第二节 分式线性变换(映射)

§2 分式线性变换一、教学目标或要求：理解分式线性变换的映射性质及应用 二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 基本内容：分式线性变换的映射性质，例题 重点：分式线性变换 难点：应用三、教学手段与方法： 讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习：4-11§2 分式线性变换1、分式线性变换及其分解分式线性变换的概念 称变换dcz baz w ++=(7.3) 为分式线性变换或Möbius 变换，其中的d c b a ,,,为复常数，且0≠-bc ad ．记为 。

规定时，， 时， 。

线性变换将扩充平面一一变换为扩充平面,逆变换 也是线性变换。

线性变换可分解为以下二种类型变换的复合(Ⅰ) 整线性变换 (当时,)(Ⅱ)反演变换 (当时,)(Ⅰ)型变换的几何意义——整线性变换下,原象与象是不改变图形方向的相似变换。

(Ⅱ)型变换的几何意义。

其中具有性质:，并且对称点都在过单位圆心的同一射线上。

把平面上的单位圆周映成平面上的单位圆周,并把单位圆周内(外)部映成单位圆外(内)部。

规定圆心 与为关于单位圆周的对称点。

线性变换的复合仍是线性变换。

几个初等函数的映射性质1.h z w += (h 为常数)的映射性质： (1)是一个平移变换．(2)在复平面处处是保角的．这是因为，在复平面上处处有01≠='w ． (3)将圆周映射为圆周．2.kz w = (k 为常数，且0≠k )的映射性质： (1)是旋转与伸长（或缩短）变换的叠加．(2)在复平面上处处是保角的．这是因为，0≠='k w 在复平面上处处成立． 3.zw 1=的映射性质： (1)该映射称为反演变换或倒数变换，它是相继施行两个对称变换的结果，一是关于实轴对称，二是关于单位圆周对称． (2)在复平面上除0=z 外，处处是保角的．(3)将圆周映射为圆周． 对于z 平面上的圆周（或直线）0)(22=++++D Cy Bx y x A映射zw 1=当0,0≠≠D A 时，将圆周映射为圆周； 当0,0=≠D A 时，将圆周映射为直线； 当0,0≠=D A 时，将直线映射为圆周； 当0,0==D A 时，将直线映射为直线． 分式线性变换的映射性质（7.3）式的“结构”是由平移变换、旋转与伸长（或缩短）变换及反演变换复合而成．1. 线性变换的保形性定义 两曲线在无穷远点处的交角是指它们在反演变换之下的象曲线在原点处的交角。

第十五讲《§2分式线性映射》 §2分式线性映射 一、分式线性映射定义分式线性映射是共形映射中比较简单但很重要的一类映射，它的一般形式：w az b cz dad bc =++-≠()0其中a b c d ,,,均为常数。

ad bc -≠0是为了保证映射的保角性成立而限定的。

否则dw dz ad bccz d =-+()2将有dwdz=0，这时w ≡常数，它将整个z 平面映射成w 上的一个点。

将z 解出，即得逆映射：z dz bcw aa d bc =-+----≠,(()())0 分式线性映射的逆映射也是分式线性映射。

容易知道两个分式线性映射的复合仍是分式线性映射。

任何一个分式线性映射都能分解成一些简单分式线性的复合。

设w z =++-≠αξβγδαδβγ()0用除法可以把它化为w z =-++()βαδγγδαγ1令 ξγξδξξ1211=+=,，那么w A B A B =+ξ2,(,为常数）由此可见，一个一般的分式线性映射是由下列三种分式线性映射复合而成：), ); ).1111111w z b w az w z=+== 现在来讨论这三种映射。

为了方便，我们暂且将w 平面与z 平面重合。

)1w z b =+。

这是一个平移映射。

因为复数相加可以化成向量相加，所以在映射w z b =+之下，z 沿向量b （即复数b 所表示的方向）的方向平行移动一段距离b 后，就得到w 。

),110w az a =≠。

这是一个旋转与伸长（或缩短）映射。

事实上，设z re a e i i ==θαλ,，那么w r e i =+λθα()。

因此，把z 先旋转一个角度α，再将z 伸长（或缩短）到a=λ倍后得到w （图6.6）.)1111w z=，这个映射可以分解为 w zw w 111==,为了用几何方法从z 作出w ，首先给出关于一已知圆周的对称点的概念。

定义 设C 为以原点为心，r 为半径的圆周。

§2 分式线性变换一、教学目标或要求：理解分式线性变换的映射性质及应用 二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 基本内容：分式线性变换的映射性质，例题 重点：分式线性变换 难点：应用三、教学手段与方法： 讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习：4-11§2 分式线性变换1、分式线性变换及其分解分式线性变换的概念 称变换dcz baz w ++=(7.3) 为分式线性变换或Möbius 变换，其中的d c b a ,,,为复常数，且0≠-bc ad ．记为 。

规定时，， 时， 。

线性变换将扩充平面一一变换为扩充平面,逆变换 也是线性变换。

线性变换可分解为以下二种类型变换的复合(Ⅰ) 整线性变换 (当时,)(Ⅱ)反演变换 (当时,)(Ⅰ)型变换的几何意义——整线性变换下,原象与象是不改变图形方向的相似变换。

(Ⅱ)型变换的几何意义。

其中具有性质:，并且对称点都在过单位圆心的同一射线上。

把平面上的单位圆周映成平面上的单位圆周,并把单位圆周内(外)部映成单位圆外(内)部。

规定圆心 与为关于单位圆周的对称点。

线性变换的复合仍是线性变换。

几个初等函数的映射性质1.h z w += (h 为常数)的映射性质： (1)是一个平移变换．(2)在复平面处处是保角的．这是因为，在复平面上处处有01≠='w ． (3)将圆周映射为圆周．2.kz w = (k 为常数，且0≠k )的映射性质： (1)是旋转与伸长（或缩短）变换的叠加．(2)在复平面上处处是保角的．这是因为，0≠='k w 在复平面上处处成立． 3.zw 1=的映射性质： (1)该映射称为反演变换或倒数变换，它是相继施行两个对称变换的结果，一是关于实轴对称，二是关于单位圆周对称． (2)在复平面上除0=z 外，处处是保角的．(3)将圆周映射为圆周． 对于z 平面上的圆周（或直线）0)(22=++++D Cy Bx y x A映射zw 1=当0,0≠≠D A 时，将圆周映射为圆周； 当0,0=≠D A 时，将圆周映射为直线； 当0,0≠=D A 时，将直线映射为圆周； 当0,0==D A 时，将直线映射为直线． 分式线性变换的映射性质（7.3）式的“结构”是由平移变换、旋转与伸长（或缩短）变换及反演变换复合而成．1. 线性变换的保形性定义 两曲线在无穷远点处的交角是指它们在反演变换之下的象曲线在原点处的交角。

第二节 分式线性变换（映射）本节以及下一节，我们将介绍保形变换中两类基本的保形变换---分式线性变换和某些初等解析函数构成的保形变换---及其简单的应用．一、分式线性变换及其分解 （一）分式线性变换形如：az bw cz d+=+（其中0a b ad bc c d =-≠）的变换称为分式线性变换，简记为L()w z =．注：10 分式线性变换中，系数满足的条件不可少，否则，0a b ad bc c d=-=，即a bk c d= ，必将导致L()z k ≡为常数，显然它不可能构成保形变换．20 为研究的方便，在扩充平面上，我们对分式线性变换L()w z =补充定义如下：（·）当0c ≠时，补充定义L()d c-=∞，L()a c∞=； （··）当0c =时，补充定义L()∞=∞．则分式线性变换就成为整个扩充平面上线性变换．30 补充定义后，分式线性变换成为整个扩充z 平面与整个扩充w 平面之间的一一变换，即它在整个扩充z 平面上是单叶的，换言之，它将扩充z 平面单叶地变成扩充w 平面．事实上，在扩充平面上，分式线性变换L()az bw z cz d+==+具有单值的逆变换dw bz cw a-+=-．40 根据保域性定理（定理1）的推广，分式线性变换L()w z =在扩充平面上具有保域性．50 易知，分式线性变换与分式线性变换的复合仍为分式线性变换．（二）分式线性变换的分解（分式线性变换的四种基本形式）分式线性变换L()w z =总可以分解成下面四种简单变换的复合： （Ⅰ）i w e z θ= ------------------ 称为旋转变换； （Ⅱ）w r z =⋅ ------------------ 称为伸缩变换； （Ⅲ）w z h =+ ------------------ 称为平移变换； （Ⅳ）1w z= ------------------ 称为反演变换． 事实上，当0c =时，分式线性变换变为a b w z dd=+， 记i a re dθ=，它又变为()i bw r e z dθ=+， 显然，它是由下面三个形如（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的变换i e z θξ=，r ηξ= 和 bw dη=+， 复合而成．当0c ≠时，分式线性变换可变形为21()1()1az b c az b a cz d bc ad a bc ad w d cz d c cz d c cz d c c z c++++--==⋅=⋅=+⋅++++， 记 2i bc adre cθ-=，它还可变形为211()i a bc ad a w r e d d c c c z z c cθ-=+⋅=+⋅++．显然，它是由下面五个形如（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）（Ⅳ）的变换d z c ξ=+，1ηξ=，i e θςη=，r ζς=和aw cζ=+，复合而成．上面的四种变换中（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）可合并成形如w kz h =+（0k ≠）的分式线性变换，称为整线性变换．为了弄清楚分式线性变换的几何性质，下面，我们分别考察上述四种简单变换的几何意义．对于变换（Ⅰ）：它是将平面上的点z 绕原点按逆时针或顺时针（视θ的正负而定）旋转θ角；对于变换（Ⅱ）：它是将平面上的点z 沿z 的方向扩大或缩小（视r 大于1还是小于1而定）r 倍；对于变换（Ⅲ）：它是将平面上的点z 平移一个向量h ；图7.7（线性变换的示意图）可见，上述三种变换的一个共同特点是保持平面上图形的形状不变，图形的方向也不变，因此，这三种变换都是保持平面图形方向不变的相似变换，另外，由于相似变换的复合仍是相似变换，所以整线性变换w kz h =+（0k ≠）也是保持平面图形方向不变的相似变换．对于变换（Ⅳ）：它可以分解成下面两个更简单的变换的复合，1ω= ------ 称为关于单位圆周的对称变换，其中z和ω称为关z于单位圆周的点；= ------ 称为关于实轴的对称变换，其中ω和w称为关于实wω轴的对称点．可见，反演变换（Ⅳ）是通过两个对称变换的复合而成，此时原象点z和象点w之间的关系可通过图7.8所示的几何方法来实现．图7.8（反演变换的示意图）关于单位圆周1z=的对称点的补注：10 补充关于单位圆周1z=对称点的定义：若点z和ω都在从圆心z=的两侧（即一点在圆周z=出发的同一条射线上，分属于圆周1z=的内部，另一点在圆周1z=的外部），并且它们到圆心的距离的1乘积等于1（即1z=对称，点zzω⋅=），则称点z和ω关于单位圆周1和ω也称为关于单位圆周1z=的对称点．20 设点z和ω关于单位圆周1z=对称，由于它们都在从圆心0z=出发的同一条射线上，且1zω⋅=，从而它们的幅角相等，记i=，z reθ于是1111i i i i e e e z r re z θθθθωω-=⋅=⋅=⋅==， 即1zω=--------对称点的计算公式． 30 规定：圆心0z =和∞是关于单位圆周1z =的对称点． 40 关于单位圆周1z =的对称点的几何作法：（如图7.8）先过点z 作射线oz 的垂线与圆周交于一点A ，再过点A 作圆周1z =的切线与射线oz 交于一点ω，则ω就是点z 关于单位圆周1z =的对称点． 例 1 证明：除恒等变换外，一切分式线性变换在扩充平面上恒有两个相异的或一个二重的不动点（即将自己变成自己的点称为不动点）． 证明 设分式线性变换为 az bw cz d+=+，其中0ad bc -≠．由不动点的含义，其不动点必满足方程 az bz cz d+=+，即2()0cz d a z b +--= ------------------(*) 如果方程（*）的系数全为零，则az bw z cz d+==+为恒等变换，与题设矛盾，故方程（*）的系数必不全为零．下面分两种情况证明：（1）若0c ≠，则方程（*）有两根 1,2z =2()4a d bc ∆=-+当0∆≠时，方程（*）有两个相异的根，即az bw cz d+=+有两个相异的不动点1z 和2z ；当0∆=时，方程（*）有两个相等的根，即az bw cz d+=+有一个二重的不动点2a dz c-=． （2）若0c ≠，则方程（*）变为 ()0d a z b --=，此时az bw cz d+=+变为a b w z dd=+．当0d a -≠时，方程（*）有一个根 b z d a =-，即az bw c z d+=+有一个不动点bz d a =-，显然z =∞也是不动点． 故az b w cz d +=+仍有两个不动点bz d a=-和z =∞．当0d a -=时，此时0b ≠，方程（*）的根形式上变为bz d a==∞-，即az b w cz d +=+的不动点也变为b z d a ==∞-，因此，z =∞成为az bw cz d+=+的二重不动点，即az bw cz d+=+有一个二重不动点z =∞．注：归纳例1结论，关于分式线性变换az bw cz d+=+（其中0ad bc -≠）的不动点，我们有如下结果：Ⅰ、当0c ≠时，它仅有有限不动点而无无穷不动点∞．进一步，当2()40a d bc ∆=-+≠时，它有两个相异的有限不动点； 当2()40a d bc ∆=-+=，它有一个二重有限不动点． Ⅱ、当0c =时，它必有无穷不动点∞．进一步，当a d ≠时，它还有一个有限不动点；当a d =，0b ≠时，它没有有限不动点，此时∞是二重不动点； 当a d =，0b =时，此时变换成为恒等变换w z =，扩充平面上的任何点都是不动点．例2 求下列分式线性变换的不动点： （1）11z w z +=-； （2）311z w z -=+； （3）1w z =+； （4）w kz =（0k ≠）． 解（1）设z 为此变换的不动点，则z 满足11z z z +=-，即2210z z --=．解得1z =-+1z =-．即为此变换的两个相异的不动点（没有无穷不动点）．（2）设z 为此变换的不动点，则z 满足311z z z -=+，即 2210z z --=．显然，此方程有两个相等的根1z =，即1z =为此变换的二重不动点（没有无穷不动点）．（3）根据例1的结论，由于0c =，1a d ==，10b =≠，所以，此变换仅以∞为不动点，且为二重不动点（只有无穷不动点，而没有有限不动点）．（4）显然，当1k ≠时，在此变换下0变成0，∞变成∞，则此变换有一个有限不动点0z =和一个无穷不动点z =∞（既有一个有限不动点，也有一个无穷不动点）．当1k =时，此变换为恒等变换。

第六章 保形映射 第二节 分式线性函数及其映射性质 4、分式线性函数的映射性质：规定：在扩充复平面上，任一直线看成半径是无穷大的圆。

定理4.1 在扩充复平面上，分式线性函数把圆映射成圆。

证明：由于分式线性函数所确定的映射是平移、旋转、相似映射及zw 1=型的函数所确定的映射复合而得，但前三个映射显然把圆映射成圆，所以只用证明映射z w 1=也把圆映射为圆即可。

在圆的方程,0)(22=++++d cy bx y x a（如果a=0，这表示一条直线）中，代入,2,2,22izz y z z x z z y x -=+==+ 则得圆的复数表示：,0=+++d z z z az ββ其中a,b,c,d 是实常数，)(21ic b +=β是复常数。

函数zw 1=把圆映射成为,0=+++a w w dw ββ即w 平面的圆（如果d=0，它表示一条直线，即扩充w 平面上半径为无穷大的圆）。

设分式线性函数把扩充z 平面上的圆C 映射成扩充w 平面上的圆C'。

于是，C 及C'把这两个扩充复平面分别分成两个没有公共点的区域，21,D D 及','21D D ，其边界分别是C 及C'。

则此分式线性函数把1D 映射成','21D D 之中的一个区域，但是究竟1D 的象是'1D 还是'2D ，我们必须通过检验1D 中某一个点的象来决定。

定理4.2 对于扩充 z 平面上任意三个不同的点321,,z z z 以及扩充 w 平面上任意三个不同的点321,,w w w ，存在唯一的分式线性函数，把321,,z z z 分别映射成321,,w w w 。

证明：先考虑已给各点都是有限点的情形。

设所求分式线性函数是,dcz baz w ++=那么，由dcz baz w d cz b az w d cz b az w ++=++=++=222222111,, 得))(())(())((1111d cz d cz d cz b az d cz b az w w ++++-++=-))(())((11d cz d cz bc ad z z +++-=同理，有：))(())((111d cz d cz bc ad z z w w +++-=-，))(())((131313d cz d cz bc ad z z w w +++-=-，))(())((232323d cz d cz bc ad z z w w +++-=-，))(())((222d cz d cz bc ad z z w w +++-=-，因此，有231321231321::z z z z z z z z w w w w w w w w ----=----， 由此，我们可以解出分式线性函数。