苏教版必修二1.3《空间几何体的表面积和体积》word教案

习题课：空间几何体的表面积和体积教学目标：知识与技能：1、使学生进一步了解柱、锥、台的表面积和体积的计算公式，求解有关表面积、体积计算问题。

2、使学生会利用柱体、锥体、台体的表面积、体积公式解决一些简单的实际问题。

过程与方法：利用几何画板多媒体教学，使学生通过直观感受，利用柱体、锥体、台体的体积公式进行求解。

情感、态度和价值观：通过学习，提高学生的空间思维能力，利用多媒体教学，提高学生学习的积极性。

教学重点、难点：柱、锥、台的表面积、体积计算公式及其应用教学过程：1、斜三棱柱的底面的边长是4cm的正三角形，侧棱长为3cm，侧棱AA’与底面相邻两边成60°。

（1）求证：侧面CC’B’B是矩形；（2）求这个棱柱的侧面积；（3）求棱柱的体积。

【分析】要证侧面四边形是矩形，只要证明B B '⊥BC ，即A A BC '⊥，取BC 的的中点记为D 。

（2）要求侧面积即四个侧面面积的总和。

（3）h 31底S V =，作AD H A ⊥'。

2、在长方体ABCD -A'B'C'D'中，已知AD=AB=3,A A '=4.求：点D 到平面AD'C 的距离。

【分析】①利用等体积D AC D ACD D V V '--'=②作C D DH '⊥，F 为AC 中点3、如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1 的中点为O ，且AO ⊥平面C C BB 11.(1)证明:C B 1⊥AB ；(2)若AC ⊥1AB ,∠1CBB =60°,BC=1，求三棱柱的高。

明【分析】（1）要证AB C B ⊥1，要证ABO C B 面⊥1 （2）①利用等体积ABC B BCB A V V --=11思考：（2021 广东高考）如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD=PC=4,AB=6，BC=3.(1)求证：BC ⊥PD ；(2)求点B 到平面PDA 的距离。

1．如图，在三棱锥ABC P -中，已知BC PA ⊥，l BC PA ==，ED PA ⊥，ED BC ⊥，且h ED =．求证：三棱锥ABC P -的体积为h l V 261=．2．一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果将冰淇淋全部放入杯中，能放下吗？例题剖析例1 将半径分别为cm 1、cm 2、cm 3的三个锡球熔成一个大锡球，求这个大锡球的表面积．巩固练习1．两个球的体积之比为27:8，则这两个球的表面积之比是_____________________．A B D CPE2．若两个球的表面积之差为π48，两球面上两个大圆周长之和为π12，则这两球的半径之差为_____________________________．3．如果一个圆柱和一个圆锥的底面直径和高都与球的直径相等．求证：圆柱、球、圆锥体积的比是1:2:3．课堂小结割补法，等积转换等方法的运用．课后训练一 基础题1．一个圆锥的底面半径和一个球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为______．2．球面面积膨胀为原来的两倍，其体积变为原来的______________________倍．3．正方体的全面积为224cm ，一个球内切于该正方体，那么球的体积是________3cm ．4．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为cm 4，则这个球的表面积为_______2cm ．5．已知：1111D C B A ABCD -是棱长为a 的正方体，E ，F 分别为棱1AA 与1CC 的中点，求四棱锥11EBFD A -的体积．二 提高题6．一个长、宽、高分别为cm 80、cm 60、cm 55的水槽中有水3200000cm ．现放入一个直径为cm 50的木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是 否会从水槽中流出？三 能力题7．设E ，F ，G ，H 分别为四面体ABCD 中BC ， CD ，DA ，AB 的中点．求证：四面体被平面EFGH 分成等积的两部分．D A B CE F G H。

《空间几何体的表面积》教学设计1．教学目标 知识与技能（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法（2）能运用公式求解柱体、锥体和台体的侧面积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系（3）培养学生空间想象能力和思维能力过程与方法 （1）让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状（2）让学生通对照比较，理解柱体、锥体、台体三间的面积的关系情感态度价值观通过学习，使学生感受到几何体表面积的求解过程，加深自己空间思维能力的培养；增强学习的积极性。

2教学重点知道柱体、锥体、台体侧面展开图，弄懂柱体、锥体、台体的表面积公式。

3教学难点会求柱体、锥体和台体的表面积，并知道柱体、锥体和台体表面积之间的关系．4教学方法引导发现式、讲练结合法5教学手段实物几何体，投影仪6学情分析通过学习空间几何体的结构特征，空间几何体的三视图和直观图，了解了空间几何体和平面图形之间的关系，从中反映出一个思想方法，即平面图形和空间几何体的互化，尤其是空间几何问题向平面问题的转化。

该部分内容中有些是学生已经熟悉的，在解决这些问题的过程中，首先要对学生已有的知识进行再认识，提炼出解决问题的一般思想——化归的思想，总结出一般的求解方法，在此基础上通过类比获得解决新问题的思路，通过化归解决问题，深化对化归、类比等思想方法的应用。

7教学过程【导入】投影一个题目设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是m 4，底面的边长是m 6，制造这种塔顶需要多少平方米铁板？提问：解决这个题目需要知道什么？【设计意图】揭示日常生活中经常会碰到求几何体面积的题目，从而引出出本节课题：空间几何体的表面积板书：空间几何体的表面积【基础自测】1长方体长5cm,宽4cm,高3cm ，它的表面积为2正方体棱长为3cm,它的表面积为3圆柱底面圆半径2cm,高5cm,侧面积为前一天晚上做过，喊学生回答【设计意图】学生对前两题不陌生，追问如何做出？学生回答几个面面积之和，但是对第3题旋转体需要展开，从而引出本节课重要思想方法：空间几何体到平面图形的转化。

1．3．1空间几何体的表面积
【教学目标】
1．理解直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台的概念.
2．让学生经历空间几何体的侧面展开过程，感知侧面展开图的形状，了解空间几何体的侧面积计算公式的推导过程.
3．能用侧面积的计算公式解决具体问题.
４．培养学生观察、分析、归纳的能力，以及数学应用意识与辨证的思想.
【教学重点】
1．正棱柱、正棱锥、正棱台概念的理解.
2．柱、锥、台的侧面展开图的结构以及侧面积计算的结构特征.
【教学难点】
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式的确定.
2．数学应用.
【课时安排】1课时
【教学流程】
注：M：表示实例 P：课件
H：几何画板
【教学设计】。

⾼中数学必修2《空间⼏何体的表⾯积与体积》教案 ⾼中数学必修2《空间⼏何体的表⾯积与体积》教案 1教学⺫标 1.知道柱体、锥体、台体侧⾯展开图，弄懂柱体、锥体、台体的表⾯积的求法. 2.能运⽤公式求解柱体、锥体和台体的表⾯积，并知道柱体、锥体和台体表⾯积之间的关系. 2学情分析 通过学习空间⼏何体的结构特征，空间⼏何体的三视图和直观图，了解了空间⼏何体和平⾯图形之间的关系，从中反映出⼀个思想⽅法，即平⾯图形和空间⼏何体的互化，尤其是空间⼏何问题向平⾯问题的转化。

该部分内容中有些是学⽣已经熟悉的，在解决这些问题的过程中，⾸先要对学⽣已有的知识进⾏再认识，提炼出解决问题的⼀般思想——化归的思想，总结出⼀般的求解⽅法，在此基础上通过类⽐获得解决新问题的思路，通过化归解决问题，深化对化归、类⽐等思想⽅法的应⽤。

3重点难点 重点：知道柱体、锥体、台体侧⾯展开图，弄懂柱体、锥体、台体的表⾯积公式。

难点：会求柱体、锥体和台体的表⾯积，并知道柱体、锥体和台体表⾯积之间的关系. 4教学过程 4.1 第⼀学时教学活动活动1【导⼊】第1课时　柱体、锥体、台体的表⾯积 (⼀)、基础⾃测： 1.棱⻓为a的正⽅体表⾯积为__________. 2.⻓、宽、⾼分别为a、b、c的⻓⽅体，其表⾯积为___________________. 3.⻓⽅体、正⽅体的侧⾯展开图为__________. 4.圆柱的侧⾯展开图为__________. 5.圆锥的侧⾯展开图为__________. (⼆).尝试学习 1.柱体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱柱的侧⾯展开图是____________，⼀边是棱柱的侧棱，另⼀边等于棱柱的__________，如图①所⽰;圆柱的侧⾯展开图是_______，其中⼀边是圆柱的⺟线，另⼀边等于圆柱的底⾯周⻓，如图②所⽰. (2)⾯积：柱体的表⾯积S表=S侧+2S底.特别地，圆柱的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆柱的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 2.锥体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱锥的侧⾯展开图是由若干个__________拼成的，则侧⾯积为各个三⾓形⾯积的_____，如图①所⽰;圆锥的侧⾯展开图是_______，扇形的半径是圆锥的______，扇形的弧⻓等于圆锥的__________，如图②所⽰. (2)⾯积：锥体的表⾯积S表=S侧+S底.特别地，圆锥的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆锥的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 3.台体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱台的侧⾯展开图是由若干个__________拼接⽽成的，则侧⾯积为各个梯形⾯积的______，如图①所⽰;圆台的侧⾯展开图是扇环，其侧⾯积可由⼤扇形的⾯积减去⼩扇形的⾯积⽽得到，如图②所⽰. (2)⾯积：台体的表⾯积S表=S侧+S上底+S下底.特别地，圆台的上、下底⾯半径分别为r′，r，⺟线⻓为l，则侧⾯积S侧=____________，表⾯积S表=________________________. (三).互动课堂 例1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a，∠AA1B1=∠AA1C1=60°，∠BB1C1=90°，侧棱⻓为b，则其侧⾯积为( ) A. B.ab C.(+)ab D.ab 例2:(1)若⼀个圆锥的轴截⾯是等边三⾓形，其⾯积为，则这个圆锥的侧⾯积是( )A.2πB.C.6πD.9π (2)已知棱⻓均为5，底⾯为正⽅形的四棱锥S-ABCD，如图，求它的侧⾯积、表⾯积. 例3：⼀个四棱台的上、下底⾯都为正⽅形，且上底⾯的中⼼在下底⾯的投影为下底⾯中⼼(正四棱台)两底⾯边⻓分别为1,2，侧⾯积等于两个底⾯积之和，则这个棱台的⾼为( ) A. B.2 C. D. (四).巩固练习： 1.⼀个棱柱的侧⾯展开图是三个全等的矩形，矩形的⻓和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧⾯积为________. 2.已知⼀个四棱锥底⾯为正⽅形且顶点在底⾯正⽅形射影为底⾯正⽅形的中⼼(正四棱锥)，底⾯正⽅形的边⻓为4 cm，⾼与斜⾼的夹⾓为30°，如图所⽰，求正四棱锥的侧⾯积________和表⾯积________(单位：cm2). 3.如图所⽰，圆台的上、下底半径和⾼的⽐为1：4：4，⺟线⻓为10，则圆台的侧⾯积为( )A.81πB.100πC.14πD.169π (五)、课堂⼩结： 求柱体表⾯积的⽅法 (1)直棱柱的侧⾯积等于它的底⾯周⻓和⾼的乘积;表⾯积等于它的侧⾯积与上、下两个底⾯的⾯积之和. (2)求斜棱柱的侧⾯积⼀般有两种⽅法：⼀是定义法;⼆是公式法.所谓定义法就是利⽤侧⾯积为各侧⾯⾯积之和来求，公式法即直接⽤公式求解. (3)求圆柱的侧⾯积只需利⽤公式即可求解. (4)求棱锥侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (5)求圆锥侧⾯积的⼀般⽅法：公式法：S侧=πrl. (6)求棱台侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (7)求圆台侧⾯积的⼀般⽅法：公式法S侧=2(r+r′)l. 五、当堂检测 1.(2011·北京)某四棱锥的三视图如图所⽰，该四棱锥的表⾯积是( )A.32B.16+16C.48D.16+32 ⺴] 2.(2013·重庆)某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的表⾯积为( )A.180B.200C.220D.240 3.(2013⼲东)若⼀个圆台的正视图如图所⽰，则其侧⾯积等于( )A.6B.6πC.3πD.6π 六、作业：(1)课时闯关(今晚交) 七、课后反思：本节课你会哪些?还存在哪些问题? 1.3　空间⼏何体的表⾯积与体积 课时设计课堂实录 1.3　空间⼏何体的表⾯积与体积 1第⼀学时教学活动活动1【导⼊】第1课时　柱体、锥体、台体的表⾯积 (⼀)、基础⾃测： 1.棱⻓为a的正⽅体表⾯积为__________. 2.⻓、宽、⾼分别为a、b、c的⻓⽅体，其表⾯积为___________________. 3.⻓⽅体、正⽅体的侧⾯展开图为__________. 4.圆柱的侧⾯展开图为__________. 5.圆锥的侧⾯展开图为__________. (⼆).尝试学习 1.柱体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱柱的侧⾯展开图是____________，⼀边是棱柱的侧棱，另⼀边等于棱柱的__________，如图①所⽰;圆柱的侧⾯展开图是_______，其中⼀边是圆柱的⺟线，另⼀边等于圆柱的底⾯周⻓，如图②所⽰. (2)⾯积：柱体的表⾯积S表=S侧+2S底.特别地，圆柱的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆柱的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 2.锥体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱锥的侧⾯展开图是由若干个__________拼成的，则侧⾯积为各个三⾓形⾯积的_____，如图①所⽰;圆锥的侧⾯展开图是_______，扇形的半径是圆锥的______，扇形的弧⻓等于圆锥的__________，如图②所⽰. (2)⾯积：锥体的表⾯积S表=S侧+S底.特别地，圆锥的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆锥的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 3.台体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱台的侧⾯展开图是由若干个__________拼接⽽成的，则侧⾯积为各个梯形⾯积的______，如图①所⽰;圆台的侧⾯展开图是扇环，其侧⾯积可由⼤扇形的⾯积减去⼩扇形的⾯积⽽得到，如图②所⽰. (2)⾯积：台体的表⾯积S表=S侧+S上底+S下底.特别地，圆台的上、下底⾯半径分别为r′，r，⺟线⻓为l，则侧⾯积S侧=____________，表⾯积S表=________________________. (三).互动课堂 例1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a，∠AA1B1=∠AA1C1=60°，∠BB1C1=90°，侧棱⻓为b，则其侧⾯积为( ) A. B.ab C.(+)ab D.ab 例2:(1)若⼀个圆锥的轴截⾯是等边三⾓形，其⾯积为，则这个圆锥的侧⾯积是( )A.2πB.C.6πD.9π (2)已知棱⻓均为5，底⾯为正⽅形的四棱锥S-ABCD，如图，求它的侧⾯积、表⾯积. 例3：⼀个四棱台的上、下底⾯都为正⽅形，且上底⾯的中⼼在下底⾯的投影为下底⾯中⼼(正四棱台)两底⾯边⻓分别为1,2，侧⾯积等于两个底⾯积之和，则这个棱台的⾼为( ) A. B.2 C. D. (四).巩固练习： 1.⼀个棱柱的侧⾯展开图是三个全等的矩形，矩形的⻓和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧⾯积为________. 2.已知⼀个四棱锥底⾯为正⽅形且顶点在底⾯正⽅形射影为底⾯正⽅形的中⼼(正四棱锥)，底⾯正⽅形的边⻓为4 cm，⾼与斜⾼的夹⾓为30°，如图所⽰，求正四棱锥的侧⾯积________和表⾯积________(单位：cm2). 3.如图所⽰，圆台的上、下底半径和⾼的⽐为1：4：4，⺟线⻓为10，则圆台的侧⾯积为( )A.81πB.100πC.14πD.169π (五)、课堂⼩结： 求柱体表⾯积的⽅法 (1)直棱柱的侧⾯积等于它的底⾯周⻓和⾼的乘积;表⾯积等于它的侧⾯积与上、下两个底⾯的⾯积之和. (2)求斜棱柱的侧⾯积⼀般有两种⽅法：⼀是定义法;⼆是公式法.所谓定义法就是利⽤侧⾯积为各侧⾯⾯积之和来求，公式法即直接⽤公式求解. (3)求圆柱的侧⾯积只需利⽤公式即可求解. (4)求棱锥侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (5)求圆锥侧⾯积的⼀般⽅法：公式法：S侧=πrl. (6)求棱台侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (7)求圆台侧⾯积的⼀般⽅法：公式法S侧=2(r+r′)l. 五、当堂检测 1.(2011·北京)某四棱锥的三视图如图所⽰，该四棱锥的表⾯积是( )A.32B.16+16C.48D.16+32 ⺴] 2.(2013·重庆)某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的表⾯积为( )A.180B.200C.220D.240 3.(2013⼲东)若⼀个圆台的正视图如图所⽰，则其侧⾯积等于( )A.6B.6πC.3πD.6π 六、作业：(1)课时闯关(今晚交) 七、课后反思：本节课你会哪些?还存在哪些问题? ⼩编推荐各科教学设计： 、、、、、、、、、、、、 ⼩编推荐各科教学设计： 、、、、、、、、、、、、。

1.3空间几何体的表面积和体积单元规划柱、锥、台、球的表面积和体积问题是学生在前面比较充分地认识了柱、锥、台、球的概念后来学习的，柱、锥、台、球的表面积和体积计算问题，是比较贴近学生的生活实际并在现实生活中有着广泛应用的一类问题.教学中要侧重于对学生介绍公式推导的思想方法，让学生体会祖暅原理和积分思想.教师通过指导学生阅读教材中“问题与建模”栏目介绍其中体积计算的近似值，来增强学生的数学应用意识，提高学生的建模能力，为学生解决生产、生活中的实际问题提供知识基础和基本思想.关于“空间几何体的表面积和体积”一节的教学，对一些简单组合体的表面积和几何体积计算，重在通过分析得到它是由哪些简单空间图形组合而成.在介绍求柱、锥、台、球的表面积和体积的方法时，应着重让学生体会祖暅原理和积分思想在表面积与体积计算中的应用.1.内容组成本单元内容由两部分构成：第一部分是探讨研究空间图形的展开图，得出柱、锥、台的表面积计算公式，进而探求明确柱、锥、台、球的表面积公式之间的异同，且能运用公式解决一些具体问题.第二部分是探求柱、锥、台、球的体积的计算公式的表面积和体积计算公式.2.教材地位本单元教材是在前面对柱、锥、台、球的有了一定的认识的基础上来研究它们的表面几何体积的，通过本单元内容的研究，使学生对柱、锥、台、球这几类几何体的认识有了一个比较完整的知识体系，同时，研讨了这几类几何体的表面积和体积，对于后续内容的学习也做好了一定的知识准备.3.在技能培养与情感态度与价值观引导方面的作用通过探究一些简单几何体的表面积和体积公式，让学生体会积分思想在计算表面积和体积中的运用.同时，通过研究柱、锥、台的侧面展开图形之间的内在联系，体现“数与形的完美结合，激发学生的学习热情.教学重点1.柱、锥、台、球的表面积与体积的计算公式.2.正棱柱、正棱锥以及正棱台的概念.3.求简单几何体的表面积和体积.教学难点柱、锥、台、球的表面积与体积计算公式的推导.从容说课柱、锥、台体的表面积计算公式在实际生活中的应用是比较广泛的，由于柱、锥、台体的表面均可展为平面，因此，研究它们的表面积时可以通过将空间问题平面化的方法即研究它们的展开图的方法来得到它们的表面积计算公式.教学时可以先借助多媒体通过动态演示一些多面体的平面展开图的过程，让学生了解平面展开图的概念，进而结合前面所研究的柱、锥、台这三类空间几何体的概念介绍正棱柱、正棱锥、正棱台的概念，结合正棱柱、正棱锥、正棱台的模型组织学生通过直观感知、探索侧面展开图的形成过程以及侧面展开图的构成，在此基础上得出正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积计算公式.在正棱柱、正棱锥、正棱台的概念教学中，要从底面多边形的形状、侧面多边形的形状、侧棱和底面的位置关系三个方面来讨论.关于正棱锥、正棱台的形状特点，教学时要强调：（1）底面是正多边形；（2）顶点在底面的正投影是底面的中心，即顶点和底面中心连线垂直于底面；（3）当且仅当它是正棱锥、正棱台时，才有斜高.对于圆柱、圆锥、圆台的侧面积计算公式的教学不必讨论圆锥和圆台的侧面积公式的推导，重点是分析侧面展开图的形状.另外，通过分析柱、锥、台的侧面，展开图形的内在联系，组织学生探究柱、锥、台的侧面积之间的关系，让学生体会“数”与“形”的完美结合.对于例题的教学重在组织学生分析问题的本质，将立体几何问题转化为平面几何问题.教学重点1.正棱柱、正棱锥、正棱台的概念的理解.2.柱、锥、台的侧面展开图的构成以及侧面积计算公式的结构特征.教学难点例题2的教学.教具准备多媒体课件、投影仪、侧面能展开的正棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台的模型,自制的简单多面体的模型、打印好的作业.课时安排 1课时三维目标一、知识与技能1.理解正棱柱、正棱锥、正棱台的概念.2.了解正棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台的侧面积计算公式的推导过程.3.会用这些公式解决具体问题.二、过程与方法1.通过师生之间、学生与学生之间的互相交流，使学生学会与别人共同学习.2.通过探究正棱柱、正棱锥、正棱台的概念之间的关系，明确数学概念的严谨性和科学性.3.通过探究,思考柱、锥、台的侧面积之间的关系，让学生体会“数”与“形”的完美结合.三、情感态度与价值观1.通过对正棱柱、正棱锥、正棱台的概念的教学，使学生认清基本概念的来龙去脉，加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的科学精神.2.在教学过程中，通过学生的相互交流，来加深对正棱柱、正棱锥、正棱台概念的理解，增强学生数学交流能力，培养学生倾听、接受别人意见的优良品质.3.通过指导学生阅读“圆锥、圆台侧面积公式的推导”,让学生不断了解数学、走进数学，增强学生的数学素养.教学过程导入新课(师多媒体播放棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台这些几何体图片，生观赏)师如果你是装潢公司的一名员工，想给这些几何体的侧面贴上一些装饰画，你能否测算出所需装饰纸的面积？(生讨论)师我们解决这个问题，就必须测算这些几何体的侧面积，如何计算这些几何体的侧面积呢？它们的侧面积计算公式之间有怎样的关系呢？(产生认知冲突，引入新课)推进新课(一）多面体的平面展开图师同学们，我们前面学习了多面体的概念，你还能记得这些吗？(生思考)师由一些平面图形可以围成多面体，那么一些简单的多面体沿着多面体的某些棱展开后能形成平面图形吗？(生思考)师请同学们拿出你事先制作的简单几何体模型，尝试将它展开.(生动手探究)师通过实践探究我们可以发现，一些简单多面体沿着它的某些棱剪开而形成平面图形，这个平面图形叫做该多面体的平面展开图（N et）.师我们可以将一些简单的几何体展成平面图形，那么，你能否判断一些平面图形是否是一个空间图形的平面展开图呢？师在下列几幅图中，哪些图形是空间图形的平面展开图？(师多媒体展示如下图形，组织学生讨论判断，并制作模型帮助理解)(1) (2) (3)师前面我们已经学习了棱柱、棱锥、棱台的概念，你还能记得这些概念吗？请同桌之间互相交流一下这些知识在你的头脑中留下的“痕迹”.(生交流)师在三角形中有直角三角形、正三角形这些特殊的平面图形，在棱柱、棱锥、棱台中是否也有类似的特殊的空间几何体呢？(生讨论，师总结引出直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台的概念)（二）直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台的概念直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱.正棱柱（regular P ris M）底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱.正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的正投影是底面多边形的中心的棱锥叫做正棱锥（regular Py ra M id）,正棱锥的侧棱长相等.正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台（regular tru N cated Py ra M id）师你能根据直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台的定义，想象出它们的侧面展开图的形状吗？(生思考，师展示具体几何模型，组织学生观察，并将其侧面展开)师请同学们分别画出一个直四棱柱、正四棱锥、正四棱台的侧面展开图.(生动手画，并借助实物展台互相交流自己所画的图形)师若设直棱柱的高为h，底面周长为c，你能表示出该棱柱的侧面积计算公式吗？(生思考，得出如下结论)S直棱柱侧=ch,c为底面周长,h为棱柱的高.师若设正棱锥的斜高为h′，底面周长为c，你能表示该正棱锥的侧面积计算公式吗？若正棱台的斜高为h′，上、下底面周长分别为c、c′，你能表示出该正棱台的侧面积计算公式吗？(师组织学生在所画侧面展开图中分别表出相应的长度，明确正棱锥、正棱台的斜高的定义，归纳出如下公式)S 正棱锥侧=21ch′(c 为底面周长，h′是侧面等腰三角形底边上的高) S 正棱台侧=21(c+c′)h′（c 为上底面周长，c′为下底面周长，h′是侧面等腰梯形的高）探究:1.分别画出一个圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图.2.类比正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积计算公式,探究圆柱、圆锥、圆台的侧面积计算公式.(生探究得出公式) S 圆柱侧=cl S 圆锥侧=21cl S 圆台侧=21(c+c′)l 师柱体、锥体、台体的侧面积之间有什么关系？(生讨论，得出如下结论)1.柱体、锥体、台体的侧面积计算公式之间的关系h c S h c c S cl S c c c '⇒''+⇐='='21210＝）（＝＝锥体侧台体侧柱体侧.2.公式应用【例1】 一个正三棱锥的高和底面边长都是a,求它的侧面积. 师要求一个正三棱锥的侧面需要知道哪些基本量？ (生讨论，师画出一图，完成解答)分析:根据公式，要求正三棱锥的侧面积只需求出它的底面周长和斜高的长，底面边长已知，只需求出斜高即可.已知：正三棱锥S —ABC 的高和底面边长都是a,求它的侧面积.解：如图，过S 作SO⊥平面ABC,垂足为O ，过S 作SD⊥AB 交AB 于D ，连结OD ，则SO=a ，OD⊥AB，且O 是△ABC 的中心.又∵AB=BC=AC=a, ∴OD=36a,SD=a a a 639)63(22=+. ∴S 三棱锥侧=21ch′=21×3a×639a=439 a 2. 又SO⊥平面ABC,连结BO ，则∠SBO 就是侧棱和底面所成角.又OB=33a ，∴cos∠SBO=21)33(3322=+a a a . 探究:在如上图所示的正三棱锥中，你还可以找到哪些直角三角形，它们的边长与正三棱锥的侧棱长、底面边长都有怎样的关系？【例2】 设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高为0.85 m ，底面的边长是1.5 m ,制造这种塔顶需要多少平方米铁板？(接口不计算面积) (师多媒体显示，生板演) 【例3】 有一根长为5 cm ，底面半径为1 cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度是多少厘米？（精确到0.1 cm ）(师多媒体显示，组织学生围绕以下几个问题展开讨论) 师你能说出你解答该题的思路吗？ (生思考)师如果你不能在短时间内找到该题的解题思路，你能说出在解答该题时你所遇到的障碍吗？(生思考)师解决立体几何问题的指导思想是什么呢？ 生将空间问题平面化.师你能否将这个空间问题转化为平面问题呢？ (生讨论交流，得出如下思路)师:可以把圆柱沿这条母线展开，将原问题转化平面几何问题.\ 师:在本例中，应该怎样缠绕铁丝，才能使铁丝的长度最短？ （三）目标检测课本第52页练习1、2、3、4、5、6题. 课堂小结1.直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台2.柱体、锥体、台体的侧面积计算公式之间的关系h c S h c c S ch S c c c '⇒''+⇐='='21)(210＝＝＝锥体侧台体侧柱体侧布置作业1.课本第60页习题1.3第1、3题.2.在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知AB ＝AC ＝10 cm,BC ＝12 cm ，顶点A 1与A 、B 、C 的距离等于13 cm ，求此棱柱的全面积. 板书设计1.3.1空间几何体的表面积1.直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台的有关概念 2.侧面积计算公式 例题解析及学生练习 例1: 例2: 例3:课堂小结与布置作业 活动与探究1.阅读课本第52页圆锥、圆台侧面积公式的推导.2.如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是（）A.258B.234C.222D.2103.如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝2，AA 1=2，由顶点B 沿棱柱侧面经过棱AA 1到顶点C 1的最短路线与AA 1的交点记为M ，求：（1）三棱柱的侧面展开图的对角线长；（2）该最短路线的长及AMMA 1的值.4.到商店或超市观察商品包装方式，研究空间图形的展开与折叠在商品包装中的应用，写一篇小论文. 参考答案: 2.C3.解:(1)正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面展开图是长为6,宽为2的矩形, 其对角线长为1022622=+.2)如图,将侧面AA 1B 1B 绕棱AA 1旋转120°使其与侧面AA 1C 1C 在同一平面上,点B 运动到点D 的位置,连结DC 1交AA 1于M ,则DC 1就是由顶点B 沿棱柱侧面经过棱AA 1到顶点C 1的最短路线,其长为522422212=+=+CC DC .∵△D M A≌△C 1M A 1,∴A M =A 1M . 故AMMA 1=1.习题详解课本第60页习题1.3解答1.因为正六边形外接圆半径等于边长，所以底面积为S 1=6×43×0.462,侧面积为S 2=6×0.46×1.6.所以2S 1+S 2≈5.5，即制造这个滚筒约需要5.5 M 2的铁板. 2.v=31×43×62×6×15=2703cm 2. 3.略. 4.s=(6×43×122×2+12×5×6+2π×5×25)×100×10-6×0.11≈0.020 8 (kg)=20.8 g.5.根据题意及公式可得：(1)展览馆的高度为h=22)24.35(9.27-≈21.57 (m)； （2）外墙的面积为S=35.4×27.9×21×4=1 975.32 (m 2); （3）四棱锥的体积V=31×35.42×22)24.35(9.27-≈9 008.82 (m 3). 6.（1）地球表面积约是火球表面积的4倍；（2）木星的体积约是地球体积的120120≈1 315倍.7.解：设钢球的内径为r,由已知可得钢球实心部分的体积为V=343453433πππ=⨯-⨯r (125-r 3).又因为钢球的质量、密度和体积之间有关系M =ρV ，所以142=7.9×34π(125-r 3).解得r=4.5 (cm).8.根据圆台的侧面积计算公式和圆的面积计算公式可得共需油漆为［π(12.5+15)×27.5+π×12.52］×100×10-4×150×2×10-3≈8.6 (kg).9.根据三视图的画法规则可得该几何体的直观图为一棱台，根据棱台的计算公式可得其体积为1.5.10.（1）第一种方案所建仓库的体积为V 1=31×π×82×4=3256π (m 3)； 第二种方案所建仓库的体积为V 1=31×π×62×8=96π (m 3). （2）第一种方案所建仓库的表面积为S 1=π×8×5324822=+π (m 2)； 第二种方案所建仓库的表面积为S 2=π×6×2286+=60π (m 2).（3）因为V 1<V 2,S 1>S 2,所以第二种方案更经济些. 11.略. 备课资料 典型习题1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（） A.ππ221+ B.ππ441+ C.ππ21+ D.ππ41+答案:A2.圆锥高为1，底面半径是3,则过圆锥顶点的截面三角形面积的最大值是（） A.3B.2C.3D.23答案:B3.一个圆台的轴截面是半个正六边形，则圆台侧面展开后的中心角为（） A.120° B.180° C.240° D.270° 答案:B4.作一圆柱的内接正三棱柱,又作这个三棱柱的内切圆柱,那么这两个圆柱的侧面积之比为（） A.2∶1B.2∶3C.2∶1D. 3∶2答案:A5.已知长方体的全面积为11，十二条棱的长之和为24，则这个长方体的一条对角线的长为（） A.23B.14C.5D.6答案:C6.在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝2a,BA ＝CA ＝AA 1＝a,A 1在底面△ABC 上的射影O 在AC 上.(1)求AB 与侧面AC 1所成的角；(2)若O 恰是AC 的中点，求此三棱柱的侧面积. 解:(1)A 1O⊥面ABC,BC ⊂面ABC, ∴BC⊥A 1O.又∵BC=CA=a,AB=2a,∴△ABC 是等腰直角三角形. ∴BC⊥AC.∵BC⊥面AC 1,故∠BAC 为BA 与面AC 1所成的角,则有∠BAC=45°,即AB 与侧面成45°角. (2)若O 恰为AC 中点, ∵AA 1=a,AC=a, ∴AO=2a ,A 1O=23a,S 四边形BCC1B1=a 2. 作OD⊥AB于D,连结A 1D,由已知可得A 1D⊥AB,在Rt△AOD中,OD=OAsi N ∠BAC=242222a a =⋅.在Rt△A 1OD 中, A 1D=2221272227a a a a OD O A =⋅⋅=+. ∴S 三棱柱侧=21(2+3+7)a 2.。

必修2 立体几何初步1.3.1 空间几何体的表面积一、【教学目标】1、了解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台侧面展开所得图像．2、掌握直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台表面积公式3、利用公式解决简单的表面积计算问题二、【导引自学】1、直棱柱的侧面展开图是 ，它的长等于 ，宽等于 ，∴直棱柱侧S2、设正n 棱锥底面边长为a ，则底面周长为 ，若斜高（即侧面等腰三角形底边上的高）为'h ，则它的侧面展开图的面积即侧面积=正棱锥侧S = 。

3、正棱台是由正棱锥被平行于底面的平面所截， 之间的部分。

它的侧面均为全等的 ，其侧面积正棱台侧S4、柱体、椎体、台体的侧面积的关系．当棱台的上底面面积变为0时，图形就成为棱锥；当棱台的上底面面积变为与下底面面积相等时，图形就成为棱柱．棱柱、棱台、棱锥的侧面积公式的演变关系：ch S =正棱柱侧−−−←='c c h c c S ''+=)(21正棱台侧−−→−='0c h c S '=21正棱锥侧c'=c5、圆柱：（1）圆柱的侧面展开图是一个 ，其特点是 。

（2）若圆柱底面的半径为r ,母线长为l ，则圆柱的表面积为 。

6、圆锥：（1）圆锥的侧面展开图是一个 ，其特点是 。

（2）若圆锥底面的半径为r ,母线长为l ，则S 圆锥的侧面积= 。

7、圆台：（1）圆台的侧面展开图是一个 ，其特点是 。

（2）如果圆台的上，下底面半径为r ,'r母线长为l ,则S 圆台的侧面积= 。

8、圆柱，圆锥，圆台侧面积公式的转化关系：圆柱 圆台 圆锥2S rl π=圆柱侧 −−−←=r r ' =()S r r l π'+圆台侧 −−→−=0'r S rl π=圆锥侧三、【典型例题】 例1：一个正六棱台的两个底面的边长分别为8cm 和18cm ，侧棱长是13cm,求侧面积。

例2：一个直角梯形上底、下底和高之比为2：4：5，将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一个圆台，求这个圆台的上底面积、下底面积和侧面积之比．例3：已知正六棱锥V -ABCDEF 的棱V A 上有2个点M 、N ，且VM ：MN ：NA=1：1：2，分别过M 、N 点作底面的平行平面，将正六棱锥分成三部分，求这三部分的侧面积之比四、【当堂反馈】1、两个正方体的棱长分别是a 和b ，第三个正方体的全面积等于前两个正方体的全面积C O O'B A之和，则第三个正方体的棱长是 。

高二年级数学教学案（2010年9月29日）
想一想：从球的表面积公式和体积公式看，球的表面积和体积是关于半径的函数吗？
（2）体积公式之间的关系：
．如何理解锥体的体积公式？
）可理解为“锥体的体积是与它底面积相同、高相等的柱体体积的
）三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面，因此求三棱锥的体积时可更换三棱锥的顶点和底面，寻求底面积与高易求的三棱锥。

，从中间挖去一个直径为10cm的
6cm，高为3cm，下面是正六
2cm的圆柱，求此几何体的体
⊥CD，PA＝1，PD
AC
）的两部分，
，求三棱锥A1－ABC，B－
．如图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等。

相传这个圆形表达了阿基米德最引以为豪的发现，我们来
2
）球的表面积等于圆柱表面积的
3
所在直线为轴，旋转一周得到
．求柱体的体积关键是求其底面积和高，底面积利用平面图形面积的求法，常转化为三角形或四边形，高常与侧棱、斜高及其在底面的射影组成的直角三角形，进而求解。

需用到线面垂直的判定方法，．球的表面积公式和体积公式揭示出球的表面积和体积只与球的半径有关，因此，在解决此。

1.3 《空间几何体的表面积与体积》导学案【学习目标】1.通过对柱、锥、台体及球的研究，掌握柱、锥、台体及球的表面积、侧面积和体积的求法；2.了解柱、锥、台体及球的表面积、侧面积和体积计算公式，能运用柱、锥、台体及球的有关公式进行计算和解决实际问题；3.培养学生空间想象能力和思维能力. 【重点难点】学习重点：了解球、柱体、锥体、台体的表面积、体积的计算公式。

学习难点：利用相应公式求柱体、锥体、台体的表面积、体积公式来解决问题。

【学法指导】互动合作【知识链接】空间图形的模具【学习过程】一.预习案（一）空间几何体的表面积1.棱柱、棱锥、棱台的表面积、侧面积棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是，也就是；它们的侧面积就是 .2.圆柱、圆锥、圆台的表面积、侧面积圆柱的侧面展开图是，长是圆柱底面圆的，宽是圆柱的设圆柱的底面半径为r,母线长为l,则S圆柱侧= S圆柱表=圆锥的侧面展开图为，其半径是圆锥的，弧长等于，设为r圆锥底面半径，l为母线长，则侧面展开图扇形中心角为，S圆锥侧= ，S圆锥表=圆台的侧面展开图是，其内弧长等于，外弧长等于，设圆台的上底面半径为r, 下底面半径为R, 母线长为l, 则侧面展开图扇环中心角为，S圆台侧= ，S圆台表=3.球的表面积：如果球的半径为R，那么它的表面积S=（二）空间几何体的体积1.柱体的体积公式V柱体= （其中S为底面积，h为高）2.锥体的体积公式V锥体= （其中S为底面积，h为高）3.台体的体积公式V台体= （其中S′、S分别为上、下底面积，h为高）4. 球的体积公式V球= （（其中R为球的半径）（三）预习自测1、正方体的全面积为24 cm2，则它的体积是（）A．4cm3B．16cm3C．64cm3D．8cm32、已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1：V2=（）A．1:3 B．1:1 C．2:1 D．3:13、用长为4，宽为2的矩形做面围成一个圆柱，则此圆柱的侧面积为（）A．2πB．π8C．4πD．84、在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是（）A．23B．76C．45D．56二.探究案探究一：空间几何体的侧面积、表面积和体积的求法例1.一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其侧面积、表面积和体积.变式训练：一个圆台，上、下底面半径分别为10、20，母线与底面的夹角为60°，求圆台的侧面积、表面积和体积.例2.已知球的直径是6，求它的表面积和体积.变式训练：已知球的表面积是64π，求它的体积.题型二：侧面展开、距离最短问题例3.在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1木块上，有一只蚂蚁从顶点A 沿着表面爬行到顶点C 1，求蚂蚁爬行的最短距离？变式训练：圆柱的轴截面是边长为5的正方形ABCD ，圆柱的侧面上从A 到C 的最短距离为CDBA题型三：根据三视图求面积、体积例4. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图和俯视图都是全等的等腰直角三角形，直角边长为1，求这个几何体的表面积和体积.俯视图侧视图正视图变式训练：一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).A.2π+B.4π+C.23π+D.43π+题型四：几何体的外接球、内切球俯视图侧视图正视图22222例5.（1）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（2）若一个球内切于棱长为3的正方体，则该球的体积为变式训练：1.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB =3，AD=4 ，AA1=5，则其外接球的体积为.2.求棱长为1的正四面体的外接球、内切球的表面积.三.归纳小结四.当堂检测1.正四棱锥S-ABCD各侧面均为正三角形，侧棱长为5，求它的侧面积、表面积和体积.2.，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为.3.三棱锥P-ABC的侧棱长均为1，且侧棱间的夹角都是400，动点M在PB上移动，动点N 在PC上移动,求AM+MN+NA的最小值.4.下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A.9πB.10πC.11π D．12π5.各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则球的体积是.6.正六棱锥P-ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为A. 1：1 B . 1：2 C. 2：1 D. 3：27.如图是一个几何体的三视图，若它的体积是则a _____.第7题1.3 《空间几何体的表面积与体积》训练案一、选择题1、有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体表面积及体积为：（ ）A 224cm π，312cm π B 215cm π，312cm πC 224cm π，336cm π D 都不正确2、一个正方体的顶点都在球面上，此球与正方体的表面积之比是（ ）A. 3πB. 4π C. 2πD. π3、在一个侧置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的 一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是 （ ）A B C D 4、正方体的全面积为a ,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是：（ ） A.3aπ; B.2aπ; C.a π2; D.a π3.5、如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正 方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF =2， 则该多面体的体积为 ( ) A.32B .33C . 34D .236、某几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），则这个几何体的体积是（ ）A ．34000cm 3 B ．38000cm 3C．32000cmD ．34000cm 7、若正方体外接球的体积是π332，则正方体的棱长为（ ） 正视图 侧视图 俯视图A.22B.332 C.324 D.334 8、一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积为（ ）D.二、填空题9、Rt ABC ∆中，3,4,5AB BC AC ===，将三角形绕直角边AB 旋转一周所成的几何体的体积为____________10、已知棱台的上下底面面积分别为4,16，高为3,则该棱台的体积为11、球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的 倍.12、长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 。

空间几何体的表面积一、情境引入师：一个圆柱形茶杯的一条母线的两端各有一虫子A 、B ，虫子A 想去捉B ，又担心被B 发现，所在它决定绕茶杯一周去捉B ，那么它爬过的最短路程怎么求？（教师用FLASH 演示）生1：将圆柱的侧面沿母线展开成矩形，则矩形的对角线就是虫子的最短距离． 师：如何求长方体1111ABCDA B C D 的表面积？生众：将各个面的面积相加．生2：与可以将长方体展开，求平面图形的面积．师：刚才的两个问题都把立体几何问题转化为平面问题，将立几问题平面化是我们解决立体几何问题最常见、最基本的方法．我们今天这一节课将用这种方法来研究空间几何体的表面积．【设计意图】设计虫捉虫和求长方体全面积两个问题，既可以激发学生的学习兴趣，又引出空间问题平面化的思想，为侧面积公式的推导做好铺垫． 二、定义辨析师：首先我们来看下面的几何体，它们分别是什么特殊的几何体？C 1B 1A 1BACD D 1生众：直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台． 师：直棱柱、正棱柱是怎么定义的？生众：侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱；下底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱；正底面是正多边形． 师：生活中常见的正棱柱有哪些？ 生3：六角螺母、粉笔盒、魔方． 生4：粉笔盒下底面不是正方形． （笔者所教学校的粉笔盒如下图） 生3：将粉笔盒换个角度．（学生鼓掌）师：我们对熟悉的物体常会形成思维惯性，其实换个角度去看会更精彩．师：魔方是个正方体，是正四棱柱，那么正四棱柱是正方体吗？生5：不是，正四棱柱可以很高．师：对，我们如果将两个正方体底面重合叠加在一起，它是一个正四棱柱，但不是正方体．师：正棱锥、正棱台是怎么定义的？生众：下底面是正多边形，顶点在底面上的投影是正多边形的中心的棱锥叫正棱锥；用平行于底面的平面去截正棱锥，截面与底面间的部分称为正棱台．师：正棱锥还有其它定义方式吗？生6：将正棱柱的上底面收缩成一个点．生7：应该收缩到上底面的中心．师：我们不妨看个几何画板动画，当正六棱柱上底面收缩到中心时，就形成了正六棱锥，并且在运动过程中，形成正六棱台．（教师用几何画板演示）师：正棱锥和正棱台的侧面有什么特征？生众：正棱锥的侧面是全等的等腰三角形；正棱台的侧面是全等的等腰梯形．【设计意图】特殊几何体概念是本节课的重点，但不是难点，所以我在学生预习的基础上，让学生由图辨别几何体，总结概念的关键词，并对易混的概念正方体和正四面体进行辨析，这将有利学生概念的学习和理解．同时对正棱台以动画的形式给出另一种定义，既是对本章第一节柱锥台的一个复习，也为下面得到柱锥台侧面积公式间的关系打下铺垫．三、公式推导师：刚才我们了解了几个特殊的几何体，那么如何求这些几何体的侧面积呢？我们先来看直棱柱．生8：将各个侧面面积相加．生9：将侧面展开成平面图形．师：如何展开？展开后是什么形状？侧面积公式是什么？怎么求？生9：沿侧棱展开，展开后是个矩形，矩形的宽是直棱柱的高，长是直棱柱底面周长，所以侧面积公式为底面周长乘高，即ch ．（教师沿侧棱剪开直棱柱手工模型） 师：直棱柱的高是什么？ 生众：侧棱．师：棱柱的侧棱长我们常用l 表示，所以直棱柱的侧面积S cl 侧．师：正棱柱的侧面积公式呢？ 生众：S cl 侧．师：理由是……？生众：正棱柱是特殊的直棱柱．师：我们刚才说的是直棱柱，它的侧面积是底面周长乘侧棱长，假如一个棱柱不是直棱柱，侧棱与底面不垂直，它的侧面积还是底面周长乘侧棱长吗？（教师展示斜棱柱手工模型） 生10：是的． 师：为什么？生10：将这个三棱柱沿侧棱展开，展开图是三个全等的平行四边形． 生11：不一定全等，展开后是一个平行四边形． 生12：不是平行四边形．师：请大家拿出昨天做的平行四边形，试试看能否折成三棱柱． （让学生试验，并通过讨论得到结果） 生众：不能．师：我这有个斜三棱柱，现在沿侧棱展开，显然不是平行四边形？还能用公式S cl 侧吗？为什么？生13：不能．假设三个平行四边形的底分别为,,a b c ，高为,,a b c h h h ，则123a b c S S S S ah bh ch 侧，由于,,a b c 和,,a b c h h h 未必有公因式，不好化简．师：S cl 侧只适用于直棱柱，而对于一般棱柱的侧面积往往是各个面相加．【设计意图】很多学生只注重公式的形式和结果，而忽视公式成立的条件，让学生参与公式的生成过程，有助于学生更好的理解公式，从而用好公式．师：解决了直棱柱的侧面积，那么正三棱锥的侧面积如何求呢？生：将正三棱锥的侧面沿侧棱展开，展开后是三个全等等腰三角形，假设等腰三角形的底边为a ，高为h ，则132S ah 侧． 生：如果将3移到a 前面，11322S a h ch 侧． 师：h 是正三棱锥的高吗？生：不是，它是正三棱锥侧面等腰三角形底边上的高．师：为了与正三棱锥的区分，我们将侧面等腰三角形的高记为'h ，我们称之为正棱锥的斜高，则1'2S ch 侧．这个公式对于其它的正棱锥成立吗？为什么？ 生：对其它的正棱锥也成立，证明过程与刚才一样． 师：正棱台的侧面积呢？生：同刚才一样，将正棱台沿一条侧棱展开，得到n 个全等等腰梯形，设等腰梯形的上底为b ，下底为a ，则1'2S na b h 侧；如果记正棱台的上底周长为'c ，下底周长为c ，则S 侧1''2c c h ． 师：漂亮．生通过类比，利用展开的方法得到了正棱台的侧面积公式．公式中的'h 不是正棱台的高，而是侧面等腰三角形的高，称为正棱台的斜高．师：我们前面展示了柱、锥、台三者转化的动画，既然三者可以转化，那么它们的侧面积公式之间会否有联系呢？生：当正棱台中'0c 时，就得到正棱锥的侧面积公式；当正棱台中'c c 时，就得到正棱柱的侧面积公式．师：我们圆满的得到了正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式，并发现了公式间的关系，那么对于旋转体圆柱、圆锥、圆台，它们的侧面积公式又如何呢？用什么方法求解？生：立几问题平面化．生：将圆柱沿一条母线展开，得到一个矩形，它的宽是圆柱的高，也就是侧棱，长是圆柱底面周长，所以S cl 圆柱侧．生：将圆锥沿一条母线展开，得到一个扇形，它的半径是母线长l ，它的弧长是圆锥的底面周长，所以12S cl 圆锥侧． 师：我们对比圆柱、圆锥侧面积公式和正棱柱、正棱锥侧面积公式，再看看正棱台侧面积公式，能猜想圆台的侧面积公式吗？如何记忆？生：1S''2c c h圆台侧，如果将圆台沿一条母线展开，会得到圆环的一部分，像是个梯形，可以通过梯形有面积公式记忆．师：很好！生不仅给出的圆台的侧面积公式，而且还给出它的记忆方法．圆柱、圆台、圆锥的侧面积公式间有联系吗？生：当圆台中'0c时，就得到圆锥的侧面积公式；当圆台中'c c时，就得到圆柱的侧面积公式．【设计意图】对公式的处理主要有二个方面：一是怎么推，在公式推导中我紧紧抓住平面化的思想和类比思想，平面化我就不再多说，类比思想包括方法上的类比和结构上的类比，比如得到直棱柱侧面积后，其它几何体的侧面积如何推导——展开，就是方法上的类比，由棱台公式类比圆台公式就是结构上的类比，这样处理不再是局限在本节课，也为选修中的合情推理的教学打下了伏笔．对公式处理的第二个方面是如何用，对公式的直接运用在例题中体现，而在这里是把学生用公式时的易错点，①不注意公式成立条件，斜棱柱也用c公式，②斜高和高不分，先进行订正和强化。

高二年级数学教学案（20XX年9月27日）．几种简单几何体的侧面展开图与侧面积
）这三种几何体侧面积之间的关系
）求这三种几何体侧面积的常见策略
①正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面都全等，因此求侧面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的个数。

②棱台是由棱锥所截得到的，因此棱台的侧面积可由大小棱锥侧面积作差得到。

a，∠DCB＝60°，旋转一周，求旋转体的表面积。

．旋转体的轴截面是化空间问题为平面问题的重要工具，因为在轴截面中集中体现了旋转体的“关键量”之间的关系，在推导这些量之间的关系时要注意比例性质的应用。

．棱锥、棱台的表面积为其侧面积与底面积之和，底面积据平面几何知识求解，侧面积关键是求斜高和底面边长。

斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长这四条线段可以构成直角，因此利用好这些直角三角形（或梯形）是解题的关键。

．三视图与求空间几何体的表面积问题结合是常见的例题形式，此类问题要先从几何体三视。

空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积【教学目标】（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。

（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。

（3）培养学生空间想象能力和思维能力。

【教学重点难点】【教学重点】：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算【教学难点】：台体体积公式的推导【学前准备】：多媒体，预习例题（3）初中时，我们已经学习了计算特殊的柱体——正方体、长方体以及圆柱的体积公式：如图，把正方体截去四个角，得到一个体比2a和积此圆柱的底面在圆锥的底面上，圆柱的高等于圆锥底面半径，且圆柱的全面积：圆锥的底面积3:2=．）求圆锥母线与底面多成的角的正切值；（2）圆锥的侧面积参考答案：1. B 2. C 3. 1 , 3 4. A 5. B 6. B 7. 1:3 3a π或32aπ9．已知圆锥有一个内接圆柱此圆柱的底面在圆锥的底面上，圆柱. 三棱锥的外接球问题【教学目标】⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。

⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。

⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。

【教学重难点】【教学重点】：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。

【教学难点】：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。

【学前准备】：多媒体，预习例题4：如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为.类型四：一条测棱垂直底面，底面为非直角三角形的四面体的外接球问题5已知点A,B,C,D,四点在同一个球面上，DA⊥平面ABC,DA=AB=AC=3,∠ABC=60，则球半径是类型五：正三棱锥的外接球问题6：已知正三棱锥底面边长为1，侧棱长为2，求外接球半径。