2023高考数学第21题

2023年全国各省份高考数学真题数列汇总一、单选题二、填空题8．（2023年全国乙卷（理数）第15题）已知{}n a 为等比数列，24536a a a a a =，9108a a =-，则7a =______.9．（2023年全国甲卷（文数）第13题）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若6387S S =，则{}n a 的公比为________．10．（2023年北京卷第14题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{}n a ，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且1591,12,192a a a ===，则7a =___________；数列{}n a 所有项的和为____________．三、解答题15．（2023年北京卷第21题）已知数列{}{},n n a b 的项数均为m (2)m >，且,{1,2,,},n n a b m ∈ {}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n A B ，并规定000A B ==．对于{}0,1,2,,k m ∈ ，定义{}max ,{0,1,2,,}k i k r iB A i m =≤∈∣ ，其中，max M 表示数集M 中最大的数.(1)若1231232,1,3,1,3,3a a a b b b ======，求0123,,,r r r r 的值；(2)若11a b ≥，且112,1,2,,1,j j j r r r j m +-≤+=- ，求n r ；(3)证明：存在{},,,0,1,2,,p q s t m ∈ ，满足,,p q s t >>使得t p s q A B A B +=+．16．（2023年天津卷第19题）已知{}n a 是等差数列，255316,4a a a a +=-=．(1)求{}n a 的通项公式和1212n n ii a --=∑．(2)已知{}n b 为等比数列，对于任意*N k ∈，若1221k k n -≤≤-，则1k n k b a b +<<，（Ⅰ）当2k ≥时，求证：2121kk k b -<<+；（Ⅱ）求{}n b 的通项公式及其前n 项和．a-【详解】由题意可得：当1n =时，2122a a =+，即1122a q a =+，①当2n =时，()31222a a a =++，即()211122a q a a q =++，②联立①②可得12,3a q ==，则34154a a q ==.故选：C.二、填空题三、解答题为奇数反证：假设满足11n n r r +->的最小正整数为11j m ≤≤-，当i j ≥时，则12i i r r +-≥；当1i j ≤-时，则11i i r r +-=，则()()()112100m m m m m r r r r r r r r ---=-+-+⋅⋅⋅+-+()22m j j m j ≥-+=-，又因为11j m ≤≤-，则()2211m r m j m m m m ≥-≥--=+>，假设不成立，故11n n r r +-=，即数列{}n r 是以首项为1，公差为1的等差数列，所以01,n r n n n =+⨯=∈N .（3）（ⅰ）若mmA B ≥，构建,1n n n r S A B n m =-≤≤，由题意可得：0n S ≥，且n S 为整数，反证，假设存在正整数K ，使得K S m ≥，则1,0K K K r K r A B m A B +-≥-<，可得()()111K K K K K r r r K r K r b B B A B A B m +++=-=--->，这与{}11,2,,K r b m +∈⋅⋅⋅相矛盾，故对任意1,n m n ≤≤∈N ，均有1n S m ≤-.①若存在正整数N ，使得0N N N r S A B =-=，即N Nr A B =，可取0,,N r p q N s r ====，使得p s q r B B A A +=+；②若不存在正整数N ，使得0NS =，因为{}1,2,1n S m m ∈⋅⋅⋅-，且1n m ≤≤，所以必存在1X Y m ≤<≤，使得X Y S S =，即X Y X r Y r A B A B -=-，可得Y X X r Y r A B A B +=+，可取,,,Y X p X s r q Y r r ====，使得p s q r B B A A +=+；（ⅱ）若m m A B <，构建,1n n r n S B A n m =-≤≤，由题意可得：0n S ≤，且n S 为整数，反证，假设存在正整数K ，使得K S m ≤-，则1,0K K r K r K B A m B A +-≤-->，可得()()111K K K K K r r r r K r K b B B B A B A m +++=-=--->，这与{}11,2,,K r b m +∈⋅⋅⋅相矛盾，故对任意1,n m n ≤≤∈N ，均有1n S m ≥-.①若存在正整数N ，使得0N N r N S B A =-=，即N Nr A B =，可取0,,N r p q N s r ====，使得p s q r B B A A +=+；②若不存在正整数N ，使得0NS =，因为{}1,2,,1n S m ∈--⋅⋅⋅-，且1n m ≤≤，。

2023数学高考全国乙卷第21题2023年高考数学全国乙卷第21题是一道关于函数和导数的问题，主要考察了利用导数研究函数的单调性、极值和最值等知识点。

题目：已知函数$f(x) = x^{2} - 2x + a$在区间$[ - 1,3]$上有两个不同的零点，求实数$a$的取值范围。

分析：首先，我们需要找到函数$f(x) = x^{2} - 2x + a$在区间$[ - 1,3]$上的零点。

根据一元二次方程的判别式，我们知道当判别式$\Delta > 0$时，方程有两个不同的实根。

因此，我们需要找到满足$\Delta > 0$的$a$的取值范围。

解：首先，我们计算判别式$\Delta = b^{2} - 4ac = ( - 2)^{2} - 4 \times 1\times a = 4 - 4a$。

由于题目要求函数在区间$[ - 1,3]$上有两个不同的零点，所以我们需要满足$\Delta > 0$，即$4 - 4a > 0$。

解这个不等式，我们得到$a < 1$。

另外，由于函数在区间$[ - 1,3]$上单调递增，所以函数的最大值为$f(3) = a + 3$，最小值为$f( - 1) = a - 1$。

由于函数有两个不同的零点，所以函数的最大值和最小值必须满足$\max\{ f( - 1), f(3)\} \leq 0$。

解这个不等式，我们得到$\max\{ a - 1, a + 3\} \leq 0$。

解这个不等式组，我们得到$- 3 \leq a \leq 1$。

因此，实数$a$的取值范围是$- 3 \leq a < 1$。

2023年新高考Ⅱ卷数学第21题主要考察了数列和函数的知识点，题目要求求出数列的通项公式和前n项和。

首先，题目给出了数列的前三项，分别为a_1=1，a_2=3，a_3=7。

接着，题目给出了数列的递推关系式：a_{n+1} = 2a_n + 1。

根据递推关系式，我们可以推导出数列的通项公式。

通过递推关系式，我们可以得到a_{n+1} + 1 = 2(a_n + 1)。

这说明数列{ a_n + 1 } 是一个等比数列，其首项为a_1 + 1 = 2，公比为2。

因此，数列{ a_n + 1 } 的通项公式为a_n + 1 = 2^n。

最后，题目要求求出数列的前n 项和S_n。

根据通项公式，我们可以得到数列的前n 项和S_n = (a_1 + a_2 + ... + a_n) + n = (2^1 + 2^2 + ... + 2^n) + n。

这是一个等比数列的前n 项和，其和为2^(n+1) - 2。

因此，数列的前n 项和S_n = 2^(n+1) - 2 + n。

２０２３年全国甲卷理科第２１题的解法探究张㊀炙(安徽省利辛县第一中学ꎬ安徽阜阳２３６７００)摘㊀要:２０２３年高考全国甲卷理科数学第２１题是导数题ꎬ试题巧妙地将三角函数与多项式函数结合ꎬ讨论恒成立问题求参数的取值范围.据此ꎬ本文从不同角度给出试题的五种解法.关键词:２０２３年高考ꎻ全国甲卷ꎻ导数ꎻ三角函数ꎻ恒成立问题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３６－００１７－０３收稿日期:２０２３－０９－２５作者简介:张炙(１９８４.７－)ꎬ男ꎬ安徽省利辛人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀三角函数的导数是中学教学的重点与难点ꎬ具有一定的综合性.２０２３高考全国甲卷理科第２１题是导数与三角函数的综合题ꎬ试题设计新颖ꎬ紧扣课程标准ꎬ全面考查了利用导数证明不等式ꎬ具有较好的选拔功能ꎬ对中学数学教学有较好的引导作用[１].１真题再现２０２３年高考全国甲卷理科第２１题如下:已知ｆ(ｘ)＝ａｘ－ｓｉｎｘｃｏｓ３ｘꎬｘɪ０ꎬπ２æèçöø÷.(１)当ａ＝８时ꎬ讨论ｆ(ｘ)的单调性ꎻ(２)若ｆ(ｘ)<ｓｉｎ２ｘꎬ求ａ的取值范围.２解法探究(１)ｆ(ｘ)的单调增区间是０ꎬπ４æèçöø÷ꎬ单调减区间是π４ꎬπ２æèçöø÷.过程略.下面重点探究第(２)问.解法１㊀端点效应.设ｇ(ｘ)＝ｓｉｎｘｃｏｓ３ｘ＋ｓｉｎ２ｘ－ａｘꎬｘɪ０ꎬπ２æèçöø÷ꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝ｃｏｓｘｃｏｓ３ｘ＋ｓｉｎｘ(３ｃｏｓ２ｘｓｉｎｘ)ｃｏｓ６ｘ＋２ｃｏｓ２ｘ－ａ＝ｃｏｓ２ｘ＋３ｓｉｎ２ｘｃｏｓ４ｘ＋(２ｃｏｓ２ｘ－１)＋(１－２ｓｉｎ２ｘ)－ａ＝１＋２ｓｉｎ２ｘｃｏｓ４ｘ＋２ｃｏｓ２ｘ－２ｓｉｎ２ｘ－ａ＝１ｃｏｓ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘæèçöø÷＋２ｓｉｎ２ｘ１ｃｏｓ４ｘ－１æèçöø÷－ａ.由三元均值不等式知１ｃｏｓ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘȡ３ꎻ又２ｓｉｎ２ｘ１ｃｏｓ４ｘ－１æèçöø÷ȡ０.以上两个不等式当且仅当ｘ＝０时取到等号.由于ｘɪ０ꎬπ２æèçöø÷ꎬ故ｇᶄ(ｘ)>３－ａ.①当ａɤ３时ꎬｇᶄ(ｘ)>３－ａȡ０ꎬ即ｇ(ｘ)在０ꎬπ２æèçöø÷上单调递增ꎬ所以ｇ(ｘ)>ｇ(０)＝０ꎬ即ｆ(ｘ)<ｓｉｎ２ｘ恒成立.②当ａ>３时ꎬ取ｃｏｓｘ０＝３１ａ－２ɪ(０ꎬ１)ꎬ由于∀ｘɪ０ꎬπ２æèçöø÷ꎬｓｉｎｘ－ｘ<０ꎬ所以此时ｇ(ｘ０)＝(ａ－２)ｓｉｎｘ０＋２ｓｉｎｘ０ｃｏｓｘ０－ａｘ０<(ａ－２)ｓｉｎｘ０＋２ｓｉｎｘ０－７１ａｘ０＝ａ(ｓｉｎｘ０－ｘ０)<０.因此ꎬ存在ｘ０＝ａｒｃｃｏｓ３１ａ－２ɪ０ꎬπ２æèçöø÷ꎬ使得ｇ(ｘ０)<０ꎬ即ｆ(ｘ０)>ｓｉｎ２ｘ０ꎬ这与ｆ(ｘ)<ｓｉｎ２ｘ矛盾.㊀综上ꎬａ的取值范围是[３ꎬ＋ɕ).点评㊀由于ｇ(ｘ)＝０ꎬｇᶄ(０)＝０ꎬ而对∀ｘɪ０ꎬπ２æèçöø÷ꎬｇ(ｘ)>０恒成立ꎬ根据端点效应ꎬ应有ｇᶄ(０)ȡ０ꎬ由此得到ａɤ３ꎬ这是问题成立的必要条件.从而获得了解题方向:先证明当ａɤ３时ｇ(ｘ)>０恒成立ꎬ再证明当ａ>３时ｇ(ｘ)>０不恒成立即可.而在证明当ａ>３时ｇ(ｘ)>０不恒成立时ꎬ需要用到放缩技巧(ｘ>０ꎬｓｉｎｘ<ｘ)和取点技巧(ｃｏｓｘ０＝３１ａ－２ɪ(０ꎬ１))ꎬ这需要平时的积累.那如果不会 取点 ꎬ那该如何处理呢?请看解法２.解法２㊀换元法.设ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－ｓｉｎ２ｘꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝ａ－３－２ｃｏｓ２ｘｃｏｓ４ｘ－２(２ｃｏｓ２ｘ－１)ꎬｇᶄ(０)＝ａ－３.令ｔ＝ｃｏｓ２ｘɪ(０ꎬ１)ꎬｈ(ｔ)＝ａ＋２ｔ－３ｔ２－２(２ｔ－１)＝－４ｔ３＋２ｔ－３ｔ２＋ａ＋２ꎬ则ｈᶄ(ｔ)＝－４ｔ３－２ｔ＋６ｔ３＝－２(ｔ－１)(２ｔ２＋２ｔ＋３)ｔ３>０ꎬ所以ｈ(ｔ)在(０ꎬ１)上单调递增ꎬ又ｔ(ｘ)＝ｃｏｓ２ｘ在０ꎬπ２æèçöø÷上单调递减ꎬ知ｇᶄ(ｘ)在０ꎬπ２æèçöø÷上单调递减.当ａ>３时ꎬｇᶄ(０)＝ａ－３>０ꎬ而ｇᶄ(ｘ)ң－ɕｘңπ２æèçöø÷ꎬ由函数零点存在定理知ꎬ存在ｘ０ɪ０ꎬπ２æèçöø÷ꎬ使得ｇᶄ(ｘ０)＝０.则当ｘɪ(０ꎬｘ０)时ｇᶄ(ｘ)>０ꎬｇ(ｘ)单调递增ꎬ所以此时ｇ(ｘ)>ｇ(０)＝０ꎬ不满足题意.当ａɤ３时ꎬｇᶄ(ｘ)<ｇᶄ(０)＝ａ－３ɤ０ꎬ所以ｇ(ｘ)在０ꎬπ２æèçöø÷上单调递减ꎬ故ｇ(ｘ)<ｇ(０)＝０ꎬ满足题意.综上ꎬａ的取值范围是(－ɕꎬ３].点评㊀对ｇ(ｘ)求导后ꎬ化简得到ｇᶄ(ｘ)＝ａ－３－２ｃｏｓ２ｘｃｏｓ４ｘ－２(２ｃｏｓ２ｘ－１)ꎬ其形式有些复杂ꎬ对于计算能力较弱的考生ꎬ很难再对ｇᶄ(ｘ)进行求导ꎬ故考虑换元ꎬ令ｔ＝ｃｏｓ２ｘꎬ使导函数ｇᶄ(ｘ)的形式更简洁.当ａ>３时ꎬ可利用函数零点存在定理可知存在ｘɪ(０ꎬｘ０)时不满足题意.解法３㊀分离参数ꎬ必要性探路.因为∀ｘɪ０ꎬπ２æèçöø÷ꎬｓｉｎｘ<ｘꎬ即ｓｉｎｘｘ<１ꎬ所以ｆ(ｘ)<ｓｉｎ２ｘ⇒ａ<ｓｉｎｘｘ２ｃｏｓｘ＋１ｃｏｓ２ｘæèçöø÷<２ｃｏｓｘ＋１ｃｏｓ３ｘ.由均值不等式ꎬ知２ｃｏｓｘ＋１ｃｏｓ３ｘȡｃｏｓｘ＋ｃｏｓｘ＋１ｃｏｓ２ｘȡ３ｃｏｓ２ｘ １ｃｏｓ２ｘ＝３.当且仅当ｘ＝０时等号成立ꎬ所以必有ａɤ３.下面证明当ａɤ３时ꎬｆ(ｘ)<ｓｉｎ２ｘ恒成立.∀ｘɪ０ꎬπ２æèçöø÷ꎬ有ｆ(ｘ)ɤ３ｘ－ｓｉｎｘｃｏｓ２ｘꎬ所以要证ｆ(ｘ)<ｓｉｎ２ｘꎬ只需证ｐ(ｘ)＝３ｘ－ｓｉｎｘｃｏｓ３ｘ－ｓｉｎ２ｘ<０.而ｐᶄ(ｘ)＝３ｃｏｓ４ｘ＋２ｃｏｓ２ｘ－３ｃｏｓ４ｘ－２ｃｏｓ２ｘ＝－４ｃｏｓ２ｘ－１()２４ｃｏｓ２＋１()ｃｏｓ４ｘ<０ꎬ所以ｐ(ｘ)在０ꎬπ２æèçöø÷单调递减ꎬ故ｐ(ｘ)<ｐ(０)＝０.综上ꎬａ的取值范围是(－ɕꎬ３].点评㊀在恒成立问题中ꎬ求参数的取值范围的常规方法就是分离参数.而分离参数后得到ａ<ｓｉｎｘｘ２ｃｏｓｘ＋１ｃｏｓ２ｘæèçöø÷ꎬ这时ꎬ常规方法就是去求函数ｙ＝ｓｉｎｘｘ２ｃｏｓｘ＋１ｃｏｓ２ｘæèçöø÷的最小值或者值域ꎬ但尝试后发现其导数比较复杂ꎬ很难求出其单调区间和值域ꎬ故考虑用放缩法ꎬ先得到问题成立的必要条件ꎬ然后再证明问题的充分性.８１解法４㊀令ｇ(ｘ)＝３ｘ－２ｓｉｎｘ－ｔａｎｘꎬｘɪ０ꎬπ２æèçöø÷ꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝３ｃｏｓ２ｘ－２ｃｏｓ３ｘ－１ｃｏｓ２ｘ.令ｈ(ｘ)＝－２ｃｏｓ３ｘ＋３ｃｏｓ２ｘ－１ꎬ０<ｘ<π２ꎬ则ｈᶄ(ｘ)＝６ｓｉｎｘｃｏｓｘ(ｃｏｓｘ－１)<０.ｈ(ｘ)在区间０ꎬπ２æèçöø÷单调递减ꎬ所以ｈ(ｘ)<ｈ(０)＝０.从而ｇᶄ(ｘ)<０ꎬｇ(ｘ)在区间０ꎬπ２æèçöø÷单调递减ꎬ故ｇ(ｘ)<ｇ(０)＝０.所以当ｘɪ０ꎬπ２æèçöø÷时ꎬ２ｓｉｎｘ＋ｔａｎｘ>３ｘ.当ａɤ３时ꎬｆ(ｘ)－ｓｉｎ２ｘɤ３ｘ－ｓｉｎｘｃｏｓ３ｘ－ｓｉｎ２ｘ<２ｓｉｎｘ＋ｔａｎｘ－ｓｉｎｘｃｏｓ３ｘ－２ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝ｓｉｎｘ(１－ｃｏｓｘ)２－１ｃｏｓ２ｘ－１ｃｏｓ３ｘæèçöø÷<０.当ａ>３时ꎬ取ｘ０ɪ０ꎬπ２æèçöø÷ꎬ满足ｃｏｓｘ０>１３ａ－２ꎬ又因为当ｘɪ０ꎬπ２æèçöø÷时ꎬｓｉｎｘ<ｘꎬ所以ｆｘ０()－ｓｉｎ２ｘ０＝ａｘ０－ｓｉｎｘ０ｃｏｓ３ｘ０－２ｓｉｎｘ０ｃｏｓｘ０ȡｓｉｎｘ０ａ－１ｃｏｓ３ｘ０－２ｃｏｓｘ０æèçöø÷ȡｓｉｎｘ０ａ－２－１ｃｏｓ３ｘ０æèçöø÷>０.㊀综上ꎬａ的取值范围是(－ɕꎬ３].点评㊀由解法４可知ꎬ本题的背景是不等式２ｓｉｎｘ＋ｔａｎｘ>３ｘ.利用这个不等式ꎬ通过放缩ꎬ可大大简化解题过程.类似地ꎬ我们还可以将不等式推广得到２ｔａｎｘ＋３ｓｉｎｘ>５ｘ.于是ꎬ可编拟得到如下的改编题:已知函数ｆ(ｘ)＝ａｘ－３ｓｉｎｘｃｏｓ２ｘꎬｘɪ０ꎬπ２æèçöø÷.(１)求证:２ｔａｎｘ＋３ｓｉｎｘ>５ｘꎻ(２)若ｆ(ｘ)<ｓｉｎ２ｘꎬ求ａ的取值范围.解㊀(１)略.(２)由(１)知ꎬ５ｘ<２ｔａｎｘ＋３ｓｉｎｘꎬ所以当ａɤ５时ꎬ有ｆ(ｘ)－ｓｉｎ２ｘɤ５ｘ－３ｓｉｎｘｃｏｓ２ｘ－ｓｉｎ２ｘ<２ｔａｎｘ＋３ｓｉｎｘ－３ｓｉｎｘｃｏｓ２ｘ－ｓｉｎ２ｘ＝ｓｉｎｘｃｏｓ２ｘ(３＋２ｃｏｓｘ＋３ｃｏｓ２ｘ－２ｃｏｓ３ｘ)＝ｓｉｎｘｃｏｓ２ｘｃｏｓ２ｘ－１()３－２ｃｏｓｘ()<０.当ａ>５时ꎬ取ｘ０ɪ０ꎬπ２æèçöø÷ꎬ满足ｃｏｓｘ０>３ａ－２.又因为当ｘɪ０ꎬπ２æèçöø÷时ꎬｓｉｎｘ<ｘꎬ所以ｆ(ｘ０)－ｓｉｎ２ｘ０＝ａｘ０－３ｓｉｎｘ０ｃｏｓ２ｘ０－２ｓｉｎｘ０ｃｏｓｘ０>ｓｉｎｘ０ａ－３ｃｏｓ２ｘ０－２ｃｏｓｘ０æèçöø÷>ｓｉｎｘ０ａ－２－３ｃｏｓ２ｘ０æèçöø÷>０.综上ꎬａ的取值范围是(－ɕꎬ５].试题以三角函数㊁多项式函数为背景ꎬ构造了所要研究的函数.通过对函数性质的研究ꎬ试题全面考查了导数及其应用ꎬ这也是中学教学的重点与难点.试题的第(１)问面向全体考生ꎬ体现试题的基础性.利用导数就能得到函数的单调性ꎬ考查考生通过导数解决实际问题的能力㊁计算与转化的能力ꎬ体现函数与方程的数学思想在中学教学的应用.试题的第(２)问体现了试题的选拔性.通过构造函数ꎬ考查了化归与转化的能力㊁分类讨论的能力㊁逻辑推理能力㊁数学运算能力ꎬ具有较好的选拔功能[２].参考文献:[１]教育部考试中心.深入考查基础知识和能力ꎬ助力人才选拔和 双减 落地:２０２３年高考数学全国卷试题评析[Ｊ].中国考试ꎬ２０２３(０７):１５－２１.[２]刘海涛ꎬ万胜.探析高考真题ꎬ明晰备考方向:对２０２３年全国乙卷数学试题的评析[Ｊ].高中数理化ꎬ２０２３(１３):７－１０.[责任编辑:李㊀璟]９１。

2023年上海高考数学真题及参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1.不等式12<-x 的解集为.2.已知()3,2-=a ，()2,1=b ，求=⋅b a .3.已知{}n a 为等比数列，且31=a ，2=q ，求=6S .4.已知3tan =α，求=α2tan .5.已知()⎩⎨⎧≤>=0,10,2x x x f x ，则()x f 的值域是.6.已知当i z +=1，则=⋅-z i 1.7.已知0422=--+m y y x 的面积为π，求=m .8.在ABC ∆中，6,5,4===c b a ，求=A sin .9.国内生产总值（GDP ）是衡量地区经济状况的最佳指标，根据统计数据显示，某市在2020年间经济高质量增长，GDP 稳步增长，第一季度和第四季度的GDP 分别为231和242，且四个季度GDP 的中位数与平均数相等，则2020年GDP 总额为.10.已知()()1001002210100100202320231x a x a x a a x x ++++=-++ ，其中R a a a ∈10021, ，若1000≤≤k 且N k ∈，当0<k a 时，k 的最大值时.11.公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终点距离水平水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为()θcos 025.1-，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则=θ.12.空间内存在三点C B A 、、，满足1===BC AC AB ，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与C B A 、、可以组成正四棱锥，求方案数为.二、选择题（本题共4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.已知{}{}32,21，，==Q P ，若{}Q x P x x M ∉∈=且，则=M （）A .{}1B .{}2C .{}21，D .{}321，，14.根据身高和体重散点图，下列说法正确的是（）A .身高越高，体重越重B .身高越高，体重越轻C .身高与体重成正相关D .身高与体重成负相关15.设0>a ，函数x y sin =在区间[]a a 2,上的最小值为s ，在[]a a 3,2上的最小值为t ，当a 变化时，下列不可能的是（）A .0>s 且0>tB .0>s 且0<tC .0<s 且0<t D .0<s 且0>t 16.在平面上，若曲线Γ具有下列性质：存在点M ，使得对于任意点Γ∈P ，都有Γ∈Q 使得1=⋅QM PM .则称曲线Γ为“自相关曲线”.现有如下两个命题：（1）任意椭圆都是“自相关曲线”.（2）存在双曲线是“自相关曲线”.则下列正确的是（）A .（1）成立，（2）成立B .（1）成立，（2）不成立C .（1）不成立，（2）成立D .（1）不成立，（2）不成立三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.直四棱柱1111D C B A ABCD -，CD AB ∥，AD AB ⊥，2=AB ，3=AD ，4=DC .（1）求证：111D DCC B A 面⊥（2）若四棱柱1111D C B A ABCD -体积为36，求二面角A BD A --1的大小.18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.函数()()()R c a ax cx a x x f ∈++++=,132.（1）当0=a 时，是否存在实数c ，使得()x f 为奇函数（2）函数()x f 的图象过点()3,1，且()x f 的图象与x 轴负半轴有两个不同交点，求实数c 的值及实数a 的取值范围.19.（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分2分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.21世纪汽车博览会在上海2023年6月7日在上海举行，下表为某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：（1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A 为小明取到的模型为红色外观，事件B 取到模型有棕色内饰.求：()B P 、()A B P /，并据此判断事件A 和事件B 是否独立（2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观内饰都异色、以及外观或内饰同色；假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；假设3：奖金额为一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元；请你分析奖项对应的结果，设X 为奖金额，写出X 的分布列并求出X 的数学期望.红色外观蓝色外观棕色内饰128米色内饰2320.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知抛物线x y 42=Γ：，A 为第一象限内Γ上的一点，设A 的纵坐为a （0>a ）.（1）若A 到Γ的准线距离为3，求a 的值；（2）若4=a ，B 为x 轴上的一点，且线段AB 的中点在Γ上，求点B 坐标和坐标原点O到AB 的距离；（3）直线3-=x l ：，P 是第一象限Γ上异于A 的动点，直线P A 交l 于Q ，点H 为点P 在l 上的投影，若点A 满足性质“当点P 变化时，4>HQ 恒成立”，求a 的取值范围.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知函数()x x f ln =，过函数上的点()()11,a f a 作()x f y =的切线交y 轴于()20a ，，02>a ，过函数上的点()()22,a f a 作()x f y =的切线交y 轴于()30a ，，以此类推，直至0≤m a 时则停止操作，得到数列{}n a ，*∈N n m ,，m n ≤<1.（1）证明：1ln 1-=+n n a a ；（2）试比较1+n a 与2-n a 的大小；（3）若正整数3≥k ，是否存在k 使得k a a a ,,21依次成等差数列？若存在，求出k 的所有取值；若不存在，试说明理由.参考答案一、填空题1.()3,1；解析：3112112<<-⇒<-<-⇒<-x x x2.4；解析：已知42312=⨯+⨯-=⋅b a 3.189；解析：18996482412636=+++++=S 4.43-；解析：43916tan 1tan 22tan 2-=-=-=ααα5.[)∞+，1；解析：当0>x 时，12>=xy ，当0≤x 时，1=y ，故值域为[)∞+，16.5；解析：()i i i z i -=+⨯-=⋅-2111，521=-=⋅-i z i 7.3-；解析：()4222+=-+m y x ，由题意14=+m ，解得3-=m 8.47；解析：436521636252cos 222=⨯⨯-+=-+=bc a c b A ，∴47sin =A 9.946；解析：d c b a <<<，232=a ，241=d ，473=+=+c b d a ，∴946=+++d c b a 10.49；解析：()0202312023100100100<-+=-kkkkkk C C a ，依题意k 为奇数，∴kk -<10020232023，k k -<100，解得50<k ，∴49max =k 11.4140arccos；解析：所消耗的总体力()θθθθsin cos 41.4sin cos 025.14-=-=y ，()0sin cos 1.44sin cos cos 41.4sin 4222=-=--='θθθθθθy ，解得4140cos =θ，∴4140arccos=θ12.9；解析：以A 为尖，若ABC 为正四棱锥的侧面，有两种情况，若ABC 为正四棱锥的对角面，有一种情况，共三种情况；同理，以C B ,为尖，也各有三种情况，∴共9种二、选择题15.解析：1=a 时，A 可能；5.1=a 时，B 可能；2=a 时，C 可能；D 选项，若0<S ，则π>a 2，若0>t ，则[]a a 3,2的区间长度π<a ，同时02sin >a 且03sin >a ，所以()π,02∈a 且()π,03∈a ，与前面的π>a 2矛盾，故D 不可能.16.解析：（1）∵椭圆是封闭的，∴总可以找到满足题意的M 点；（2）∵点P 的任意性，∴+∞→maxPM，∵minQM是固定的，∴无法对任意的Γ∈P ，都存在Γ∈Q 使得1=⋅QM PM .三、解答题17.解：（1）取CD 中点E ，连接E D 1，E D B A 11∥，∴111D DCC B A 平面∥；（2）由题意可得，底面积为9，∴1341==BD AA ，，A 到BD 的距离1361332=⨯=d ，3132tan 1==d AA θ，∴3132arctan =θ,即二面角C BD A --1的大小为3132arctan.18.解：（1）当0=a 时，()12++=++=x cx x c x x x f ，∵x c x y +=为奇函数，∴()1++=xcx x f 不为奇函数，故不存在实数c ，使得()x f 为奇函数（2）()31231=+++=aca f ，∴1=c ，则()()01132=++++=ax x a x x f 即()01132=+++x a x ，∴()04132>-+=∆a 且两根之和()013<+-a ，∴31>a ，若0=+a x 即a x -=是方程()01132=+++x a x 的解，得21=a 或1-=a ，故实数a 的取值范围为31>a 且21≠a .13141516ACDB19.解：（1）()512532=+=B P ，()()()51282=+=⋂=A P B A P A B P ，()522528=+=A P ，()()()B P A P B A P ⋅==⋂252，∴事件A 和事件B 独立.（2）外观和内饰均为同色的概率15049225232221228=+++C C C C C ，外观和内饰都异色的概率25415024225121121318==+C C C C C ,仅外观或仅内饰同色的概率15077225131211218131121218=+++C C C C C C C C C .∴X 的分布列为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1507715049254150300600，期望为2711507715015049300254600=⨯+⨯+⨯（元）20.解：（1）准线为1-=x ，∴2=A x ，∴22==A y a ；（2）()4,4A ，设()0,b B ，线段AB 的中点为⎪⎭⎫⎝⎛+2,24b ，∴()b +=424，解得2-=b ，即()0,2-B ，∴直线AB 为0432=+-y x ，原点O 到AB 的距离13134134==d .（3）设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛p p P ,42，∵⎪⎪⎭⎫⎝⎛a a A ,42，∴直线()04=++-ap y p a x AP ：∴()p H p a ap Q ,3,123-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--，，∴412122>++=-+-=p a p p p a ap HQ ，即()()2422->-a p 对()()+∞⋃∈,,0a a p 恒成立，当2=a 时，2≠p ，()()2422->-a p 成立；当02<-a 即2<a 时，()()2422->-a p 此时20<<a ∴a 的取值范围是(]2,0.21.解：（1）()xx f 1='，在()()n n a f a ,处的切线方程为，当0=x 时，1ln -=n a y ，即1ln 1-=+n n a a ；()n nn a x a a y -=-1ln （2）作差法：()1ln 21+-=--+n n n n a a a a ，设()1ln +-=x x x g ，则()11-='xx g 令()011=-='xx g ，解得1=x ；()100<<⇒>'x x g ；()10>⇒<'x x g ，∴()()01max ==g x g ，∴()0≤x g ，即21-≤+n n a a 当1=n a 时等号成立；（3）公差1ln 111--=-=---k k k k a a a a d ，设()1ln --=x x x h ，则()11-='xx h 令()011=-='xx h ，解得1=x ；()100<<⇒>'x x h ，此时()x h 单调递增；()10>⇒<'x x h ，此时()x h 单调递减，∴()()21max -==h x h ，即()2-≤x h ，∴2-≤d ，数列递减，∵0→x 时，()-∞→x h ，+∞→x 时，()-∞→x h ，∴1ln 11--=--k k a a d 最多两解，此时2-<d ，即最多三项成等差数列，3=k .。

绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷∙理科)数学注意事项:1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设z =2+i1+i 2+i5，则z =()A.1-2iB.1+2iC.2-iD.2+i2.设集合U =R ，集合M ={x x <1 }，N ={x -1<x <2 }，则{x x ≥2 } =()A.C U (M ∪N )B.N ∪C U MC.C U (M ⋂N )D.M ∪C U N3.3、如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为()A.24B.26C.28D.304.已知f (x )=xe x e ax -1是偶函数，则a =()A.-2B.-1C.1D.25.设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域{(x ,y )1≤x 2+y 2≤4 }内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为()A.18B.16C.14D.126.已知函数f (x )=sin (ωx +φ)在区间(π6,2π3)单调递增，直线x =π6和x =2π3为函数y =f (x )的图像的两条对称轴，则f (-5π12)=()A.-32B.-12C.12D.327.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有()A.30种B.60种C.120种D.240种8.已知圆锥PO 的底面半径为3，O 为底面圆心，PA ，PB 为圆锥的母线，∠AOB =120∘，若△PAB的面积等于934，则该圆锥的体积为()A.πB.6πC.3πD.36π9.已知△ABC 为等腰三角形，AB 为斜边，△ABD 为等边三角形，若二面角C -AB -D 为150° ,则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为()A.15B.225C.35D.2510.已知等差数列{a n }的公差为2π3，集合S =cosa n n ∈ N * ，若S ={a b }，则ab =()A.-1B.-12C.D.1211.设A ，B 为双曲线x 2-y 29=1上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是()A.(-1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(-1，-4)12.已知⊙O 的半径为1，直线PA 与⊙O 相切于点A ，直线PB 与⊙O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若|PO |=2，则PA ∙PD的最大值为()A.1+22B.1+222C.1+2D.2+2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

解法要点：1．指对同构与换元；2．复合函数的零点；3．极值点偏移．【2022年全国甲卷理T21/21】已知函数()ln xe x xf x x a -+-=． （1）若()0f x ≥，求a 的取值范围；（2）证明：若()f x 有两个零点12,x x ，则121x x <．【答案】（1）(,e 1]-∞+．解法一：（1）设ln 1t x x =-≥，则ln e e e xx x t x-==，()0e 0e t t f x t a a t ≥⇔+-≥⇔≤+， ∴min (e )e 1t a t ≤+=+，a 的取值范围为(,e 1]-∞+．（2）()0e 0e t tf x t a a t =⇔+-=⇔=+，e t a t =+有唯一解t ，1122ln ln x x x x t -=-=，（一）（极值点偏移）设11()(ln )(ln )g x x x x x =---．（二）21211ln ln x x x x -=-． 解法二：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，2111()e 1x f x x x x ⎛⎫'=--+ ⎪⎝⎭1111e 1e 11x x x x x x x x ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令()0f x =，得1x =，当(0,1),()0,()x f x f x '∈<单调递减；当(1,),()0,()x f x f x >'∈+∞单调递增()(1)e 1f x f a ≥=+-，若()0f x ≥,则e 10a +-≥，即1a e ≤+，所以a 的取值范围为(,1]e -∞+． （2）由（1）知，()f x 一个零点小于1，一个零点大于1，不妨设121x x ， 要证121x x <，即证121x x <， 因为121,(0,1)x x ∈，即证()121f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 因为()()12f x f x =，即证()221f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 即证1e 1ln e ln 0,(1,)x x x x x x x x x-+--->∈+∞， 即证1e 11e 2ln 02x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫----> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 下面证明1x >时，1e 11e 0,ln 02x x x x x x x ⎛⎫->--< ⎪⎝⎭． 设11(),e e xx g x x xx =->， 则11122111111()e e e 1e e 1x x x x x g x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=--+⋅-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111e 1e 1e e x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设()()()22e 1111,e e 0x x x x x x x x x x x ϕϕ-⎛⎫=>=-=⎪⎭'> ⎝， 所以()()1e x ϕϕ>=，而1e e x <， 所以1e e 0xx x->，所以()0g x '>，所以()g x 在(1,)+∞单调递增， 即()(1)0g x g >=，所以1e e 0xx x x ->，令11()ln ,12h x x x x x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭， 则2222211121(1)()10222x x x h x x x x x ----⎛⎫'=-+==< ⎪⎝⎭，所以()h x 在(1,)+∞单调递减， 所以()(1)0h x h <=，所以11ln 02x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭， 综上所述，1e 11e 2ln 02x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫----> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以121x x <．。

２０２０年新高考全国Ⅰ卷(山东卷)数学第２１题解法研究同构放缩携起手导数不等式难题不再有高振宁(山东省新泰市第一中学㊀２７１２００)摘㊀要:本文通过对２０２０年高考数学山东卷第２１题解法的探研ꎬ从命题人的角度来反思问题解决的方法ꎬ发现放缩法㊁隐零点法㊁同构法放缩法㊁分而治之法之间的联系与区别ꎬ得出导数解决高考数学中函数与导数压轴题的基本途径ꎬ旨在高中导数与函数复习中提高实效.关键词:导数与单调性ꎻ同构与放缩ꎻ分而治之ꎻ隐零点中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)２８－００２６－０２收稿日期:２０２０－０７－０５作者简介:高振宁(１９８３.４－)ꎬ男ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀原题再现㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ａｅｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａ.(１)当ａ＝ｅ时ꎬ求曲线ｙ＝ｆ(ｘ)在点(１ꎬｆ(１))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积ꎻ(２)若ｆ(ｘ)ȡ１ꎬ求ａ的取值范围.解㊀(１)略.(２)方法一(隐零点法):由ｆ(ｘ)＝ａｅｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａꎬ则ｆᶄ(ｘ)＝ａｅｘ－１－１ｘꎬ显然ａ>０.设ｇ(ｘ)＝ｆᶄ(ｘ)ꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝ａｅｘ－１＋１ｘ２>０ꎬ所以ｇ(ｘ)在０ꎬ＋¥()上单调递增ꎬ即ｆᶄ(ｘ)在０ꎬ＋¥()上单调递增.当ａ＝１时ꎬｆᶄ(１)＝０ꎬ当ｘɪ(０ꎬ１)ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬｆ(ｘ)在０ꎬ１()上是减函数ꎻｘɪ(１ꎬ＋¥)时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬｆ(ｘ)在(１ꎬ＋¥)上是增函数.ʑｆ(ｘ)ｍｉｎ＝ｆ(１)＝１ꎬ故ｆｘ()ȡ１恒成立.当ａ>１时ꎬ１ａ<１ꎬ所以ｅ－１<１ꎬｆᶄ(１ａ)ｆᶄ(１)＝ａ(ｅ－１－１)(ａ－１)<０ꎬ故存在唯一ｘ０>０ꎬ使得ｆᶄ(ｘ０)＝ａｅｘ－１－１ｘ０＝０ꎬ且当ｘɪ(０ꎬｘ０)时ｆᶄ(ｘ)<０ꎬ当ｘɪ(ｘ０ꎬ＋¥)时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬ所以ａｅｘ－１＝１ｘ０ꎬ即ｌｎａ＋ｘ０－１＝－ｌｎｘ０.因此ｆ(ｘ)ｍｉｎ＝ｆ(ｘ０)＝ａｅｘ－１－ｌｎｘ０＋ｌｎａ＝１ｘ０＋ｌｎａ＋ｘ０－１＋ｌｎａȡ２ｌｎａ－１＋２１ｘ０ｘ０＝２ｌｎａ＋１>１ꎬ所以ｆ(ｘ)ȡ１恒成立.当０<ａ<１时ꎬｆ(１)＝ａ＋ｌｎａ<ａ<１ꎬʑｆ(１)<１ꎬｆ(ｘ)ȡ１不恒成立.综上所述ꎬ实数ａ的取值范围是[１ꎬ＋ɕ).方法二(放缩法):当０<ａ<１时ꎬｆ(１)＝ａ＋ｌｎａ<１.当ａ＝１时ꎬｆ(ｘ)＝ｅｘ－１－ｌｎｘꎬｆᶄ(ｘ)＝ｅｘ－１－１ｘꎬ显然ｆᶄ(ｘ)在(０ꎬ＋¥)上是增函数.当ｘɪ(０ꎬ１)时ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬｆ(ｘ)在(０ꎬ１)上是减函数ꎻｘɪ(１ꎬ＋¥)时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬｆ(ｘ)在(１ꎬ＋¥)上是增函数.所以ｆ(ｘ)最小值＝ｆ(１)＝１ꎬ从而ｆ(ｘ)ȡ１恒成立ꎬ当ａ>１时ꎬｆ(ｘ)＝ａｅｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａȡｅｘ－１－ｌｎｘꎬ由ａ＝１的结论可知ｆ(ｘ)＝ｅｘ－１－ｌｎｘȡ１恒成立.综上可知:ａ的取值范围是１ꎬ＋¥[).方法三(同构函数ｙ＝ｅｘ＋ｘ):显然ａ>０ꎬａ＝ｅｌｎａꎬ则ｆ(ｘ)＝ａｅｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａ＝ｅｌｎａ＋ｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａȡ１ꎬ等价于ｅｌｎａ＋ｘ－１＋ｌｎａ＋ｘ－１ȡｌｎｘ＋ｘ＝ｅｌｎｘ＋ｌｎｘ.令ｇｘ()＝ｅｘ＋ｘꎬ上述不等式等价于ｇ(ｌｎａ＋ｘ－１)ȡｇ(ｌｎｘ).显然ｇ(ｘ)为Ｒ上的单调增函数ꎬ故ｌｎａ＋ｘ－１ȡｌｎｘꎬ即ｌｎａȡｌｎｘ－ｘ＋１.令ｈ(ｘ)＝ｌｎｘ－ｘ＋１ꎬ则ｈᶄ(ｘ)＝１ｘ－１＝１－ｘｘꎬ在(０ꎬ１)上ｈᶄ(ｘ)>０ꎬｈ(ｘ)是增函数ꎻ在(１ꎬ＋¥)上ｈᶄ(ｘ)<０ꎬｈ(ｘ)是减函数.ʑｈ(ｘ)ｍａｘ＝ｈ(１)＝０ꎬ则ｌｎａȡ０ꎬ即ａȡ１ꎬ即ａ的取值范围是[１ꎬ＋ɕ).方法四(同构函数ｙ＝ｘｅｘ):因ｆ(１)＝ａ＋ｌｎａȡ１ꎬ设ｇ(ａ)＝ａ＋ｌｎａꎬ显然ｙ＝ｇ(ａ)在区间０ꎬ＋¥()上是增函数ꎬｇ(ａ)ȡｇ(１)＝１ꎬ故ａȡ１.ｆ(ｘ)＝ａｅｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａȡ１ꎬ得ａｅｘ－１ȡｌｎｅｘａ⇔ｅｘȡｅａｌｎｅｘａ⇔ｘｅｘȡｅｘａｌｎｅｘａ.显然ｘ>０ꎬｅｘａ＝ｅｌｎ(ｅ/ａ)ꎬ则原不等６２式等价于ｘｅｘȡｌｎｅｘａｅｌｎ(ｅ/ａ).设ｇ(ｘ)＝ｘｅｘꎬ显然ｇ(ｘ)在０ꎬ＋¥()上是增函数ꎬ则上述不等式等价于ｇ(ｘ)ȡｇ(ｌｎｅｘａ).当ｌｎｅｘａ<０时ｇ(ｘ)>０ꎬｇ(ｌｎｅｘａ)<０ꎬ显然ｇ(ｘ)ȡｇ(ｌｎｅｘａ)成立ꎻ当ｌｎｅｘａ>０时ꎬ原不等式等价于ｘȡｌｎｅｘａꎬ由于ｅｘȡ１＋ｘꎬ且ａȡ１则可得ｅｘ－１ȡｘȡｘａꎬ故ａ的取值范围是１ꎬ＋¥[).方法五(同构函数ｙ＝ｘｌｎｘ):同方法四可得ｘｅｘȡｅｘａｌｎｅｘａꎬ即ｅｘｌｎｅｘȡｅｘａｌｎｅｘａ.设ｇ(ｘ)＝ｘｌｎｘꎬ则上述不等式等价于ｇ(ｅｘ)ȡｇ(ｅｘａ).ｇᶄ(ｘ)＝ｌｎｘ＋１ꎬｇ(ｘ)在０ꎬ１ｅæèçöø÷上是减函数ꎬ在(１ｅꎬ＋¥)上是增函数.当ｅｘａ<１时ꎬｇ(ｅｘ)>０ꎬ而ｇ(ｅｘａ)<０ꎬ显然有ｇ(ｅｘ)ȡｇ(ｅｘａ)成立ꎻ当ｅｘａȡ１>１ｅ时ꎬ不等式ｇ(ｅｘ)ȡｇ(ｅｘａ)⇔ｅｘȡｅｘａ⇔ｅｘ－１ȡｘａ.以下同方法四.方法六(分而治之法):ｆ(ｘ)＝ａｅｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａȡ１⇔ａｅｘ－１ȡｌｎｅｘａ⇔ａｅｘｅȡｌｎｅｘａ⇔ａｅˑｅｘｘȡｌｎｅｘａｅｘａˑｅａ.ａｅˑ(ｅｘｘ)ｍｉｎȡ(ｌｎｅｘａｅｘａ)ｍａｘˑｅａ.设ｇ(ｘ)＝ｅｘｘꎬｘ>０ꎬｇᶄ(ｘ)＝(ｘ－１)ｅｘｘ２ꎬ易知ｇ(ｘ)＝ｅｘｘ在０ꎬ１()上是减函数ꎬ在１ꎬ＋¥()上是增函数ꎬ故ｇ(ｘ)ｍｉｎ＝ｇ(１)＝ｅ.设ｈ(ｘ)＝ｌｎｘｘ(ｘ>０)ꎬｈᶄ(ｘ)＝１－ｌｎｘｘ２ꎬ易知ｈ(ｘ)＝ｌｎｘｘ在(０ꎬｅ)上是增函数ꎬ在(ｅꎬ＋¥)上是减函数ꎬ故ｈ(ｘ)ｍａｘ＝ｈ(ｅ)＝１ｅꎬ则知(ｌｎｅｘａｅｘａ)ｍａｘ＝１ｅꎬ则ａȡ１ａꎬ故ａ的取值范围是１ꎬ＋¥[).从解决问题方法的角度看ꎬ隐零点法是解决问题的一般性通法ꎬ但是此种方法需要强大的计算能力作为基础ꎬ特别是在利用ａｅｘ－１＝１ｘ０进行代换得到ｌｎａ＋ｘ０－１＝－ｌｎｘ０的这种思路ꎬ应该作为一种基本的解决导数不等式压轴题的基本思路进行培养.放缩法是山东省教育招生考试院给出的官方答案ꎬ此种办法的优点是ꎬ计算量不是大ꎬ借助分类讨论思想ꎬ利用特殊点明确参数的范围进而证明此范围符合题意ꎬ但是在实际的教学中ꎬ新教材已经把分析法和综合法等不等式证明方法删除ꎬ学生证明不等式能力较弱的情况下掌握放缩法不易ꎬ这就需要教师在教学中渗透不等式的证明方法.为了突破这个教学难点ꎬ笔者认为可以利用具体的证明方法ꎬ而不用过多的纠缠这种方法的具体含义和要求ꎬ比方说把 执果索因 给学生讲解成 把结论等价变形成能解决问题的形式 ꎬ在教学的实践中怎么充实这一点ꎬ还需要不断的在实际中摸索与探究.方法三㊁四㊁五可以归结成同构法ꎬ同构法的本质是构造目标函数ꎬ借助目标函数单调性把复杂函数简单化递减ꎬ比方说若Ｆ(ｘ)ȡ０能等价变形为Ｆ(ｆ(ｘ))ȡＦ(ｇ(ｘ))ꎬ若Ｆ(ｘ)递增ꎬ则问题转化为ｆ(ｘ)ȡｇ(ｘ)ꎬ若Ｆ(ｘ)递减ꎬ则问题转化为ｆ(ｘ)ɤｇ(ｘ).此类方法的关键是构造目标函数ꎬ高考压轴题中的构造常见形式可分为两类:(１)ａｅａɤｂｌｎｂ可以同构ａｅａɤｌｎｂｅｌｎｂꎬ借助函数ｆ(ｘ)＝ｘｅｘ解决ꎬ也可以同构ｅａｌｎｅａɤｂｌｎｂꎬ借助ｆ(ｘ)＝ｘｌｎｘ解决ꎬ更可以同构为ｌｎａ＋ａɤｌｎｂ＋ｌｎ(ｌｎｂ)ꎬ借助ｆ(ｘ)＝ｘ＋ｌｎｘ解决.(２)ｅａａɤｂｌｎｂ可以同构ｅａａɤｅｌｎｂｌｎｂꎬ借助函数ｆ(ｘ)＝ｅｘｘ解决ꎬ也可以同构为ｅａｌｎｅａɤｂｌｎｂꎬ借助函数ｆ(ｘ)＝ｘｌｎｘ解决ꎬ更可以同构ａ－ｌｎａɤｌｎｂ－ｌｎ(ｌｎｂ)ꎬ借助函数ｆ(ｘ)＝ｘ－ｌｎｘ解决.当然ꎬ用同构法解题ꎬ除了要有同构法的思想意识外ꎬ对观察能力㊁对代数式的变形能力的要求也是比较高的.但是笔者认为ꎬ利用同构法可以最接近命题者的原始创作方向ꎬ此题目设计思路的开始点应该是ｅｘȡｅｘａ.正所谓ꎬ同构新天地ꎬ放缩大舞台!方法六属于解决问题的巧妙方法ꎬ不属于通性解法ꎬ一般情况下ｆ(ｘ)ȡｇ(ｘ)不等价于ｆ(ｘ)ｍｉｎȡｇ(ｘ)ｍａｘꎬ但是对于极个别的问题ꎬ利用上分而治之的方法ꎬ会极大地降低运算程度ꎬ但是构造不等式两侧的目标函数有一定的技巧性ꎬ学生不易掌握.㊀㊀参考文献:[１]陈永清.轻松快捷巧记高中数学知识与解题方法[Ｍ].长沙:湖南师范大学出版社ꎬ２０２０:４２－４７.[责任编辑:李㊀璟]７２。

2023年高考数学真题完全解读（全国甲卷文科）适用省份四川、广西、贵州、西藏2023年高考数学全国卷全面考查了数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等学科核心素养，体现基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，突出理性思维，发挥出数学学科在人才选拔中的重要作用。

一、题型与分值分布题型：（1）单选题12道，每题5分共60分；（2）填空题4道，每题5分共20分；（3）解答题5道，每题12分共60分；（4）选做题2道，每题10分。

二、题目难度和复杂度知识点题型题目数量总分值整体评价集合单选题1个15分复数单选题1个15分平面向量单选题1个15分程序框图单选题1个15分数列单选题1个填空题1个210分三角函数单选题1个解答题1个217分概率与统计单选题1个解答题1个217分立体几何单选题1个填空题1个解答题1个322分圆锥曲线单选题2个解答题1个322分函数与导数单选题2个填空题1个解答题1个427分极坐标与参数方程选做题1个110分不等式填空题1个（线性规划问题）选做题1个215分主干知识考查全面，题目数量设置均衡；与课程标准保持了一致性。

四、高考试卷命题探究2023年高考数学全国卷在命制情境化试题过程中，通过对阅读题的分析，可以发现今年的高考命题在素材使用方面，对文字数量加以控制，阅读理解难度也有所降低；在抽象数学问题方面，力图设置合理的思维强度和抽象程度；在解决问题方面，通过设置合适的运算过程和运算量，力求使情境化试题达到试题要求层次与考生认知水平的契合与贴切。

一是创设现实生活情境。

数学试题情境取材于学生生活中的真实问题，贴近学生实际，具有现实意义，具备研究价值。

如第4题，取材于学校文艺活动，贴近考生，贴近生活，意在引导学生积极参加文艺活动，全面发展。

二是设置科学研究情境。

科学研究情境的设置不仅考查数学的必备知识和关键能力，而且引导考生树立理想信念，热爱科学，为我国社会主义事业的建设作出贡献。

2023年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合M ={x ∣x +2≥0},N ={x ∣x -1<0}，则M ∩N =()A.{x ∣-2≤x <1}B.{x ∣-2<x ≤1}C.{x ∣x ≥-2}D.{x ∣x <1}2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(-1,3)，则z 的共轭复数z=()A.1+3iB.1-3iC.-1+3iD.-1-3i3.已知向量a ，b 满足a +b =(2,3),a -b =(-2,1)，则|a |2-|b |2=()A.-2B.-1C.0D.14.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是()A.f (x )=-lnx B.f (x )=12xC.f (x )=-1xD.f (x )=3|x -1|5.2x -1x5的展开式中x 的系数为()A.-80B.-40C.40D.806.已知抛物线C :y 2=8x 的焦点为F ，点M 在C 上．若M 到直线x =-3的距离为5，则|MF |=()A.7B.6C.5D.47.在△ABC 中，(a +c )(sinA -sinC )=b (sinA -sinB )，则∠C =()A.π6 B.π3C.2π3D.5π68.若xy ≠0，则“x +y =0”是“y x +xy=-2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若AB =25m ,BC =AD =10m ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD 的夹角的正切值均为145，则该五面体的所有棱长之和为()A.102mB.112mC.117mD.125m10.已知数列a n 满足a n +1=14a n -6 3+6(n =1,2,3,⋯)，则()A.当a 1=3时，a n 为递减数列，且存在常数M ≤0，使得a n >M 恒成立B.当a 1=5时，a n 为递增数列，且存在常数M ≤6，使得a n <M 恒成立C.当a 1=7时，a n 为递减数列，且存在常数M >6，使得a n >M 恒成立D.当a 1=9时，a n 为递增数列，且存在常数M >0，使得a n <M 恒成立二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。