A ＋3sin A )＝4sin(A ＋6π)，当A ＝3π时取得最大值4，故选D ．点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.10.已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若12>0x x ，且()()120f x f x +=，则12x x +的最小值为（ ） A.6π B. 3π C.2π D.23π 【答案】D 【解析】 【分析】先分析得到12x x +的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍，再求函数的绝对值最小的零点即得解.【详解】由题得12+x x 等于函数的零点的2倍，所以12x x +的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍， 令()sin =03f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以,3x k k Z ππ-=∈,所以=+,3x k k Z ππ∈，所以绝对值最小的零点为3π， 故12x x +的最小值为23π. 故选：D【点睛】本题主要考查正弦型函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.过抛物线24y x =的焦点的一条直线交抛物线于A 、B 两点，正三角形ABC 的顶点C 在直线1x =-上，则ABC ∆的边长是（ ） A. 8 B. 10C. 12D. 14【答案】C 【解析】【分析】设AB 的中点为M ，过A 、B 、M 分别作1AA 、1BB 、MN 垂直于直线1x =-于1A 、1B 、N ， 设AFx θ∠=，求出31sin =θ，利用弦长公式，可得结论．【详解】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，设AB 的中点为M ，过A 、B 、M 分别作1AA 、1BB 、MN 垂直于直线1x =-于1A 、1B 、N ，设AFx θ∠=，由抛物线定义知：1111||(||||)||22MN AA BB AB =+=，|||MC AB =，|||MN MC ∴=， 90CMN θ∠=︒-，∴||cos cos(90)||MN CMN MC θ∠=︒-=31sin =θ，所以直线AB 的斜率k=tan θ=所以直线AB 的方程为1)y x -， 联立直线AB 方程和抛物线方程得21010x x -=+，所以1212+=10||10212x x AB x x p ∴=++=+=，. 故选：C ．【点睛】本题考查抛物线的方程与性质，考查抛物线的定义，正确运用抛物线的定义是关键．12.设函数()(1x g x e x a =+--（a R ∈，e 为自然对数的底数）,定义在R 上的函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x ≤时，'()f x x <．若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()y g x x =-的一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A. 2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B. )+∞C. )+∞D. ,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】先构造函数()()212T x f x x =-，由题意判断出函数()T x 的奇偶性，再对函数()T x 求导，判断其单调性，进而可求出结果.【详解】构造函数()()212T x f x x =-， 因为()()2f x f x x -+=，所以()()()()()()()22211022T x T x f x x f x x f x f x x +-=-+---=+--=， 所以()T x 为奇函数，当0x ≤时，()()''0T x f x x =-<，所以()T x 在(],0-∞上单调递减， 所以()T x R 上单调递减.因为存在()()0112x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭， 所以()()000112f x f x x +≥-+， 所以()()()220000011111222T x x T x x x ++≥-+-+，化简得()()001T x T x ≥-， 所以001x x ≤-，即012x ≤令()()12xh x g x x e a x ⎛⎫=-=-≤⎪⎝⎭，因为0x 为函数()y g x x =-的一个零点， 所以()h x 在12x ≤时有一个零点 因为当12x ≤时，()12'0x h x e e =≤=，所以函数()h x 在12x ≤时单调递减，由选项知0a >，102<<，又因为0h ea e⎛=-=> ⎝，所以要使()h x 在12x ≤时有一个零点，只需使102h a ⎛⎫=≤⎪⎝⎭，解得2a ≥， 所以a的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎣⎭，故选D. 【点睛】本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.若实数x ，y 满足约束条件1330.y x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，，，则3z x y =+的最小值为__________. 【答案】2 【解析】 分析】先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值．【详解】作出约束条件1330.y x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，，，表示的平面区域（如图示：阴影部分）：由10y x x y =⎧⎨+-=⎩得A （12,12），由z ＝3x +y 得y ＝﹣3x +z ，平移y ＝﹣3x ， 易知过点A 时直线在y 上截距最小， 所以3z x y =+的最小值为32+122=． 故答案为：2．【点睛】本题考查了简单线性规划问题，关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义．14.若110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为___________． 【答案】0 【解析】试题分析：由110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，解得tan 3α=，又2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭22sin 2cos 2cos 222αααααα=++=+-222cos sin cos 2ααααα+=-+20tan 12αα+=-=+． 考点：三角函数的化简求值．15.函数()f x 图像上不同两点),(11y x A ，),(22y x B 处的切线的斜率分别是A k ，B k ，AB 为A B 、两点间距离，定义(,)A B k k A B ABϕ-=为曲线()f x 在点A 与点B 之间的“曲率”，给出以下命题：①存在这样的函数，该函数图像上任意两点之间的“曲率”为常数；②函数32()1f x x x =-+图像上两点A 与B 的横坐标分别为1,2，则 “曲率”(,)A B ϕ> ③函数2()(0,)f x ax b a b R =+>∈图像上任意两点A B 、之间 的“曲率”(,)2A B a ϕ≤；④设),(11y x A ，),(22y x B 是曲线()xf x e =上不同两点，且121x x -=，若·(,)1t A B ϕ<恒成立，则实数 t 的取值范围是(,1)-∞。

2018-2019学年度第二学期高三年级一模考试数学（理科）试卷第I 卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知全集为R ，集合{1,0,1,5}A =-，{}2|20B x x x =--≥，则R A B =I ð（ ）A. {1,1}-B. {0,1}C. {0,1,5}D. }1,0,1{-【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合B,再求R A B I ð得解. 【详解】由题得B={x|x ≥2或x ≤1-}, 所以{|12}R C B x x =-<<， 所以{0,1}R A B =I ð. 故选：B【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.若复数z 满足(1i)|13i |z +=+，则在复平面内z 的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】先求出复数z 和z ,再求出在复平面内z 的共轭复数对应的点的位置得解. 【详解】由题得22(1)1(1)(1)(1i)i z i i i -===-++-， 所以1z i =+，所以在复平面内z 的共轭复数对应的点为（1,1），在第一象限.故选：A【点睛】本题主要考查复数的模和复数的除法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3. 某单位共有36名员工，按年龄分为老年、中年、青年三组，其人数之比为3：2：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为12的样本，则青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为（）A. 25B.35C. 2536D.1136【答案】B【解析】试题分析：按分层抽样应该从青年职工组中抽取人,其中青年组共有人,这六人中抽取两人的基本事件共有种，甲乙至少有一人抽到的对立事件为甲乙均没被抽到，基本事件为种，因此青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为，故选B．考点：1．分层抽样；2．古典概型．4.如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（）A. 2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省.B. 与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增长.C. 去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元.D. 2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个. 【答案】D 【解析】分析：解决本题需要从统计图获取信息，解题的关键是明确图表中数据的来源及所表示的意义，依据所代表的实际意义获取正确的信息．详解：由折线图可知A 、B 正确；()4067.41 6.6%38154000÷+≈<，故C 正确；2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏均第一；河南均第四，共2个.故D 错误. 故选D.点睛：本题考查条形统计图和折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图得到必要的住处是解决问题的关键．5.P 是双曲线22:12x C y -=右支上一点, 直线l 是双曲线C 的一条渐近线.P 在l 上的射影为Q ,1F 是双曲线C 的左焦点, 则||||1PQ PF +的最小值为( )A. 1B. 152C. 154D. 122+【答案】D 【解析】设双曲线C 的右焦点为2F ，连接2PF ，则1222PF PQ PF PQ +=+22d ≥（d 为点2(3,0)F 到渐近线20x =313=），即1PF PQ +的最小值为122+；故选D.点睛：本题考查双曲线的定义和渐近线方程；在处理涉及椭圆或双曲线的点到两焦点的距离问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义，将曲线上的点到一焦点的距离合理转化到另一个焦点间的距离.6.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，1AB AC AA ==，M ，N 是线段1BB ，1CC 上的点，平面AMN 与平面ABC 所成（锐）二面角为6π，当1B M 最小时，=∠AMB （ ）A.512π B.3π C.4π D.6π 【答案】B 【解析】 【分析】以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AMB ∠的大小．【详解】以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设1=1AB AC AA ==，设CN b =，BM a =，则(1N ，0，)b ，(0M ，1，)a ，(0A ，0，0)，(0B ，1，0)， (0AM =u u u u r ，1，)a ，(1AN =u u u r，0，)b ，设平面AMN 的法向量(n x =r，y ，)z ，·0·0AM n y az AN n x bz u u u u v r u u uv r ⎧=+=⎨=+=⎩，取1=z ，得(n b =-r，a -，1)， 平面ABC 的法向量(0m =r，0，1)，Q 平面AMN 与平面ABC 所成（锐)二面角为6π， 22||cos 6||||1m n m n a b π∴=++r r g r r g ，解得22331a b +=，∴当|1|B M 最小时，0b =，3BM a ==，tan 33AB AMB BM ∴∠=== 3AMB π∴∠=．故选：B ．【点睛】本题考查角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7.已知函数sin()()xx f x a ωϕπ+=(0,0,)a R ωϕπ><<∈，在[]3,3-的大致图象如图所示，则a ω可取（ ）A.2πB. πC. 2πD.4π【答案】B 【解析】分析：从图像可以看出()f x 为偶函数，结合()f x 的形式可判断出()sin y x ωϕ=+为偶函数，故得ϕ的值，最后通过()10f =得到ω的值．详解：()f x 为[]3,3-上的偶函数，而xy a π=为[]3,3-上的偶函数，故()()sin g x x ωϕ=+为[]3,3-上的偶函数，所以,2k k Z πϕπ=+∈．因为0ϕπ<<，故2πϕ=，()()sincos2x xxxfxa aπωωππ⎛⎫+⎪⎝⎭==．因()10f=，故cos0ω=，所以2kπωπ=+，k∈N．因()02f=，故cos012a aπ==，所以21=a．综上()21kaωπ=+，k∈N，故选B ．点睛：本题为图像题，考察我们从图形中扑捉信息的能力，一般地，我们需要从图形得到函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值，然后利用所得性质求解参数的大小或取值范围．8.《九章算术》中描述的“羡除”是一个五面体，其中有三个面是梯形，另两个面是三角形.已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的体积为（）A. 20B. 24C. 28D. 32【答案】B【解析】【分析】画出五面体的直观图，利用割补法求其体积.【详解】五面体对应的直观图为：由三视图可得：,4,2,6EF BC AD BC EF AD===P P，三个梯形均为等腰梯形且平面FADE⊥平面ABCDF 到底面ABCD 的距离为4d =，,AD BC 间的距离为3.如下图所示，将五面体分割成三个几何体，其中,F AGHB E IDCJ --为体积相等的四棱锥，且2AG GI ID ===，1,2BH JC HJ ===，则棱柱FGH EIJ -为直棱柱，EIJ ∆为直角三角形.又()114123632F AGHB E IDCJ V V --==⨯⨯⨯+⨯=； 1243122FGH EIJ V -=⨯⨯⨯=，故五面体的体积为121224+=.故选A.【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．而不规则几何体的体积的计算，可将其分割成体积容易计算的规则的几何体.9.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,且BC 边上的高为a 63,则c b b c + 的最大值是（ ） A. 8 B. 6C. 32D. 4【答案】D 【解析】22b c b c c b bc ++=，这个形式很容易联想到余弦定理：cos A 2222b c a bc+-=，① 而条件中的“高”容易联想到面积，13122a =bc sin A ，即a 2＝23bc sin A ，② 将②代入①得：b 2＋c 2＝2bc (cos A ＋3sin A )，∴b c c b+＝2(cos A ＋3sin A )＝4sin(A ＋6π)，当A ＝3π时取得最大值4，故选D ．点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.10.已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若12>0x x ，且()()120f x f x +=，则12x x +的最小值为（ ） A.6π B.3π C.2π D.23π 【答案】D 【解析】 【分析】先分析得到12x x +的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍，再求函数的绝对值最小的零点即得解.【详解】由题得12+x x 等于函数的零点的2倍，所以12x x +的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍， 令()sin =03f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以,3x k k Z ππ-=∈,所以=+,3x k k Z ππ∈，所以绝对值最小的零点为3π， 故12x x +的最小值为23π. 故选：D【点睛】本题主要考查正弦型函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.过抛物线24y x =的焦点的一条直线交抛物线于A 、B 两点，正三角形ABC 的顶点C 在直线1x =-上，则ABC ∆的边长是（ ）A. 8B. 10C. 12D. 14【答案】C 【解析】 【分析】设AB 的中点为M ，过A 、B 、M 分别作1AA 、1BB 、MN 垂直于直线1x =-于1A 、1B 、N ， 设AFx θ∠=，求出31sin =θ，利用弦长公式，可得结论．【详解】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，设AB 的中点为M ，过A 、B 、M 分别作1AA 、1BB 、MN垂直于直线1x =-于1A 、1B 、N ，设AFx θ∠=，由抛物线定义知：1111||(||||)||22MN AA BB AB =+=，3||||MC AB =Q ，||||3MN MC ∴=， 90CMN θ∠=︒-Q ，∴||cos cos(90)||3MN CMN MC θ∠=︒-==，即31sin =θ， 所以直线AB 的斜率k=2tan 2θ=, 所以直线AB 的方程为2(1)y x =-， 联立直线AB 方程和抛物线方程得21010x x -=+，所以1212+=10||10212x x AB x x p ∴=++=+=，. 故选：C ．【点睛】本题考查抛物线的方程与性质，考查抛物线的定义，正确运用抛物线的定义是关键．12.设函数()(1)x g x e e x a =+--（a R ∈，e 为自然对数的底数）,定义在R 上的函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x ≤时，'()f x x <．若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()y g x x =-的一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A. e⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B. ,)e +∞C. ,)e +∞D. e⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】先构造函数()()212T x f x x =-，由题意判断出函数()T x 的奇偶性，再对函数()T x 求导，判断其单调性，进而可求出结果. 【详解】构造函数()()212T x f x x =-， 因为()()2f x f x x -+=，所以()()()()()()()22211022T x T x f x x f x x f x f x x +-=-+---=+--=， 所以()T x 为奇函数，当0x ≤时，()()''0T x f x x =-<，所以()T x 在(],0-∞上单调递减， 所以()T x R 上单调递减.因为存在()()0112x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭， 所以()()000112f x f x x +≥-+， 所以()()()220000011111222T x x T x x x ++≥-+-+，化简得()()001T x T x ≥-， 所以001x x ≤-，即012x ≤令()()12xh x g x x e ex a x ⎛⎫=-=-≤⎪⎝⎭， 因为0x 为函数()y g x x =-的一个零点， 所以()h x 在12x ≤时有一个零点 因为当12x ≤时，()12'0x h x e e e e =≤=，所以函数()h x 在12x ≤时单调递减，由选项知0a >，102e<<，又因为0eeh ee a ee e -⎛=-=> ⎝，所以要使()h x 在12x ≤时有一个零点， 只需使11022h e e a ⎛⎫=≤⎪⎝⎭，解得2e a ≥， 所以a 的取值范围为e ⎫+∞⎪⎪⎣⎭，故选D. 【点睛】本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.若实数x ，y 满足约束条件1330.y x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，，，则3z x y =+的最小值为__________.【答案】2 【解析】 分析】先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值．【详解】作出约束条件1330.y x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，，，表示的平面区域（如图示：阴影部分）：由10y x x y =⎧⎨+-=⎩得A （12,1 2），由z ＝3x +y 得y ＝﹣3x +z ，平移y ＝﹣3x ， 易知过点A 时直线在y 上截距最小， 所以3z x y =+的最小值为32+122=． 故答案为：2．【点睛】本题考查了简单线性规划问题，关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义．14.若110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为___________． 【答案】0 【解析】试题分析：由110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，解得tan 3α=，又2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 222222222cos 22αααααα=+=+ 2222cos 222sin cos 2ααααα+=-+222220tan 12αα+=-=+． 考点：三角函数的化简求值．15.函数()f x 图像上不同两点),(11y x A ，),(22y x B 处的切线的斜率分别是A k ，B k ，AB 为A B 、 两点间距离，定义(,)A B k k A B ABϕ-=为曲线()f x 在点A 与点B 之间的“曲率”，给出以下命题：①存在这样的函数，该函数图像上任意两点之间的“曲率”为常数；②函数32()1f x x x =-+图像上两点A 与B 的横坐标分别为1,2，则 “曲率”(,)3A B ϕ>； ③函数2()(0,)f x ax b a b R =+>∈图像上任意两点A B 、之间 的“曲率”(,)2A B a ϕ≤；④设),(11y x A ，),(22y x B 是曲线()x f x e =上不同两点，且121x x -=，若·(,)1t A B ϕ<恒成立，则实数t 的取值范围是(,1)-∞。