河北省衡水中学2020年全国高三统一联合考试理科数学(含解析)

2020届河北省衡水中学高三下学期全国第三次联考数学（理）试卷★祝考试顺利★ (解析版)一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}20M x x x =+>,(){}ln 10N x x =->,则（ ）A. M N ⊇B. M N ⊆C. ()1,M N ⋂=+∞D. ()2,M N ⋃=+∞【答案】A 【解析】解出集合M 、N ,利用集合的包含关系和交集、并集的定义可判断各选项的正误.【详解】{}()()20,10,M x x x =+>=-∞-⋃+∞,(){}{}()ln 10112,N x x x x =->=->=+∞,所以,M N ⊇,()2,M N =+∞,()(),10,M N =-∞-+∞.故选：A.2. 已知复数2(2)z i =+,则z 的虚部为（ ） A. 3 B. 3iC. 4D. 4i【答案】C 【解析】根据复数的代数形式的乘法法则计算即可得解； 【详解】解：2(2)34z i i =+=+,所以z 的虚部为4. 故选：C .3. 以下统计表和分布图取自《清华大学2019年毕业生就业质量报告》.国内1583 55.8％94 3.8％290 19.9％1967 29.0％出国（境）699 24.6％137 5.5％199 13.7％1035 15.3％就业490 17.3％2224 89.2％943 64.8％3657 53.9％签三方就154 5.4％1656 66.4％864 59.4％2674 39.4％业灵活就业336 11.8％568 22.8％79 5.4％983 14.5％未就业64 2.3％39 1.6％23 1.6％126 1.9％合计2836 100.0％2494 100.0％1455 100.0％6785 100.0％清华大学2019年毕业生去向分布情况统计表清华大学2019年毕业生签三方就业单位所在省（区、市）分布图则下列选项错误．．的是（）.A. 清华大学2019年毕业生中,大多数本科生选择继续深造,大多数硕士生选择就业B. 清华大学2019年毕业生中,硕士生的就业率比本科生高C. 清华大学2019年签三方就业的毕业生中,本科生的就业城市比硕士生的就业城市分散D. 清华大学2019年签三方就业毕业生中,留北京人数超过一半【答案】D【解析】选项A在表中找出本科生选择继续深造达80.4％,硕士生选择就业达89.2％,则判断选项A正确；选项B在表中找出硕士生的就业率达89.2％,本科生的就业率达17.3％,则判断选项B正确；。

河北衡水中学2020届全国高三第三次联合考试(Ⅰ)理科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2M x x x =+>，(){}ln 10N x x =->，则( ）A 。

M N⊇ B 。

M N⊆C.()1,M N ⋂=+∞D.()2,M N ⋃=+∞【答案】A 【解析】 【分析】解出集合M 、N ，利用集合的包含关系和交集、并集的定义可判断各选项的正误. 【详解】{}()()20,10,M x x x =+>=-∞-⋃+∞，(){}{}()ln 10112,N x x x x =->=->=+∞,所以，M N ⊇，()2,M N =+∞，()(),10,MN =-∞-+∞。

故选:A 。

【点睛】本题考查集合包含关系的判断,同时也考查了集合的交集和并集运算、二次不等式与对数不等式的求解,考查计算能力，属于基础题.2. 已知复数2(2)z i =+，则z 的虚部为（ ）A 。

3B 。

3i C. 4 D.4i【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的代数形式的乘法法则计算即可得解；【详解】解：2=+=+，所以z的虚部为4.(2)34z i i故选：C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘法，复数的相关概念，属于基础题。

3。

以下统计表和分布图取自《清华大学2019年毕业生就业质量报告》.清华大学2019年毕业生去向分布情况统计表清华大学2019年毕业生签三方就业单位所在省（区、市）分布图的是( ）。

则下列选项错误．．A. 清华大学2019年毕业生中，大多数本科生选择继续深造，大多数硕士生选择就业B。

清华大学2019年毕业生中，硕士生的就业率比本科生高C。

清华大学2019年签三方就业的毕业生中,本科生的就业城市比硕士生的就业城市分散D。

清华大学2019年签三方就业毕业生中，留北京人数超过一半【答案】D【解析】【分析】选项A在表中找出本科生选择继续深造达80.4％，硕士生选择就业达89.2％，则判断选项A正确；选项B在表中找出硕士生的就业率达89.2％,本科生的就业率达17.3％，则判断选项B正确；选项C在表中分析出本科生的就业城市主要分散在北京、广东、上海，硕士生的就业城市主要集中在北京，则判断选项C正确；选项D在表中分析出留北京人数仅博士生达到了51。

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C 【解析】 【分析】采用列举法列举出AB 中元素的即可.【详解】由题意，A B 中的元素满足8y xx y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故AB 中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题. 2.复数113i-的虚部是（ ） A. 310-B. 110-C. 110D. 310【答案】D【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出z 即可. 【详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+， 所以复数113z i =-的虚部为310. 故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）A. 14230.1,0.4p p p p ====B. 14230.4,0.1p p p p ====C. 14230.2,0.3p p p p ====D. 14230.3,0.2p p p p ====【答案】B 【解析】 【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组. 【详解】对于A 选项，该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=， 方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于B 选项，该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于C 选项，该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05C s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于D 选项，该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45D s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.因此，B 选项这一组的标准差最大. 故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A. 60 B. 63C. 66D. 69【答案】C 【解析】 【分析】将t t *=代入函数()()0.23531t KI t e--=+结合()0.95I t K *=求得t*即可得解.【详解】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t KI t K e**--==+，则()0.235319t e *-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.5.设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（ ） A. （14，0） B. （12，0） C. （1，0） D. （2，0）【答案】B 【解析】 【分析】根据题中所给的条件OD OE ⊥，结合抛物线的对称性，可知4COx COx π∠=∠=，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,C D 两点，且OD OE ⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOx COx π∠=∠=，所以(2,2)C ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.6.已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b （ ）A. 3135-B. 1935-C.1735D.1935【答案】D 【解析】【分析】计算出()a ab ⋅+、a b +的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b <+>的值.【详解】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()2222257a b a ba ab b +=+=+⋅+=-=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题. 7.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A.19B. 13C. 12D.23【答案】A【解析】 【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅，即可求得答案.【详解】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC = 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB =由22299161cos 22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =. 故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积. 【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△根据勾股定理可得：AB AD DB ===∴ADB △是边长为的等边三角形根据三角形面积公式可得：211sin 6022ADB S AB AD =⋅⋅︒==△∴该几何体的表面积是：632=⨯++.故选：C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题. 9.已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ） A. –2B. –1C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案. 【详解】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=. 故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题. 10.若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A. y =2x +1 B. y =2x +12C. y =12x +1 D. y =12x +12【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】设直线l在曲线y =上的切点为(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =， 设直线l的方程为)0y x x -=-，即00x x -+=， 由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.11.设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A. 1 B. 2C. 4D. 8【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.【详解】5ca=，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.12.已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A. a <b <c B. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得a 、b 、()0,1c ∈，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b =，得85b =，结合5458<可得出45b <，由13log 8c =，得138c =，结合45138<，可得出45c >，综合可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】由题意可知a、b、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<； 由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <； 由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >. 综上所述，a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查对数式大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，，则z =3x +2y 的最大值为_________． 【答案】7 【解析】 【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决. 【详解】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y =+，所以322x zy =-+，易知截距2z 越大，则z 越大， 平移直线32x y =-，当322x zy =-+经过A 点时截距最大，此时z 最大， 由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ， 所以max 31227z =⨯+⨯= 故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14.262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】240 【解析】 【分析】写出622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项式展开通项，即可求得常数项. 【详解】622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 其二项式展开通项：()62612rrr r C xx T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭= 1226(2)r r r r x C x --⋅=⋅ 1236(2)r r r C x -=⋅当1230r -=，解得4r =∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=.故答案为：240.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握()na b +的展开通项公式1C rn rr r n T ab -+=，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【解析】 【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值. 【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，的其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点， 设内切圆的圆心为O ，由于AM ==，故122S =⨯⨯=△ABC， 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOCS S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ ()13322r =⨯++⨯= 解得：22r，其体积：343V r π==.. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 16.关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③【解析】 【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x π-<<可判断命题④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误. 故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；（2）1(21)22n n S n +=-⋅+.【解析】 【分析】（1）利用递推公式得出23,a a ，猜想得出{}n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可； （2）由错位相减法求解即可.【详解】（1）由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=，由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =+， 证明如下：当1n =时，13a =成立； 假设n k =时，21k a k =+成立.那么1n k =+时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立. 则对任意的*n N ∈，都有21n a n =+成立； （2）由（1）可知，2(21)2nnn a n ⋅=+⋅231325272(21)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，① 23412325272(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，②由①-②得：()23162222(21)2n n n S n +-=+⨯+++-+⋅ ()21121262(21)212n n n -+-=+⨯-+⋅⨯-1(12)22n n +=-⋅-，即1(21)22n n S n +=-⋅+. 【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率； （2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善22⨯列联表，计算出2K 的观测值，再结合临界值表可得结论.【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=（3）22⨯列联表如下：()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.19.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,EF 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】 【分析】（1）连接1C E 、1C F ，证明出四边形1AEC F 为平行四边形，进而可证得点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz -，利用空间向量法可计算出二面角1A EF A --的余弦值，进而可求得二面角1A EF A --的正弦值. 【详解】（1）在棱1CC 上取点G ，使得112C G CG =，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ，在长方体1111ABCD A B C D -中，//AD BC 且AD BC =，11//BB CC 且11BB CC =，112C G CG =，12BF FB =，112233CG CC BB BF ∴===且CG BF =，所以，四边形BCGF 为平行四边形，则//AF DG 且AF DG =， 同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1//C E DG ∴且1C E DG =，1//C E AF ∴且1C E AF =，则四边形1AEC F 为平行四边形，因此，点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C xyz -，则()2,1,3A 、()12,1,0A 、()2,0,2E 、()0,1,1F ，()0,1,1AE =--，()2,0,2AF =--，()10,1,2A E =-，()12,0,1A F =-，设平面AEF 的法向量为()111,,m x y z =，由0m AE m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11110220y z x z --=⎧⎨--=⎩取11z =-，得111x y ==，则()1,1,1m =-，设平面1A EF 的法向量为()222,,n x y z =，由1100n A E n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22222020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，取22z =，得21x =，24y =，则()1,4,2n =，3cos ,3m n m n m n⋅<>===⨯⋅， 设二面角1A EFA --的平面角为θ，则cos θ=，sin θ∴==因此，二面角1A EF A --. 【点睛】本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y +=；（2）52. 【解析】 【分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m +=<<，可得5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案； （2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积. 【详解】（1）222:1(05)25x y C mm +=<<∴5a =，bm =，根据离心率c e a ====， 解得54m =或54m =-(舍)， ∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=；（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥， 过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”， 可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=， ∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y+=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时， 故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△， ∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)， 画出图象，如图(5,0)A -,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ的距离为：d =， 根据两点间距离公式可得：AQ ==，∴APQ面积为：1522⨯=；②当P 点(3,1)-时，故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△， ∴||||8MB NQ ==，为可得：Q点为(6,8)，画出图象，如图(5,0)A-,(6,8)Q，可求得直线AQ的直线方程为：811400x y-+=，根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为：d=，根据两点间距离公式可得：AQ ==∴APQ面积为：1522=，综上所述，APQ面积为：52.【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.21.设函数3()f x x bx c=++，曲线()y f x=在点(12，f(12))处的切线与y轴垂直．（1）求b．（2）若()f x有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x所有零点的绝对值都不大于1．【答案】（1）34b=-；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得到'1()02f=，解方程即可；（2）由（1）可得'2311()32()()422f x x x x=-=+-，易知()f x在11(,)22-上单调递减，在1(,)2-∞-，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c-=--=+=-=+，采用反证法，推出矛盾即可.【详解】（1）因为'2()3f x x b=+，由题意，'1()02f=，即21302b⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭则34b=-；（2）由（1）可得33()4f x x x c=-+，'2311()33()()422f x x x x=-=+-，令'()0f x>，得12x>或21x<-；令'()0f x<，得1122x-<<，所以()f x在11(,)22-上单调递减，在1(,)2-∞-，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c-=--=+=-=+，若()f x所有零点中存在一个绝对值大于1的零点x，则(1)0f->或(1)0f<，即14c>或14c<-.当14c>时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c-=->-=+>=->=+>，又32(4)6434(116)0f c c c c c c-=-++=-<，由零点存在性定理知()f x在(4,1)c--上存在唯一一个零点x，即()f x在(,1)-∞-上存在唯一一个零点，在(1,)-+∞上不存在零点，此时()f x不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当14c<-时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c-=-<-=+<=-<=+<，又32(4)6434(116)0f c c c c c c-=++=->，由零点存在性定理知()f x在(1,4)c-上存在唯一一个零点x'，即()f x (1,)+∞上存在唯一一个零点，在(,1)-∞上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾； 综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点． （1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程． 【答案】（1）（2）3cos sin 120ρθρθ-+=【解析】 【分析】（1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值； （2）由,A B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即(0,12)A .令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B -AB ∴==（2）由（1）可知12030(4)ABk -==--， 则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=.由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.[选修4—5：不等式选讲]（10分）23.设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由题意得出0,,0a b c ><，由()222322b c b c bc a a a bcbc+++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明. 【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=， ()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. ,,a b c 均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<； （2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=.当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即3max{,,}4a b c .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.在祝福语祝你考试成功!。

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A＝{（x，y）|x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）|x+y＝8}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．62．（5分）复数的虚部是（）A ．﹣B ．﹣C ．D ．3．（5分）在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且p i＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.24．（5分）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t ）＝，其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（）（ln19≈3）A．60B．63C．66D．695．（5分）设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（）A．（，0）B．（，0）C．（1，0）D．（2，0）6．（5分）已知向量，满足||＝5，||＝6，•＝﹣6，则cos ＜，+＞＝（）A ．﹣B ．﹣C ．D ．7．（5分）在△ABC中，cos C ＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝（）A ．B ．C ．D ．8．（5分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A．6+4B．4+4C．6+2D．4+29．（5分）已知2tanθ﹣tan（θ+）＝7，则tanθ＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．210．（5分）若直线l与曲线y ＝和圆x2+y2＝都相切，则l的方程为（）A．y＝2x+1B．y＝2x +C．y ＝x+1D．y ＝x +11．（5分）设双曲线C ：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a＝（）A．1B．2C．4D．812．（5分）已知55＜84，134＜85．设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河北衡水中学2020届全国高三第三次联合考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。

2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案用0.5 mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的。

1．设集合{}22A x x =-<<，{}20B x x x m =-+<，若{}23A B x x =-<<，则实数m =A ．6-B ．6C ．5D ．22．已知()()2i i 55i a ++=+，则实数a =A ．0B ．1C ．2D ．33．已知双曲线2212x y a a -=-与椭圆2215x y +=的焦点相同，则该双曲线的离心率为A B ．43C.D ．34．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(],0-∞上单调递增，则 A ．2321(log 3)(log 2)(log )3f f f <<B ．2231(log )(log 3)(log 2)3f f f <<C ．2321(log )(log 2)(log 3)3f f f <<D ．3221(log 2)(log )(log 3)3f f f <<5．为庆祝中华人民共和国成立70周年，2019年10月1日晚，金水桥南，百里长街成为舞台，3290名联欢群众演员跟着音乐的旋律，用手中不时变幻色彩的光影屏，流动着拼组出五星红旗、祖国万岁、长城等各式图案和文字.光影激滟间，以《红旗项》《我们走在大路上》《在希望的田野上》《领航新时代》四个章节，展现出中华民族从站起来、富起来到强起来的伟大飞跃，在每名演员的手中都有一块光影屏，每块屏有1024颗灯珠，若每个灯珠的开、关各表示一个信息，则每块屏可以表示出不同图案的个数为A ．2048B ．10242C ．21024D ．102410246．已知等差数列{}n a 中，前5项的和n S 满足51525S <<，则公差d 的取值范围为A ．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(1,4)C ．(1,3)D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭7．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例，据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年.如图，在矩形ABCD 中，ABC △满足“勾3股4弦5”，且AB= 3，E 为AD 上的一点，BE AC ⊥，若BA BE AC λμ=+，则λμ+的值为 A ．925- B ．725C ．1625D ．18．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为 A ．0 BC．1D．19．在长方体1111ABCD A B C D -中，E F G 、、分别为棱111AA C D DD 、、的中点，1=2AB AA AD =，则异面直线EF 与BG 所成角的大小为A ．30B ．60C ．90D ．12010．将函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位长度，然后再将所得图像上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为A ．cos 12y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．7cos 412y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．sin 412y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．sin 12y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭11．已知5123456012345671(2)(1)x x a x a a x a x a x a x a x a x x-+--=+++++++，则4a =A ．21B ．42C ．35-D ．210-12．已知函数22,0()=ln(1),0x x x f x x x ⎧--≤⎨+>⎩，若方程1()2f x mx m =+-恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是A ．121,e 2-⎡⎫⎢⎪⎢⎭⎣B ．121,e 2-⎛⎫⎪⎝⎭C ．121,e 2⎛⎫⎪⎝⎭D ．121e ,2⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前河北衡水中学2020届全国高三大联考(全国卷)理数试题第I 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)若集合益={x y y lg |=} ,B={x y x =|}，则集合A ∩B = (A) (0, +∞) (B) [0,+∞) (C) (1,+∞) (D) φ (2)已知复数z 满足i ai z ++=12（i 为虚数单位，a ∈R)，若复数z 对应的点位于直角坐标平面内的直线y = -x 上，则a 的值为(A)0 (B)l (C)-l (D)2(3)设函数32)(2--=x x x f ,若从区间[-2，4]上任取一个实数0x ，则所选取的实数0x 满足0)(0≤x f 的概率为(A) 32 (B) 21 (C) 31 (D) 41 (4)已知a>0,且a ≠1，则双曲线1:2221=-y a x C 与双曲线1:2222=-x ay C 的 (A)焦点相同 （B)顶点相同 （C)渐近线相同 （D)离心率相等(5)中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里其意是：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走 了 700里.若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为(A) 32175里 (B)1050 里 （C) 3222575里 （D)2100里 (6)如图，在各小正方形边长为1的网格上依次为某几何体的正视图. 侧视图与俯视图，其中正视图为等边三角形，则此几何体的体积为(A) 321π+ (B) 3234π+ （C) 63332π+ （D) 33332π+ (7)已知 0<a<3<l ，c>l ，则(A) c c a b log <log (B) c c )1(<)1(b a(C) c c ab ba < (D) aa c 1blog <b 1logc b(8)运行如图所示的程序框图，则输出的结果是(A) 9949 (B) 10150 (C) 10351 (D) 21 (9)如图所示，在棱长为a 的正方体4321D C B A ABCD -中，点E ，F 分别在棱AD ，BC 上，且AE=BF=31a.过EF 的平面绕EF 旋转，与1DD 、1CC 的延长线分别交于G ，H 点，与11D A 、11C B 分别交于1E ，1F 点。

2020年全国统⼀⾼考数学试卷（理科）（新课标I）（有详细解析）2020年全国统⼀⾼考数学试卷（理科）（新课标I）班级：___________姓名：___________得分：___________⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共60.0分）1.若z=1+i，则?2z|=()A. 0B. 1C.D. 22.设集合A={?40}，B={x|2x+a0}，且A B={x|?2x1}，则a=()A. ?4B. ?2C. 2D. 43.埃及胡夫⾦字塔是古代世界建筑奇迹之⼀，它的形状可视为⼀个正四棱锥.以该四棱锥的⾼为边长的正⽅形⾯积等于该四棱锥⼀个侧⾯三⾓形的⾯积，则其侧⾯三⾓形底边上的⾼与底⾯正⽅形的边长的⽐值为()A. B. C. D.4.已知A为抛物线C:=2px(p>0)上⼀点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=()A. 2B. 3C. 6D. 95.某校⼀个课外学习⼩组为研究某作物种⼦的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进⾏种⼦发芽实验，由实验数据(，)(i=1，2，，20)得到下⾯的散点图：由此散点图，在10℃⾄40℃之间，下⾯四个回归⽅程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归⽅程类型的是()A. y=a+bxB. y=a+C. y=a+D. y=a+b x6.函数f(x)=?的图像在点(1,f(1))处的切线⽅程为()A. y=?2x?1B. y=?2x+1C. y=2x?3D. y=2x+17.设函数f(x)=(x+)在[?，]的图像⼤致如下图，则f(x)的最⼩正周期为()A. B. C. D.8.(x+y2)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为()xA. 5B. 10C. 15D. 209.已知(0,)，且3cos2α?8cosα=5，则=()A. B. C. D.10.已知A，B，C为球O的球⾯上的三个点，为ABC的外接圆，若的⾯积为4，AB=BC=AC=，则球O的表⾯积为()A. 64B. 48C. 36D. 3211.已知M:+?2x?2y?2=0，直线l:2x+y+2=0，P为l上的动点，过点P作M的切线PA，PB，且切点为A，B，当|PM||AB|最⼩时，直线AB的⽅程为()A. 2x?y?1=0B. 2x+y?1=0C. 2x?y+1=0D. 2x+y+1=012.若2a+log2a=4b+2log4b，则()A. a>2bB. a<2bC. a>D. a<⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共20.0分）13.若x，y满⾜约束条件则z=x+7y的最⼤值为__________．14.设，为单位向量，且||=1，则||=__________．15.已知F为双曲线C:?=1(a>0,b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离⼼率为__________．16.如图，在三棱锥P?ABC的平⾯展开图中，AC=1，AB=AD=，AB AC，AB AD，CAE=，则FCB=__________．三、解答题（本⼤题共7⼩题，共80.0分）17.设{}是公⽐不为1的等⽐数列，为，的等差中项．(1)求{}的公⽐;(2)若=1，求数列{}的前n项和．18.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底⾯的圆⼼，AE为底⾯直径，AE=AD．ABC 是底⾯的内接正三⾓形，P为DO上⼀点，PO=DO．(1)证明：PA平⾯PBC;(2)求⼆⾯⾓B?PC?E的余弦值．19.甲、⼄、丙三位同学进⾏⽻⽑球⽐赛，预定赛制如下：累计负两场者被淘汰;⽐赛前抽签决定⾸次⽐赛的两个⼈，另⼀⼈轮空;每场⽐赛的胜者与轮空者进⾏下⼀场⽐赛，负者下⼀场轮空，直⾄有⼀⼈淘汰;当⼀⼈被淘汰后，剩余的两⼈继续⽐赛，直⾄其中⼀⼈被淘汰，另⼀⼈最终获胜，⽐赛结束．经抽签，甲、⼄⾸先⽐赛，丙轮空.设每场⽐赛双⽅获胜的概率都为．(1)求甲连胜四场的概率;(2)求需要进⾏第五场⽐赛的概率;(3)求丙最终获胜的概率．20.已知A，B分别为椭圆E:+=1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另⼀交点为C，PB与E的另⼀交点为D，(1)求E的⽅程;(2)证明：直线CD过定点．21.已知函数f(x)=+?x．(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性;(2)当x0时，f(x)+1，求a的取值范围．22.[选修4?4:坐标系与参数⽅程]在直⾓坐标系xOy中，曲线的参数⽅程为(t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建⽴极坐标系，曲线的极坐标⽅程为4?16+3=0．(1)当k=1时，是什么曲线?(2)当k=4时，求与的公共点的直⾓坐标．23.[选修4?4:坐标系与参数⽅程]已知函数f(x)=|3x+1|?2|x?1|．(1)画出y=f(x)的图像;(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集．答案和解析1. D解：由z =1+i 得z 2=2i ，2z =2+2i ，|z 2?2z |=|2i ?(2+2i)|=2．2. B解：由已知可得A ={x|?2?x ?2}，B ={x|x ??a2}，⼜因为A ∩B ={x|?2?x ?1}，所以?a2=1，从⽽a =?2,3. C解：如图，设正四棱锥的⾼为h ，底⾯边长为a,侧⾯三⾓形底边上的⾼为?′，则由题意可得{ 2=12a?′?2=(?′)2(a2)2,故(?′)2?(a2)2=12a?′，化简可得4(?′a )2?2(?′a )?1=0,解得?′a=1±√54．负值舍去可得?′a=1+√544.C解：设点A的坐标为(x,y)，由点A到y轴的距离为9，可得x=9,由点A到点C的焦点的距离为12，可得x+p2=12解得p=6．5.D解：⽤光滑的曲线把图中各点连接起来，由图象的⾛向判断，此函数应该是对数函数类型的，故应该选⽤的函数模型为y=a+bln?x．6.B解：先求函数的导函数f′(x)=4x3?6x2，则由函数的⼏何意义可知在点(1,f(1))的切线斜率为k=f′(1)=?2．⼜因为f(1)=?1，则切线⽅程为y?(?1)=?2(x?1)，则y=?2x+1．7.C解：由图可知f(?4π9)=cos(?4π9w+π6)=0，所以?4π9w+π6=π2+kπ(k∈Z),化简可得w=?3+9k4(k∈Z)，⼜因为T<2π<2T，即2π|w|<2π<4π|w|，所以1<|ω|<2，当且仅当k=?1时1<|ω|<2，所以w=32，所以最⼩正周期T=2π|w|=4π3．8.C解：(x+y)5的展开式通项为C5r x5?r y r，r=0，1，2，3，4，5，则(x+y2x )(x+y)5的展开式有xC5r x5?r y r，y2xC5r x5?r y r，取r=3和r=1时可得10x3y3，5x3y3，合并后系数为15，9.A解：∵3cos2α?8cosα=5，∴3(2cos2α?1)?8cosα=5，即3cos2α?4cosα?4=0，(3cosα+2)(cosα?2)=0，α∈(0,π)，即cosα=?23，⼜α∈(0,π)，sinα>0，∴sinα=√1?cos2α=√53，10.A解：由圆O1的⾯积为4π=πr2，故圆O1的半径ρ=2，∵AB=BC=AC=OO1，则三⾓形ABC是正三⾓形，=2r=4，得AB=OO1=2√3，由正弦定理：ABsin60°由R2=r2+OO12，得球O的半径R=4，表⾯积为4πR2=64π，11.D解：圆M⽅程化为：(x?1)2+(y?1)2=4，圆⼼M(1,1)，半径r=2，根据切线的性质及圆的对称性可知，则|PM|?|AB|=4S△PAM=2|PA|?|AM|，要使其值最⼩，只需|PA|最⼩，即|PM|最⼩，此时，=√5，|PA|=√|PM|2?|AM|2=1，∴|PM|=√5(x?1)，联⽴l的⽅程解得P(?1,0)，过点M且垂直于l的⽅程为y?1=12以P为圆⼼，|PA|为半径的圆的⽅程为(x+1)2+y2=1，即x2+y2+2x=0，结合圆M的⽅程两式相减可得直线AB的⽅程为2x+y+1=0，12.B解：根据指数及对数的运算性质，4b+2log4b=22b+log2b，∵log2(2b)=log2b+1>log2b，∴22b+log2(2b)>22b+log2b=2a+log2a，根据函数f(x)=2x+log2x是定义域上的增函数，由f(2b)>f(a)，得a<2b，13.1解：根据约束条件画出可⾏域为：由z=x+7y得y=?17x+17z，平移直线y=?17x，要使z最⼤，则y=?17x+17z在y轴上的截距最⼤，由图可知经过点A(1,0)时截距最⼤，此时z=1，14.√3解：|a?+b? |2=a?2+b? 2+2a??b? =2+2a??b? =1，a??b? =?12，|a??b? |2=a?2+b? 2?2a??b? =2?2a??b? =3，∴|a??b? |=√3．15.2解：由题意可知，B在双曲线C的右⽀上，且在x轴上⽅，∵BF垂直于x轴，把x=c代⼊x2a2?y2b2=1，得y=b2a，∴B点坐标为(c,b2a)，⼜A点坐标为(a,0)，∴k AB=b2ac?a=3，化简得b2=3ac?3a2=c2?a2，即2a2?3ac+c2=0，解得c=2a或c=a(舍)，故e=ca=2．16.?14解：由已知得BD=√2AB=√6，∵D、E、F重合于⼀点，∴AE=AD=√3，BF=BD=√6，∴△ACE中，由余弦定理得，∴CE=CF=1，BC2=AC2+AB2，BC=2，∴在△BCF中，由余弦定理得．17.解：⑴设等⽐数列{a n}的公⽐为q(q≠1)，由题意知：2a1=a2+a3，即2a1=a1q+a1q2，所以q2+q?2=0，解得q=?2．(2)若a1=1，则a n=(?2)n?1，所以数列{na n}的前n项和为T n=1+2×(?2)+3×(?2)2+?+n(?2)n?1，则?2T n=?2+2×(?2)2+3×(?2)3+?+n(?2)n，两式相减得3T n=1+(?2)+(?2)2+(?2)3+(?2)n?1?n(?2)n=1?(?2)n1?(?2)?n(?2)n=1?(3n+1)(?2)n3，所以T n=1?(3n+1)(?2)n9．18.(1)证明：不妨设⊙O的半径为1，则AO=OB=OC=1，AE=AD=2，AB=BC=CA=√3，DO=√DA2?OA2=√3，PO=√66DO=√22，PA=PB=PC=√PO2+AO2=√62，在△PAC中，PA2+PC2=AC2，故PA⊥PC，同理可得PA⊥PB，PB∩PC=P，PB，PC?平⾯PBC，∴PA ⊥平⾯PBC ．(2)解：以OE ，OD 所在直线分别为y ，z 轴，圆锥底⾯内垂直于OE 的直线为x 轴，建⽴如图所⽰的空间直⾓坐标系O ?xyz ，则有B (√32,12,0),C (?√32,12,0),P (0,0,√22),E (0,1,0)， BC =(?√3,0,0),CE =(√32,12,0),CP =(√32,?12,√22)，设平⾯PBC 的法向量为n 1 =(x 1,y 1,z 1)，则{BC ????? ?n ? =0CP ????? ?n ? =0，解得n 1 =(0,√2,1)，同理可得平⾯PCE 的法向量n 2 =(√2,?√6,?2√3)，由图形可知⼆⾯⾓B ?PC ?E 为锐⾓，则cosθ=|n 1????? ?n 2|n 1 |?|n 2 ||=2√55，故⼆⾯⾓B ?PC ?E 的余弦值为2√55．19. 解：(1)甲连胜四场只能是前四场全胜，则P =(12)4=116．(2)设甲输掉⼀场⽐赛为事件A ，⼄输掉⼀场⽐赛为事件B ，丙输掉⼀场⽐赛为事件C ，四场⽐赛能结束为事件N ，则P(N)=P(ABAB)+P(ACAC)+P(BABA)+P(BCBC)=116×4=14所以需要进⾏第五场⽐赛的概率为P =1?P(N)=1?14=34(3) 丙获胜的概率为：P =P (ABAB )+P(BABA)+P(ABACB)+P(BABCA)+P(ABCAB)+P(ABCBA)+P(BACAB)+P(BACBA)+P(ACABB)+P(ACBAB)+P(BCABA)+P(BCBAA) =(12)4×2+(12)5×10=716．20. 解：由题意A (?a,0),B (a,0),G (0,1),AG =(a,1),GB =(a,?1), AG ?GB =a 2?1=8?a 2=9?a =3，∴椭圆E 的⽅程为x 29+y 2=1．(2)由(1)知A (?3,0),B (3,0),P (6,m )，则直线PA 的⽅程为y =m 9(x +3)，联⽴{y =m 9(x +3)x 29+y 2=1(9+m 2)x 2+6m 2x +9m 281=0,由韦达定理?3x C =9m 2?819+m 2?x C = 3m 2+279+m 2，代⼊直线PA 的⽅程y =m 9(x +3)得，y C =6m9+m 2，即C (?3m 2+279+m 2,6m9+m 2)，直线PB的⽅程为y=m3(x?3)，联⽴{y=m3(x?3)x29+y2=1(1+m2)x26m2x+9m29=0,由韦达定理3x D=9m2?91+m2?x D=3m2?31+m2，代⼊直线PA的⽅程y=m3(x?3)得，y D=?2m1+m2，即D(3m2?31+m2,?2m1+m2)，∴直线CD的斜率k CD=6m9+m22m1+m23m2+279+m23m2?31+m2=4m3(3?m2)，∴直线CD的⽅程为y??2m1+m2=4m3(3?m2)(x?3m2?31+m2)，整理得y=4m3(3?m2)(x?32)，∴直线CD过定点(32,0)．21.解：(1)当a=1时，f(x)=e x+x2?x，f′(x)=e x+2x?1，记g(x)=f′(x)，因为g′(x)=e x+2>0，所以g(x)=f′(x)=e x+2x?1在R上单调递增，⼜f′(0)=0，得当x>0时f′(x)>0，即f(x)=e x+x2?x在(0,+∞)上单调递增；当x<0时f′(x)<0，即f(x)=e x+x2?x在(?∞,0)上单调递减．所以f(x)=e x+x2?x在(?∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增．(2)①当x=0时，a∈R；②当x>0时，f(x)≥12x3+1即a≥12x3+x+1?e xx2，令?(x)=12x3+x+1?e xx2，?′(x)=(2?x)(e x?12x2?x?1)x3记m(x)=e x?12x2?x?1，m′(x)=e x?x?1令q(x)=e x?x?1，因为x>0，所以q′(x)=e x?1>0，所以m′(x)=q(x)=e x?x?1在(0,+∞)上单调递增，即m′(x)=e x?x?1> m′(0)=0所以m(x)=e x?12x2?x?1在(0,+∞)上单调递增，即m(x)=e x?12x2?x?1>m(0)=0，故当x∈(0,2)时，?′(x)>0，?(x)=12x3+x+1?e xx2在(0,2)上单调递增；当x∈(2,+∞)时，?′(x)<0，?(x)=12x3+x+1?e xx2在(2,+∞)上单调递减；所以[?(x)]max=?(2)=7?e24，所以a≥7?e24，综上可知，实数a的取值范围是[7?e24,+∞)．22.解：(1)当k=1时，曲线C1的参数⽅程为{x=costy=sint，化为直⾓坐标⽅程为x2+y2=1，表⽰以原点为圆⼼，半径为1的圆．(2)k=4时，曲线C1的参数⽅程为{x=cos 4ty=sin4t，化为直⾓坐标⽅程为√x+√y=1，曲线C2化为直⾓坐标⽅程为4x?16y+3=0，联⽴{√x+√y=14x?16y+3=0，解得{x=14y=14,所以曲线C1与曲线C2的公共点的直⾓坐标为(14,14 )．23.解：(1)函数f(x)=|3x+1|?2|x?1|=，图像如图所⽰：(2)函数f(x+1)的图像即为将f(x)的图像向左平移⼀个单位所得，如图，联⽴y=?x?3和y=5x+4解得交点横坐标为x=?，原不等式的解集为．。

2020年河北省衡水中学高考联考数学试题一、单选题1．函数()log (1)1a f x x =-+（0a >，且1a ≠）的图象恒过点（ ） A ．(1,1)B ．(2,1)C ．(1,2)D ．(2,2)2．已知复数z 在复平面上对应的点为()1,m ，若iz 为纯虚数，则实数m 的值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．1或1-3． 若函数f (x )＝sin(ωx －3π)(ω>0)在(－2π，0)上单调递增，则ω的最大值为( )A ．13B ．12C ．1D ．24．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点为1F ，2F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交C 的渐近线于A ，B 两点.若2ABF ∆为直角三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A BCD 5．国际上通常用年龄中位数指标作为划分国家或地区人口年龄构成的标准：年龄中位数在20岁以下为“年轻型”人口；年龄中位数在20～30岁为“成年型”人口；年龄中位数在30岁以上为“老龄型”人口．如图反映了我国全面放开二孩政策对我国人口年龄中位数的影响．据此，对我国人口年龄构成的类型做出如下判断：①建国以来直至2000年为“成年型”人口；②从2010年至2020年为“老龄型”人口；③放开二孩政策之后我国仍为“老龄型”人口．其中正确的是（ ） A ．②③B ．①③C ．②D ．①②6．等差数列{a n }中，a m =1k ,a k =1m (m ≠k )，则该数列前mk 项之和为（ ）A ．mk 2−1 B ．mk 2C ．mk+12D ．mk 2+17．已知tan （α+β）=35，tanβ=13，则tanα=（ ） A ．29B ．13C ．79D ．768．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①f（x ）＝sinx ②f（x ）＝cosx ③1()f x x= ④f（x ）＝x 2则输出的函数是（ ） A ．f （x ）＝sinxB ．f （x ）＝cosxC ．1()f x x= D ．f （x ）＝x 29．已知,,a b c R ∈，满足，则下列不等式成立的是 A ．B ．C ．D ．10．当x A ∈时，若1x A -∉，且1x A +∉，则称x 为A 的一个“孤立元素”，由A 的所有孤立元素组成的集合称为A 的“孤星集”，若集合{}0,1,3M =的孤星集为M '，集合{}0,3,4N =的孤星集为N '，则M N '⋃'=( )A ．{}0134，，，B ．{}14，C ．{}13，D ．{}03，11．ABC 中，ACB 90∠=，AC 3=，BC 4=，CD AB ⊥，垂足为D ，则CD (= )A ．43CA CB 77+ B ．34CA CB 77+ C ．169CA CB 2525+ D ．916CA CB 2525+ 12．若函数()y f x =的定义域为R ，对于x R ∀∈，()()f x f x '<，且(1)f x +为偶函数，(2)1f =，则不等式()xf x e <的解集为（ ）A ．()2,+∞B ．(0,)+∞C ．(),0-∞D ．(),2-∞二、填空题13．由球O 的球面上一点P 作球的两两垂直的三条弦PA ，PB ，PC ，且PA =PBPC =则球O 的半径R =________．14．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，若6378S S =，则24a a ⋅=______. 15．在区间[]0,π上，关于α的方程5sin 45cos 2αα+=+解的个数为 ． 16．（2018届四川省南充高级中学高三1月检测）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，()()1122,,,M x y N x y 是抛物线C 上的两个动点，若1222x x MN ++=，则MFN ∠的最大值为__________．三、解答题17．某工厂有两台不同机器A 和B 生产同一种产品各10万件，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如图所示：该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩达到()90,100的产品，质量等级为优秀；鉴定成绩达到()80,90的产品，质量等级为良好；鉴定成绩达到()60,80的产品，质量等级为合格.将这组数据的频率视为整批产品的概率.（1）完成下列22⨯列联表，以产品等级是否达到良好以上（含良好）为判断依据，判断能不能在误差不超过0.05的情况下，认为B 机器生产的产品比A 机器生产的产品好；（2）根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，从两台不同机器A 和B 生产的产品中各随机抽取2件，求4件产品中A 机器生产的优等品的数量多于B 机器生产的优等品的数量的概率；（3）已知优秀等级产品的利润为12元/件，良好等级产品的利润为10元/件，合格等级产品的利润为5元/件，A 机器每生产10万件的成本为20万元，B 机器每生产10万件的成本为30万元；该工厂决定：按样本数据测算，若收益之差不超过5万元，则仍然保留原来的两台机器.你认为该工厂会仍然保留原来的两台机器吗？附：1.独立性检验计算公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++. 2.临界值表：18．在极坐标系中，已知两点O (0，0)，B ，4π)．(1)求以OB 为直径的圆C 的极坐标方程，然后化成直角坐标方程；（2）以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为,{12,x t y t ＝＝＋（t 为参数）．若直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，圆C 的圆心为C ，求三角形MNC 的面积． 19．已知函数f(x)=|2x −1|−|x +2|. （1）求不等式f(x)≥3的解集；（2）若关于x 的不等式f(x)≥t 2−3t 在[0,1]上无解，求实数t 的取值范围.20．如图，在Rt ABC 中，AB BC ⊥，2AB BC ==，点P 为AB 的中点，//PD BC 交AC 于点D ，现将PDA 沿PD 翻折至1PDA ，使得平面1PDA ⊥平面PBCD .（1）若Q 为线段1A B 的中点，求证：PQ ⊥平面1A BC ； （2）若E 是线段1A C 的中点，求四棱锥E PBCD -的体积.21．已知1F ，2F 是椭圆()2222:10y x M a b a b +=>>的两个焦点，椭圆M ，()00,P x y 是M 上异于上下顶点的任意一点，且12PF F ∆面积的最大值为（1）求椭圆M 的方程；（2）若过点()0,1C 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，2AC CB =，求直线l 的方程. 22．已知函数()()ln =-+xf x xe a x x .（1）若0a =，求函数()f x 在1x =处的切线方程； （2）讨论()f x 极值点的个数；（3）若0x 是()f x 的一个极小值点，且()00f x >，证明：()()30002f x x x >-.23．（本小题满分12分）在三角形ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且asinAsin(A +B)+ccos2A=√2b（1）求cb 的值；（2）若ΔABC的面积为b22，求a的值（用b表示）【答案与解析】1．B令真数为1，则可得到定点坐标.真数为1时，对数为0，所以令x=2，则f （x ）=1，所以函数()f x 的图象过定点()2,1. 本题主要考查了对数函数恒过定点问题，属于基础题. 2．B由题意易得1z mi =+，计算出iz ，结合纯虚数的概念即可得出结果. 因为复数z 在复平面上对应的点为()1,m ，1z mi =+， 因为()1iz i mi m i =+=-+为实数，得0m =. 故选：B.本题主要考查了复数的几何意义，已知复数的类型求参数的值，属于基础题. 3．A,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则,3233x ππππωω⎛⎫-∈--- ⎪⎝⎭， 因为单调递增，则232πππω--≥-，所以13ω≤，则ω的最大值为13， 故选A 。