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高数大一必考知识点归纳高数是大一必考的一门重要课程，全面掌握其中的知识点对于大家的学习和未来的学习生涯都至关重要。
为了帮助大家更好地备考高数，本文将对大一必考的高数知识点进行归纳总结，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 函数与极限1.1 函数的概念与性质：函数的定义、函数的图像、函数的奇偶性、函数的周期性等。
1.2 极限的概念与性质：函数极限的定义、左极限和右极限、极限的四则运算性质等。
1.3 无穷大与无穷小：无穷小的定义、无穷小的性质、无穷大的定义、无穷大的性质等。
2. 导数与微分2.1 导数的概念与计算方法：导数的定义、导数的基本公式、常见函数的导数、高阶导数等。
2.2 微分的概念与计算方法：微分的定义、微分的运算法则、微分中值定理等。
2.3 高阶导数与泰勒展开：高阶导数的概念、泰勒展开式的定义与应用等。
3. 不定积分与定积分3.1 不定积分的概念与计算方法：不定积分的定义、基本积分法、换元积分法等。
3.2 定积分的概念与计算方法：定积分的定义、定积分的性质、定积分的计算方法等。
3.3 微积分基本定理：微积分基本定理的概念、反导数与不定积分、定积分与面积计算等。
4. 微分方程4.1 微分方程的基本概念：微分方程的定义、微分方程的阶、常微分方程与偏微分方程等。
4.2 一阶微分方程：可分离变量的微分方程、一阶线性微分方程等。
4.3 高阶线性微分方程：二阶齐次线性微分方程、二阶非齐次线性微分方程等。
5. 多元函数与偏导数5.1 多元函数的概念与性质：多元函数的定义、多元函数的图像、多元函数的极限、多元函数的连续性等。
5.2 偏导数的概念与计算方法：偏导数的定义、偏导数的几何意义、偏导数的运算法则等。
5.3 高阶偏导数与全微分：高阶偏导数的概念、全微分的定义与计算方法等。
综上所述，以上列举的知识点是大一必考的高数知识点的主要内容。
大家在备考过程中可以根据这些知识点进行系统性的学习和复习，理解每个知识点的概念、性质和计算方法，并通过大量的练习题加深对知识点的理解和掌握。
新高考数学一卷知识点总结一、函数与导数1. 函数的概念：关于自变量 x 和因变量 y 的关系，通常用 y=f(x) 来表示。
2. 常见的初等函数包括：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等。
3. 函数的基本性质：奇偶性、单调性、最值等。
4. 函数的图像和性质：通过绘制函数的图像来分析函数的性质。
5. 导数的概念与计算：导数表示函数在某一点的变化率，可通过极限的方法求导数。
6. 导数的几何意义：导数表示函数图像在某点处的切线斜率。
7. 导数的应用：求函数的极值、最值、函数图像的凹凸性、曲线的特性等。
二、数列与数列的极限1. 数列的概念：有序数的无限序列，一般用 {an} 或 {xn} 表示。
2. 数列的性质：数列的有界性、单调性和收敛性等。
3. 数列的极限：数列的极限表示数列中的数值逐渐接近一个数。
4. 数列极限的性质：数列极限的唯一性、四则运算规则等。
5. 无穷级数：有限项和与无穷项和的概念、性质和收敛条件。
三、微分中值定理与泰勒公式1. 微分中值定理：拉格朗日中值定理和柯西中值定理的概念和应用。
2. 泰勒公式：泰勒公式的表达形式和具体计算方法。
四、不定积分1. 不定积分的概念：不定积分表示求导运算的逆运算。
2. 不定积分的性质和运算法则：线性性、换元积分法、分部积分法等。
3. 不定积分的奇偶性和对称性：利用函数的奇偶性和对称性简化积分运算。
五、定积分与定积分应用1. 定积分的概念：定积分表示曲线与坐标轴之间的面积或曲线长度的计算方法。
2. 定积分的计算：利用积分的性质和运算法则计算定积分。
3. 定积分的应用：计算几何图形的面积、物理问题中的质量、重心、物理中的功与物体质心问题。
六、多元函数与偏导数1. 多元函数的概念与性质：多元函数的定义域、值域等性质。
2. 偏导数的概念与计算：对多元函数中的一个变量求导的过程。
3. 隐函数与参数方程的求导：对隐含的函数和参数方程进行求导的方法。
4. 函数的极值与条件极值求解：应用偏导数对多元函数的极值进行求解。
高1数学知识点总结一、代数1. 集合与函数的概念- 集合的表示、运算及其性质- 函数的定义、性质和常见类型（线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等）- 函数的图像和变换（平移、伸缩、对称等）2. 代数式的运算- 整式的加减乘除运算- 因式分解- 分式的运算3. 一元一次方程与不等式- 方程与方程的解- 解一元一次方程- 不等式的性质和解集- 线性不等式的解集表示4. 二次方程与不等式- 二次方程的解法（开平方法、配方法、公式法、因式分解法）- 二次方程根的判别式- 二次不等式的解法5. 指数与对数- 指数的定义和运算性质- 对数的定义、性质和运算规则- 指数函数和对数函数的图像和性质二、几何1. 平面几何- 点、线、面的基本性质- 三角形、四边形的性质和计算- 圆的性质和圆的方程- 空间几何体的表面积和体积计算2. 解析几何- 坐标系的建立和应用- 直线与平面的方程- 圆的方程- 空间直线与平面的方程三、三角学1. 三角函数- 三角函数的定义和性质- 三角函数的图像和周期性- 三角恒等变换2. 三角方程- 三角方程的解法- 三角形的解法（正弦定理、余弦定理）四、概率与统计1. 概率- 随机事件的概率- 条件概率和独立事件- 概率分布（二项分布、正态分布等）2. 统计- 数据的收集和整理- 描述性统计（平均数、中位数、众数、方差、标准差）- 推断性统计（抽样、置信区间、假设检验）以上是高1数学的主要知识点概述。
每个部分都需要通过大量的练习来巩固和深化理解。
教师和学生可以根据这个总结来规划教学和学习的重点，确保覆盖所有重要的概念和技能。
高数大一最全知识点高等数学作为大一学生的必修课程，是一门基础而又重要的学科。
掌握好高数知识点，不仅对后续的学习有着重要的影响，也对提高数理思维和解决实际问题具有重要的帮助。
下面将为大家整理总结大一高数中最全的知识点。
第一章：函数与极限1. 函数的概念和性质函数定义、定义域和值域、函数的图像和性质等。
2. 极限的概念和性质数列极限、函数极限、几何意义以及重要的极限性质。
3. 连续与间断连续函数的概念、连续函数的性质、间断点和间断函数等。
第二章：导数与微分1. 导数的概念和计算导数的定义、导数的计算方法、各种函数导数的计算公式等。
2. 高阶导数与导数的应用高阶导数的定义、高阶导数的计算、导数在几何和物理问题中的应用等。
3. 微分学基本定理微分中值定理、极值与最值、凹凸性等重要的微分学定理。
第三章：积分与不定积分1. 定积分和不定积分的概念和性质定积分的定义、定积分的计算、不定积分的定义和基本积分表等。
2. 定积分的应用定积分的几何应用、定积分的物理应用、定积分的概率统计应用等。
3. 反常积分反常积分的概念和性质、反常积分判敛方法、特殊函数的反常积分等。
第四章：常微分方程1. 常微分方程的基本概念常微分方程的定义、初值问题、解的存在唯一性定理等。
2. 一阶常微分方程解法可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程等解法。
3. 高阶线性微分方程高阶线性齐次和非齐次微分方程的解法、常系数线性微分方程等。
第五章：多元函数与偏导数1. 多元函数的概念和性质多元函数的定义、定义域、值域、图像等基本概念。
2. 偏导数与全微分偏导数的定义和计算、全微分的定义以及全微分近似等。
3. 隐函数与参数方程隐函数的存在定理、隐函数的求导、参数方程的定义和性质等。
第六章：多元函数的积分学1. 二重积分的概念和性质二重积分的定义、二重积分的计算、二重积分的性质等。
2. 三重积分和曲线、曲面积分三重积分的定义、三重积分的计算、曲线积分、曲面积分的概念与计算等。
高数大一知识点总结基础一、函数与极限1. 函数的定义与性质：函数是一种对应关系，将一个自变量的取值映射到一个因变量的取值上。
函数具有定义域、值域、奇偶性、周期性等性质。
2. 极限的概念与性质：极限是函数在某一点或无穷远处的趋近值。
极限的存在性与唯一性可以通过数列极限的定义来判定。
3. 函数的连续性：连续性是指函数在定义域内没有突变、间断点的性质。
连续函数具有局部性质及整体性质。
4. 导数与函数的凸凹性：导数是函数在某一点的切线斜率，可以表示函数的变化率。
凸凹性指函数图像在某一区间上的弯曲程度。
二、微分学1. 微分的定义与性质：微分是函数局部线性逼近的结果，是函数在某一点的变化量。
微分的计算可以使用导数。
2. 高阶导数：高阶导数是导数的导数，表示函数变化的快慢程度。
高阶导数的计算可以使用导数的性质和公式。
3. 微分中值定理：微分中值定理包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理等，用于描述函数在某一区间的特性。
4. 泰勒展开：泰勒展开是将函数在某一点附近用无穷多项式逼近的结果，用于求函数的近似值。
三、积分学1. 定积分的定义与性质：定积分是函数在某一区间上的面积或有向长度，可以用无穷小分割与极限的思想进行计算。
2. 不定积分与积分常数：不定积分是求解函数的原函数过程，不定积分的结果存在积分常数。
3. 牛顿-莱布尼茨公式：牛顿-莱布尼茨公式将定积分与不定积分联系起来，描述了两者的关系。
4. 微积分基本定理：微积分基本定理包括第一类与第二类，用于计算定积分与不定积分。
四、级数1. 数项级数的收敛性：数项级数是由无穷多个数相加而成的表达式，根据其通项的性质可以判断级数的收敛性。
2. 常用级数：常用级数包括等比级数、调和级数等，可以通过特定的方法求解其和。
3. 幂级数：幂级数是一种特殊的级数，具有收敛域与求解方法。
幂级数常用于函数展开与近似计算。
五、常微分方程1. 常微分方程的基本概念：常微分方程是描述未知函数的导数与自变量之间关系的方程。
大一高等数学1知识点大一高等数学1是大学数学的一门基础课程，旨在帮助学生建立起扎实的数学基础。
本文将介绍大一高等数学1的几个重要知识点，包括极限、导数和微分以及积分。
以下将逐一介绍这些知识点的定义、性质和应用。
一、极限极限是大一高等数学1中重要的概念之一。
在数学中，极限用于描述函数或数列在某个点或者无穷远处的趋势或者趋近程度。
极限的概念包括左极限、右极限和无穷极限。
学生在学习这个知识点时，需要掌握极限的定义、性质和计算方法，并能够运用到不同的实际问题中。
二、导数和微分导数和微分是大一高等数学1中的另一个重要知识点。
导数用于描述函数在某一点上的变化率，表示函数曲线在该点的切线斜率。
微分是导数的一个应用，用于求解函数的近似值以及优化问题。
学生在学习导数和微分时，需要了解导数的定义、性质和计算方法，掌握求导法则和运用微分进行优化的技巧。
三、积分积分是大一高等数学1中的重要知识点之一，是导数的逆运算。
积分可以求解曲线下面的面积、定积分可以计算函数在给定区间上的总变化量等。
学生在学习积分时，需要了解积分的定义、性质和计算方法，并能够运用到求解面积、计算变化量以及求解微分方程等实际问题中。
四、应用实例大一高等数学1的知识点可以应用于各个领域。
举个例子，极限的概念可以帮助我们理解物体在不断变化的过程中的极限状态；导数和微分可以用于解析几何的问题，比如切线、法线以及曲率；积分可以用于描述变化率以及求解面积等。
这些知识点的应用广泛，对各个学科都有重要意义。
总结大一高等数学1的知识点包括极限、导数和微分以及积分。
这些知识点对于理解数学的基本概念和方法具有重要作用，并且可以应用到各个实际问题中。
学生在学习过程中，应该注重理论的掌握和实际问题的应用，培养数学思维和解决问题的能力。
通过系统学习和实践，掌握大一高等数学1的知识点，将为今后的学习和研究打下坚实的基础。
完整版高数一知识点一、导数与微分高等数学中，导数是一种表示函数变化率的工具。
它是研究函数在某一点上的局部性质和变化趋势的基本概念。
导数可以通过极限的概念进行定义，表示函数在某一点上的瞬时变化率。
导函数的计算方法包括：1. 基本函数的导数公式：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。
2. 四则运算法则：求导的四则运算法则包括加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。
3. 复合函数的求导：使用链式法则求解复合函数的导数。
微分是导数的应用之一，用于研究函数的近似变化。
微分的计算方法包括：1. 微分的定义：微分可以通过导数来进行计算，表示函数在某一点上的变化量。
2. 微分的近似计算：使用微分近似计算可以帮助我们在没有具体数值的情况下估计函数的变化。
二、不定积分与定积分不定积分是求解函数原函数的过程，也被称为反导数。
不定积分可以表示函数的面积、函数的平均值等。
计算不定积分的方法包括：1. 基本积分公式：根据一些基本函数的导数公式，可以得到相应的不定积分公式。
2. 积分的线性性质：积分具有线性性质，即函数的线性组合的积分等于各组成函数的积分之和。
3. 特殊函数的积分：对于一些特殊的函数，可以通过一些特殊的方法进行积分。
定积分是求解函数在某一区间上的面积的过程，也被称为积分。
定积分可以表示弧长、质量、体积等物理量。
计算定积分的方法包括：1. 定积分的定义：定积分可以通过分割区间，计算分割点上函数值与区间长度的乘积之和来进行计算。
2. 积分的性质：定积分具有一些性质，例如积分的线性性质、积分的区间可加性等。
3. 牛顿-莱布尼茨公式：牛顿-莱布尼茨公式给出了定积分与不定积分之间的关系。
三、常微分方程常微分方程是研究函数的导数与自变量之间关系的方程。
它是高等数学中一个重要的分支，应用广泛。
常微分方程的求解方法包括：1. 可分离变量法：对于可分离变量的常微分方程，可以通过分离变量并积分的方法进行求解。
高数笔记大一全部知识点总结高等数学是大一学生必修的一门课程，它是应用数学的重要基础，也是后续专业课程的前置知识。
以下是对大一高等数学课程的全部知识点进行的总结。
1. 数列与数学归纳法1.1 等差数列与等差数列的通项公式1.2 等比数列与等比数列的通项公式1.3 数列的求和公式与极限2. 函数与极限2.1 函数的定义与性质2.2 极限的定义与性质2.3 无穷大与无穷小2.4 函数的连续性与间断点3. 导数与微分3.1 导数的定义与几何意义3.2 常见函数的导数公式3.3 高阶导数与隐式函数求导 3.4 微分的定义与应用4. 微分中值定理与导数应用4.1 极值与最值4.2 高阶导数与凹凸性4.3 中值定理与罗尔定理4.4 泰勒公式与应用5. 积分与不定积分5.1 积分的定义与性质5.2 基本积分公式与换元积分法 5.3 分部积分与定积分5.4 数列和函数积分与应用6. 定积分与曲线长度6.1 定积分的定义与计算6.2 曲线长度的计算6.3 平面图形的面积与旋转体的体积 6.4 广义积分与收敛性7. 常微分方程7.1 微分方程的基本概念与分类7.2 可分离变量方程与齐次方程7.3 一阶线性微分方程与常数变易法 7.4 高阶线性微分方程与特征根法8. 多元函数微分学8.1 二元函数的偏导数与全微分8.2 隐函数与隐函数求导8.3 多元函数的极值与条件极值8.4 二重积分与累次积分以上是大一高等数学课程的全部知识点总结。
通过对这些知识点的学习，可以建立起扎实的数学基础，为后续专业课程的学习打下坚实的基础。
同时，高等数学也培养了我们的逻辑思维能力和问题解决能力，为我们的学习生涯做好了铺垫。
掌握这些知识点后，我们可以通过大量的习题和实例来巩固和应用所学知识，提高自己的数学思维和解题能力。
除了课堂学习外，可以参加数学竞赛、加入学术团队等方式，进一步拓宽数学知识的应用领域。
高等数学是一门重要的学科，不仅在理工科领域中有广泛的应用，也在其他学科中扮演着重要角色。
大一高等数学全部知识点汇总高等数学是大一学生所学的一门重要课程，它涵盖了许多重要的数学知识点。
本文将对大一高等数学的全部知识点进行汇总，以帮助学生更好地理解和掌握这门学科。
1. 极限与连续1.1 极限的定义与性质1.2 无穷大与无穷小1.3 极限存在准则1.4 函数的连续性与间断点1.5 已知极限求函数值2. 导数与微分2.1 导数的定义与性质2.2 基本导数公式2.3 高阶导数2.4 隐函数求导2.5 微分的定义与应用3. 微分中值定理与导数应用3.1 罗尔定理3.2 拉格朗日中值定理3.3 柯西中值定理3.4 泰勒公式与泰勒展开3.5 极值点与凹凸性4. 积分与不定积分4.1 函数的原函数与不定积分 4.2 定积分的概念与性质4.3 牛顿—莱布尼茨公式4.4 定积分的计算4.5 反常积分5. 定积分应用5.1 曲线长度与曲面面积5.2 物理应用：质量、质心、转动惯量5.3 统计学应用：均值、方差、概率密度函数6. 多元函数微分学6.1 多元函数的极限与连续性6.2 偏导数与全微分6.3 方向导数与梯度6.4 高阶偏导数与多元函数的泰勒公式7. 重积分7.1 二重积分的概念与性质7.2 二重积分的计算7.3 三重积分的概念与性质7.4 三重积分的计算7.5 曲线曲面积分8. 无穷级数8.1 数列极限与数列的性质8.2 常数项级数的收敛性与发散性8.3 正项级数的审敛法8.4 幂级数与泰勒级数9. 常微分方程9.1 常微分方程的基本概念9.2 一阶线性微分方程9.3 二阶线性常系数齐次微分方程9.4 二阶线性常系数非齐次微分方程9.5 常微分方程的应用以上是大一高等数学的全部知识点汇总。
学生们可以根据这个知识点汇总来制定学习计划，有针对性地进行复习和提高。
同时，理解这些知识点的定义、性质和应用是非常重要的，因为它们在后续学习和职业发展中都会起到关键作用。
希望本文对大一学生的数学学习有所帮助，使他们能够更好地掌握高等数学这门学科。
第一章~~第三章一、极限数列极限lim n n x ->∞函数极限lim ()x f x ->∞，lim ()x f x →+∞，lim ()x f x →-∞lim ()x x f x ->，0lim ()x x f x -->，0lim ()x x f x +->求极限（主要方法）：（１）100sin 1lim1,lim(1),lim(1)x xx x x xe x e x x->->∞->=+=+=（２）等价无穷小替换（P76）。
当()0x ϕ→时，代换时要注意，只有乘积因子才可以代换。
（3）洛必达法则（000,,0,,0,1,0∞∞⋅∞∞-∞∞∞），只有0,0∞∞可以直接用罗比达法则。
幂指函数求极限：()lim ()ln ()lim ()v x v x u x u x e =；或，令()()v x y u x =，两边取对数ln ()ln ()y v x u x =，若lim ()ln ()v x u x a =，则()lim ()v x a u x e =。
结合变上限函数求极限。
二、连续 00lim ()()x x f x f x ->=左、右连续 000lim ()(),lim ()()x x x x f x f x f x f x -+->->==函数连续⇔函数既左连续又右连续闭区间上连续函数性质：最值，有界，零点（结合证明题），介值，推论。
三、导数 0000000()()()()'()limlim x x x f x f x f x x f x f x x x x->->-+-==-V V V 左导数 0000000()()()()'()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x---->->-+-==-V V V右导数 0000000()()()()'()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x+++->->-+-==-V V V 微分 ()'y A x z dy Adx y dx ο∆=⋅∆+==可导⇒连续 可导⇔可微 可导⇔既左可导又右可导求导数：（１） 复合函数链式法则[]()'[]'()dy dy du y f u u g x f u g x dx du dx====[()]''[()]'()'[()]([()])'y f g x y f g x g x f g x f g x ==≠（２） 隐函数求导法则两边对x 求导，注意y 、y '是x 的函数。
第一章~~第三章一、极限数列极限lim n n x ->∞函数极限lim ()x f x ->∞，lim ()x f x →+∞，lim ()x f x →-∞lim ()x x f x ->，0lim ()x x f x -->，0lim ()x x f x +->求极限（主要方法）：（１）100sin 1lim1,lim(1),lim(1)x xx x x xe x e x x->->∞->=+=+=（２）等价无穷小替换（P76）。
当()0x ϕ→时，代换时要注意，只有乘积因子才可以代换。
（3）洛必达法则（000,,0,,0,1,0∞∞⋅∞∞-∞∞∞），只有0,0∞∞可以直接用罗比达法则。
幂指函数求极限：()lim ()ln ()lim ()v x v x u x u x e =；或，令()()v x y u x =，两边取对数ln ()ln ()y v x u x =，若lim ()ln ()v x u x a =，则()lim ()v x a u x e =。
结合变上限函数求极限。
二、连续 00lim ()()x x f x f x ->=左、右连续 000lim ()(),lim ()()x x x x f x f x f x f x -+->->==函数连续⇔函数既左连续又右连续闭区间上连续函数性质：最值，有界，零点（结合证明题），介值，推论。
三、导数 0000000()()()()'()limlim x x x f x f x f x x f x f x x x x->->-+-==- 左导数 0000000()()()()'()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x---->->-+-==-右导数 0000000()()()()'()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x+++->->-+-==- 微分 ()'y A x z dy Adx y dx ο∆=⋅∆+==可导⇒连续 可导⇔可微 可导⇔既左可导又右可导求导数：（１） 复合函数链式法则[]()'[]'()dy dy du y f u u g x f u g x dx du dx====[()]''[()]'()'[()]([()])'y f g x y f g x g x f g x f g x ==≠（２） 隐函数求导法则两边对x 求导，注意y 、y '是x 的函数。
（3）参数方程求导'()()()/'()dy dy dx t x t y t dx dt dt t ψϕψϕ====22'()()()'()'()d t d dy d y dt t dt dx dx dx t dtψϕϕ== 四、导数的应用（１）罗尔定理和拉格朗日定理（证明题） （２）单调性（导数符号），极值（第一充分条件和第二充分条件），最值。
（3）凹凸性（二阶导数符号），拐点（曲线上的点，二维坐标，曲线在该点两侧有不同凹凸性）。
第四章 不定积分原函数 (())()F x f x '=→ 不定积分 ()()f x dx F x C =+⎰基本性质[()]()d f x dx f x dx =⎰ 或 [()]()df x dx f x dx =⎰()()F x dx F x c '=+⎰或()().dF x F x C =+⎰[()()dx dx d ]()()f x g x f x g x x +=+⎰⎰⎰ (分项积分)d (()d )k f x x k f x x =⎰⎰基本积分公式 (1)d k x kx C =+⎰; (2)11 (1d )1x x x C αααα+=+=-/+⎰(3)1ln ||dx x C x=+⎰ (4) dx xxe eC =+⎰(5) x ln d xxa a C a=+⎰ (6) d cos sin x x x C =+⎰ (7)d sin cos x x x C =-+⎰ (8) 2sec ta d n x x x C =+⎰(9) 2d csc cot x x x C =-+⎰ (10) d s x ec tan sec x x x C =+⎰(11)dx csc cot csc x x x C =-+⎰ (12)arcsin x C =+(13)2arctan 1d xx C x =++⎰除了上述基本公式之外，还有几个常用积分公式 1. tan ln |cos |;xdx x C =-+⎰ 2. cot ln |sin |;xdx x C =+⎰ 3. sec ln |sec tan |;xdx x x C =++⎰ 4. csc ln |csc cot |;xdx x x C =-+⎰5.2211arctan ;xdx C a x a a=++⎰6. arcsin;xC a=+⎰7. 2211ln ;2x adx C x a a x a-=+-+⎰ 8. 2arcsin ;2a x C a =9.ln |.x C =++求不定积分的方法1． 直接积分法：恒等变形，利用不定积分的性质，直接使用基本积分公式。
2． 换元法：第一类换元法（凑微分法）(())()()()(()d ).f x x x f u du F u C F x C ϕϕϕ'==+=+⎰⎰第二类换元法（变量代换法）()(())()()[()].d d f x x f t t t F t C F x C ϕϕψ'==+=+⎰⎰（注意回代）换元的思想：()(())()()()(())()()()(()).d d x t f t t dtt x f x xf t t tg t dt F t CF x C ϕϕϕψϕϕψ'=='===+=+⎰⎰⎰主要有幂代换、三角代换、倒代换 3． 分部积分法uv dx udv uv vdu uv u vdx ''==-=-⎰⎰⎰⎰v '的优先选取顺序为：指数函数；三角函数；幂函数第五章 定积分一、概念 1. 定义11()lim (),max{}nbi i i ai ni f x dx f x x λξλ→≤≤==∆=∆∑⎰2. 性质： 设()x f 、()x g 在[]b a ,区间上可积，则定积分有以下的性质.(1). a b dx b a -=⎰ ；(2). ()()[]⎰⎰⎰+=+ba ba ba dx x g n dx x f m dx x g n x mf )()(；(3).⎰⎰⎰+=bcc ab adx x f dx x f dx x f )()()(；(4). 若在[],a b 上，()0≥x f ，则0)(≥⎰b adx x f ；推论1. 若在[],a b 上，()()f x g x ≤，则()()b baaf x dxg x dx ≤⎰⎰推论2. ⎰⎰≤bab adx x f dx x f |)(||)(|（a b <）(5). 若函数()x f 在区间[]b a ,上可积，且()M x f m ≤≤，则)()()(a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰(6).（定积分中值定理） 设()x f 在区间[]b a ,上连续，则存在[]b a ,∈ξ，使()()a b f dx x f b a-=⎰ξ)(．3. 积分上限函数()xaf t dt ⎰及其性质(1)．()x f dt t f x a='⎰))((，或()x f dt t f dxd xa =⎰)(； (2)．如果()⎰=)(0)(x dt t f x ϕφ，则()))(()(0'='⎰x dt t f x ϕφ()()()x x f ϕϕ'=.(3). 如果()()()()x x x f t dt ϕψφ=⎰,则()()()(())x x x f t dt ϕψφ''=⎰()()()()()()'f x x f x x ϕϕψψ'=-.4. 广义积分(1). 无穷限积分()af x dx +∞=⎰()lim tat f x dx →+∞⎧=⎨⎩⎰收敛（极限存在）发散（极限不存在）．()=⎰∞-b dx x f ()lim b tt f x dx →-∞⎧=⎨⎩⎰收敛（极限存在）发散（极限不存在）．()⎰∞+∞-dx x f 收敛的充分必要条件是反常积分()0f x dx +∞⎰、()0f x dx -∞⎰同时收敛，并且在收敛时，有()⎰∞+∞-dx x f ()0f x dx +∞=⎰()0f x dx -∞+⎰．(2). 瑕积分a 为瑕点 ()()limb b a at a f x dx f x dx +→⎧==⎨⎩⎰⎰收敛（极限存在）发散（极限不存在）b 为瑕点 ()()lim bb aat bf x dx f x dx -→⎧==⎨⎩⎰⎰收敛（极限存在）发散（极限不存在）c 为瑕点 则()⎰badx x f 收敛⇔()⎰cadx x f 与()⎰bcdx x f 均收敛，并且在收敛时，有()=⎰b adx x f ()⎰c adx x f ()⎰+bcdx x f二、计算（一） 定积分的计算1、微积分基本公式：设函数()x f 在区间[]b a ,上连续，且()()x f x F ='，则()()a F b F dx x f b a-=⎰)( ， 牛顿-莱布尼兹（N-L ）公式2、换元法：设函数()x f 在区间[]b a ,上连续，函数()t x ϕ=满足： ① 在区间[]βα,上可导，且()t ϕ'连续；② ()αϕ=a ，()βϕ=b ，当[,]t αβ∈时，[]b a x ,∈，则()()⎰⎰'=βαϕϕdt t t f dx x f b a)()(3、分部积分法：()|b b b a aauv dx uv u vdx ''=-⎰⎰， 或()|b bba aaudv uv vdu =-⎰⎰．4、偶倍奇零： 设函数()x f 在区间[]a a ,-上连续，则()()()()()2()a aaf x f x f x dx f x dx f x f x -⎧-=-⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰5、⎰⎰=22cos sin ππxdx xdx nn122!)!12(!)!2(2!)!2(!)!12(+==⎪⎩⎪⎨⎧⋅=+-k n kn k k k k π．6、分段函数的定积分。
