【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 1.1.1+2 变化率问题 导数概念课后知能检测 新人教A版选修2-2

第１章导数及其应用１.１变化率与导数１.１．１变化率问题１.１．２导数的概念学习目标核心素养１．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景.２．会求函数在某一点附近的平均变化率．（重点）３．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．（重点、难点）４．理解函数的平均变化率，瞬时变化率及导数的概念．（易混点）１．通过对函数的平均变化率、瞬时变化率、导数的概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养.２．通过求平均变化率、瞬时变化率及导数的学习，培养逻辑推理及数学运算的核心素养.１．函数的平均变化率（１）函数y＝f （x）从x１到x２的平均变化率为错误!＝错误!，其中Δx＝x２—x１是相对于x１的一个“增量”，Δy＝f （x２）—f （x１）＝f （x１＋Δx）—f （x１）是相对于f （x１）的一个“增量”．（２）平均变化率的几何意义设A（x１，f （x１）），B（x２，f （x２））是曲线y＝f （x）上任意不同的两点，函数y＝f （x）的平均变化率错误!＝错误!＝错误!为割线AB的斜率，如图所示．思考：Δx，Δy的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？[提示] Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为零．平均变化率错误!可正、可负、可为零．２．瞬时速度与瞬时变化率（１）物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．（２）函数f （x）在x＝x0处的瞬时变化率是函数f （x）从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即错误!错误!＝错误!错误!.３．导数的概念函数y＝f （x）在x＝x0处的导数就是函数y＝f （x）在x＝x0处的瞬时变化率，记作f ′（x0）或y′|错误!，即f ′（x0）＝错误!错误!.１．函数y＝f （x），自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为（）Ａ．f （x0＋Δx）Ｂ．f （x0）＋ΔxＣ．f （x0）·ΔxＤ．f （x0＋Δx）—f （x0）D[Δy＝f （x0＋Δx）—f （x0），故选Ｄ．]２．若一质点按规律s＝8＋t２运动，则在一小段时间[２,２．１]内的平均速度是（）Ａ．４Ｂ．４．１Ｃ．0．４１Ｄ．—１．１B[错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝４．１，故选Ｂ．]３．函数f （x）＝x２在x＝１处的瞬时变化率是________．２[∵f （x）＝x２.∴在x＝１处的瞬时变化率是错误!错误!＝错误!错误!＝错误!错误!＝错误!（２＋Δx）＝２．]４．函数f （x）＝２在x＝6处的导数等于________．0 [f ′（6）＝错误!错误!＝错误!错误!＝0．]求函数的平均变化率２（１）从0．１到0．２的平均变化率；（２）在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．[解] （１）因为f （x）＝３x２＋５，所以从0．１到0．２的平均变化率为错误!＝0．9．（２）f （x0＋Δx）—f （x0）＝３（x0＋Δx）２＋５—（３x错误!＋５）＝３x错误!＋6x0Δx＋３（Δx）２＋５—３x错误!—５＝6x0Δx＋３（Δx）２.函数f （x）在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为错误!＝6x0＋３Δx.１．求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx＝x２—x１；第二步，求函数值的增量Δy＝f （x２）—f （x１）；第三步，求平均变化率错误!＝错误!.２．求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率，可用错误!的形式．[跟进训练]１．如图所示，函数y＝f （x）在A，B两点间的平均变化率等于（）Ａ．１Ｂ．—１Ｃ．２Ｄ．—２B[平均变化率为错误!＝—１．故选Ｂ．]２．已知函数y＝f （x）＝２x２的图象上点P（１,２）及邻近点Q（１＋Δx,２＋Δy），则错误!的值为（）Ａ．４Ｂ．４xＣ．４＋２Δx２Ｄ．４＋２ΔxD[错误!＝错误!＝４＋２Δx.故选Ｄ．]求瞬时速度１．物体的路程s与时间t的关系是s（t）＝５t２，如何计算物体在[１,１＋Δt]这段时间内的平均速度？[提示] Δs＝５（１＋Δt）２—５＝１0Δt＋５（Δt）２，错误!＝错误!＝１0＋５Δt.２．当Δt趋近于0时，探究１中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？[提示] 当Δt趋近于0时，错误!趋近于１0，这时的平均速度即为当t＝１时的瞬时速度．【例２】某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数s（t）＝t２＋t＋１表示，求物体在t＝１s时的瞬时速度．思路探究：错误!错误!错误!―→错误![解] ∵错误!＝错误!＝错误!＝３＋Δt，∴错误!错误!＝错误!（３＋Δt）＝３．∴物体在t＝１处的瞬时变化率为３．即物体在t＝１s时的瞬时速度为３m/s.１．（变结论）在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度．[解] 求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度．∵错误!＝错误!＝错误!＝１＋Δt，∴错误!（１＋Δt）＝１．∴物体在t＝0时的瞬时变化率为１，即物体的初速度为１m/s.２．（变结论）在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.[解] 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.又错误!＝错误!＝（２t0＋１）＋Δt.错误!错误!＝错误!（２t0＋１＋Δt）＝２t0＋１．则２t0＋１＝9，则物体在４s时的瞬时速度为9 m/s.求运动物体瞬时速度的三个步骤（１）求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s（t0＋Δt）—s（t0）．（２）求平均速度错误!＝错误!.（３）求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，错误!无限趋近于常数v，即为瞬时速度．求函数在某一点处的导数00Ａ．１Ｂ．—１Ｃ．—错误!Ｄ．错误!（２）求函数f （x）＝x—错误!在x＝１处的导数．思路探究：（１）类比f ′（x0）＝错误!错误!求解．（２）错误!―→错误!―→错误!（１）C[∵错误!错误!＝错误!错误!＝—３f ′（x0）＝１，∴f ′（x0）＝—错误!，故选Ｃ．]（２）[解] ∵Δy＝（１＋Δx）—错误!—错误!＝Δx＋１—错误!＝Δx＋错误!，∴错误!＝错误!＝１＋错误!，∴f ′（１）＝错误!错误!＝错误!错误!＝２．求函数y＝f （x）在点x0处的导数的三个步骤简称：一差、二比、三极限．[跟进训练]３．已知f ′（１）＝—２，则错误!错误!＝________.４[∵f ′（１）＝—２，∴错误!错误!＝错误!错误!＝—２错误!错误!＝—２f ′（１）＝—２×（—２）＝４．]４．求函数y＝３x２在x＝１处的导数．[解] ∵Δy＝f （１＋Δx）—f （１）＝３（１＋Δx）２—３＝6Δx＋３（Δx）２，∴错误!＝6＋３Δx，∴f ′（１）＝错误!错误!＝错误!（6＋３Δx）＝6．１．极限思想是逼近的思想，瞬时变化率就是平均变化率的极限．２．函数y＝f （x）在x＝x0处的导数f ′（x0）反映了函数在该点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况．即：f ′（x0）＝错误!错误!＝错误!错误!＝错误!错误!，且y＝f （x）在x0处的导数是一个局部概念．特别提醒：１取极限前，要注意化简错误!，保证使Δx→0时分母不为0．２函数在x0处的导数f ′（x0）只与x0有关，与Δx无关．３导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛．１．一物体的运动方程是s＝３＋２t，则在[２,２．１]这段时间内的平均速度是（）Ａ．0．４Ｂ．２Ｃ．0．３Ｄ．0．２B[错误!＝错误!＝错误!＝２．]２．物体自由落体的运动方程为s（t）＝错误!gt２，g＝9．8 m/s２，若v＝错误!错误!＝9．8 m/s，那么下列说法中正确的是（）Ａ．9．8 m/s是物体从0 s到１s这段时间内的速率Ｂ．9．8 m/s是１s到（１＋Δt）s这段时间内的速率Ｃ．9．8 m/s是物体在t＝１s这一时刻的速率Ｄ．9．8 m/s是物体从１s到（１＋Δt）s这段时间内的平均速率C[结合平均变化率与瞬时变化率可知选项C正确．]３．设函数f （x）＝ax＋３，若f ′（１）＝３，则a等于（）Ａ．２Ｂ．—２Ｃ．—３Ｄ．３D[因为f ′（１）＝错误!错误!＝错误!错误!＝a.因为f ′（１）＝３，所以a＝３．]４．设f （x）在x0处可导，若错误!错误!＝A，则f ′（x0）＝________.错误![错误!错误!＝３错误!错误!＝３f ′（x0）＝A.故f ′（x0）＝错误!A.]５．在曲线y＝f （x）＝x２＋３上取一点P（１,４）及附近一点（１＋Δx,４＋Δy），求：（１）错误!；（２）f ′（１）．[解] （１）错误!＝错误!＝错误!＝２＋Δx.（２）f ′（１）＝错误!错误!＝错误!（２＋Δx）＝２．。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第三章 变化率与导数综合检测 北师大版选修1-1(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知函数y ＝x 2＋1的图像上一点(1，2)及邻近一点(1＋Δx ，2＋Δy )，则 Δy Δx ＝( )A ．2B ．2xC ．2＋ΔxD ．2＋Δx 2【解析】 Δy Δx ＝ （1＋Δx ）2＋1－（1＋1）Δx ＝ (Δx ＋2)＝2.【答案】 A2. 设f (x )＝(3x 3＋2)(x 2＋5)，则f ′(x )等于( ) A ．15x 4＋45x 2＋4x B ．15x 4C ．15x 4＋45x 2D ．45x 2＋4x【解析】 ∵f (x )＝3x 5＋15x 3＋2x 2＋10，∴f ′(x )＝15x 4＋45x 2＋4x . 【答案】 A3. f (x )＝12x 在点(1，12)处的切线方程为( )A ．x －2y －2＝0B ．x ＋2y －2＝0C ．x －2y ＋2＝0D ．x ＋2y ＋2＝0【解析】 ∵f (x )＝12x ，∴f ′(x )＝－12x 2，∴f ′(1)＝－12，∴切线方程为y －12＝－12(x －1)，即x ＋2y －2＝0.【答案】 B4. 若f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，f ′(－1)＝3，则a 的值等于( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．6【解析】 ∵f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，∴f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝3，∴a ＝3. 【答案】 C5. 运动物体的位移s ＝3t 2－2t ＋1，则此物体在t ＝10时的瞬时速度为( ) A ．281 B ．58 C ．85D ．10【解析】 ∵s ′＝6t －2，当t ＝10时，s ′＝6×10－2＝58. 【答案】 B6. 函数y ＝1－ln x1＋ln x 的导数是( )A ．－2（1＋ln x ）2 B.2x （1＋ln x ）2 C ．－2x （1＋ln x ）2D ．－1x （1＋ln x ）2【解析】 y ′＝(1－ln x1＋ln x )′＝（1－ln x ）′（1＋ln x ）－（1－ln x ）（1＋ln x ）′（1＋ln x ）2＝－1x （1＋ln x ）－（1－ln x ）1x（1＋ln x ）2＝－2x （1＋ln x ）2.【答案】 C7. 曲线y ＝f (x )＝x 3－3x 2＋1在点(2，－3)处的切线方程为( ) A ．y ＝－3x ＋3 B ．y ＝－3x ＋1 C ．y ＝－3D ．x ＝2【解析】 因为y ′＝f ′(x )＝3x 2－6x ，则曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(2，－3)处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝3×22－6×2＝0，所以切线方程为y －(－3)＝0×(x －2)，即y ＝－3.【答案】 C8. (2013·大纲全国卷)已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝( )A ．9B ．6C ．－9D ．－6【解析】 y ′＝4x 3＋2ax ，由导数的几何意义知在点(－1，a ＋2)处的切线斜率k ＝y ′|x＝－1＝－4－2a ＝8，解得a ＝－6.【答案】 D9. 点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是( )A ．(0，π2)B ．[0，π2)∪[3π4，π]C ．[34π，π)D ．(π2，3π4]【解析】 y ′＝3x 2－1≥－1，∴tan α≥－1， ∵α∈[0，π)，∴α∈[0，π2)∪[3π4，π)． 【答案】 B10. 设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是( )A ．(－3，0)∪(3，＋∞)B ．(－3，0)∪(0，3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0，3)【解析】 f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，故函数F (x )＝f (x )g (x )是R 上的奇函数．由奇函数的图像关于原点对称知，F (x )在原点两侧的单调性相同．又F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，依据条件知，F (x )在x <0时为增函数，于是F (x )在x >0时亦为增函数．因g (x )为偶函数且g (3)＝0， 故g (－3)＝0，从而F (－3)＝F (3)＝0.作出满足条件的F (x )的示意图如图所示，由图易知，F (x )<0的解集为(－∞，－3)∪(0，3)，故选D.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．【解析】 ∵y ′＝3x 2－10，设切点P (x 0，y 0)(x 0<0，y 0>0)，则点P 处切线斜率k ＝3x 2－10＝2，∴x 0＝－2.∴P 点坐标为(－2，15)． 【答案】 (－2，15)12. y ＝－3tan x ，则y ′等于________． 【解析】 y ′＝－3(tan x )′＝－3cos x .【答案】 －3cos 2x13. 已知函数f (x )＝13－8x ＋2x 2且f ′(x 0)＝4，则x 0＝________． 【解析】 f ′(x )＝－8＋4x ，由f ′(x 0)＝－8＋4x 0＝4，∴x 0＝3. 【答案】 314. 已知a ∈R ，f (x )＝(x 2－4)(x －a )且f ′(－1)＝0，则a ＝________． 【解析】 ∵f (x )＝(x 2－4)(x －a )， ∴f ′(x )＝3x 2－2ax －4.又∵f ′(－1)＝3＋2a －4＝0，∴a ＝12.【答案】 12三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (12分)求下列函数的导数． (1)y ＝3x 2＋x cos x ； (2)y ＝tan x x；(3)y ＝x 2－2x ＋5x 3.【解】 (1)y ′＝(3x 2)′＋(x cos x )′ ＝6x ＋x ′cos x ＋x (cos x )′ ＝6x ＋cos x －x sin x .(2)法一：y ′＝（tan x ）′·x －tan x x 2＝xcos x－tan xx2＝x －cos 2x ·tan x x 2cos 2x ＝x －sin x cos x x 2cos 2x.法二：y ′＝(sin xx cos x)′ ＝（sin x ）′x cos x －sin x （x cos x ）′x 2cos 2x＝x cos 2x －sin x （cos x －x sin x ）x 2cos 2x＝x －sin x cos xx 2cos 2x.(3)∵y ＝1x －2x2＋5x3＝x －1－2x －2＋5x －3，∴y ′＝－x －2－2×(－2)x －3＋5×(－3)x －4＝－1x 2＋4x 3－15x4.16. (12分)求过曲线y ＝cos x 上点P (π3，12)且与过这点的切线垂直的直线方程．【解】 ∵y ＝cos x ， ∴y ′＝－sin x .曲线在点P (π3，12)处的切线斜率是y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32. ∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为23. ∴所求直线方程为y －12＝23(x －π3)．即2x －3y －2π3＋32＝0. 17. (12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2.(1)若a ＝1，求f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)对于任意x ≥2使得f ′(x )≥x 恒成立，求实数a 的取值范围．【解】 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋x 2，则f ′(x )＝1x＋2x ，故在点(1，f (1))处的切线斜率为k ＝f ′(1)＝3，又f (1)＝1，即切点为(1，1)，故切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)当x ≥2时，f ′(x )≥x ，即ax＋2x ≥x (x ≥2)恒成立，即a ≥－x 2在x ∈[2，＋∞)上恒成立．令t ＝－x 2，当x ∈[2，＋∞)时，易知t max ＝－4，为使不等式a ≥－x 2恒成立，则a ≥－4，故实数a 的取值范围为[－4，＋∞)．18. (14分)(2012·西安高二检测)设函数f (x )＝|1－1x|，点P (x 0，y 0)(0<x 0<1)在曲线y ＝f (x )上，求曲线在点P 处的切线与x 轴和y 轴的正向所围成的三角形面积的表达式．(用x 0表达)【解】 0<x <1时，y ＝f (x )＝|1－1x |＝1x－1，∴f′(x0)＝－1x20，0<x0<1.曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝－1x20(x－x0)，即y＝－xx20＋2－x0x0，∴切线与x轴，y轴正向的交点分别为(x0(2－x0)，0)和(0，1x0(2－x0))．故所求三角形面积表达式为12x0(2－x0)·1x0(2－x0)，即12(2－x0)2.。

1.1 变化率与导数1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念目标定位 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.自 主 预 习1.函数的变化率瞬2.函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx 称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0limx ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx.即 时 自 测1.思考题(1)物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？当Δx ＝0.000 01时，ΔyΔx 等于多少？这个平均速度能描述物体的运动状态吗？提示 不能，如高台跳水运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)存在函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，易知h ⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＝h (0)，v －＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫6549－h （0）6549－0＝0，而运动员依然是运动状态.ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3＝－3.300 049，说明当时间间隔非常小的时候平均速度约等于一个常数，这个常数就是x ＝1这一时刻的速度. (2)导数或瞬时变化率反映函数变化的什么特征？提示 导数或瞬时变化率可以反映函数在一点处变化的快慢程度. 2.在平均变化率的定义中，自变量x 在x 0处的增量Δx ( ) A.大于零 B.小于零 C.等于零 D.不等于零答案 D3.函数y ＝x 2＋1在[1，1＋Δx ]上的平均变化率是( ) A.2B.2xC.2＋ΔxD.2＋(Δx )2解析 Δy Δx ＝（1＋Δx ）2＋1－（12＋1）Δx ＝2＋Δx .答案 C4.函数f (x )＝1在x ＝2处的导数等于________. 解析 f ′(2)＝2lim x →f （x ）－f （2）x －2＝2lim x → 1－1x －2＝0. 答案 0类型一 平均变化率【例1】 已知函数h (x )＝－4.9x 2＋6.5x ＋10.(1)计算从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为①2；②1；③0.1；④0.01；(2)根据(1)中的计算，当|Δx |越来越小时，函数h (x )在区间[1，1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解 (1)∵Δy ＝h (1＋Δx )－h (1)＝－4.9 (Δx )2－3.3Δx ， ∴ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3. ①当Δx ＝2时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－13.1；②当Δx ＝1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－8.2；③当Δx ＝0.1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－3.79；④当Δx ＝0.01时，ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3＝－3.349.(2)当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1，1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.规律方法 求平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1). (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1.【训练1】 求函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值.解 函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为 f （x 0＋Δx ）－f （x 0）（x 0＋Δx ）－x 0＝[3（x 0＋Δx ）2＋2]－（3x 20＋2）Δx＝6x 0·Δx ＋3（Δx ）2Δx＝6x 0＋3Δx .当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2＋2在区间[2，2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.类型二 物体运动的瞬时速度【例2】若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)s ＝⎩⎨⎧3t 2＋2 （t ≥3），29＋3（t －3）2（0≤t ＜3）.求：(1)物体在t ∈[3，5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0； (3)物体在t ＝1时的瞬时速度.解 (1)∵物体在t ∈[3，5]内的时间变化量为 Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3，5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3，5]上的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s).(2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度. ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为Δs Δt＝s （0＋Δt ）－s （0）Δt ＝29＋3[（0＋Δt ）－3]2－29－3（0－3）2Δt＝3Δt －18， ∴当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于－18， ∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为－18， 即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率. ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为Δs Δt＝ s （1＋Δt ）－s （1）Δt ＝29＋3[（1＋Δt ）－3]2－29－3（1－3）2Δt ＝3Δt －12.∴当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于－12，∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为－12.即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.规律方法 求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近”的方法得到的，其求解步骤如下：(1)由物体运动的位移s 与时间t 的函数关系式求出位移变化量Δs s (t 0＋Δt )－s (t 0)；(2)求时间t 0到t 0＋Δt 之间的平均速度v －＝Δs Δt； (3)求0limt ∆→ΔsΔt的值，即得t ＝t 0时的瞬时速度. 【训练2】 一质点按规律s (t )＝at 2＋1作直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值. 解 ∵Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1 ＝4a Δt ＋a (Δt )2，∴ΔsΔt＝4a ＋a Δt . 在t ＝2 s 时，瞬时速度为0limt ∆→ΔsΔt＝4a ，即4a ＝8，∴a ＝2.类型三 函数在某点处的导数(互动探究)【例3】 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数. [思路探究]探究点一 求函数在x ＝1处的导数的实质是什么？ 提示 其实质为函数在x ＝1处的瞬时变化率. 探究点二 当x ＝1时，Δy 等于什么？提示 Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1)＝3(Δx )2＋4Δx . 探究点三 计算0lim x ∆→Δy Δx 的值能不能将Δx ＝0直接代入ΔyΔx的化简式子中？ 提示 求出ΔyΔx 的表达式后，Δx 无限趋近于0就是令Δx ＝0，求出结果即可.解 Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1)＝3(Δx )2＋4Δx ，∵ΔyΔx＝3（Δx ）2＋4ΔxΔx ＝3Δx ＋4，∴y ′|x ＝1＝0limx ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→(3Δx ＋4)＝4.规律方法 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx； (3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim ΔyΔx.【训练3】 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数. 解 由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数 f ′(2)＝0lim x ∆→f （2＋Δx ）－f （2）Δx，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2) ＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝0lim x ∆→－（Δx ）2－ΔxΔx ＝0lim x ∆→(－Δx －1)＝－1.[课堂小结]利用导数定义求导数三步曲：(1)作差求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)作比求平均变化率Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ；(3)取极限得导数f ′(x 0)＝0lim x ∆→ΔyΔx，简记为一差，二比，三极限.1.自变量x 从x 0变到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A.在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B.在x 0处的变化率 C.在x 1处的变化量 D.在区间[x 0，x 1]上的导数解析 当自变量由x 0变化到x 1时，自变量的“增量”为x 1－x 0，对应的函数值的“增量”为f (x 1)－f (x 0)，比值f （x 1）－f （x 0）x 1－x 0为函数在区间[x 0，x 1]上的平均变化率.故选A. 答案 A2.函数f (x )在x 0处可导，则0lim h →f （x 0＋h ）－f （x 0）h( )A.与x 0、h 都有关B.仅与x 0有关，而与h 无关C.仅与h 有关，而与x 0无关D.与x 0、h 均无关答案 B3.如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度是________.解析 v －＝（3＋2.12）－（3＋22）0.1＝4.1.答案 4.14.如果一个质点由定点A 开始运动，在时间t 的位移函数为y ＝f (t )＝t 3＋3. (1)当t 1＝4，Δt ＝0.01时，求Δy 和比值Δy Δt； (2)求t 1＝4时的导数.解 (1)Δy ＝f (t 1＋Δt )－f (t 1)＝3t 21·Δt ＋3t 1·(Δt )2＋(Δt )3，故当t 1＝4，Δt ＝0.01时，Δy ＝0.481 201， ΔyΔt ＝48.120 1. (2) 0lim t ∆→Δy Δt ＝0lim t ∆→[3t 21＋3t 1·Δt ＋(Δt )2]＝3t 21＝48， 故函数y ＝t 3＋3在t 1＝4处的导数是48， 即y ′|t 1＝4＝48.基 础 过 关1.已知物体的位移公式s ＝s (t )，从t 0到t 0＋Δt 这段时间内，下列选项错误的是( )A.s ＝s (t )叫做物体的位移B.Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)叫做位移增量C.Δs Δt ＝s （t 0＋Δt ）－s （t 0）Δt 叫做物体在这一段时间内的平均速度D.ΔsΔt 一定与Δt 无关 解析 只有Δt →0时，ΔsΔt→定值才与Δt 无关，否则在[t 0，t 0＋Δt ]这段时间内与这段时间段长度Δt 有关. 答案 D2.如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )A.1B.－1C.2D.－2解析Δy Δx ＝f （3）－f （1）3－1＝1－32＝－1. 答案 B3.如果某物体的运动方程为s ＝2(1－t 2) (s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( ) A.－4.8 m/s B.－0.88 m/s C.0.88 m/sD.4.8 m/s解析 物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得. 答案 A4.已知函数y ＝2x ＋3，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝________. 解析 Δy ＝f (1.5)－f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21.5＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋3＝43－1＝13. 答案 135.一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是________，在[1，2]内的平均速度是________. 解析 因为Δs Δt ＝s （t 0＋Δt ）－s （t 0）Δt＝12a Δt ＋at 0， 所以0lim t ∆→ΔsΔt＝at 0. 又s (2)－s (1)＝12a ×22－12a ×12＝32a ，故在[1，2]内的平均速度v －＝32a 2－1＝32a . 答案 at 0 32a6.求函数y ＝x －1x 在x ＝1处的导数. 解 因为Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx ＋Δx 1＋Δx，所以ΔyΔx＝Δx ＋Δx 1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx，当Δx →0时，ΔyΔx →2，所以f ′(1)＝2，即函数y ＝x －1x 在x ＝1处的导数为2. 7.求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数. 解 Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ， ∴Δy Δx ＝2（Δx ）2＋16Δx Δx ＝2Δx ＋16. ∴y ′|x ＝3＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→ (2Δx ＋16)＝16. 8.若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值. 解 ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c ＝a (Δx )2＋2a Δx .∴f ′(1)＝0lim x ∆→ f （1＋Δx ）－f （1）Δx ＝0lim x ∆→ a （Δx ）2＋2a ΔxΔx＝0lim x ∆→ (a Δx ＋2a )＝2a ，即2a ＝2，∴a ＝1. 能 力 提 升9.设函数f (x )可导，则0lim x ∆→ f （1＋3Δx ）－f （1）3Δx等于( ) A.f ′(1) B.3f ′(1)C.13f ′(1)D.f ′(3) 解析 0lim x ∆→ f （1＋3Δx ）－f （1）3Δx＝f ′(1). 答案 A10.甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是( )A.甲B.乙C.相同D.不确定解析 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)，但是，在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1（t 0）－W 1（t 0－Δt ）Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2（t 0）－W 2（t 0－Δt ）Δt ，所以，在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小.所以乙厂治污效果较好.答案 B11.过曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上两点P (1，2)和Q (1＋Δx ，2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝________，当Δx ＝0.001时，割线的斜率k ＝________. 解析 ∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2，∴Δy Δx＝2＋Δx ，∴割线斜率为2＋Δx ， 当Δx ＝0.1时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.1＝2.1.当Δx ＝0.001时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.001＝2.001.答案 2.1 2.00112.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f （1）f ′（0）的最小值为________. 解析 由导数的定义，得f ′(0)＝0lim x ∆→ f （Δx ）－f （0）Δx＝0lim x ∆→ a （Δx ）2＋b （Δx ）＋c －c Δx＝0lim x ∆→[a ·(Δx )＋b ]＝b ＞0. 又⎩⎨⎧Δ＝b 2－4ac ≤0，a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0. ∴f （1）f ′（0）＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2b b ＝2. 答案 213.蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T (t )＝120t ＋5＋15，其中T (t )为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min).(1)从t ＝0到t ＝10 min ，蜥蜴的体温下降了多少？(2)从t ＝0到t ＝10 min ，蜥蜴的体温平均变化率是多少？它代表什么实际意义？(3)求T ′(5)，并说明它的实际意义.解 (1)在t ＝0和t ＝10时，蜥蜴的体温分别为T (0)＝1200＋5＋15＝39，T (10)＝12010＋5＋15＝23，从t ＝0到t ＝10 min ，蜥蜴的体温下降了16 ℃. (2)平均变化率ΔT Δt＝T （10）－T （0）10＝－1610＝－1.6(℃). 它表示从t ＝0到t ＝10 min ，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃.(3)T ′(5)＝lim t y ∆→ 120（5＋Δt ）＋5＋15－1205＋5－15Δt＝－1.2， 它表示t ＝5 min 时蜥蜴体温下降的速度为1.2 ℃/min.探 究 创 新14.若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2，2＋Δx ](Δx ＞0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的范围.解 因为函数f (x )在[2，2＋Δx ]上的平均变化率为：Δy Δx ＝f （2＋Δx ）－f （2）Δx＝－（2＋Δx ）2＋（2＋Δx ）－（－4＋2）Δx＝－4Δx ＋Δx －（Δx ）2Δx＝－3－Δx . 所以由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2.又因为Δx ＞0，即Δx 的取值范围是(0，＋∞).。

§3．1.1 变化率问题
§3．1.2 导数的概念
【学情分析】：
本节的中心任务是形成导数的概念.概念形成划分为两个层次：
1、借助气球膨胀率问题,了解变化率的含义；借助高台跳水问题,明确瞬时速度的含义.
2、以速度模型为出发点,结合其他实例抽象出导数概念,使学生认识到导数就是瞬时变化率,了解导数内涵.
学生对导数概念的理解会有些困难,所以要对课本上的两个问题进行深入的探讨,以便顺利地使学生形成导数的概念.
【教学目标】：
知道了物体的运动规律,用极限来定义物体的瞬时速度,学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义.
【教学重点】：
理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.
【教学难点】：
理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.1.1-2 变化率问题 导数的概念课后知能检测 新人教A 版选修1-1一、选择题1．已知函数y ＝x 2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则ΔyΔx等于( )A ．2B ．2xC ．2＋ΔxD ．2＋(Δx )2【解析】 Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2. ∴Δy Δx ＝2Δx ＋Δx 2Δx ＝2＋Δx .【答案】 C2．自由落体运动的公式为s ＝s (t )＝12gt 2(g ＝10 m/s 2)，若v ＝s ＋Δt －sΔt，则下列说法正确的是( )A ．v 是在0～1 s 这段时间内的速度B ．v 是1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速度C ．5Δt ＋10是物体在t ＝1 s 这一时刻的速度D ．5Δt ＋10是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度 【解析】 由平均速度的概念知：v ＝s＋Δt －sΔt＝5Δt ＋10.故应选D.【答案】 D3．(2013·惠州高二检测)某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为( )A.12316米/秒 B.12516米/秒 C ．8米/秒D.674米/秒 【解析】 ∵ΔsΔt＝＋Δt2＋34＋Δt －16－34Δt＝Δt 2＋8Δt ＋－3Δt ＋ΔtΔt＝Δt ＋8－316＋4Δt ，∴lim Δt →0Δs Δt ＝8－316＝12516.【答案】 B4．函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( )A ．k 1＜k 2B ．k 1＞k 2C ．k 1＝k 2D ．无法确定【解析】 k 1＝f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝2x 0＋Δx ，k 2＝f x 0－f x 0－ΔxΔx＝2x 0－Δx ，而Δx 可正可负，故k 1、k 2大小关系不确定．【答案】 D5．已知点P (x 0，y 0)是抛物线y ＝3x 2＋6x ＋1上一点，且f ′(x 0)＝0，则点P 的坐标为( )A ．(1,10)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(－1,10)【解析】 Δy ＝3(x 0＋Δx )2＋6(x 0＋Δx )－3x 20－6x 0＝6x 0·Δx ＋3(Δx )2＋6Δx ， ∴lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0(6x 0＋3Δx ＋6)＝6x 0＋6＝0.∴x 0＝－1，y 0＝－2. 【答案】 B 二、填空题6．(2013·洛阳高二检测)一小球沿斜面自由滚下，其运动方程是s (t )＝t 2,(s 的单位：米，t 的单位：秒)，则小球在t ＝5时的瞬时速度为________．【解析】 v ′(5)＝limΔt →0s＋Δt －sΔt＝lim Δt →0(10＋Δt )＝10【答案】 10米/秒7．已知函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________. 【解析】 f ′(1)＝lim Δx →0a＋Δx ＋4－a －4Δx ＝lim Δx →0a ΔxΔx ＝2，∴a ＝2.【答案】 28．若函数f (x )在x ＝a 处的导数为m ，那么lim Δx →0f a ＋Δx －f a －ΔxΔx＝________.【解析】 ∵lim Δx →0f a ＋Δx －f aΔx＝m ，则lim Δx →0f a －Δx －f a－Δx ＝m .∴lim Δx →0f a ＋Δx －f a －ΔxΔx＝lim Δx →0f a ＋Δx －f a ＋f a －f a －ΔxΔx＝lim Δx →0f a ＋Δx －f a Δx ＋lim Δx →0f a －Δx －f a－Δx ＝m ＋m ＝2m .【答案】 2m 三、解答题9．已知f (x )＝(x －1)2，求f ′(x 0)，f ′(0)． 【解】 ∵Δf ＝(x 0＋Δx －1)2－(x 0－1)2＝2x 0·Δx －2Δx ＋(Δx )2， ∴Δf Δx ＝2x 0Δx －2Δx ＋Δx2Δx＝2x 0－2＋Δx ，f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔfΔx＝lim Δx →0(2x 0－2＋Δx )＝2x 0－2， 把x 0＝0代入上式，得f ′(0)＝2×0－2＝＝－2. 10．设质点做直线运动，已知路程s 是时间t 的函数：s ＝3t 2＋2t ＋1.(1)求从t ＝2到t ＝2＋Δt 的平均速度，并求当Δt ＝1，Δt ＝0.1时的平均速度； (2)求当t ＝2时的瞬时速度．【解】 (1)从t ＝2到t ＝2＋Δt 内的平均速度为： Δs Δt ＝s ＋Δt －sΔt＝＋Δt2＋＋Δt ＋1－3×4－2×2－1Δt＝14Δt ＋Δt 2Δt＝14＋3Δt .当Δt ＝1时，平均速度为14＋3×1＝17； 当Δt ＝0.1时，平均速度为14＋3×0.1＝14.3. (2)t ＝2时的瞬时速度为：v ＝lim Δt →0ΔsΔt＝lim Δt →0(14＋3Δt )＝14. 11．(2013·黄冈高二检测)枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果枪弹的加速度是a ＝5×105m/s 2，它从枪口射出所用的时间为t 1＝1.6×10－3s ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．【解】 ∵s (t )＝12at 2，∴Δs ＝s (t 1＋Δt )－s (t 1) ＝12a (t 1＋Δt )2－12at 21 ＝at 1Δt ＋12a (Δt )2，Δs Δt＝at 1Δt ＋12a Δt2Δt＝at 1＋12a Δt .∴枪弹射出枪口时的瞬时速度为v ＝lim Δt →0Δs Δt ＝lim Δt →0 (at 1＋12a Δt )＝at 1. 由题意a ＝5×105m/s 2，t 1＝1.6×10－3s ，∴v ＝at 1＝5×105×1.6×10－3＝800(m/s)，即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 +2 变化率问题导数概念课后知能检测新人教A版选修2-2一、选择题1．将半径为R的球加热，若球的半径增量为ΔR，则球的表面积增量ΔS等于( ) A．8πRΔR B．8πRΔR＋4π(ΔR)2C．4πRΔR＋4π(ΔR)2D．4π(ΔR)2【解析】球的表面积S＝4πR2，则ΔS＝4π(R＋ΔR)2－4πR2＝8πRΔR＋4π(ΔR)2.【答案】 B2．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是( )A．－3 B．3C．6 D．－6【解析】由平均速度和瞬时速度的关系可知，V＝s′(1)＝li m(－3Δt－6)＝－6.Δt→0【答案】 D3．某手机配件生产流水线共有甲、乙两条，产量s(单位：个)与时间t(单位：天)的关系如图1－1－2所示，则接近t0天时，下列结论中正确的是( )图1－1－2A．甲的日生产量大于乙的日生产量B．甲的日生产量小于乙的日生产量C．甲的日生产量等于乙的日生产量D．无法判定甲的日生产量与乙的日生产量的大小【解析】由平均变化率的几何意义可知，当接近于t0时，曲线乙割线的斜率大于曲线甲割线的斜率，故乙的日产量大于甲的日产量．【答案】 B4．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b 【解析】∵f ′(x 0)＝li mΔx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝li mΔx →0a Δx ＋b Δx2Δx ＝li m Δx →0(a ＋b Δx )＝a ，∴f ′(x 0)＝a . 【答案】 C5．若f (x )＝x 3，f ′(x 0)＝3，则x 0的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．3 3【解析】∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3－x 30＝3x 20Δx ＋3x 0(Δx )2＋(Δx )3， ∴Δy Δx＝3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2， ∴f ′(x 0)＝lim Δx →0[3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2]＝3x 20， 由f ′(x 0)＝3得3x 20＝3，∴x 0＝±1. 【答案】 C 二、填空题6．汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图1－1－3所示．在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，其三者的大小关系是________．图1－1－3【解析】∵v 1＝s t 1－s t 0t 1－t 0＝k MA ，v 2＝s t 2－s t 1t 2－t 1＝k AB ，v 3＝s t 3－s t 2t 3－t 2＝k BC ，由图象可知：k MA <k AB <k BC ， ∴v 3>v 2>v 1.【答案】v 3>v 2>v 17．过曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝________.【解析】∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2， ∴ΔyΔx＝2＋Δx . 从而割线PQ 的斜率为2＋Δx ，当Δx ＝0.1时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.1＝2.1. 【答案】 2.18．设函数f (x )＝mx 3＋2，若f ′(－1)＝3，则m ＝________.【解析】∵Δy ＝f (－1＋Δx )－f (－1)＝m (－1＋Δx )3＋m ＝3m Δx －3m (Δx )2＋m (Δx )3，∴Δy Δx＝3m －3m Δx ＋m (Δx )2， ∴f ′(－1)＝lim Δx →0[3m －3m Δx ＋m (Δx )2]＝3m ， 由f ′(－1)＝3得3m ＝3，∴m ＝1. 【答案】 1 三、解答题9．正弦函数y ＝sin x 在区间[0，π6]和[π3，π2]的平均变化率哪一个较大？【解】y ＝sin x 在区间[0，π6]的平均变化率为 sin π6－sin 0π6－0＝12－0π6＝3π.y ＝sin x 在区间[π3，π2]的平均变化率为sin π2－sin π3π2－π3＝1－32π6＝6－33π，∵3π>6－33π. ∴正弦函数y ＝sin x 在区间[0，π6]的平均变化率比在区间[π3，π2]的平均变化率大．10．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移：m ；时间：s)． (1)求此物体的初速度．(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度． (3)求t ＝0到t ＝2时的平均速度．【解】 (1)初速度v 0＝lim Δt →0s Δt －s 0Δt ＝limΔt →03Δt －Δt2Δt ＝lim Δt →0(3－Δt )＝3(m/s)．即物体的初速度为3 m/s. (2)v ＝lim Δt →0s 2＋Δt －s 2Δt＝limΔt →032＋Δt －2＋Δt2－3×2－4Δt＝limΔt →0－Δt 2－ΔtΔt ＝lim Δt →0(－Δt －1)＝－1(m/s)．即此物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s ，方向与初速度相反． (3)v ＝s 2－s 02－0＝6－4－02＝1(m/s)．即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.11．柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的，铺路工人铺路时需要对沥青加热使之由固体变成粘稠液体状．如果开始加热后第x 小时的沥青温度(单位：℃)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧80x 2＋20，0≤x ≤1，－2049x 2－2x －244，1<x ≤8.求开始加热后第15分钟和第4小时沥青温度变化的瞬时速度，并说明它们的意义． 【解】∵15分钟＝0.25小时，且当0≤x ≤1时，f (x )＝80x 2＋20， ∴Δf x Δx ＝f 0.25＋Δx －f 0.25Δx＝800.25＋Δx2＋20－80×0.252＋20Δx＝80[0.5Δx ＋Δx 2]Δx ＝40＋80Δx .∴f ′(0.25)＝li mΔx →0Δf xΔx ＝li m Δx →0(40＋80Δx )＝40. 又当1<x ≤8时，f (x )＝－2049(x 2－2x －244)，∴当x ＝4时， Δf xΔx＝－2049[4＋Δx2－24＋Δx －244]＋204942－2×4－244Δx＝－2049[6Δx ＋Δx 2]Δx ＝－2049(6＋Δx )，∴f ′(4)＝li mΔx →0Δf x Δx ＝li m Δx →0[－2049(6＋Δx )] ＝－2049×6＝－12049.在第15分钟与第4 h 时，沥青温度的瞬时变化率分别为40与－12049，它说明在第15分钟附近，沥青的温度大约以40 ℃/h 的速率上升；在第4 h 附近，沥青温度大约以12049℃/h 的速率下降.。