《曲线与方程与求曲线的轨迹方程》教学案

高中数学轨迹与方程教案
教学目标：通过本节课的学习，学生将能够理解轨迹与方程的概念，掌握二维平面上各种图形的轨迹和相应的方程，并能够应用这些知识解决实际问题。

教学重点：轨迹与方程的概念、各种图形的轨迹及相应的方程。

教学难点：如何确定各种图形的轨迹方程。

教学准备：教科研教材《数学》必修一，多媒体设备，教学PPT。

教学过程：
一、导入
通过展示一些常见的平面图形及其方程，引导学生思考图形与方程之间的关系，并提出本节课的学习目标。

二、讲解
1. 轨迹和方程的概念：通过具体例子引导学生理解轨迹和方程的含义，区分轨迹与方程的关系。

2. 直线的轨迹与方程：讲解直线的一般方程及斜率截距式，并通过实例展示直线在平面上的轨迹及对应的方程。

3. 圆的轨迹与方程：讲解圆的标准方程及参数方程，并通过实例展示圆在平面上的轨迹及对应的方程。

4. 抛物线、椭圆、双曲线等图形的轨迹与方程：介绍其他二次曲线的标准方程，并通过实例展示不同曲线的轨迹及对应的方程。

三、练习
布置一些相关的数学问题，让学生在课堂上或课后完成，巩固所学知识。

四、实践
通过实际案例，引导学生运用所学知识，解决实际问题，培养学生的数学建模能力。

五、总结
对本节课的内容进行总结，并回顾学生掌握的重点知识，强化学生记忆。

六、作业
布置相关的作业，巩固学生所学知识。

教学反思：
本节课主要围绕轨迹与方程展开，通过讲解、练习和实践等环节，帮助学生深入理解各种图形的轨迹和相应的方程。

在教学中，要注意引导学生探究问题、独立思考，激发学生学习兴趣，提高学生的学习效果。

初中求轨迹方程的例题教案教学目标：1. 理解轨迹方程的概念和意义；2. 学会使用几何方法和代数方法求解轨迹方程；3. 能够解决一些简单的轨迹方程问题。

教学重点：1. 轨迹方程的概念和意义；2. 使用几何方法和代数方法求解轨迹方程。

教学难点：1. 理解并应用轨迹方程的求解方法；2. 解决复杂的轨迹方程问题。

教学准备：1. 轨迹方程的定义和性质；2. 几何方法和代数方法求解轨迹方程的步骤；3. 相关例题和练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入轨迹方程的概念，解释其在几何学中的应用；2. 举例说明轨迹方程的意义和作用。

二、讲解轨迹方程的求解方法（15分钟）1. 介绍几何方法求解轨迹方程的步骤：确定轨迹形状、找出关键点和线段、利用几何性质求解；2. 介绍代数方法求解轨迹方程的步骤：设定变量、列出方程、化简方程、求解变量、写出轨迹方程。

三、例题讲解（20分钟）1. 例1：已知Q点是双曲线上异于二顶点的一动点，F1、F2是双曲线的左、右焦点，从F2点向F1QF2的平分线作垂线F2P，垂足为P点，求P点的轨迹方程；2. 例2：设动圆C的对称轴平行于坐标轴，长轴长为4，且以y轴为左准线，左顶点A在抛物线y2x-1上移动，求这些椭圆的中心C的轨迹方程；3. 例3：P是抛物线C上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q。

若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程。

四、练习与讨论（15分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识；2. 引导学生讨论解题过程中遇到的问题和解决方法。

五、总结与布置作业（5分钟）1. 总结轨迹方程的求解方法和注意事项；2. 布置作业：求解一些简单的轨迹方程问题。

教学反思：本节课通过讲解例题和练习题，让学生掌握了轨迹方程的求解方法和应用。

在教学过程中，注意引导学生运用几何方法和代数方法求解轨迹方程，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

同时，通过讨论和练习，让学生巩固所学知识，提高解题技巧。

数学教案－曲线和方程教学目标（1）了解用坐标法讨论几何问题的方法，了解解析几何的基本问题.（2）理解曲线的方程、方程的曲线的概念，能依据曲线的已知条件求出曲线的方程，了解两条曲线交点的概念.（3）通过曲线方程概念的教学，培育同学数与形相互联系、对立统一的辩证唯物主义观点. （4）通过求曲线方程的教学，培育同学的转化力量和全面分析问题的力量，关心同学理解解析几何的思想方法.（5）进一步理解数形结合的思想方法.教学建议教材分析（1）学问结构曲线与方程是在学校轨迹概念和本章直线方程概念之后的解析几何的基本概念，在充分争论曲线方程概念后，介绍了坐标法和解析几何的思想，以及解析几何的基本问题，即由曲线的已知条件，求曲线方程；通过方程，讨论曲线的性质.曲线方程的概念和求曲线方程的问题又有内在的规律挨次.前者回答什么是曲线方程，后者解决如何求出曲线方程.至于用曲线方程讨论曲线性质则更在其后，本节不予讨论.因此，本节涉及曲线方程概念和求曲线方程两大基本问题. （2）重点、难点分析①本节内容教学的重点是使同学理解曲线方程概念和把握求曲线方程方法，以及领悟坐标法和解析几何的思想.②本节的难点是曲线方程的概念和求曲线方程的方法.教法建议（1）曲线方程的概念是解析几何的核心概念，也是基础概念，教学中应从直线方程概念和轨迹概念入手，通过简洁的实例引出曲线的点集与方程的解集之间的对应关系，说明曲线与方程的对应关系.曲线与方程对应关系的基础是点与坐标的对应关系.留意强调曲线方程的完备性和纯粹性. （2）可以结合已经学过的直线方程的学问关心同学领悟坐标法和解析几何的思想，学习解析几何的意义和要解决的问题，为学习求曲线的方程做好规律上的和心理上的预备. （3）无论是推断、证明，还是求解曲线的方程，都要紧扣曲线方程的概念，即始终以是否满意概念中的两条为准则. （4）从集合与对应的观点可以看得更清晰：设表示曲线上适合某种条件的点的集合；表示二元方程的解对应的点的坐标的集合. 可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”和“方程的曲线”，即（5）在学习求曲线方程的方法时，应从详细实例动身，引导同学从曲线的几何条件，一步步地、自然而然地过渡到代数方程(曲线的方程)，这个过渡是一个从几何向代数不断转化的过程，在这个过程中提示同学留意转化是否为等价的，这将打算第五步如何做.同时老师不要生硬地给出或总结出求解步骤，应在充分分析实例的基础上让同学自然地获得.教学中对课本例2的解法分析很重要. 这五个步骤的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为代数方程，即文字语言中的几何条件数学符号语言中的等式数学符号语言中含动点坐标，的代数方程简化了的的代数方程由此可见，曲线方程就是产生曲线的几何条件的一种表现形式，这个形式的特点是“含动点坐标的代数方程.” （6）求曲线方程的问题是解析几何中一个基本的问题和长期的任务，不是一下子就彻底解决的，求解的方法是在不断的学习中把握的，教学中要把握好“度”.教学设计示例课题：求曲线的方程（第一课时）教学目标：（1）了解坐标法和解析几何的意义，了解解析几何的基本问题. （2）进一步理解曲线的方程和方程的曲线. （3）初步把握求曲线方程的方法. （4）通过本节内容的教学，培育同学分析问题和转化的力量.教学重点、难点：求曲线的方程.教学用具：计算机.教学方法：启发引导法，争论法.教学过程：【引入】1.提问：什么是曲线的方程和方程的曲线. 同学思索并回答.老师强调.2.坐标法和解析几何的意义、基本问题. 对于一个几何问题，在建立坐标系的基础上，用坐标表示点；用方程表示曲线，通过讨论方程的性质间接地来讨论曲线的性质，这一讨论几何问题的方法称为坐标法，这门科学称为解析几何.解析几何的两大基本问题就是：（1）依据已知条件，求出表示平面曲线的方程. （2）通过方程，讨论平面曲线的性质. 事实上，在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题.而且要先讨论如何求出曲线方程，再讨论如何用方程讨论曲线.本节课就初步讨论曲线方程的求法.【问题】如何依据已知条件，求出曲线的方程.【实例分析】例1：设、两点的坐标是、（3，7），求线段的垂直平分线的方程. 首先由同学分析：依据直线方程的学问，运用点斜式即可解决. 解法一：易求线段的中点坐标为（1，3），由斜率关系可求得l的斜率为于是有即l的方程为① 分析、引导：上述问题是我们早就学过的，用点斜式就可解决.可是，你们是否想过①恰好就是所求的吗？或者说①就是直线的方程？依据是什么，有证明吗？（通过老师引导，是同学意识到这是以前没有解决的问题，应当证明，证明的依据就是定义中的两条）. 证明：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解. 设是线段的垂直平分线上任意一点，则即将上式两边平方，整理得这说明点的坐标是方程的解. （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 设点的坐标是方程①的任意一解，则到、的距离分别为所以，即点在直线上. 综合（1）、（2），①是所求直线的方程. 至此，证明完毕.回顾上述内容我们会发觉一个好玩的现象：在证明（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解中，设是线段的垂直平分线上任意一点，最终得到式子，假如去掉脚标，这不就是所求方程吗？可见，这个证明过程就表明一种求解过程，下面试试看：解法二：设是线段的垂直平分线上任意一点，也就是点属于集合由两点间的距离公式，点所适合的条件可表示为将上式两边平方，整理得果真胜利，当然也不要忘了证明，即验证两条是否都满意.明显，求解过程就说明第一条是正确的（从这一点看，解法二也比解法一优越一些）；至于其次条上边已证. 这样我们就有两种求解方程的方法，而且解法二不借助直线方程的理论，又特别自然，还体现了曲线方程定义中点集与对应的思想.因此是个好方法. 让我们用这个方法试解如下问题：例2：点与两条相互垂直的直线的距离的积是常数求点的轨迹方程. 分析：这是一个纯粹的几何问题，连坐标系都没有.所以首先要建立坐标系，明显用已知中两条相互垂直的直线作坐标轴，建立直角坐标系.然后仿按例1中的解法进行求解. 求解过程略.【概括总结】通过同学争论，师生共同总结：分析上面两个例题的求解过程，我们总结一下求解曲线方程的大体步骤：首先应有坐标系；其次设曲线上任意一点；然后写出表示曲线的点集；再代入坐标；最终整理出方程，并证明或修正.说得更精确一点就是：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如表示曲线上任意一点的坐标；（2）写出适合条件的点的集合；（3）用坐标表示条件，列出方程；（4）化方程为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 一般状况下，求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解；假如求解过程中的转化都是等价的，那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.所以，通常状况下证明可省略，不过特别状况要说明. 上述五个步骤可简记为：建系设点；写出集合；列方程；化简；修正. 下面再看一个问题：例3：已知一条曲线在轴的上方，它上面的每一点到点的距离减去它到轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程. 【动画演示】用几何画板演示曲线生成的过程和外形，在运动变化的过程中查找关系. 解：设点是曲线上任意一点，轴，垂足是（如图2），那么点属于集合由距离公式，点适合的条件可表示为① 将①式移项后再两边平方，得化简得由题意，曲线在轴的上方，所以，虽然原点的坐标（0，0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应为，它是关于轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点，如图2中所示.【练习巩固】题目：在正三角形内有一动点，已知到三个顶点的距离分别为、、，且有，求点轨迹方程. 分析、略解：首先应建立坐标系，以正三角形一边所在的直线为一个坐标轴，这条边的垂直平分线为另一个轴，建立直角坐标系比较简洁，如图3所示.设、的坐标为、，则的坐标为，的坐标为. 依据条件，代入坐标可得化简得① 由于题目中要求点在三角形内，所以，在结合①式可进一步求出、的范围，最终曲线方程可表示为【小结】师生共同总结：（1）解析几何讨论讨论问题的方法是什么？（2）如何求曲线的方程？（3）请对求解曲线方程的五个步骤进行评价.各步骤的作用，哪步重要，哪步应留意什么？【作业】课本第72页练习1，2，3；【板书设计】7.6 求曲线的方程坐标法：解析几何：基本问题：（1）（2）例1：例2：求曲线方程的步骤：例3练习：小结：作业：。

高中数学说课稿：《曲线和方程》第一课时优秀说课稿模板高中数学说课稿：《曲线和方程》第一课时优秀说课稿模板曲线和方程说课教案（第一课时）四川省科学城一中秦美蓉1．对教材地位与作用的认识在高中数学教学中，作为数学思想应向学生渗透，强化的有：函数与方程思想；数形结合思想；分类讨论思想；等价转化及运动变化思想。

不是所有的课都能把这些思想自然的容纳进去，但由于“曲线和方程”这一节在教材中的特殊地位，它把代数和几何两个单科自然而紧密地结合在一起，因而上述思想能用到大半，这不能不引起我们教师的重视。

“曲线和方程”这节教材揭示了几何中的形与代数中的数相统一的关系，为“依形判数”与“就数论形”的相互转化开辟了途径，这正体现了解析几何这门课的基本思想，用代数的方法研究几何问题。

”曲线与方程”是解析几何中最为重要的基本内容之一.在理论上它是基础,在应用上它是工具,对全部解析几何的教学有着深远的影响，另外在高考中也是考察的重点内容，尤其是求曲线的方程，学生只有透彻理解了曲线与方程的含义，才算是找到了解析几何学习得入门之路。

应该认识到这节“曲线和方程”得开头课是解析几何教学的“重头戏”！2．教学目标的确定及依据本小节的重点是理解曲线与方程的有关概念与相互联系，以及求曲线方程的方法、步骤.只有深刻理解了曲线与方程的含义，才能真正掌握好求曲线轨迹方程的一般方法，进一步学好后面的内容．曲线和方程的概念比较抽象，由直观表象到抽象概念有相当难度，对学生理解上可能遇到的问题是学生不理解“曲线上的点的坐标都是方程的解”和”“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”这两句话在揭示“曲线和方程”关系各自所起的作用。

有的学生只从字面上死记硬背；有的学生甚至误以为这两句话是同义反复。

要突破这一点，关键在于利用充要条件，函数图象，直线和方程,轨迹等知.识,正反两方面说明问题.本节课的难点在于对定义中为什么要规定两个关系（纯粹性和完备性）产生困惑，原因是不理解两者缺任何一个都将扩大概念的外延.4．对教学过程的设计今天要讲的“曲线和方程”这部分教材的内容主要包括“曲线方程的概念”，“已知曲线求它的方程”、“已知方程作出它的曲线”等。

高三复习微专题——《轨迹方程问题》教案一、教学目标1、进一步熟练掌握求动点轨迹方程的基本方法。

2、培养学生的观察能力，抽象概括能力。

3、强化类比、联想的方法，领会方程、数形结合等思想。

二、教学重点与难点【教学重点】1、运用类比、联想的方法探究不同条件下的轨迹2、定义法、参数法求轨迹方程3、立体几何中的轨迹问题【教学难点】1、合理选择方法求参数方程2、立体几何中的轨迹问题三、教学方法和手段【教学方法】观察发现、启发引导、合作探究相结合的教学方法。

【教学手段】通过多媒体动态演示，突破学生在旧知识和新知形成过程中的障碍（静态到动态）；另一方面，节省了时间，提高了课堂教学的效率，激发了学生的学习兴趣。

四、教学过程（一）复习回顾常用的圆锥曲线轨迹方程的求法：直译法、定义法、相关点法、参数法（二）导入新课【定义法】方法指导：若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则可根据定义直接求出方程中的系数即可。

【牛刀小试】1、已知ABC ∆的周长是18，(4,0),(4,0)A B -，求点C 的轨迹方程。

2、已知动圆M 和圆221:(1)36C x y ++=内切，并和圆222:(1)4C x y -+=外切，求动圆圆心M 的轨迹方程。

例1：已知圆:C 2218x y ++=（）,定点(1,0)A ，M 为圆上一动点，P 在AM 上，N 在CM 上，且满足2,0AM AP NP AM =⋅=，求点N 的轨迹方程。

例2：P 为椭圆22143x y +=上的任意一点，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，过2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为M ，求点M 的轨迹方程。

【参数法】方法指导：有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较容易发现：该动点常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标中的分别随另一变量的变化而变化，我们称这个变量为参数，由此建立轨迹的参数方程，这种方法称为参数法（或设参消参法），如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参数即可。

高二数学用定义法求轨迹方程的教学设计一、设计理念著名教育学家布鲁纳说过:“知识的获得是一个主动过程. 学习者不应该是信息的被动接受者，而应是知识获取的主动参与者.〞《数学课程标准》又提出数学教育要以有利于学生的全面发展为中心；以提供有价值的数学和倡导有意义的学习方式为基本点. 本节课的设计正是尽力以此为理念，在整个授课过程中努力表达学生的主体地位，使学生亲自参与获取知识和技能的全过程，亲身体验知识的发生和发展过程，从而激发学生学习数学的兴趣，培养学生运用数学的意识和能力.二、学情分析学生已有的认知结构是初步掌握了求轨迹的基本步骤，但求轨迹的基本方法比较模糊，没有形成规律性和系统性，对图形的变化缺乏动态的认识，对数学知识的综合运用心理准备不足。

通过这节课尽量让学生理清楚用定义法求轨迹方程的方法和步骤。

三、教学目标、重难点的预设结合新课程理念和学生的实际情况，将本节课的教学目标定为： 知识目标：掌握在不同条件下用定义求动点的轨迹的基本方法。

能力目标： 通过渗透数形结合、转化等思想方法培养学生的思维能力。

通过引导探究问题，培养学生的创新意识和探究能力。

情感目标： 主动参与教学过程，提出问题，解决问题 ，激发潜能，体验成功。

[重点]：会根据动点轨迹的几何特征用定义求轨迹方程。

[难点]：如何根据条件分析动点轨迹的几何特征。

四、知识结构：求轨迹 的一般步骤时间：07年6月14日上午 第四节 地点：电教楼102 授课人：温展平[教学目标]1、 知识目标：掌握在不同条件下用定义求动点的轨迹的基本方法2、 能力目标：培养学生提出问题和解决问题的能力；培养学生的自主探索精神和创新能力。

3、 情感目标：培养学生学习数学的兴趣，在轻松的学习环境中激发潜能、体验成功。

[重点]：会根据动点轨迹的几何特征用定义求轨迹方程。

[难点]：如何根据条件分析动点轨迹的几何特征。

[教学过程]： 一.创设情境1．复习圆锥曲线的定义〔学生回答〕，重点强调定义的条件和结论以及这些定义的共同特征，列表如下：二、探索研究 思考并回答：〔1〕ABC ∆的一边BC 的长为3，周长为8，那么顶点A 的轨迹是什么？ 〔2〕假设)0,2(-A ，)0,2(B ，且2=-MB MA ，那么点M 的轨迹是什么？ 〔3〕过点)0,1(且与方程1-=x相切的圆的圆心的轨迹是什么？ 归纳“定义法〞求轨迹方程的一般步骤：一定曲线，二定方程，三定范围例：一动圆与圆1O ：4)3(22=++y x 外切，同时与 圆2O ：100)3(22=+-y x 内切，求动圆圆心的轨迹 方程.变式1：一动圆与圆1O ：4)3(22=++y x 外切，同时与圆2O圆圆心的轨迹方程。

专题：曲线与方程：轨迹方程的求法（★★★）教学目标（1）理解曲线与方程的概念（两个关系）； （2）知道求曲线方程需要适当选取坐标系的意义； （3）掌握求曲线方程的一般方法和步骤；（4）体会通过坐标系建立曲线方程、再利用代数方法研究曲线几何性质的基本思想。

知识梳理5 min.1. 曲线方程的定义：一般地，如果曲线C 与方程0),(=y x F 之间有以下两个关系： ①曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x F 的解； ②以方程0),(=y x F 的解为坐标的点都是曲线C 上的点。

此时，把方程0),(=y x F 叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程0),(=y x F 的曲线。

2.利用集合与对应的观点理解曲线方程的概念：设)}(|{M P M P =表示曲线C 上适合某种条件的点M 的集合；}0),(|),{(==y x F y x Q 表示二元方程的解对应的点的坐标的集合。

于是，方程0),(=y x F 叫做曲线C 的方程等价于 ⎭⎬⎫⊆⊆P Q Q P ，即 Q P =。

3.求曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；（2）设曲线上任意一点的坐标为),(y x ；（3）根据曲线上点所适合的条件，写出等式； （4）用坐标y x 、表示这个等式，并化简；（5）证明已化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。

上述五个步骤可简记为：建系；设点；写出集合；列方程、化简；证明。

4.求曲线方程的方法；（1）直译法：根据条件中提供的等量关系，直接列出方程；（2）代入法：在变化过程中有两个动点，已知其中一个动点在定曲线上运动，求另一动点的轨迹方程，这里通过建立两个动点坐标之间的关系，代人到已知曲线之中，得出所要求的轨迹方程； （3）参数法：单参数法；交轨法；坐标法；定形法。

典例精讲例1.（★★★）若点p 到直线1-=x 的距离比它到点)2,0(的距离小1，则点p 的轨迹为 ( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】：由题意知，点P 到点(2,0)的距离与P 到直线x ＝－2的距离相等，由抛物线定义得点P 的轨迹是以(2,0)为焦点，以直线x ＝－2为准线的抛物线．答案：D例2.（★★★）已知两点)0,2(),0,2(N M -，点p 为坐标平面内的动点，满足| MN u u u u r |·|MP u u u r |＋MN u u u u r ·MP u u u r＝0，则动点),(y x p 的轨迹方程为 ( )A ．x y 82= B ．x y 82-= C ．x y 42= D ．x y 42-=【答案】：|MN u u u u r |＝4，|MP u u u r |＝(x ＋2)2＋y 2，MN u u u u r ·MP u u u r＝4(x －2)，∴4(x ＋2)2＋y 2＋4(x －2)＝0，∴y 2＝－8x . 答案：B例3.（★★★）从双曲线122=-y x 上一点Q 引直线2=+y x 的垂线，垂足为N ，则线段QN 的中点P 的轨迹方程为____________．【答案】：设P (x ，y )，Q (x 1，y 1)，则N (2x －x 1,2y －y 1)，∵N 在直线x ＋y ＝2上， ∴2x －x 1＋2y －y 1＝2① 又∵PQ 垂直于直线x ＋y ＝2，∴y －y 1x －x 1＝1， 即x －y ＋y 1－x 1＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝32x ＋12y －1，y 1＝12x ＋32y －1.又∵Q 在双曲线x 2－y 2＝1上，∴21x －21y ＝1.∴(32x ＋12y －1)2－(12x ＋32y －1)2＝1. 整理，得2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0即为中点P 的轨迹方程．例4.（★★★）已知圆C 的方程为422=+y x .(1)直线l 过点)2,1(P ，且与圆C 交于B A 、两点，若32=AB ，求直线l 的方程；(2)过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ u u u r ＝OM u u uu r ＋ON u u u r ，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．【答案】：(1)①当直线l 垂直于x 轴时，直线方程为x ＝1，l 与圆的两个交点坐标为(1，3)和(1，－3)，其距离为23满足题意；②当直线l 不垂直于x 轴时，设其方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0. 设圆心到此直线的距离为d ， 则23＝24－d 2，得d ＝1. ∴1＝|－k ＋2|k 2＋1，k ＝34，故所求直线方程为3x －4y ＋5＝0.综上所述，所求直线方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1. (2)设点M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0≠0)，Q 点坐标为(x ，y )，则N 点坐标是(0，y 0)．∵OQ u u u r ＝OM u u uu r ＋ON u u u r ，∴(x ，y )＝(x 0,2y 0)，即x 0＝x ，y 0＝y2.又∵x 20＋y 20＝4，∴x 2＋y 24＝4(y ≠0)．∴Q 点的轨迹方程是x 24＋y 216＝1(y ≠0)．轨迹是一个焦点在y 轴上的椭圆，除去短轴端点．课堂检测1.（★★★）如图，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ， 设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是 ( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆【答案】：由题意知，CD 是线段MF 的垂直平分线．∴|MP |＝|PF |，∴|PF |＋|PO |＝|PM |＋|PO |＝|MO |(定值)， 又显然|MO |>|FO |，∴点P 轨迹是以F 、O 两点为焦点的椭圆． 答案：A2.（★★★）已知动点P 在曲线2x 2－y ＝0上移动，则点A (0，－1)与点P 连线中点的轨迹方程是( )A ．y ＝2x 2B ．y ＝8x 2C ．2y ＝8x 2－1 D ．2y ＝8x 2＋1 【答案】：设AP 的中点M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则有x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1，代入220x －y 0＝0，得2y ＝8x 2－1. 答案：C3.（★★★）平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC u u u r ＝λ1OA u u u r ＋λ2OB u u u r(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是 ( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线【答案】：设C (x ，y )，则OC u u u r ＝(x ，y )，OA u u u r＝(3,1)，OB u u u r＝(－1,3)，∵OC u u u r ＝λ1OA u u u r ＋λ2OB u u u r ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线． 答案：A4.（★★★）已知点P (x ，y )对应的复数z 满足|z |＝1，则点Q (x ＋y ，xy )的轨迹是( )A ．圆B ．抛物线的一部分C ．椭圆D ．双曲线的一部分 【答案】：由题意知x 2＋y 2＝1，∴(x ＋y )2－2xy ＝1.令x ＋y ＝m ，xy ＝n ，则有m 2－2n ＝1，∴m 2＝2n ＋1. 又∵2|xy |≤x 2＋y 2＝1，∴－12≤n ≤12.∴点Q 的轨迹是抛物线的一部分． 答案：B5.（★★★）已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，|OP ||OM |＝λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．【答案】：(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a 、c ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝1，a ＋c ＝7，解得a ＝4，c ＝3，所以椭圆C 的方程为x 216＋y 27＝1.(2)设M (x ，y )，其中x ∈[-4,4]．由已知|OP |2|OM |2＝λ2及点P 在椭圆C 上可得9x 2＋11216(x 2＋y 2)＝λ2，整理得(16λ2－9)x 2＋16λ2y 2＝112，其中x ∈[-4,4]． ①λ＝34时，化简得9y 2＝112.所以点M 的轨迹方程为y ＝±473(－4 ≤x ≤4)，轨迹是两条平行于x 轴的线段．②λ≠34时，方程变形为x 211216λ2－9＋y 211216λ2＝1，当0＜λ＜34时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线满足－4≤x ≤4的部分；当34＜λ＜1时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足－4≤x ≤4的部分； 当λ≥1时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆．回顾总结4 min.。

高中物理曲线运动方程教案
主题：高中物理曲线运动方程
目标：通过本节课的学习，学生将能够理解曲线运动的概念并掌握相关的方程。

一、引入：
1. 展示一个曲线运动的视频，并让学生描述视频中物体的运动轨迹。

2. 引导学生思考，曲线运动与直线运动有何区别？
二、概念讲解：
1. 定义曲线运动：指物体在运动过程中，其轨迹不是直线而是曲线的运动。

2. 讲解曲线运动的相关概念：速度、加速度、曲率等。

3. 引入曲线运动的方程：曲线运动的速度和加速度的关系。

三、方程推导：
1. 推导出曲线运动的速度方程：v(t) = v₀ + at
2. 推导出曲线运动的位移方程：s(t) = s₀ + v₀t + 1/2at²
3. 推导出曲线运动的加速度方程：a(t) = dv/dt = d²s/dt²
四、实例演练：
1. 给出一个曲线运动的实例，让学生带入方程计算速度、加速度和位移。

2. 让学生分组进行讨论，共同解决问题。

五、思考问题：
1. 如何根据已知的速度方程，推导出加速度方程？
2. 曲线运动的加速度是如何影响速度和位移的？
六、课堂小结：
1. 总结本节课所学内容，强调曲线运动方程的重要性。

2. 鼓励学生多多练习，深化对曲线运动方程的理解。

以上是一份高中物理曲线运动方程教案范本，希望对您有所帮助。

祝您教学顺利！。

曲线方程和圆的方程教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高二解析几何综合复习资料（2）曲线方程和圆的方程一、基础知识： （一）曲线方程1、曲线的方程与方程的曲线的定义：2、求曲线轨迹方程的步骤：3、求曲线轨迹方程的方法：建系、设点、列式、代入、简化、检验。

求曲线的轨迹方程常采用的方法有：(1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程(4)参数法 若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性 要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的。

（二）、圆的方程：（1）直线与圆的位置关系有三种： 、 、 ；（2）判定方法：① 线心距法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为R ，则 ⇔相离， ⇔相切， ⇔相交。

② 判别式法：由直线方程与圆的方程消去一个未知数后，得到一个关于x 或y 的一元二次方程，则0>∆⇔ ， ⇔相切， ⇔相离。

（3）直线与圆相交时，弦长的求法有两种。

① ② 3、圆与圆的位置关系：（1）、圆与圆的位置关系：（1）过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程是： ；（2）过圆222)()(r b y a x =-+-上一点),(00y x P 的切线方程是： ；（3）过圆222r y x =+外一点),(00y x P 作圆的两条切线，则切点弦所在的直线方程是 ；（4）过圆222)()(r b y a x =-+-外一点),(00y x P 作圆的两条切线，则切点弦所在的直线方程是 ；5、公共弦所在的直线方程：圆1C ：011122=++++F y E x D y x 和圆C 2：022222=++++F y E x D y x 的公共弦的方程是：______________________________；求轨迹方程的方法曲线与方程包括求曲线的方程和由方程研究曲线的性质两个方面的内容，每年必考。

·xyM· 曲线和方程(一)教学目标教学知识点：曲线的方程、方程的曲线.能力训练要求:会用曲线与方程的概念直接比较简单的曲线和方程的关系. 德育渗透目的:渗透数形结合思想、辨证思想.教学重点：理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的含义.教学难点：对“曲线的方程”和“方程的曲线”的对应关系的理解. 教学方法：启发引导法. 教学过程(一) 情境设置：1、求第一、三象限里两轴间夹角平分线的坐标满足的关系 结论：（1）L 上点的坐标都是方程x-y=0的解（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在 L 上 这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线.这种一一对应关系完全能推广到平面直角坐标系中的曲线和方程.(二) 讲授新课：1. 实例分析: （1）方程()()222r b y a x =-+-表示如图的圆，图像上的点M 与此方程()()222r b y a x =-+- 有什么关系？满足关系：1）如果),(00y x M 是圆上的点，那么),(00y x M 一定()()222r b y a x =-+-是这个方程的解 2）如果),(00y x M 是()()222r b y a x =-+-的解，那么以它为坐标的点一定在圆上。

（2）函数)0(2>=a ax y 的图象是关于y 轴对称的抛物线，这条抛物线是所有以方程2ax y =的解为坐标的点组成的.由此可知（1） 如果点M(x 0,y 0)在抛物线上，则一定有y 0=ax 02，即(x 0,y 0)一定是方程2ax y =的解.（2） 如果(x 0,y 0)是方程2ax y =的解，即200ax y =，则点(x 0,y 0)一定在这条抛物线上.（3）、说明过A （2，0）平行于y 轴的直线与方程︱x ︱=2的关系①、直线上的点的坐标都满足方程︱x ︱=2②、满足方程︱x ︱=2的点不一定在直线上结论：过A （2，0）平行于y 轴的直线的方程不是︱x ︱=2 2.曲线的方程和方程的曲线的关系：综上可知，一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C （包括直线）（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立如下的关系：（1） 曲线上的点的坐标都是这个方程的解. （2） 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.由曲线的方程的定义可知：如果曲线C 的方程是f(x,y)=0，那么点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上的充要条件是f(x 0,y 0)=0.理解： （1）“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”阐明了曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上的所有点都符合这个条件而毫无例外（纯粹性）.（2）“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”阐明了符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏（完备性）.同时具备上述两个性质，才能称为“曲线的方程”和“方程的曲线”，阐明了曲线与方程的一一对应关系.思考：1、判断下列结论的正误并说明理由（1）过点A （3，0）且垂直于x 轴的直线为x=3 （2）到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y=2（3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=12、下列各题中，图3表示的曲线方程是所列出的方程吗？如果不是，不符合定义中的关系①还是关系②？(1)曲线C 为过点A(1，1)，B(-1，1)的折线，方程为(x-y)(x+y)=0;(2)曲线C 是顶点在原点的抛物线，方程为x+y =0;(3)曲线C 是Ⅰ, Ⅱ象限内到X 轴，Y 轴的距离乘积为1的点集，方程为y=x1典型例题分析：【例1】如果曲线C 上的点满足方程F(x,y)=0，则以下说法正确的是（ ）A ． 曲线C 的方程是F(x,y)=0B ． 方程F(x,y)=0的曲线是C1 0xy -110 xy -1 1 -2 21 0 xy -1 1 -2 21C. 坐标满足方程F(x,y)=0的点都在曲线C 上D. 坐标不满足方程F(x,y)=0的点不在C 上分析：由已知条件，只能说明具备纯粹性，但不一定具备完备性，故选D.【例2】证明圆心为坐标原点半径为5的圆的方程是x 2+y 2=25，并判断点M 1(3,-4)、M 2)2,52(-是否在这个圆上.证明：（1）设M(x 0,y 0)是圆上任意一点，因点M 到原点的距离等于5，所以52020=+y x ，即x 02+y 02=25.可知(x 0,y 0)是方程x 2+y 2=25的解.（2）设M(x 0,y 0)是方程x 2+y 2=25的解，则x 02+y 02=25，得52020=+y x ，可知点M(x 0,y 0)到原点的距离为5，所以点M(x 0,y 0)是这个圆上的点. 由（1）、（2）可知x 2+y 2=25是圆心为坐标原点半径为5的圆的方程. ∵32+（-4）2=25，∴点M 1（3，-4）在圆上.又 25242)52(22≠=+-，∴点M 2)2,52(-不在圆上.练习：证明与两坐标轴的距离的积是常数 k(k>0)的点的轨迹方程是K xy ±=归纳:证明已知曲线的方程的方法和步骤第一步，设M (x0,y0)是曲线C 上任一点，证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解； 第二步，设(x0,y0)是f(x,y)=0的解，证明点M (x0,y0)在曲线C 上（三）课时小结：在轨迹的基础上将轨迹和条件化为曲线和方程，当说某方程是曲线的方程或某曲线是方程的曲线时就意味着具备上述两个条件，只有具备上述两个方面的要求，才能将曲线的研究化为方程的研究,几何问题化为代数问题，以数助形正是解析几何的思想，本节课正是这一思想的基础。