分式线性变换--很好很强大

第七讲 分式线性变换 形如()(,,,0)az b f z a b c d adbc cz d+=∈-≠+£且的分式函数,即等价于 :f →＃,az b z w cz d +→=+为分式线性变换. f 是£上的双射.设()az b w f z cz d +==+,1()b dw z f w z cw a --=⇒=-,即1()dw b f w cw a --+=-. 1f -也是分式线性变换.特别地,11(0)()lim (0)()lim z z b f d az b af cz d c b f a dw b d f cw a c →∞--→∞⎧=⎪⎪+⎪∞==⎪+⎨⎪=-⎪⎪-+⎪∞==--⎩1 反演变换形如1w z=的变换,称为反演变换(如图7.1). 2 相似变换(1)平移变换:(),()f z z h h =+∈£(如图7.2).(2)旋转变换:(),()i f z e z θθ=⋅∈¡(如图7.3).(3)伸缩变换:(),(0)f z rz r =>(如图7.4).综上:相似变换统一写成arg ()()i k f z kz h k e z h =+=⋅+.引理1形如()(,,,0)az b f z a b c d ad bc cz d+=∈-≠+£且的分式线性变换必是一系列相似变换与反演变换的复合;反过来,相似变换与反演变换的复合也是某个分式线性变换.证明:(⇒) case1:0()az b a b c f z z d d d+=⇒==+是相似变换. case2:10()bc ad a c f z c cz d c-≠⇒=⋅++,即如下复合: 111bc ad bc ad a z cz d cz d c cz d c cz d c --→+→→⋅→⋅++++ (⇐) 设''()''a zb g zc zd +=+,要证()gf z 也是分式线性变换.经过计算,得 ('')('')()('')('')aa cb z ba db gf z ac bd z bc db +++=+++ 为分式线性变换.证毕.反演变换的性质✓ 保圆周性定理2 分时线性变换()az b f z cz d+=+将圆周(或直线)映为圆周(或直线). 证:(方法一)Q ()az b f z cz d +=+是1w z=和w kz h =+的复合而成的 ∴只需讨论1w z =或w kz h =+的形式,其中,后一情形显然.只讨论1w z=的情形. 圆周曲线的方程为0Azz Bz Bz C +++=其中,2,,A C B AC ∈>¡.(当0A =时,是直线方程).代入1w z=得到 0Cww Bw Bw A +++=依然为圆周曲线的方程.得证.(方法二)(1)圆周方程也可写为0z z r -=如图7.5,在反演变换1w z=下,像可写为 case1:圆周不过原点0z ≠(即0z r ≠)时,像为0222200z r w z r z r -=--依然是圆周曲线的方程. case2:圆周过原点0z =(即0z r =),像为001z w z w +=01(Re())2z w =,得证.(2)直线方程0(,,,)ax by c z x iy a b c ++==+∈¡,即Re(())a ib z c -=-,在反演变换下:case1:当0c ≠时,像是圆周曲线22a ib a ib w c c--+=. case2:当0c =时,像是直线Re(())0a ib w +=.✓ 保交比性定义 在£中取1234,,,(,,1,2,3,4)i j z z z z z z i j ≠=,则交比314112344232(,,,):z z z z z z z z z z z z --=--. 注:若4z =∞,则31123432(,,,)z z z z z z z z -=-. 保交比性 分时线性变换()az b f z cz d +=+,设()(1,2,3,4)i i w f z i ==,则 12341234(,,,)(,,,)w w w w z z z z =.ex1: 已知圆周11z -=上有三点1230,2,1z z z i ===+(如图7.6),求()az bf z cz d+=+使得1(0),(1),(2)12i f f i f -=∞+==. 解:由保交比性得1(,1,,)(0,2,1,)2i w i z -∞=+,即 110(1)0::112(1)212z i i w z i -+-=---+--(3)4()(1)i z f z i z --⇒=-.✓ 保边界性复函数()w f z =,其定义域D 为区域,则值域()f D 也是区域；设D ∂是D 的边界,则()f D ∂是()f D 的边界.若指定D ∂定向,则()f D ∂保持定向.注:沿区域D 的边界行走时,区域D 总在左边(如图7.7).ex2:如图7.8,设1{|Im 0},()D z z f z z=>=,求()f D . 解:D 边界{}D ∂=实数轴,()f D ∂也是()f D 的边界,由1w z =知()f D D ∂=∂,所以()f D 边界仍为实轴.D ∂Q 定向从左到右,由1w z=知()f D ∂定向从右到左()f D ⇒必是下半平面.✓ 保对称性称平面上的点12,z z 关于圆周或直线C 对称,设12,z z ∈£,case1:当C 为直线时,12,z z 关于C 对称,即通常意义下是镜像对称； case2:当C 为圆周时, C 的方程为0z z r -= 12,z z 关于C 对称21020012()(),,z z z z r z z z ⇔--=⇔三点一线,并且他们之间的距离满足21020z z z z r -⋅-=.若()az b f z cz d +=+且12,z z 关于C 对称,则12(),()f z f z 关于()f C 对称.ex3:求()az b f z cz d+=+满足 ()0,arg '(),{|Im 0},(){|1}2f i f i D z z f D w w π==-=>=<(如图7.9).解: i -Q 与i 关于实轴对称,由保对称性()f i -与()f i 关于()f D 对称()f i ⇒-=∞可推出()()k z i f z z i-=+ 由保边界性,0D ∈∂Q 故(0)()f f D ∈∂,即(0)1f =(0)(0)0k i f k i-==-+Q (0)1f k ∴== ∴可设i k e θ=,则()()i e z i f z z i θ-=+ 22'()()i i f z e z i θ∴=⋅+代入z i =得 ()21'()()arg '()222i i i f z e e f z πθθπθ-=-=⇒=- 由条件得01k θ=⇒= ()z i f z z i-∴=+. 更一般的变换()w f z =在D 上解析且'()0,f z z D ≠∀∈,称:()f D f D →为解析变换.✓ 保角性如图7.10,θ是曲线12,C C 在点P 处的夹角,则12(),()f C f C 在点()f P 处的夹角也是θ.设曲线[]0:(),,,()C z z t t P z t αβ=∈=,在点P 处的切线方向为0000'()|'()'()'()t t z t z t x t iy t ==+@,设曲线°[]:(),,C z z t t αβ=∈%%,曲线°C在点P 处的切线方向为 0'()z t % C ∴与°C 在点P 处的夹角0'()z t @与0'()z t %的夹角θ,即00'()arg '()z t z t θ=%,如图7.11. 设:()f D f D →解析变换(也就是解析函数),f 在0z z =处满足0'()0f z ≠,同上,设°,C C 在0z z =处相交(记号同上)如图7.12解析函数()w f z =是C 对应的方程,有000000'()'(())'()arg '()arg '()arg '()w t f z t z t w t f z z t =⋅⇒=+ (1)解析函数°()w f z =%是°C对应的方程,有 °°000000'()'(())'()arg '()arg '()arg '()w t f z t z t w t f z z t =⋅⇒=+%%% (2) 上(1)(2)两式相减得°0000'()'()arg arg '()'()w t z t w t z t =% 由定义°0000'()arg '()'()arg '()w t w t z t z t ϕθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩% 由上式得θϕ=,该性质称为保角性.注:00'()0arg '()f z f z ≠⇒有定义.引理1 设()w f z =在D 上解析且'()0,f z z D ≠∀∈,则f 在D 上每点保角. 注:若f 是D 上单叶解析函数,则:()f D f D →称为共形映射(保形映射).。

§2 分式线性变换一、教学目标或要求：理解分式线性变换的映射性质及应用 二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 基本内容：分式线性变换的映射性质，例题 重点：分式线性变换 难点：应用三、教学手段与方法： 讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习：4-11§2 分式线性变换1、分式线性变换及其分解分式线性变换的概念 称变换dcz baz w ++=(7.3) 为分式线性变换或Möbius 变换，其中的d c b a ,,,为复常数，且0≠-bc ad ．记为 。

规定时，， 时， 。

线性变换将扩充平面一一变换为扩充平面,逆变换 也是线性变换。

线性变换可分解为以下二种类型变换的复合(Ⅰ) 整线性变换 (当时,)(Ⅱ)反演变换 (当时,)(Ⅰ)型变换的几何意义——整线性变换下,原象与象是不改变图形方向的相似变换。

(Ⅱ)型变换的几何意义。

其中具有性质:，并且对称点都在过单位圆心的同一射线上。

把平面上的单位圆周映成平面上的单位圆周,并把单位圆周内(外)部映成单位圆外(内)部。

规定圆心 与为关于单位圆周的对称点。

线性变换的复合仍是线性变换。

几个初等函数的映射性质1.h z w += (h 为常数)的映射性质： (1)是一个平移变换．(2)在复平面处处是保角的．这是因为，在复平面上处处有01≠='w ． (3)将圆周映射为圆周．2.kz w = (k 为常数，且0≠k )的映射性质： (1)是旋转与伸长（或缩短）变换的叠加．(2)在复平面上处处是保角的．这是因为，0≠='k w 在复平面上处处成立． 3.zw 1=的映射性质： (1)该映射称为反演变换或倒数变换，它是相继施行两个对称变换的结果，一是关于实轴对称，二是关于单位圆周对称． (2)在复平面上除0=z 外，处处是保角的．(3)将圆周映射为圆周． 对于z 平面上的圆周（或直线）0)(22=++++D Cy Bx y x A映射zw 1=当0,0≠≠D A 时，将圆周映射为圆周； 当0,0=≠D A 时，将圆周映射为直线； 当0,0≠=D A 时，将直线映射为圆周； 当0,0==D A 时，将直线映射为直线． 分式线性变换的映射性质（7.3）式的“结构”是由平移变换、旋转与伸长（或缩短）变换及反演变换复合而成．1. 线性变换的保形性定义 两曲线在无穷远点处的交角是指它们在反演变换之下的象曲线在原点处的交角。

线性变换linear transformation线性变换的定义线性空间V到自身的映射通常称为V的一个变换。

同时具有以下定义：线性空间V的一个变换A称为线性变换，如果对于V中任意的元素α，β和数域P中任意k，都有A(α+β)=A（α）+A（β）A (kα)=kA(α)线性代数研究的一个对象，向量空间到自身的保运算的映射。

例如，对任意线性空间V，位似σk：aka是V的线性变换，平移则不是V的线性变换，若a1，…，an是V的基，σ（aj）＝a1ja1＋…＋anj（j＝1，2，…，n），则称为σ关于基｛a：｝的矩阵。

对线性变换的讨论可藉助矩阵实现。

σ关于不同基的矩阵是相似的。

Kerσ＝｛a｜a∈V，且σ（a）＝θ｝（式中θ指零向量）称为σ的核，Imσ＝｛σ（a）｜a∈V｝称为σ的象，是刻画σ的两个重要概念。

对于欧几里得空间，若σ关于标准正交基的矩阵是正交（对称）矩阵，则称σ为正交（对称）变换。

正交变换具有保内积、保长、保角等性质，对称变换具有性质：〈σ(a)，β〉＝〈a，σ（β）〉。

关于线性变换和特征值的理解首先我们来看这样一个事实。

一个二维的直角坐标系XOY，然后逆时针方向旋转了ө角变为X’OY’后，那么我们考察一下后会发现，在XOY和X’OY’的坐标系之间存在这样的转化关系。

这里我们进一步来理解这个等式的含义。

就是说某一个点在XOY坐标系下的坐标为向量a,在X’OY’坐标系下的坐标变为向量a’。

那么我们同样来考察一下这两个坐标系下的基坐标。

就是来考察在XOY坐标系下的基（1，0）和（0，1）用新坐标系X’OY’下的基来表示是怎样的。

根据这样的基变换结果，我们就说这个坐标旋转变换的变换矩阵为cosθ－sin θsin θcos θ注意，这里的矩阵的排列是前面两个基坐标系数方程的专职矩阵，之所以写为转置矩阵是因为我们习惯这样来写基坐标的线性变换A =( , ) 。

我们可以看到这样的旋转变换的目的就是把坐标系旋转后来看一下。

浅谈分式线性变换的性质及应用1 分式线性变换的定义在复变函数中，如果)(z f w =在区域D 内是单叶且保角的，则称它为D 内的共形映射. 形如dcz baz w ++=(1)其中0≠-bc ad 且R d c b a ∈,,,,称为分式线性变换,简记为)(z L w =,可变形为acw bdw z -+-=('1)且(1)式总可以分解成下列简单类型变换的组合: (Ⅰ)h kz w += (0≠k ) 称为整线性变换 (Ⅱ)zw 1=称为反演变换 由上可知分式线性变换是共形映射中的一种常见的基本变换,是扩充复平面到自身的一对一的映射.德国数学家A.F.Mobius 对此作过大量的研究,所以在很多文献中分式线性变换也称为Mobius 变换.2 分式线性变换的性质分式线性变换作为共形映射的一种基本变换,具有四个重要的性质,这些性质使它具有了很多的优点:在处理边界为圆弧或直线的区域变换中发挥了重要的作用,使复杂问题简单化.下面将给出它的四个重要性质.2.1 分式线性变换的保形性 定义1)289](1[P 二曲线在无穷远点处的交角为α,就是指它们在反演变换下的像曲线在原点处的交角为α.按照上面的定义,反演变换在0=z 及∞=z 处是保角的,且整线性变换在扩充z 平面上是保角(形)的,由此我们得出 定理1)290](1[P 分式线性变换(1)在扩充z 平面上是保形的.2.2 分式线性变换的保交比性 定义2)291290](1[-P 扩充z 平面上有顺序的四个相异点1z ,2z ,3z ,4z 构成下面的量,称为它们的交比,记为(1z ,2z ,3z ,4z )(1z ,2z ,3z ,4z )=2414z z z z --:2313z z z z --注 当四点中有一个点为∞时,应将包含此点的项用1代替. 定理2 在分式线性变换下,四点的交比不变. 证明 设 dcz baz w i i i ++= 4,3,2,1=i则))(())((d cz d cz z z bc ad w w j i j i j i ++--=- (j i ≠)利用上式可得(1w ,2w ,3w ,4w )=23132414:w w w w w w w w ----=2414z z z z --:2313z z z z --=(1z ,2z ,3z ,4z ) 证完.2.3 分式线性变换的保对称点性 定义3)294](1[P 1z ,2z 关于圆周γ:R a z =-对称是指1z ,2z 都在过圆心a 的同一条射线上,且合221R a z a z =--.此外,我们规定圆心a 与点∞关于γ对称. 在介绍定理之前先引入一引理如下: 引理)295](1[P 扩充z 平面上两点1z ,2z 关于圆周γ对称的充要条件是通过1z ,2z 的任意圆周都与γ正交.定理3 设扩充z 平面上两点1z ,2z 为关于圆周C 的一对对称点,那么在分式线性变换)(z L w =下,它们的象点1w =)(),(221z L w z L =两点也是关于圆周C 的象曲线圆周Γ的一对对称点.证明 设 过1w 及2w 的任何圆周'Γ,都是过1z ,2z 的圆周'C 由分式线性变换（1）变换而来,由上面的引理, 过1z ,2z 的任意圆周'C 都与C 正交,根据分式线性变换的保形性,过1w ,2w 的任何圆周'Γ与圆周Γ正交,又由引理知1w ,2w 关于Γ对称.证完.2.4 分式线性变换的保圆(周)性定理4 在分式线性变换(1)下,扩充z 平面上的圆周共形映射成扩充w 平面上的圆周. 证明 在圆周方程0)(22=++++D Cy Bx y x A (2) 中,令2_z z x +=,iz z y 2_-=,_22z z y x =+则(2)变为0___=+++D z z z Az ββ (3) 注 ,,,,R D C B A ∈AD >2β(在0=A 时,表示一直线),)(21iC B -=β. 在分式线性变换(1)下,利用('1)及 _______aw c b w d z -+-=(3)式变成扩充w 平面上的圆周0___=+++F w w w Ew γγ 其中Aba Dab a b a b Ab F cDc d c d c d Ad E -=++-=++-=γββββ__________)()(都是实数(在0=E 时,方程表示直线) 证完.3 分式线性变换的应用分式线性变换从几何角度“形”的方面对解析函数进行研究，是复变函数的重要组成部分，在复变函数中它在处理边界为圆弧或直线的区域变换中具有重要的作用,即任给两个圆周(或直线)C 及Γ,必存在一个分式线性变换,它把C 保形变换到Γ,若在C 上按逆时针方向取三个点)3,2,1(=i z i 相应地变到Γ上也是按逆时针方向的三个点)3,2,1(=i w i ,且这个分式线性变换将C 所围的左(右)侧区域变到Γ所围的左(右)侧区域;若在C 上按逆时针方向取的三个点)3,2,1(=i z i 相应地变到Γ上按顺时针方向的三个点)3,2,1(=i w i ,则这个分式线性变换将C 所围的左(右)侧区域变到Γ所围的右(左)侧区域.下面是几个典型的分式线性变换.3.1 将上半平面共形映射成上半平面的分式线性变换例1 把上半z 平面共形映射成上半w 平面的分式线性变换可以写成dcz baz w ++=,其中R d c b a ∈,,,且0>-bc ad (4)证明 )(21Im _w w iw -=)(21__dz c b z a dcz b az i ++-++=)(21_2z z d cz bcad i -+-=z dcz bc ad Im 2+-=此时它必将下半平面共形映射成下半平面.注将上半z 平面共形映射成下半w 平面的分式线性变换dcz baz w ++=只需让上式（4）中条件0<-bc ad ，它必将下半z 平面共形映射成上半w 平面.3.2 将上半平面共形映射成单位圆周内部的分式线性变换例2 求出将上半平面0Im >z 共形映射成单位圆1<w 的分式线性变换,并使上半平面上一点)0(Im >=a a z 变为0=w .解 如图根据分式线性变换的保对称点性,点a 关于实轴的对称点_a ,应该变到0=w 关于单位圆周的对称点∞=w ,这个变换应当具有形式_az a z kw --=其中k 是常数, k 值的确定,可使实轴上的点,例如0_=z 共形映射成单位圆周上的一点_aa kw =所以k aa k==_1因此,可以令βi e k =(β是实数),最后得到所求的变换为 _az a z e w i --=β(0Im >a ) （5）此时它必将下半平面0Im <z 共形映射成单位圆外部1>w .注 如果将上半平面0Im >z 共形映射成单位圆周外部1>w ,只需将（5）式中括号里的条件变为0Im <a ,同时它必将下半平面0Im <z 共形映射成单位圆内部1<w .3.3 将单位圆周内部共形映射成单位圆周内部的分式线性变换例3 求将单位圆周1<z 共形映射成单位圆周1<w 的分式线形变换,并使一点)1(<=a a z 变到0=z .解 如图)(z L w =由题意,所求的映射应将z 平面上的单位圆1:=z C 变为w 平面上的单位圆1:'=w C .由于要把点)1(<=a a z 变为点0=w ,而关于圆周C 与点a 对称的点是_1a,关于圆周'C 与点0=w 对称点是∞,由分式线形变换的保对称点性知,所求映射应将点a z =共形映射成点0=w ,将点_1az =共形映射成点∞=w .不妨设所求分式线性变换为_'1az az kw --=,'k 为待定系数. 即za a z k a w _'_1---=令'_k a k -=得za a z kw _1--=为确定k ,利用C 上的点的象在'C 上,取点1=z 代入上式应满足1=w ,即111_=--=aa kw所以1=k ,从而得θi e k =,(θ为任意实数).所以 za a z e w i _1--=θ,(1<a ,θ为任一实数). （6）此时它必将单位圆周外部1>z 变到单位圆周外部1>w .注 求将单位圆周1<z 共形映射成单位圆周外部1>w 的分式线性变换只需让（6）式括号中1>a 即可;同时,它必将单位圆周外部1>z 共形映射成单位圆周内部1<w .3.4 分式线性变换的综合应用综上所述,我们可求出任意圆形区域(含半平面)到圆形区域的线性变换,若没有任何其它要求,这种线性变换的表达式中包含了两个任意常数,因此,这种变换有无穷多个;如果指定区域内某点的象,则相应的这一点关于圆周(或直线)的对称点应变到相应象点关于象圆周的对称点,这样线性变换中就剩下一个任意复常数;圆的位置变换可经平移得到,圆心在原点的圆可用)0(>=ααz w 使圆放大或缩小,这样我们就可以将任意圆形域(含半平面)变成任意的圆形域(含半平面).例4 求将上半z 平面共形映射成圆R w w <-0的分式线性变换)(z L w =,使符合条件0)(w i L =,.0)('>i L解 做分式线性变换Rw w 0-=ξ 将圆R w w <-0共形映射成单位圆1<ξ.然后,作出上半平面0Im >z 到单位圆1<ξ的共形映射,使i z =变成0=ξ,该分式线性变换为iz iz ei +-=θξ (为了应用以上三例的结果,我们在z 平面与w 平面间插入一个“中间”平面——ξ平面.)复合以上两个分式线性变换得iz iz e R w w i +-=-θ0 它将上半z 平面共形映射成圆R w w <-0，i 变成0w .又由条件0)('>i L 可得()ie i z iz i z e dzdw R i iz i iz 2112θθ=++-+=== 也就是 ()⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=2'221Re πθθi i e R i i L所以 i e i ===-θπθπθ,2,02故所求分式线性变换为 0w iz iz Riw ++-= 从以上讨论得到分式线性变换作为一类特殊的共形映射有很好的性质,保圆性、保对称点性、保形性、保交比性，并且分式线性变换能将圆形区域(含半平面)变成规则的区域,它有很多用途.总结分式线性变换的这些特性对我们以后的学习会很有帮助的.而上述这些从性质和应用两方面说明了分式线性变换的重要性，鉴于此，我尝试对该领域内主要贡献者的观点进行归纳整理，力求使该部分内容更加清晰、系统，并从几何角度对分式线性变换作全面分析，更加体现出分式线性变换的重要作用.参考文献：[1] 钟玉泉. 复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2005[2] 余家荣. 复变函数[M]. 北京：高等教育出版社，2005[3] 肖荫庵. 复变函数论[M].吉林: 东北师范大学出版社,1987[4] 于慎根、杨永发、张相梅. 复变函数与积分变换[M].天津：南开大学出版社，2006[5] 钟玉泉. 复变函数学习指导[M].北京: 高等教育出版社，2005[6] 杨林生. 复变函数[M].北京: 高等教育出版社，2001[7] 郑建华. 复变函数[M]. 北京: 清华大学出版社，2005[8] 方企勤. 复变函数教程[M]. 北京: 北京大学出版社，2003[9] James Ward Brown、Ruel V. Churchill （邓冠铁译）复变函数及应用[M].机械工业出版社，2006[10] 郭洪芝、腾桂兰. 复变函数[M]. 天津：天津大学出版社，2002。

第二节 分式线性变换（映射）本节以及下一节，我们将介绍保形变换中两类基本的保形变换---分式线性变换和某些初等解析函数构成的保形变换---及其简单的应用．一、分式线性变换及其分解 （一）分式线性变换形如：az bw cz d+=+（其中0a b ad bc c d =-≠）的变换称为分式线性变换，简记为L()w z =．注：10 分式线性变换中，系数满足的条件不可少，否则，0a b ad bc c d=-=，即a bk c d= ，必将导致L()z k ≡为常数，显然它不可能构成保形变换．20 为研究的方便，在扩充平面上，我们对分式线性变换L()w z =补充定义如下：（·）当0c ≠时，补充定义L()d c-=∞，L()a c∞=； （··）当0c =时，补充定义L()∞=∞．则分式线性变换就成为整个扩充平面上线性变换．30 补充定义后，分式线性变换成为整个扩充z 平面与整个扩充w 平面之间的一一变换，即它在整个扩充z 平面上是单叶的，换言之，它将扩充z 平面单叶地变成扩充w 平面．事实上，在扩充平面上，分式线性变换L()az bw z cz d+==+具有单值的逆变换dw bz cw a-+=-．40 根据保域性定理（定理1）的推广，分式线性变换L()w z =在扩充平面上具有保域性．50 易知，分式线性变换与分式线性变换的复合仍为分式线性变换．（二）分式线性变换的分解（分式线性变换的四种基本形式）分式线性变换L()w z =总可以分解成下面四种简单变换的复合： （Ⅰ）i w e z θ= ------------------ 称为旋转变换； （Ⅱ）w r z =⋅ ------------------ 称为伸缩变换； （Ⅲ）w z h =+ ------------------ 称为平移变换； （Ⅳ）1w z= ------------------ 称为反演变换． 事实上，当0c =时，分式线性变换变为a b w z dd=+， 记i a re dθ=，它又变为()i bw r e z dθ=+， 显然，它是由下面三个形如（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的变换i e z θξ=，r ηξ= 和 bw dη=+， 复合而成．当0c ≠时，分式线性变换可变形为21()1()1az b c az b a cz d bc ad a bc ad w d cz d c cz d c cz d c c z c++++--==⋅=⋅=+⋅++++， 记 2i bc adre cθ-=，它还可变形为211()i a bc ad a w r e d d c c c z z c cθ-=+⋅=+⋅++．显然，它是由下面五个形如（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）（Ⅳ）的变换d z c ξ=+，1ηξ=，i e θςη=，r ζς=和aw cζ=+，复合而成．上面的四种变换中（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）可合并成形如w kz h =+（0k ≠）的分式线性变换，称为整线性变换．为了弄清楚分式线性变换的几何性质，下面，我们分别考察上述四种简单变换的几何意义．对于变换（Ⅰ）：它是将平面上的点z 绕原点按逆时针或顺时针（视θ的正负而定）旋转θ角；对于变换（Ⅱ）：它是将平面上的点z 沿z 的方向扩大或缩小（视r 大于1还是小于1而定）r 倍；对于变换（Ⅲ）：它是将平面上的点z 平移一个向量h ；图7.7（线性变换的示意图）可见，上述三种变换的一个共同特点是保持平面上图形的形状不变，图形的方向也不变，因此，这三种变换都是保持平面图形方向不变的相似变换，另外，由于相似变换的复合仍是相似变换，所以整线性变换w kz h =+（0k ≠）也是保持平面图形方向不变的相似变换．对于变换（Ⅳ）：它可以分解成下面两个更简单的变换的复合，1ω= ------ 称为关于单位圆周的对称变换，其中z和ω称为关z于单位圆周的点；= ------ 称为关于实轴的对称变换，其中ω和w称为关于实wω轴的对称点．可见，反演变换（Ⅳ）是通过两个对称变换的复合而成，此时原象点z和象点w之间的关系可通过图7.8所示的几何方法来实现．图7.8（反演变换的示意图）关于单位圆周1z=的对称点的补注：10 补充关于单位圆周1z=对称点的定义：若点z和ω都在从圆心z=的两侧（即一点在圆周z=出发的同一条射线上，分属于圆周1z=的内部，另一点在圆周1z=的外部），并且它们到圆心的距离的1乘积等于1（即1z=对称，点zzω⋅=），则称点z和ω关于单位圆周1和ω也称为关于单位圆周1z=的对称点．20 设点z和ω关于单位圆周1z=对称，由于它们都在从圆心0z=出发的同一条射线上，且1zω⋅=，从而它们的幅角相等，记i=，z reθ于是1111i i i i e e e z r re z θθθθωω-=⋅=⋅=⋅==， 即1zω=--------对称点的计算公式． 30 规定：圆心0z =和∞是关于单位圆周1z =的对称点． 40 关于单位圆周1z =的对称点的几何作法：（如图7.8）先过点z 作射线oz 的垂线与圆周交于一点A ，再过点A 作圆周1z =的切线与射线oz 交于一点ω，则ω就是点z 关于单位圆周1z =的对称点． 例 1 证明：除恒等变换外，一切分式线性变换在扩充平面上恒有两个相异的或一个二重的不动点（即将自己变成自己的点称为不动点）． 证明 设分式线性变换为 az bw cz d+=+，其中0ad bc -≠．由不动点的含义，其不动点必满足方程 az bz cz d+=+，即2()0cz d a z b +--= ------------------(*) 如果方程（*）的系数全为零，则az bw z cz d+==+为恒等变换，与题设矛盾，故方程（*）的系数必不全为零．下面分两种情况证明：（1）若0c ≠，则方程（*）有两根 1,2z =2()4a d bc ∆=-+当0∆≠时，方程（*）有两个相异的根，即az bw cz d+=+有两个相异的不动点1z 和2z ；当0∆=时，方程（*）有两个相等的根，即az bw cz d+=+有一个二重的不动点2a dz c-=． （2）若0c ≠，则方程（*）变为 ()0d a z b --=，此时az bw cz d+=+变为a b w z dd=+．当0d a -≠时，方程（*）有一个根 b z d a =-，即az bw c z d+=+有一个不动点bz d a =-，显然z =∞也是不动点． 故az b w cz d +=+仍有两个不动点bz d a=-和z =∞．当0d a -=时，此时0b ≠，方程（*）的根形式上变为bz d a==∞-，即az b w cz d +=+的不动点也变为b z d a ==∞-，因此，z =∞成为az bw cz d+=+的二重不动点，即az bw cz d+=+有一个二重不动点z =∞．注：归纳例1结论，关于分式线性变换az bw cz d+=+（其中0ad bc -≠）的不动点，我们有如下结果：Ⅰ、当0c ≠时，它仅有有限不动点而无无穷不动点∞．进一步，当2()40a d bc ∆=-+≠时，它有两个相异的有限不动点； 当2()40a d bc ∆=-+=，它有一个二重有限不动点． Ⅱ、当0c =时，它必有无穷不动点∞．进一步，当a d ≠时，它还有一个有限不动点；当a d =，0b ≠时，它没有有限不动点，此时∞是二重不动点； 当a d =，0b =时，此时变换成为恒等变换w z =，扩充平面上的任何点都是不动点．例2 求下列分式线性变换的不动点： （1）11z w z +=-； （2）311z w z -=+； （3）1w z =+； （4）w kz =（0k ≠）． 解（1）设z 为此变换的不动点，则z 满足11z z z +=-，即2210z z --=．解得1z =-+1z =-．即为此变换的两个相异的不动点（没有无穷不动点）．（2）设z 为此变换的不动点，则z 满足311z z z -=+，即 2210z z --=．显然，此方程有两个相等的根1z =，即1z =为此变换的二重不动点（没有无穷不动点）．（3）根据例1的结论，由于0c =，1a d ==，10b =≠，所以，此变换仅以∞为不动点，且为二重不动点（只有无穷不动点，而没有有限不动点）．（4）显然，当1k ≠时，在此变换下0变成0，∞变成∞，则此变换有一个有限不动点0z =和一个无穷不动点z =∞（既有一个有限不动点，也有一个无穷不动点）．当1k =时，此变换为恒等变换。