人教A版高中数学必修二空间几何体的表面积与体积教案新

1.3空间几何体的表面积和体积（第二课时）【教学目标】1．会求棱台和圆台的表面积和体积．2．理解棱台和圆台的表面积和体积的求法．3.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.4.激发学生学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识【重点难点】1．会求棱台和圆台的表面积和体积．(重点)2．理解棱台和圆台的表面积和体积的求法．(难点)【教学策略与方法】讲述，练习【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图环节一：问题导入类比棱柱、棱锥，思考：棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它的展开图是什么？如何计算它的表面积？结合已有知识进行思考，引出新知识新旧知识建立联系环节二：探究过程棱台侧面展开图探究几种方法，找出公式背后的理论依据形成归纳、猜想和证明的科学思维习惯圆台的上、下底面半径分别为r，r′，母线为l，其表面积S＝__________________.根据台体的特征，如何求台体的体积？由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的，因此可以利用两个锥体的体积差．得到圆台(棱台)的体积公式．类比得出圆台的体积环节二：例题讲解例1 、已知一正四棱台的上底边长为4cm，下底边长为8cm，高为3cm，求其体积。

例2．如图，一个圆台形花盆盆口直径20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm．为了美化花盆的外观，需要涂油漆．已知每平方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆（取3.14,结果精确到1毫升，可用计算器）？例3：下图是一个几何体的三视图(单位:cm)想象对应的几何体，并求出它的表面积学生做题总结思考，笔记教师讲解通过做题可以加深学生对基础知识的记忆与利用.教师结合实际情况适当讲解环节三：课堂演练1.圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？(结果中保留π)2．如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为144，母线长为10，则圆台的侧面积为( )A．81π B．100πC．14π D．169π3.一个四棱台的上、下底面都为正方形，且上底面的中心在下底面的投影为下底面中心(正四棱台)两底面边长分别为1,2，侧面积等于两个底面积之和，则这个棱台的高为( )A．23B．2C．32D．12学生自主做题，思考讨论的同时，可以加深本节知识点的记忆，加强应用方面的方法技巧，加深对知识的认识.通过演练直击本节知识点，起到巩固作用.环节四：归纳总结,知识回顾棱台的侧面展开是什么图形？圆台的侧面展示是什么图形？棱台和圆台的侧面积和体积公式学生整理反思，深化认识环节五：作业与测试练习与测试独立完成作业限时完成测试通过作业与测试巩固知识提升应用能力。

空间几何体表面积和体积教学目标：知识与技能：了解球、柱体、锥体、台体的表面积、体积计算公式过程与方法：会用三视图画出直观图，并且求出直观图的表面积或体积。

情感态度价值观：培养学生的空间想象力及运算能力。

教学重点：会求空间几何体的表面积、体积。

教学难点：利用三视图画出直观图。

教学方法：启发式、讲解式教学手段：多媒体、三角板课型：高三复习课课时安排：1课时教学过程：1.写出圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式。

（底面圆半径为r,母线长为,圆台上底面圆半径为r＇）2完成下表：名称表面积体积柱体（圆柱、棱锥）锥体（圆锥、棱锥）台体（圆台、棱台）球考向一：空间几何体表面积例1．某四棱锥的三视图如图1所示，该四棱锥的表面积是A 32B 16＋16错误!C 48D 16＋32错误!图1解析：由三视图知，四棱锥是底面正方形边长为4，高为2的正四棱锥，∴四棱锥的表面积是16＋4×错误!×4×2错误!＝16＋16错误!，故选B方法小结：1．旋转体的表面积的求法圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．2．多面体的表面积的求法求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特征几何图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁，从而架起侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素的联系．[学以致用]练习1[2021·重庆高考]某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积为A 180B 2021C 22021D 240练习2[2021·辽宁模拟]一个几何体的三视图如图3所示，则该几何体的表面积为________．图2 图3考向二：空间几何体的体积例2 某几何体的三视图如图4所示，它的体积为A．12π B．45π C．57π D．81π图4解析：由三视图知该几何体是由圆锥和圆柱构成的组合体，示意图如图所示，∴该几何体的体积为V＝V圆锥＋V圆柱＝错误!πr2h1＋πr2h＝错误!π×32×4＋π×32×5＝12π＋45π＝57π方法小结：1以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解．2求几何体的体积时，若所给定几何体是规则的柱体、锥体或台体，可直接利用公式求解，若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，常用转换法、分割法、补形法等方法求解．例3 [2021·浙江高考]已知某几何体的三视图单位：cm如图5所示，则该几何体的体积是A 108 cm3B 100 cm3C 92 cm3D 84 cm3图5解析：由三视图可知，该几何体是一个长方体截去了一个三棱锥，结合所给数据，可得其体积为6×6×3－错误!×错误!×4×4×3＝100cm3。

1.空间几何体的表面积与体积（通用）-人教A版必修二教案一、教学目标1.了解空间几何体的定义及分类，并掌握它们的表面积与体积公式。

2.能够运用所学知识计算空间几何体的表面积与体积。

二、教学重点和难点1.教学重点：空间几何体的定义及分类、表面积与体积的公式。

2.教学难点：如何运用所学知识计算空间几何体的表面积与体积。

三、教学过程1. 空间几何体的定义及分类1.引入空间几何体的概念，定义几何体。

2.给出空间几何体的常见分类：点、线、面、体。

3.介绍不同空间几何体的定义和特点。

2. 空间几何体的表面积公式1.引入空间几何体的表面积概念，定义表面积。

2.分别介绍正方体、长方体、正棱柱、正棱锥、球的表面积公式，并进行计算演示。

3. 空间几何体的体积公式1.引入空间几何体的体积概念，定义体积。

2.分别介绍正方体、长方体、正棱柱、正棱锥、球的体积公式，并进行计算演示。

4. 计算练习1.给出一些空间几何体的基本参数，要求学生自行计算其表面积和体积。

2.教师进行现场指导和解答，强调运用公式的方法。

四、教学评估1.给出一些空间几何题目，要求学生自行计算其表面积和体积。

2.对学生的计算结果进行点评和总结，引导同学们继续加强实践和掌握。

五、教学拓展1.引导同学们了解空间几何体中的其他几何体类型，例如多面体、四面体、棱锥等，拓宽知识面。

2.提供更多计算练习，让学生运用公式娴熟地计算各种空间几何体的表面积和体积。

六、教学反思教学中应注意具体问题具体分析，让学生感受到所学知识的实际应用。

此外，在计算时也要避免公式的生搬硬套，而应注重运用创新思维。

1.3.1 空间几何体的表面积与体积一、知识导学：1、了解求多面体表面积的方法；2、理解柱、锥、台、球的表面积、体积计算公式，并能灵活运用相关公式进行计算和解决有关实际问题。

二、基础知识： 1、（1）边长为a 的正方体表面积等于__________；体积等于_________。

（2）长、宽、高分别为a 、b 、c 的长方体的表面积等于____________；体积等于________________。

一般地，我们可以把多面体展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求多面体的表面积。

例1 棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S —ABC 的表面积为________。

体积为___________.2等底、等高的圆锥、棱锥之间的体积比为____________。

（2）柱、锥、台的体积计算公式有何关系？从柱、锥、台的形状可以看出，当台体上底缩为一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相同时，台成为柱。

因此只要分别令S ’=S 和S ’=0便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。

从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式。

另外：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式也可以统一为圆台的侧面积公式。

3、球的表面积： 24SR p =； 球的体积：343V R p =。

例2 一个圆台上、下底面半径分别为10、20，母线与底面的夹角为60°，则圆台的表面积为_____________，体积为_____________.例3 已知过球面上A ，B ，C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB=BC=CA=2，求球的表面积和体积。

EC A B三、达标训练：1、长方体共顶点的三个面的面积分别是2cm 2，6cm 2，9cm 2，那么这个长方体的体积为（ ） A ．3cm B ．3cm C ．37cm D ．38cm2、把球大圆面积扩大到原来的2倍，那么它的体积扩大到原来的（ ） A ．2倍 B ．4倍 C ．倍 D ．8倍 3、三个球的半径之比为1：2：3，那么最大球的体积与其它两球体积和的比是（ ） A ．1：1 B ．2：1 C ．3：1 D ．4：14、如果夹在两个平行平面间的圆锥、球、圆柱在平面内的射影为等圆， 那么它们的体积比为（ ） A．1::．1：2：3 C ::1 D ．1：2：4 5、体积相等的正方体、球、等边圆柱的全面积分别是S 1、S 2、S 3， 则它们的大小关系是（ ）A ．S 1 ＜ S 2 ＜ S 3B ．S 1 ＜ S 3 ＜ S 2C ．S 2 ＜ S 3 ＜ S 1D ．S 2＜ S 1 ＜ S 3 6、半球内有一个内接正方体，则这个半球的的体积与内接正方体的体积之比为（ ） ABC D 7、长方体的12条棱的总长度为56cm ，表面积为112cm 2，那么长方体的对角线长为_______________。

1.3空间几何体的表面积和体积——简单锥体的外接球和内切球求法【教学目标】：1、知识与技能：会用补形法和构造直角三角形法求解简单锥体的外接球和内切球的体积和表面积的问题；2、过程与方法：在教学过程中，让学生在问题情境中掌握补形法和构造直角三角形法的重要性，体验补形法的便捷；3、情感和价值观：通过学习，使得学生了解数学源于生活，但高于生活，逐步养成任何事物都是不断变化发展的辩证唯物主义的观点；【教学重点】：掌握求解简单锥体的外接球和内切球的体积和表面积的两种方法：补形法和构造直角三角形法。

【教学难点】：如何应用补形法和构造直角三角形法【教学过程】：一、复习 1.；；；，圆圆圆===S S C 2.；；；，球球球===V V S 3.长、宽、高分别为c b a ,,的长方体外接球直径2R= ； 特别地，边长为a 的正方体外接球直径2R= ；4. 边长为a 的正方体中，与其各棱都相切的球的直径2R= ； 边长为a 的正方体内切球直径2R= ；二、补形法例1.若三棱锥 P - ABC 的四个顶点都在球 O 的表面上， P A ⊥ 平面 A BC ， A B ⊥AC ，且 P A = 8 ， A B=4，AC=52 ，则球O 的半径为 ．变式1：若三棱锥 P - ABC 的四个顶点都在球 O 的表面上， P A ⊥ 平面 ABC ， A B ⊥ BC ，且P A = 8 ，AB=4，B C=52．则球O 的半径为 ，ABC ∆外接圆半径为变式2：若三棱锥P - ABC 的四个顶点都在球 O 的表面上， P A ⊥ 平面 ABC ， A B ⊥ BC ，且P A = 8，平面 A BC 截球 O 所得截面的面积为 9π ，则球 O 的表面积为（ ）（A ）10π （B ） 25π （C ） 50π （D ）100π三、构造直角三角形法例2.在正四棱锥P-ABCD 中，AB=2,PA=5，则该棱锥的斜高为 ，高为 ，体积为 ，其内切球半径为2的等边三角形，则该棱锥的高为 ，其外接球半径例3.已知圆锥的高为3球面上，则这个球的体积等于（ ）A ．83πB ．323π C ．16π D ．32π变式1：已知圆锥的高为3，则该圆锥的内切球的半径为变式2：现为一球状巧克力设计圆锥体的包装盒，若该巧克力球的半径为3 ，则其包装盒的体积的最小值为（ ）A ．36πB ．72π C. 81π D ．216π例4．若正三棱台ABC A B C '''-，高为1，则该正三棱台的外接球的表面积为_______．变式1：正三棱台ABC A B C '''-1，若该正三棱台内有一个球，则该球的最大半径为_______．【课堂小结】：1、补形法；2、构造直角三角形法；【作业布置】：卷15【教学反思】：。

1.3.1 空间几何体的表面积教学目标1、通过展开柱、锥、台的侧面，进一步认识柱、锥、台．2、了解柱、锥、台的表面积的计算公式． 教学重点多面体和旋转体的侧面积公式． 教学难点 侧面展开图． 教学过程 一、问题情境已知ABB 1A 1是圆柱的轴截面，AA 1＝a ，AB =34a ，P 是BB 1的中点；一小虫沿圆柱的侧面从A 1爬到P ，求小虫爬过的最短路程．AB PB 1A 1P二、学生活动观察下图，试配对：A ： B ： C ： ．A B C(1)(2)(3)三、建构数学1、平面展开图：将一个简单的多面体沿着它的某些棱将它剪开而成为平面图形，这个平面图形称为平面展开图．2、直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱．3、正棱柱：底面是正多边形的直棱柱．4、正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面的中心的棱锥．正棱锥的侧棱长都相等．5、正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分．6、侧面展开图及其公式：（1）直棱柱：S直棱柱侧=ch（2）正棱锥：S正棱锥侧=1' 2 ch（3）正棱台：（由正棱锥截去小正棱锥）S正棱台侧=1(')'2c c h．（4）正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间的关系可用下图表示：（见课本P.50）（5）圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系类似可用下图表示：（见课本P.50）四、数学运用例1、设计一个正四棱锥形冷水塔顶，高是0.85米，底面的边长是1.5米，制造这种塔顶需要多少平方米铁板？（保留两位有效数字）例2、有一根长为5cm ，底面半径为1cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一条母线的两端，则铁丝的最短长度为多少?（精确到0.1cm ）例3、如图，正三角形ABC 的边长为4，D 、E 、F 分别为各边的中点，M 、N 、P 分别为BE 、DE 、EF 的中点，将△ABC 沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥以后； 问：（1）∠NMP 等于多少度？（2）擦去线段EN 、EP 、EM 后剩下的几何体是什么？其侧面积为多少？A BCDEFNPM例4、已知圆锥有一个内接圆柱，此圆柱的底面在圆锥的底面上，圆柱的高等于圆锥的底面半径，且圆柱的全面积∶圆锥的底面积=3∶2；（1）求圆锥母线与底面所成的角的正切值；（2）圆锥的侧面积与圆柱的侧面积的比．学生练习：课本P.53 1、2、3、4、5、6． 五、回顾小结本节主要学习了多面体和旋转体的侧面积公式．应注意侧面展开图的画法特征． 六、课外作业（一）自测训练：必修2 学习与评价[课课练] P.030 分层训练班级 姓名 （二）反馈练习 （友情提醒：老师喜欢书写认真、过程完整、页面清洁的作业）[ 1.3.1 空间几何体的表面积]1、如图是正方体纸盒的展开图，那么直线AB 、CD 在原来 正方体中位置关系是（ ）A 、平行B 、垂直相交且成60°C 、垂直D 、异面且成60°2、已知圆柱的侧面积为4π，则当轴截面的对角线长取最小值时，圆柱母线长l 与底面半径r 的关系是（ ）A 、l r =B 、2l r =C 、3l r =D 、4l r =3、一张长、宽分别为8cm 、4cm 的矩形硬纸板，以这硬纸板为侧面，将它折成正四棱柱，则此四棱柱的对角线长为 ．4、将半径为R 的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为1r 、2r 、3r ；则1r +2r +3r 的值为 ．5、如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB a =，BC b =，1BB c =，并且0a b c >>>； 求沿着长方体的表面自A 到C 1的最短路线的长．BCDA 1B 1C 1D 1abc6、已知圆锥的底面半径为r ，母线为l ，侧面展开图的圆心角为θ，求证： 360rlθ=︒ ．7、（1）计算：lg141921log log 4log 272π++-= ． （2）函数211() 2 (0)2xy x -=+<的反函数是 ．（3）函数()20.5log 48y x x =-++有最 值为 ．（4）函数()20.1log 62y x x =+-的单调增区间是 ．（5）已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，f (x )+g (x )=2x；则f (x )= ．1.3 空间几何体的表面积和体积（2）班级 姓名1.3.2 空间几何体的体积（1）教学目标1、整体理解柱、锥、台的体积公式．2、能正确运用这些公式计算一些简单的几何体的体积． 教学重点柱、锥、台的体积公式．教学难点三棱锥的等积变换．教学过程一、问题情境用上口直径为34cm、底面直径为24cm、深为35cm的水桶盛得的雨水正好为桶深的五分之一，问此次的降水量为多少（精确到0.1cm）？(降水量是指单位面积的水平地面上降下的雨水的深度)．二、学生活动（1）试将一堆排放整齐的书，推成倾斜状；看看体积有没有发生变化？（2）将一圆柱形萝卜，斜刀一切，再原来的两底接起来，看看体积有没有变化？（3）阅读课本，体会各公式之间的关系．三、建构数学1、长方体的体积：V长方体= abc = Sh．2、柱体的体积：V柱体= Sh．3、锥体的体积：V锥体=13 Sh．4、台体的体积：V台体=1(')3h S S．5、柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如下：S'=S S'=0四、数学运用例1、有一堆相同的规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg；已知底面六边形边长是12mm，高是10mm，内孔直径是10mm，那么约有毛坯多少个？（铁的比重为7.8g/cm3）例2、在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，用截面截下一个棱锥C -A 1DD 1；求C -A 1DD 1的体积与剩余部分的体积之比．BC D A 1B 1C 1D 1例3、如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，E 、F 分别是棱AA 1和CC 1的中点，求四棱锥A 1-EBFD 1的体积．ACDA 1B 1C 1D 1E学生练习： 课本P.56 练习：1、2、3、4．五、回顾小结本节主要学习了柱、锥、台的体积公式． 几个重要的结论：（1）一个几何体的体积等于它的各部分的体积之和．体积相等的两个几何体叫等积体；全等的两个几何体一定是等积体；等底、等高的柱体或锥体是等积体． （2）计算三棱锥体积时，可灵活选底，简化运算． （3）柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为：''011(')33S S S V Sh V S S V Sh ===←−−−==+−−−→=柱体台体堆体六、课外作业（一）自测训练：必修2 学习与评价[课课练] P.032 分层训练 拓展延伸班级 姓名 （二）反馈练习 （友情提醒：老师喜欢书写认真、过程完整、页面清洁的作业）[ 1.3.2 空间几何体的体积（1）]1、正棱锥的高和底面边长都缩小为原来的二分之一时，它的体积是原来的（ ）A 、12 B 、14 C 、18 D 2、已知两个平行于底面的平面将棱锥的高分成相等的三段，则此棱锥被分成的三部分的体积（自上而下）之比是（ ）A 、1∶2∶3B 、1∶4∶9C 、1∶8∶27D 、1∶7∶193、一个盛满水的无盖圆柱的母线长为5dm ，底面直径为4dm ，将其倾斜45°后，能够流出来的水的体积为 dm 3．4、将一个正三棱柱形的木块，经车床切割加工，旋成与它等高并且尽可能大的圆柱形，则旋去部分的体积是原三棱柱体积的 倍．5、一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积也相等，试比较它们的体积的大小．6、如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面EB 1C 1F 将三棱柱分成体积为V 1V 2两部分，求V 1∶V 2的值．C A 1B 1C 1F EV 1V 27、正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱长均为a ，E 、F 分别是AA 1、CC 1的中点，求几何体B -EFB 1的体积．A CA 1B 1C 1FE8、（复习）（1）函数12 3 ()x y x R -=+∈的反函数的解析表达式为（ ）A 、22log 3y x =- B 、23log 2x y -= C 、23log 2x y -= D 、22log 3y x=-（2）函数y =的定义域为 ． （3）若[)30.618, , 1a a k k =∈+，则整数k = ．（4）已知,a b 为常数，若2()43f x x x =++，2()1024f ax b x x +=++，求5a b -的值．1.3 空间几何体的表面积和体积（3）班级 姓名1.3.2 空间几何体的体积（2）教学目标1、理解球的体积公式和球的表面积公式．2、能正确运用这些公式计算有关球的体积和表面积． 教学重点球的体积公式和球的表面积公式． 教学难点对公式推导的理解即“分割—求和—化为准确和”的方法的理解． 教学过程 一、问题情境如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水； 若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ； 问：R ∶r 的值是多少？二、学生活动（1）倒沙实验：一个底面半径和高都等于R 的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，用沙粒充满后，再将其所容纳的沙粒倒入一个半径为R 的半球内，结果刚好也能充满半球．说明两者体积相等．（2）计算上图中的等高截面的面积：上图中，取相同的高度h ，试计算出等高截面的面积，并观察它们的关系．并阅读课本，问：可用什么知识来解释此问题？三、建构数学1、球的体积公式：V 长方体=343R π． 由上图可推出：223112233V R R R R R πππ=-= 球． 亦可由“准锥体”推出：31241113333R V RS RS RS π==++= 球球面2、球的表面积：24S R π=球面．即：球的表面积是球的大圆面积的4倍．球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，大圆的半径等于球的半径．四、数学运用例1、如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积．（尺寸如图，单位：cm ，π取3.14，精确到1cm 2和1cm 3）例2、如图，一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并向容器内注水，使水面恰好与铁球面相切，将球取出后，容器内的水深是多少？学生练习：1、课本P.56 练习：1、2、3、4．2、一个长、宽、高分别为80cm、60cm、55cm的水槽中有水200000cm3，现放入一个直径为50cm的木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中流出？五、回顾小结本节主要学习了球的体积公式和表面积公式．六、课外作业（一）自测训练：必修2 学习与评价[课课练] P.034 分层训练 拓展延伸班级 姓名（二）反馈练习 （友情提醒：老师喜欢书写认真、过程完整、页面清洁的作业）[ 1.3.2 空间几何体的体积（2）]1、湖面上漂着一个球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为24cm ，深为8cm 的空穴，则该球的面积为（ ）A 、1692cm πB 、2562cm πC 、5762cm πD 、6762cm π2、若一个等边圆柱（轴截面为正方形的圆柱）的侧面积与一个球的表面积相等，则这个圆柱与这个球的体积之比是（ ）A 、1∶1B 、3∶4C 、4∶3D 、3∶23、正方体的内切球与外接球的表面积之比是 ．4、（1）表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是 ．（2）体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体是 ．5、把长、宽分别为4、3的矩形以一条对角线为痕折成直二面角，求过此四个顶点所在球的内接正方体的表面积和体积．AB CD O D B C O6、已知球的半径为R ，在球内作一个内接圆柱，当这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？AB C DOR r O 17、如图，直角梯形O 2BAO 1内有一个内切半圆O ，把这个平面图形绕O 1O 2旋转一周得到圆台有一个内切球；已知圆台全面积与球面积的比是k （k >1），求它们的体积比．AB O 2R r O 1OM8、（复习） （1）设M ={x |x 2-(p +1)x +2=0}，N ={x |x 2+px +q =0}，若M N ={-1}，求M N ．（2）函数f (x )的定义域为(0，+∞)且单调递增，f (4)=1，f (x y )=f (x )+f (y )；①求f (1)，f (16)；②若f (x )+f (x -3)≤1，求x 的范围．。

空间几何体之柱锥台体的表面积和体积公式教学目标1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。

2.能运用公式求解柱体、锥体和台全的表面积和体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系。

3.培养学生空间想象能力和思维能力。

1.自探过程中发现问题，提出问题，解决问题2.小组合探，互相帮扶解决疑难点3.质疑再探，查缺补漏与知识拓展外延2.共同合作、协调能力3.通过学习，使学生感受到几何体表面积和体积的求解过程4.培养空间思维能力，增强学习的趣味性积极性重点： 1.理解柱锥台体的表面积公式和体积公式及公式间的转化关系。

2.熟练应用柱锥台体的表面积公式和体积公式。

难点：.熟练应用柱锥台体的表面积公式和体积公式教学流程：〔包括：1、设疑自探；2、解疑合探；3、质疑再探；4、运用拓展。

〕一、导入新课同学们,我们已经学习了简单几何体的结构特征和它们的三视图，今天我们继续学习简单几何体中的柱椎台体的表面积和体积公式。

请同学们根据预习情况，提出本节课的学习内容：〔学生提出问题，师生共同梳理〕给出自探问题：一、柱锥台体的表面积和体积公式二.、柱锥台体的表面积和体积公式应用1.圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为6，那么其表面积等于( ) A．72 B．42π C．67π D．72π2.某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为 ( )A．2B．4C．6D．8 补充修改“秀出我的风采〞——展示要求：1、书写要认真、规X，答案要点要清晰全面；2、口头表述声音要洪亮、清楚；讲解完后要问：“大家是否还有什么补充？〞3、非展示的同学继续讨论，做好补充评价准。

关实际问题.教学重点：运用公式解决问题.教学难点：理解计算公式的由来.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→ 正方体、长方体的表面积计算公式？2. 讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？ → 圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？二、讲授新课：1. 教学表面积计算公式的推导：① 讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和） ② 练习：求各面都是边长为10的等边三角形的正四面体S-ABC 的表面积.一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积. ③ 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线），S 圆柱侧=2rl π，S 圆柱表=2()r r l π+，其中为r 圆柱底面半径，l 为母线长。

圆锥：侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图扇形中心角为0360rlθ=⨯，S 圆锥侧=rl π， S 圆锥表=()r r l π+，其中为r 圆锥底面半径，l 为母线长。

圆台：侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，侧面展开图扇环中心角为0360R r lθ-=⨯，S 圆台侧=()r R l π+，S 圆台表=22()r rl Rl R π+++.④ 练习：一个圆台，上、下底面半径分别为10、20，母线与底面的夹角为60°，求圆台的表面积. （变式：求切割之前的圆锥的表面积）2. 教学表面积公式的实际应用：① 出示例：一圆台形花盆，盘口直径20cm ，盘底直径15cm ，底部渗水圆孔直径1.5cm ，盘壁长15cm.. 为美化外表而涂油漆，若每平方米用100毫升油漆，涂200个这样的花盘要多少油漆？ 讨论：油漆位置？→ 如何求花盆外壁表面积？列式 → 计算 → 变式训练：内外涂② 练习：粉碎机的上料斗是正四棱台性，它的上、下底面边长分别为80mm 、440mm ，高是200mm, 计算制造这样一个下料斗所需铁板的面积.3. 小结：表面积公式及推导；实际应用问题三、巩固练习：1. 已知底面为正方形，侧棱长均是边长为5的正三角形的四棱锥S-ABCD ，求其表面积.2. 圆台的上下两个底面半径为10、20, 平行于底面的截面把圆台侧面分成的两部分面积之比为1：1，求截面的半径. （变式：r 、R ；比为p:q ）3. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，求这个圆锥的表面积.*4. 圆锥的底面半径为2cm ，高为4cm ，求圆锥的内接圆柱的侧面积的最大值.5. 面积为2的菱形，绕其一边旋转一周所得几何体的表面积是多少？6. 作业：P30 2、P32 习题1、2题.和解决有关实际问题.教学重点：运用公式解决问题.教学难点：理解计算公式之间的关系.教学过程：一、复习准备：1. 提问：圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式？2. 练习：正六棱锥的侧棱长为6, 底面边长为4, 求其表面积.3. 提问：正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式？二、讲授新课：1. 教学柱锥台的体积计算公式：① 讨论：等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系？（祖暅(g èng ，祖冲之的儿子)原理，教材P34） ② 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？→给出柱体体积计算公式：V Sh =柱 （S 为底面面积，h 为柱体的高）→2V Sh r h π==圆柱③ 讨论：等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系？ 等底等高的圆锥、棱锥之间的体积关系？ ④ 根据圆锥的体积公式公式，推测锥体的体积计算公式？→给出锥体的体积计算公式：13V Sh =锥 S 为底面面积，h 为高） ⑤ 讨论：台体的上底面积S ’，下底面积S ，高h ，由此如何计算切割前的锥体的高？ → 如何计算台体的体积？⑥ 给出台体的体积公式：'1()3V S S h =台 （S ，'S 分别上、下底面积，h 为高）→ '2211()()33V S S h r rR R h π==++圆台 （r 、R 分别为圆台上底、下底半径） ⑦ 比较与发现：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相同时，台成为柱。

课题：体积问题
授课班级：
授课老师:
教学目标：
知识与技能：
1、了解常见的体积公式,掌握常见的体积问题的解决方法。

2、能利用“等体积变换”，“割补法”解决相关的体积问题。

过程与方法：
引导学生观察，自主探寻解决体积问题的方法，培养学生发现问题，分析问题，解决问题的能力。

情感态度价值观：
通过体积问题的学习，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察，勇于探索的良好学习习惯和严谨的科学态度。

教学重点：掌握体积问题的解决方法并能解决相关的实际问题.
教学方法：问题诱思，讲练结合
教学过程
一、解决体积问题的常用方法
公式法、等体积转化法、分割法、补形法
二、典例剖析
例1：求棱长为a的正四面体的体积.
练一练：已知三棱锥P-ABC中，PA=1，AB=AC=2，∠PAB= ∠PAC= ∠BAC= 60°，求三棱锥的体积？
例2：斜三棱柱ABC-A`B`C`的侧面BB`C`C的面积为S，AA`到此侧面的距离是a，求此三棱柱的体积？
练一练：如图,在多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边长为3的正方形,EF//AB,EF=1.5, EF与面AC的距离为2,求此多面体的体积。

课堂小结
本节课你有什么收获？
课后作业
1、全品复习方案第38讲探究点二、三、四，多元提能力
板书设计。

41中高三数学第一轮复习—空间几何体的表面积和体积一．命题走向由于本讲公式多反映在考题上，预测008年高考有以下特色： （1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；二．要点精讲1．多面体的面积和体积公式表中S 表示面积，c ′、c 分别表示上、下底面周长，h 表斜高，h ′表示斜高，l 表示侧棱长。

2．旋转体的面积和体积公式 表中l 、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r 1、r 2分别表示圆台 上、下底面半径，R 表示半径。

四．典例解析题型1：柱体的体积和表面积例1．一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长.解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得：⎩⎨⎧=++=++24)(420)(2z y x zx yz xy )2()1(由（2）2得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36（3）由（3）－（1）得x 2+y 2+z 2=16 即l 2=16所以l =4(cm)。

P AB CDO点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。

我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。

例2．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面EB 1C 1将三棱柱分成体积为V 1、V 2的两部分，那么V 1∶V 2= ____ _。

解：设三棱柱的高为h ，上下底的面积为S ，体积为V ，则V=V 1+V 2＝Sh 。

∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点，∴S △AEF =41S, V 1=31h(S+41S+41⋅S )=127ShV 2=Sh-V 1=125Sh ， ∴V 1∶V 2=7∶5。

§1.3 空间几何体的表面积与体积§1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积一、教材分析本节一开始的“思考”从学生熟悉的正方体和长方体的展开图入手，分析展开图与其表面积的关系，目的有两个：其一，复习表面积的概念，即表面积是各个面的面积的和；其二，介绍求几何体表面积的方法，把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.接着，教科书安排了一个“探究”，要求学生类比正方体、长方体的表面积，讨论棱柱、棱锥、棱台的表面积问题，并通过例1进一步加深学生的认识.教学中可以引导学生讨论得出：棱柱的展开图是由平行四边形组成的平面图形，棱锥的展开图是由三角形组成的平面图形，棱台的展形图是由梯形组成的平面图形.这样，求它们的表面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形和梯形的面积问题.教科书通过“思考”提出“如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？”的问题.教学中可引导学生回忆圆柱、圆锥的形成过程及其几何特征，在此基础上得出圆柱的侧面可以展开成为一个矩形，圆锥的侧面可以展开成为一个扇形的结论，随后的有关圆台表面积问题的“探究”，也可以按照这样的思路进行教学.值得注意的是，圆柱、圆锥、圆台都有统一的表面积公式，得出这些公式的关键是要分析清楚它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系，教学中应当引导学生认真分析，在分别学习了圆柱、圆锥、圆台的表面积公式后，可以引导学生用运动、变化的观点分析它们之间的关系.由于圆柱可看成上下两底面全等的圆台；圆锥可看成上底面半径为零的圆台，因此圆柱、圆锥就可以看成圆台的特例.这样，圆柱、圆锥的表面积公式就可以统一在圆台的表面积公式之下.关于体积的教学.我们知道，几何体占有空间部分的大小，叫做几何体的体积.这里的“大小”没有比较大小的含义，而是要用具体的“数”来定量的表示几何体占据了多大的空间，因此就产生了度量体积的问题.度量体积时应知道：①完全相同的几何体，它的体积相等；②一个几何体的体积等于它的各部分体积的和.体积相等的两个几何体叫做等积体.相同的两个几何体一定是等积体，但两个等积体不一定相同.体积公式的推导是建立在等体积概念之上的.柱体和锥体的体积计算，是经常要解决的问题.虽然有关公式学生已有所了解，但进一步了解这些公式的推导，有助于学生理解和掌握这些公式，为此，教科书安排了一个“探究”，要求学生思考一下棱锥与等底等高的棱柱体积之间的关系.教学中，可以引导学生类比圆柱与圆锥之间的体积关系来得出结论.与讨论表面积公式之间的关系类似，教科书在得出柱体、锥体、台体的体积公式后，安排了一个“思考”，目的是引导学生思考这些公式之间的关系，建立它们之间的联系.实际上，这几个公式之间的关系，是由柱体、锥体和台体之间的关系决定的.这样，在台体的体积公式中，令S′=S，得柱体的体积公式；令S′=0，得锥体的体积公式.值得注意的是在教学过程中，要重视发挥思考和探究等栏目的作用，培养学生的类比思维能力，引导学生发现这些公式之间的关系，建立它们的联系.本节的重点应放在公式的应用上，防止出现：教师在公式推导过程中“纠缠不止”，要留出“空白”，让学生自己去思考和解决问题.如果有条件，可以借助于信息技术来展示几何体的展开图.对于空间想象能力较差的学生，可以通过制作实物模型，经过操作确认来增强空间想象能力.二、教学目标1．知识与技能（1）了解柱体、锥体与台体的表面积（不要求记忆公式）.（2）能运用公式求解柱体、锥体和台体的全面积.（3）培养学生空间想象能力和思维能力.2．过程与方法让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状，培养转化化归能力.3．情感、态度与价值观通过学习，使学生感受到几面体表面积的求解过程，激发学生探索创新的意识，增强学习的积极性.三、重点难点教学重点：了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式及其应用.教学难点：表面积和体积计算公式的应用.四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？（引导学生回忆，互相交流，教师归类）几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，柱体、锥体、台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？思路2.被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔，真是一个十分难解的谜.胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长230米，塔高146.5米，你能计算建此金字塔用了多少石块吗？（二）推进新课、新知探究、提出问题①在初中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（图1），你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？正方体及其展开图(1) 长方体及其展开图(2)图1②棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？③如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？④联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并且画出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是r′,r，母线长为l，你能计算出它的表面积吗？⑤圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？活动：①学生讨论和回顾长方体和正方体的表面积公式.②学生思考几何体的表面积的含义，教师提示就是求各个面的面积的和.③让学生思考圆柱和圆锥的侧面展开图的形状.④学生思考圆台的侧面展开图的形状.⑤提示学生用动态的观点看待这个问题.讨论结果：①正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和.因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.②棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和.③它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得.其中，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形.我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形（图2）.如果圆柱的底面半径为r,母线长为l ，那么圆柱的底面面积为πr 2,侧面面积为2πrl.因此，圆柱的表面积S=2πr 2+2πrl=2πr(r+l).图2 图3 圆锥的侧面展开图是一个扇形（图3）.如果圆锥的底面半径为r,母线长为l ，那么它的表面积S=πr 2+πrl=πr(r+l).点评：将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、常用的方法. ④圆台的侧面展开图是一个扇环（图4），它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即S=π(r 2+r′2+rl+r′l).图4⑤圆柱、圆锥、圆台侧面积的关系：圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体.圆柱可以看作是上下底面全等的圆台，圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台，观察它们的侧面积，不难发现：S 圆柱表=2πr(r+l)−−−←==r r r 21S 圆台表=π(r 1l+r 2l+r 12+r 22)−−−→−==r r r 21,0S 圆锥表=πr(r+l). 从上面可以很清楚地看出圆柱和圆锥的侧面积公式都可以看作由圆台侧面积公式演变而来.提出问题①回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗？并依次类比出柱体的体积公式？②比较柱体、锥体、台体的体积公式：V 柱体=Sh(S 为底面积，h 为柱体的高)；V 锥体=Sh 31(S 为底面积，h 为锥体的高)； V 台体=)''(31S SS S ++h(S′,S 分别为上、下底面积，h 为台体的高). 你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特殊”形式？活动：①让学生思考和讨论交流长方体、正方体和圆柱的体积公式.②让学生类比圆柱、圆锥和圆台的表面积的关系？讨论结果：①棱长为a 的正方体的体积V=a 3=a 2a=Sh ；长方体的长、宽和高分别为a,b,c ，其体积为V=abc=(ab)c=Sh ；底面半径为r 高为h 的圆柱的体积是V=πr 2h=Sh ，可以类比，一般的柱体的体积也是V=Sh ，其中S 是底面面积，h 为柱体的高.圆锥的体积公式是V=Sh 31(S 为底面面积，h 为高)，它是同底等高的圆柱的体积的31. 棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的31,即棱锥的体积V=Sh 31 (S 为底面面积，h 为高). 由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的31. 由于圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台（棱台）的体积公式V=31(S′+S S '+S)h, 其中S′，S 分别为上、下底面面积，h 为圆台（棱台）高.注意：不要求推导公式，也不要求记忆.②柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体.因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体.当S′=0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式;当S′=S 时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式.柱体和锥体可以看作由台体变化得到，柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此很容易得出它们之间的体积关系,如图5：图5（三）应用示例思路1例1 已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S —ABC （图6），求它的表面积.图6活动：回顾几何体的表面积含义和求法.分析：由于四面体S —ABC 的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍.解：先求△SBC 的面积，过点S 作SD ⊥BC ，交BC 于点D.因为BC=a,SD=a a a BD SB 23)2(2222=-=-,所以S △SBC =21BC·SD=2432321a a a =⨯. 因此，四面体S —ABC 的表面积S=4×22343a a =. 点评：本题主要考查多面体的表面积的求法.变式训练1.已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等.若圆柱的底面半径为r ，圆柱侧面积为S ，求圆锥的侧面积.解：设圆锥的母线长为l ，因为圆柱的侧面积为S ，圆柱的底面半径为r ，即S圆柱侧=S ，根据圆柱的侧面积公式可得：圆柱的母线（高）长为r S π2，由题意得圆锥的高为rS π2，又圆锥的底面半径为r ，根据勾股定理，圆锥的母线长l=22)2(rS r π+，根据圆锥的侧面积公式得 S 圆锥侧=πrl=π·r·24)2(24222S r r S r +=+ππ.2.两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是（ ）A.1∶2∶3B.1∶7∶19C.3∶4∶5D.1∶9∶27 分析：因为圆锥的高被分成的三部分相等，所以两个截面的半径与原圆锥底面半径之比为1∶2∶3，于是自上而下三个圆锥的体积之比为(h r 23π)∶［2)2(3r π·2h］∶［2)3(3r π·3h］=1∶8∶27，所以圆锥被分成的三部分的体积之比为1∶（8－1）∶（27－8）=1∶7∶19.答案：B3.三棱锥V —ABC 的中截面是△A 1B 1C 1，则三棱锥V —A 1B 1C 1与三棱锥A —A 1BC 的体积之比是（ ）A.1∶2B.1∶4C.1∶6D.1∶8分析：中截面将三棱锥的高分成相等的两部分，所以截面与原底面的面积之比为1∶4，将三棱锥A —A 1BC 转化为三棱锥A 1—ABC ，这样三棱锥V —A 1B 1C 1与三棱锥A 1—ABC 的高相等，底面积之比为 1∶4，于是其体积之比为1∶4.答案：B例2 如图7，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm ，盆底直径为15 cm ，底部渗水圆孔直径为1.5 cm ，盆壁长为15 cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少毫升油漆？（π取3.14，结果精确到1毫升，可用计算器）图7活动：学生思考和讨论如何转化为数学问题.只要求出每个花盆外壁的表面积，就可以求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面积加上底面积，再减去底面圆孔的面积. 解：如图7，由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积S=π［1522015215)215(2⨯+⨯+］-π(25.1)2≈1 000(cm 2)=0.1(m 2). 涂100个这样的花盆需油漆：0.1×100×100=1 000（毫升）.答：涂100个这样的花盆需要1 000毫升油漆.点评：本题主要考查几何体的表面积公式及其应用.变式训练1.有位油漆工用一把长度为50 cm ，横截面半径为10 cm 的圆柱形刷子给一块面积为10 m 2的木板涂油漆，且圆柱形刷子以每秒5周的速度在木板上匀速滚动前进，则油漆工完成任务所需的时间是多少?（精确到0.01秒）解：圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积，∵圆柱的侧面积为S 侧=2πrl=2π·0.1·0.5=0.1π m 2，又∵圆柱形刷子以每秒5周匀速滚动，∴圆柱形刷子每秒滚过的面积为0.5π m 2，因此油漆工完成任务所需的时间t=ππ205.01022=mm ≈6.37秒. 点评：本题虽然是实际问题，但是通过仔细分析后，还是归为圆柱的侧面积问题.解决此题的关键是注意到圆柱形刷子滚动一周所经过的面积就相当于把圆柱的侧面展开的面积，即滚动一周所经过的面积等于圆柱的侧面积.从而使问题迎刃而解.2.（2007山东滨州一模，文14）已知三棱锥O —ABC 中，OA 、OB 、OC 两两垂直，OC=1,OA=x ，OB=y ，且x+y=4，则三棱锥体积的最大值是___________.分析：由题意得三棱锥的体积是61)4(612131-=-=⨯x x xy (x-2)2+32，由于x ＞0，则当x=2时，三棱锥的体积取最大值32. 答案：32例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8 g/cm 3）六角螺帽（图8）共重5.8 kg,已知底面是正六边形，边长为12 mm,内孔直径为10 mm,高为10 mm ，问这堆螺帽大约有多少个?（π取3.14）图8活动：让学生讨论和交流如何转化为数学问题.六角帽表示的几何体是一个组合体，在一个六棱柱中间挖去一个圆柱，因此它的体积等于六棱柱的体积减去圆柱的体积.解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即V=43×122×6×10-3.14×(210)2×10≈2 956(m m 3)=2.956(cm 3).所以螺帽的个数为5.8×1 000÷(7.8×2.956)≈252(个). 答：这堆螺帽大约有252个.点评：本题主要考查几何体的体积公式及其应用. 变式训练如图9，有个水平放置圆台形容器，上、下底面半径分别为2分米，4分米，高为5分米，现以每秒3立方分米的速度往容器里面注水，当水面的高度为3分米时，求所用的时间.（精确到0.01秒）图9解：如图10，设水面的半径为r ，则EH=r-2分米，BG=2分米，图10在△ABG 中，∵EH ∥BG ，∴BG EHAG AH =.∵AH=2分米, ∴2252-=r .∴r=514分米. ∴当水面的高度为3分米时，容器中水的体积为V 水=π31·3［(514)2+514×4+42］=25876π立方分米,∴所用的时间为25292325876ππ=≈36.69秒.答：所用的时间为36.69秒.思路2例1 （2007山东烟台高三期末统考，理8）如图11所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ）图11A.1B.21 C.31 D.61活动：让学生将三视图还原为实物图，讨论和交流该几何体的结构特征.分析：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，图12所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，AB ⊥AC.则该三棱锥的高是PA ，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积为V=611213131=⨯⨯=∆PA S ABC .图12答案：D点评：本题主要考查几何体的三视图和体积.给出几何体的三视图，求该几何体的体积或面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求得.此类题目成为新课标高考的热点，应引起重视.变式训练1.（2007山东泰安高三期末统考，理8）若一个正三棱柱的三视图如图13所示，则这个正三棱柱的表面积为（ ）图13A.318B.315C.3824+D.31624+ 分析：该正三棱柱的直观图如图14所示，且底面等边三角形的高为32，正三棱柱的高为2，则底面等边三角形的边长为4，所以该正三棱柱的表面积为3×4×2+2×21×4×32=24+38.图14答案：C2.（2007山东潍坊高三期末统考，文3）如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为（ ）A.33π B.332πC.π3D.3π分析：由三视图知该几何体是圆锥，且轴截面是等边三角形，其边长等于底面直径2，则圆锥的高是轴截面等边三角形的高为3，所以这个几何体的体积为V=3331312ππ=⨯⨯⨯.答案：A3.（2007广东高考，文17）已知某几何体的俯视图是如图15所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.图15（1）求该几何体的体积V ； （2）求该几何体的侧面积S.解：由三视图可知该几何体是一个底面边长分别为6、8的矩形，高为4的四棱锥.设底面矩形为ABCD.如图16所示，AB=8，BC=6，高VO=4.图16（1）V=31×(8×6)×4=64.(2)设四棱锥侧面VAD 、VBC 是全等的等腰三角形，侧面VAB 、VCD 也是全等的等腰三角形， 在△VBC 中，BC 边上的高为h 1=24)28(4)2(2222=+=+AB VO , 在△VAB 中，AB 边上的高为h 2=2222)26(4)2(+=+BC VO =5.所以此几何体的侧面积S=)582124621(2⨯⨯+⨯⨯=40+224.点评：高考试题中对面积和体积的考查有三种方式，一是给出三视图，求其面积或体积；二是与的组合体有关的面积和体积的计算；三是在解答题中，作为最后一问.例2 图17所示的几何体是一棱长为4 cm 的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2 cm 、深为1 cm 的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少?（π取3.14）图17活动：因为正方体的棱长为4 cm ，而孔深只有1 cm ，所以正方体没有被打透.这样一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积，这六个圆柱的高为1 cm ，底面圆的半径为1 cm. 解：正方体的表面积为16×6=96（cm 2）， 一个圆柱的侧面积为2π×1×1=6.28（cm 2），则打孔后几何体的表面积为96＋6.28×6=133.68（cm 2）. 答：几何体的表面积为133.68 cm 2.点评：本题主要考查正方体、圆柱的表面积.求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积.本题中将几何体的表面积表达为正方体的表面积与六个圆柱侧面积的和是非常有创意的想法，如果忽略正方体没有被打透这一点，思考就会变得复杂，当然结果也会是错误的.变式训练图18所示是由18个边长为1 cm 的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积.图18分析：从图18中可以看出，18个小正方体一共摆了三层，第一层2个，第二层7个，因为18-7-2=9，所以第三层摆了9个.另外，上、下两个面的表面积是相同的，同样，前、后,左、右两个面的表面积也是分别相同的.解：因为小正方体的棱长是1 cm，所以上面的表面积为12×9=9（cm2），前面的表面积为12×8=8（cm2），左面的表面积为12×7=7（cm2），则此几何体的表面积为9×2+8×2+7×2=48( cm2).答：此几何体的表面积为48 cm2.（四）知能训练1.正方体的表面积是96，则正方体的体积是（）48 B.64 C.16 D.96A.6分析：设正方体的棱长为a，则6a2=96，解得a=4，则正方体的体积是a3=64.答案：B2.（2007山东临沂高三期末统考，文2）如图19所示，圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的表面积为（）A.πB.2πC.3πD.4π分析：设圆锥的母线长为l ，则l=13+=2，所以圆锥的表面积为S=π×1×(1+2)=3π. 答案：C3.正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为32，则这个正三棱锥的体积是（ ）A.427 B.49 C.4327 D.439 分析：可得正三棱锥的高h=22)3()32(-=3，于是V=4393343312=⨯⨯⨯. 答案：D4.若圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的_________倍；若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍，则圆柱的体积扩大为原来的_________倍.分析：圆柱的体积公式为V 圆柱=πr 2h ，底面半径不变，高扩大为原来的4倍，其体积也变为原来的4倍；当圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍时，其体积变为原来的42=16倍.答案：4 165.图20是一个正方体，H 、G 、F 分别是棱AB 、AD 、AA 1的中点.现在沿△GFH 所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉部分的体积是原正方体体积的几分之几?图20分析：因为锯掉的是正方体的一个角，所以HA 与AG 、AF 都垂直，即HA 垂直于立方体的上底面，实际上锯掉的这个角，是以三角形AGF 为底面，H 为顶点的一个三棱锥.解：设正方体的棱长为a ，则正方体的体积为a 3.三棱锥的底面是Rt △AGF ，即∠FAG 为90°，G 、F 又分别为AD 、AA 1的中点，所以AF=AG=a 21.所以△AGF 的面积为281212121a a a =⨯⨯.又因AH 是三棱锥的高，H 又是AB 的中点，所以AH=a 21.所以锯掉的部分的体积为32481812131a a a =⨯⨯. 又因48148133=÷a a ,所以锯掉的那块的体积是原正方体体积的481.6.（2007山东临沂高三期末考试，理13）已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S ，则圆锥的底面面积是____________.分析：如图21，设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧==,2,22r l S l πππ解得r=π2S ，所以圆锥的底面积为πr 2=22SS =⨯ππ.图21答案：2S7.如图22，一个正三棱柱容器，底面边长为a ，高为2a ，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图23，这时水面恰好为中截面，则图22中容器内水面的高度是_________.图22 图23分析：图22中容器内水面的高度为h ，水的体积为V ，则V=S △ABC h.又图23中水组成了一个直四棱柱，其底面积为ABC S ∆43，高度为2a ，则V=ABC S ∆43·2a，∴h=a S aS ABC ABC 23243=∙∆∆. 答案：a 238.圆台的两个底面半径分别为2、4，截得这个圆台的圆锥的高为6，则这个圆台的体积是_____________.分析：设这个圆台的高为h ，画出圆台的轴截面，可得6642h -=，解得h=3，所以这个圆台的体积是3π(22+2×4+42)×3=28π. 答案：28π9.已知某个几何体的三视图如图24，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）,可得这个几何体的体积是（ ）图24A.34000 cm 3 B.38000cm 3 C.2 000 cm 3 D.4 000 cm 3 分析：该几何体是四棱锥，并且长为20 cm 的一条侧棱垂直于底面，所以四棱锥的高为20 cm,底面是边长为20 cm 的正方形（如俯视图），所以底面积是20×20=400 cm 2，所以该几何体的体积是31×400×20=38000cm 3.答案：B（五）拓展提升问题：有两个相同的直三棱柱，高为a2，底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a(a ＞0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是___________.探究：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况：四棱柱有一种，就是边长为5a 的边重合在一起，表面积为24a 2+28，三棱柱有两种，边长为4a 的边重合在一起，表面积为24a 2+32，边长为3a 的边重合在一起，表面积为24a 2+36，两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况，表面积为12a 2+48, 最小的是一个四棱柱，这说明24a 2+28＜12a 2+48⇒12a 2＜20⇒0＜a ＜315. 答案：0＜a ＜315（六）课堂小结本节课学习了：1.柱体、锥体、台体的表面积和体积公式.2.应用体积公式解决有关问题.（七）作业习题1.3 A 组 第1、2、3题.§1.3.2 球的体积和表面积一、教材分析本节教材直接给出了球的表面积和体积公式，并用两个例题来说明其应用.值得注意的是教学的重点放在球与其他几何体的组合体的有关计算上，这是高考的重点.二、教学目标1．知识与技能（1）了解几何体体积的含义，以及柱体、锥体与台体的体积公式.（不要求记忆公式）（2）熟悉台体与柱体和锥体之间体积的转换关系.（3）培养学生空间想象能力和思维能力.2．过程与方法（1）让学生通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体之间的体积关系.（2）通过相关几何体的联系，寻找已知条件的相互转化，解决一些特殊几何体体积的计算.3．情感、态度与价值观通过柱体、锥体、台体体积公式之间的关系培养学生探索意识.三、重点难点教学重点：球的表面积和体积公式的应用.教学难点：关于球的组合体的计算.四、课时安排。