利用函数的单调性求参数的取值范围使用

a 3x2 3 , 2x
a

(
3
x2 2
x
3
)min
令g( x) 3x2 3 , x [2,4] 2x
练习1： 已知函数f (x) x3 ax 3x 1在[0,)上是单调递增函数， 求参数a的取值范围.
解： f '( x) 3x2 a 3, x [0,) 则f '( x) 0在[0,)上恒成立
解：f (x)的定义域为（0， ）
f (x) 1 2ax （2 a） (2x+1)(ax 1)
x
x
当a 0时, f (x) 0,故f (x)在（0， ）单调递增;
当a 0时,令f (x) 0，解得x 1 a
则当x (0, 1 )时，f (x) 0; x ( 1 , )时，f (x) 0
[3x2 2ax (a2 1)]min 0, x [0,) y
①
a

0
3
f ' (0) 0
a 1
o
x
②
a

3

f
0 '(a)
3

0
a 6 2
分类讨论法：
在利用函数的单调性求参数的取值范围时， 当导函数可化为二次函数形式时，应注意
从对称轴，区间端点函数值方面考虑
即(3x2 6ax 2a2 )min 0, x [0,2]
y
o
x 2
X=a
X=a
X=a
练习1：设a为实数，函数f (x) x3 ax2 (a2 1)x在 [0， ）上是增函数,求a的取值范围.
解: f '(x) 3x2 2ax (a2 1) 0, x [0,)
即3x2 a 3 0, 恒成立x [0,)
方法：（分离参数）
a 3x2 3恒成立
a (3x2 3)min a 3
练习2： 若函数f ( x) x3 ax2 1在（0,2）内单调递减, 求实数a的取值范围.
解析：
f '( x) 3x2 2ax, x (0,2)
解： f '( x) 3x2 6ax 2a2 , x [0,2]
则f '( x) 0在[0,2]上恒成立
即3x2 6ax 2a2 0恒成立，x [0,2]
即f '( x)min 0, x [0,2]
而f '(x)为二次函数，开口向上， 对称轴为x a
f '( x) 3x2 6ax 2a2 0, x [0,2]
例1：已知函数f (x) x3 ax2 3x 1在[2,4]上是单调递增函数， 求参数a的取值范围.
解：
f '(x) 3x2 2ax 3, x [2,4]
则f '(x) 0在[2,4]上恒成立
即3x2 2ax 3 0, 恒成立x [2,4]
方法：（分离参数） 2ax 3x2 3恒成立
(2)当a

0时，令f
'(x)

0, 得x1

1 a

0.x2

2
结合二次函数图象知 f (x)在（0,2）上递增；
在（2， ）递减。
(3)当a

0时，令f
'(x)

0, 得x1

1 a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0.x2

2
1)当1 2即a 1 时，f (x)在（0， ）上为增函数。
a
2
2)当1 2即0 a 1 时，f (x)在（0，2）和（1 ,)上为增函数;
a
a
故f (x)在(0, 1 )单调递增，在( 1 , )单调递减。
a
a
综合练习：
（2011 江西高考）已知函数 f(x)＝x2(x－a)． 若 f(x)在(2,3)上单调递减，求实数 a 的取值范围
3．已知函数 f(x)＝x2＋mx＋ln x 是单调递增函数，则 m 的取值范围是
A．m>－2 2 B．m≥－2 2
a
2
a
f (x)在（2，1 ）上为减函数。 a
3)当1 2即a 1 时，f (x)在（0，1 ）和（2,)上为增函数;
a
2
a
f (x)在（1 ，2）上为减函数。
a
综上：
(1)当a 0时，f (x)在（0,2）上递增，在（2， ）上递减。
(2)当a 1 时，f (x)在（0， ）上为增函数。
例3：设函数f (x) 1 ax2 (2a 1)x 2 ln x.试讨论f (x)的单调区间 2
解：函数的定义域(0,)
f '(x) ax (2a 1) 2 (ax 1)(x 2)
x
x
(1)当a 0时，f '(x) 2 x x
所以f (x)在（0,2）上递增，在（2， ）上递减。
2
(3)当0 a 1 时，f (x)在（0，2）和（1 ,)上为增函数;
2
a
f (x)在（2，1 ）上为减函数。 a
(4)当a 1 时，f (x)在（0，1 ）和（2,)上为增函数;
2
a
f (x)在（1 ，2）上为减函数。 a
练习1：
(2011辽宁理）已知函数f(x)= ln x ax2 （2 a）x,讨论函数f(x)的单调性
利用函数单调性求参数的 取值范围
复习
1 用导数判断函数单调性法则: 、 如果在(a,b)内，f (x)＞0，则f (x)在此区间是增函数；
如果在(a,b)内，f (x)＜0，则f (x)在此区间是减函数。
2、求函数单调区间的一般步骤是 1、求定义域 2、求导f'(x)
3、令f'(x)>0,求出增区间，令f'(x)<0,求出减区间。
C．m<2 2
() D．m≤2 2
令 g(x)＝2x2＋mx＋1，x∈(0，＋∞)， 当－m4 ≤0 时，g(0)＝1>0 恒成立，∴m≥0 成立， 当－m4 >0 时，则 Δ＝m2－8≤0，∴－2 2≤m<0， 综上，m 的取值范围是 m≥－2 2.
则f '( x) 0在（0,2）上恒成立
即2ax 3x 2
3
a x, x (0,2)
2
a

(
3 2
x)max
,
x

(0,2),
a3
分离参数法： 分离参数 构造函数g(x) 求g(x)的最值 求得参数范围
例2：已知函数f (x) x3 3ax2 2a2 x 1在[0,2]上是单调递增函数， 求参数a的取值范围.