新人教版必修二高中数学1-3-2空间几何体的体积教案

1.3空间几何体的表面积和体积（第三课时）【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图环节一：问题导入问题1：一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则哪一个球充入的气体较多？为什么？问题2：如果用油漆去涂一个足球和一个篮球，且涂的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？为什么？球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆设球的半径为R,截面半径为r,平面α与截面的距离为那么 r = 22lR-因此 S圆 = π2r结合已有知识进行思考，引出新知识新旧知识建立联系环节二：探究过程1.排液法测小球的体积2.类推法3、分割极限法：探究几种方法，找出公式背后的理论依据形成归纳、猜想和证明的科学思维习惯球的表面积球面被分割成n 个网格，表面积分别为：则球的表面积则球的体积为：球的体积和表面积公式.,2,1,)]1([22n i i n RR r i =--=环节二：例题讲解例一：(1)球的体积是323π，则此球的表面积是( )A．12πC．16 3π(2)两个球的体积之比是8∶27，那么这两个球的表面积之比是( )A．2∶3C．2∶ 3例二：某个几何体的三视图如图所示(单位：m)(1)求该几何体的表面积；(2)求该几何体的体积．例3、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。

例4、已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，学生做题总结思考，笔记教师讲解通过做题可以加深学生对基础知识的记忆与利用.教师结合实际情况适当讲解表面积．环节三：课堂演练练习一：1、球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿倍.2、一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为＿＿＿cm3.3、有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比_________.练习二：1、若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___倍.2、若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的___倍.3、若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是______.4、若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是______.5、长方体的共顶点的三个侧面积分别为，则它的外接球的表面积为_____.6、若两球表面积之差为48π ,它们大圆周长之和为12π ,则两球的直径之差为______.7、将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么这个大铅球的表面积是______.学生自主做题，思考讨论的同时，可以加深本节知识点的记忆，加强应用方面的方法技巧，加深对知识的认识.通过演练直击本节知识点，起到巩固作用.环节四：归纳总结,知识回顾1.球体的表面积和体积公式2.三视图与球体的关系3.球体与其他几何体的切接问题学生整理反思，深化认识环节五：作业与测试作业与测试独立完成作业限时完成测试通过作业与测试巩固知识提升应用能力。

⾼中数学必修2《空间⼏何体的表⾯积与体积》教案 ⾼中数学必修2《空间⼏何体的表⾯积与体积》教案 1教学⺫标 1.知道柱体、锥体、台体侧⾯展开图，弄懂柱体、锥体、台体的表⾯积的求法. 2.能运⽤公式求解柱体、锥体和台体的表⾯积，并知道柱体、锥体和台体表⾯积之间的关系. 2学情分析 通过学习空间⼏何体的结构特征，空间⼏何体的三视图和直观图，了解了空间⼏何体和平⾯图形之间的关系，从中反映出⼀个思想⽅法，即平⾯图形和空间⼏何体的互化，尤其是空间⼏何问题向平⾯问题的转化。

该部分内容中有些是学⽣已经熟悉的，在解决这些问题的过程中，⾸先要对学⽣已有的知识进⾏再认识，提炼出解决问题的⼀般思想——化归的思想，总结出⼀般的求解⽅法，在此基础上通过类⽐获得解决新问题的思路，通过化归解决问题，深化对化归、类⽐等思想⽅法的应⽤。

3重点难点 重点：知道柱体、锥体、台体侧⾯展开图，弄懂柱体、锥体、台体的表⾯积公式。

难点：会求柱体、锥体和台体的表⾯积，并知道柱体、锥体和台体表⾯积之间的关系. 4教学过程 4.1 第⼀学时教学活动活动1【导⼊】第1课时　柱体、锥体、台体的表⾯积 (⼀)、基础⾃测： 1.棱⻓为a的正⽅体表⾯积为__________. 2.⻓、宽、⾼分别为a、b、c的⻓⽅体，其表⾯积为___________________. 3.⻓⽅体、正⽅体的侧⾯展开图为__________. 4.圆柱的侧⾯展开图为__________. 5.圆锥的侧⾯展开图为__________. (⼆).尝试学习 1.柱体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱柱的侧⾯展开图是____________，⼀边是棱柱的侧棱，另⼀边等于棱柱的__________，如图①所⽰;圆柱的侧⾯展开图是_______，其中⼀边是圆柱的⺟线，另⼀边等于圆柱的底⾯周⻓，如图②所⽰. (2)⾯积：柱体的表⾯积S表=S侧+2S底.特别地，圆柱的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆柱的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 2.锥体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱锥的侧⾯展开图是由若干个__________拼成的，则侧⾯积为各个三⾓形⾯积的_____，如图①所⽰;圆锥的侧⾯展开图是_______，扇形的半径是圆锥的______，扇形的弧⻓等于圆锥的__________，如图②所⽰. (2)⾯积：锥体的表⾯积S表=S侧+S底.特别地，圆锥的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆锥的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 3.台体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱台的侧⾯展开图是由若干个__________拼接⽽成的，则侧⾯积为各个梯形⾯积的______，如图①所⽰;圆台的侧⾯展开图是扇环，其侧⾯积可由⼤扇形的⾯积减去⼩扇形的⾯积⽽得到，如图②所⽰. (2)⾯积：台体的表⾯积S表=S侧+S上底+S下底.特别地，圆台的上、下底⾯半径分别为r′，r，⺟线⻓为l，则侧⾯积S侧=____________，表⾯积S表=________________________. (三).互动课堂 例1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a，∠AA1B1=∠AA1C1=60°，∠BB1C1=90°，侧棱⻓为b，则其侧⾯积为( ) A. B.ab C.(+)ab D.ab 例2:(1)若⼀个圆锥的轴截⾯是等边三⾓形，其⾯积为，则这个圆锥的侧⾯积是( )A.2πB.C.6πD.9π (2)已知棱⻓均为5，底⾯为正⽅形的四棱锥S-ABCD，如图，求它的侧⾯积、表⾯积. 例3：⼀个四棱台的上、下底⾯都为正⽅形，且上底⾯的中⼼在下底⾯的投影为下底⾯中⼼(正四棱台)两底⾯边⻓分别为1,2，侧⾯积等于两个底⾯积之和，则这个棱台的⾼为( ) A. B.2 C. D. (四).巩固练习： 1.⼀个棱柱的侧⾯展开图是三个全等的矩形，矩形的⻓和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧⾯积为________. 2.已知⼀个四棱锥底⾯为正⽅形且顶点在底⾯正⽅形射影为底⾯正⽅形的中⼼(正四棱锥)，底⾯正⽅形的边⻓为4 cm，⾼与斜⾼的夹⾓为30°，如图所⽰，求正四棱锥的侧⾯积________和表⾯积________(单位：cm2). 3.如图所⽰，圆台的上、下底半径和⾼的⽐为1：4：4，⺟线⻓为10，则圆台的侧⾯积为( )A.81πB.100πC.14πD.169π (五)、课堂⼩结： 求柱体表⾯积的⽅法 (1)直棱柱的侧⾯积等于它的底⾯周⻓和⾼的乘积;表⾯积等于它的侧⾯积与上、下两个底⾯的⾯积之和. (2)求斜棱柱的侧⾯积⼀般有两种⽅法：⼀是定义法;⼆是公式法.所谓定义法就是利⽤侧⾯积为各侧⾯⾯积之和来求，公式法即直接⽤公式求解. (3)求圆柱的侧⾯积只需利⽤公式即可求解. (4)求棱锥侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (5)求圆锥侧⾯积的⼀般⽅法：公式法：S侧=πrl. (6)求棱台侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (7)求圆台侧⾯积的⼀般⽅法：公式法S侧=2(r+r′)l. 五、当堂检测 1.(2011·北京)某四棱锥的三视图如图所⽰，该四棱锥的表⾯积是( )A.32B.16+16C.48D.16+32 ⺴] 2.(2013·重庆)某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的表⾯积为( )A.180B.200C.220D.240 3.(2013⼲东)若⼀个圆台的正视图如图所⽰，则其侧⾯积等于( )A.6B.6πC.3πD.6π 六、作业：(1)课时闯关(今晚交) 七、课后反思：本节课你会哪些?还存在哪些问题? 1.3　空间⼏何体的表⾯积与体积 课时设计课堂实录 1.3　空间⼏何体的表⾯积与体积 1第⼀学时教学活动活动1【导⼊】第1课时　柱体、锥体、台体的表⾯积 (⼀)、基础⾃测： 1.棱⻓为a的正⽅体表⾯积为__________. 2.⻓、宽、⾼分别为a、b、c的⻓⽅体，其表⾯积为___________________. 3.⻓⽅体、正⽅体的侧⾯展开图为__________. 4.圆柱的侧⾯展开图为__________. 5.圆锥的侧⾯展开图为__________. (⼆).尝试学习 1.柱体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱柱的侧⾯展开图是____________，⼀边是棱柱的侧棱，另⼀边等于棱柱的__________，如图①所⽰;圆柱的侧⾯展开图是_______，其中⼀边是圆柱的⺟线，另⼀边等于圆柱的底⾯周⻓，如图②所⽰. (2)⾯积：柱体的表⾯积S表=S侧+2S底.特别地，圆柱的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆柱的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 2.锥体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱锥的侧⾯展开图是由若干个__________拼成的，则侧⾯积为各个三⾓形⾯积的_____，如图①所⽰;圆锥的侧⾯展开图是_______，扇形的半径是圆锥的______，扇形的弧⻓等于圆锥的__________，如图②所⽰. (2)⾯积：锥体的表⾯积S表=S侧+S底.特别地，圆锥的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆锥的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 3.台体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱台的侧⾯展开图是由若干个__________拼接⽽成的，则侧⾯积为各个梯形⾯积的______，如图①所⽰;圆台的侧⾯展开图是扇环，其侧⾯积可由⼤扇形的⾯积减去⼩扇形的⾯积⽽得到，如图②所⽰. (2)⾯积：台体的表⾯积S表=S侧+S上底+S下底.特别地，圆台的上、下底⾯半径分别为r′，r，⺟线⻓为l，则侧⾯积S侧=____________，表⾯积S表=________________________. (三).互动课堂 例1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a，∠AA1B1=∠AA1C1=60°，∠BB1C1=90°，侧棱⻓为b，则其侧⾯积为( ) A. B.ab C.(+)ab D.ab 例2:(1)若⼀个圆锥的轴截⾯是等边三⾓形，其⾯积为，则这个圆锥的侧⾯积是( )A.2πB.C.6πD.9π (2)已知棱⻓均为5，底⾯为正⽅形的四棱锥S-ABCD，如图，求它的侧⾯积、表⾯积. 例3：⼀个四棱台的上、下底⾯都为正⽅形，且上底⾯的中⼼在下底⾯的投影为下底⾯中⼼(正四棱台)两底⾯边⻓分别为1,2，侧⾯积等于两个底⾯积之和，则这个棱台的⾼为( ) A. B.2 C. D. (四).巩固练习： 1.⼀个棱柱的侧⾯展开图是三个全等的矩形，矩形的⻓和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧⾯积为________. 2.已知⼀个四棱锥底⾯为正⽅形且顶点在底⾯正⽅形射影为底⾯正⽅形的中⼼(正四棱锥)，底⾯正⽅形的边⻓为4 cm，⾼与斜⾼的夹⾓为30°，如图所⽰，求正四棱锥的侧⾯积________和表⾯积________(单位：cm2). 3.如图所⽰，圆台的上、下底半径和⾼的⽐为1：4：4，⺟线⻓为10，则圆台的侧⾯积为( )A.81πB.100πC.14πD.169π (五)、课堂⼩结： 求柱体表⾯积的⽅法 (1)直棱柱的侧⾯积等于它的底⾯周⻓和⾼的乘积;表⾯积等于它的侧⾯积与上、下两个底⾯的⾯积之和. (2)求斜棱柱的侧⾯积⼀般有两种⽅法：⼀是定义法;⼆是公式法.所谓定义法就是利⽤侧⾯积为各侧⾯⾯积之和来求，公式法即直接⽤公式求解. (3)求圆柱的侧⾯积只需利⽤公式即可求解. (4)求棱锥侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (5)求圆锥侧⾯积的⼀般⽅法：公式法：S侧=πrl. (6)求棱台侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (7)求圆台侧⾯积的⼀般⽅法：公式法S侧=2(r+r′)l. 五、当堂检测 1.(2011·北京)某四棱锥的三视图如图所⽰，该四棱锥的表⾯积是( )A.32B.16+16C.48D.16+32 ⺴] 2.(2013·重庆)某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的表⾯积为( )A.180B.200C.220D.240 3.(2013⼲东)若⼀个圆台的正视图如图所⽰，则其侧⾯积等于( )A.6B.6πC.3πD.6π 六、作业：(1)课时闯关(今晚交) 七、课后反思：本节课你会哪些?还存在哪些问题? ⼩编推荐各科教学设计： 、、、、、、、、、、、、 ⼩编推荐各科教学设计： 、、、、、、、、、、、、。

1.3.2柱体、锥体、台体的表面积与体积（二）一、教学目标 （一）核心素养通过学习，使学生感受几何体体积的求解过程，锻炼自己的空间思维能力，从而增强学习的积极性. （二）学习目标1.掌握柱、锥、台体积的求法.2.让学生通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体三者间体积的关系 （三）学习重点 运用公式解决问题. （四）学习难点理解计算公式之间的关系. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务（1）读一读：阅读教材第25页至第27页.填空： 棱长为a 的正方体的体积计算公式为3a .长、宽、高分别为c b a 、、的长方体的体积的计算公式为abc . 圆柱体积公式:Sh V =.一般柱体的体积:Sh V =.（S 为底面面积，h 为柱体的高）椎体的体积Sh V 31=（S 为底面面积，h 为高）.台体的体积()h S SS S V ++=''31（'S S 、分别为上、下底面面积，h 为台体的高）. 2.预习自测（1）已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为1V 和2V ，则1V :2V =______.【答案】1:3【知识点】柱体、椎体的体积公式【解题过程】设圆柱、圆柱的底面积为S ，高为h ， 则由柱体、锥体的体积公式得：()121313V :V Sh :Sh :,⎛⎫== ⎪⎝⎭故选D.【思路点拨】直接用公式解（2）设直角三角形的两直角边43==AC AB ，，则它绕AB 旋转一周得到的旋转体的体积为____________. 【答案】π16【知识点】锥体体积公式、旋转体【解题过程】根据题意可知，所得的立体图形是一个圆锥：底面半径是4，高为3，圆锥体积=2143163π⨯⨯⨯=π. 【思路点拨】运用锥体体积公式求解.（3）已知棱台的上下底面面积分别为16,4，高为3，则该棱台的体积为___________. 【答案】28【知识点】台体的体积公式【解题过程】台体体积()()1141632833'V S S h =++=⨯+⨯= 【思路点拨】牢记台体体积公式 (二)课堂设计 1.知识回顾已学柱体、椎体、台体表面积计算方法. 2.问题探究探究一柱体、锥体体积计算公式 活动① 结合实例，进行猜想将正方体、长方体的体积公式分别改写为：h S a a a V ⋅=⋅==底正方体23，其中a h =；h S c ab abc V ⋅=⋅==底长方体，其中c h =.据此猜想棱柱的体积公式是什么？h S V ⋅=底棱柱，其中h 表示棱柱的高.类比棱柱，可得圆柱体积: h S V ⋅=底圆柱【设计意图】根据已有知识经验获得一般的结论，培养学生合情推理的意识和习惯.活动②互动交流，得出结论如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？''用几何画板展示动态过程，并进行相应的证明，加深学生对等底、等高的锥体与柱体体积之间的关系的了解，由此可得 锥体的体积计算公式：h S V ⋅=底锥31，其中h 表示棱锥的高.【设计意图】虽然此处还不能进行理论的论证，但是在猜想的基础上可以引导学生进行说理，培养学生的理性思维习惯. 活动③巩固练习，熟记公式例1若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为（ ） A.π1B.π2C.π3D.π4【知识点】圆柱 【数学思想】空间想象【解题过程】底面半径ππ122==r ，πππ2122=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=柱V .【思路点拨】利用公式直接计算. 【答案】B同类训练 若圆锥的表面积是π15，侧面展开图的圆心角是060，则圆锥的体积是( ) A.π715 B.π7315 C.π725D.π7325 【知识点】圆锥 【数学思想】空间想象【解题过程】设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，则l r ππ312=，得r l 6=，ππππ157622==⋅+=r r r r S ，得715=r ，圆锥的高71535⨯=h πππ73257153571531312=⨯⨯⨯==h r V【思路点拨】利用公式直接计算. 【答案】D例2一个几何体的三视图如所示，则该几何体的体积是（ ）A.432+π B.42+π C.4+π D.2+π 【知识点】由三视图求面积、体积. 【数学思想】空间想象【解题过程】解：由三视图可知几何体为半圆柱与长方体的组合体. 半圆柱的底面半径为1，高为2，长方体的棱长分别为1、2、2，所以几何体的体积422121212+=⨯⨯+⨯⨯⨯=ππV .【思路点拨】几何体为半圆柱与长方体的组合体. 【答案】C同类训练 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.π838+B.π8316+C.π1638+D.π16316+ 【知识点】由三视图求简单几何体的体积. 【数学思想】空间想象【解题过程】由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥与半圆柱的组合体，半圆柱的底面半径为2，高为4，故体积为：ππ842212=⨯⋅⨯，三棱锥的底面面积为：44221=⨯⨯，高为2，故体积为：38，故组合体的体积π838+=V ，【思路点拨】由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥与半圆柱的组合体，分别求出体积，相加可得答案. 【答案】A【设计意图】巩固检查学生对柱体、椎体体积公式的掌握. 探究二 台体体积的求法 活动①分组合作，讨论交流类比棱台、圆台侧面积的求法，你能解决求棱台、圆台体积的问题吗？如何求？如图，设圆台的上下底面积分别为'S 和S ，高为h ，试求其体积. 转化为棱锥、圆锥的体积差问题求解.（以圆台为例）：如下图，设x O O ='''，上下底面的半径分别为'r 和r ，圆台的上下底面积分别为'S 和S .SS S S rr h x x '''===+ππ ,''SS S h x -=∴()x S Sx Sh x S x h S V ''31313131-+=-+=台()()''''31313131SS S h S S Sh x S S Sh --+=-+=()()''''313131S SS S h S hS S Sh ++=++=【设计意图】感受圆台体积的计算过程，从而加深台体体积公式的记忆 活动②基础训练，加深印象例3四棱台的上下底面均是正方形，边长分别为cm 3和cm 5，高是cm 6，求此棱台的体积。

§1.3.2 球的体积和表面积一. 教学目标１． 知识与技能⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分 割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。

⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。

⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。

２． 过程与方法通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝34πR 3和面积公式Ｓ＝４πR 2的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想。

３． 情感与价值观通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。

二. 教学重点、难点重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。

难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。

三. 学法和教学用具１． 学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值 的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。

２． 教学用具：投影仪四. 教学设计（一） 创设情景⑴教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。

⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。

（二） 探究新知1．球的体积：如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。

步骤：第一步：分割如图：把半球的垂直于底面的半径ＯＡ作n 等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n 个“小圆片”，“小圆片”厚度近似为n R ，底面是“小圆片”的底面。

（一）教学目标1．知识与技能（1）了解几何体体积的含义，以及柱体、锥体与台体的体积公式.（不要求记忆公式）（2）熟悉台体与柱体和锥体之间体积的转换关系.（3）培养学生空间想象能力和思维能力.2．过程与方法（1）让学生通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体之间的体积关系.（2）通过相关几何体的联系，寻找已知条件的相互转化，解决一些特殊几何体体积的计算.3．情感、态度与价值观通过柱体、锥体、台体体积公式之间的关系培养学生探索意识.（二）教学重点、难点重点：柱体、锥体、台体的体积计算.难点：简单组合体的体积计算.（三）教学方法讲练结合教学环节教学内容师生互动设计意图新课导入1．复习柱体、锥体、台体表面积求法及相互关系.教师设问，学生回忆师：今天我们共同学习柱体、锥体、台体的另一个重要的量：体积.复习巩固点出主题探索新知柱体、锥体、台体的体积1．柱体、锥体、台体的体积公式：V柱体 = Sh (S是底面积，h为柱体高)V锥体 =13Sh(S是底面积，h为锥体高)V台体 =1()3S SS s h''++(S′，S分别为上、下底面面积，h为台体的高)2．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系师：我们已经学习了正方体，长方体以及圆柱的体积公式，它们的体积公式是什么？生：V= Sh(S为底面面积，h为高)师：这个公式推广到一般柱体也成立，即一般柱体体积. 公式：V = Sh (S为底面面积，h为高)师：锥体包括圆锥和棱锥，锥体的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离(投影或作出). 锥体的体积公式都是V=13Sh(S为底面面积，h为高)师：现在请对照柱体、锥体体积公式你发现有什么结论.生：锥体体积同底等高柱体、锥体、台体的体积公式只要求了解，故采用讲授式效率会更高.的柱体体积的13.师：台体的结构特征是什么？ 生：台体是用平行于锥体底面的平面去截锥体，截得两平行平面间的部分. 师：台体的体积大家可以怎样求？ 生：台体的体积应该等于两个锥体体积的差. 师：利用这个原理我们可以得到台体的体积公式 V =1()3S SS s h ''++其中S ′、S 分别为上、下底面面积，Q 为台体的高(即两底面之间的距离) 师：现在大家计论思考一下台体体积公式与柱体、锥体的体积公式有什么关系？ 生：令S ′=0，得到锥体体积公式. 令S ′=S ，得到柱体体积公式.因台体的体积公式的推导需要用到后面知识，故此处不予证明，只要学生了解公式及公式的推导思路.培养探索意识，加深对空间几何体的了解和掌握.典例分析 例 1 有一堆规格相同的铁制 (铁的密度是7.8g/cm 3)六角螺帽(如图)共重5.8kg ，已知底面是正六边形，边长为12cm ，内孔直径为10mm ，高为10mm ，问这堆螺帽大约有多少个(π取 3.14，可用计算器)？解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即2231012610 3.14()1042V =⨯⨯⨯-⨯⨯≈2956 (mm 3) = 2.956(cm 3)所以螺帽的个数为5.8×1000÷(7.8×2.956)≈ 252(个)师：六角螺帽表示的几何体的结构特征是什么？你准备怎样计算它的体积？生：六角螺帽表示的几何体是一个组合体，在一个六棱柱中间挖去一个圆柱，因此它的体积等于六棱柱的体积减去圆柱的体积.学生分析，教师板书过程.师：求组合体的表面积和体积时，要注意组合体的结构特征，避免重叠和交叉等.空间组合体的体积计算关键在于弄清它的结构特征.1()3V h S SS S ''=++棱台S = S ′ S = 0 V 柱体 = ShV 锥体=13Sh答：这堆螺帽大约有252个.典例分析例 2 已知等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的全面积为S，求其内接正四棱柱的体积.【解析】如图，设等边圆柱的底面半径为r，则高h = 2r，∵S = S侧 +2S底= 2rhπ +2226r rππ=，∴6Srπ=.∴内接正四棱柱的底面边长a=2r sin45°=2r.∴V = S底·h =23(2)24r r r⋅== 4·326()69S SSπππ=⋅，即圆柱的内接正四棱柱的体积为269SSππ.教师投影例2并读题师：要解决此题首先要画出合适的轴截面图来帮助我们思考，要求内接正四棱柱的体积，只需求出等边圆柱的底面圆半径r，根据已知条件可以用S表示它.大家想想，这个轴截面最好选择什么位置.生：取内接正四棱柱的对角面.师：有什么好处？生：这个截面即包括圆柱的有关量，也包括正四棱柱的有关量.学生分析，教师板书过程.师：本题是正四棱柱与圆柱的相接问题. 解决这类问题的关键是找到相接几何体之间的联系，如本例中正四棱柱的底面对角线的长与圆柱的底面直径相等，正四棱柱的高与圆柱的母线长相等，通过这些关系可以实现已知条件的相互转化.旋转体类组合体体积计算关键在于找好截面，找到这个截面，就能迅速搭好已知和未知的桥梁.随堂练习1．下图是一个几何体的三视图(单位：cm)，画出它的直观图，并求出它的表面积和体积.答案：2325cm2.2．正方体中，H、G、F分别是棱AB、学生独立完成培养学生理解能力，空间想象能力.AD 、AA 1的中点，现在沿三角形GFH所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块体积是原正方体体积的几分之几？答案：148.归纳总结1．柱体、锥体、台体的体积公式及关系.2．简单组合体体积的计算. 3．等积变换 学生归纳，教师补充完善.巩固所学，提高自我整合知识能力. 课后作业1.3 第二课时 习案学生独立完成固化知识 提升能力备用例题例1：三棱柱ABC – A 1B 1C 1中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面EB 1C 1F 将三棱柱分成体积为V 1、V 2的两部分，那么V 1:V 2 = 7:5 .【分析】不妨设V 1对应的几何体AEF – A 1B 1C 1是一个棱台，一个底面的面积与棱柱的底面积相等，另一个底面的面积等于棱柱底面的14；V 2对应的是一个不规则的几何体，显然这一部分的体积无法直接表示，可以考虑间接的办法，用三棱柱的体积减去V 1来表示.【解析】设三棱柱的高为h ，底面的面积为S ，体积为V ，则V = V 1 + V 2 = Sh . ∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点∴14AEFSS =. 1117()34412S V h S S S Sh =++⋅=21512V Sh V Sh =-=∴V 1:V 2 = 7:5.【评析】本题求不规则的几何体C 1B 1—EBCF 的体积时，是通过计算棱柱ABC —A 1B 1C 1和棱台AEF —A 1B 1C 1的体积的差来求得的.例2：一个底面直径为20cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm ，高为20cm 的一个圆锥形铅锤，当铅锤从中取出后，杯里的水将下降几厘米？(π=3.14)【解析】因为圆锥形铅锤的体积为 216()206032ππ⋅⨯=(cm 3) 设水面下降的高底为x ，则小圆柱的体积为π(20÷2)2x = 100πx (cm 3) 所以有60π=100πx ，解此方程得x = 0.6 (cm). 答：铅锤取出后，杯中水面下降了0.6cm.。

1.3.2柱体、锥体、台体的表面积与体积（二）一、教学目标 （一）核心素养通过学习，使学生感受几何体体积的求解过程，锻炼自己的空间思维能力，从而增强学习的积极性. （二）学习目标1.掌握柱、锥、台体积的求法.2.让学生通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体三者间体积的关系 （三）学习重点 运用公式解决问题. （四）学习难点理解计算公式之间的关系. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务（1）读一读：阅读教材第25页至第27页.填空： 棱长为a 的正方体的体积计算公式为3a .长、宽、高分别为c b a 、、的长方体的体积的计算公式为abc . 圆柱体积公式:Sh V =.一般柱体的体积:Sh V =.（S 为底面面积，h 为柱体的高）椎体的体积Sh V 31=（S 为底面面积，h 为高）.台体的体积()h S SS S V ++=''31（'S S 、分别为上、下底面面积，h 为台体的高）. 2.预习自测（1）已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为1V 和2V ，则1V :2V =______.【答案】1:3【知识点】柱体、椎体的体积公式【解题过程】设圆柱、圆柱的底面积为S ，高为h ， 则由柱体、锥体的体积公式得：()121313V :V Sh :Sh :,⎛⎫== ⎪⎝⎭故选D.【思路点拨】直接用公式解（2）设直角三角形的两直角边43==AC AB ，，则它绕AB 旋转一周得到的旋转体的体积为____________. 【答案】π16【知识点】锥体体积公式、旋转体【解题过程】根据题意可知，所得的立体图形是一个圆锥：底面半径是4，高为3，圆锥体积=2143163π⨯⨯⨯=π. 【思路点拨】运用锥体体积公式求解.（3）已知棱台的上下底面面积分别为16,4，高为3，则该棱台的体积为___________. 【答案】28【知识点】台体的体积公式【解题过程】台体体积()()1141632833'V S S h =++=⨯+⨯= 【思路点拨】牢记台体体积公式 (二)课堂设计 1.知识回顾已学柱体、椎体、台体表面积计算方法. 2.问题探究探究一柱体、锥体体积计算公式 活动① 结合实例，进行猜想将正方体、长方体的体积公式分别改写为：h S a a a V ⋅=⋅==底正方体23，其中a h =；h S c ab abc V ⋅=⋅==底长方体，其中c h =.据此猜想棱柱的体积公式是什么？h S V ⋅=底棱柱，其中h 表示棱柱的高.类比棱柱，可得圆柱体积: h S V ⋅=底圆柱【设计意图】根据已有知识经验获得一般的结论，培养学生合情推理的意识和习惯.活动②互动交流，得出结论如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？''用几何画板展示动态过程，并进行相应的证明，加深学生对等底、等高的锥体与柱体体积之间的关系的了解，由此可得 锥体的体积计算公式：h S V ⋅=底锥31，其中h 表示棱锥的高.【设计意图】虽然此处还不能进行理论的论证，但是在猜想的基础上可以引导学生进行说理，培养学生的理性思维习惯. 活动③巩固练习，熟记公式例1若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为（ ） A.π1B.π2C.π3D.π4【知识点】圆柱 【数学思想】空间想象【解题过程】底面半径ππ122==r ，πππ2122=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=柱V .【思路点拨】利用公式直接计算. 【答案】B同类训练 若圆锥的表面积是π15，侧面展开图的圆心角是060，则圆锥的体积是( ) A.π715 B.π7315 C.π725D.π7325 【知识点】圆锥 【数学思想】空间想象【解题过程】设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，则l r ππ312=，得r l 6=，ππππ157622==⋅+=r r r r S ，得715=r ，圆锥的高71535⨯=h πππ73257153571531312=⨯⨯⨯==h r V【思路点拨】利用公式直接计算. 【答案】D例2一个几何体的三视图如所示，则该几何体的体积是（ ）A.432+π B.42+π C.4+π D.2+π 【知识点】由三视图求面积、体积. 【数学思想】空间想象【解题过程】解：由三视图可知几何体为半圆柱与长方体的组合体. 半圆柱的底面半径为1，高为2，长方体的棱长分别为1、2、2，所以几何体的体积422121212+=⨯⨯+⨯⨯⨯=ππV .【思路点拨】几何体为半圆柱与长方体的组合体. 【答案】C同类训练 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.π838+B.π8316+C.π1638+D.π16316+ 【知识点】由三视图求简单几何体的体积. 【数学思想】空间想象【解题过程】由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥与半圆柱的组合体，半圆柱的底面半径为2，高为4，故体积为：ππ842212=⨯⋅⨯，三棱锥的底面面积为：44221=⨯⨯，高为2，故体积为：38，故组合体的体积π838+=V ，【思路点拨】由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥与半圆柱的组合体，分别求出体积，相加可得答案. 【答案】A【设计意图】巩固检查学生对柱体、椎体体积公式的掌握. 探究二 台体体积的求法 活动①分组合作，讨论交流类比棱台、圆台侧面积的求法，你能解决求棱台、圆台体积的问题吗？如何求？如图，设圆台的上下底面积分别为'S 和S ，高为h ，试求其体积. 转化为棱锥、圆锥的体积差问题求解.（以圆台为例）：如下图，设x O O ='''，上下底面的半径分别为'r 和r ，圆台的上下底面积分别为'S 和S .SS S S rr h x x '''===+ππ ,''SS S h x -=∴()x S Sx Sh x S x h S V ''31313131-+=-+=台()()''''31313131SS S h S S Sh x S S Sh --+=-+=()()''''313131S SS S h S hS S Sh ++=++=【设计意图】感受圆台体积的计算过程，从而加深台体体积公式的记忆 活动②基础训练，加深印象例3四棱台的上下底面均是正方形，边长分别为cm 3和cm 5，高是cm 6，求此棱台的体积。

1.3.2 球的体积和表面积整体设计教学分析本节教材直接给出了球的表面积和体积公式，并用两个例题来说明其应用.值得注意的是教学的重点放在球与其他几何体的组合体的有关计算上，这是高考的重点. 三维目标掌握球的表面积和体积公式，并能应用其解决有关问题，提高学生解决问题的能力，培养转化与化归的数学思想方法. 重点难点教学重点：球的表面积和体积公式的应用. 教学难点：关于球的组合体的计算. 课时安排 约1课时教学过程导入新课思路1.位于香港栈桥回澜阁西部、西陵峡路东端海滨，有一座新异奇秀的半球形建筑.由香港好世界饮食服务（中国）有限公司等三方合资兴建，1996年9月正式开业，既是岛城饮食服务业的“特一级”店，又是新增加的一处景点.酒店的总建筑面积11 380平方米，现酒店管理层决定在半球形屋顶嵌上一层特殊化学材料以更好地保护酒店，那么，需要多少面积的这种化学材料呢？思路2.球既没有底面，也无法像柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？球的大小与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？教师引出课题：球的体积和表面积. 推进新课 新知探究球的半径为R ，它的体积和表面积只与半径R 有关，是以R 为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R ，那么S=4πR 2,V=334R . 注意：球的体积和表面积公式的证明以后证明.应用示例思路1例1 如图1所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：图1（1）球的体积等于圆柱体积的32； （2）球的表面积等于圆柱的侧面积.活动：学生思考圆柱和球的结构特征，并展开空间想象.教师可以使用信息技术帮助学生读懂图形.证明：（1）设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R. 则有V 球=334R π，V 圆柱=πR 2·2R=2πR 3，所以V 球=圆柱V 32. （2）因为S 球=4πR 2，S 圆柱侧=2πR·2R=4πR 2，所以S 球=S 圆柱侧.点评：本题主要考查有关球的组合体的表面积和体积的计算.解决此类问题的关键是明确组合体的结构特征. 变式训练1.如图2(1)所示，表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积.图2解：设球的半径为R ，正四棱柱底面边长为a,则轴截面如图2（2），所以AA′=14,AC=a 2,又∵4πR 2=324π,∴R=9. ∴AC=28''22=-CC AC .∴a=8.∴S 表=64×2+32×14=576,即这个正四棱柱的表面积为576.2有一种空心钢球，质量为142 g,测得外径（直径）等于5 cm ，求它的内径（钢的密度为7.9 g/cm 3，精确到0.1 cm ）.解：设空心球内径（直径）为2x cm,则钢球质量为7.9·［3334)25(34x ππ-∙］=142, ∴x 3=14.349.73142)25(3⨯⨯⨯-≈11.3,∴x≈2.24,∴直径2x≈4.5.答：空心钢球的内径约为4.5 cm.例2 如图3所示，表示一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1 m 、高为3 m 的圆柱形物体，上面是一个半球形体.如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花（π取3.1）?图3活动：学生思考和讨论如何计算鲜花的朵数.鲜花的朵数等于此几何体的表面积（不含下底面）与每朵鲜花占用的面积.几何体的表面积等于圆柱的侧面积再加上半球的表面积. 解：圆柱形物体的侧面面积S 1≈3.1×1×3=9.3(m 2), 半球形物体的表面积为S 2≈2×3.1×(21)2≈1.6(m 2), 所以S 1+S 2≈9.3+1.6=10.9(m 2). 10.9×150≈1 635(朵).答：装饰这个花柱大约需要1 635朵鲜花.点评：本题主要考查球和圆柱的组合体的应用，以及解决实际问题的能力. 变式训练有一个轴截面为正三角形的圆锥容器，内放一个半径为R 的内切球，然后将容器注满水，现把球从容器中取出，水不损耗，且取出球后水面与圆锥底面平行形成一圆台体，问容器中水的高度为多少？分析：转化为求水的体积.画出轴截面，充分利用轴截面中的直角三角形来解决. 解：作出圆锥和球的轴截面图如图4所示，图4圆锥底面半径r=R R330tan =︒,圆锥母线l=2r=R 32，圆锥高为h=r 3=3R ， ∴V 水=334332πππ=-R h r ·3R 2·3R 333534R R ππ=-， 球取出后，水形成一个圆台，下底面半径r=R 3,设上底面半径为r′， 则高h′=(r -r′)tan60°=)'3(3r R -, ∴'3353h R ππ=(r 2+r′2+rr′),∴5R 3=)3'3')('3(322R Rr r r R ++-, ∴5R 3=)'33(333r R -， 解得r′=6331634R R =, ∴h′=(3123-)R.答：容器中水的高度为(3123-)R.思路2例1 （2006广东高考，12）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为____________.活动：学生思考长方体和球的结构特征.教师可以借助于信息技术画出图形. 分析：画出球的轴截面可得，球的直径是正方体的对角线，所以球的半径R=233，则该球的表面积为S=4πR 2=27π. 答案：27π点评：本题主要考查简单的组合体和球的表面积.球的表面积和体积都是半径R 的函数.对于和球有关的问题，通常可以在轴截面中建立关系.画出轴截面是正确解题的关键. 变式训练1.（2006全国高考卷Ⅰ，理7）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）A.16πB.20πC.24πD.32π分析：由V=Sh ，得S=4，得正四棱柱底面边长为2.画出球的轴截面可得，该正四棱柱的对角线即为球的直径，所以，球的半径为R=642221222=++，所以球的表面积为S=4πR 2=24π. 答案：C2.（2005湖南数学竞赛，13）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积为_____________.分析：把正四面体补成正方体的内接正四面体，此时正方体的棱长为a 22，于是球的半径为a 42，V=3242a π. 答案：3242a π 3.（2007天津高考，理12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为___________.分析：长方体的对角线为14321222=++，则球的半径为214,则球的表面积为4π(214)2=14π. 答案：14π例2 图5是一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的一个圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？图5活动：学生思考杯里的水将下降的原因，通过交流和讨论得出解题思路.因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃杯的底面一样，是一直径为20 cm 的圆，它的体积正好等于圆锥形铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度.解：因为圆锥形铅锤的体积为2)26(31⨯⨯π×20=60π（cm 3）， 设水面下降的高度为x ，则小圆柱的体积为x 2)220(π=100πx （ cm 3）. 所以有60π=100πx ，解此方程得x=0.6（ cm ）. 答：杯里的水下降了0.6 cm.点评：本题主要考查几何体的体积问题，以及应用体积解决实际问题的能力.明确几何体的形状及相应的体积公式是解决这类问题的关键.解实际应用题的关键是建立数学模型.本题的数学模型是下降的水的体积等于取出的圆锥形铅锤的体积.明确其体积公式中的相关量是列出方程的关键. 变式训练1.一个空心钢球，外直径为12 cm ，壁厚0.2 cm ，问它在水中能浮起来吗？（钢的密度为7.9 g/cm 3）和它一样尺寸的空心铅球呢？（铅的密度为11.4 g/cm 3）分析：本题的关键在于如何判断球浮起和沉没，因此很自然要先算出空心钢球的体积，而空心钢球的体积相当于是里、外球的体积之差，根据球的体积公式很容易得到空心钢球的体积，从而算出空心钢球的质量，然后把它与水的质量相比较即可得出结论，同理可以判断铅球会沉没.解：空心钢球的体积为V 钢=348.53463433πππ=⨯-⨯×20.888≈87.45(cm 3)， ∴钢的质量为m 钢=87.45×7.9=690.86(g). ∵水的体积为V 水=34π×63=904.32(cm 3)， ∴水的质量为m 水=904.32×1=904.32(g)＞m 钢.∴钢球能浮起来，而铅球的质量为m 铅=87.45×11.4=996.93(g)＞m 水. ∴同样大小的铅球会沉没.答：钢球能浮起来，同样大小的铅球会沉没.2.（2006全国高中数学联赛试题第一试，10）底面半径为1 cm 的圆柱形容器里放有四个半径为21cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水___________cm 3.分析：设四个实心铁球的球心为O 1、O 2、O 3、O 4，其中O 1、O 2为下层两球的球心，A 、B 、C 、D 分别为四个球心在底面的射影，则ABCD 是一个边长为22cm 的正方形，所以注水高为(1+22) cm.故应注水π(1+22)-4×)2231()21(343+=ππ cm 3. 答案：（31+22）π 知能训练1.三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ ） A.1倍 B.2倍 C.59倍 D.47倍 分析：根据球的表面积等于其大圆面积的4倍，可设最小的一个半径为r ，则另两个为2r 、3r ，所以各球的表面积分别为4πr 2、16πr 2、36πr 2，5916436222=+rr r πππ（倍）. 答案：C2.（2006安徽高考，理9）表面积为32的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（ ） A.32π B.3π C.32π D.322π分析：此正八面体是每个面的边长均为a 的正三角形，所以由8×32432=a 知，a=1，则此球的直径为2. 答案：A3.（2007北京西城抽样，文11）若与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的面积是9π，则球的表面积是____________.分析：画出球的轴截面，则球心与截面圆心的连线、截面的半径、球的半径构成直角三角形，又由题意得截面圆的半径是3，则球的半径为2234+=5，所以球的表面积是4π×52=100π. 答案：100π4.某街心花园有许多钢球（钢的密度是7.9 g/cm 3）,每个钢球重145 kg,并且外径等于50 cm,试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空心的.如果是空心的，请你计算出它的内径（π取3.14,结果精确到1 cm ）.解：由于外径为50 cm 的钢球的质量为7.9×3)250(34⨯π≈516 792(g), 街心花园中钢球的质量为145 000 g,而145 000＜516 792, 所以钢球是空心的.设球的内径是2x cm ，那么球的质量为7.9·［3334)250(34x ππ-∙］=145 000, 解得x 3≈11 240.98,x≈22.4,2x≈45(cm). 答：钢球是空心的，其内径约为45 cm.5.（2007海南高考，文11）已知三棱锥S —ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，AC=r 2,则球的体积与三棱锥体积之比是（ ） A.π B.2π C.3π D.4π 分析：由题意得SO=r 为三棱锥的高，△ABC 是等腰直角三角形，所以其面积是21×2r×r=r 2,所以三棱锥体积是33132r r r =⨯⨯，又球的体积为343r π，则球的体积与三棱锥体积之比是4π. 答案：D点评：面积和体积往往涉及空间距离，而新课标对空间距离不作要求，因此在高考试题中其难度很低，属于容易题，2007年新课标高考试题就体现了这一点.高考试题中通常考查球、三棱锥、四棱锥、长方体、正方体等这些简单几何体或它们的组合体的面积或体积的计算.我们应高度重视这方面的应用. 拓展提升问题：如图6，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A—BEFD与三棱锥A—EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（）图6A.S1＜S2B.S1＞S2C.S1=S2D.S1,S2的大小关系不能确定探究：如图7，连OA、OB、OC、OD，则V A—BEFD=V O—ABD＋V O—ABE＋V O—BEFD+V O—ADF，V A—EFC=V O—AFC＋V O—AEC＋V O—EFC，又V A—BEFD=V A—EFC，而每个小三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S△ABD＋S△ABE＋S BEFD+S△ADF=S△AFC＋S△AEC＋S△EFC，又面AEF是公共面，故选C.图7答案：C课堂小结本节课学习了：1.球的表面积和体积.2.计算组合体的体积时，通常将其转化为计算柱、锥、台、球等常见的几何体的体积.3.空间几何体的表面积与体积的规律总结：（1）表面积是各个面的面积之和，求多面体表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积.求旋转体的表面积时，可从回忆旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长关系，注意球面不可展开.（2）在体积公式中出现了几何体的高，其含义是：柱体的高：从柱体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为柱体的高；锥体的高：从锥体的顶点向底面作垂线，这点和垂足间的距离称为锥体的高；台体的高：从台体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为台体的高.注意球没有高的结构特征.（3）利用侧面展开图或截面把空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题的常用手段.（4）柱体、锥体、台体和球是以后学习第二章点、直线、平面位置关系的载体，高考试题中，通常是用本模块第一章的图，考查第二章的知识.（5）与球有关的接、切问题是近几年高考的热点之一，常以选择题或填空题的形式出现，属于低档题.作业课本本节练习1、2、3.设计感想本节教学结合高考要求，主要是从组合体的角度来讨论球的表面积和体积.值得注意的是其中的题目没有涉及球的截面问题（新课标对球的截面不要求），在实际教学中，教师不要增加球的截面方面的练习题，那样会增加学生的负担.。

1.3.1 空间几何体的表面积教学目标1、通过展开柱、锥、台的侧面，进一步认识柱、锥、台．2、了解柱、锥、台的表面积的计算公式． 教学重点多面体和旋转体的侧面积公式． 教学难点 侧面展开图． 教学过程 一、问题情境已知ABB 1A 1是圆柱的轴截面，AA 1＝a ，AB =34a ，P 是BB 1的中点；一小虫沿圆柱的侧面从A 1爬到P ，求小虫爬过的最短路程．AB PB 1A 1P二、学生活动观察下图，试配对：A ： B ： C ： ．A B C(1)(2)(3)三、建构数学1、平面展开图：将一个简单的多面体沿着它的某些棱将它剪开而成为平面图形，这个平面图形称为平面展开图．2、直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱．3、正棱柱：底面是正多边形的直棱柱．4、正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面的中心的棱锥．正棱锥的侧棱长都相等．5、正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分．6、侧面展开图及其公式：（1）直棱柱：S直棱柱侧=ch（2）正棱锥：S正棱锥侧=1' 2 ch（3）正棱台：（由正棱锥截去小正棱锥）S正棱台侧=1(')'2c c h．（4）正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间的关系可用下图表示：（见课本P.50）（5）圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系类似可用下图表示：（见课本P.50）四、数学运用例1、设计一个正四棱锥形冷水塔顶，高是0.85米，底面的边长是1.5米，制造这种塔顶需要多少平方米铁板？（保留两位有效数字）例2、有一根长为5cm ，底面半径为1cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一条母线的两端，则铁丝的最短长度为多少?（精确到0.1cm ）例3、如图，正三角形ABC 的边长为4，D 、E 、F 分别为各边的中点，M 、N 、P 分别为BE 、DE 、EF 的中点，将△ABC 沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥以后； 问：（1）∠NMP 等于多少度？（2）擦去线段EN 、EP 、EM 后剩下的几何体是什么？其侧面积为多少？A BCDEFNPM例4、已知圆锥有一个内接圆柱，此圆柱的底面在圆锥的底面上，圆柱的高等于圆锥的底面半径，且圆柱的全面积∶圆锥的底面积=3∶2；（1）求圆锥母线与底面所成的角的正切值；（2）圆锥的侧面积与圆柱的侧面积的比．学生练习：课本P.53 1、2、3、4、5、6． 五、回顾小结本节主要学习了多面体和旋转体的侧面积公式．应注意侧面展开图的画法特征． 六、课外作业（一）自测训练：必修2 学习与评价[课课练] P.030 分层训练班级 姓名 （二）反馈练习 （友情提醒：老师喜欢书写认真、过程完整、页面清洁的作业）[ 1.3.1 空间几何体的表面积]1、如图是正方体纸盒的展开图，那么直线AB 、CD 在原来 正方体中位置关系是（ ）A 、平行B 、垂直相交且成60°C 、垂直D 、异面且成60°2、已知圆柱的侧面积为4π，则当轴截面的对角线长取最小值时，圆柱母线长l 与底面半径r 的关系是（ ）A 、l r =B 、2l r =C 、3l r =D 、4l r =3、一张长、宽分别为8cm 、4cm 的矩形硬纸板，以这硬纸板为侧面，将它折成正四棱柱，则此四棱柱的对角线长为 ．4、将半径为R 的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为1r 、2r 、3r ；则1r +2r +3r 的值为 ．5、如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB a =，BC b =，1BB c =，并且0a b c >>>； 求沿着长方体的表面自A 到C 1的最短路线的长．BCDA 1B 1C 1D 1abc6、已知圆锥的底面半径为r ，母线为l ，侧面展开图的圆心角为θ，求证： 360rlθ=︒ ．7、（1）计算：lg141921log log 4log 272π++-= ． （2）函数211() 2 (0)2xy x -=+<的反函数是 ．（3）函数()20.5log 48y x x =-++有最 值为 ．（4）函数()20.1log 62y x x =+-的单调增区间是 ．（5）已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，f (x )+g (x )=2x；则f (x )= ．1.3 空间几何体的表面积和体积（2）班级 姓名1.3.2 空间几何体的体积（1）教学目标1、整体理解柱、锥、台的体积公式．2、能正确运用这些公式计算一些简单的几何体的体积． 教学重点柱、锥、台的体积公式．教学难点三棱锥的等积变换．教学过程一、问题情境用上口直径为34cm、底面直径为24cm、深为35cm的水桶盛得的雨水正好为桶深的五分之一，问此次的降水量为多少（精确到0.1cm）？(降水量是指单位面积的水平地面上降下的雨水的深度)．二、学生活动（1）试将一堆排放整齐的书，推成倾斜状；看看体积有没有发生变化？（2）将一圆柱形萝卜，斜刀一切，再原来的两底接起来，看看体积有没有变化？（3）阅读课本，体会各公式之间的关系．三、建构数学1、长方体的体积：V长方体= abc = Sh．2、柱体的体积：V柱体= Sh．3、锥体的体积：V锥体=13 Sh．4、台体的体积：V台体=1(')3h S S．5、柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如下：S'=S S'=0四、数学运用例1、有一堆相同的规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg；已知底面六边形边长是12mm，高是10mm，内孔直径是10mm，那么约有毛坯多少个？（铁的比重为7.8g/cm3）例2、在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，用截面截下一个棱锥C -A 1DD 1；求C -A 1DD 1的体积与剩余部分的体积之比．BC D A 1B 1C 1D 1例3、如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，E 、F 分别是棱AA 1和CC 1的中点，求四棱锥A 1-EBFD 1的体积．ACDA 1B 1C 1D 1E学生练习： 课本P.56 练习：1、2、3、4．五、回顾小结本节主要学习了柱、锥、台的体积公式． 几个重要的结论：（1）一个几何体的体积等于它的各部分的体积之和．体积相等的两个几何体叫等积体；全等的两个几何体一定是等积体；等底、等高的柱体或锥体是等积体． （2）计算三棱锥体积时，可灵活选底，简化运算． （3）柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为：''011(')33S S S V Sh V S S V Sh ===←−−−==+−−−→=柱体台体堆体六、课外作业（一）自测训练：必修2 学习与评价[课课练] P.032 分层训练 拓展延伸班级 姓名 （二）反馈练习 （友情提醒：老师喜欢书写认真、过程完整、页面清洁的作业）[ 1.3.2 空间几何体的体积（1）]1、正棱锥的高和底面边长都缩小为原来的二分之一时，它的体积是原来的（ ）A 、12 B 、14 C 、18 D 2、已知两个平行于底面的平面将棱锥的高分成相等的三段，则此棱锥被分成的三部分的体积（自上而下）之比是（ ）A 、1∶2∶3B 、1∶4∶9C 、1∶8∶27D 、1∶7∶193、一个盛满水的无盖圆柱的母线长为5dm ，底面直径为4dm ，将其倾斜45°后，能够流出来的水的体积为 dm 3．4、将一个正三棱柱形的木块，经车床切割加工，旋成与它等高并且尽可能大的圆柱形，则旋去部分的体积是原三棱柱体积的 倍．5、一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积也相等，试比较它们的体积的大小．6、如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面EB 1C 1F 将三棱柱分成体积为V 1V 2两部分，求V 1∶V 2的值．C A 1B 1C 1F EV 1V 27、正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱长均为a ，E 、F 分别是AA 1、CC 1的中点，求几何体B -EFB 1的体积．A CA 1B 1C 1FE8、（复习）（1）函数12 3 ()x y x R -=+∈的反函数的解析表达式为（ ）A 、22log 3y x =- B 、23log 2x y -= C 、23log 2x y -= D 、22log 3y x=-（2）函数y =的定义域为 ． （3）若[)30.618, , 1a a k k =∈+，则整数k = ．（4）已知,a b 为常数，若2()43f x x x =++，2()1024f ax b x x +=++，求5a b -的值．1.3 空间几何体的表面积和体积（3）班级 姓名1.3.2 空间几何体的体积（2）教学目标1、理解球的体积公式和球的表面积公式．2、能正确运用这些公式计算有关球的体积和表面积． 教学重点球的体积公式和球的表面积公式． 教学难点对公式推导的理解即“分割—求和—化为准确和”的方法的理解． 教学过程 一、问题情境如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水； 若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ； 问：R ∶r 的值是多少？二、学生活动（1）倒沙实验：一个底面半径和高都等于R 的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，用沙粒充满后，再将其所容纳的沙粒倒入一个半径为R 的半球内，结果刚好也能充满半球．说明两者体积相等．（2）计算上图中的等高截面的面积：上图中，取相同的高度h ，试计算出等高截面的面积，并观察它们的关系．并阅读课本，问：可用什么知识来解释此问题？三、建构数学1、球的体积公式：V 长方体=343R π． 由上图可推出：223112233V R R R R R πππ=-= 球． 亦可由“准锥体”推出：31241113333R V RS RS RS π==++= 球球面2、球的表面积：24S R π=球面．即：球的表面积是球的大圆面积的4倍．球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，大圆的半径等于球的半径．四、数学运用例1、如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积．（尺寸如图，单位：cm ，π取3.14，精确到1cm 2和1cm 3）例2、如图，一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并向容器内注水，使水面恰好与铁球面相切，将球取出后，容器内的水深是多少？学生练习：1、课本P.56 练习：1、2、3、4．2、一个长、宽、高分别为80cm、60cm、55cm的水槽中有水200000cm3，现放入一个直径为50cm的木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中流出？五、回顾小结本节主要学习了球的体积公式和表面积公式．六、课外作业（一）自测训练：必修2 学习与评价[课课练] P.034 分层训练 拓展延伸班级 姓名（二）反馈练习 （友情提醒：老师喜欢书写认真、过程完整、页面清洁的作业）[ 1.3.2 空间几何体的体积（2）]1、湖面上漂着一个球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为24cm ，深为8cm 的空穴，则该球的面积为（ ）A 、1692cm πB 、2562cm πC 、5762cm πD 、6762cm π2、若一个等边圆柱（轴截面为正方形的圆柱）的侧面积与一个球的表面积相等，则这个圆柱与这个球的体积之比是（ ）A 、1∶1B 、3∶4C 、4∶3D 、3∶23、正方体的内切球与外接球的表面积之比是 ．4、（1）表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是 ．（2）体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体是 ．5、把长、宽分别为4、3的矩形以一条对角线为痕折成直二面角，求过此四个顶点所在球的内接正方体的表面积和体积．AB CD O D B C O6、已知球的半径为R ，在球内作一个内接圆柱，当这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？AB C DOR r O 17、如图，直角梯形O 2BAO 1内有一个内切半圆O ，把这个平面图形绕O 1O 2旋转一周得到圆台有一个内切球；已知圆台全面积与球面积的比是k （k >1），求它们的体积比．AB O 2R r O 1OM8、（复习） （1）设M ={x |x 2-(p +1)x +2=0}，N ={x |x 2+px +q =0}，若M N ={-1}，求M N ．（2）函数f (x )的定义域为(0，+∞)且单调递增，f (4)=1，f (x y )=f (x )+f (y )；①求f (1)，f (16)；②若f (x )+f (x -3)≤1，求x 的范围．。

空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积【教学目标】（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。

（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。

（3）培养学生空间想象能力和思维能力。

【教学重点难点】【教学重点】：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算【教学难点】：台体体积公式的推导【学前准备】：多媒体，预习例题（3）初中时，我们已经学习了计算特殊的柱体——正方体、长方体以及圆柱的体积公式：如图，把正方体截去四个角，得到一个体比2a和积此圆柱的底面在圆锥的底面上，圆柱的高等于圆锥底面半径，且圆柱的全面积：圆锥的底面积3:2=．）求圆锥母线与底面多成的角的正切值；（2）圆锥的侧面积参考答案：1. B 2. C 3. 1 , 3 4. A 5. B 6. B 7. 1:3 3a π或32aπ9．已知圆锥有一个内接圆柱此圆柱的底面在圆锥的底面上，圆柱. 三棱锥的外接球问题【教学目标】⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。

⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。

⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。

【教学重难点】【教学重点】：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。

【教学难点】：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。

【学前准备】：多媒体，预习例题4：如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为.类型四：一条测棱垂直底面，底面为非直角三角形的四面体的外接球问题5已知点A,B,C,D,四点在同一个球面上，DA⊥平面ABC,DA=AB=AC=3,∠ABC=60，则球半径是类型五：正三棱锥的外接球问题6：已知正三棱锥底面边长为1，侧棱长为2，求外接球半径。

2021年高中数学1.3《空间几何体的表面积和体积》教案新人教版必修2教学目的：（1）正棱柱正棱台正棱锥的概念，圆柱圆锥圆台侧面积（2）用这些公式解决问题教学重点：正棱锥、正棱柱、正棱台的理解，柱锥台的侧面积计算教学难点：侧面积公式的应用教学方法：教学过程：一、什么是多面体？多面体的侧面展开图二、新授：1、正棱柱：正棱锥：正棱台：侧面积公式的推导，正棱锥的简单性质2、圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式它们之间的区别与联系例1、正四棱锥形冷水塔塔顶，高是，底边长为，制造这种塔顶需要多少平方米铁板？例2、有一根长为，底面半径为的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管缠绕4圈，并使铁丝两个端点落在圆柱的同一母线上的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？练习：P52 练习教学后记：空间几何体的表面积作业班级姓名学号得分一、选择题1、正三棱锥的底面边长为，高为，则三棱锥的侧面积为（）A、 B、 C、 D、2、圆锥的轴截面是正三角形，那么它的侧面积是底面积的（）A、 4倍B、 3倍C、倍D、 2倍3、将一个边长为的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积增加了（）A、 B、 C、 D、4、棱锥的一个平行底面的截面把棱锥的高分为（从上到下）那么截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于（）A、 B、 C、 D、5、圆台的高是3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面所成的角为，则这个圆台的侧面积是（）A、 B、 C、 D、二、填空题6、用半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，这个圆锥筒的高为7、正三棱台的两个底面边分别等于和，侧棱长为，则它的侧面积为8、边长为的正方形ABCD是圆柱的轴截面，从A到C绕圆柱侧面的最短路程为三、解答题9、正四棱台的高为，两底面边长之差为，全面积为，求底面边长。

10、正方体的8个顶点中，有4个顶点构成一个侧面是等边三角形的正棱锥的顶点，求正三棱锥与正方体的全面积之比。

空间几何体的体积（1）教学目的：柱锥台的体积计算公式，能运用公式求解体积教学重点：柱锥台的体积计算公式及其应用教学难点：运用公式解决有关体积计算问题教学方法：教学过程：一、长方体、正方体的体积公式祖暅原理来说明柱体的体积锥体的体积：台体的体积： 二、数学运用：例1、有一堆相同规格的六角螺帽毛坯，共重，已知底面是正六边形边长为，高为内孔直径是，那么约有毛坯多少个？（铁的比重为）例2、一个几何体的三视图如图所示，画出它的直观图并求其体积。

高中数学必修二 空间几何体的体积学案1．3.2 空间几何体的体积空间几何体的度量是几何研究的重要内容之一，在生活中有着重要应用的不仅是度量几何体的表面积还有度量体积．如下图，在一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？在实际操作中如何解答呢？1．几何体的体积是几何体占有空间部分的大小，其主要性质有：①完全相同的几何体的体积相等；②体积相等的几何体叫等积体；③两个等积体的形状不一定相同；④底面积相等、高相等的两个柱体(或锥体)体积相等．2．①棱柱的体积公式：V 棱柱＝Sh (S 为底面面积，h 为柱体的高)； ②棱锥的体积公式：V 棱锥＝13Sh (S 为底面面积，h 为棱锥的高)；③棱台的体积公式：V 3S ′、S 为两底面面积，h为棱台的高)．3．①圆柱的体积公式：V 圆柱＝Sh ＝πR 2h (R 为底面圆的半径，h 为圆柱的高)；②圆锥的体积公式：V 圆锥＝13Sh ＝13πR 2h (R 为底面圆的半径，h 为圆锥的高)；③圆台的体积公式：V 3＝13π(r 2＋rR ＋R 2)h (r 、R为两底面圆半径，h 为圆台的高)．4．球的体积公式：V 球＝43πR 3(R 为球半径)，表面积公式为：S 球＝4πR 2．棱体、锥体、台体和球的体积公式 ①柱体的体积公式：V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为柱体的高)；②锥体的体积公式：V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为锥体的高)；③台体的体积公式：V 台体＝13(S ′＋S ′S ＋S )h (S ′、S 为两底面面积，h 为台体的高)；④球体的体积公式：V 球＝43πR 3(R 为球半径)．祖暅原理——“幂势既同，则积不容异”是推出以上公式的基础，由此我们不难概括出多面体和旋转体的体积性质：①完全相同的几何体的体积相等；②体积相等的几何体叫等积体；③两个等积体的形状不一定相同；④底面积相等、高相等的两个柱体(或锥体)体积相等．等积转化是今后求相关几何体的体积的重要策略．对于柱、锥、台的体积公式可以从它们间的转化关系上加强记忆：对于球体的体积公式可以类比锥体的体积公式形象地记忆为13(4πR2)·R，其中4πR2为球的表面积．基础巩固知识点一棱柱、棱锥和棱台的体积1．(2014·浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是(B)A．72 cm3 B．90 cm3C ．108 cm3D ．138 cm3解析：先根据三视图画出几何体，再利用体积公式求解．该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示． V ＝V 三棱柱＋V 长方体＝12×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm3)．2．已知高为3的直棱柱ABCA 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如右图所示)，则三棱锥B 1ABC 的体积为________．解析：∵S △ABC ＝34×12＝34，B 1到底面ABC 的距离即为三棱锥的高等于3，∴VB 1－ABC ＝13S △ABC ·h ＝13×34×3＝34.答案：343．已知某个几何体的三视图如下图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________．解析：由三视图知几何体为四棱锥，底面为边长等于20 cm 的正方形，高为20 cm.故V ＝13×202×20＝8 0003(cm3)．答案：8 0003 cm3知识点二 圆柱、圆锥和圆台的体积4．圆台OO ′的上、下底面半径分别为1和2，高为6，则其体积为________． 解析：由圆台的体积公式得：V ＝13π(r 2＋rR ＋R 2)h ＝14π.答案：14π5．圆锥的母线长为l ，高为12l ，则过圆锥顶点的最大截面面积为________．解析：易得圆锥底面半径为32l ，故轴截面的顶角为23π，从而过圆锥顶点的最大截面是顶角为π2的等腰直角三角形．答案：12l 26．(2014·天津卷)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.解析：根据三视图还原出几何体，利用圆柱和圆锥的体积公式求解． 根据三视图知，该几何体上部是一个底面直径为4 m ，高为2 m 的圆锥，下部是一个底面直径为2 m ，高为4 m 的圆柱．故该几何体的体积V ＝13π×22×2＋π×12×4＝203π(m3)．答案：203π知识点三 球的表面积和体积7．两球的体积之和是12π，它们的大圆周长之和是6π，则两球的半径之差是________．解析：设两球半径分别为r 1、r 2，则 ⎩⎪⎨⎪⎧43πr 13＋43πr 23＝12π，2π（r 1＋r 2）＝6π.∴r 1＝1，r 2＝2.故r 2－r 1＝1. 答案：18．把半径分别为3 cm 、4 cm 、5 cm 的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为________．解析：由体积公式得43πR 3＝43π×33＋43π×43＋43π×53，R ＝6 cm. 答案：6 cm9．已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，求球的表面积和体积．解析：如右图，设球的半径为R ，则O ′O ＝12R ，由AB ＝BC ＝CA ＝2，得小圆半径r ＝23×32×2＝233，则32R ＝233，R ＝43，故S 球＝4πR 2＝649π，V 球＝43πR 3＝25681π.∴球的表面积为649π，体积为25681π.能力升级综合点一 多面体体积的综合应用10．在三棱锥ABCD 中，P 、Q 分别在棱AC 、BD 上，连接AQ 、CQ 、BP 、PQ ，若三棱锥ABPQ 、BCPQ 、CDPQ 的体积分别为6、2、8，则三棱锥ABCD 的体积为________．解析：如右图，VA －BPQVB －CPQ ＝62，VB －APQVB －CPQ ＝S △APQS △CPQ ＝62，类似地VA －DPQVCDPQ ＝VDAPQVDCPQ ＝S △APQS △CPQ ＝62. 其中VCDPQ ＝8. ∴VA －DPQ 8＝62.∴VA －DPQ ＝24.∴VA －BDC ＝6＋2＋8＋24＝40. 答案：4011．如下图，在上、下底面对应边的比为1：2的三棱台中，过上底面一边A 1B 1作一个平行于对棱AB 的平面A 1B 1EF ，这个平面分三棱台成两部分的体积之比为________．解析：设棱台的高为h ，上底面积为S ，则下底面积为4S . ∴V 台＝13h (S ＋4S ＋2S )＝73Sh ，V 柱A 1B 1C 1FEC ＝Sh .∴V 柱A 1B 1C 1FEC V 台－V 柱A 1B 1C 1FEC ＝Sh 73Sh －Sh＝34.答案：34或43综合点二 旋转体体积的综合应用12．把一个圆分为两个扇形，一个顶角为120°，另一个顶角为240°，把它们卷成两个圆锥，则两个圆锥的体积之比为________．解析：设圆的半径为R ，则第一个圆锥底面周长为C 1＝2πR 3，∴r 1＝R3.同理，C 2＝4πR 3，∴r 2＝2R 3.又母线为R ，∴h 1＝223R ，h 2＝53R .∴V 1＝13πr 12h 1＝2281πR 3，V 2＝13πr 22h 2＝4581πR 3.故V 1V 2＝1 10. 答案：1 1013．如右下图，在等腰三角形ABC 中，E 、F 分别为两腰AB 、AC 的中点，AD ⊥BC ，EH ⊥BC ，FG ⊥BC ，D 、H 、G 分别为垂足，若将三角形ABC 绕AD 旋转一周所得的圆锥的体积为V ，求其中由阴影部分所产生的旋转体的体积与V 的比值．解析：由题意画出图形，如图，设圆锥的高为h ，底面半径为r ，则圆柱的高为h 2，底面半径为r2.所以V －V 柱V ＝1－V 柱V ＝1－π⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22·h213πr 2h ＝1－38＝58.综合点三 实际制作中的圆锥体积14．如下图，在边长为23的正方形中，剪下了一个扇形和一个圆，以此扇形和圆分别作圆锥的侧面和底面，求所围成的圆锥的体积．解析：设扇形半径为x ，圆的半径为r ，则扇形弧长等于圆的周长，即14×2x＝2r ，∴x ＝4r .又AC ＝x ＋r ＋2r ＝232，∴r ＝2325＋2＝52－2.∴圆锥的高h ＝x 2－r 2＝15r ＝15×(52－2)． ∴圆锥体积V ＝13πr 2×h ＝13π×(52－2)2×15×(52－2) ＝153×(52－2)3π.。