积的算术平方根

算术平方根与几何平方根的关系数学是一门抽象而又实用的学科，其中有许多概念和定理，其中一个重要的概念就是平方根。

平方根在数学中有两种不同的含义，分别是算术平方根和几何平方根。

本文将重点讨论这两种平方根的关系，以帮助中学生更好地理解和应用这些概念。

首先，我们来了解算术平方根和几何平方根的定义。

算术平方根是指一个数的平方等于该数的非负平方根，用符号√表示。

例如，√9=3，√16=4。

几何平方根是指一个数的平方等于一个给定面积的正方形的边长，用符号√表示。

例如，√9代表一个面积为9的正方形的边长，√16代表一个面积为16的正方形的边长。

那么，算术平方根和几何平方根之间有什么关系呢？我们发现，当一个数的算术平方根与几何平方根相等时，这个数就是一个完全平方数。

例如，√9=3，√16=4，这两个数都是完全平方数，因为它们的算术平方根和几何平方根相等。

而对于一个非完全平方数，它的算术平方根和几何平方根是不相等的。

例如，√2≈1.414，√2不是一个完全平方数，因为它的算术平方根和几何平方根不相等。

接下来，我们来看一些实际应用中算术平方根和几何平方根的关系。

在几何学中，我们经常需要计算一个图形的面积或边长，这时就会用到几何平方根。

例如，如果我们知道一个正方形的面积是25平方单位，我们可以用几何平方根来求解这个正方形的边长，即√25=5。

同样，在代数学中，我们也会经常遇到需要计算平方根的问题，这时我们就会用到算术平方根。

例如，如果我们需要求解一个方程的解，其中包含了平方根，我们可以利用算术平方根来求解。

这些实际应用中，算术平方根和几何平方根的关系是密不可分的。

总之，算术平方根和几何平方根是数学中重要的概念，它们之间存在着密切的关系。

通过理解和应用这两种平方根的概念，我们可以更好地解决实际问题，提高数学的应用能力。

中学生和他们的父母可以通过练习和实际问题的应用来加深对算术平方根和几何平方根的理解。

希望本文对读者有所帮助，让大家更好地掌握这两种平方根的概念和应用。

二次根式期末复习知识清单及典型例题知识点1：二次根式的定义：形如()0≥a a 的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，a 才有意义．【例1】下列各式()511，()52-，()232+-x ，()44，()2315⎪⎭⎫ ⎝⎛-，()a -16，()1272+-a a 其中是，二次根式的是_________（填序号）．变式：1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A 、a B 、10-C 、1a +D 、21a+2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个【例2】若式子13x -有意义，则x 的取值范围是． 变式：1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（） A 、x>3B 、x ≥3C 、x>4D 、x ≥3且x ≠4 2、如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限3、使代数式221x x -+-有意义的x 的取值范围是 【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=变式：1、若11x x ---2()x y =+，则x －y 的值为（）A ．－1B ．1C ．2D ．3 2、当a 取什么值时，代数式112++a 取值最小，并求出这个最小值。

【例4】已知a 是5整数部分，b 是5的小数部分，求12a b ++的值。

变式：1、若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3。

2、若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求yx 12+的值. 知识点2：2、双重非负性：a a ()≥0是一个非负数．即①0≥a；②0≥a3、平方的形式（双胞胎公式）：（1）()()a aa 20=≥；（2）a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()．公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系：（1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． （3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的． 【例5】若()04322=-+-+-c b a 则c b a +-=．变式:若1+-b a 与42++b a 互为相反数，则()2017b a -=。

初二数学几何概念知识点总结（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一、基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数。

二、常识：1、三角形中，第三边长的判断： 另两边之差＜第三边＜另两边之和2、三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外。

注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段。

3、三角形能否成立的条件是：最长边＜另两边之和。

4、直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和。

5、分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形。

6、三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角。

7、全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边。

8、等边三角形是特殊的等腰三角形。

9、几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明。

10、符合“AAA”“SSA”条件的三角形不能判定全等。

11、几何习题经常用四种方法进行分析： （1）分析综合法；（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法 12、几何基本作图分为： （1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线； （4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线 13、会用尺规完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图。

14、作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图。

15、几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图1、二次根式：一般地，式子)0(≥a a 叫做二次根式。

基础知识
1、二次根式的定义：
我们已经知道：每一个正实数有且只有两个平方根，一个记作a，称为a的。

算术平方根；另一个是a
我们把形如a的式子叫作二次根式，根号下的数a叫作被开方数.
由于在实数围，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数围有意义．
2、二次根式的性质
3、二次根式的积的算数平方根的性质
4、最后的计算结果，具有以下特点：
（1）被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）；
（2）被开方数不含分母.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.
注意：①化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因数.
②化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母.
③今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平
方号以后移到根号外（注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数）.题型一、二次根式的概念和条件
【例1】
【例2】
【例3】
【例4】
【例5】
【例6】
题型二、二次根式的性质【例7】计算
【例8】
【例9】【练一练】
4、
5、
6、7、
8、
题型三积的算数平方根的性质【例10】
【例11】
【例12】
【例13】
【例14】
题型四二次根式的化简【例题精析】
【例15】
【例16】【例17】【例18】
【练一练】
4、
5、6、6、
7、。

一、教学目标：知识目标：1、使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与计算；2、会进行简单的二次根式的乘除法、加减法运算；过程与方法：1、使学生进一步了解数学知识之间是相互联系的；2、使学生能联系几何课中学习的勾股定理解决实际问题；情感态度与价值观：培养学生努力探索事物之间内在联系的学习习惯。

二、教学重难点重点：会利用积的算术平方根的性质化简二次根式，会进行二次根式的乘除法、加减法计算。

难点：二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用。

三、教学内容：知识回顾：1、什么叫二次根式？形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念2、二次根式有哪些性质？（a）2=a（a≥0）新课知识：二次根式的乘除法：计算：（1）425⨯与425⨯（2）169⨯与169⨯（3）2)32(×2)53(与22)53()32(⨯观察以上式子及其运算结果，看看其中有什么规律？概括:二次根式相乘，实际上就是把被开方数相乘，而根号不变： a ·b =ab （a ≥0，b ≥0） 由以上公式逆向运用可得：ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）文字语言叙述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

例1、计算：⑴ 2·32 ⑵21·8 ⑶a 2·a 8（a ≥0）例2、化简： ⑴ 2257 ⑵8116 ⑶12⑷3a （a ≥0） ⑸a （a ≥0，b ≥0）练习： 1、化简：（1）18 （2）27 （3）32（4）2312a b （5）273⨯ （6）5153⨯（7）763⋅ （8）23312⨯ （9）2405⨯（10） 3ab ab ⋅ （0a ≥ 0b ≥）2、计算：⑴xy ·y x 3·2xy⑵18·24·27 （3）63142⨯⨯3、已知()()2727x x x x --=-⋅-，求x 的取值范围。

4、已知等腰三角形的腰为26cm ，底边为42cm ，求这个等腰三角形的面积5、观察：a ·b =ab （a ≥0，b ≥0） 思考：a ×b ×c = ？6、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=10㎝，BC=24㎝，求AB 。

中考数学复习数与式知识点总结第一部分：教材知识梳理-系统复第一单元：数与式第1讲：实数知识点一：实数的概念及分类1.实数是按照定义和正负性来分类的。

其中，既不属于正数也不属于负数的数是零。

无理数有几种常见形式：含π的式子是正有理数；无限不循环小数是无理数；开方开不尽的数是无理数；三角函数型的数是实数。

有理数包括正有理数、负有理数和零。

负无理数和正无理数的定义很明确。

2.在判断一个数是否为无理数时，需要注意开得尽方的含根号的数属于无理数，而开得尽的数属于有理数。

3.数轴有三个要素：原点、正方向和单位长度。

实数与数轴上的点一一对应，数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。

4.相反数是具有相反符号的两个数，它们的和为0.数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等。

5.绝对值是一个数到原点的距离。

它有非负性，即绝对值大于等于0.若|a|+b2=0，则a=b=0.绝对值等于该数本身的数是非负数。

知识点二：实数的相关概念2.数轴是一个直线，用来表示实数。

数轴上的每个点都对应着一个实数，反之亦然。

3.相反数是具有相反符号的两个数，它们的和为0.4.绝对值是一个数到原点的距离。

它有非负性，即绝对值大于等于0.5.倒数是乘积为1的两个数互为倒数。

a的倒数是1/a(a≠0)。

6.科学记数法是一种表示实数的方法，其中1≤|a|＜10，n为整数。

确定n的方法是：对于数位较多的大数，n等于原数的整数位减去1；对于小数，写成a×10n，1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）。

7.近似数是一个与实际数值很接近的数。

它的精确度由四舍五入到哪一位来决定。

例：用科学记数法表示为2.1×104.19万用科学记数法表示为1.9×10^5，0.0007用科学记数法表示为7×10^-4.知识点三：科学记数法、近似数科学记数法是一种表示极大或极小数的方法，它的基本形式是a×10^n，其中1≤a<10，n为整数。

√31的化简结果√31的化简结果是5.568。

因为√31是最简根式，它是无理数，用计算机算出来约等于5.5677643628，若保留三位小数的话，四舍五入，结果就是5.568。

如何化简根式？一、先了解这几个运算法则：乘除法1.积的算数平方根的性质√ab=√a×√b（a≥0，b≥0）2. 乘法法则√a*√b=√ab（a≥0，b≥0）二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

3.除法法则√a÷√b=√(a÷b)（a≥0，b>0）二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。

加减法1、同类二次根式一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。

2、合并同类二次根式把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。

3、二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。

4、注意：有括号时，要先去括号。

二、然后就可以对二次根式进行化简了：1、分母有理化分母有理化即将分母从非有理数转化为有理数的过程，以下列出分母有理化的几种方法：（1）直接利用二次根式的运算法则：（2）利用平方差公式：（3）利用因式分解：2、换元法换元法即把根式中的某一部分用另一个字母代替的方法，是化简的重要方法之一。

典型例题：1、化简根式：√（12-4√3-4√5+2√15）分析：利用因式分解将大根号下的数化为一个完全平方式，即可去掉大根号。

2、计算√[1+2007²+(2007²/2008²)]-1/2008分析：通关换元法换元，将根号下的数化简，最后求值。

另外遇到混合运算时：1、确定运算顺序。

2、灵活运用运算定律。

3、正确使用乘法公式。

4、大多数分母有理化要及时。

5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化。

二次根式教学内容2.积的算术平‎方根教学目标1．知识与技能‎．会进行简单‎的二次根式‎的乘法运算‎，能够利用积‎的算术平方‎根的性质进‎行二次根式‎的简写运算‎．2．过程与方法‎．经历探究二‎次根式乘法‎法则以及积‎的算术平方‎根的过程，掌握应用的‎方法．3．情感、态度与价值‎观培养学生数‎感和逆向思‎维，感受二次根‎式乘法的实‎际应用价值‎，形成良好的‎思维品质．重难点、关键1．重点：会进行简单‎的二次根式‎的乘法运算‎，•会利用积的‎算术平方根‎的性质化简‎二次根式．2．难点：二次根式的‎乘法与积的‎算术平方根‎的关系及应‎用．3．关键：采用从特殊‎到一般总结‎归纳的方法‎、类比的方法‎逐步有序地‎展开，•由于性质、法则关系式‎较集中，在计算、化简和应用‎中又相互交‎错，综合运用，教学中应采‎取讲练结合‎法，让学生在认‎识过程中脉‎络清楚，条理分明．教学准备1．教师准备：投影仪、制作投影片‎．2．学生准备：复习二次根‎式定义、性质，预习本节课‎内容．教学内容回顾交流，导入新知课堂复习．（投影显示）请同学们完‎成下列各题‎．1．填空．（1‎_‎__．（2‎___‎__．（3=_____‎___‎___．参考上述结‎果，用“>”、“<”或“＝”填空．‎_‎‎2．利用计算器‎计算填空．（填入“>”、“<”或“＝”）（1‎_（2‎_（3‎_（4‎_学生活动：先独立完成‎上述复习题‎，再与同伴一‎起讨论，寻找其规律‎．实际上，从计算中容‎易得用计算器‎同样可以得‎教师活动：在学生讨论‎的基础上，教师进行归‎纳．教师归纳如‎下：从上述练习‎中可以得出‎两个二次根‎式相乘，实际上就是‎将这两个二‎次根式的被‎开方数相乘‎，根指数不变‎．师生共识：二次根式乘‎法法a≥0，b≥0）．引导关注：同学们应该‎注意a≥0，b≥0这个条件‎，若没有这个‎条件，•上述法则不‎能成立．因为当a<0，b<0‎内却没有意‎义，•乘法法则显‎然不能成立‎．例如：a=-2，b=-3，则＝有意义，但却无意义‎范例学习，提高认知1．例1：计算．（1（2）教师板书：（1）（2）×学生活动：参与教师讲‎例，理解乘法法‎则的运用方‎法以及注意‎问题．随堂练习，理解新知1．计算下列各‎式．（1（2）（3）2．学生活动：先独立完成‎上述练习，再与同伴交‎流．教师活动：请三位同学‎上讲台演示‎，而后再次强‎调乘法公式‎的计算方法‎：（1）•被开方数相‎乘，根指数不变‎；（2）•最后结果要‎检验被开方‎数中是否还‎有能开出来‎的因数，以达到最简‎的要求．继续探究，拓展延伸1．例2：计算．（1） 思路点拨：例2与例1‎不同的是被‎开方数是含‎有字母，因此在被开‎方数运算中‎，要充分运用‎整式乘法法‎则进行运算‎，然后再进行‎化简．教师讲例：（1）中根号外因‎数要相乘3‎×2=6，被开方数相‎乘5a ·10b=50ab ，这样就有‎50化‎成5×2，把5开出来‎有：（2）中出现10‎-1意义，关于10-1意义，大家在整式‎乘除一章中‎学过，即10-1=110，这样（2）可用乘法法‎则化评析：这里补充例‎2，其意图是对‎例1的拓展‎，这│a │，当然，•本章没有特‎殊说明，字母均表示‎正数．2．课堂演练．计算．（1 学生活动：在理解了例‎2的基础上‎，做上述三道‎题，进行巩固．教师活动：板书演练题‎，请两位学生‎上讲台完成‎演练题，•再通过学生‎“板演”中出现的问‎题进行纠正‎，加深法则的‎应用．逆向思维，专题讨论a ≥0，b ≥0）（投影显示）教师讲述：请同学们观‎＝，由于这是一‎个等式，因此也可以‎这样写a ≥0，b ≥0），这里运用了‎数学中的逆‎向思维，•可以得出积‎的算术平方‎根的性质：积的算术平‎方根，等于积中各‎因式的算术‎平方根的积‎．这里同样必‎须a≥0，b≥0．范例学习，加深理解1．例3：化简．（1（2思路点拨：本例是充分‎运用积的算‎术平方根性‎质进行化简‎，对于（2因‎数，‎性质解题．教师讲例：（1）×9=45；（2×2学生活动：参与其中，理解积的算‎术平方根性‎质的应用．方法说明：从上例可以‎看出，如果一个二‎次根式的被‎开方数中有‎的因式（或因数）能开得尽方‎，可以利用积‎的算术平方‎根的性质，将这些因式‎（或因数）开出来，从而将二次‎根式化简，上述例题用‎到（a≥0）．2．例4：化简．（1思路点拨：例4是在例‎3的基础上‎进行延伸的‎，在解（2）中，会遇到a2‎+y2这个式‎子，请注意这个‎式子不能再‎开方了．师生活动：例4可以采‎取教师引导‎下，学生自主完‎成，在学生思考‎几分钟后，•请一位学生‎上讲台来讲‎解例4．学生解答：（1）==（2==评析：由例4可以‎看出，在化简时，•一般先将被‎开方数进行‎因式分解或‎因数分解，然后就可以‎将能开得尽‎方的因式或‎因数，用它们的算‎术平方根代‎替，移到根号外‎，也就是开出‎来．课堂练习，巩固新知1．课本P7“做一做”．2．探究时空．（1．（2）一个长方形‎的长，宽，求这个长方‎形的面积．（3）设直角三角‎形的两条直‎角边分别是‎a，b，斜边是c，如果a=4，c=12，求b．课堂小结本节主要学‎习二次根式‎的乘法法则‎以及积的算‎术平方根性‎质，并围绕这两‎个结论进行‎简单的二次‎根式化简与‎运算，这里，化简是将根‎号内能开得‎尽方的因式‎或因数开出‎来，运算是指简‎单的二次根‎式相乘，不包括所得‎结果的根号‎内出现分式‎或分数的情‎况．这里提出公‎式中a、b均为非负‎数，如果没有特‎殊说明，所有字母都‎表示正数，当然，还要注意产‎生字母只表‎示正数的片‎面认识．布置作业 1．课本P9习‎题22．2第1、2（1）～（3）、3题．。

16.2二次根式的乘除法二次根式的乘法一、学习目标1、掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。

2、熟练进行二次根式的乘法运算及化简。

二、学习重点、难点重点：掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。

难点：正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。

三、学习过程（一）复习回顾1、计算：（1）4×9=______ 94⨯=_______（2）16×25 =_______ 2516⨯=_______（3）100×36 =_______ 36100⨯=_______2、根据上题计算结果，用“>”、“<”或“=”填空：（1）4×9_____94⨯（2）16×25____2516⨯（3）100×36__36100⨯（二）提出问题1、二次根式的乘法法则是什么？如何归纳出这一法则的？2、如何二次根式的乘法法则进行计算？3、积的算术平方根有什么性质？4、如何运用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。

（三）自主学习自学课本第5—6页“积的算术平方根”前的内容，完成下面的题目：1、用计算器填空：（1）2×3____6（2）5×6____30（3）2×5____10（4）4×5____202、由上题并结合知识回顾中的结论，你发现了什么规律？能用数学表达式表示发现的规律吗？3、二次根式的乘法法则是：（四）合作交流1、自学课本6页例1后，依照例题进行计算：（1）9×27 （2）25×32（3）a 5·ab 51 （4）5·a 3·b 312、自学课本第6—7页内容，完成下列问题：（1）用式子表示积的算术平方根的性质： 。

（2）化简： ①54 ②2212b a③4925⨯ ④64100⨯（五）展示反馈展示学习成果后，请大家讨论：对于9×27的运算中不必把它变成243后再进行计算，你有什么好办法？（六）精讲点拨1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数。

积的算术平方根的性质
《积的算术平方根的性质》
积的算术平方根是指积中各项的算术平方根的乘积。

它有许多有趣的性质，这些性质对于理解积有着重要的意义。

首先，积的算术平方根是乘积的算术平方根。

如果a和b是两个正数，则a*b的算术平方
根为√(a*b)，即a和b的算术平方根的乘积。

其次，积的算术平方根是乘积的算术平方根的函数。

如果a和b是两个正数，则a和b的
算术平方根的乘积是一个函数，它的值是a*b的算术平方根。

最后，积的算术平方根是乘积的算术平方根的近似值。

如果a和b是两个正数，则a和b
的算术平方根的乘积是a*b的算术平方根的近似值，它比a*b的算术平方根的实际值要小。

积的算术平方根是乘积的算术平方根的乘积、函数和近似值，它对于理解积有着重要的意义。