§4 矩阵分块法
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分块矩阵的方法、技巧与应用内容摘要有时候,我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的,就如矩阵是由数组成的一样。
特别在运算中,把这些小矩阵当作数一样处理。
这就是矩阵的分块。
设A 是一个m*n 矩阵111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦用若干横线将它分成s 块,若干竖线将它分成r 块,于是有*r s 的分块矩阵111212121212s s r r rs A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中ij A 表示一个矩阵。
关键词矩阵,分块矩阵,逆矩阵,准对角矩阵1. 导言在理论研究及一些实际问题中,经常遇到阶数很高或结构特殊的矩阵。
对于这些矩阵,在运算时常常采用分块法,使大矩阵的运算化成小矩阵的运算。
分块矩阵可以用来降低较高级数的矩阵级数,使矩阵的结构更清晰明朗,从而使矩阵的相关计算简单化,而且还可以用于证明一些与矩阵有关的问题。
本文将主要介绍分块矩阵的一些初等变换的方法技巧,就分块矩阵的加法与数量乘法、乘法、转置、初等变换等运算性质,以及分块矩阵在矩阵求逆、行列式展开等方面进行一些基本研究。
2.1.分块矩阵的简介矩阵分块为矩阵运算带来便利,最常用的矩阵分块是2*2块A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 其中A 为*m m 矩阵块,D 为*n n 矩阵块。
例:在矩阵21210000010012101101E A A E ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭中,2E 代表2级单位矩阵,而11211A -⎛⎫= ⎪⎝⎭,0000O ⎛⎫= ⎪⎝⎭在矩阵111221221032120124111153B B B B B ⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-⎝⎭中,111012B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,123201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,211011B ⎛⎫= ⎪--⎝⎭ ,224120B ⎛⎫= ⎪⎝⎭.在计算AB 时,把A ,B 都看成事由这些小矩阵组成的,即按2阶矩阵来运算,于是21112111212212211121112220E B B B B AB A E B B A B B A B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中11121121010111211341024021111A B B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11222123241110120304111332053A B B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭把上述计算结果作为小块的元素代入,得到1032120124011153AB ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭通常,矩阵分块可以简化矩阵的运算,实现运算的优化。
引言为了研究行数、列数较高的矩阵,常常对矩阵采用分块的方法。
类似于集合的划分,是把矩阵完全地分成一些互不相交的子矩阵,使得原矩阵的每一个元落到一个分快的子矩阵中。
以这些子块为元素的矩阵就称为分块矩阵。
线形代数以其独特的理论体系和解题技巧而引人入胜。
在线性代数中,分块矩阵是一个十分重要的概念,它可以使矩阵的表示简单明了,使矩阵的运算得以简化.而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题.而事实上,利用分块矩阵方法计算行列式,时常会使行列式的计算变得简单,并能收到意想不到的效果.而且利用分快矩阵还可以求出某些矩阵的逆矩阵,证明矩阵的秩等。
第一章 矩阵的分块和分块矩阵的定义设A 是数域K 上的m n ⨯矩阵,B 是K 上n k ⨯矩阵,将A 的行分割r 段,每段分别包含12r m m m 个行,又将A 的列分割为s 段,每段包含12s n n n 个列。
A=111212122212s s r r rs A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭于是A 可用小块矩阵表示如下:,其中ij A 是i j m n ⨯矩阵。
对B 做类似的分割,只是要求它的行的分割法和A 的列的分割法一样。
于是B 可以表示为B= 111212122212s s r r rs B B B B B B B B B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭其中ij B 是i j n k ⨯的矩阵。
这种分割法称为矩阵的分块。
二.分块矩阵加法和乘法运算设()ij m n A a ⨯=()ij m n B b ⨯=为同型矩阵(行和列数分别相等)。
若采用相同的分块法。
A=111212122212s s r r rs A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B= 111212122212s s r r rs B B B B B B B B B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭则可以直接相加 乘法:设,则C 有如下分块形式:C=111212122212s s r r rs C C C C C C C C C ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ,其中ij C 是i j m k ⨯矩阵,且 1nij ij ij i C A B ==∑定义 称数域K 上的分块形式的n 阶方阵A=12S A A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为准对角矩阵,其中为阶方阵(),其余位置全是小块零矩阵。