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复变函数重要知识点总结复变函数是数学中一个非常重要的分支，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
下面将对复变函数的一些重要知识点进行总结。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数组成的数，通常表示为＄z ＝ x ＋ yi$，其中＄x$ 称为实部，＄y$ 称为虚部，＄i$ 是虚数单位，满足＄i^2 ＝－1$。
复数的模长定义为＄｜z| ＝＼sqrt{x^2 ＋ y^2}＄，表示复数在复平面上的距离。
复数的辐角定义为＄＼theta ＝＼arctan\frac{y}｛x}＄，表示复数与实轴正方向的夹角。
二、复变函数的定义复变函数是定义在复数域上的函数，通常表示为＄w ＝ f(z)＄，其中＄z$ 是自变量，＄w$ 是因变量。
复变函数的导数定义与实函数类似，但需要满足柯西黎曼方程：＄＼frac{＼partial u}｛＼partial x} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial y}＄，＄＼frac{＼partial u}｛＼partial y} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial x}＄，其中＄f(z) ＝ u(x,y) ＋ iv(x,y)＄。
三、解析函数如果一个复变函数在某点及其邻域内可导，就称该点为函数的解析点。
如果函数在一个区域内处处解析，就称该函数为解析函数。
解析函数具有很多良好的性质，如柯西定理、柯西积分公式等。
四、复变函数的积分复变函数的积分定义为沿着一条曲线对函数进行积分。
柯西定理指出，如果函数在一个单连通区域内解析，那么沿着该区域内任何一条闭合曲线的积分都为零。
柯西积分公式则给出了函数在某点的值与沿着该点周围闭合曲线的积分之间的关系。
五、级数复级数包括幂级数和 Laurent 级数。
幂级数是形如＄＼sum_{n=0}＾｛＼infty} a_n （z z_0)＾n$ 的级数。
收敛半径可以通过比值法或根值法求得。
Laurent 级数是在圆环域内展开的级数，包括正则部分和主要部分。
1．课程名称复变函数学时：54 学分：3课程主要内容：复变函数是数学中既经典而又充满活力的一个分支。
在数学的发展过程中，复变函数发挥了重要的作用。
它在其它学科（如空气动力学、流体力学、弹性力学、热学、电磁学、理论物理、电子工程及通讯等）及数学的其它分支（如微分方程、积分方程、概率论及数论等）都有重要的应用。
它一直是大学数学教育的基本内容之一。
本课程内容主要包括: 解析函数(解析函数的定义、初等函数等) 、共形映射(共形映射的定义、分式线性变换及初等映射等)、复积分(Cauchy 积分公式、Cauchy定理等)、级数(Laurent级数、孤立奇点、局部映射等)、留数及其应用(留数定理、利用留数计算积分、幅角原理、最大模原理、Schwarz引理等)、解析开拓和调和函数等内容。
教学目的及要求：通过本课程的学习, 使得学生在学习到复变函数的基本内容和基本方法的同时, 得到较好的复分析方面的训练。
并且培养学生具有.一定的利用所学知识解决实际问题的能力。
通过本课程的学习，使学生要掌握以下内容：（1）解析函数概念与C-R条件。
包括解析性条件，初等解析函数及其性质。
（2）Cauchy积分理论。
包括Cauchy积分定理，Cauchy积分公式及解析函数的无穷可微性，Liouvill定理，最大模原理，Schwarz引理等。
（3）Wierstrass级数理论。
包括Talor定理，Lanrent定理，唯一性定理，奇点分析等。
（4）Riemann保形变换理论。
包括解析变换的保形性，线性变换及其性质，区域之间保形变换的存在性与唯一性，边界对应原理等。
其中（1）是基础性知识，（2）（3）（4）分别从分析、代数、几何三个不同角度讨论了解析函数性质及其应用。
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同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整)《复变函数》练习题的全部内容。
福师12秋《复变函数》练习题注:1、本课程练习题所提供的答案仅供学员在学习过程中参考之用，有问题请到课程论坛提问。
一、单项选择题1．2sin i =（ )A ． B. C ． D ．答案：D2．函数在复平面上（ ） A ．处处不连续B.处处连续，处处不可导C 。
处处连续，仅在点z =0可导 D.处处连续，仅在点z =0解析 答案:C3．设C 是绕点的正向简单闭曲线，则 ( )A ．B ．C ．D ．0答案：C 4．，分别是正向圆周与，则( ）A ．B ．cos2C ．0D ．sin2答案：D二、填空题1()e ei--1()e ei-+1()e e i --1e e-+2()f z z =00z ≠530()C z dz z z =-⎰2iπ3020z iπ502z i π1C 2C 1z =21z -==-+-⎰⎰dz z zi dz z e i c c z212sin 21221ππ2i π1. 设，则________。
考核知识点:复数代值。
2．设是解析函数．若,则______． 考核知识点:解析函数的导数.3. 设C 为正向圆周,则 。
考核知识点：柯西积分公式.4．幂级数的收敛半径为_________.考核知识点：幂级数的收敛半径。
5. = .考核知识点:复数的乘幂。
提示：6．设为的极点，则____________________．考核的知识点:函数的极点。
复变函数理论中的共形映射及其性质复变函数理论是数学中的一个重要分支，研究复平面上的复数函数。
复变函数理论的一个重要概念是共形映射。
共形映射是指保持角度不变的映射关系。
本文将讨论复变函数理论中的共形映射及其性质。
一、共形映射的定义共形映射是指保持角度不变的映射关系。
设f(z)是一个定义在复平面上的复变函数，如果对于平面上任意两条非平行的曲线，这两条曲线在映射f下的对应曲线的切线之间的夹角等于原曲线对应切线的夹角，那么称f(z)是一个共形映射。
二、共形映射的性质1. 保角性质：共形映射保持角度不变。
设z1和z2是复平面上任意两点，w1=f(z1)和w2=f(z2)是它们的映射点，如果z1、z2、w1和w2在同一条直线上，那么它们的夹角相等。
2. 保距性质：共形映射保持距离不变。
设z1和z2是复平面上任意两点，w1=f(z1)和w2=f(z2)是它们的映射点，那么z1和z2之间的距离等于w1和w2之间的距离。
3. 保边界性质：共形映射保持边界不变。
若一个区域的边界曲线在共形映射下映射到另一个区域，那么映射后的曲线仍然是原来区域的边界曲线。
4. 保圆性质：共形映射将圆映射为圆。
具体来说，若一个圆在共形映射下映射为另一个曲线，那么映射后的曲线仍然是圆。
三、常见的共形映射复平面上的共形映射有很多种，下面介绍几种常见的共形映射：1. 线性变换：线性变换是一类共形映射，表达形式为f(z)=az+b，其中a和b是复数，a≠0。
线性变换可以将直线映射为直线或者圆。
2. 幂函数：幂函数是一种共形映射，表达形式为f(z)=z^n，其中n是整数。
幂函数可以将圆映射为圆或者直线。
3. 分式线性变换：分式线性变换是另一类共形映射，表达形式为f(z)=(az+b)/(cz+d)，其中a、b、c和d是复数，ad-bc≠0。
分式线性变换可以将圆、直线或者半平面映射为圆、直线或者半平面。
四、应用领域共形映射在物理学、工程学以及计算机图形学等领域有广泛的应用。
浅谈分式线性变换的性质及应用1 分式线性变换的定义在复变函数中，如果)(z f w =在区域D 内是单叶且保角的，则称它为D 内的共形映射. 形如dcz baz w ++=(1)其中0≠-bc ad 且R d c b a ∈,,,,称为分式线性变换,简记为)(z L w =,可变形为acw bdw z -+-=('1)且(1)式总可以分解成下列简单类型变换的组合: (Ⅰ)h kz w += (0≠k ) 称为整线性变换 (Ⅱ)zw 1=称为反演变换 由上可知分式线性变换是共形映射中的一种常见的基本变换,是扩充复平面到自身的一对一的映射.德国数学家A.F.Mobius 对此作过大量的研究,所以在很多文献中分式线性变换也称为Mobius 变换.2 分式线性变换的性质分式线性变换作为共形映射的一种基本变换,具有四个重要的性质,这些性质使它具有了很多的优点:在处理边界为圆弧或直线的区域变换中发挥了重要的作用,使复杂问题简单化.下面将给出它的四个重要性质.2.1 分式线性变换的保形性 定义1)289](1[P 二曲线在无穷远点处的交角为α,就是指它们在反演变换下的像曲线在原点处的交角为α.按照上面的定义,反演变换在0=z 及∞=z 处是保角的,且整线性变换在扩充z 平面上是保角(形)的,由此我们得出 定理1)290](1[P 分式线性变换(1)在扩充z 平面上是保形的.2.2 分式线性变换的保交比性 定义2)291290](1[-P 扩充z 平面上有顺序的四个相异点1z ,2z ,3z ,4z 构成下面的量,称为它们的交比,记为(1z ,2z ,3z ,4z )(1z ,2z ,3z ,4z )=2414z z z z --:2313z z z z --注 当四点中有一个点为∞时,应将包含此点的项用1代替. 定理2 在分式线性变换下,四点的交比不变. 证明 设 dcz baz w i i i ++= 4,3,2,1=i则))(())((d cz d cz z z bc ad w w j i j i j i ++--=- (j i ≠)利用上式可得(1w ,2w ,3w ,4w )=23132414:w w w w w w w w ----=2414z z z z --:2313z z z z --=(1z ,2z ,3z ,4z ) 证完.2.3 分式线性变换的保对称点性 定义3)294](1[P 1z ,2z 关于圆周γ:R a z =-对称是指1z ,2z 都在过圆心a 的同一条射线上,且合221R a z a z =--.此外,我们规定圆心a 与点∞关于γ对称. 在介绍定理之前先引入一引理如下: 引理)295](1[P 扩充z 平面上两点1z ,2z 关于圆周γ对称的充要条件是通过1z ,2z 的任意圆周都与γ正交.定理3 设扩充z 平面上两点1z ,2z 为关于圆周C 的一对对称点,那么在分式线性变换)(z L w =下,它们的象点1w =)(),(221z L w z L =两点也是关于圆周C 的象曲线圆周Γ的一对对称点.证明 设 过1w 及2w 的任何圆周'Γ,都是过1z ,2z 的圆周'C 由分式线性变换（1）变换而来,由上面的引理, 过1z ,2z 的任意圆周'C 都与C 正交,根据分式线性变换的保形性,过1w ,2w 的任何圆周'Γ与圆周Γ正交,又由引理知1w ,2w 关于Γ对称.证完.2.4 分式线性变换的保圆(周)性定理4 在分式线性变换(1)下,扩充z 平面上的圆周共形映射成扩充w 平面上的圆周. 证明 在圆周方程0)(22=++++D Cy Bx y x A (2) 中,令2_z z x +=,iz z y 2_-=,_22z z y x =+则(2)变为0___=+++D z z z Az ββ (3) 注 ,,,,R D C B A ∈AD >2β(在0=A 时,表示一直线),)(21iC B -=β. 在分式线性变换(1)下,利用('1)及 _______aw c b w d z -+-=(3)式变成扩充w 平面上的圆周0___=+++F w w w Ew γγ 其中Aba Dab a b a b Ab F cDc d c d c d Ad E -=++-=++-=γββββ__________)()(都是实数(在0=E 时,方程表示直线) 证完.3 分式线性变换的应用分式线性变换从几何角度“形”的方面对解析函数进行研究，是复变函数的重要组成部分，在复变函数中它在处理边界为圆弧或直线的区域变换中具有重要的作用,即任给两个圆周(或直线)C 及Γ,必存在一个分式线性变换,它把C 保形变换到Γ,若在C 上按逆时针方向取三个点)3,2,1(=i z i 相应地变到Γ上也是按逆时针方向的三个点)3,2,1(=i w i ,且这个分式线性变换将C 所围的左(右)侧区域变到Γ所围的左(右)侧区域;若在C 上按逆时针方向取的三个点)3,2,1(=i z i 相应地变到Γ上按顺时针方向的三个点)3,2,1(=i w i ,则这个分式线性变换将C 所围的左(右)侧区域变到Γ所围的右(左)侧区域.下面是几个典型的分式线性变换.3.1 将上半平面共形映射成上半平面的分式线性变换例1 把上半z 平面共形映射成上半w 平面的分式线性变换可以写成dcz baz w ++=,其中R d c b a ∈,,,且0>-bc ad (4)证明 )(21Im _w w iw -=)(21__dz c b z a dcz b az i ++-++=)(21_2z z d cz bcad i -+-=z dcz bc ad Im 2+-=此时它必将下半平面共形映射成下半平面.注将上半z 平面共形映射成下半w 平面的分式线性变换dcz baz w ++=只需让上式（4）中条件0<-bc ad ，它必将下半z 平面共形映射成上半w 平面.3.2 将上半平面共形映射成单位圆周内部的分式线性变换例2 求出将上半平面0Im >z 共形映射成单位圆1<w 的分式线性变换,并使上半平面上一点)0(Im >=a a z 变为0=w .解 如图根据分式线性变换的保对称点性,点a 关于实轴的对称点_a ,应该变到0=w 关于单位圆周的对称点∞=w ,这个变换应当具有形式_az a z kw --=其中k 是常数, k 值的确定,可使实轴上的点,例如0_=z 共形映射成单位圆周上的一点_aa kw =所以k aa k==_1因此,可以令βi e k =(β是实数),最后得到所求的变换为 _az a z e w i --=β(0Im >a ) （5）此时它必将下半平面0Im <z 共形映射成单位圆外部1>w .注 如果将上半平面0Im >z 共形映射成单位圆周外部1>w ,只需将（5）式中括号里的条件变为0Im <a ,同时它必将下半平面0Im <z 共形映射成单位圆内部1<w .3.3 将单位圆周内部共形映射成单位圆周内部的分式线性变换例3 求将单位圆周1<z 共形映射成单位圆周1<w 的分式线形变换,并使一点)1(<=a a z 变到0=z .解 如图)(z L w =由题意,所求的映射应将z 平面上的单位圆1:=z C 变为w 平面上的单位圆1:'=w C .由于要把点)1(<=a a z 变为点0=w ,而关于圆周C 与点a 对称的点是_1a,关于圆周'C 与点0=w 对称点是∞,由分式线形变换的保对称点性知,所求映射应将点a z =共形映射成点0=w ,将点_1az =共形映射成点∞=w .不妨设所求分式线性变换为_'1az az kw --=,'k 为待定系数. 即za a z k a w _'_1---=令'_k a k -=得za a z kw _1--=为确定k ,利用C 上的点的象在'C 上,取点1=z 代入上式应满足1=w ,即111_=--=aa kw所以1=k ,从而得θi e k =,(θ为任意实数).所以 za a z e w i _1--=θ,(1<a ,θ为任一实数). （6）此时它必将单位圆周外部1>z 变到单位圆周外部1>w .注 求将单位圆周1<z 共形映射成单位圆周外部1>w 的分式线性变换只需让（6）式括号中1>a 即可;同时,它必将单位圆周外部1>z 共形映射成单位圆周内部1<w .3.4 分式线性变换的综合应用综上所述,我们可求出任意圆形区域(含半平面)到圆形区域的线性变换,若没有任何其它要求,这种线性变换的表达式中包含了两个任意常数,因此,这种变换有无穷多个;如果指定区域内某点的象,则相应的这一点关于圆周(或直线)的对称点应变到相应象点关于象圆周的对称点,这样线性变换中就剩下一个任意复常数;圆的位置变换可经平移得到,圆心在原点的圆可用)0(>=ααz w 使圆放大或缩小,这样我们就可以将任意圆形域(含半平面)变成任意的圆形域(含半平面).例4 求将上半z 平面共形映射成圆R w w <-0的分式线性变换)(z L w =,使符合条件0)(w i L =,.0)('>i L解 做分式线性变换Rw w 0-=ξ 将圆R w w <-0共形映射成单位圆1<ξ.然后,作出上半平面0Im >z 到单位圆1<ξ的共形映射,使i z =变成0=ξ,该分式线性变换为iz iz ei +-=θξ (为了应用以上三例的结果,我们在z 平面与w 平面间插入一个“中间”平面——ξ平面.)复合以上两个分式线性变换得iz iz e R w w i +-=-θ0 它将上半z 平面共形映射成圆R w w <-0，i 变成0w .又由条件0)('>i L 可得()ie i z iz i z e dzdw R i iz i iz 2112θθ=++-+=== 也就是 ()⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=2'221Re πθθi i e R i i L所以 i e i ===-θπθπθ,2,02故所求分式线性变换为 0w iz iz Riw ++-= 从以上讨论得到分式线性变换作为一类特殊的共形映射有很好的性质,保圆性、保对称点性、保形性、保交比性，并且分式线性变换能将圆形区域(含半平面)变成规则的区域,它有很多用途.总结分式线性变换的这些特性对我们以后的学习会很有帮助的.而上述这些从性质和应用两方面说明了分式线性变换的重要性，鉴于此，我尝试对该领域内主要贡献者的观点进行归纳整理，力求使该部分内容更加清晰、系统，并从几何角度对分式线性变换作全面分析，更加体现出分式线性变换的重要作用.参考文献：[1] 钟玉泉. 复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2005[2] 余家荣. 复变函数[M]. 北京：高等教育出版社，2005[3] 肖荫庵. 复变函数论[M].吉林: 东北师范大学出版社,1987[4] 于慎根、杨永发、张相梅. 复变函数与积分变换[M].天津：南开大学出版社，2006[5] 钟玉泉. 复变函数学习指导[M].北京: 高等教育出版社，2005[6] 杨林生. 复变函数[M].北京: 高等教育出版社，2001[7] 郑建华. 复变函数[M]. 北京: 清华大学出版社，2005[8] 方企勤. 复变函数教程[M]. 北京: 北京大学出版社，2003[9] James Ward Brown、Ruel V. Churchill （邓冠铁译）复变函数及应用[M].机械工业出版社，2006[10] 郭洪芝、腾桂兰. 复变函数[M]. 天津：天津大学出版社，2002。
