2.二次根式的乘法(积的算术平方根)

二次根式知识点及题型归纳1. 二次根式的概念二次根式的定义： 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时，a 才有意义．2. 二次根式的性质1. 非负性：)0(≥a a 是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2.)0()(2≥=a a a注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：)0()(2≥=a a a3. ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．4. 二次根式混合运算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。

3. 最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号．2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式4. 二次根式计算——分母有理化1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。

有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用a a a =⋅来确定，如：a 与a ，b a +与b a +，b a -与b a -等分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。

如b a +与b a -，b a +与b a -，y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。

3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；5. 二次根式计算——二次根式的乘除1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

全面剖析二次根式的乘除及化简1．二次根式的乘法法则(1)二次根式的乘法法则(性质3)： a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．观察这个式子的左边和右边，得出等号的左边是两个二次根式相乘，等号右边是得到的积，仍是二次根式．由此得出：二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数．(2)对于二次根式乘法的法则应注意以下几点：①要满足a ≥0，b ≥0的条件，因为只有a ，b 都是非负数，公式才能成立． ②从运算顺序看，等号左边是先分别求a ，b 两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积，等号右边是将非负数a ，b 先做乘法求积，再开方求积的算术平方根．③公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)可以推广到3个二次根式、4个二次根式等相乘的情况．④根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．当二次根式根号外都含有数字因数时，可以仿照单项式的乘法法则进行运算：系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数．即m a ·n b ＝mn ab (a ≥0，b ≥0)．【例1】计算：(1)0.4×3.6；(2)545×3223.分析：第(1)小题的被开方数都是小数，先将被开方数进行因数分解，第(2)小题的根号外都含有数字因数，可以仿照单项式的乘法．解：(1)0.4× 3.6＝0.4×3.6＝0.4×0.4×9＝0.4×3＝1.2. (2)545×3223＝5×32×45×23＝152×3×15×23＝15230.2．积的算术平方根的性质 (1)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)．用语言叙述为：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．(2)注意事项：①a≥0，b≥0是公式成立的重要条件．如(－4)×(－9)≠－4·－9，实际上公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可．②公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的．(3)利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的．(4)ab＝a·b(a≥0，b≥0)可以推广为abc＝a·b·c(a≥0，b≥0，c≥0)．计算形如(－4)×(－9)的式子时，应先确定符号，原式化为4×9，再化简．【例2】化简：(1)300；(2)21×63；(3)(－50)×(－8)；(4)96a3b6(a＞0，b＞0)．分析：根据积的算术平方根的性质：ab＝a·b(a≥0，b≥0)进行化简．解：(1)300＝102×3＝102×3＝10 3.(2)21×63＝3×7×7×9＝3×72×32＝3×7×3＝21 3.(3)(－50)×(－8)＝50×8＝202＝20.(4)96a3b6＝42·6·a2·a·(b3)2＝4ab36a.3．二次根式的除法法则对于两个二次根式a，b，如果a≥0，b＞0，那么ab＝ab.这就是二次根式的除法法则．(1)二次根式的除法法则：①数学表达式：如果a≥0，b＞0，则有a b ＝ab.②语言叙述：两个二次根式相除，将它们的被开方数(式)相除，二次根号不变．(理解并掌握)(2)在二次根式的除法中，条件a≥0，b＞0与二次根式乘法的条件a≥0，b≥0是有区别的，因为分母不能为零，所以被除式可以是非负数，而除式必须是正数，否则除法法则不成立．知识点拓展：(1)二次根式的除法法则中的a ，b 既可以代表数，也可以代表式子；(2)m a ÷n b ＝m a n b ＝mnab (a ≥0，b ＞0，n ≠0)，即系数与系数相除，被开方数与被开方数相除．点拨：在进行二次根式的除法运算时，应先确定商的符号，然后系数与系数相除，被开方数与被开方数相除，二次根号不变，但应注意的是当被开方数是带分数时，首先要把带分数化为假分数，再进行计算，并且计算的最终结果一定要化为最简形式，此外当数字与字母相乘时，要把数字放在字母的前面，如－26a 不能写成－2a 6.【例3】如果x x －1＝x x －1成立，那么( )． A ．x ≥0 B ．x ≥1C ．0≤x ≤1D ．以上答案都不对解析：本题考查二次根式的除法法则成立的条件．要求x ≥0，x －1＞0，则x ＞1.故选D.答案：D点拨：(1)逆用二次根式的除法时，一定要满足条件a ≥0，b ＞0.(2)通常去掉分母中的根号有两种方法：一是运用二次根式的性质和除法运算；二是运用二次根式的性质及乘法运算．4．二次根式除法的逆用 通过计算：(1)1625＝(45)2＝45，1625＝45，显然1625＝1625；(2)81121＝(911)2＝911，81121＝911，显然81121＝81121，从而我们可以发现：二次根式的除法法则也可以反过来运用，即如果a ≥0，b ＞0，那么a b ＝ab，也就是说，商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．名师归纳：二次根式的除法法则的逆用： (1)数学表达式：如果a ≥0，b ＞0，则有a b ＝ab；(2)语言叙述：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；(3)逆用二次根式除法法则，可以把二次根式化为最简形式．(理解并掌握) 【例4】把下列各式中根号外的因数(式)移到根号内． (1)535； (2)－2a 12a ；(3)－a－1a ； (4)xyx (x ＜0，y ＜0)．分析：将根号外的因数(式)移到根号内时，要将根号外的数(式)改写成完全平方的形式作为被开方数(式)，如5＝52，实际上是运用了公式a ＝a 2(a ≥0)．同时，此题还运用了公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．如果根号外有负号，那么负号不能移入根号内，移到根号内的因数(式)必须是正的，但有些字母的取值范围需由隐含条件得出，如(2)，(3)小题．解：(1)535＝52×35＝52×35＝15.(2)∵12a ＞0，∴a ＞0. ∴－2a 12a ＝－(2a )2·12a ＝－(2a )2·12a ＝－2a .(3)∵－1a ＞0，∴a ＜0. ∴－a －1a ＝(－a )2·－1a＝(－a )2·(－1a )＝－a .(4)∵x ＜0，y ＜0， ∴x y x＝－(－x )2y x＝－(－x )2·y x ＝－xy .(1)要将根号外的因数(式)平方后移到根号内，应运用公式a ＝a 2(a ≥0)及a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)；(2)根号外的负号不能移到根号内，如果根号外有字母，那么要判断字母的符号，如果符号是负的，那么负号要留在根号外．5．最简二次根式的概念满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． ①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．对最简二次根式的理解①被开方数中不含分母，即被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都是1.【例5】若二次根式－33a ＋b 与2a ＋bb 是最简同类二次根式，求a ，b 的值．分析：最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．解：由题意，得⎩⎨⎧ a ＋b ＝2，3a ＋b ＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝2.所以a ，b 的值分别是0,2.本题考查的是对最简同类二次根式概念的理解．最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．6．二次根式的乘除混合运算 (1)运算顺序：二次根式的乘除混合运算顺序与整式乘除混合运算顺序相同，按照从左到右的顺序计算，有括号的先算括号里面的．(2)公式、法则：整式乘除中的公式、法则在二次根式混合运算中仍然适用． (3)运算律：整式乘法的运算律在二次根式运算中仍然适用．乘法分配律是乘法对加法的分配律，而不是乘法对除法的分配律．在进行二次根式的运算时常见的错误是：①忽略计算公式的条件； ②不注意式子的隐含条件；③除法运算时，分母开方后没写在分母的位置上； ④误认为形如a 2＋b 2的式子是能开得尽方的二次根式． 【例6】计算下列各题： (1)9145÷(3235)×12223； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a )．分析：二次根式的乘除混合运算顺序与有理数的乘除混合运算的顺序相同，按从左到右的顺序进行运算，不同的是在进行二次根式的乘除运算时，二次根式的系数要与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除．解：(1)9145÷(3235)×12223＝(9÷32×12)145÷35×83 ＝(9×23×12)145×53×83＝3881＝322×292＝3×292＝232； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a )＝[2ab ·3÷(－12)]a 2b ·a b ÷1a＝－12aba 2b ·a b·a ＝－12ab a 4＝－12ab ·a 2＝－12a 3b .7．二次根式的化简(1)化二次根式为最简二次根式的方法：①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后把分母化为有理式．②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把它开得尽方的因数或因式开出来．(2)口诀“一分、二移、三化”“一分”即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数(或式)的分子、分母都化成质因数(或质因式)的幂的积的形式．“二移”即把能开得尽方的因数(或因式)用它的算术平方根代替移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上．“三化”即化去被开方数的分母．(3)化去分母中的根号①化去分母中的根号，其依据是分式的基本性质，关键是分子、分母同乘以一个式子，使它与分母相乘得整式．②下面几种类型的两个含有二次根式的代数式相乘，它们的积不含有二次根式．a与a；a＋b与a－b；a＋b与a－b；a b＋c d与a b－c d.③化去分母中的根号时，分母要先化简．(4)在进行二次根式的运算时，结果一般都要化为最简二次根式．【例7】(1)当ab＜0时，化简ab2，得__________．(2)把代数式x－1x根号外的因式移到根号内，化简的结果为__________．(3)把－x3(x－1)2化成最简二次根式是__________．(4)化简35－2时，甲的解法是：35－2＝3(5＋2)(5－2)(5＋2)＝5＋2，乙的解法是：35－2＝(5＋2)(5－2)5－2＝5＋2，以下判断正确的是()．A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确C．甲、乙的解法都正确D．甲、乙的解法都不正确解析：(1)在ab2中，因为ab2≥0，所以ab·b≥0.因为ab＜0，b≠0，所以b＜0，a＞0.原式＝b2·a＝－b a.(2)因为－1x≥0，又由分式的定义x≠0，得x＜0.所以原式＝－(－x)－1x＝－(－x)2(－1x)＝－－x.(3)化简时，需知道x，x－1的符号，而它们的符号可由题目的隐含条件推出．∵(x－1)2＞0(这里不能等于0)，∴－x3≥0，即x≤0,1－x＞0.故原式＝(－x)2·(－x)(1－x)2＝－x1－x－x.(4)甲是将分子和分母同乘以5＋2把分母化为整数，乙是利用3＝(5＋2)(5－2)进行约分，所以二人的解法都是正确的，故选C.答案：(1)－b a(2)－－x(3)－x1－x－x(4)C8．二次根式的乘除法的综合应用利用二次根式的乘除法可解决一些综合题目，如：(1)比较大小比较两数的大小的方法有很多种，通常有作差法、作商法等．对于比较含有二次根式的两个数的大小，一种方法是把根号外的数移到根号内，通过比较被开方数的大小来比较原数的大小；二是将要比较的两个数分别平方，比较它们的平方数．(2)化简求值对于此类题目，不应盲目地把变量的值直接代入原式中，一般地说，应先把原式化简，再代入求值．在化简过程中要注意整个化简过程得以进行的条件，如开平方时注意被开方数为非负数，分式的分母不能为零等．再者，有些二次根式的化简，从形式上看是特别麻烦的，让人一看简直无从下手，但仔细分析又是有一定规律和模式的．(3)探索规律适时运用计算器，重视计算器在探索发现数学规律中的作用． 如：借助于计算器可以求得 42＋32＝__________， 442＋332＝__________， 4442＋3332＝__________， 4 4442＋3 3332＝__________， ……__________.解析：利用计算器我们可以分别求得42＋32＝25＝5， 442＋332＝ 3 025＝55， 4442＋3332＝308 025＝555， 4 4442＋3 3332 ＝30 858 025＝5 555，2011555个.答案：5 55 555 5 555 2011555个【例8－1】已知9－x x －6＝9－xx －6，且x 为偶数，求(1＋x )x 2－5x ＋4x 2－1的值．分析：式子a b ＝ab ，只有a ≥0，b ＞0时才能成立．因此得到9－x ≥0且x－6＞0，即6＜x ≤9，又因为x 为偶数，所以x ＝8.解：由题意，得⎩⎨⎧ 9－x ≥0，x －6>0，即⎩⎨⎧x ≤9，x >6.∴6＜x ≤9.∵x 为偶数，∴x ＝8. ∴原式＝(1＋x )(x －4)(x －1)(x ＋1)(x －1)＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )(x －4). ∴当x ＝8时，原式的值为4×9＝6. 【例8－2】观察下列各式： 223＝2＋23，338＝3＋38.验证：223＝233＝23－2＋222－1＝2(22－1)＋222－1＝2＋222－1＝2＋23；338＝338＝33－3＋332－1＝3(32－1)＋332－1＝3＋332－1＝3＋38.(1)按照上述两个等式及其验证过程的思路，猜想4415的变形结果并进行验证；(2)针对上述各式反映的规律，写出用n (n 为任意正整数且n ≥2)表示的等式，并给出证明．分析：本题是利用所学过的根式变形，去发现变形的规律，由于这种变形方法比较陌生，必须认真阅读所提供的素材，即学即用．解：(1)4415＝4＋415. 验证：4415＝4315＝43－4＋442－1＝4(42－1)＋442－1＝4＋442－1＝4＋415.(2)猜想：nnn2－1＝n＋nn2－1(n≥2，n为正整数)．证明：因为nnn2－1＝n3n2－1＝n3－n＋nn2－1＝n(n2－1)＋nn2－1＝n＋nn2－1，所以nnn2－1＝n＋nn2－1.11 / 11。

专题10 二次根式考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一二次根式的有关概念和性质二次根式概念：一般地，我们把形如（?≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。

【注意】1.二次根式，被开方数a可以是一个具体的数，也可以是代数式。

2.二次根式是一个非负数。

3.二次根式与算术平方根有着内在联系，（?≥0）就表示a的算术平方根。

二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

二次根式的性质：1．含有两种相同的运算，两者都需要进行平方和开方。

2．结果的取值范围相同，两者的结果都是非负数。

3．当a≧0时，考查题型一利用二次根式非负性解题1．（2013·四川中考真题）已知实数x，y，m满足，且y为负数，则m的取值范围是（）A．m＞6 B．m＜6 C．m＞﹣6 D．m＜﹣6【答案】A【解析】根据算术平方根和绝对值的非负数性质，得：，解得：。

∵y为负数，∴6﹣m＜0，解得：m＞6。

故选A。

2．（2016·四川中考真题）若 +b2﹣4b+4=0，则ab的值等于（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【答案】D【解析】试题分析：由，得：a﹣1=0，b﹣2=0．解得a=1，b=2．ab=2．故选D．3．（2012·湖北中考真题）若与|x﹣y﹣3|互为相反数，则x+y的值为（）A．3 B．9 C．12 D．27【答案】D【解析】依题意得 .∴x＋y＝27.故选D.考查题型二判断二次根式有意义的取值范围1．（2013·四川中考真题）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A． B． C． D．且【答案】D【解析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须且x≠1。

故选D。

2．（2018·内蒙古中考真题）代数式中x的取值范围在数轴上表示为（）A． B．C． D．【答案】A【详解】由题意，得：3﹣x≥0且x﹣1≠0，解得：x≤3且x≠1，在数轴上表示如图：．故选A．3．（2018·山东中考真题）若式子有意义，则实数m的取值范围是A． B．且C． D．且【答案】D【详解】由题意可知：∴m≥﹣2且m≠1故选D．考查题型三根据二次根式性质进行化简1．（2012·湖南中考真题）实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（）A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b【答案】C【解析】试题分析：利用数轴得出a+b的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可：∵由数轴可知，b＞0＞a，且 |a|＞|b|，∴ .故选C．2．（2016·山东中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ 的结果是( )A．﹣2a-b B．2a﹣b C．﹣b D．b【答案】A【详解】由图可知：，∴ ，∴ .故选A.3．（2011·北京中考真题）如果，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】试题分析：根据二次根式的性质1可知：，即故答案为B. . 4．（2015·湖北中考真题）当1＜a＜2时，代数式＋|1－a|的值是( ) A．－1 B．1 C．2a－3 D．3－2a【答案】B【解析】试题解析：∵1＜a＜2，∴ =|a-2|=-（a-2），|a-1|=a-1，∴ +|a-1|=-（a-2）+（a-1）=2-1=1．故选A．5．（2011·四川中考真题）已知，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题解析：由，得，解得．2xy=2×2.5×（-3）=-15，故选A．知识点二二次根式的运算二次根式的乘法法则:【注意】1、要注意这个条件，只有a，b都是非负数时法则成立。

二次根式教学内容2.积的算术平‎方根教学目标1．知识与技能‎．会进行简单‎的二次根式‎的乘法运算‎，能够利用积‎的算术平方‎根的性质进‎行二次根式‎的简写运算‎．2．过程与方法‎．经历探究二‎次根式乘法‎法则以及积‎的算术平方‎根的过程，掌握应用的‎方法．3．情感、态度与价值‎观培养学生数‎感和逆向思‎维，感受二次根‎式乘法的实‎际应用价值‎，形成良好的‎思维品质．重难点、关键1．重点：会进行简单‎的二次根式‎的乘法运算‎，•会利用积的‎算术平方根‎的性质化简‎二次根式．2．难点：二次根式的‎乘法与积的‎算术平方根‎的关系及应‎用．3．关键：采用从特殊‎到一般总结‎归纳的方法‎、类比的方法‎逐步有序地‎展开，•由于性质、法则关系式‎较集中，在计算、化简和应用‎中又相互交‎错，综合运用，教学中应采‎取讲练结合‎法，让学生在认‎识过程中脉‎络清楚，条理分明．教学准备1．教师准备：投影仪、制作投影片‎．2．学生准备：复习二次根‎式定义、性质，预习本节课‎内容．教学内容回顾交流，导入新知课堂复习．（投影显示）请同学们完‎成下列各题‎．1．填空．（1‎_‎__．（2‎___‎__．（3=_____‎___‎___．参考上述结‎果，用“>”、“<”或“＝”填空．‎_‎‎2．利用计算器‎计算填空．（填入“>”、“<”或“＝”）（1‎_（2‎_（3‎_（4‎_学生活动：先独立完成‎上述复习题‎，再与同伴一‎起讨论，寻找其规律‎．实际上，从计算中容‎易得用计算器‎同样可以得‎教师活动：在学生讨论‎的基础上，教师进行归‎纳．教师归纳如‎下：从上述练习‎中可以得出‎两个二次根‎式相乘，实际上就是‎将这两个二‎次根式的被‎开方数相乘‎，根指数不变‎．师生共识：二次根式乘‎法法a≥0，b≥0）．引导关注：同学们应该‎注意a≥0，b≥0这个条件‎，若没有这个‎条件，•上述法则不‎能成立．因为当a<0，b<0‎内却没有意‎义，•乘法法则显‎然不能成立‎．例如：a=-2，b=-3，则＝有意义，但却无意义‎范例学习，提高认知1．例1：计算．（1（2）教师板书：（1）（2）×学生活动：参与教师讲‎例，理解乘法法‎则的运用方‎法以及注意‎问题．随堂练习，理解新知1．计算下列各‎式．（1（2）（3）2．学生活动：先独立完成‎上述练习，再与同伴交‎流．教师活动：请三位同学‎上讲台演示‎，而后再次强‎调乘法公式‎的计算方法‎：（1）•被开方数相‎乘，根指数不变‎；（2）•最后结果要‎检验被开方‎数中是否还‎有能开出来‎的因数，以达到最简‎的要求．继续探究，拓展延伸1．例2：计算．（1） 思路点拨：例2与例1‎不同的是被‎开方数是含‎有字母，因此在被开‎方数运算中‎，要充分运用‎整式乘法法‎则进行运算‎，然后再进行‎化简．教师讲例：（1）中根号外因‎数要相乘3‎×2=6，被开方数相‎乘5a ·10b=50ab ，这样就有‎50化‎成5×2，把5开出来‎有：（2）中出现10‎-1意义，关于10-1意义，大家在整式‎乘除一章中‎学过，即10-1=110，这样（2）可用乘法法‎则化评析：这里补充例‎2，其意图是对‎例1的拓展‎，这│a │，当然，•本章没有特‎殊说明，字母均表示‎正数．2．课堂演练．计算．（1 学生活动：在理解了例‎2的基础上‎，做上述三道‎题，进行巩固．教师活动：板书演练题‎，请两位学生‎上讲台完成‎演练题，•再通过学生‎“板演”中出现的问‎题进行纠正‎，加深法则的‎应用．逆向思维，专题讨论a ≥0，b ≥0）（投影显示）教师讲述：请同学们观‎＝，由于这是一‎个等式，因此也可以‎这样写a ≥0，b ≥0），这里运用了‎数学中的逆‎向思维，•可以得出积‎的算术平方‎根的性质：积的算术平‎方根，等于积中各‎因式的算术‎平方根的积‎．这里同样必‎须a≥0，b≥0．范例学习，加深理解1．例3：化简．（1（2思路点拨：本例是充分‎运用积的算‎术平方根性‎质进行化简‎，对于（2因‎数，‎性质解题．教师讲例：（1）×9=45；（2×2学生活动：参与其中，理解积的算‎术平方根性‎质的应用．方法说明：从上例可以‎看出，如果一个二‎次根式的被‎开方数中有‎的因式（或因数）能开得尽方‎，可以利用积‎的算术平方‎根的性质，将这些因式‎（或因数）开出来，从而将二次‎根式化简，上述例题用‎到（a≥0）．2．例4：化简．（1思路点拨：例4是在例‎3的基础上‎进行延伸的‎，在解（2）中，会遇到a2‎+y2这个式‎子，请注意这个‎式子不能再‎开方了．师生活动：例4可以采‎取教师引导‎下，学生自主完‎成，在学生思考‎几分钟后，•请一位学生‎上讲台来讲‎解例4．学生解答：（1）==（2==评析：由例4可以‎看出，在化简时，•一般先将被‎开方数进行‎因式分解或‎因数分解，然后就可以‎将能开得尽‎方的因式或‎因数，用它们的算‎术平方根代‎替，移到根号外‎，也就是开出‎来．课堂练习，巩固新知1．课本P7“做一做”．2．探究时空．（1．（2）一个长方形‎的长，宽，求这个长方‎形的面积．（3）设直角三角‎形的两条直‎角边分别是‎a，b，斜边是c，如果a=4，c=12，求b．课堂小结本节主要学‎习二次根式‎的乘法法则‎以及积的算‎术平方根性‎质，并围绕这两‎个结论进行‎简单的二次‎根式化简与‎运算，这里，化简是将根‎号内能开得‎尽方的因式‎或因数开出‎来，运算是指简‎单的二次根‎式相乘，不包括所得‎结果的根号‎内出现分式‎或分数的情‎况．这里提出公‎式中a、b均为非负‎数，如果没有特‎殊说明，所有字母都‎表示正数，当然，还要注意产‎生字母只表‎示正数的片‎面认识．布置作业 1．课本P9习‎题22．2第1、2（1）～（3）、3题．。

一、知识聚焦：1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

ab = a · b （a≥0，b≥0）2．二次根式的乘法法例：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

a ·b ＝ab ．（a≥0，b≥0）3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方消除以除式的算术平方根a= a（a≥0，b>0）b b4．二次根式的除法法例：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。

a =a（a≥0，b>0）bb5．最简二次根式：切合以下两个条件：（1）被开方数不含分母；（ 2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式。

6．分母有理化：把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”二、经典例题：例 1．化简(1)9 16(2)16 81(3)81 100(4)9x2 y2 ( x0, y 0 )(5)54例 2．计算(1) 5×7(2)35215(3)9× 27(4)1×623 2例 3．判断以下各式能否正确，不正确的请予以更正：(1)(4) (9)49(2)412 ×25=4×12 ×25 =412 ×25 =4 12 =83252525例 4．化简：(1)3(2)64b20,b0)9x(x 0, y 0) (4)5x( x 0, y 0) 649a2(a(3)169y264y2例 5．计算： (1)12(2)3111（）6432(3)41688例 6．以下各式中哪些是最简二次根式，哪些不是为何(1)a2 b(2)3ab(3)x2y2(4)a b(a b)(5)5(6)8xy32例 7.把以下各式化为最简二次根式：(1)12(2)22y45 a b(3)xx 例 8.把以下各式分母有理化(1) -42(2)2a37 a + b例 9.比较 3 2和2 3两个实数的大小答案：例 1. (1)12 (2)36(3)90(4)3xy(5)36例 2.（1）35（2）30 3（3）93（4）6例 3.(1)不正确．更正： ( 4)( 9)=49＝ 4× 9=2×3=6(2)不正确．更正：412×25 =112× 25=11225 = 112= 16 7 ＝4 7 252525例4.（1）3（ 2）8b（3）3 x（4）5x 83a8 y13y例 5. （ 1）2 （2）2 3（3）2（4）2 2例 6．(3) ，(4) ， (5) 是，其余不是例 7．(1)2 3 ,(2)3a 5b , (3)x xy例 8. (1)4 142a ab例 9.32 23(2)ab21三、基础操练：11. 计算① 16 × 8②3 6 ×2 10③ 5a ·ay2. 化简 : 20 ; 18 ; 24 ;12a 2b 2 (a>0,b>0)3. 把以下各式化为最简二次根式：(1) 8( x y)3(2)4 11(3)3 8n 322 3m4. 把以下各式分母有理化（ 1）3 （2）2 y 2 （x ＞0，y ＞0）404xy5. 比较大小 (1)67与76(2)-23与-32答案：1. ①=8 2② =12 15③= a y5 ；3 2 ； 26 ； 2ab 33.(1) 2( xy)2(x y) (2) 2 6 (3)n 6mn4.(1)30 y xym20(2)x5. 解： (1) 6 7<7 6 (2)- 2 3>- 32四、能力提高：1．若直角三角形两条直角边的边长分别为15 cm 和 12 cm ，? 那么此直角三角形斜边长是（ ）．A ．32 cm B ． 33 cm C ．9cm D ． 27cm2．以下各等式建立的是（）．A ．4 5 × 2 5 =85B ．5 3×4 2 =20 5C ．4 3×3 2=7 5D．5 3×4 2=20 63．计算112112的结果是（）．335A ．25 B ．2C ．2D ．2 7774. 二次根式：①9x 2；② (a b)(a b) ；③ a 22a 1 ；④1；⑤0.75 中最简二次根式是（）xA、①②B、③④⑤C、②③D、只有④5．1014=6．分母有理化 :(1)1=_________;(2)1=________(3)210=______.32125答案：1． B2． D3．A 4.A 5．13 66． (1)1=2;(2)1=3(3)210 =232612652五、个性天地：（LJJ00002）（1）80=_________；（2）3590710___________；5(ZZY00002)(103211；（）48 x7 y6__________．3_________3x2 y37103(SHY00002)已知 x=3，y=4， z=5，那么yz xy 的最后结果是 _______．答案：（LJJ00002）（1） 4 ；（2） 15 ；(ZZY00002) 5；（2） 4x2 y xy 7(SHY00002)153。

16.2二次根式的乘除法二次根式的乘法一、学习目标1、掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。

2、熟练进行二次根式的乘法运算及化简。

二、学习重点、难点重点：掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。

难点：正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。

三、学习过程（一）复习回顾1、计算：（1）4×9=______ 94⨯=_______（2）16×25 =_______ 2516⨯=_______（3）100×36 =_______ 36100⨯=_______2、根据上题计算结果，用“>”、“<”或“=”填空：（1）4×9_____94⨯（2）16×25____2516⨯（3）100×36__36100⨯（二）提出问题1、二次根式的乘法法则是什么？如何归纳出这一法则的？2、如何二次根式的乘法法则进行计算？3、积的算术平方根有什么性质？4、如何运用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。

（三）自主学习自学课本第5—6页“积的算术平方根”前的内容，完成下面的题目：1、用计算器填空：（1）2×3____6（2）5×6____30（3）2×5____10（4）4×5____202、由上题并结合知识回顾中的结论，你发现了什么规律？能用数学表达式表示发现的规律吗？3、二次根式的乘法法则是：（四）合作交流1、自学课本6页例1后，依照例题进行计算：（1）9×27 （2）25×32（3）a 5·ab 51 （4）5·a 3·b 312、自学课本第6—7页内容，完成下列问题：（1）用式子表示积的算术平方根的性质： 。

（2）化简： ①54 ②2212b a③4925⨯ ④64100⨯（五）展示反馈展示学习成果后，请大家讨论：对于9×27的运算中不必把它变成243后再进行计算，你有什么好办法？（六）精讲点拨1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数。

二次根式的四则运算知识梳理一、二次根式的乘除（1）积的算术平方根性质： b a b a •=•（a ≥0，b ≥0） （2）二次根式的乘法法则： b a b a •=•（a ≥0，b ≥0） （3）商的算术平方根的性质：bab a =（a ≥0，b ＞0） （4）二次根式的除法法则：b aba = （a ≥0，b ＞0） 二、分母有理化分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 三、同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 四、二次根式的（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式．（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 五、二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．例题讲解例1.计算：（1）52⨯ （2）3221⨯ （3）8326⨯- （4）1052⨯⨯ 例2.化简（1）54⨯ （2）24 （3）()()4936-⨯- （4）()0,0424>>y x y x例3.计算下列各题 （1）312 （2）8123÷ （3）()72214-÷（4）531513÷（5）xyy 24针对练习1.已知()22-=-•a a a a 成立，则a 的取值范围是 .2.能使88-=-x xx x成立，则x 的取值范围是 . 3.化简下列二次根式：=90 =5.2=29 =3127a b ()=-≤++41682a a a 4.计算并化简（1）2863⨯ （2）6331227⨯⨯（3）322214÷- （4）()0113>÷a a bb a b a5.计算（1）6122÷⨯ （2）27121331⨯÷（3）32223513459⨯÷ （4）⎪⎪⎭⎫⎝⎛÷b a b b a 16.若a =5，b =17，则85.0的值用a ，b 可以表示为 . 7．先阅读下列的解答过程，然后作答：形如的化简，只要我们找到两个数a 、b 使a +b ＝m ，ab ＝n ，这样（）2+（）2＝m ，•＝，那么便有＝()2ba ±＝±（a ＞b ）例如：化简解：首先把化为，这里m ＝7，n ＝12； 由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7，•＝，∴＝＝()234+＝2+由上述例题的方法化简： （1）； （2）； （3）．例题讲解例4.计算 （1）2324+ （2）12273+-（3）x x x x 1246932-+ （4）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-6813225.024例5.计算（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--12814482 （2）()6342221⨯-例6.计算 （1）()62322+- （2）()()22322232---针对练习1．若最简二次根式与可以合并，则a＝．2．计算：2+++3﹣+（+5）﹣﹣+（+）（﹣）（）（2﹣3）÷（﹣）（+）+2 （）2﹣（2）（2）（1+）（）﹣（2）2 （）×﹣（）（）3.计算（1）()()322122-+ （2）()()201920182525+•-4.先化简，再求值：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+xy y x x xy y x y x 364363，其中23=x ，27=y .5.已知()3521+=a ，()3521-=b ，求22b ab a ++ .。

二次根式的化简及运算一、二次根式基本运算二次根式的乘除法1. 积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

2.3. 商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。

4.二次根式的加减法需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。

类似于合并同类项。

化简步骤：（1）“一分”，即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数（或式）的分子、分母都化成质因数（或因式）的幂的积的形式；（2）“二移”，即把能开得尽的因数（或因式），用它的算术平方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上；（3）“三化”，即化去被开方数中的分母。

二、二次根式的乘方1. 将单独根式中的整式（数）部分，根式部分分别乘方，如计算（23）2时，先将2乘方，再将3乘方，结果再相乘；2. 多项式的乘方注意使用乘方公式，同时也可以将其因式分解。

总结：1. 乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑被开方数的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式；2. 对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并。

但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母。

例题1（1）除实数a 外，与k 的差的绝对值最大的实数是 ； （2）求x 的值。

解析：（1）直接求b 、c 、d 、e 与k 的差的绝对值，比较大小即可；（2）根据题意，a －k ＝x ，b －k ＝－33，c －k ＝－33，d －k ＝23，e －k ＝33，又有a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝5k ，可求k 的值。

答案：解：（1）∵|b －k|＝|－31|＝33，|c －k|＝|－27|＝33，|d －k|＝12＝23，|e －k|＝31＝33， ∴与k 的差的绝对值最大的实数是c ；（2）依题意，得a －k ＝x ，b －k ＝－33，c －k ＝－33，d －k ＝23，e －k ＝33， 五式相加，得a ＋b ＋c ＋d ＋e －5k ＝x －3，又有a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝5k ，所以x －3＝0，即x ＝3。

积的算术平方根【知识与技能】a∙（a≥0,b≥0）；1.理解ab=ba∙（a≥0,b≥0）.2.运用ab=b【过程与方法】a∙（a≥0,b≥0），并运用它解题和化简.利用逆向思维，得出ab=b【情感态度】a∙（a≥0,b≥0）以训练逆向思维,通过严谨解题，增强学生让学生推导ab=b准确解题的能力.【教学重点】a∙（a≥0,b≥0）及其运用.ab=b【教学难点】a∙（a≥0,b≥0）的理解与应用.ab=b一、情境导入，初步认识a∙=ab（a≥0,b≥0）.反过来，一般地，对二次根式的乘法规定为ba∙（a≥0,b≥0）.ab=b【教学说明】引导让学生通过复习上节课学习的二次根式的规定，利用逆向思维，得出a∙（a≥0,b≥0）.ab=b二、思考探究，获取新知例1化简：【教学说明】引导学生利用ab =b a ∙（a ≥0,b ≥0）直接化简即可.例2判断下列各式是否正确，不正确的请改正:【教学说明】注意引导学生理解并掌握积的算术平方根应用的条件：a ≥0，b ≥0.三、运用新知，深化理解1.化简：（1）20;（2）18;（3）24；（4）54.2.自由落体的公式为s=21gt 2（g 为重力加速度，它的值为10m/s 2），若物体下落的高度为120m ，则下落的时间是 s.【教学说明】可由学生自主完成分组讨论，小组代表汇报，再由老师总结归纳.四、师生互动，课堂小结1.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.2.教师总结归纳积的算术平方根等于各因式算术平方根的积，即ab =b a ∙（a ≥0,b ≥0）.【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳.1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本课时教学以“自主探究——合作交流”为主体形式，先给学生独立思考的时间，提供学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究、合作学习的能力，训练逆向思维，通过严谨解题，增加学生准确解题的能力.。

第21章 二次根式21.2 二次根式的乘除1-2 二次根式的乘法与积的算术平方根学习目标：1.理解二次根式的乘法法则：()0,0≥≥=⋅b a ab b a （重点）；2.会运用二次根式的乘法法则进行简单运算（重点）；3.会运用二次根式的乘法法则的性质解题（难点）.自主学习一、知识链接1. 什么叫二次根式？我们上节课学了它的哪些性质？2.使式子2a 有意义的条件是________.合作探究探究点1：二次根式的乘法算一算 计算下列各式，并观察三组式子的结果：____;94____;_______94)1(=⨯=⨯=⨯_____;2516____;_______2516)2(=⨯=⨯=⨯ ._____3625____;_______3625)3(=⨯=⨯=⨯猜测b a •= （a ≥0,b ≥0）【要点归纳】一般地，二次根式相乘，______不变，______相乘.语言表述：两个算术平方根的积等于它们被开方数积的算术平方根. 【典例精析】例1 计算：（1）76⨯； （2）3221⨯ （323 5.【方法总结】二次根式的乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘，即：0,0,,0).a b k a b k a b k ⋅=⋅⋅⋅⋅≥≥⋅⋅⋅≥（例2 计算:(1)2537；1273.2⎛ ⎝【方法总结】当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式乘单项式的法则计算，即)0,0()(≥≥=•b a ab mn b n a m探究点2：积的算术平方根的性质及化简一般地，有：)0,0(≥≥=•b a ab b a 反过来：)0,0(≥≥•=b a ba ab【要点归纳】积的算术平方根等于被开方数的各因式算术平方根的积.在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数．【典例精析】例3化简: （1） （2） （3）120 （4）2228-53成立吗？为什么？【针对训练】1.82 ( )10 B.4 6 D.2 2.下列计算结果正确的是( )A.5585=B. 5342205=C. 433275=D.5342206=3.计算：（161510=_________. （2） = _________ 49121⨯2316ab c　274125⨯当堂检测 姓名____________1.二次根式的乘法：ab b a =• 其中a 、b 应满足的条件是2. 积的算术平方根：________=ab (0,0≥≥b a ).3.若)6(6-=-•x x x x ，则（ ）A ．x ≥6B ．x ≥0C ．0≤x ≤6D ．x 为一切实数 2.下列计算正确的是（ ） A ． B ． C ．2＝6×25＝150 D ．2＝6×5＝303. 下列计算错误的是（ ）A.2173=⨯B.14278=⨯C.562332=⨯D.342232=⨯⨯4. 化简()532⨯-得( ).A. 53-B. 53C. -15D. 15 5．化简79⨯=__________6．计算：23369__________⨯.7．化简：18=_______；＝49.036⨯_______.8．计算：=••zxy z x y9. 已知：n 12是整数，则满足条件的最小正整数n 为 . 10.计算： （1182= ；（232235711.计算：( 1 ) 23 55⨯； 22334⎛⎫⨯-⎪ ⎪⎝⎭（）；(3)61044.1⨯ （4）38241a a •12．下面的推导过程是否正确？若不正确，请指出错误的步骤，并改正.能力提升13.将根号外的因式化到根号内a-（1）43；（2）﹣52a；（3）（a﹣1）1-a ．（4）a16.（提升与拓展）+为最短．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB边的中点，在AC上有一点P，使EP BP⑴在图中找出点P+．⑵求：最短距离EP BP。

二次根式的乘法法则是指两个二次根式相乘，可以将被开方数相乘，再化为最简二次根式。

具体来说，如果两个二次根式要相乘，那么需要将它们的被开方数相乘，得到的结果仍然是一个非负数的二次根式，这个过程需要遵守二次根式的性质和运算法则，以确保结果的正确性和合理性。

以下是二次根式乘法运算法则的具体说明：
1. 两个二次根式相乘，需要将被开方数相乘。

即，如果两个二次根式分别为a和b，它们的被开方数分别为x和y，那么两个被开方数的积的算术平方根就是结果c。

这个过程需要遵守二次根式的性质和运算法则，确保结果的正确性和合理性。

2. 需要注意的是，如果两个二次根式相乘的结果是一个负数，那么需要讨论一下其符号问题。

即，两个被开方数中至少有一个是负数，而另一个被开方数是正数时，才能进行乘法运算。

因此，在二次根式的乘法运算中，必须保证结果的符号是正数或零。

3. 在进行二次根式的乘法运算时，需要注意运算顺序和符号问题。

一般来说，先将被开方数相乘，再根据结果的正负情况确定最终结果的正负性。

同时，需要注意运算过程中的符号问题，以确保结果的正确性和合理性。

总之，二次根式的乘法运算法则需要遵守二次根式的性质和运算法则，以确保结果的正确性和合理性。

在进行二次根式的乘法运算时，需要注意运算顺序、符号问题以及结果的合理性。

只有正确理解和运用这些运算法则，才能有效地进行二次根式的运算，并得到正确的结果。

希望以上回答对您有所帮助。